Tema_14_Lugar_Geometrico_Raizes

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Engenharia de Controle
Tema 14 – O Lugar Geométrico das Raízes e suas 
Propriedades
Fabrício Bradaschia
Universidade Federal de Pernambuco – UFPE
Centro de Tecnologia e Geociências – CTG
Departamento de Engenharia Elétrica – DEE
Objetivos do Tema
Os objetivos deste tema são:
• Definir matematicamente o Lugar Geométrico das Raízes (LGR);
• Apresentar as principais regras de esboço do LGR em função do
ganho 𝐾;
• Apresentar as principais regras de refinamento do LGR em função
do ganho 𝐾.
O Lugar Geométrico das Raízes
O LGR (root locus method) é uma representação gráfica do caminho
percorrido pelos polos em malha fechada de um sistema a medida
que um parâmetro do sistema varia de zero a infinito.
Este método é poderoso na análise e no projeto de controladores, já
que é possível ter uma ideia qualitativa de como as respostas
transitória e estacionária do sistema mudam em função de um
determinado parâmetro variável, além de ajudar na obtenção da
faixa de estabilidade do sistema e o grau de sensibilidade dos polo
com relação a este parâmetro.
Este método foi introduzido por Walter Richard Evans nos EUA em
1948 e tem sido extensivamente utilizado no projeto de sistemas de
controle.
O Lugar Geométrico das Raízes
Até o momento, os métodos de projeto apresentados partiam do
princípio que o sistema em malha fechada possuía polos
dominantes, de forma que o sistema poderia ser simplificado para
um sistema de 1ª ou 2ª ordens.
Entretanto, se o sistema for de ordem superior e os polos e zeros
não puderem ser desprezados, o uso do LGR em conjunto com o
critério de estabilidade de Routh-Hurwitz se torna uma poderosa
ferramenta de projeto.
O LGR pode ser utilizado para descrever qualitativamente o
desempenho de um sistema à medida que diversos parâmetros são
alterados. A descrição qualitativa pode, então, ser verificada através
de uma análise quantitativa posterior.
O Lugar Geométrico das Raízes
Vale ressaltar que os polos da função de transferência em malha
aberta são facilmente obtidos e não mudam com a variação do
ganho estático do controlador ou planta.
Por outro lado, os polos da função de transferência em malha
fechada são difíceis de se obter, já que, para cada variação do ganho
do controlador ou planta, o polinômio característico muda,
alterando, consequentemente, os valores de todos os polos do
sistema.
Por exemplo, considere um sistema de controle em malha fechada
com um controlador do tipo proporcional de ganho 𝐾 e com planta
e sensores definidos como uma divisão de polinômios em 𝑠.
O Lugar Geométrico das Raízes
Assim:
O Lugar Geométrico das Raízes
Recapitulando, a função de transferência em malha aberta do
sistema é igual a 𝐾𝐺 𝑠 𝐻(𝑠), enquanto a função de transferência
em malha fechada é igual a T s = 𝐾𝐺 𝑠 / 1 + 𝐾𝐺 𝑠 𝐻(𝑠) .
Considerando que
𝐺 𝑠 =
𝑁𝐺 𝑠
𝐷𝐺(𝑠)
e 𝐻 𝑠 =
𝑁𝐻 𝑠
𝐷𝐻(𝑠)
As funções de transferências em malha aberta e em malha fechada
são iguais a
𝑀𝐴 𝑠 = 𝐾
𝑁𝐺 𝑠
𝐷𝐺(𝑠)
𝑁𝐻 𝑠
𝐷𝐻(𝑠)
e 𝑇 𝑠 =
𝐾𝑁𝐺 𝑠 𝐷𝐻(𝑠)
𝐷𝐺 𝑠 𝐷𝐻 𝑠 + 𝐾𝑁𝐺 𝑠 𝑁𝐻 𝑠
Não depende de 𝐾 Depende de 𝐾
O Lugar Geométrico das Raízes
Uma vez que a resposta transitória e a estabilidade do sistema
dependem dos polos de 𝑇 𝑠 , não há conhecimento do
desempenho do sistema a menos que o denominador seja fatorado
para valores específicos de 𝐾. O lugar geométrico das raízes é
utilizado, então, para fornecer uma representação clara dos
caminhos percorridos pelos polos de 𝑇(𝑠) à medida que 𝐾 varia.
Sem perda de generalidade, um ponto qualquer no plano 𝑠 pode ser
representado na forma cartesiana pelo numero complexo s = 𝜎 +
𝑗𝜔. Este ponto também pode ser representado na forma polar como
𝑀∠𝜃.
Agora, considere que este ponto no plano 𝑠 é substituído na função
de transferência 𝐹 𝑠 = 𝑠 + 𝑎 .
O Lugar Geométrico das Raízes
Nota-se que 𝐹(𝑠) possui um zero em −𝑎. Logo, se o vetor 𝐹(𝑠) for
transladado de 𝑎 unidade à esquerda, obtém-se uma representação
alternativa do vetor 𝐹(𝑠) que se origina do zero em −𝑎 e termina
na posição 𝑠 = 𝜎 + 𝑗𝜔.
As representações gráficas de 𝑠 e de 𝐹(𝑠) são vistas abaixo.
O Lugar Geométrico das Raízes
Por exemplo, considere que 𝐹 𝑠 = 𝑠 + 7 e que se deseja calcular
𝐹 𝑠 no ponto 𝑠 = 5 + 𝑗2. Uma forma alternativa de calcular 𝐹 𝑠 é
representar um vetor que se inicia do zero na posição −7 e que
termina na posição 5 + 𝑗2, como visto abaixo.
O Lugar Geométrico das Raízes
De forma genérica, uma função de transferência 𝐹(𝑠) pode ser
representada, na forma fatorada, como produtos de fatores no
numerador e denominador, ou seja,
𝐹 𝑠 =
 𝑖=1
𝑚 𝑠 + 𝑧𝑖
 𝑗=1
𝑛 𝑠 + 𝑝𝑗
.
Logo, cada fator do numerador e denominador pode ser visto como
um vetor que sai do zero ou polo e termina no ponto 𝑠 de interesse.
Assim, o módulo da função de transferência 𝐹 𝑠 é igual a
𝑀 = 𝐹(𝑠) =
 𝑖=1
𝑚 𝑠 + 𝑧𝑖
 𝑗=1
𝑛 𝑠 + 𝑝𝑗
=
 distâncias de s até os zeros
 distâncias de s até os polos
.
O Lugar Geométrico das Raízes
De forma equivalente, o ângulo 𝜃 de 𝐹(𝑠) no ponto de interesse é
igual a
𝜃 = ∠𝐹 𝑠 = 
𝑖=1
𝑚
∠ 𝑠 + 𝑧𝑖 − 
𝑗=1
𝑛
∠ 𝑠 + 𝑝𝑗 =
= ângulos de s até os zeros − ângulos de s até os polos .
Um ângulo de 𝑠 até um zero/polo é o ângulo medido entre a
extensão positiva do eixo real e o vetor traçado do ponto 𝑠 de
interesse até o zero/polo.
O Lugar Geométrico das Raízes
Exercício 1: Determine o valor de 𝐹(𝑠) no ponto 𝑠 = −3 + 𝑗4
usando a notação vetorial.
𝐹 𝑠 =
𝑠 + 1
𝑠 𝑠 + 2
O Lugar Geométrico das Raízes
Os vetores que partem do zero e dos polos até o ponto −3 + 𝑗4 são:
𝑠 + 1 → 20∠116,6∘
𝑠 → 5∠126,9∘
𝑠 + 2 → 17∠104,0∘
𝑀 =
20
5 17
𝜃 = 116,6∘ − 126,9∘ − 104,0∘
𝜃 = −114,3∘
O Lugar Geométrico das Raízes
Exercício 2: Considere um sistema de rastreamento que utiliza uma
câmera de segurança para seguir automaticamente um indivíduo.
Esboce, no plano 𝑠, as posições dos polos de malha fechada para
0 ≤ 𝐾 ≤ 50:
O Lugar Geométrico das Raízes
O efeito da variação do ganho em malha aberta, 𝐾, nas posições dos
polos resultantes em malha fechada pode ser visto na tabela abaixo:
O Lugar Geométrico das Raízes
À medida que o ganho 𝐾
aumenta, os polos saem de
suas posições de polos de
malha aberta, em −10 e em
0, e se deslocam pelo eixo
real, até se encontrarem em
− 5. Depois, cada polo segue
um percurso vertical pelo eixo
− 5, se tornando complexos
conjugados.
Gráfico
Material/Tema14_Exercicio2.m
O Lugar Geométrico das Raízes
Ao substituir a posições
discretas dos polos por linhas
contínuas, forma-se uma
representação dos caminhos
dos polos em malha fechada
à medida que o ganho é
variado. A esta representação
se dá o nome de Lugar
Geométrico das Raízes (LGR).
Gráfico
Material/Tema14_Exercicio2.m
O Lugar Geométrico das Raízes
Para o exemplo apresentado, as seguintes conclusões podem ser
apresentadas:
• O sistema é superamortecido para 𝐾 < 25 , criticamente
amortecido para 𝐾 = 25 e subamortecido para 𝐾 > 25;
• No caso subamortecido, o tempo de acomodação é constante
para qualquer valor de 𝐾, pois a parte real dos polos não muda;
• No caso subamortecido, um aumento de 𝐾 causa o aumento na
frequência natural amortecida, além da diminuição do
coeficiente de amortecimento, ou seja, um aumento da máxima
ultrapassagem percentual;
• Por fim, o sistema é estável para todo 𝐾 > 0.
Propriedades do LGR
A análise do LGR realizada para o sistema de ordem 2 pode ser
expandida para sistemas de ordem superior.
Entretanto, fatorar um polinômio característico de quinta ou décima
ordens sem um computador é uma atividade complexa. Assim, é
importante definir um conjunto de propriedades do LGR de forma a
permitir que o projetista realize um esboço do LGR.
Considere uma planta, 𝐺 𝑠 , um sensor, 𝐻 𝑠 , e um controlador
proporcional, 𝐾, onde 0 ≤ 𝐾 < ∞, formando um sistema em malha
fechada:
𝑇 𝑠 =
𝐾𝐺(𝑠)
1 + 𝐾𝐺 𝑠 𝐻(𝑠)Propriedades do LGR
Um ponto 𝑠′ do plano complexo é um polo do sistema se o
denominador da função de transferência, 𝑇(𝑠), se torna nulo para
𝑠′. Em outras palavras, 𝑠′ é um polo se:
𝐾𝐺 𝑠′ 𝐻 𝑠′ = −1 = 1∠ 1 + 2𝑛 180∘, ∀𝑛 inteiro
Alternativamente, o ponto 𝑠′ é um polo se as duas condições abaixo
forem respeitadas simultaneamente:
• 𝐾𝐺(𝑠′)𝐻(𝑠′) = 1
• ∠𝐺 𝑠′ 𝐻 𝑠′ = 1 + 2𝑛 180∘
O ganho 𝐾 foi retirado da segunda condição, pois ele não altera o
ângulo do número complexo.
Propriedades do LGR
A segunda condição estabelece que, se um ponto 𝑠′ faz com que o
número complexo 𝐺 𝑠′ 𝐻 𝑠′ tenha ângulo igual a um múltiplo
ímpar de 180∘, então este ponto é um polo de malha fechada para
um valor específico de 𝐾 ainda desconhecido, ou seja, o ponto 𝑠′ faz
parte do LGR do sistema analisado.
O valor desconhecido de 𝐾 que torna o ponto 𝑠′ um polo do sistema
pode ser encontrado ao isolar 𝐾 na primeira condição, ou seja:
∠𝐺 𝑠′ 𝐻 𝑠′ = 1 + 2𝑛 180∘ ⇒ 𝐾𝑠′ =
1
𝐺(𝑠′) 𝐻(𝑠′)
Propriedades do LGR
É importante deixar claro que as condições de módulo e ângulo
mostradas anteriormente permitem determinar se um ponto
qualquer do plano 𝑠 faz parte ou não do percurso de algum polo de
malha fechada do sistema para a variação do ganho 𝐾 do sistema.
Em outras palavras, somente analisando 𝐾𝐺 𝑠 𝐻(𝑠) , que é a
função de transferência em malha aberta do sistema, é possível
determinar o lugar geométrico dos polos de malha fechada do
sistema.
Esse conceito é a base de toda a teoria e de todas as propriedades
do LGR que serão vistas daqui para frente.
Propriedades do LGR
Para o Exercício 2 previamente visto, tem-se que:
𝐾𝐺 𝑠 𝐻 𝑠 =
𝐾
𝑠 𝑠 + 10
Nota-se que, para qualquer 𝑠′ ∈ −10,0 , tem-se que
∠𝐺 𝑠′ 𝐻 𝑠′ = 180∘, pois o ângulo do polo na origem é zero e o
ângulo do polo em −10 é igual a 180∘. Logo, estes valores de 𝑠′ são
polos de malha fechada para valores diversos de 𝐾. Por exemplo, o
ponto específico em 𝑠′ = −0,528 é um polo do sistema para:
𝐾 = −0,528 9,472 = 5
É possível generalizar este conceito considerando um caso mais
elaborado, no qual 𝐺 𝑠 𝐻 𝑠 possui polos e zeros.
Propriedades do LGR
Considere o sistema abaixo com dois polos e dois zeros em malha
aberta:
\
Propriedades do LGR
Para um ponto 𝑠′ ser um polo do sistema em malha fechada
(pertencer ao LGR), tem que satisfazer, primeiro, a condição angular:
∠𝐺 𝑠′ 𝐻 𝑠′ = ∠ 𝑠′ + 4 +
+∠ 𝑠′ + 3 − ∠ 𝑠′ + 2 −
−∠ 𝑠′ + 1 = 𝜃1 + 𝜃2 − 𝜃3 − 𝜃4 ⇒
𝜃1 + 𝜃2 − 𝜃3 − 𝜃4 = 1 + 2𝑛 180
∘
Propriedades do LGR
Se a condição angular for satisfeita para o ponto 𝑠’ de interesse, o
valor do ganho de malha aberta 𝐾 correspondente é igual a:
𝐾 =
1
𝐺 𝑠′ 𝐻 𝑠′
𝐾 =
𝑠′ + 2 𝑠′ + 1
𝑠′ + 4 𝑠′ + 3
Propriedades do LGR
Analisando o exemplo apresentado anteriormente e conhecendo os
zeros e os polos da função de transferência em malha aberta,
𝐾𝐺 𝑠 𝐻 𝑠 , do sistema, pode-se concluir que:
• Um ponto 𝑠′ está no LGR para um valor específico de 𝐾 se a soma
dos ângulos dos zeros menos a soma dos ângulos dos polos,
todos traçados até o ponto 𝑠′, der um múltiplo ímpar de 180∘, ou
seja:
 𝜃𝑧𝑒𝑟𝑜𝑠 − 𝜃𝑝𝑜𝑙𝑜𝑠 = 1 + 2𝑛 180
∘
Propriedades do LGR
Analisando o exemplo apresentado anteriormente e conhecendo os
zeros e os polos da função de transferência em malha aberta,
𝐾𝐺 𝑠 𝐻 𝑠 , do sistema, pode-se concluir que (continuação):
• Se a condição anterior for satisfeita, o valor específico de 𝐾 é
encontrado ao dividir o produto das distâncias de 𝑠′ até os polos
pelo produto das distâncias de 𝑠′ até os zeros, ou seja:
𝐾 =
 distâncias de 𝑠′ até os polos
 distâncias de 𝑠′ até os zeros
Esboçando o LGR
O LGR pode ser obtido varrendo-se todos os pontos do plano 𝑠 e
destacando aqueles cuja soma dos ângulos resulta em um múltiplo
ímpar de 180∘. Tal tarefa é complexa sem o uso de um poderoso
computador.
Assim sendo, existem seis regras que ajudam o projetista a esboçar
o LGR, evitando a tarefa de buscar em todo o plano. Uma vez que o
esboço foi obtido, é possível refiná-lo, utilizando quatro regras
específicas de refinamento, que serão vistas posteriormente.
Após a realização do esboço e do refinamento, o projetista escolhe,
no LGR, as posições de interesse dos polos de malha fechada, de
forma que o sistema de controle atenda aos requisitos de projeto
previamente especificados.
Esboçando o LGR
Regra 1 – Polos e Zeros em Malha Aberta
Fatore o numerador e o denominador da função de transferência
em malha aberta, 𝐾𝐺 𝑠 𝐻 𝑠 , encontrando os zeros e polos finitos.
Desenhe os zeros como ‘o’ e os polos como ‘x’ no plano 𝑠.
Polo
Polo
Esboçando o LGR
Ramo 1
Ramo 22 polos
Regra 2 – Número de Ramos
Cada polo em malha fechada percorre um caminho à medida que o
ganho 𝐾 varia de zero a infinito (𝐾 ≥ 0). Esse caminho é chamado
de ramo. Assim, o número de ramos é igual ao número de polos
(finitos + infinitos) do sistema em malha fechada.
Esboçando o LGR
Regra 3 – Simetria
Se os polos complexos em malha fechada não forem conjugados, o
sistema terá coeficientes complexos e o sistema será não realizável.
Assim, o LGR de um sistema realizável é formado por polos reais ou
complexos conjugados, logo é simétrico em relação ao eixo real.
Simetria Horizontal
Esboçando o LGR
Regra 4 – Segmentos no Eixo Real
Para determinar se existem segmentos do LGR no eixo real do plano
𝑠, é necessário usar a propriedade do ângulo. A figura abaixo mostra
os polos e os zeros em malha aberta de um sistema genérico. Ao
calcular a contribuição angular dos polos e zeros nos pontos 𝑃1 a 𝑃4
sob o eixo real, nota-se que:
Esboçando o LGR
Regra 4 – Segmentos no Eixo Real
• Em cada ponto do eixo real, a contribuição angular dos pares de
polos e zeros complexos conjugados é nula;
• A contribuição angular dos polos e zeros sobre o eixo real e à
esquerda do ponto analisado é nula também;
Esboçando o LGR
Regra 4 – Segmentos no Eixo Real
• A única contribuição angular vem dos polos e zeros em malha
aberta sobre o eixo real que estejam à direita do ponto analisado;
• Para cada zero ou polo no eixo real à direita do ponto analisado,
soma-se 180∘ na contribuição angular;
Esboçando o LGR
Regra 4 – Segmentos no Eixo Real
• Assim, para se ter um somatório angular igual a um múltiplo
ímpar de 180∘, é necessário que haja um número ímpar de zeros
+ polos em malha aberta sobre o eixo real à direita do ponto
analisado.
Esboçando o LGR
Regra 4 – Segmentos no Eixo Real
Em resumo, no eixo real, o LGR existe sempre à esquerda de um
número ímpar de polos + zeros finitos em malha aberta sobre o eixo
real. No exemplo abaixo, o LGR só existe no eixo real nos segmentos
que contêm 𝑃1 e 𝑃3:
Esboçando o LGR
Regra 4 – Segmentos no Eixo Real
Neste outro exemplo, o LGR só existe no eixo real para os segmentos
entre os polos −1 e −2 e entre os zeros −3 e −4:
Esboçando o LGR
Regra 5 – Pontos de Início e Término
O ponto onde um ramo do LGR se inicia, com ganho 𝐾 = 0, e
termina, com ganho 𝐾 = +∞ , é um importante critério para
expandir o esboço do LGR além do eixo real.
Para um melhor entendimento desta regra, considere a função de
transferência em malha fechada, 𝑇 𝑠 , como uma função dos
polinômios numerador e denominador de 𝐺 𝑠 e 𝐻 𝑠 :
𝑇 𝑠 =
𝐾𝐺(𝑠)
1 + 𝐾𝐺 𝑠 𝐻(𝑠)
=
𝐾𝑁𝐺 𝑠 𝐷𝐻 𝑠
𝐷𝐺 𝑠 𝐷𝐻 𝑠 + 𝐾𝑁𝐺 𝑠 𝑁𝐻 𝑠
Esboçando o LGR
Regra 5 – Pontos de Início e Término
Considerando, agora, somente o polinômio característico e
aplicando o limite de 𝐾 tendendo a zero, chega-se a:
lim
𝐾→0
𝐷𝐺 𝑠 𝐷𝐻 𝑠 + 𝐾𝑁𝐺 𝑠 𝑁𝐻 𝑠 = 0 = 𝐷𝐺 𝑠 𝐷𝐻 𝑠 = 0
Observa-se que os polos do sistema em malha fechada, 𝑇 𝑠 , se
aproximam dos polos de 𝐺 𝑠 e 𝐻 𝑠 para valores pequenos de 𝐾.
Assim, conclui-se que os ramos dos polos em malha fechada de um
sistema se iniciam, para 𝐾 = 0, nos polos em malha aberta do
sistema, 𝐺 𝑠 𝐻 𝑠 .
Esboçando o LGR
Regra 5 – Pontos de Início e Término
Aplicando, agora, olimite de 𝐾 tendendo a infinito, chega-se a:
Observa-se que os polos do sistema em malha fechada, 𝑇 𝑠 , se
aproximam dos zeros de 𝐺 𝑠 e 𝐻 𝑠 para valores elevados de 𝐾.
Assim, conclui-se que os ramos dos polos em malha fechada de um
sistema terminam, para 𝐾 → ∞, nos zeros em malha aberta do
sistema, 𝐺 𝑠 𝐻 𝑠 .
lim
𝐾→∞
𝐷𝐺 𝑠 𝐷𝐻 𝑠 + 𝐾𝑁𝐺 𝑠 𝑁𝐻 𝑠 = 0 =
lim
𝐾→∞
𝐷𝐺 𝑠 𝐷𝐻 𝑠
𝐾
+ 𝑁𝐺 𝑠 𝑁𝐻 𝑠 = 0 = 𝑁𝐺 𝑠 𝑁𝐻 𝑠 = 0
Esboçando o LGR
Regra 5 – Pontos de Início e Término
É importante lembrar que um zero é o valor de 𝑠 que faz a função
de transferência ser nula, assim como um polo é o valor de 𝑠 que faz
a função de transferência ser infinita. Este conceito é válido
inclusive para valores de 𝑠 = ±∞.
Assim, para um sistema que possua 𝑝 polos finitos e 𝑧 zeros finitos,
pode-se afirmar que:
• Se 𝑝 > 𝑧, então existem 𝑝 − 𝑧 zeros no infinito;
• Se 𝑝 < 𝑧, então existem 𝑧 − 𝑝 polos no infinito;
• Se 𝑝 = 𝑧, então não há polos ou zeros no infinito.
Esboçando o LGR
Regra 5 – Pontos de Início e Término
Assim, a regra 5 se resume em: os ramos do LGR se iniciam nos
polos finitos ou infinitos de 𝐺 𝑠 𝐻 𝑠 e terminam nos zeros finitos
ou infinitos de 𝐺 𝑠 𝐻 𝑠 .
Os desafios que restam para esboçar o LGR são:
• Descobrir o par polo-zero em malha aberta que marca o início e
fim de cada ramo do sistema;
• Descobrir que tipo de percurso o ramo faz quando o polo ou o
zero estiver no infinito.
Essas respostas são respondidas pela regra 6 vista a seguir.
Esboçando o LGR
Regra 6 – Assíntotas (Comportamento no Infinito)
O cálculo das assíntotas de convergência dos ramos é muito
importante para o esboço do LGR. A prova da fórmula é complexa e
foge ao escopo da disciplina (a prova pode ser vista aqui). A regra é:
O LGR tende para as retas assintóticas quando K tende a zero ou a
infinito. Além disso, a equação das assíntotas é dada pela interseção
com o eixo real, 𝜎𝑎, e pelo ângulo de inclinação, 𝜃𝑎, dados abaixo:
𝜎𝑎 =
 polos finitos − zeros finitos
número de polos finitos − número de zeros finitos
𝜃𝑎 =
2𝑛 + 1 180∘
número de polos finitos − número de zeros finitos
Material/Prova_Assintotas_LGR.pdf
Esboçando o LGR
Regra 6 – Assíntotas (Comportamento no Infinito)
Assim, para um sistema que possua 𝑝 polos finitos e 𝑧 zeros finitos,
pode-se afirmar que:
• Se 𝑝 = 𝑧, então não existe polo ou zero no infinito e não há
assíntota no LGR;
• Se 𝑝 > 𝑧, então existem 𝑝 − 𝑧 zeros no infinito e 𝑝 − 𝑧 assíntotas
no LGR. Cada assíntota corresponde ao comportamento de um
ramo quando 𝐾 → ∞;
• Se 𝑝 < 𝑧, então existem z − 𝑝 polos no infinito e 𝑧 − 𝑝 assíntotas
no LGR. Cada assíntota corresponde ao comportamento de um
ramo quando 𝐾 → 0.
Esboçando o LGR
Exercício 3: Determine o esboço do LGR do sistema abaixo.
Esboçando o LGR
O primeiro passo é determinar os polos e zeros finitos e infinitos em
malha aberta do sistema:
• Polos: 0, −1, −2, −4;
• Zeros: −3, ±∞, ±∞, ±∞.
O LGR apresenta quatro ramos simétricos, cujos segmentos válidos
no eixo real são:
• Entre 0 e −1;
• Entre −2 e −3;
• Entre −4 e −∞.
Esboçando o LGR
O primeiro segmento é limitado por dois polos. Assim, dois ramos se
iniciam no segmento, um em cada polo, se tocam no meio do
caminho e, posteriormente, saem do eixo real para se encontrarem
com dois zeros no infinito.
O segundo segmento é limitado por um polo e um zero. Assim, um
ramo sai do polo e termina do zero sem sair do eixo real.
O terceiro segmento é limitado por um polo finito e um zero no −∞.
Assim, o ramo se inicia no polo e termina em −∞.
Basta agora descobrir para que direções os dois zeros tendem ao
infinito. Isto é descoberto pelo cálculo das assíntotas do LGR.
Esboçando o LGR
A interseção das assíntotas com o eixo real é igual a:
𝜎𝑎 =
 polos finitos − zeros finitos
número de polos finitos − número de zeros finitos
𝜎𝑎 =
0 − 1 − 2 − 4 − −3
4 − 1
= −
4
3
Os ângulos das assíntotas que cruzam o eixo real em −4/3 são:
𝜃𝑎 =
2𝑛 + 1 180∘
número de polos finitos − número de zeros finitos
𝜃𝑎 =
2𝑛 + 1 180∘
3
= [60∘, 180∘, 300∘]
Esboçando o LGR
Ao esboçar as três
assíntotas, nota-se
que a assíntota de
180∘ corresponde ao
ramo que parte de −4
e vai a −∞. Por outro
lado, as assíntotas de
60∘ e 300∘ definem as
direções que seguem
os ramos dos polos 0 e
− 1.
Gráfico
Material/Tema14_Exercicio3.m
Esboçando o LGR
Exercício 4: Determine o esboço do LGR do sistema cuja função de
transferência em malha aberta é:
𝐾𝐺 𝑠 𝐻 𝑠 =
𝐾
𝑠 + 2 𝑠 + 4 𝑠 + 6
Esboçando o LGR
O primeiro passo é determinar os polos e zeros finitos e infinitos em
malha aberta do sistema:
• Polos: −2, −4, −6;
• Zeros: ±∞, ±∞, ±∞.
O LGR apresenta três ramos simétricos, cujos segmentos válidos no
eixo real são:
• Entre −2 e −4;
• Entre −6 e −∞.
O primeiro segmento define dois ramos que partem dos polos e vão
para os zeros no infinito pelas assíntotas. O segundo segmento
defino um ramo que parte de −6 e vai para −∞.
Esboçando o LGR
A interseção das assíntotas com o eixo real é igual a:
𝜎𝑎 =
 polos finitos − zeros finitos
número de polos finitos − número de zeros finitos
𝜎𝑎 =
−2 − 4 − 6 − 0
3 − 0
= −
12
3
= −4
Os ângulos das assíntotas que cruzam o eixo real em −4 são:
𝜃𝑎 =
2𝑛 + 1 180∘
número de polos finitos − número de zeros finitos
𝜃𝑎 =
2𝑛 + 1 180∘
3
= [60∘, 180∘, 300∘]
Esboçando o LGR
Assim, o esboço do LGR pode ser visto abaixo:
Material/Tema14_Exercicio4.m
Material/Tema14_Exercicio4.m
Esboçando o LGR
Exercício 5: Determine o esboço do LGR do sistema cuja função de
transferência em malha aberta é dada abaixo. Considere dois
possíveis valores para 𝑧: 𝑧 = 2 e 𝑧 = 5.
𝐾𝐺 𝑠 𝐻 𝑠 =
𝐾 𝑠 + 𝑧 2
𝑠 + 1 2 𝑠 + 4 𝑠 + 8
Esboçando o LGR
Primeiramente, para 𝑧 = 2, determina-se os polos e zeros finitos e
infinitos em malha aberta do sistema:
• Polos: −1, −1, −4, −8;
• Zeros: −2, −2, ±∞,±∞.
O LGR apresenta quatro ramos simétricos, tendo somente um
segmento válido no eixo real:
• Entre −4 e −8.
Este segmento define dois ramos que partem dos polos −4 e −8, se
encontram em algum ponto, saem do eixo real e vão para os zeros
no infinito pelas assíntotas. Outros dois ramos saem de −1 direto
para plano complexo e se encontram nos zeros em −2 (simetria).
Esboçando o LGR
A interseção das assíntotas com o eixo real é igual a:
𝜎𝑎 =
 polos finitos − zeros finitos
número de polos finitos − número de zeros finitos
𝜎𝑎 =
−1 − 1 − 4 − 8 − −2 − 2
4 − 2
= −
10
2
= −5
Os ângulos das assíntotas que cruzam o eixo real em −5 são:
𝜃𝑎 =
2𝑛 + 1 180∘
número de polos finitos − número de zeros finitos
𝜃𝑎 =
2𝑛 + 1 180∘
2
= [90∘, 270∘]
Esboçando o LGR
Assim, o esboço do LGR para 𝑧 = 2 pode ser visto abaixo:
O exato ponto de
saída do eixo real
será visto nas regras
de refinamento do
LGR.
Material/Tema14_Exercicio5.m
Material/Tema14_Exercicio5.m
Esboçando o LGR
Para 𝑧 = 5, determina-se os polos e zeros finitos e infinitos em
malha aberta do sistema:
• Polos: −1, −1, −4, −8;
• Zeros: −5, −5, ±∞,±∞.
O LGR apresenta quatro ramos simétricos, tendo dois segmentos
válidos no eixo real:
• Entre −4 e −5;
• Entre −5 e −8.
Estes dois segmentos definem dois ramos que partem dos polos em
− 4 e −8 e terminam nos zeros em −5. Outros dois ramos saem de
− 1 para o plano complexo e vão para o infinito pelas assíntotas.
Esboçando o LGR
A interseção das assíntotas com o eixo real é igual a:
𝜎𝑎 =
 polos finitos − zeros finitos
número de polos finitos − número de zeros finitos
𝜎𝑎 =
−1 − 1 − 4 − 8 − −5 − 5
4 − 2
= −
4
2
= −2
Os ângulos das assíntotas que cruzam o eixo real em −2 são:
𝜃𝑎 =
2𝑛 + 1 180∘
número de polos finitos − número de zeros finitos
𝜃𝑎 =
2𝑛 + 1 180∘
2
= [90∘, 270∘]
Esboçando o LGR
Assim, o esboço do LGR para 𝑧 = 5 pode ser visto abaixo:
Material/Tema14_Exercicio5.m
Material/Tema14_Exercicio5.m
Esboçando o LGR
Exercício 6: Determine o esboço do LGR do sistema cuja funçãode
transferência em malha aberta é :
𝐾𝐺 𝑠 𝐻 𝑠 =
𝐾 𝑠2 + 2𝑠 + 2
𝑠2 + 4𝑠 + 13 𝑠 + 3 𝑠 + 7
Esboçando o LGR
Primeiramente, determina-se os polos e zeros finitos e infinitos em
malha aberta do sistema:
• Polos: −2 + 3𝑗, −2 − 3𝑗, −3, −7;
• Zeros: −1 + 𝑗, −1 − 𝑗, ±∞,±∞.
O LGR apresenta quatro ramos simétricos, tendo somente um
segmento válido no eixo real:
• Entre −3 e −7.
Este segmento define dois ramos que partem dos polos em −3 e
− 7, se encontram em algum ponto, saem do eixo real e vão para os
zeros no infinito pelas assíntotas. Outros dois ramos saem dos polos
em −2 ± 3𝑗 direto os zeros em −1 ± 𝑗 (simetria).
Esboçando o LGR
A interseção das assíntotas com o eixo real é igual a:
𝜎𝑎 =
 polos finitos − zeros finitos
número de polos finitos − número de zeros finitos
𝜎𝑎 =
−2 + 3𝑗 − 2 − 3𝑗 − 3 − 7 − −1 + 𝑗 − 1 − 𝑗
4 − 2
= −
12
2
= −6
Os ângulos das assíntotas que cruzam o eixo real em −6 são:
𝜃𝑎 =
2𝑛 + 1 180∘
número de polos finitos − número de zeros finitos
𝜃𝑎 =
2𝑛 + 1 180∘
2
= [90∘, 270∘]
Esboçando o LGR
Assim, o esboço do LGR pode ser visto abaixo:
O exato ponto de saída do
eixo real será visto nas
regras de refinamento do
LGR.
Os ângulos de saída e
chegada dos ramos serão
vistos nas regras de
refinamento do LGR.
Material/Tema14_Exercicio6.m
Material/Tema14_Exercicio6.m
Refinando o LGR
As regras apresentadas permitem que se faça um rápido esboço do
LGR. Em alguns casos, é necessário conhecer pontos específicos no
LGR juntamente com seus ganhos, como, por exemplo, pontos sobre
o eixo real onde o LGR sai ou entra, pontos sobre o eixo 𝑗𝜔, ângulos
de partida ou chegada do LGR, etc.
Boa parte dos cálculos realizados se baseiam nas duas condições já
apresentadas: soma dos ângulos dos zeros menos a soma dos
ângulos dos polos igual a um múltiplo ímpar de 180∘; ganho 𝐾 igual
à divisão do produto das distâncias dos polos pelo produto das
distâncias dos zeros.
Muitos desses cálculos são mais facilmente realizados com a ajuda
de calculadoras e softwares computacionais, como o MATLAB.
Refinando o LGR
Regra 1 – Pontos de Saída e Entrada sobre o Eixo Real
Toda vez que um par de ramos do LGR sai do eixo real, os polos reais
se tornam complexos conjugados. Da mesma forma, quando os
polos complexos conjugados se tornam reais, marca-se o ponto de
entrada no eixo real.
No exemplo ao lado, −𝜎1 é um
ponto de saída, pois o LGR deixa o
eixo real, e 𝜎2 é um ponto de
entrada, pois o LGR entra no eixo
real.
Refinando o LGR
Usando a lógica, é possível descobrir os pontos de saída e entrada
do LGR e os respectivos ganhos. Primeiramente, quando 𝐾 = 0, os
polos estão nas posições −1 e −2. Conforme 𝐾 aumenta, os polos
se distanciam das suas posições originais e se encontram em algum
ponto entre −1 e −2. A partir deste ponto, os dois polos se tornam
complexos conjugados. Assim, pode-se dizer que o ponto de saída
corresponde ao ponto de ganho 𝑲 máximo no eixo real entre os
pontos −𝟏 e −𝟐.
De forma equivalente, para um certo valor de 𝐾, os polos complexos
se tornam reais novamente. A medida que 𝐾 cresce e tende para
infinito, os polos tendem para os zeros em +3 e +5. Logo, o ponto
de entrada corresponde ao ponto de ganho 𝑲 mínimo no eixo real
entre os pontos +𝟑 e +𝟓.
Refinando o LGR
Para o exemplo em questão, a figura abaixo mostra a variação do
ganho 𝐾 ao longo do eixo real nos intervalos [−2;−1] e [+3;+5].
Para desenhar este gráfico, é necessário assumir que 𝑠 = 𝜎 (onde 𝜎
é real) e que 𝐾 = −1/𝐺 𝜎 𝐻 𝜎 .
𝐾 é máximo
𝐾 é mínimo
Refinando o LGR
Existem três métodos para encontrar os pontos de saída e entrada e
seu ganho correspondente.
O método da derivada (primeiro) encontra o máximo e o mínimo
ganho 𝐾 usando a propriedade da derivada igual a zero. Para isso,
tem que assumir 𝑠 = 𝜎 (real), 𝐾 = −1/𝐺 𝜎 𝐻 𝜎 e encontrar os
valores de 𝜎 nos intervalos de interesse que garantem 𝜕𝐾/𝜕𝜎 = 0.
O método da transição (segundo) é uma variação do método da
derivada, que elimina a necessidade derivar a equação do ganho 𝐾.
Assim, os pontos de saída e entrada satisfazem a seguinte relação:
 
𝑖=1
𝑚
1
𝜎 − 𝑧𝑖
= 
𝑗=1
𝑛
1
𝜎 − 𝑝𝑗
Os termos 𝑧𝑖 e 𝑝𝑗 são, respectivamente, zeros e polos de 𝐺 𝑠 𝐻 𝑠 .
Refinando o LGR
A prova matemática do método de transição pode ser vista no
apêndice M do livro do Nise (acesse aqui). Assim, basta encontrar os
valores de 𝜎 que garantam a igualdade dos dois somatórios. Estes
valores são os pontos de entrada e saída. Os valores
correspondentes de 𝐾 podem ser encontrados ao usar 𝐾 =
− 1/𝐺 𝜎 𝐻 𝜎 .
O método computacional (terceiro) corresponde a utilizar um
software computacional, como o MATLAB, para buscar pelo máximo
ganho 𝐾 e o respectivo valor de 𝜎 no intervalo [−2;−1] e o mínimo
ganho 𝐾 e o respectivo valor de 𝜎 no intervalo [+3;+5].
A seguir é apresentado um exercício que faz uso dos três métodos
descritos.
Material/Prova_Assintotas_LGR.pdf
Refinando o LGR
Exercício 7: Determine os pontos de entrada e saída do eixo real
para o LGR do sistema cuja função de transferência em malha
aberta é mostrada abaixo. Use os três métodos.
𝐾𝐺 𝑠 𝐻 𝑠 =
𝐾 𝑠 − 3 𝑠 − 5
𝑠 + 1 𝑠 + 2
Refinando o LGR
Método da Derivada – Primeiramente, no eixo real, os polos são
reais, ou seja, 𝑠 = 𝜎. Assim:
𝐾𝐺 𝜎 𝐻 𝜎 =
𝐾 𝜎 − 3 𝜎 − 5
𝜎 + 1 𝜎 + 2
=
𝐾 𝜎2 − 8𝜎 + 15
𝜎2 + 3𝜎 + 2
= −1
Isolando 𝐾 e diferenciando nos intervalos [−2;−1] e +3;+5 ,
tem-se:
𝐾 = −
𝜎2 + 3𝜎 + 2
𝜎2 − 8𝜎 + 15
⇒
𝜕𝐾
𝜕𝜎
=
11𝜎2 − 26𝜎 − 61
𝜎2 − 8𝜎 + 15 2
= 0
11𝜎2 − 26𝜎 − 61 = 0 ⇒ 𝜎1 = −1,4530 e 𝜎2 = +3,8166
𝐾1 = 0,0086 𝑒 𝐾2 = 28,9914
Refinando o LGR
Método da Transição – Primeiramente, é estabelecida a igualdade
dos somatórios:
 
𝑖=1
𝑚
1
𝜎 − 𝑧𝑖
= 
𝑗=1
𝑛
1
𝜎 − 𝑝𝑗
⇒
1
𝜎 − 3
+
1
𝜎 − 5
=
1
𝜎 + 1
+
1
𝜎 + 2
Trazendo os termos todos para esquerda da igualdade e
manipulando a equação, tem-se:
11𝜎2 − 26𝜎 − 61 = 0 ⇒ 𝜎1 = −1,4530 e 𝜎2 = +3,8166
𝐾1 = 0,0086 𝑒 𝐾2 = 28,9914
Refinando o LGR
Método Computacional – elabora-se um programa no MATLAB que
encontra o máximo e o mínimo de 𝐾 nos dois segmentos reais:
Material/Tema14_Exercicio7.m
Material/Tema14_Exercicio7.m
Refinando o LGR
Método Computacional – elabora-se um programa no MATLAB que
encontra o máximo e o mínimo de 𝐾 nos dois segmentos reais:
Material/Tema14_Exercicio7.m
Material/Tema14_Exercicio7.m
Refinando o LGR
Regra 2 – Cruzamentos com o Eixo 𝒋𝝎
Outro processo de refinamento é determinar os pontos de
cruzamento do LGR com o eixo imaginário. Este refinamento é de
especial importância já que define a fronteira entre a região estável
e a região instável do LGR.
No exemplo ao lado, para um
𝐾 < 𝐾𝑐𝑟í𝑡𝑖𝑐𝑜, o sistema é estável,
enquanto, para 𝐾 > 𝐾𝑐𝑟í𝑡𝑖𝑐𝑜 , o
sistema é instável. O valor de 𝜔 no
cruzamento fornece a frequência
de oscilação não amortecida.
Refinando o LGR
Vale ressaltar que há casos em que o LGR se inicia no lado direito do
plano 𝑠 e termina no lado esquerdo. Nestes casos, quando 𝐾 <
𝐾𝑐𝑟í𝑡𝑖𝑐𝑜, o sistema é instável, enquanto, para 𝐾 > 𝐾𝑐𝑟í𝑡𝑖𝑐𝑜, o sistema
é estável.
O método matemático para determinar o cruzamento é calcular o
polinômio característico em malha fechada (como uma função de
𝐾), aplicar o critério de Routh–Hurwitz e encontrar o ganho 𝐾 que
faz uma linha ímpar ser toda nula na tabulação de Routh. Este
ganho 𝐾 é o ganho crítico (𝐾𝑐𝑟í𝑡𝑖𝑐𝑜). Depois, basta usar o polinômio
auxiliar na linha superior da tabulação de Routh, substituir 𝐾 por
𝐾𝑐𝑟í𝑡𝑖𝑐𝑜 e encontrar as raízes puramente imaginárias 𝑠1,2 =
𝑗𝜔𝑐𝑟í𝑡𝑖𝑐𝑜. Com o esboço previamente feito, é possível saber se a
estabilidade se garante com 𝐾 > 𝐾𝑐𝑟í𝑡𝑖𝑐𝑜 ou com 𝐾 < 𝐾𝑐𝑟í𝑡𝑖𝑐𝑜.
Refinando o LGR
O outro método é o método computacional. Como se sabe, em um
ponto qualquer do LGR, a soma dos ângulos partindo dos zeros
menos a soma dos ângulos partindo dos polostem que ser igual a
2𝑛 + 1 180∘.
Assim, cria-se um programa no MATLAB que estabelece que 𝑠 = 𝑗𝜔,
para 0 < 𝜔 < +∞, e calcula a soma dos ângulos para cada valor de
𝜔. Toda vez que essa soma der 2𝑛 + 1 180∘, equivale a um par de
cruzamentos em ±𝑗𝜔. Sabendo o ponto de cruzamento, determina-
se o valor de 𝐾 na fórmula 𝐾 = 1/ 𝐺 𝑗𝜔 𝐻 𝑗𝜔 .
Este método é mais prático quando se tem o auxílio de um
computador, enquanto o primeiro é útil na ausência de um
computador.
Refinando o LGR
Exercício 8: Determine os pontos de cruzamento com o eixo 𝑗𝜔 para
o sistema cujo esboço do LGR é dado abaixo. Utilize os dois métodos
apresentados. Considere 𝐾 ≥ 0.
Refinando o LGR
Método Matemático – observa-se os polos e zeros em malha aberta
do sistema para encontrar a sua função de transferência:
Posteriormente, encontra-se a função de transferência em malha
fechada, 𝑇 𝑠 , e o polinômio característico do sistema:
𝑇 𝑠 =
𝐾 𝑠 + 3
𝑠4 + 7𝑠3 + 14𝑠2 + 8 + 𝐾 𝑠 + 3𝐾
Refinando o LGR
Aplicando o critério de Routh–Hurwitz, tem-se:
𝑃 𝑠 = 90 − 𝐾 𝑠2 + 21𝐾 = 80,35𝑠2 + 202,56 = 0
𝑠1,2 = ±𝑗1,5877 𝑒 𝐾 = 9,6456
𝑠4 + 7𝑠3 + 14𝑠2 + 8 + 𝐾 𝑠 + 3𝐾
𝑠4
𝑠3
𝑠2
𝑠1
𝑠0
1 14 3𝐾
7 8 + 𝐾 0
90 − 𝐾 21𝐾 0
−𝐾2 − 65𝐾 + 720 0 0
21𝐾 0 0
A linha 𝑠1 se torna nula para 𝐾 = −74,6456 (não usado) e 𝐾 =
9,6456 (usado). Assim, o polinômio auxiliar é:
Refinando o LGR
Método Computacional – Um programa que encontra os valores de
± 𝑗𝜔 e o valor de 𝐾𝑐𝑟í𝑡𝑖𝑐𝑜 é elaborado no MATLAB:
Material/Tema14_Exercicio8.m
Material/Tema14_Exercicio8.m
Refinando o LGR
Regra 3 – Ângulos de Partida e Chegada
É possível refinar ainda mais o LGR ao determinar o ângulo de
partida do ramo em um polo e o ângulo de chegada do ramo a um
zero em malha aberta.
Para zeros e polos no eixo real ligados a segmentos válidos, o ângulo
de partida ou de chegada será sempre 0∘ ou 180∘, dependendo se o
segmento do LGR está à direita ou à esquerda do referido polo ou
zero. Neste caso, não é necessário realizar nenhum cálculo
trigonométrico. Zeros e polos no eixo real não ligados a
seguimentos válidos possuem ângulos de partida e chegada iguais a
± 90°. Por outro lado, para zeros e polos no plano complexo,
quaisquer ângulos de partida e chegada podem ser obtidos.
Refinando o LGR
Considere um ponto do LGR a uma pequena distância 𝜖 de um
determinado polo complexo. A equação trigonométrica abaixo é
válida:
Refinando o LGR
Conforme a distância 𝜖 → 0 e o ponto do LGR tende ao polo
complexo, os ângulos dos outros polos e zeros para o ponto tendem
a se tornar iguais aos ângulos dos outros polos e zeros para o polo
complexo em questão. Como os ângulos dos outros polos e zeros
para o polo complexo em questão são conhecidos e a soma angular
tem que ser igual a 2𝑘 + 1 180∘, é possível determinar facilmente
o ângulo do polo complexo ao ponto do LGR a uma distância 𝜖:
−𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3 − 𝜃4 − 𝜃5 + 𝜃6 = 2𝑛 + 1 180° ⇒
𝜃1 = +𝜃2 + 𝜃3 − 𝜃4 − 𝜃5 + 𝜃6
ângulos dos outros zeros e polos
ao polo complexo analisado
− 2𝑛 + 1 180° ∈ 0°, 360°
Refinando o LGR
Considere, agora, um ponto do LGR a uma pequena distância 𝜖 de
um determinado zero complexo. A equação trigonométrica abaixo é
válida:
Refinando o LGR
De forma equivalente, conforme a distância 𝜖 → 0 e o ponto do LGR
tende ao zero complexo, os ângulos dos outros polos e zeros para o
ponto tendem a se tornar iguais aos ângulos dos outros polos e
zeros para o zero complexo em questão. Assim, é possível
determinar facilmente o ângulo do zero complexo ao ponto do LGR
a uma distância 𝜖:
−𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3 − 𝜃4 − 𝜃5 + 𝜃6 = 2𝑛 + 1 180° ⇒
𝜃2 = +𝜃1 − 𝜃3 + 𝜃4 + 𝜃5 − 𝜃6
ângulos dos outros zeros e polos
ao zero complexo analisado
+ 2𝑛 + 1 180° ∈ 0°, 360°
Refinando o LGR
Exercício 9: Esboce o LGR e determine os ângulos de partida dos
polos complexos do sistema abaixo:
Refinando o LGR
O sistema em malha aberta possui um zero finito em −2 e três
polos finitos em −3 e −1 ± 𝑗. Assim, são três ramos simétricos, cujo
segmento real [−3,−2] pertence ao LGR.
Um dos ramos parte de −3 e termina em −2 sobre o eixo real. Os
outros dois ramos partem dos polos complexos conjugados e
terminam em zeros no infinito.
Ao calcular as assíntotas, tem-se que a interseção com o eixo real é
igual a 𝜎𝑎 = −3/2 e os ângulos das assíntotas são 𝜃𝑎 = +90° e
𝜃𝑎 = +270°.
Para determinar os ângulos de partida dos polos complexos
conjugados, considere o esboço do LGR.
Refinando o LGR
Para determinar o ângulo de
partida 𝜃1 considere que os
ângulos dos outros polos e zeros
são calculados até o polo em
questão. Assim:
−𝜃1 − 𝜃2 + 𝜃3 − 𝜃4 = 180°
−𝜃1 − 90° + tan
−1
1
1
− tan−1
1
2
= 180°
𝜃1 = −251,57° = +108,43° ⇒ 𝑃𝑜𝑙𝑜 (−1 + 𝑗)
𝜃2 = +251,57° ⇒ 𝑃𝑜𝑙𝑜 (−1 − 𝑗)
Refinando o LGR
Regra 4 – Calibrando o LGR (Pontos Específicos)
É possível também encontrar pontos específicos do LGR juntamente
com seus ganhos, de forma que determinados critérios de projeto
sejam atendidos, como, por exemplo, encontrar o ponto exato do
LGR que corresponde a uma máxima ultrapassagem percentual
(𝑀𝑝%), ou seja, a um coeficiente de amortecimento (𝜁).
O procedimento para encontrar tal ponto é realizado, em geral, por
um programa computacional. A ideia é criar uma reta cujo ângulo é
igual a 180° − cos−1 𝜁 e calcular a soma dos ângulos dos zeros e
polos para todos os pontos da reta. O ponto 𝑠′ que possuir soma
angular igual a 2𝑛 + 1 180° é um ponto do LGR. O ganho é
calculado como 𝐾 = 1/ 𝐺 𝑠′ 𝐻 𝑠′ .
Refinando o LGR
Considere o sistema cujo LGR é mostrado abaixo:
Refinando o LGR
Caso se deseje encontrar o ponto exato em que 𝜁 = 0,45 , é
necessário desenhar a reta cujo ângulo é igual a 180° −
cos−1 0,45 = 116,74°. A partir daí, são testados vários pontos que
possuam o mesmo ângulo (116,74°) e módulo (raio) crescente.
Material/Tema14_Exemplo_Zeta.m
Material/Tema14_Exemplo_Zeta.m
Refinando o LGR
O ponto com soma angular igual a −180° é 0,747∠116,74°. Neste
ponto, o ganho é igual a 𝐾 = 𝐴 𝐶 𝐷 𝐸 / 𝐵 = 1,709.
Material/Tema14_Exemplo_Zeta.m
Material/Tema14_Exemplo_Zeta.m
Refinando o LGR
Assim, vale a seguinte regra:
Dada uma reta de cruzamento com o LGR, procure pelo ponto que 
resulta numa soma angular (soma dos ângulos dos zeros menos a 
soma dos ângulos dos polos) igual a um múltiplo ímpar de 180°. O 
ponto encontrado faz parte do LGR. Em seguida, o ganho deste 
ponto é dado pela divisão do produto das distâncias do ponto aos 
polos pelo produto das distâncias do ponto aos zeros.
Refinando o LGR
Exercício 10: Dada a função de transferência em malha aberta do
sistema abaixo, esboce o LGR e determine:
• O cruzamento com o eixo 𝑗𝜔 e o seu ganho;
• O ponto de entrada no eixo real e o seu ganho;
• O ângulo de partida dos polos complexos;
• O ponto de cruzamento e o ganho 𝐾 cujo coeficiente de
amortecimento é 𝜁 = 0,9.
𝐾𝐺 𝑠 𝐻 𝑠 =
𝐾 𝑠 + 2
𝑠2 − 4𝑠 + 13
Refinando o LGR
O sistema em malha aberta possui um zero finito em −2 e dois
polos finitos em +2 ± 𝑗3. O outro zero está no infinito. O segmento
no eixo real que pertence ao LGR é [−∞,−2]. O ângulo da assíntota
é igual a 180°.
Assim, os dois ramos partem dos polos complexos conjugados com
um certo ângulo de partida e entram no eixo real em algum ponto
entre [−∞,−2]. Um ramo se desloca para −2 enquanto o outro vai
para −∞. No processo, os polos complexos conjugados cruzam o
eixo 𝑗𝜔.
Refinando o LGR
Para encontrar o cruzamento com o eixo 𝑗𝜔, encontra-se a função
de transferência em malha fechada, 𝑇 𝑠 , e aplica-se o critério de
Routh–Hurwitz para encontrar o ganho 𝐾 que faz uma linha ímpar
da tabela igual a zero.
𝑠2 + 𝐾 − 4 𝑠 + 2𝐾 + 13
𝑠2
𝑠1
𝑠0
 
1 2𝐾 + 13
𝐾 − 4 0
2𝐾 + 13 0
Assim, o ganho que corresponde ao cruzamento com o eixo 𝑗𝜔 é
igual a 𝐾 = 4. Os pontos de cruzamento são os zeros do polinômio
auxiliar 𝑃 𝑠 = 𝑠2 + 21 = 0. Assim, 𝑠 = ±𝑗 21 = ±𝑗4,58.
Refinandoo LGR
O ponto de chegada é aquele que corresponde ao ganho 𝐾 mínimo
para 𝑠 = 𝜎 no intervalo [−∞,−2]. O valor de 𝜎 é o garante a
igualdade:
 
𝑖=1
𝑚
1
𝜎 − 𝑧𝑖
= 
𝑗=1
𝑛
1
𝜎 − 𝑝𝑗
⇒
1
𝜎 + 2
=
1
𝜎 − 2 + 𝑗3
+
1
𝜎 − 2 − 𝑗3
𝜎2 + 4𝜎 − 21 = 0 ⇒ 𝜎 = −7 𝑒 𝐾 = 18
Refinando o LGR
Para se encontrar os ângulos de partida dos polos complexos, tem
que se considerar que o ponto do LGR está a uma distância 𝜖 → 0
do polo +2 + 𝑗3. Assim, os ângulos do outro polo e do zero são
calculados até o polo +2 + 𝑗3, sobrando determinar o ângulo do
polo +2 + 𝑗3, sendo que a soma deve dar um múltiplo ímpar de
180∘:
−𝜃1 − 𝜃2 + 𝜃3 = 180°
−𝜃1 − 90° + tan
−1
3
4
= 180°
𝜃+2+𝑗3 = −233,13° = +126,87° e 𝜃+2−𝑗3 = +233,13°
Refinando o LGR
Por fim, para encontrar o ponto exato em que 𝜁 = 0,90 , é
necessário desenhar a reta cujo ângulo é igual a 180° −
cos−1 0,90 = 154,16°. A partir daí, são testados vários pontos que
possuam o mesmo ângulo (154,16°) e módulo crescente. O ponto
cuja soma angular for múltiplo ímpar de 180° é o ponto do LGR. Em
seguida, é calculado o ganho 𝐾 para este ponto.
A solução pode ser vista aqui. O ponto de cruzamento e o ganho
são:
𝑠′ = 6,724∠154,16° = −6,05 + 𝑗2,93
𝐾 =
 𝑑𝑖𝑠𝑡â𝑛𝑐𝑖𝑎𝑠 𝑑𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑙𝑜𝑠 𝑎𝑡é 𝑠′
 𝑑𝑖𝑠𝑡â𝑛𝑐𝑖𝑎𝑠 𝑑𝑜𝑠 𝑧𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑎𝑡é 𝑠
′ = 16,10
Material/Tema14_Exercicio10.m
Refinando o LGR
Após todos os cálculos, é possível traçar um esboço do LGR:
𝑗4,58
−7
Material/Tema14_Exercicio10.m
Material/Tema14_Exercicio10.m
Refinando o LGR
Exercício 11: Dada o sistema abaixo, esboce o LGR e determine:
• O cruzamento com o eixo 𝑗𝜔 e o seu ganho;
• A faixa dos valores de 𝐾 na qual o sistema é estável;
• O ponto de saída no eixo real e o seu ganho;
• O ponto de cruzamento e o ganho 𝐾 cujo coeficiente de
amortecimento é 𝜁 = 0,45.
Refinando o LGR
O sistema em malha aberta possui dois zeros finitos em +2 ± 𝑗4 e
dois polos finitos em −2 e −4. O segmento no eixo real que
pertence ao LGR é [−4,−2].
Assim, os dois ramos partem dos polos reais sobre o eixo real e
saem deste eixo em algum ponto entre [−4,−2]. Um ramo se
desloca para +2 + 𝑗4 enquanto o outro vai para+2 − 𝑗4 . No
processo, os polos complexos conjugados cruzam a reta de
coeficiente de amortecimento 𝜁 = 0,45 e também o eixo 𝑗𝜔.
Refinando o LGR
Para encontrar o cruzamento com o eixo 𝑗𝜔, encontra-se a função
de transferência em malha fechada, 𝑇 𝑠 , e aplica-se o critério de
Routh–Hurwitz para encontrar o ganho 𝐾 que faz uma linha ímpar
da tabela igual a zero.
𝐾 + 1 𝑠2 + 6 − 4𝐾 𝑠 + 20𝐾 + 8
𝑠2
𝑠1
𝑠0
 
𝐾 + 1 20𝐾 + 8
6 − 4𝐾 0
20𝐾 + 8 0
Assim, o ganho que corresponde ao cruzamento com o eixo 𝑗𝜔 é
igual a 𝐾 = 1,5 . Os pontos de cruzamento são os zeros do
polinômio auxiliar 𝑃 𝑠 = 2,5𝑠2 + 38 = 0. Assim, 𝑠 = ±𝑗 15,2 =
± 𝑗3,9. O sistema é estável para 0 ≤ 𝐾 ≤ 1,5.
Refinando o LGR
O ponto de saída do eixo real é aquele que corresponde ao ganho 𝐾
máximo para 𝑠 = 𝜎 no intervalo [−4,−2]. O valor de 𝜎 é o garante
a igualdade:
 
𝑖=1
𝑚
1
𝜎 − 𝑧𝑖
= 
𝑗=1
𝑛
1
𝜎 − 𝑝𝑗
⇒
1
𝜎 + 2
+
1
𝜎 + 4
=
1
𝜎 − 2 + 𝑗4
+
1
𝜎 − 2 − 𝑗4
5𝜎2 − 12𝜎 − 76 = 0 ⇒ 𝜎 = −2,879 𝑒 𝐾 = 0,0248
Refinando o LGR
Por fim, para encontrar o ponto exato em que 𝜁 = 0,45 , é
necessário desenhar a reta cujo ângulo é igual a 180° −
cos−1 0,45 = 116,74°. A partir daí, são testados vários pontos que
possuam o mesmo ângulo (116,74°) e módulo crescente. O ponto
cuja soma angular for múltiplo ímpar de180° é o ponto do LGR. Em
seguida, é calculado o ganho 𝐾 para este ponto.
A solução pode ser vista aqui. O ponto de cruzamento e o ganho
são:
𝑠′ = 3,396∠116,74° = −1,528 + 𝑗3,033
𝐾 =
 𝑑𝑖𝑠𝑡â𝑛𝑐𝑖𝑎𝑠 𝑑𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑙𝑜𝑠 𝑎𝑡é 𝑠′
 𝑑𝑖𝑠𝑡â𝑛𝑐𝑖𝑎𝑠 𝑑𝑜𝑠 𝑧𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑎𝑡é 𝑠′
= 0,417
Material/Tema14_Exercicio11.m
Refinando o LGR
Após todos os cálculos, é
possível traçar um esboço do
LGR:
Material/Tema14_Exercicio11.m
Material/Tema14_Exercicio11.m
Refinando o LGR
Exercício 12: Dada o sistema abaixo, esboce o LGR e determine:
• O cruzamento com o eixo 𝑗𝜔 e a faixa de valores de 𝐾 ≥ 0 na
qual o sistema é estável;
• O ponto de saída no eixo real e o seu ganho;
• Os ângulos de partida dos polos complexos conjugados;
• O ponto de cruzamento e o ganho 𝐾 cujo coeficiente de
amortecimento é 𝜁 = 0,707.
𝐾𝐺 𝑠 𝐻 𝑠 =
𝐾
𝑠 𝑠 + 4 𝑠 + 4 + 𝑗4 𝑠 + 4 − 𝑗4
Refinando o LGR
O sistema em malha aberta possui quatro polos finitos em 0, −4 e
− 4 ± 𝑗4 e quatro zeros no infinito. O segmento no eixo real que
pertence ao LGR é [−4,0].
Assim, dois ramos partem dos polos reais sobre o eixo real e saem
deste eixo em algum ponto entre [−4,0] e vão para dois zeros no
infinito. A assíntota têm 𝜎𝑎 = −3 e 𝜃𝑎 = 45°, 135°, 225°, 315°. O
par de polos −4 ± 𝑗4 saem com um determinado ângulo de partida
e vão para outros dois zeros no infinito. No processo, os polos
cruzam a reta de coeficiente de amortecimento 𝜁 = 0,707 (um par
ou os dois pares) e também o eixo 𝑗𝜔 (o par vinculado às assíntotas
45° e 315°.
Refinando o LGR
Para encontrar o cruzamento com o eixo 𝑗𝜔, encontra-se a função
de transferência em malha fechada, 𝑇 𝑠 , e aplica-se o critério de
Routh–Hurwitz para encontrar o ganho 𝐾 que faz uma linha ímpar
da tabela igual a zero.
𝑠4 + 12𝑠3 + 64𝑠2 + 128𝑠 + 𝐾 = 0
𝑠4
𝑠3
𝑠2
𝑠1
𝑠0
1 64 𝐾
12 128 0
160/3 𝐾
128 − 9𝐾/40 0
𝐾
Para 𝐾 = 5.120/9 = 568,89 , a tabela tem a primeira coluna toda
positiva. Assim, os polos simétricos estão sobre o eixo 𝑗𝜔, na
posição das raízes de 𝑃 𝑠 : 𝑠 = ±𝑗 32/3 = ±𝑗3,266.
Estável para 0 ≤ 𝐾 ≤ 568,89.
Refinando o LGR
O ponto de saída do eixo real é aquele que corresponde ao ganho 𝐾
máximo para 𝑠 = 𝜎 no intervalo [−4,0]. Assim, o valor de 𝜎 do
ponto de saída é aquele no intervalo [−4,0] que garante a
igualdade:
𝐾 = − 𝜎4 + 12𝜎3 + 64𝜎2 + 128𝜎 ⇒
𝜕𝐾
𝜕𝜎
= 0
−4𝜎3 − 36𝜎2 − 128𝜎 − 128 = 0 ⇒ 𝜎 = −1,577 e 𝐾 = 83,57
Refinando o LGR
Para se encontrar os ângulos de partida dos polos complexos, tem
que se considerar que o ponto do LGR está a uma distância 𝜖 → 0
do polo −4 + 𝑗4. Assim, os ângulos dos outros polos até o polo
− 4 + 𝑗4 são somados ao ângulo de partida do polo −4 + 𝑗4, sendo
que essa soma deve dar um múltiplo ímpar de 180∘:
−𝜃1 − 𝜃2 − 𝜃3 − 𝜃4 = −180°
−𝜃1 − 90° − 90° − tan
−1 −
4
4
= −180°
𝜃−4+𝑗4 = −135° = +225° e 𝜃−4−𝑗4 = +135°
Refinando o LGR
Por fim, para encontrar o ponto exato em que 𝜁 = 0,707 , é
necessário desenhar a reta cujo ângulo é igual a 180° −
cos−1 0,707 = 135°. A partir daí, são testados vários pontos que
possuam o mesmo ângulo (135°) e módulo crescente. Os pontos
cuja soma angular for múltiplo ímpar de 180° são pontos do LGR.
Em seguida, são calculados os ganhos 𝐾 para estes pontos.
A solução pode ser vista aqui. Os pontos de cruzamento e os ganhos
são:
𝑠1
′ = 1,886∠135° =
−4 + 𝑗4
3
⇒ 𝐾1 = 126,42
𝑠2
′ = 5,657∠135° = −4 + 𝑗4 ⇒ 𝐾2 = 0
Material/Tema14_Exercicio12.m
Refinando o LGR
Esboço do LGR:
Nota-se que dois 
ramos tendem ao 
infinito sem tocar 
nas assíntotas, 
enquanto os 
outros dois ramos 
cortam as 
assíntotas antes de 
irem ao infinito.
Material/Tema14_Exercicio12.m
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Resumo sobre o LGR
Recapitulando os conceitos aprendidos.
Para esboçar o LGR, são usadas seis regras básicas:
1) Polos e zeros de malha aberta;
2) Número de ramos;
3) Simetria com relação ao eixo real;
4) Segmentos do eixo real;
5) Pontos de início e término dos ramos;
6) Assíntotas: comportamento no infinito.
Resumo sobre o LGR
Para refinar o esboço do LGR já realizado, são usadas quatro regras
básicas:
1) Pontos de saída e de entrada sobre o eixo real;
2) Cruzamentos com o eixo 𝑗𝜔;
3) Ângulos de partida e de chegada dos ramos nos polos e zeros
complexos conjugados;
4) Definindo pontos específicos e calibrando o LGR.