Problemas Matemáticos Josimar Padilha

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SUMÁRIO
Problemas Matemáticos .............................................................................3
1. Sistemas de Equações do 1º Grau .............................................................4
2. Juros Simples ......................................................................................16
3. Média Aritmética Simples e Ponderada ....................................................31
Desafio ...................................................................................................31
Comentário do Desafio ..............................................................................45
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PROBLEMAS MATEMÁTICOS 
PROBLEMAS MATEMÁTICOS: Neste módulo serão apresentados métodos para 
resolução de questões de concursos públicos relacionados a problemas envolvendo:
1. sistema de equações do 1º grau;
2. juros simples;
3. média aritmética simples e ponderada.
Proponho que você desenvolva, gradualmente, o raciocínio matemático e criati-
vo, promovendo maior independência na busca de soluções de problemas, apren-
dendo a interpretar tais questões por meio da prática e da aplicação de métodos 
que facilitarão na conclusão das questões. 
Apresentação do Professor 
Olá, concurseiro(a)! Tudo bem? - Sou o professor e autor Josimar Padilha. É 
com grande alegria que tenho o privilégio de compartilhar esse momento impor-
tantíssimo com você, que pretende ingressar no serviço público. Já tenho mais de 
16 anos de experiência em aulas presenciais e mais de 8 anos em aulas on-line. 
Possuo mais de 4 obras escritas, entre elas podemos citar: Raciocínio Lógico Mate-
mático – Fundamentos e Métodos Práticos, Editora Juspodivm 2016. 
JOSIMAR PADILHA
Professor do Gran Cursos Online. Ministra aulas presenciais, 
telepresenciais e online de Matemática Básica, Raciocínio Lógico, 
Matemática Financeira e Estatística para processos seletivos em 
concursos públicos estaduais e federais. Além disso, é professor de 
Matemática e Raciocínio Lógico em várias faculdades do Distrito 
Federal. É servidor público há mais de 20 anos. Autor de diversas obras 
e palestrante.
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De uma maneira clara, simples e bem objetiva, iremos aprender como a banca 
examinadora exige o assunto indicado nesta aula. 
O conteúdo deste módulo é de suma importância, pois trata de um dos mais 
recentes assuntos cobrados nas provas de concursos públicos pela banca VU-
NESP. 
Pensando nisso, teremos uma metodologia infalível e estrategista, pois, além de 
aprendermos os princípios e os fundamentos do assunto deste módulo, sabendo in-
terpretar suas aplicações nas questões de concursos, iremos aprender os melhores 
métodos de resolução. No decorrer desses 16 anos como professor, dediquei-me 
para que os meus alunos alcançassem seus sonhos no serviço público nos diversos 
processos seletivos em todo do Brasil. 
Neste módulo, iremos nos concentrar em resolver questões em sua maioria 
da Banca VUNESP, comentando cada uma delas e expondo os métodos de re-
solução.
1. Sistemas de Equações do 1º Grau
Os sistemas de equação são ferramentas (modelagens) comuns nas resoluções 
de problemas que envolvem 2 (duas) incógnitas, muito comum em problemas nas 
áreas de matemática, química, física, engenharia entre outras.
Em nosso contexto – concursos públicos –, os sistemas, geralmente, são re-
solvidos com aplicação de métodos, ou seja, podemos utilizar o método da substi-
tuição ou método da adição. É importante perceber que a armação é fundamental 
para resolução da questão. 
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Vamos resolver o sistema abaixo pelos métodos propostos.
1. (VUNESP/CÂMARA DE SUMARÉ/SP/2017) Guardei somente moedas de R$ 1,00 
e de R$ 0,50 num total de 80 moedas que, juntas, somam R$ 50,00 e vou trocá-las 
no supermercado. A quantidade de moedas de R$ 1,00 que guardei foi 
a) 60.
b) 50.
c) 40.
d) 20. 
e) 10.
Letra d.
• MÉTODO DA ADIÇÃO: consiste em somarmos as variáveis semelhantes das 
duas equações no intuito de obter resultado igual a zero. Veja a resolução do 
sistema a seguir.
Vamos denominar “x” sendo a quantidade de moedas de um real e “y” a 
quantidade de moedas de cinquenta centavos.
Assim, temos duas incógnitas: x e y. Podemos, então, construir duas re-
lações: uma com a quantidade de moedas e outra com o valor monetário.
x + y = 80 
1 . x + 0,50 . y = 50,00
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O nosso objetivo é, por meio da soma, anular uma das incógnitas, sendo aconse-
lhável aquela que não queremos encontrar. 
A pergunta é em relação à quantidade de moedas de R$ 1,00; logo, podemos anu-
lar a incógnita “y” que se refere à moeda de cinquenta centavos. 
x + y = 80 (multiplicar a primeira equação por – 0,50) 
1 . x + 0,50 . y = 50,00
Somando as equações, teremos: 
-0,50 x -0,50 y = -40 
1 . x + 0,50 . y = 50,00
0,50x = 10 
x = 10/0,50
x= 20 moedas de um real. 
• MÉTODO DA SUBSTITUIÇÃO: consiste em isolar x ou y em qualquer uma 
das equações do sistema e substituir o valor isolado na outra equação. Veja-
mos:
x + y = 80 
1 . x + 0,50 . y = 50,00
O nosso objetivo é isolar uma das incógnitas, colocando-a em função da 
outra. Isto é, colocar y em função de x. 
x + y = 80 
y = 80 – x 
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Substituindo na próxima equação:
1 . x + 0,50 . y = 50,00
1 . x + 0,50 . (80 – x) = 50,00
1 . x + 40 – 0,50x = 50,00
0,50x + 40 = 50
0,5x = 50 – 40
0,5x = 10 
x= 20 moedas de um real. 
2. (2011/VUNESP/CREMESP) Carlos tem certa quantia de dinheiro guardado, mas 
percebeu que se tivesse 4 vezes esse valor ainda faltariam R$ 100,00 para comprar 
um aparelho de TV, porém, se tivesse 5 vezes esse valor, seria possível comprar a 
TV e ainda sobrariam R$ 200,00. O valordo aparelho de TV é
a) R$ 2.000,00.
b) R$ 1.800,00.
c) R$ 1.500,00
d) R$ 1.300,00.
e) R$ 1.100,00.
Letra d.
Q: quantidade de dinheiro. 
T: valor da televisão.
4Q = T – 100 (se tivesse 4 vezes esse valor, ainda faltariam R$ 100,00)
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5Q = T + 200 (se tivesse 5 vezes esse valor, seria possível comprar a TV e ainda 
sobrariam R$ 200,00)
Multiplica a segunda equação por (-1): 
5Q = T + 200 
4Q = T - 100 (-1) 
5Q = T + 200 
-4Q= -T + 100 
Q = 300
Escolhendo uma das equações e substituindo o valor de Q, teremos:
5Q = T + 200 
5 x 300 = T + 200 
1500 = T + 200 
T = 1500 - 200 
T =1300 
3. (2011/VUNESP/CREMESP) Uma caixa de canetas será dividida igualmente entre os 
6 funcionários de um escritório. Se forem contratados mais dois funcionários, então, 
todos receberão uma caneta a menos. O número de canetas que há nessa caixa é
a) 22
b) 24
c) 26
d) 28
e) 30
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Letra b.
1ª Situação:
Vamos considerar que 1 caixa de canetas possua x canetas, sendo dividida por 6 
funcionários = y canetas para cada um. Vejamos:
x/6 = y 
x = 6y
2ª situação:
Uma caixa de canetas possui x canetas, sendo dividida por 8 funcionários (6 fun-
cionários + 2 contratados) = y - 1 caneta para cada um;
x/8 = y – 1
Pelo método da substituição, a 1ª situação na 2ª situação:
x/8 = y - 1
6y/8 = y - 1 
6y = 8 . (y - 1)
6y = 8y - 8
8 = 8y - 6y
8 = 2y
y = 8/2
y = 4 (canetas para cada um) 
Considerando a 1ª situação:
x = 6y
x = 6. 4 = 24 canetas no total 
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4. (2010/VUNESP/FUNDAÇÃO CASA) Dois atletas têm o mesmo número de meda-
lhas. Juntando o dobro das medalhas de um com o triplo das medalhas do outro 
resulta em 45 medalhas. O total de medalhas que eles têm juntos é
a) 16.
b) 18.
c) 20.
d) 22.
e) 24.
Letra b.
Nessa questão, temos uma equação com apenas 1(uma) incógnita “x” que repre-
senta o número de medalhas de cada um dos dois atletas. 
2x + 3x = 45
5x = 45
X = 45/5 
X = 9
9 + 9 = 18 (total de medalhas dos dois juntos)
5. (2009/VUNESP/TJ-SP) Em uma biblioteca escolar, uma pilha de 50 livros tinha 
1,8 m de altura e era formada por livros paradidáticos iguais, de 3 cm de espessu-
ra, e livros didáticos iguais, de 6 cm de espessura. A bibliotecária retirou metade 
dos livros didáticos da pilha, para arrumá-los numa estante e, assim, a altura da 
pilha foi reduzida em
a) 30 cm.
b) 42 cm.
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c) 50 cm.
d) 56 cm.
e) 60 cm.
Letra a.
Vamos denominar:
P: quantidade de livros paradidáticos. 
D: quantidade de livros didáticos.
P + D = 50 (quantidade de livros) 
3.P + 6.D =180 (unidades em cm)
P + D = 50 ( -3) multiplicar por -3. 
3P + 6D = 180
SOMANDO AS EQUAÇÕES:
-3P -3 D = -150
3P + 6 D = 180 
3D = 30
D = 10 (quantidade de livros didáticos)
P = 40 (quantidade de livros paradidáticos)
Altura dos livros didáticos: 10 x 6 = 60cm
Altura dos livros paradidáticos: 40 x 3 = 120 cm 
A bibliotecária retirou metade dos livros didáticos da pilha, para os arrumar numa 
estante e, assim, a altura da pilha foi reduzida em 30 cm. 
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6. (2016/IBFC/TCM-RJ) Um comerciante separou suas moedas de dez centavos e 
vinte e cinco centavos e verificou que havia 65 moedas e um total de R$ 12,80. 
Desse modo, o valor total das moedas de vinte e cinco centavos é:
a) R$ 10,50 
b) R$ 4,25
c) R$ 2,50
d) R$ 9,50
Letra a.
Vamos resolver novamente pelo método da soma, OK?
Considerar “X” como sendo a quantidade de moedas de dez centavos;
Considerar “Y” como sendo a quantidade de moedas de vinte e cinco centavos.
X + Y = 65 (-0,10) multiplicar por -10 para anularmos o Y.
0,10X + 0,25Y = 12,80
-0,10 X- 0,10Y = -6,50
0,10X + 0,25Y = 12,80
0,15Y = 6,30
Y = 6,30/0,15
Y = 42 moedas de 25 centavos. 
42*0,25 = 10,50 
somando as equações
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7. (2013/FCC/AL-PB/ASSISTENTE LEGISLATIVO) Dos números x e y sabe-se que 
x - y = 14 e que 3x - y = 76. Ao resolver esse sistema de equações pode-se cal-
cular que o menor desses números, x e y, é
a) 14.
b) 76.
c) 31.
d) 66.
e) 17.
Letra e.
Vamos resolver dessa vez pelo método da substituição apenas para treinarmos de 
outra forma. Fica a seu critério qual a melhor forma.
X - Y = 14
3X - Y = 76
Isolando o X em função do Y:
X = 14 + Y
Substituindo X na segunda equação. 
3X - Y = 76
3. (14 + Y) - Y = 76
42 + 3Y - Y = 76
2Y = 76 - 42
Y = 17
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X - 17 = 14
X = 14 + 17
X= 31
8. (2015/FGV/PREFEITURA DE NITERÓI/RJ) Mauro comprou duas canetas e três 
borrachas por R$ 37,50. Fátima comprou, na mesma loja, três canetas e quatro 
borrachas por R$ 54,00. Nessa loja todas as canetas têm o mesmo preço; também 
têm o mesmo preço todas as borrachas.
Nessa mesma loja, cinco canetas e duas borrachas custam:
a) R$ 87,50;
b) R$ 82,00;
c) R$ 77,00;
d) R$ 74,50;
e) R$ 69,00.
Letra e.
Vamos considerar que:
caneta: C 
borracha: B 
2C + 3B = 37,50
3C + 4B = 54
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Isolando:
3C = 54 - 4B
C = (54 - 4B) / 3
Substituindo:
2C + 3B = 37,50
2. (54 - 4B/3) + 3B = 37,5
108 - 8B / 3 + 3B = 37,50 (calcular Mínimo Múltiplo Comum)
108 - 8B + 9B = 112,5
B = 112,5 - 108
B = 4,50
Vamos substituir na segunda equação agora:
3C + 4. (4,50) = 54
3C + 18 = 54
3C = 36
C = 36/3
C = 12
Sendo assim, temos:
5 canetas = 5 x 12 = 60,00
2 borrachas = 2 x 4,50 = 9,00
TOTAL: 69,00 
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2. Juros Simples 
Vamos verificar que juros podem ser interpretados como:
1. rendimento de uma aplicação financeira;
2. valor referente ao atraso no pagamento de uma prestação; 
3. quantia paga pelo empréstimo de um capital;
4. entre outras situações.
Atualmente, o sistema financeiro que utiliza com maior frequência é o de capita-
lização composta. Porém, neste momento, vamos nos concentrar em juros simples 
para atendermos o edital, OK? Na verdade, os juros simples eram utilizados nas 
situações de pequenos prazos. 
No sistema de capitalização simples, os juros são calculados com base no va-
lor da dívida ou da aplicação. Isso significa que o juro simples tem como referencial 
o capital. É importante perceber que o valor dos juros é igual no período de aplica-
ção ou composição da dívida.
Temos algumas grandezas importantes que compõem esta capitalização:
C: capital;
i: taxa de juros;
t: tempo de aplicação (mês, bimestre, trimestre, semestre, ano...);
M: montante final;
J: juros (rendimento).
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A expressão matemática que relaciona as grandezas acima e é utilizada para o 
cálculo das situações envolvendo juros simples é dada por:
J = C. i. t
M = C + J
Obs.:� É importante entendermos que juros simples é uma função crescente do 1º 
grau, em que o crescimento é constante. 
Capital
Montante (t)
Tempo (t)
�Vejamos um exemplo simples.
�Capital: R$ 100,00
�Taxa: 10% a.m.
�Tempo: 10 meses
�
�Podemos verificar que os montantes são formados por uma sequência em que o 
juro não é capitalizado, ou seja, o juro é constante. 
�Juros mensal: 10% de 100,00 = R$10,00
�Capital: 100,00
�Montante 1: 110,00
�Montante 2: 120,00
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�Montante 3: 130,00
�Montante 4: 140,00
�Montante 5: 150,00
�Montante 6: 160,00
�Montante 7: 170,00
�Montante 8: 180,00
�Montante 9: 190,00
�Montante 10: 200,00
Obs.:� Podemos até inferir que se trata de uma progressão aritmética, em que os 
termos, a partir do segundo, são os montantes. 
Já que estamos falando sobre montante, iremos aproveitar e deduzir a fórmula 
do montante a partir dos juros.
Sabendo que M = C + J e que J = C. i. t,
M = C + J (substituindo J por C.i.t)
M= C + (C.i.t) colocando C em evidência
M= C (1 + i.t)
�Exemplo 1
�Quanto teremos em 6 meses se aplicarmos um capital inicial de R$ 4.000,00 a 
juros simples de 5% ao mês? 
�Vamos calcular o rendimento mês a mês. No primeiro, teremos 5% de R$ 4.000,00. 
Ou seja, R$ 200,00. No segundo, teremos também R$ 200,00. Assim será para 
os quatro meses restantes. Por fim, temos R$ 200,00 x 6 meses = R$ 1200,00 
de rendimentos. Como iniciamos com R$ 4.000,00, temos no fim R$ 4000,00 + 
R$ 1200,00 = R$ 5200,00. 
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�Observe que desse exemplo podemos criar uma regra. Chamemos o capital ini-
cial de C, a taxa de juros de i, o tempo de t e o montante final de M. Observe 
que o rendimento mensal foi calculado da forma i x C e o rendimento total foi o 
rendimento mensal multiplicado pela quantidade de meses: (i x C) x t ou sim-
plesmente C i t; logo, J= C i t.
�Exemplo 2
�Uma aplicação inicial de R$ 6.000,00 teve um saldo final de R$ 11.760,00 em um 
ano. Qual foi a taxa de rendimento mensal desse investimento? 
�Nesse exemplo, temos um problema que nos pede a taxa mensal i. O Montante 
é de 11.760, o Capital é de 6.000 e t = 12 (1 ano = 12 meses). 
�É importante observar que o tempo dever estar em meses para que a taxa calcu-
lada apareça automaticamente em meses. Então, fica a dica: se o tempo estiver 
em meses, a taxa também será em meses; caso o tempo esteja em anos, a taxa 
será em anos, e vice e versa. A taxa e o tempo devem estar em concordância. 
Agora podemos usar a fórmula do montante: 
�M = C (1 + it) 
�11.760 = 6000 (1 + i . 12) 
�11.760/6.000 = 1 + 12i 
�1,96 = 1 +12i 
�1,96 – 1 = 12i 
�0,96 = 12i 
�i = 0,96/12 i = 0,08 ou 8%
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9. (UNEMAT) Um capital de R$ 600,00, aplicado à taxa de juros simples de 30% 
ao ano, gerou um montante de R$ 1320,00, depois de certo tempo. O tempo de 
aplicação foi de:
a) 1 ano
b) 2 anos
c) 3 anos
d) 4 anos
e) 5 anos 
Letra d.
Temos as seguintes grandezas:
C = 600
i = 30% = 30/100 = 0,3 (é importante não se esquecer de retirar o símbolo de 
porcentagem, ou seja, dividir por 100). 
M = 1320 
M = C (1 + it) 
1320 = 600(1+0,3t)
1320/600 = 1 + 0,3t
2,2 = 1 + 0,3t
2,2 – 1 = 0,3t
1,2 = 0,3t
t = 1,2/0,3
t = 4 anos
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10. (UFPI) Uma quantia foi aplicada a juros simples de 6% ao mês, durante 5 me-
ses e, em seguida, o montante foi aplicado durante mais 5 meses, a juros simples 
de 4% ao mês. No final dos 10 meses, o novo montante foi de R$ 234,00. Qual o 
valor da quantia aplicada inicialmente?Temos dois montantes diferentes em dois momentos: 
Montante 1 (M1) que é no final dos 5 primeiros meses;
Montante 2 (M2) que é o montante no final de 10 meses.
Capital aplicado = C 
Sendo o M2 = 234. 
M1 = C (1 + it) 
M1 = C.(1 + 0,06 x 5)
M1 = C (1 + 0,3)
M1 = 1,3C
M2 = 1,3C (1 + 0,04 x 5)
M2 = 1,3C (1 + 0,2)
M2 = 1,3C x 1,2
M2 = 1,56C
234 = 1,56C
234/1,56 = C
C = 150
Resposta: R$ 150,00. 
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11. (UF/UBERLÂNDIA) Uma televisão é vendida à vista por R$ 1.800,00 ou então 
com R$ 400,00 de entrada mais uma parcela de R$ 1.500,00 após 2 meses. Qual a 
taxa mensal de juros simples aproximadamente do financiamento? 
A pessoa amortiza o saldo devedor em 400 reais, ficando o novo saldo devedor em 
1400 reais no ato da compra. No entanto, ela deve um montante final de 1500 re-
ais daqui a dois meses. Ou seja, há uma taxa de juros i que será calculada sobre o 
valor de 1400 reais, da seguinte forma:
capital: 1400,00
montante: 1500,00
tempo: 2 meses 
1500 = 1400 (1 + i x 2)
1500/1400 = 1 + 2i
1,071 = 1 + 2i
1,071 – 1 = 2i
0,071 = 2i
i = 0,071/2
i = 0,035 
i = 3,5%
Resposta: 3,5% de juros ao mês.
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12. (2017/VUNESP/PREFEITURA DE MARÍLIA/SP) Um produto foi comprado em 2 
parcelas, a primeira à vista e a segunda após 3 meses, de maneira que sobre o 
saldo devedor, incidiram juros simples de 2% ao mês. Se o valor das 2 parcelas foi 
igual a R$ 265,00, o preço desse produto à vista é
a) R$ 530,00.
b) R$ 515,00.
c) R$ 500,00.
d) R$ 485,00.
e) R$ 460,00.
Letra b.
Temos as seguintes informações:
1ª parcela à vista = 265,00 reais
2ª parcela com os juros = 265,00 reais
Tempo: 3 meses
Taxa: 2% a.m.
O juro é aplicado apenas sobre o saldo devedor, que é a segunda parcela sem os 
juros. Dessa forma, temos que saber quanto é o valor da 2ª parcela sem os juros 
para saber o valor total do produto à vista.
M = C (1 + it) 
M = C + J 
J = M - C
J = C . n . i
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M - C = C . 3 . 0,02
265 - C = 0,06C
1,06C = 265
C = 250,00 reais (valor da 2ª parcela sem os juros)
Valor do produto à vista: 265,00 + 250,00 = 515,00 reais
13. (2017/VUNESP/CÂMARA DA ESTÂNCIA BALNEÁRIA DE ITANHAÉM/SP)
Um capital de R$ 1.500,00 aplicado a juro simples durante 9 meses rendeu juros 
de R$ 81,00. A taxa anual de juros dessa aplicação foi
a) 7,2%
b) 6,8%
c) 6,3%
d) 5,5%
e) 5,2%
Letra a.
Nessa questão vamos aplicar a fórmula dos juros simples:
J = C. i. t 
81 = 1500 . i(mensal) 9
81 = 13500 . i ( mensal) 
i.(mensal) = 81/13500
i(mensal) = 0,006
i anual = 0,006 * 12 = 0,072 = 7,2% a.a 
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14. (2017/VUNESP/IPRESB/SP) Dois capitais distintos, C1 e C2, sendo C2 maior 
que C1, foram aplicados por prazos iguais, a uma mesma taxa de juros simples 
e geraram, ao final da aplicação, montantes iguais a 9/8 dos respectivos capitais 
iniciais. Se a diferença entre os valores recebidos de juros pelas duas aplicações foi 
igual a R$ 500,00, então C2 – C1 é igual a 
a) R$ 3.000,00.
b) R$ 4.000,00.
c) R$ 5.000,00.
d) R$ 6.000,00.
e) R$ 8.000,00
Letra b.
Temos que C2 > C1.
Nessa questão vamos utilizar os conhecimentos de sistema de equações, uma vez 
que temos 2 incógnitas, aplicando o método da substituição. 
Sabemos que montante é dado pela soma de capital + juros, logo:
M1 = C1 + J1 M2 = C2 + J2
Os montantes correspondem 9/8 capitais:
C1+J1 = 9/8*C1 C2 + J2 = 9/8*C2
Isolando no 1º membro os juros, temos:
J1=9/8*C1- C1 J2 = 9/8*C2 - C2
J1= 9/8*C1 - 8/8*C1 J2 = 9/8*C2-8/8*C2
J1=C1/8 J2 = C2/8
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Se a diferença entre os valores recebidos de juros pelas duas aplicações foi igual a 
R$ 500,00, então, temos: 
J2 - J1 = 500
C2/8 - C1/8 = 500 
C2 - C1 = 8 *500
C2 - C1 = 4.000
15. (2016/VUNESP/ODAC) Um certo capital, aplicado a uma taxa de juro simples 
de 10% ano, produzirá juros iguais a 1/20 do valor do capital inicial após
a) 5 meses.
b) 6 meses.
c) 8 meses.
d) 1 ano.
e) 1 ano e 2 meses.
Letra b.
Uma maneira prática de resolver algumas questões de juros simples quando não é 
dado o valor do capital, é simularmos que a aplicação é de R$100,00. 
C = 100
I = 10% a.a
J = 1/20 de C
J= 1/20 de 100 
J= 5
t = ? (em anos) 
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Aplicando a fórmula dos juros, temos:
J = C.i.t 
5 = 100. 0,10 . t 
5= 10 t
t= 1/2 ano = 6 meses
16. (2016/VUNESP/MPE-SP/OFICIAL DE PROMOTORIA) Gabriel aplicou R$ 3.000,00 
a juro simples, por um período de 10 meses, que resultou em um rendimento de 
R$ 219,00. Após esse período, Gabriel fez uma segunda aplicação a juro simples, 
com a mesma taxa mensal da anterior, que após 1 ano e 5 meses resultou em um 
rendimento de R$ 496,40. O valor aplicado por Gabriel nessa segunda aplicação foi
a) R$ 4.000,00.
b) R$ 4.500,00.
c) R$ 5.500,00.
d) R$ 5.000,00.
e) R$ 6.000,00.
Letra a.
1ª Aplicação:
C = 3.000,00
t = 10 meses
J = 219,00
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Vamos encontrar a taxa, pois será a mesma na segunda aplicação.
J = C. i . t 
219 = 3.000. i . 10 
219 = 30000 i
i = 219/30000
i = (219/30000) x 100
i = 219/300 % am
2ª Aplicação:
C=?
t = 1 ano e 5 meses = 17 meses
J = 496,40
I = 219/300 % am (0,0073)
J = C. i . t 
496,40 = C . 0,0073 . 17
496,40 = C. 0,1241
C = 496,4 / 0,1241
C= 4.000,00
17. (2015/VUNESP/CRO-SP) Gabriel vendeu um carro para seu irmão por R$ 
12.600,00. Como seu irmão não tinha todo o dinheiro disponível, ficou combinado 
que ele pagaria uma primeira parcela no ato da compra e que, quando pudesse, 
pagaria o saldo devedor com juros simples de 2% ao mês. Após 5 meses, Gabriel 
recebeu de seu irmão o restante da dívida, com os juros devidos, e o valor recebido 
nessa ocasião acabou por ser o mesmo valor recebido na primeira parcela, ou seja,
a) R$ 6.450,00.
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b) R$ 6.500,00.
c) R$ 6.600,00.
d) R$ 6.615,00.
e) R$ 6.930,00.
Letra c.
Temos que o saldo devedor é igual à primeira parcela.
1ª parcela = 12.600 – C (saldo devedor)
Montante = 1ª parcela 
M = 12.600 - C
i = 2% a.m.
t = 5 meses
Logo,
M = C + J
J = C.i.t
12.600 - C = C + C.i.t
12.600 - C = C + C .0,02.5
12.600 = C + 0,1C + C
C = 12.600/2,1
C = 6.000,00
Valor da 1ª parcela
1ª parcela = 12.600 – C
12.600 - 6.000 = 6.600
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18. (2014/VUNESP/DESENVOLVESP) Um empréstimo no valor de R$ 2.000,00 foi 
liquidado, após 5 meses, por R$ 2.700,00. Qual a taxa de juros mensal, sabendo-se 
que se utilizou juro simples nesse empréstimo?
a) 5% a.m.
b) 7% a.m.
c) 10% a.m.
d) 14% a.m.
e) 15% a.m.
Letra b.
Temos as seguintes grandezas:
Capital: 2.000,00
Montante: 2.700,00
Juros: (2700,00 - 2000,00) = 700,00
Tempo: 5 meses
Taxa: ? 
Questão bem tranquila, na qual iremos aplicar a fórmula dos juros:
J = C i. t 
700 = 2000 . 5 . i 
700 = 10000. I
i = 700/10000
i = 0.07 (x 100) 
i = 7% ao mês
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3. Média Aritmética Simples e Ponderada 
Desafio
Um determinado carro bicombustível (que funciona tanto com álcool como com 
gasolina) é capaz de percorrer 9,2km com cada litro de álcool e 12,4km com cada 
litro de gasolina pura. Suponha que a distância percorrida com cada litro de com-
bustível seja uma função linear (ou afim) da quantidade de álcool que este contém. 
Usando um combustível misto, composto de 75% de gasolina e 25% de álcool, esse 
carro consegue percorrer com cada litro de combustível 
a) 12,16km
b) 11,60km
c) 11,47km
d) 10,00km 
Obs.:� o comentário está no final da aula.
No estudo de uma série estatística, é conveniente o cálculo de algumas me-
didas que a caracterizam. Estas medidas, quando bem interpretadas, podem nos 
fornecer informações muito valiosas com respeito à série estatística para tomada 
de decisões. 
Em suma, podemos reduzi-la a alguns valores, cuja interpretação fornece-nos 
uma compreensão bastante precisa da série. Um destes valores é a medida de ten-
dência central. 
É um valor intermediário da série, ou seja, um valor compreendido entre o me-
nor e o maior valor da série. É também um valor em torno do qual os elementos da 
série estão distribuídos e a posiciona em relação ao eixo horizontal. 
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Em resumo, a medida de tendência central procura estabelecer um número no 
eixo horizontal em torno do qual a série se concentra.
As principais medidas de tendência central são: média, mediana, e moda, 
porém vamos nos concentrar apenas quanto à média simples e ponderada.
A média aritmética é usada para atingir um valor médio de vários valores. Seu 
valor é calculado por meio da divisão dos números somados pela quantidade deles. 
A média possui a função de transformar um conjunto de números em um único 
valor, dando uma visão global dos dados.
Média Aritmética Simples
A média aritmética simples é, como o nome já diz, a mais simples e a de uso 
mais comum. Para entender como é calculada, confira o exemplo abaixo.
A Média Aritmética de um conjunto de dados é obtida somando todos os valores 
e dividindo o valor encontrado pelo número de dados desse conjunto.
É muito utilizada em estatística como uma medida de tendência central. Pode 
ser simples, quando todos os valores possuem a mesma importância, ou pondera-
da, quando considera pesos diferentes aos dados.
Esse tipo de média funciona de forma mais adequada quando os valores são re-
lativamente uniformes, pois a média aritmética sofre influência dos extremos, não 
sendo assim um bom parâmetro para tomada de decisões. 
Por ser sensível aos dados, nem sempre fornece os resultados mais adequados.
Isso porque todos os dados possuem a mesma importância (peso).
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Fórmula
Ms =
X1 + X2 + X3 + ... + Xn
n
Onde,
Ms: média aritmética simples
x1, x2, x3, ..., xn: valores dos dados
n: número de dados
19. (CESGRANRIO) Analise as afirmativas a seguir.
A média aritmética nem sempre é a melhor medida de tendência central.
PORQUE
A média aritmética é influenciada por valores extremos do conjunto de dados.
Considerando-se as relações entre as afirmações, conclui-se que
a) as duas asserções são verdadeiras e a segunda é uma justificativa correta da 
primeira.
b) as duas asserções são verdadeiras e a segunda não é uma justificativa correta 
da primeira.
c) a primeira asserção é uma proposição verdadeira e a segunda, uma proposição 
falsa.
d) a primeira asserção é uma proposição falsa e a segunda, uma proposição ver-
dadeira.
e) tanto a primeira como a segunda são proposições falsas.
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Letra a.
Temos uma característica importante para ressaltar quanto à média aritmética, em 
que os valores sofrem influência dos extremos. Sendo assim, a média aritmética 
simples por si só não é um bom parâmetro para tomada de decisões. Vou exemplifi-
car para você, OK? Digamos que um professor aplica uma avaliação em uma turma 
com as seguintes notas: {5, 6, 10, 2, 8} 
Calculando a média da turma, teremos: 
5 + 6 + 10 + 2 + 8
= 6
5
Temos uma turma com a média aritmética igual a 6, porém temos alunos que tira-
ram notas bem abaixo e alunos que tiraram notas bem acima; logo, a média arit-
mética não expressa bem a realidade da turma. 
A média aritmética será uma boa medida para encontrarmos o somatório dos va-
lores, pois, se multiplicarmos a média aritmética pela quantidade de valores, tere-
mos o total.
Veja: {5 + 6 + 10 + 2 + 8} = (5 x 6) 
20. (INÉDITA) Se a média aritmética entre n, n – 1, 2n + 1 e 4 é 10, determine o 
valor de n.
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A média aritmética entre os valores n, n – 1, 2n + 1 e 4 será dada pela soma dos 
valores dividido pela quantidade de valores somados, isto é, por 4. Já foi nos dado 
a média aritmética e a questão solicita um dos valores, com o qual iremos resolver 
uma equação do 1º grau. 
n + (n – 1) + (2n + 1) + 4
= 10
4
n + n – 1 + 2n + 1 + 4 = 10 · 4
4n + 4 = 40
4n = 40 – 4
4n = 36
n = 36/4
n = 9
Logo, para que a média aritmética entre n, n – 1, 2n + 1 e 4 seja igual a 10, de-
vemos ter n = 9.
21. (UFC) A média aritmética das notas dos alunos de uma turma formada por 25 
meninas e 5 meninos é igual a 7. Se a média aritmética das notas dos meninos é 
igual a 6, a média aritmética das notas das meninas é igual a:
a) 6,5
b) 7,2
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c) 7,4
d) 7,8
e) 8,0
Letra b.
A média aritmética é uma boa medida para que possamos encontrar o somatório 
dos valores, isto é, se a questão me indicar a média aritmética e precisamos da 
soma dos valores, basta multiplicarmos a média (M) pela quantidade (n). 
Total de notas dos meninos: 5. H
Total de notas das meninas: 25. M 
Total de alunos: 30
Média geral: 7 
H: média aritmética dos meninos = 6 
M: média aritmética das meninas
Temos:
5H + 25M
= 7
30
Sabendo que a média dos meninos é igual a 6, então a soma das notas do me-
ninos será: (5 . 6 =30).
5(6) + 25M
= 7
30
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30 + 25M
= 7
30
30 + 25 M = 210
25 M = 180
M = 7,2 (Média aritmética das meninas) 
22. (INÉDITA) A média aritmética de 80 números é igual a 40,5. Adicionando-se a 
esse conjunto de valores o número 243, qual será a nova média aritmética?
Sabendo que a média aritmética de 80 números é 40,5, podemos construir a se-
guinte relação:
x1 + x2 + x3 ... + x80
= 40,5
80
Como já falado anteriormente, a média aritmética é um bom parâmetro para cal-
cularmos o somatório, logo a soma será:
x1 + x2 + x3 ... + x80 = 80 . 40,5
x1 + x2 + x3 ... + x80 = 3240
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Adicionando-se a esse conjunto de valores o número 243, a nova média aritmética 
(M) será:
M = 3240 + 243 = 43
80 + 1
23. (CESPE) Em uma empresa, o salário médio dos empregados é de R$ 500,00. 
Os salários médios pagos aos empregados dos sexos, masculino e feminino são de 
R$ 520,00 e R$ 420,00, respectivamente. Então, nessa empresa: 
a) O número de homens é o dobro do número de mulheres. 
b) O número de homens é o triplo do número de mulheres. 
c) O número de homens é o quádruplo do número de mulheres. 
d) O número de mulheres é o triplo do número de homens. 
e) O número de mulheres é o quádruplo do número de homens. 
Letra c.
A média aritmética é uma boa medida para que possamos encontrar o somatório 
dos valores, isto é, se a questão me indicar a média aritmética e precisamos da 
soma dos valores, basta multiplicarmos a média (M) pela quantidade (n). 
Vamos identificar a quantidade de homens por H e a quantidade de mulheres por M. 
Total dos salários dos homens: 520. H
Total dos salários das mulheres: 420. M 
Total de pessoas: H + M 
Salário Médio dos empregados: 500
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Temos:
520 . H + 420 . M
= 500
H + M
520 . H + 420 . M = 500H + 500 M
520 . H – 500 . H = 500M – 420M 
20 . H = 80M( 20)
H = 4M
Podemos inferir que o número de homens é o quádruplo do de mulheres.
Média Aritmética Ponderada
A média aritmética ponderada é calculada multiplicando cada valor do conjunto 
de dados pelo seu peso.
Depois, encontra-se a soma desses valores que será dividida pela soma dos 
pesos.
Fórmula:
p1 . x1 + p2 . x2 + ... + pn . xn
p1 + p2 + ... + pn
= 500=Mp
Onde,
Mp: Média aritmética ponderada
p1, p2, ..., pn: pesos
x1, x2, ...,xn: valores dos dados
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24. (INÉDITA) Qual é a média ponderada dos números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9, 
sabendo que seus respectivos pesos são 5, 5, 5, 5, 4, 4, 4, 4, 2?
a) 4,5
b) 2,8
c) 4,2
d) 2,9
e) 4,4
Letra a.
Para calcular a média ponderada, basta dividir a soma dos produtos dos números 
pelo respectivo peso pela soma dos pesos:
Mp =
1·5 + 2·5 + 3·5 + 4·5 + 5·4 + 6·4 + 7·4 + 8·4 + 9·2
5 + 5 + 5 + 5 + 4 + 4 + 4 + 4 + 2
Mp =
5 + 10 + 15 + 20 + 20 + 24 + 28 + 32 + 18
38
Mp =
172
38
Mp= 4,5
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25. (INÉDITA) Uma empresa de comunicação conta com duas categorias de fun-
cionários: Telemarketing e diretoria. Os funcionários da primeira categoria recebem 
R$ 950,00 mensalmente, enquanto os da segunda recebem R$ 9500,00. Sabendo 
que essa empresa possui 63 funcionários no setor de telemarketing e 5 diretores, 
o salário médio pago a eles é de, aproximadamente:
a) R$ 5985,00
b) R$ 4750,00
c) R$ 1580,00
d) R$ 950,00
e) R$ 9500
Letra c.
Essa questão poderia ser resolvida por média aritmética. Contudo, para descartar 
a necessidade de somar 63 parcelas de 950, podemos usar multiplicação ou nos 
valermos do conceito de média ponderada:
Mp =
63·950 + 5·9500
63 + 5
Mp =
107350
68
M p = 1578,68
Mp =
59850 + 47500
68
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26. (UNCISAL/2015) Em cada bimestre, uma faculdade exige a realização de qua-
tro tipos de avaliação, calculando a nota bimestral pela média ponderada dessas 
avaliações. Se a tabela apresenta as notas obtidas por uma aluna nos quatro tipos 
de avaliações realizadas e os pesos dessas avaliações,
Sua nota bimestral foi aproximadamente igual a
a) 8,6.
b) 8,0.
c) 7,5.
d) 7,2.
e) 6,8.
Letra d.
O cálculo da média ponderada é dado somando os produtos entre pesos e notas e 
dividindo o resultado pela soma dos pesos. Vejamos:
Mp =
6·4 + 7·4 + 8·2 + 9·2
4 + 4 + 2 + 2
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Mp =
24 + 28 + 16 + 18
12
Mp =
86
12
Mp = 7,17
27. (UNIUBE MG/2014) Um aluno deve atingir 70 pontos para ser aprovado. Esse 
total de pontos é resultado de uma média ponderada de 3 notas, N1, N2 e N3, cujos 
pesos são, respectivamente, 1, 2, 2.
As suas notas, N1 e N2, são, respectivamente, em um total de 100 pontos distri-
buídos em cada uma, 50 e 65. Para ser aprovado, a sua nota N3 (em 100 pontos 
distribuídos) deverá ser:
a) Maior ou igual a 70 pontos.
b) Maior que 70 pontos.
c) Maior que 85 pontos.
d) Maior ou igual a 85 pontos.
e) Maior ou igual a 80 pontos.
Letra d.
O cálculo da média ponderada é dado somando os produtos entre pesos e notas e 
dividindo o resultado pela soma dos pesos. Vejamos:
70 =
1·50 + 2·65 + 2·x
5
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70 =
50 + 130 + 2·x
5
5·70 = 50 + 130 + 2·x
350 = 50 + 130 + 2·x
350 – 50 – 130 = 2·x
350 – 180 = 2·x
170 = 2x
x = 170/ 2
x = 85
Para ser aprovado, a sua nota N3 (em 100 pontos distribuídos) deverá ser maior 
ou igual a 85.
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Comentário do Desafio
Usando um combustível misto, composto de 75% de gasolina e 25% de álcool, po-
demos interpretar que essas porcentagens representam os pesos, isto é, de quanto 
estão sendo representados a gasolina e o álcool na nova mistura. Dessa forma, 
vamos fazer o seguinte:
Mp =
9, 2. (0, 25) + 12, 4. (0, 75) 
0, 25 + 0, 75
Mp =
2, 3 + 9, 3
1
Mp= 11, 6 Km 
Resposta: letra b
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