Revisão Complexos 1

Prévia do material em texto

Revisão - Complexos
Imersão de ℝ em ℂ
	Consideremos um subconjunto de ℂ formado pelos pares ordenados cujo segundo termo é zero:
R’={(a,b)∈ ℂ / b=0}
	Exemplo: (-2, 0); (	2,0);	2 ,0
5
Unidade Imaginária
	DEFINIÇÃO: i é o número complexo (0, 1) PROPRIEDADE BÁSICA: 𝑖2
CONSEQUÊNCIA (n ∈ ℕ):
 𝑖3
 𝑖4
 𝑖2𝑛
 𝑖4𝑛−1
Forma Algébrica
	TODO NÚMERO COMPLEXO z = (x, y) PODE SER ESCRITO PELA FORMA ALGÉBRICA:
z = x + y.i	VERIFIQUE!
Parte real	Parte Imaginária
	Simbolicamente:	x = Re(z)	y = Im(z)
	REAL: todo complexo cuja parte imaginária é nula.
	IMAGINÁRIO PURO: todo complexo cuja parte real é nula.
Exemplos:
1) Considere os números complexos: z1 = 5 + 8i, z2 = 1 + 2i. Calcule:
a) z1 + z2
b) z1 . z2
c) z1 𝟐
2) (UFSCar-SP) Sejam x, y R e z = x + yi um número complexo.
a) Calcule o produto (x + yi) ∙ (1 + i).
b) Determine x e y, para que se tenha (x + yi) ∙ (1 + i) = 2
Conjugado
	O conjugado de um número z = x + yi é o número 𝑧 = x – yi
Exemplos: Dê o conjugado de:
a) Z = 3 + 5i
b) Z = 3 – 5i
c) Z = -4 – 4i
d) Z = 7i
e) Z = 5
OBSERVE: z e 𝑧 são complexos conjugados (um é conjugado do outro).
Conjugado - Divisão
 (
=
)	Dados 𝑧1= a + bi ≠ 0 e 𝑧2= c + di, temos:
𝑧2
𝑧1
= c + di a + bi
= (c + di).(a − bi)
(a + bi).(a − bi)
ca+db a² + b² +
da−cb a² + b² i
	Para dividir dois complexos, basta multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do denominador.
	Ex: 3+2i
1+i
Norma e Módulo
Seja z 𝜖 ℂ = (x, y):
	Norma:
N(z) = x² + y ²
	Módulo:
|z|=	𝑁(𝑧) =	𝑥2 + 𝑦²
	Exemplo: Dê a norma e o módulo de:
a) Z = (2,3)
b) Z = - 3i
c) Z = 7
d) Z = -1 + 2i
Propriedades do Módulo
	Seja z 𝜖 ℝ= (x, 0)  |z|= |x|
 |z| =	𝑥2 + 0² =	𝑥2 = |x|
	Exemplo:
a) Z = 2  |z| = 2 b) Z = - 3  |z| = 3
 E se z for imaginário puro?
Argumento – Plano de Argand-Gauss
z complexo / z = x + yi ou (x,y) Argumento = 𝜃0 + 2𝑘𝜋; 𝑘 𝜖 ℝ
Cos 𝜃 =
Sen 𝜃 =
	Eixo real
	Eixo imaginário
Exemplo: Calcule o argumento de:
a) z =	3 + i
b) z = - 2i
c) z = 4
d) z = - 1 - i
Forma Trigonométrica ou Polar
Dado um complexo z = (x,y), não nulo, temos:
z = x + yi = ρ.	𝑥 + 𝑦 . 𝑖
 (
=
 
ρ.
𝑐𝑜𝑠𝜃
 
+
 
𝑖.
 
𝑠𝑒𝑛𝜃
)𝜌	𝜌
Exemplo: Dê a forma trigonométrica de:
a) z =	3 + i
b) z = - 2i
c) z = 4
d) z = - 1 - i
A forma trigonométrica é mais prática para efetuar operações
de potenciação e radiciação.
Multiplicação – Forma trigonométrica
	Exemplo, calcule z1 . Z2 , sendo:
Potenciação: Fórmula de Moivre
1ª Fórmula de Moivre
 (
.
) (
.
)	Exemplos: a)
b)
Radiciação: Fórmula de Moivre
2ª Fórmula de Moivre
 Exemplos:
a) Calcular as raízes quadradas de -1.
b) Calcular as raízes cúbicas de 8.
c) Calcular as raízes quartas de – 8 + i.8√3
Raízes Trinômias
Equação Binômia:
axn+ b = 0
Exemplo: Resolva a equação: 3x6 + 192 = 0.
Equação Binômia:
ax2n + bn = 0
Exemplo: Resolva a equação: x6 + 7x³ = 0.