lugar das raízes

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O MÉTODO DO LUGAR DAS RAÍZES NO SISTEMA DE 
CONTROLE 
Mateus Medeiros Sousa 
 
 
 
 
 
 
 
Lages – SC 
Julho de 2020 
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SUMÁRIO 
 
1 Introdução........................................................................................................................................... 3 
2 O método do lugar das raízes ......................................................................................................... 3 
3 Condições do método do lugar das raízes .................................................................................... 4 
4 Passos para a determinação gráfica do lugar das raízes........................................................... 5 
5 Conclusão........................................................................................................................................... 9 
6 Referências ...................................................................................................................................... 10 
 
 
 
3 
 
O MÉTODO DO LUGAR DAS RAÍZES NO SISTEMA DE CONTROLE 
SOUSA, Mateus Medeiros.1 
 
1 Introdução 
 
 Nas páginas seguintes será demonstrado o método do lugar das raízes, 
amplamente utilizado na Engenharia de Automação e Controle. O texto focará na 
demonstração das oito etapas que devem ser seguidas para conseguir fazer a 
representação gráfica desse método. Apesar da existência de softwares que 
confeccionam esse tipo de gráfico de forma mais prática, o conhecimento das 
particularidades do método pode auxiliar o projetista a diagnosticar problemas. 
Para tanto, o artigo objetiva realizar uma pesquisa teórica sobre o conceito de 
lugar de raízes em sistema de controle. Por causa desse perfil teórico, será realizado 
um levantamento bibliográfico sobre o tema tomando como norte os livros de 
Katsuhiko Ogata e Norman Nise. A pesquisa se baseará nos principais conceitos 
envolvendo o tema “lugar de raízes” partindo de uma ótica matemática do tema. 
 
2 O método do lugar das raízes 
 
 Desenvolvido por W. R. Evans, o método do lugar das raízes (M.L.R) 
representa uma técnica gráfica que permite visualizar de que forma os polos de um 
sistema de malha fechada variam quando alterado o valor de um parâmetro específico 
(em geral, o ganho). Esse método tem o objetivo de determinar as raízes das 
equações características por meio da representação gráfica de todos os valores de 
um parâmetro do sistema (OGATA, 2010). Permite obter uma descrição qualitativa do 
desempenho de um sistema de controle e, também, serve como uma ferramenta 
qualitativa (NISE, 2013). 
 Inicialmente, a técnica era utilizada para obter o valor numérico dos polos de 
malha fechada de um sistema. Para conseguir obter uma construção gráfica precisa 
foi desenvolvido um instrumento denominado de espírula. Porém, atualmente, é 
 
1 Graduando em Engenharia Mecânica pelo Centro Universitário Facvest. E-mail: 
mateusmedeirosme@gmail.com 
4 
 
possível obter os polos desse sistema de malha fechada por meio de programas de 
computador. OGATA (2010) cita o aplicativo MATLAB como exemplo. 
 A vantagem do lugar das raízes está em descrever qualitativamente o 
desempenho de um sistema à medida em que algumas informações são modificadas. 
Além disso, esse método pode representar graficamente a estabilidade do sistema, 
apresentando não só as faixas de estabilidade e instabilidade como as condições que 
fizeram com que o sistema entre em oscilação (NISE, 2013). Assim, o lugar das raízes 
permite ao projetista definir a estrutura do controlador, apropriado para cada 
circunstância. 
Assim, a partir do exposto, pode-se resumir que por meio desse método pode-
se prever “quais os efeitos de variação do valor do ganho ou da adição de polos de 
malha aberta e/ou zeros de malha aberta sobre a localização dos polos de malha 
fechada” (OGATA, 2010). 
 
3 Condições do método do lugar das raízes 
 
 Para o método do lugar de raízes atingir os resultados desejados, algumas 
condições devem ser seguidas: (1) condição de fase/ângulo e de módulo (ou critério 
de ganho). 
 Com relação à condição de ângulo e módulo, pode-se representá-la a partir dos 
seguintes cálculos. Parte-se, primeiramente da função da transferência de malha 
fechada (OGATA, 2010): 
𝐶(𝑠)
𝑅(𝑠)
=
𝐺(𝑠)
1 + 𝐺(𝑠)𝐻(𝑠)
 
 A equação característica desse sistema é obtida quando se iguala a zero o 
denominador do lado direito da equação. Ou seja, nesse caso, 1+G(s)H(s) = 0 ou 
G(s)H(s) = -1. Partindo da ideia de que G(s)H(s) seja uma relação dos polinômios em 
s, ela é considerada uma grandeza complexa e essas equações podem ser divididas 
em duas equações equiparando-se os ângulos e módulos (NISE, 2013; OGATA, 
2010): 
Condição angular: 
𝐺(𝑠)𝐻(𝑠) = 180° (2𝑘 + 1) 
𝑘 = 0,1,2 … 
Condição de módulo: 
5 
 
|𝐺(𝑠)𝐻(𝑠)| = 1 
 Nesse contexto, os valores de s que satisfazem essas duas condições (angular 
e de módulo) são as raízes da equação características ou os polos de malha fechada. 
Um lugar dos pontos no plano complexo que satisfaça somente a condição angular é 
o lugar das raízes. As raízes da equação característica que correspondem a dado 
valor ganho podem ser determinadas pela condição de módulo (OGATA, 2010). 
 Em alguns casos, G(s)H(s) envolve um ganho K: 
1 + 𝐾{
[(𝑠 + 𝑧1)(𝑠 + 𝑧2) … (𝑠 + 𝑧𝑚)]
[(𝑠 + 𝑝1)(𝑠 + 𝑝2) … (𝑠 + 𝑝𝑛)]
} = 0 
NISE (2013) observou uma série de condições que caracterizam o lugar das 
raízes: “o número de ramos do lugar geométrico das raízes é igual ao número de polos 
em malha fechada” e “o lugar geométrico das raízes é simétrico em relação ao eixo 
real.” Além disso, o “lugar geométrico das raízes se inicia nos polos finitos e infinitos 
de G(s)H(s) e termina nos zeros finitos e infinitos de G(s)H(s)” e “o lugar geométrico 
das raízes tende a retas assintóticas quando o lugar geométrico tende ao infinito”. 
4 Passos para a determinação gráfica do lugar das raízes 
 
Para começar a se definir o lugar das raízes deve-se, primeiramente, 
determinar a localização no gráfico dos polos e zeros de G(s)H(s). Um fato a se 
observar é que os ângulos de qualquer ponto s em relação aos polos e zeros de 
G(s)H(s) devem ser medidos em sentido anti-horário. O gráfico do lugar das raízes 
fornece as raízes em malha fechada no plano s em função da variação de K (0 < 𝐾 <
 ∞). Pelo fato dos polos complexos conjugados ou zero complexos conjugados (se 
existirem) serem simétricos, o lugar das raízes também é simétrico em relação ao eixo 
real σ. 
A segunda etapa para a construção do gráfico é determinar a localização do 
lugar das raízes no eixo real. Isso ocorre através da localização dos polos e zeros em 
malha aberta, (s= 0, s= -1, s= -2) no plano complexo. Nesse caso, não existem zeros 
e os pontos de partida do lugar das raízes são as raízes de G(s)H(s). São três trechos 
do lugar das raízes, o que é equivalente ao número de polos em malha aberta. Esse 
contexto pode ser melhor observado pelos pontos de teste abaixo: 
 Primeiro, o ponto de teste se encontra em uma região positiva, ou seja, s = σ > 
0. Assim, para qualquer ponto nessa condição, encontra-se: 
6 
 
∠𝑠 = ∠(𝑠 + 1) = ∠(𝑠 + 2) = 0° 
 Ou seja, a condição de ângulo para s = σ > 0 não é satisfeita. 
 No segundo ponto de teste, tem-se que s= -1 < σ < 0. Assim: 
∠𝑠 = 180° 
∠(𝑠 + 1) = ∠(𝑠 + 2) = 0°, isto é: 
−∠𝑠 − ∠(𝑠 + 1) − ∠(𝑠 + 2) = −180° 
 Nesse segundo teste, a condição é satisfeita (- 180°) e o trecho -1 < σ < 0 
pertence ao lugar das raízes. No terceiro ponto de teste, s = -2 < σ < -1 tem-se o 
seguinte raciocínio: 
∠𝑠 = 180° 
∠(𝑠 + 1) = 180° 
∠(𝑠 + 2) = 0° 
 Essas condições resultam em: 
−∠𝑠 − ∠(𝑠 + 1) − ∠(𝑠 + 2) = −360° 
 Mais um exemplo em que a condição não é satisfeita e o trecho -2 < σ < -1 não 
pertence ao lugar das raízes. No último ponto de teste parte-se de𝑠 = −∞ < 𝜎 < −2, 
assim: 
∠𝑠 = 180° 
∠(𝑠 + 1) = 180° 
∠(𝑠 + 2) = 180° 
 Essas condições resultam em: 
−∠𝑠 − ∠(𝑠 + 1) − ∠(𝑠 + 2) = −3𝑥180° 
 Assim, o trecho −∞ < 𝜎 < −2 pertence ao lugar das raízes. Nesse caso, no 
eixo real, o lugar das raízes está situado entre −1 < 𝜎 < 0 𝑒 − ∞ < 𝜎 < −2 (ponto de 
testes 2 e 4). 
 A terceira etapa é achar as assíntotas no lugar das raízes. De forma genérica, 
pode-se determinar o ângulo das assíntotas através da seguinte equação: 
â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑎𝑠 𝑎𝑠𝑠í𝑛𝑡𝑜𝑡𝑎𝑠 =
[±180°(2𝑘 + 1)]
𝑛 − 𝑚
 
 Onde k = 0, 1, 2...; n é o número de polos finitos e m o número de zeros infinitos 
de G(s)H(s). Como o ângulo se repete à medida que k varia, então os ângulos distintos 
são determinados como 60°, -60° e 180°, isto é, existem três assíntotas. A que 
corresponde ao ângulo de 180° é o eixo real negativo (OGATA, 2010). Além disso, o 
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ponto de intersecção das assíntotas σa pode ser calculada a partir da seguinte 
equação: 
𝜎𝑎 =
𝑎𝑛−1 − 𝑏𝑚−1
(𝑛 − 𝑚)
 
 Onde: 
 an-1 = Σ polos em malha aberta 
 bm-1 = Σ zeros em malha aberta 
 A quarta etapa do método do lugar das raízes envolve o cálculo do ponto de 
saída do eixo real, denominado do inglês de breakway point e o ponto de chegada 
(break-in). Nesse contexto, o ponto de saída do eixo imaginário se encontra entre os 
polos de malha aberta s = 0 e s = -1 e equivale a um ponto onde os polos são duplos. 
Os pontos de chegada e partida podem ser determinados pela seguinte equação: 
𝑓(𝑠) = 𝐵(𝑠) + 𝐾𝐴(𝑠) = 0 
 Nesse caso, A(s) e B(s) não contém K e f(s) tem múltiplas raízes onde: 
𝑑𝑓(𝑠)
𝑑𝑠
= 0 
 Diferenciando essas equações se obtém: 
𝑑𝑓(𝑠)
𝑑𝑠
= 𝐵′(𝑠) + 𝐾𝐴′(𝑠) = 0 
 Onde 𝐴′ =
𝑑𝐴(𝑠)
𝑑𝑠
 e 𝐵′(𝑠) =
𝑑𝐵(𝑠)
𝑑𝑠
. Assim, 𝐾 = −
𝐵′(𝑠)
𝐴′(𝑠)
 
 Substituindo K, tem-se: 
𝑓(𝑠) = 𝐵(𝑠) − [
𝐵′(𝑠)
𝐴′(𝑠)
] 𝐴(𝑠) = 0 𝑜𝑢 𝐵(𝑠)𝐴′(𝑠) − 𝐵′(𝑠)𝐴(𝑠) = 0 
 Se calcular a derivada de 𝐾 −
𝐵(𝑠)
𝐴(𝑠)
 , obtém-se: 
𝑑𝐾
𝑑𝑠
=
[𝐵′(𝑠)𝐴(𝑠) − 𝐵(𝑠)𝐴′(𝑠)]
𝐴2(𝑠)
 
 Se for imposto que dK/ds = 0, então os pontos de partida e chegada podem ser 
determinados pela seguinte equação: 
𝑑𝐾
𝑑𝑠
= −(𝐵′(𝑠)𝐴(𝑠) − 𝐵(𝑠)𝐴′(𝑠)) = 0 
 A quinta fase envolve determinar os pontos onde o lugar das raízes cruza o 
eixo imaginário. Para isso, utiliza-se o critério de estabilidade de Routh-Hurwitz. Parte-
se da seguinte equação característica: 
𝑠3 + 3𝑠2 + 2𝑠 + 𝐾 = 0 
8 
 
 Seguindo a tabulação de Routh-Hurwitz: 
s3 1 2 
s2 3 K 
s1 6 − 𝐾
3
 
 
s0 K 
 
 Na linha referente a s1, tem-se 
6−𝐾
3
> 0 → 𝐾 < 6, sendo K=6 o valor de 
transição. Utilizando-se a equação auxiliar referente a s2, tem-se: 
3𝑠2 + 𝐾 = 0 → 3𝑠2 + 6 = 0 → 𝑠2 = −2 → 𝑠 = ±𝑗√2 
 As frequências no ponto de cruzamento do eixo imaginário são, 𝜔 = ±√2.Uma 
outra opção apontada por OGATA (2010) é fazer s = jω na equação característica, 
igualar a zero na parte real e na imaginária e, depois, resolver para ω e K. Conforme 
ilustrado abaixo a equação característica com s = jω: 
(𝑗𝜔)3 + 3(𝑗𝜔)2 + 2(𝑗𝜔) + 𝐾 = 0 
Ou (𝐾 − 3𝜔2) + 𝑗(2𝜔 − 𝜔3) = 0 
 Igualando parte real e a imaginária com zero, tem-se: 
𝐾 − 3𝜔2 = 0 
2𝜔 − 𝜔3 = 0 
 Onde 𝜔 = ±√2, K = 6 ou ω = 0, K = 0. Nesse sentido, o lugar das raízes cruza 
o eixo imaginário em 𝜔 = ±√2 e o valor de K no ponto de cruzamento é 6. Um ramo 
do lugar das raízes no eixo real toca no imaginário em ω = 0, nesse ponto o valor de 
K é zero. 
O sexto passo envolve escolher os 
pontos de teste na vizinhança do eixo jω 
e da origem, como pode ser observado na 
figura ao lado. 
A sétima etapa é desenhar o lugar 
das raízes, a partir dos dados anteriores 
e, finalmente, a oitava fase envolve 
determinar um par de polos complexos 
conjugados dominantes de malha 
Fonte: OGATA, 2010 
Figura 1 – Pontos de teste na vizinhança 
de jω e da origem 
9 
 
fechada, de modo que o coeficiente de amortecimento ζ seja 0,5. Para tanto, parte-se 
da informação de que cosβ = ζ. Assim: 
𝛽 = 𝑐𝑜𝑠−10,5 = ±60° 
 Desse modo, a solução do problema pode ser determinada pela intersecção 
entre retas com um ângulo de 60° em relação ao eixo real e o lugar das raízes. Os 
polos correspondentes podem ser determinados no gráfico: 
𝑠1 = −0.3337 + 𝑗0.5780 
𝑠2 = −0.3337 − 𝑗0.5780 
 Para descobrir o valor de K correspondente pode-se utilizar a condição de 
módulo: 
|𝐺(𝑠)𝐻(𝑠) = |
𝐾
[𝑠(𝑠 + 1)(𝑠 + 2)]
| = 1 
|𝐾| = |𝑠(𝑠 + 1)(𝑠 + 2)|𝑠=−0.3337+𝑗0.5780 → 𝐾 = 1.0383 
 Com esse valor de K pode-se achar o terceiro polo em s = - 2.3326 (OGATA, 
2010). 
 
5 Conclusão 
 
 Nas páginas anteriores foi apresentado o método lugar das raízes desenvolvido 
por W. R. Evans. Com o desenvolvimento do MATLAB e de outros aplicativos, a 
representação gráfica do lugar das raízes foi facilitada, porém, o conhecimento dos 
meandros desse método faz com que o projetista possa compreender como o 
controlador dinâmico influenciará na localização dos polos. 
 Em linhas gerais o método se propõe a construir uma representação gráfica a 
partir das raízes da equação característica (polos em malha fechada) quando K varia 
de 0 ao infinito. Seus valores são obtidos a partir dos dados do sistema em malha 
aberta. Para a elaboração desse gráfico, oito etapas são seguidas: (1) localizar os 
polos e zeros de G(s)H(s) no plano s; (2) determinar a localização do lugar das raízes 
no eixo real; (3) determinar as assíntotas do lugar das raízes; (4) calcular os pontos 
de chegada (break-in) e de partida (breakaway) do eixo real; (5) determinar o ângulo 
de partida de um polo complexo ou ângulo de chegada em um zero complexo de 
malha aberta; (6) determinar os pontos onde o lugar das raízes cruza o eixo 
imaginário; (7) determinar o lugar das raízes na vizinhança global em torno da origem 
10 
 
e (8) identificar os polos de malha fechada desejados e os valores do ganho K 
associados. 
 
6 Referências 
 
FRANKLIN, Gene F.; POWELL, J. David.; EMAMI-NAEINI, Abbas. Sistemas de 
Controle para Engenharia. Porto Alegre/RS: Bookman Editora, 2013 
NISE, Norman S. Engenharia de Sistema de Controle. 6° ed. Rio de Janeiro: LTC, 
2013. 
OGATA, Kartsuhiko. Engenharia de Controle Moderno. 5°ed. São Paulo: Pearson 
Prentice Hall, 2010.