noções de matematica

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Prof. Me. AMINTAS LIRA
NOÇÕES DE MATEMATICA PARA A QUÍMICA
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
Ao final desta aula, o aluno deverá ser capaz de:
• Entender as definições relacionadas aos conjuntos 
numéricos e números reais.
• Identificar o valor absoluto e relativo de um número.
• Compreender e diferenciar expoentes naturais, zero 
e racionais.
• Realizar operações matemáticas contendo frações 
comuns e decimais.
CONCEITOS BÁSICOS
• NÚMERO: é a ideia de quantidade que nos vem à mente quando
contamos, ordenamos e medimos. Assim, estamos pensando em
números quando contamos as portas de um automóvel, enumeramos
a posição de uma pessoa numa fila ou medimos o peso de uma caixa.
• NUMERAL: é toda representação de um número, seja ela escrita,
falada ou digitada.
• ALGARISMO (Digito): é todo símbolo numérico que usamos para
formar os numerais escritos.
Ex.: O número vinte e três pode ser representado pelo numeral XXIII (no sistema
romano), pelo numeral 23 (no sistema indo-arábico) e de muitas outras maneiras. No
sistema indo-arábico, sua representação usou os algarismos 2 e 3, e no sistema
romano usou os algarismos X e I.
TEORIA DOS CONJUNTOS
• É a teoria matemática que trata do agrupamento de elementos;
• Os elementos são os componentes do conjunto (que podem ser
qualquer coisa: números, pessoas, átomos), são indicados por letra
minúscula;
• Os conjuntos, são representados por letras maiúsculas e,
normalmente, dentro de chaves ({ }), onde os elementos são
separados por vírgula ou ponto e vírgula.
A = {a,e,i,o,u}
• Para indicar uma propriedade que caracterize cada elemento do
grupo é usado “/”, que significa “tal que”.
A = {x/ x ∈ vogais}
TEORIA DOS CONJUNTOS
Relação de Pertinência
• É a relação de pertença de um elemento a um conjunto. indica se o 
elemento pertence (∈) ou não pertence (∉) a um determinado 
conjunto.
A = {a,e,i,o,u}
Logo,
o ∈ A (o pertence ao conjunto A)
k ∉ A (j não pertence ao conjunto A)
TEORIA DOS CONJUNTOS
Relação de Inclusão
• É a relação de pertença de um conjunto a um outro conjunto. indica 
se todos os elemento de um conjunto então contidos (⊂) ou não 
estão contidos (⊄) em um outro conjunto, ou se um determinado 
conjunto contém (⊃) ou não contém(⊅) todos os elementos de um 
outro conjuntos.
B ⊂ A A ⊄ B 
C ⊂ A A ⊄ B
A ⊃ B B ⊅ C
A ⊃ C C ⊅ B
TEORIA DOS CONJUNTOS
Operações entre Conjuntos 
TEORIA DOS CONJUNTOS
Identifique as relações presentes entre os conjuntos abaixo: 
NÚMEROS NATURAIS
• Grupo de números constituídos pelo “0” e os números inteiros
positivos, possui um número ilimitado de elementos.
ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12...}
• Subconjuntos dos números Naturais:
- Conjunto dos Números Naturais Não-Nulos:
ℕ * = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9...}
- Conjunto dos Números Naturais Pares:
ℕ = {2, 4, 6, 8, 10...}
- Conjunto dos Números Naturais Ímpares:
ℕ = {1, 3, 5, 7, 9...}
NÚMEROS INTEIROS
• Grupo de números constituído pelo “0” e os números positivos e
negativos;
• Os números inteiros negativos são sempre acompanhados pelo sinal
(-), enquanto os números inteiros positivos podem vir ou não
acompanhados de sinal (+). O zero é um número neutro, ou seja,
não é um número nem positivo e nem negativo.
ℤ = {..., - 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3,...}
• A relação de inclusão no conjunto dos inteiros envolve o conjunto
dos números naturais (ℕ) junto com os números negativos.
• É representado pela letra Z, por conta da palavra Zahl, que em
alemão significar "número".
NÚMEROS INTEIROS
• O conjunto dos números naturais (ℕ) é um subconjunto de ℤ, pois
está contido no conjunto dos números inteiros. Assim:
NÚMEROS INTEIROS
• Subconjuntos dos Números Inteiros, além do conjunto de Números
Naturais:
- Conjunto dos Números Inteiros Não-Nulos:
ℤ* = {..., -3,-2,-1, 1, 2, 3, 4, ...}
- Conjunto dos Números Inteiros Não Negativos:
ℤ+ = {0, 1, 2, 3, 4, ...}
- Conjunto dos Números Inteiros Não Positivos:
ℤ-= {..., -4,-3,-2,-1, 0}
- Conjunto dos Números Inteiros Positivos:
ℤ*+ = {1,2,3,4, 5...}
- Conjunto dos Números Inteiros Negativos:
ℤ*-= {..., -4,-3,-2,-1}
NÚMEROS INTEIROS
Representação na Reta Numérica
• Os números inteiros podem ser representados por pontos na reta
numérica. Nesta representação, a distância entre dois números
consecutivos é sempre a mesma;
• Os números que estão a uma mesma distância do zero, são
chamados de opostos ou simétricos.
Ex.: O -4 é o simétrico de 4, pois estão a uma mesma distância do
zero, conforme assinalado na figura abaixo:
NÚMEROS RACIONAIS
• Grupo de números que podem ser escritos na forma de fração.
Esses números podem também ter representação decimal finita ou
decimal infinita e periódica.
•
Isto é
• É representado pela letra ℚ, por conta da palavra quotient, que em
inglês significar “quociente".
•
NÚMEROS RACIONAIS
Exemplos de números racionais:
• Números Inteiros:
• Números Decimais Exatos:
• Números Decimais Periódicos (Dízimas Periódicas)
NÚMEROS RACIONAIS
• O conjunto dos números racionais (Q) contém o conjunto dos
números inteiros (ℤ), que por sua vez contém o conjunto dos
números naturais(ℕ). Assim :
NÚMEROS RACIONAIS
• Subconjuntos dos Números Racionais, além do conjunto de
Números Inteiros e Naturais:
- Conjunto dos Números Racionais Não-Nulos:
Constituído pelos Números racionais sem o zero.
- Conjunto dos Números Racionais Não-Negativos:
Constituído pelos Números racionais positivos e o zero.
- Conjunto dos Números Racionais Não-Positivos:
Constituído pelos Números racionais negativos e o zero.
- Conjunto dos Números Racionais Positivos:
Constituído pelos Números racionais positivos.
- Conjunto dos Números Racionais Negativos:
Constituído pelos Números racionais negativos.
NÚMEROS RACIONAIS
• Subconjuntos dos Números Racionais, além do conjunto de
Números Inteiros e Naturais:
- Conjunto dos Números Racionais Não-Nulos:
- Conjunto dos Números Racionais Não-Negativos:
- Conjunto dos Números Racionais Não-Positivos:
- Conjunto dos Números Racionais Positivos:
- Conjunto dos Números Racionais Negativos:
NÚMEROS RACIONAIS
Dízimas periódicas ou numerais decimais periódicos
• São números decimais em que há repetição periódica e infinita de
um ou mais algarismos, ou seja, apresentam um ou mais algarismos
que se repetem na mesma ordem infinitamente.
Ex.: 0,1111... = 0,1 (1/9)
0,3333... = 0,3 (1/3)
0,232323... = 0,23 (23/99)
• Quando um número é decimal infinito, mas não apresenta
algarismos que se repetem, ou seja, não possui um período, ele não
será um dízima periódica e sim um número irracional.
PERÍODO: O algarismo ou 
algarismos que se 
repetem infinitamente
FRAÇÃO GERATRIZ: 
Representação do numeral 
decimal como fração
NÚMEROS RACIONAIS
Dízimas periódicas ou numerais decimais periódicos
• Dízimas periódicas simples:
O período está logo após a vírgula;
Ex.: 0,34343434... → parte inteira: 0; período: 34.
1,222222... → parte inteira: 1; período: 2.
234,193193193... → parte inteira: 234; período: 193.
• Dízimas periódicas compostas:
Entre o período e a vírgula existe uma parte que não periódica
(antiperíodo);
Ex.: 3,125555... → parte inteira: 3; antiperíodo: 12; período: 5.
1,7863333... → parte inteira: 1; antiperíodo: 786; período: 3.
11,23505050... → parte inteira: 11; antiperíodo: 23; período: 50.
NÚMEROS RACIONAIS
Representação na Reta Numérica
NÚMEROS IRRACIONAIS
• São números decimais, infinitos e não-periódicos e não podem ser
representados por meio de frações irredutíveis, isto é, não podem ser
representados por fração constituída por números inteiros. São
representados pela letra 𝕝.
Ex.: √2 = 1,414213562373....
√3 = 1,732050807568....
√5 = 2,236067977499...
√7 = 2,645751311064...
𝜋 = 1415926535897...
NÚMEROS IRRACIONAIS
NÚMEROS REAIS
• Grupo de números que podem ser expressos na forma decimal;
• É representado pela letra ℝ e é constituído pelos grupos de Números
Naturais, Inteiros, Racionais e Irracionais.
Números Naturais(N): ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, 5,...}
Números Inteiros (Z): ℤ= {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...}
Números Racionais (Q):ℚ = {...,1/2, 3/4, –5/4...}
Números Irracionais (I): 𝕝 = {...,√2, √3,√7, 3,141592....}
NÚMEROS REAIS
NÚMEROS REAIS
Representação na Reta Numérica
NÚMEROS REAIS
Representação na Reta Numérica
NÚMEROS REAIS
Representação na Reta Numérica
• A comparação entre dois números reais é representada por uma
propriedade matemática que trata da relação de ordem entre eles:
NÚMEROS REAIS
Representação na Reta Numérica
• Representação de intervalos na reta:
Os extremos 
estão incluídos
Os extremos não 
estão incluídos
NÚMEROS REAIS
Representação na Reta Numérica
• Desigualdades podem ser usadas para descrever intervalos de
números reais:
NÚMEROS REAIS
Representação na Reta Numérica
• Desigualdades podem ser usadas para descrever intervalos de
números reais:
NÚMEROS REAIS
Representação na Reta Numérica
• Representação de intervalos na reta:
NÚMEROS REAIS
Representação na Reta Numérica
• Representação de intervalos na reta:
NÚMEROS REAIS
Representação na Reta Numérica
• Representação de intervalos na reta:
Notação de 
desigualdade
Tipo de 
intervalo
Notação de 
intervalo
Representação gráfica
𝜒 < 3
−1 < 𝜒 ≤ 4
−4 < 𝜒 < −0,5
𝜒 ≥ 0
NÚMEROS REAIS
Representação na Reta Numérica
• Representação de intervalos na reta:
NÚMEROS REAIS
Representação na Reta Numérica
• Representação de intervalos na reta:
NÚMEROS REAIS
Representação na Reta Numérica
• Representação de intervalos na reta:
VALOR ABSOLUTO E RELATIVO DE UM 
ALGARISMO 
• Valor absoluto ou módulo (V.A.): É o valor individual do algarismo,
não depende da sua posição no numeral.
• Valor relativo ou posicional (V.R.): É o valor do algarismo de acordo
com sua posição no numeral.
Ex.:
21 385
V.A. (1) = 1 V.R.(1) = 1
V.A. (2) = 2 V.R. (2) = 20
V.A. (5) = 5 V.R.(5) = 5
V.A. (8) = 8 V.R. (8) = 80
V.A. (3) = 3 V.R. (3) = 300
7469
V.A. (9) = 9 V.R.(9) = 9
V.A. (6) = 6 V.R. (6) = 60
V.A. (4) = 4 V.R. (4) = 400
V.A. (7) = 7 V.R. (7) = 7000
VALOR ABSOLUTO OU MÓDULO
• Valor absoluto ou módulo (V.A.): Também pode ser descrito na
matemática como a distância de um ponto em uma reta até à origem,
ou seja, a distância do ponto até o zero;
• Dessa forma o módulo (V.A.) de 3 é 3, e de -2 é 2, e os representamos
entre barras:
VALOR ABSOLUTO OU MÓDULO
• Se o número for positivo seu valor absoluto ou módulo corresponde
ao mesmo número se ele for negativo corresponde ao seu número
oposto (ou simétrico):
l-4l = 4
Pois, l-4l = l4l
VALOR ABSOLUTO OU MÓDULO
• Matematicamente podemos demonstrar da seguinte forma:
• Sabendo disso resolva os módulos abaixo:
l5l
l-1/2l
l10l
l-1l
POTENCIAÇÃO OU EXPONENCIAÇÃO
• Operação matemática que representa a multiplicação de fatores
iguais, isto é, quando um número é multiplicado por ele mesmo
várias vezes.
Ex.: 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 = 24 = 16
(2x + 3) ∙ (2x + 3) = (2x + 3)2
POTENCIAÇÃO OU EXPONENCIAÇÃO
número 
multiplicado por 
ele mesmo
número de 
vezes que a base 
é multiplicada
resultado da 
operação
POTENCIAÇÃO OU EXPONENCIAÇÃO
POTENCIAÇÃO OU EXPONENCIAÇÃO
Outras propriedades
• Quando o expoente não for um número inteiro
• Quando a base for negativa e o expoente um número ímpar, o 
resultado será negativo;
(- 3)3 = (- 3) x (- 3) x (- 3) = - 27.
• Quando a base for negativa e o expoente um número par, o 
resultado será positivo;
(- 2)2 = (- 2) x (- 2) = +4
POTENCIAÇÃO OU EXPONENCIAÇÃO
ATIVIDADE
OPERAÇÃO COM FRAÇÕES
Adição e Subtração 
• Para realizar essas operações todas as frações envolvidas devem 
possuir o mesmo denominador, então se mantem este denominador 
e efetua-se a operação (soma ou subtração) dos numeradores:
Ex.:
OPERAÇÃO COM FRAÇÕES
Adição e Subtração 
• Para realizar essas operações entre frações com denominadores 
diferentes deve-se convertê-las a frações equivalentes, de denomi-
nadores iguais ao mmc dos denominadores das frações originais:
Ex.: 
OPERAÇÃO COM FRAÇÕES
Multiplicação
• Para obter o produto dessa operação multiplica-se os numeradores 
entre si, e faz-se o mesmo com os denominadores, mesmo que sejam 
diferentes entre si:
Ex.: 
Divisão
• Para obter o quociente dessa operação multiplica-se a primeira fra-
ção pelo inverso da segunda (numerador e denominador invertidos), 
e assim sucessivamente:
Ex.: 
OPERAÇÃO COM FRAÇÕES
Atividades
1) 2) 
3) 4) 
REVISÃO