Aula 1 - OPERAÇÕES NUMÉRICAS ELEMENTARES - Conjunto Numérico

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Matemática 
 
 
 
 
 
Aula 1 
 
OPERAÇÕES NUMÉRICAS ELEMENTARES 
CONJUNTOS NUMÉRICOS 
 Potenciação, Radiciação e suas propriedades. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Profa. Ms. Alessandra Azzolini 
 
Nossas aulas terão sempre um texto inicial cujo objetivo será introduzir o assunto a ser estudado ao 
longo do capítulo, facilitando sua compreensão quando da explicação por parte do professor. 
Junte-se em duplas, leia o texto e tente resolvê-lo. Vocês terão 15 minutos para chegarem a uma 
conclusão. Vamos lá? 
A professora Aritmética escreveu uma expressão numérica no quadro da sala de aula. Antes de resolvê-
la, fez um intervalo para os alunos comerem um lanche no pátio da escola. Para fazer uma brincadeira 
com a professora, o aluno Juvêncio fez o seguinte: trocou todos os algarismos 4 por algarismos 2; trocou 
todos os algarismos 2 por algarismos 4; trocou o sinal de adição pelo sinal de multiplicação e o sinal de 
multiplicação pelo sinal de adição. Feito isso, a expressão que os alunos e a professora encontraram 
escrita no quadro após esse lanche foi a que está representada abaixo. 
 
Sendo assim, pode-se concluir que o produto dos algarismos do resultado da expressão numérica que a 
professora Aritmética escreveu no quadro da sala de aula, antes do lanche no pátio, é igual a 
 
a) 7 
b) 12 
c) 26 
d) 35 
e) 43 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CHACOALHANDO O CÉREBRO 
Conjuntos Numéricos 
 
Diagrama de Euler-Venn 
 
Diagrama dos conjuntos numéricos 
O conjunto dos números naturais (N) é um 
subconjunto dos números inteiros: Z (N ⊂ Z). 
 
O conjunto dos números inteiros (Z) é um 
subconjunto dos números racionais: (Z ⊂ Q). 
 
O conjunto dos números racionais (Q) é um 
subconjunto dos números reais (R). 
 
Os conjuntos dos números naturais (N), inteiros 
(Z), racionais (Q) e irracionais (I) são 
subconjuntos dos números reais (R). 
 
 
Os conjuntos numéricos reúnem diversos conjuntos cujos elementos são números. Eles são 
formados pelos números naturais, inteiros, racionais, irracionais e reais. O ramo da matemática 
que estuda os conjuntos numéricos é a Teoria dos conjuntos. 
Confira abaixo as características de cada um deles tais como conceito, símbolo e subconjuntos. 
Respondam: 
Dos números representados no conjunto a seguir, indique aqueles que são números naturais: 
Conjunto = { -3, -1,234..., 0, ½, 1, 2, 3, 4,5} 
 
Solução= { } 
 
Conjunto dos Números Naturais (N) 
 
O conjunto dos números naturais é representado por N. Ele reúne os números que usamos para 
contar (incluindo o zero) e é infinito. 
 
Subconjuntos dos Números Naturais 
 
N* = {1, 2, 3, 4, 5..., n, ...} ou N* = N – {0}: conjuntos dos números naturais não-nulos, ou seja, 
sem o zero. 
Np = {0, 2, 4, 6, 8..., 2n, ...}, em que n ∈ N: conjunto dos números naturais pares. 
Ni = {1, 3, 5, 7, 9..., 2n+1, ...}, em que n ∈ N: conjunto dos números naturais ímpares. 
P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, ...}: conjunto dos números naturais primos. 
 
ℕ = {𝟎, 1, 2, 3, 4, …} 
O zero surgiu de uma necessidade de representar espaços vazios entre dois números naturais. 
https://www.todamateria.com.br/diagrama-de-venn/
https://www.todamateria.com.br/numeros-naturais/
Conjunto dos Números Inteiros (Z) 
 
O conjunto dos números inteiros é representado por Z. Reúne todos os elementos dos números 
naturais (N) e seus opostos. Assim, conclui-se que N é um subconjunto de Z (N ⊂ Z): 
 
 
ℤ = {… , − 4, − 3, − 2, − 1, 0, 1, 2, 3, 4, …} 
 
 
Subconjuntos dos Números Inteiros 
 
Z* = {..., –4, –3, –2, –1, 1, 2, 3, 4, ...} ou Z* = Z – {0}: conjuntos dos números inteiros não-nulos, ou 
seja, sem o zero. 
Z+ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}: conjunto dos números inteiros e não-negativos. Note que Z+ = N. 
Z*+ = {1, 2, 3, 4, 5, ...}: conjunto dos números inteiros positivos e sem o zero. 
Z – = {..., –5, –4, –3, –2, –1, 0}: conjunto dos números inteiros não-positivos. 
Z*– = {..., –5, –4, –3, –2, –1}: conjunto dos números inteiros negativos e sem o zero. 
 
 
 
Exercício 
1- (IESES – IGP – SC) Faça a leitura das frases sobre conjuntos numéricos: 
 
I. O número natural n pode ser chamado antecessor de n+1. 
II. O conjunto dos números naturais é um subconjunto dos números inteiros. 
III. A soma de dois números inteiros ímpares é sempre um número inteiro par. 
IV. Entre dois números racionais, a e b, com a diferente de b, existe sempre outro número racional. 
A sequência correta é: 
 
a) Apenas as assertivas I, III e IV estão corretas. 
b) Apenas as assertivas III e IV estão corretas. 
c) As assertivas I, II, III e IV estão corretas. 
d) Apenas as assertivas I e II estão corretas. 
 
 
Conjunto dos Números Racionais (Q) 
 
O conjunto dos números racionais é representado por Q. Reúne todos os números que podem 
ser escritos na forma p/q, sendo p e q números inteiros e q≠0. 
Q = {0, ±1, ±1/2, ±1/3, ..., ±2, ±2/3, ±2/5, ..., ±3, ±3/2, ±3/4, ...} 
Note que todo número inteiro é também número racional. Assim, Z é um subconjunto de Q. 
https://www.todamateria.com.br/numeros-inteiros/
https://www.todamateria.com.br/numeros-racionais/
Subconjuntos dos Números Racionais 
 
Q* = subconjunto dos números racionais não-nulos, formado pelos números racionais sem o 
zero. 
Q+ = subconjunto dos números racionais não-negativos, formado pelos números racionais 
positivos e o zero. 
Q*+ = subconjunto dos números racionais positivos, formado pelos números racionais 
positivos, sem o zero. 
Q– = subconjunto dos números racionais não-positivos, formado pelos números racionais 
negativos e o zero. 
Q*– = subconjunto dos números racionais negativos, formado números racionais negativos, 
sem o zero. 
 
Exercício 
 
2 -(Fuvest-SP) Na figura estão representados geometricamente os números reais 0, x, y e 1. 
 
Qual a posição do número xy? 
 
a) À esquerda de 0. 
b) Entre 0 e x. 
c) Entre x e y. 
d) Entre y e 1. 
e) À direita de 1. 
 
Conjunto dos Números Irracionais (I) 
 
O conjunto dos números irracionais é representado por I. Reúne os números decimais não 
exatos com uma representação infinita e não periódica, por exemplo: 3,141592... ou 1,203040... 
Importante ressaltar que as dízimas periódicas são números racionais e não irracionais. Elas 
são números decimais que se repetem após a vírgula, por exemplo: 1,3333333... 
 
 
Conjunto dos Números Reais (R) 
O conjunto dos números reais é representado por R. Esse conjunto é formado pelos números 
racionais (Q) e irracionais (I). Assim, temos que R = Q ∪ I. Além disso, N, Z, Q e I são 
subconjuntos de R. 
Mas, observe que se um número real é racional, ele não pode ser também irracional. Da mesma 
maneira, se ele é irracional, não é racional. 
Subconjuntos dos Números Reais 
R*= {x ∈ R│x ≠ 0}: conjunto dos números reais não-nulos. 
R+ = {x ∈ R│x ≥ 0}: conjunto dos números reais não-negativos. 
R*+ = {x ∈ R│x > 0}: conjunto dos números reais positivos. 
R– = {x ∈ R│x ≤ 0}: conjunto dos números reais não-positivos. 
R*– = {x ∈ R│x < 0}: conjunto dos números reais negativos. 
https://www.todamateria.com.br/numeros-irracionais/
https://www.todamateria.com.br/numeros-reais/
Regra de Sinais 
Quando vamos realizar alguma operação (soma, subtração, multiplicação ou divisão) que 
envolva números negativos, é preciso estar atento em qual será o sinal do resultado para não 
cometer nenhum erro. Vamos te ajudar a entender como essas regras funcionam. 
Módulo de um número 
Uma coisa importante para se entender as regras de sinais é o módulo de um número, que nada 
mais é do que o valor do número sem o sinal, por exemplo: 
• O módulo de -5 é 5 e o módulo de 5 também é 5 
• O módulo de -3 é 3 e o módulo de 3 também é 3 
Outro modo de escrever isso é da forma |-5| = 5 (O módulo de -5 é 5). 
Soma de dois números positivos 
Ao se somar dois números positivos fazemos a soma normalmente. Por exemplo: 
• 5 + 3 = 8 
• 7 + 9 = 16 
Soma de um número positivo com um número negativo 
Quando somamos um número positivo a um negativo, estamos, na verdade, subtraindoo 
módulo daquele número, por exemplo: 
• 5 + (-2) = 5 - 2 = 3 
Veja que ao se somar o -2 ao 5, estamos subtraindo 2 de 5. Outro exemplo nos mostra que essa 
soma pode ser negativa: 
• 2 + (-5) = 2 - 5 = -3 
 
Ao somarmos um número positivo com um negativo, o sinal do resultado será o sinal do 
número de maior módulos, por exemplo: 
• Se Maria está com 10 reais negativos na conta e deposita 7 reais, ela ficará com 3 reais 
negativos na conta. Isso ocorre pois no começo, Maria estava com -10 reais, então ela 
adicionou +7 reais à conta, resultando em -3 reais na conta, ou seja, -10 + 7 = -3. 
• 2 + (-7) = -5 
• (-4) + 8 = 4 
 
 
https://querobolsa.com.br/enem/matematica/soma
https://querobolsa.com.br/enem/matematica/subtracao
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https://querobolsa.com.br/enem/matematica/funcao-modular
https://querobolsa.com.br/enem/matematica/soma
Soma de dois números negativos 
Ao se somar dois números negativos, o resultado sempre será o negativo da soma dos 
módulos, por exemplo: 
• -3 + (-4) = -(3 + 4) = -7 
• -5 + (-8) = -(5 + 8) = -13 
Multiplicação de dois números positivos 
Ao somar dois números positivos, fazemos a multiplicação normalmente. Por exemplo: 
• 5⋅3=15 
• 7⋅9=63 
Multiplicação de um número positivo com um número negativo 
A multiplicação de um número positivo com um número negativo sempre resulta em um 
número negativo, e o módulo do resultado é a multiplicação dos módulos, por exemplo: 
• 7⋅(−2)=−(7⋅2)=−14 
• 5⋅(−4)=−(5⋅4)=−20 
• −7⋅8=−(7⋅8)=−56 
Multiplicação de dois números negativos 
A multiplicação de dois números negativos sempre resulta em um número positivo e o 
módulo do resultado é a multiplicação dos módulos, por exemplo: 
• (−4)⋅(−3)=+(4⋅3)=12 
• (−8)⋅(−5)=+(8⋅5)=40 
• (−6)⋅(−7)=+(6⋅7)=42 
Resumo 
• Ao se somar dois números de mesmo sinal, some os módulos e mantenha o sinal; 
• Ao se somar dois números de sinais diferentes o sinal do maior módulo permanece; 
• Ao se multiplicar dois números com mesmo sinal o resultado será positivo; 
• Ao se multiplicar dois números de sinais opostos o resultado será negativo. 
 
 
 
 
https://querobolsa.com.br/enem/matematica/multiplicacao
3 - Determine o saldo final da conta corrente apresentada a seguir. Faça os lançamentos e 
escreva a sentença matemática que representa a movimentação da conta, usando números 
inteiros. 
 
EXPRESSÕES NUMÉRICAS 
Para resolver uma expressão numérica, efetuamos as operações obedecendo à seguinte ordem: 
1°) Potenciação e radiciação. 
2°) Multiplicações e divisões. 
3°) Adições e Subtrações. 
EXEMPLO 
1º) 5 + 3². 2 = 
= 5 + 9. 2 = 
= 5 + 18 = 
= 23 
Há expressões onde aparecem os sinais de associação e que devem ser eliminados nesta ordem: 
1°) parênteses ( ) 
2°) colchetes [ ] 
3°) chaves { } 
EXEMPLO 
1°) 40 – [25 + (2³ - 7)] = 
= 40 – [25+ (8 - 7)] = 
= 40 – [25 + 1] = 
= 40 – 26 = 
= 14 
 
4 - Resolva as expressões numéricas abaixo: 
 
 
a) 10 – ( – 2 + 5 ) + 4 = 
 
b) ( 10 – 4 ) – ( 9 – 8) + 3 = 
 
c) 50 – [ 37 – ( 8 – 15 ) ] = 
 
d) – 25 + { 12 + [ 2 – ( 8 – 6 ) + 2 ]} = 
 
e) { [ ( 18 – 3 ) + ( 7 – 5)3 – 2 ] + 52 } – 12 = 
 
f) 5² +( -2)³ - 2 x (3 – 9)2 = 
 
g) (7² - 1 ) : 3 + 2 x 5 = 
 
h) 4²- 10 + (2³ - 5) = 
 
i) [4² + ( 5 – 3)³] : ( 9 – 7)³ =
 
 
 
10 
 
 
 
TURBINANDO O CÉREBRO 
Quer melhorar seus conhecimentos. Aqui vão algumas dicas: 
Assista à animação em vídeo “Donald no País da Matemágica” disponível em 
https://www.youtube.com/watch?v=wbftu093Yqk 
 
 
https://www.youtube.com/watch?v=wbftu093Yqk