4ª Área - Números Índices

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4ª Área
Nessa área, você encontrará conceitos referentes a Números-Índices 
Conteúdos
5.1 Introdução
5.2 Números-Índices Simples
5.3 Números-Índices Ponderados
5.4 Mudança de Base
5.5 Índices de Preços ao Consumidor
5.6 Deflacionamento de Valores
5.1 Introdução
Freqüentemente precisamos analisar algum tipo de informação ocorrida num período de tempo como as variações do dólar, do preço da gasolina, das vendas da empresa, das exportações, etc. Se analisamos, por exemplo, valores correspondentes à venda anual por uma empresa no ano corrente e no ano anterior, podemos nos enganar ao interpretarmos a variação como um “aumento/diminuição” das vendas. Isto pode ocorrer se nesta comparação considerarmos apenas os valores esquecendo de analisar as quantidades vendidas.
Os números-índices possibilitam identificar de forma separada, se as variações monetárias ocorridas se devem a variações nos preços ou variações nas quantidades, ou em ambas. A Economia de um modo geral utiliza números-índices quando investiga variações de consumo, nas exportações, importações, etc.; a indústria utiliza para acompanhar as variações nas vendas, na produtividade do trabalho, etc.
Conforme Farias et all. (1991, p.261), Número-Índice é um indicador estatístico utilizado para medir as variações ocorridas entre diferentes valores de uma série estatística. Podemos medir as variações nos preços, nas quantidades ou nos valores de um conjunto de bens ou produtos. Existem vários tipos de números-índices. A partir dele, podemos construir um Índice de Preços ao Consumidor (IPC) que é uma medida síntese do movimento de preços de um conjunto de mercadorias, em certo período de tempo.
Número-Índice
Número-Índice é um indicador estatístico utilizado para medir as variações ocorridas entre diferentes valores de uma série estatística. (Farias et all., 1991, p.261)
Vejamos a seguir algumas fórmulas de números-índices, usando como exemplo, os preços e a quantidade de dois produtos vendidos nos anos de 1999, 2000 e 2001. 
5.2 Números-Índices Simples
Vejamos inicialmente como podemos analisar uma variação ocorrida em um bem em um período de tempo. Podemos verificar qual foi a variação nos preços, na quantidade e no valor do arroz consumido entre 1999 a 2001. Utilizaremos a Tabela 5.1 para a demonstração. 
Tabela 5.1 – Dados sobre preço, quantidade e valor
 de arroz e leite consumidos
	Produtos
	2007
	2008
	2009
	
	Preço
(R$)
	Quantidade
	Valor
(R$)
	Preço
(R$)
	Quantidade
	Valor
(R$)
	Preço
(R$)
	Quantidade
	Valor
(R$)
	Arroz (kg)
	3,00
	1.000
	3.000
	4,00
	900
	3.600
	3,80
	1.600
	6.080
	Leite (l)
	3,00
	500
	1.500
	2,70
	1.000
	2.700
	3,00
	600
	1.800
	
	
	
	4.500
	
	
	6.300
	
	
	7.880
Se olharmos para os valores do leite e do arroz consumido em 2008 e 2009, percebemos que se elevaram em relação a 2007. Mas quanto deste aumento se deve ao aumento das quantidades e quanto se deve ao aumento dos preços? A partir dos números-índices relativos podemos decompor a variação do valor em variações de preço e quantidade. 
Relativos de Preço
Para medir a variação nos preços, precisamos considerar no mínimo dois períodos. Dentre os períodos analisados, um chamaremos de período base (p0), ou seja, a época a partir d qual iniciamos o processo de acompanhamento dos preços. O s outros períodos chamaremos de período atual (pn), ou seja época do cálculo de variação. O índice relativo de preços é uma medida simples da variação ocorrida nos preços de um período em relação ao período base, e é obtida pela razão entre os preços dos períodos.
Índice Relativo de Preços
0
p
p
I
n
p
=
A variação nos preços do arroz entre 2007 e 2009, considerando 2007 como período base (p0) é: 
333
1
00
3
00
4
0
,
,
,
p
p
I
n
p
=
=
=
O preço do arroz entre 1999 e 2000 teve uma elevação de 33,3% ((1,333 – 1,000)x100). 
Podemos também verificar a variação do preço do arroz entre 1999 e 2001. Neste caso a variação encontrada foi de 26,7%.
267
1
00
3
80
3
0
,
,
,
p
p
I
n
p
=
=
=
Os índices relativos de preço do arroz e do leite estão apresentados na Tabela 5.2.
Tabela 5.2 – Índices Relativos de Preço do Arroz e do Leite (base = 2007)
	
	2007
	2008
	2009
	Ip arroz
	1,000
	1,333
	1,267
	Ip leite
	1,000
	0,900*
	1,000**
* (2,70/3,00)
** (3,00/3,00)
Perceba que o preço do leite em 2008, caiu 10% (0,900-1,000) com relação a 2007 e continuou estável (1,000 – 1,000 = 0%) em 2009 (também com relação ao período base de 1999).
Relativos de Quantidade
O procedimento adotado para cálculo dos números-índices relativos de preço, pode ser estendido para o cálculo dos relativos de quantidade e de valor.
Índice Relativo de Quantidade
0
q
q
I
n
q
=
Calculando os índices de quantidade para o leite e o arroz, considerando como período base 2007, obtemos os seguintes índices apresentados na Tabela 5.3.
Tabela 5.3 – Índices Relativos de Quantidade do Arroz e do Leite (2007=1,000)
	
	2007
	2008
	2009
	Iq arroz
	1,000
	0,900*
	1,600**
	Iq leite
	1,000
	2,000***
	1,200****
* (900/1.000)
** (1.600/1.000)
*** (1.000/500)
**** (600/500)
Podemos considerar que, com relação ao período base de 2007, as quantidades consumidas de arroz em 2008 caíram 10% e em 2009 elevaram-se em 60%. Em relação ao leite, a quantidade consumida dobrou (aumento de 100%: 2,00 – 1,00) entre 2007 e 2008. Já em 2009, a quantidade aumentou só 20% com relação a 2007.
Relativos de Valor
Índice Relativo de Valor
0
v
v
I
n
v
=
Analogamente, os índices para valor do arroz e do leite consumidos:
Tabela 5.3 – Índices Relativos de Valor do Arroz e do Leite (1999=1,000)
	
	2007
	2008
	2009
	Iv arroz
	1,000
	1,200*
	2,027**
	Iv leite
	1,000
	1,800***
	1,200****
* (3.600/3.000)
** (6.080/3.000)
*** (2.700/1.500) 
**** (1.800/1.500)
O valor do arroz consumido entre 2007 e 2008 aumentou em 20% e entre 2007 e 2009 aumentou 127%. O valor do leite teve aumentos de 80% e 20% respectivamente.
5.3 Números-Índices Ponderados
Nos índices relativos calculados anteriormente, verificamos o relativo de cada produto individualmente. Entretanto, precisamos de índices que nos permitam conhecer, por exemplo, qual a variação nos preços em geral ocorrida em um período de tempo. Se somássemos os índices de preços obtidos em cada produto, teríamos um índice de preços agregados não ponderados. Segundo Kazmier (1982, p.347), “um índice não ponderado, geralmente, não é muito útil, porque o peso implícito de cada item no índice depende das unidades nas quais os preços são baseados.”
Índice de Laspeyres
Um índice agregado de preço muito conhecido é o índice de Laspeyres. Nele os preços são ponderados pelas quantidades no período base antes de serem somados. 
Índice de Laspeyres 
(
)
(
)
(
)
å
å
´
´
=
0
0
0
q
p
q
p
L
I
n
onde:
pn = Preço no período atual
p0 = Preço no período base
q0 = Quantidade no período base
Consideremos os preços e quantidades do exemplo anterior.
Tabela 5.4 – Preço e quantidade do Arroz e do Leite em 2007 e 2008
	Produtos
	2007
	2008
	
	
	
	Preço (R$)
p0
	Quantidade
q0
	Preço (R$)
pn
	Quantidade
	pnq0
	p0q0
	Arroz (kg)
	3,00
	1.000
	4,00
	900
	4.000
	3.000
	Leite (l)
	3,00
	500
	2,70
	1.000
	1.350
	1.500
	
	
	
	
	
	5.350
	4.500
Para calcular o índice agregado de Laspeyres entre 2007 e 2008, consideremos as quantidades de 2007 como quantidades no período base. 
(
)
(
)
(
)
189
,
1
500
.
4
350
.
5
0
0
0
=
=
´
´
=
å
å
q
p
q
p
L
I
n
Os preços aumentaram segundo o índice de Laspeyres em 18,9%. 
Índice de Paasche
Em lugar de usar as quantidades do período base como pesos, o índice de Paasche utiliza as quantidades do período atual.
Índice de Paashe
(
)
(
)
(
)
å
å
´
´
=
n
n
n
q
p
q
p
P
I
0
onde:
pn = Preço no período atual
p0 = Preço no período base
qn = Quantidade no período atual
Calculando o índice de Paashe:
	Produtos
	2007
	2008
	
	
	
	Preço (R$)
p0
	Quantidade
	Preço (R$)
pn
	Quantidade
qn
	pnqnp0qn
	Arroz (kg)
	3,00
	1.000
	4,00
	900
	3.600
	2.700
	Leite (l)
	3,00
	500
	2,70
	1.000
	2.700
	3.000
	
	
	
	
	
	6.300
	5.700
(
)
105
1
700
5
300
6
0
,
.
.
q
p
q
p
P
I
n
n
n
=
=
´
´
=
å
å
Pelo índice de Paashe, o aumento nos preços foi de 10,5%.
Índice Ideal de Fisher 
Percebemos que os índices encontrados a partir de Laspeyres e Paashe, geraram valores bem diferentes. Qual o índice escolher? Uma forma de acabarmos com este problema, é aplicarmos o Índice Ideal de Fisher
, que nada mais é do que a média geométrica dos índices de Laspeyres e Paashe.
Índice Ideal de Fisher
(
)
(
)
(
)
P
I
L
I
F
I
´
=
onde:
I(L) = Índice de Laspeyres
I(P) = Índice de Paashe
Neste caso, o índice ideal de Fisher é igual a:
(
)
(
)
(
)
P
I
L
I
F
I
´
=
=
105
1
189
1
,
*
,
 = 1,146
Um aumento de 14,6% nos preços.
5.4 Mudança de Base
Freqüentemente é necessária a mudança da base de um número-índice para um ano mais recente. Supondo que não dispomos dos preços e quantidades relacionadas ao período, ou seja, dispomos apenas dos índices de cada período, podemos alterar o período base dividindo cada índice (original) pelo índice da nova base fixada. (Kazmier, 1982, p.348)
base
 
nova
 
da
 
antigo
 
índice
I
I
)
antigo
(
n
)
alterada
(
n
=
Por exemplo, se dispomos da seguinte série de números-índices com base em 1996.
Tabela 5.5 – Índices fictícios
	Ano
	Índice (2006 = 1,00)
	Índice (2008 = 1,00)
	2004
	0,742
	0,634a
	2005
	0,814
	0,696b
	2006
	1,000
	0,855c
	2007
	1,140
	0,974d
	2008
	1,170
	1,000e
	2009
	1,189
	1,016f
Adaptado de Kazmier (1982, p352).
Para modificarmos a base de 2006 para uma época mais recente, por exemplo 2008, obtemos os novos índices da seguinte maneira:
a: 
634
,
0
170
,
1
742
,
0
2008
 
para
 
antigo
 
índice
)
(
2004
)
(
2004
=
=
=
antigo
alterada
I
I
b: 
696
,
0
170
,
1
814
,
0
2008
 
para
 
antigo
 
índice
)
(
20055
)
(
2005
=
=
=
antigo
alterada
I
I
c: 
855
,
0
170
,
1
000
,
1
2008
 
para
 
antigo
 
índice
)
(
2006
)
(
2006
=
=
=
antigo
alterada
I
I
d: 
974
,
0
170
,
1
140
,
1
2008
 
para
 
antigo
 
índice
)
(
20077
)
(
2007
=
=
=
antigo
alterada
I
I
e: 
000
,
1
170
,
1
170
,
1
2008
 
para
 
antigo
 
índice
)
(
2008
)
(
2008
=
=
=
antigo
alterada
I
I
f: 
016
,
1
170
,
1
189
,
1
2008
 
para
 
antigo
 
índice
)
(
2009
)
(
1999
=
=
=
antigo
alterada
I
I
5.5 Índice de Preços ao Consumidor
Um dos índices mais conhecidos e utilizados é o Índice de Preços ao Consumidor (IPC). Ele é calculado por diversas instituições como a Fundação Getúlio Vargas (RJ), Fundação Instituto de Pesquisas Econômicas (SP), O Centro de Estudos e Pesquisas Econômicas da UFRGS – IEPE (RS). Estas instituições calculam índices de preços regionais. 
A nível nacional, existe o Índice Nacional de Preços ao Consumidor (INPC), elaborado pelo IBGE, que serve de base para o cálculo dos reajustes salariais. É utilizado como uma aproximação para o índice de custo de vida, conceito da Teoria Econômica. Segundo Farias (1991, p. 265), 
“o INPC consiste numa média ponderada de índices calculados primeiramente para cada uma das seguintes regiões metropolitanas: Rio de Janeiro, Porto Alegre, Belo Horizonte, Recife, São Paulo, Belém, Fortaleza, Salvador e Curitiba além do Distrito Federal e do município de Goiânia. (...) A população-alvo do INPC consiste das famílias com rendimentos mensais compreendidos entre 1 e 8 salários mínimos, cujo chefe é assalariado em sua ocupação principal e reside nas áreas urbanas das regiões.”
O índice é calculado em cada região separadamente. São analisados 46 ítens no total, onde cada grupo de despesas tem um peso diferenciado em cada região
. O índice utilizado para o cálculo do INPC é o de Laspeyres (com a quantidades no ano base fixa). 
5.6 Deflacionamento de Valores
Sabemos que não é possível a comparação de valores monetários em épocas distintas devido a uma desvalorização da moeda ocorrida no período. Estes valores são chamados de valores nominais. Os valores reais que são os que podem ser comparados, e são obtidos através do deflacionamento dos dados. A diferença entre o valor nominal e o valor real, chamamos de perda do poder aquisitivo ou aumento do custo de vida. 
Analisemos, por exemplo, os salários durante o período de janeiro de 2002 a abril de 2003. Se olharmos para o salário nominal em janeiro de 2002 e em março de 2003, podemos nos iludir pensando que o salário aumentou. Mas, se verificarmos o valor deflacionado (salário real) percebemos que houve uma desvalorização no poder de compra.
Para deflacionar:
IPC
al
min
SalárioNo
al
Re
Salário
=
Desta forma, calculamos os salários nominais abaixo:
Tabela 5.6 – Salário Mínimo (R$ Valor Nominal) e Índice de Preços ao Consumidor (IPC) da RMSP (jan.2002 = 1,00)
	
	Salário Nominal
(R$)
	IPC
	Salário Real
(R$)
	2002 01
	180,00
	1,0000
	180,00
	2002 02
	180,00
	1,0026
	179,53
	2002 03
	180,00
	1,0032
	179,43
	2002 04
	200,00
	1,0038
	199,24
	2002 05
	200,00
	1,0043
	199,14
	2002 06
	200,00
	1,0074
	198,53
	2002 07
	200,00
	1,0142
	197,20
	2002 08
	200,00
	1,0245
	195,22
	2002 09
	200,00
	1,0323
	193,74
	2002 10
	200,00
	1,0455
	191,30
	2002 11
	200,00
	1,0732
	186,36
	2002 12
	200,00
	1,0928
	183,02
	2003 01
	200,00
	1,1167
	179,10
	2003 02
	200,00
	1,1347
	176,26
	2003 03
	200,00
	1,1424
	175,07
	2003 04
	240,00
	1,1489
	208,90*
Fonte: Gazeta Mercantil e Fundação Instituto de Pesquisas Econômicas (Fipe).
* (240,00/1,149) = 208,90
Ao compararmos os salários com janeiro de 2002 (período base), percebemos que o salário teve uma queda no poder aquisitivo em fevereiro e em março deste ano, que foi recuperada em abril. Após, o salário manteve-se valorizado com relação a janeiro de 2002 até janeiro de 2003 quando voltou a se desvalorizar. Em abril de 2003 há uma valorização do salário com o aumento do salário mínimo para R$ 240,00.
� Valor = preço x quantidade.
� Esta notação é utilizada para representar que o período base é 2007 (base = 2007). Em algumas séries, o índice é multiplicado por 100. A notação utilizada passa então a ser (2007=100).
� Segundo Silver (2000, p. 132) a teoria econômica “mostrou que o índice de preços ‘verdadeiro’, aquele que mede o custo de manutenção dos padrões de vida do consumidor baseado na utilidade das compras, deve ficar entre os índices de Laspeyres e Paashe”. 
� Até jul. 1999, a estrutura do índice de preços era composta de 7 grupos: 1. Alimentação e bebidas; 2. Habitação; 3. Artigos de residência; 4. Vestuário; 5. Transportes e comunicação; 6. Saúde e cuidados pessoais; 7. Despesas pessoais. A partir de ago. 1999 ela passou a ser composta de 9 grupos: 1. Alimentação e bebidas; 2. Habitação; 3. Artigos de residência; 4. Vestuário; 5. Transportes; 6. Saúde e cuidados pessoais; 7. Despesas pessoais; 8. Educação, leitura e papelaria; 9. Comunicação.
� Para maiores informações sobre o INPC, veja Farias (1991) e IBGE.
7
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_1116050084.unknown
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_1115818111.unknown
_1115817892.unknown
_1115758661.unknown