Tema_3_Representacao_Espaco_Estados

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Engenharia de Controle
Tema 3 – Representação de Sistemas no 
Domínio do Tempo: Espaço de Estados
Fabrício Bradaschia
Universidade Federal de Pernambuco – UFPE
Centro de Tecnologia e Geociências – CTG
Departamento de Engenharia Elétrica – DEE
Objetivos do Tema
Os objetivos deste tema são:
• Apresentar os conceitos de estado, variável de estado, vetor de
estados e espaço de estados;
• Representar sistemas no Espaço de Estados a partir de técnicas
de transformação de EDOs (parâmetros concentrados).
Conceitos
Devido à nova tendência de representar sistemas MIMO de elevada
complexidade (não lineares e variantes no tempo), a teoria de
controle moderno necessita de uma ferramenta mais completa de
representação. Essa ferramenta é o espaço de estados.
Vale ressaltar que os conceitos de estado e espaço de estados não
são novos, pois existe desde o desenvolvimento da teoria clássica da
dinâmica de sistemas. Entretanto, sua aplicação nas técnicas de
controle moderno é mais atual, embora já seja popular e extensa.
Conceitos
O estado de um sistema é definido como as condições passadas,
presentes e futuras* que atuam no sistema e definem
completamente seu comportamento em um dado instante de
tempo t.
Estas condições são definidas pela dinâmica interna do sistema e
também pelas entradas e perturbações atuantes.
* As condições futuras atuam em sistemas não causais, ou seja, sistemas que
dependem de condições futuras que irão ocorrer ou que existe uma grande
probabilidade de ocorrer. Nos sistemas de controle práticos na engenharia, todos
os sistemas são causais (só dependem do passado e do presente).
Conceitos
As variáveis de estado de um sistema dinâmico são aquelas que
formam o menor conjunto de variáveis capaz de determinar
completamente o estado atual do sistema.
Se n variáveis 𝑥1, 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 necessitam ser definidas de forma que,
dada uma entrada para 𝑡 ≥ 𝑡0 e os valores dessas n variáveis para
𝑡 = 𝑡0, é possível obter o comportamento (estado) do sistema para
qualquer 𝑡 ≥ 𝑡0, então estas n variáveis são as variáveis de estado
do sistema.
Um exemplo simples é quando o usuário salva o estado atual em
um jogo. O arquivo salvo com o estado do jogo contém todas as
variáveis de estado necessárias para que, quando o jogo for
reiniciado, o jogador continue do mesmo ponto onde parou (como
se o jogo não tivesse sido interrompido).
Conceitos
É importante ressaltar que, em um sistema físico, as variáveis de
estado não necessitam ser quantidades fisicamente mensuráveis
nem necessitam representar um fenômeno com sentido físico.
Esta liberdade permite que diferentes conjuntos de variáveis de
estado sejam definidas para um mesmo sistema físico.
Entretanto, é conveniente escolher, na prática, grandezas facilmente
mensuráveis como variáveis de estado, pois várias técnicas de
controle moderno (controle ótimo, por exemplo) necessitam da
realimentação das variáveis de estado (usando sensores) para poder
controlar o sistema.
Conceitos
O objetivo das variáveis de estado é memorizar os valores passados
das entradas que foram responsáveis por fazer o sistema chegar ao
estado atual.
Como os integradores servem como dispositivos de memória para
um determinado sistema dinâmico, a saída dos integradores nas
EDOs do sistema podem ser escolhidas como variáveis de estado.
Portanto, o número de variáveis de estado de um sistema é igual ao
número de integradores existentes no sistema.
Conceitos
O vetor de estado é definido como um vetor 𝒙 que contém todas as
n variáveis de estado que definem o comportamento do sistema.
Assim, dado o estado do sistema, 𝒙 𝑡 = 𝑡0 e a entrada do sistema,
𝒖 𝑡 , para 𝑡 ≥ 𝑡0, é possível determinar univocamente o estado do
sistema 𝒙 𝑡 para qualquer 𝑡 ≥ 𝑡0.
O espaço de estados é um espaço n-dimensional, cujos n eixos são
determinados pelas n variáveis de estado 𝑥1, 𝑥2 , … , 𝑥𝑛. Qualquer
estado possível para o sistema pode ser representado como um
único ponto no espaço de estados. Assim, a evolução temporal de
um sistema forma uma trajetória no espaço de estados.
Espaço de Estados
As equações dinâmicas no espaço de estados são compostas de três
tipos de variáveis:
• Variáveis de entrada (𝒖): variáveis atuadoras e perturbações;
• Variáveis de saída (𝒚): variáveis a serem controladas, observadas
ou analisadas;
• Variáveis de estado (𝒙): as que definem o estado atual do
sistema.
Voltando ao exemplo do jogo, as variáveis de entrada são os
comandos que o jogador envia ao sistema (usando o controle, o
teclado, etc.) e a variável de saída é a representação audiovisual e
sensorial do jogo.
Espaço de Estados
Assuma que um sistema possua r entradas, n variáveis de estado e
m saídas. Assim, o sistema pode ser definido no espaço de estados
como:
 𝑥1 𝑡 = 𝑓1(𝑥1, 𝑥2 , … , 𝑥𝑛; 𝑢1, 𝑢2 , … , 𝑢𝑟; 𝑡)
 𝑥2 𝑡 = 𝑓2(𝑥1, 𝑥2 , … , 𝑥𝑛; 𝑢1, 𝑢2 , … , 𝑢𝑟; 𝑡)
⋮
 𝑥𝑛 𝑡 = 𝑓𝑛(𝑥1, 𝑥2 , … , 𝑥𝑛; 𝑢1, 𝑢2 , … , 𝑢𝑟; 𝑡)
𝑦1 𝑡 = 𝑔1(𝑥1, 𝑥2 , … , 𝑥𝑛; 𝑢1, 𝑢2 , … , 𝑢𝑟; 𝑡)
𝑦2 𝑡 = 𝑔2(𝑥1, 𝑥2 , … , 𝑥𝑛; 𝑢1, 𝑢2 , … , 𝑢𝑟; 𝑡)
⋮
𝑦𝑚 𝑡 = 𝑔𝑚(𝑥1, 𝑥2 , … , 𝑥𝑛; 𝑢1, 𝑢2 , … , 𝑢𝑟; 𝑡)
Espaço de Estados
Definindo os vetores:
𝒙 𝑡 =
𝑥1(𝑡)
𝑥2(𝑡)
⋮
𝑥𝑛(𝑡)
, 𝒖 𝑡 =
𝑢1(𝑡)
𝑢2(𝑡)
⋮
𝑢𝑟(𝑡)
, 𝒚 𝑡 =
𝑦1(𝑡)
𝑦2(𝑡)
⋮
𝑦𝑚(𝑡)
𝒇 𝒙, 𝒖, 𝑡 =
𝑓1(𝒙 𝑡 ; 𝒖 𝑡 ; 𝑡)
𝑓2(𝒙 𝑡 ; 𝒖 𝑡 ; 𝑡)
⋮
𝑓𝑛(𝒙 𝑡 ; 𝒖 𝑡 ; 𝑡)
, 𝒈 𝒙, 𝒖, 𝑡 =
𝑔1(𝒙 𝑡 ; 𝒖 𝑡 ; 𝑡)
𝑔2(𝒙 𝑡 ; 𝒖 𝑡 ; 𝑡)
⋮
𝑔𝑚(𝒙 𝑡 ; 𝒖 𝑡 ; 𝑡)
Espaço de Estados
Chega-se a representação geral no espaço de estados:
 𝒙 𝑡 = 𝒇 𝒙, 𝒖, 𝑡
𝒚 𝑡 = 𝒈 𝒙, 𝒖, 𝑡
Equação de Estado
Equação de Saída
Espaço de Estados
Se os vetores 𝒇 e 𝒈 dependerem explicitamente da variável tempo
(𝑡 aparece explicitamente nas equações), então o sistema é variante
no tempo.
Se os vetores 𝒇 e 𝒈 dependerem somente de 𝒙 e 𝒖 (mesmo que 𝒙 e
𝒖 dependam do tempo), então o sistema é invariante no tempo.
𝑓1 𝑥1, 𝑥2 , 𝑡 = 𝑡𝑥1(𝑡) + 𝑒
−𝑡𝑥2(𝑡)
𝑓2 𝑥1, 𝑥2 , 𝑡 = 10𝑥1(𝑡) + 𝑒
−5𝑥2(𝑡)
?
?
Espaço de Estados
Variante no tempo
Invariante no tempo
Se os vetores 𝒇 e 𝒈 dependerem explicitamente da variável tempo
(𝑡 aparece explicitamente nas equações), então o sistema é variante
no tempo.
Se os vetores 𝒇 e 𝒈 dependerem somente de 𝒙 e 𝒖 (mesmo que 𝒙 e
𝒖 dependam do tempo), então o sistema é invariante no tempo.
𝑓1 𝑥1, 𝑥2 , 𝑡 = 𝑡𝑥1(𝑡) + 𝑒
−𝑡𝑥2(𝑡)
𝑓2 𝑥1, 𝑥2 , 𝑡 = 10𝑥1(𝑡) + 𝑒
−5𝑥2(𝑡)
Espaço de Estados
Da mesma forma, se os vetores 𝒇 e 𝒈 respeitarem os princípios da
homogeneidade e superposição para todas as variáveis de 𝒙 e 𝒖,
então o sistema é linear.
Caso contrário, o sistema é não linear e deve ser linearizado em
torno de um ponto de operação.
𝑓1 𝑥1, 𝑥2 , 𝑡 = 𝑡𝑥1(𝑡) + 𝑒
−𝑡𝑥2(𝑡)
𝑓2 𝑥1, 𝑥2 , 𝑡 = 𝑥1(𝑡)(𝑥2 𝑡 + 5) + 𝑒
−𝑥1(𝑡)𝑥2(𝑡)
?
?
Espaço de Estados
𝑓1 𝑥1, 𝑥2 , 𝑡 = 𝑡𝑥1(𝑡) + 𝑒
−𝑡𝑥2(𝑡)
𝑓2 𝑥1, 𝑥2 , 𝑡 = 𝑥1(𝑡)(𝑥2 𝑡 + 5) + 𝑒
−𝑥1(𝑡)𝑥2(𝑡)
Linear
Não linear
Da mesma forma, se os vetores 𝒇 e 𝒈 respeitarem os princípios da
homogeneidade e superposição para todas as variáveis de 𝒙 e 𝒖,
então o sistema é linear.
Caso contrário, o sistema é não linear e deve ser linearizado em
torno de um ponto de operação.
Espaço de Estados
Assumindo que o espaço de estados é linear (ou que foi
linearizado), as funções em 𝒇 e 𝒈 podem ser escritas como
combinações lineares das variáveis em 𝒙 e 𝒖. Assim, o espaço de
estados linear (variante no tempo ou não) é dado por:
 𝒙 𝑡 = 𝑨 𝑡 𝒙 𝑡 + 𝑩 𝑡 𝒖 𝑡
𝒚 𝑡 = 𝑪 𝑡 𝒙 𝑡 + 𝑫 𝑡 𝒖(𝑡)
Equação de Estado
Equação de Saída
As matrizes 𝑨, 𝑩, 𝑪 e 𝑫 são chamadas de: matriz de estado; matriz
de entrada; matriz de saída; e matriz de transmissão direta,
respectivamente.
Espaço de Estados
A representação do espaço de estados no formato de diagrama em
blocos é vista abaixo:
Espaço de Estados
Se o sistema representado pelo espaçode estados for invariante no
tempo, então as matrizes 𝑨, 𝑩, 𝑪 e 𝑫 não dependem do tempo (não
possuem a variável 𝑡 nos seus coeficientes):
 𝒙 𝑡 = 𝑨𝒙 𝑡 + 𝑩𝒖 𝑡
𝒚 𝑡 = 𝑪𝒙 𝑡 + 𝑫𝒖(𝑡)
Equação de Estado
Equação de Saída
Obtenção do Espaço de Estados
Existem diversas técnicas para obtenção do espaço de estados de
um determinado sistema. Aqui são apresentadas duas técnicas de
obtenção do espaço de estados comumente usadas em sistemas
SISO:
1) Sistemas representados por uma EDO de ordem n cuja entrada
não possui derivadas;
2) Sistemas representados por uma EDO de ordem n cuja entrada
possui derivadas.
Obtenção do Espaço de Estados
Para a primeira técnica, considere o seguinte sistema de ordem n:
 𝑦(𝑛) + 𝑎1 𝑦
(𝑛−1) +⋯+ 𝑎𝑛−1 𝑦
1 + 𝑎𝑛𝑦 = 𝑢
Como o sistema tem ordem n, ele possui n integradores e, portanto,
n variáveis de estado. A escolha das variáveis de estado é arbitrária,
mas, em geral, se escolhem a saída 𝑦 e suas (𝑛 − 1) derivadas.
Assim, as derivadas de (𝑛 − 1) variáveis de estado são funções
exclusivamente das outras variáveis de estado e a derivada de uma
variável de estado é obtida pela equação principal que representa o
sistema de ordem n.
Obtenção do Espaço de Estados
Definindo as n variáveis de estado como:
𝑥1 = 𝑦
𝑥2 = 𝑦
1
⋮
𝑥𝑛 = 𝑦
𝑛−1
Tem-se as n equações de estado do sistema:
 𝑥1 = 𝑥2
 𝑥2 = 𝑥3
⋮
 𝑥𝑛−1 = 𝑥𝑛
 𝑥𝑛 = −𝑎𝑛𝑥1 −⋯− 𝑎1𝑥𝑛 + 𝑢
Obtenção do Espaço de Estados
Portanto, as matrizes do espaço de estados do sistema são:
𝑨 =
0 1 0 ⋯ 0
0 0 1 ⋯ 0
⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮
0 0 0 ⋯ 1
−𝑎𝑛 −𝑎𝑛−1 −𝑎𝑛−2 ⋯ −𝑎1
, 𝑩 =
0
0
⋮
0
1
,
𝑪 = 1 0 0 ⋯ 0 , 𝑫 = 0.
 𝒙 𝑡 = 𝑨𝒙 𝑡 + 𝑩𝑢 𝑡
𝑦 𝑡 = 𝑪𝒙 𝑡 + 𝑫𝑢(𝑡)
Obtenção do Espaço de Estados
A representação do espaço de estados do sistema em diagrama de
blocos é:
Obtenção do Espaço de Estados
Para a segunda técnica, considere o seguinte sistema de ordem n:
 𝑦(𝑛) + 𝑎1 𝑦
(𝑛−1) +⋯+ 𝑎𝑛𝑦 = 𝑏0 𝑢
(𝑛) + 𝑏1 𝑢
(𝑛−1) +⋯+ 𝑏𝑛𝑢
Neste caso, se as variáveis de estado forem definidas de forma
equivalente à primeira técnica, a equação de estado de 𝑥𝑛
dependerá de 𝑢 e de suas 𝑛 derivadas, impossibilitando a
representação do sistema no espaço de estados.
Uma possível solução é representar cada variável de estado como a
saída 𝑦 e e suas (𝑛 − 1) derivadas, só que somadas a uma
combinação linear da entrada 𝑢 e suas (𝑛 − 1) derivadas.
Obtenção do Espaço de Estados
Definindo as n variáveis de estado como:
𝑥1 = 𝑦 − 𝛽0𝑢
𝑥2 = 𝑦
1 − 𝛽0 𝑢
1 − 𝛽1𝑢 = 𝑥1 − 𝛽1𝑢
⋮
𝑥𝑛 = 𝑦
𝑛−1 − 𝛽0 𝑢
𝑛−1 − 𝛽1 𝑢
𝑛−2 −⋯− 𝛽𝑛−1𝑢 = 𝑥𝑛−1 − 𝛽𝑛−1𝑢
Tem-se as n equações de estado do sistema:
 𝑥1 = 𝑥2 + 𝛽1𝑢
 𝑥2 = 𝑥3 + 𝛽2𝑢
⋮
 𝑥𝑛−1 = 𝑥𝑛 + 𝛽𝑛−1𝑢
 𝑥𝑛 = −𝑎𝑛𝑥1 − 𝑎𝑛−1𝑥2 −⋯− 𝑎1𝑥𝑛 + 𝛽𝑛𝑢
Obtenção do Espaço de Estados
Assim, os termos 𝛽 são definidos como:
𝛽0 = 𝑏0
𝛽1 = 𝑏1 − 𝑎1𝛽0
𝛽2 = 𝑏2 − 𝑎1𝛽1 − 𝑎2𝛽0
𝛽3 = 𝑏3 − 𝑎1𝛽2 − 𝑎2𝛽1 − 𝑎3𝛽0
⋮
𝛽𝑛−1 = 𝑏𝑛−1 − 𝑎1𝛽𝑛−2 −⋯− 𝑎𝑛−2𝛽1 − 𝑎𝑛−1𝛽0
𝛽𝑛 = 𝑏𝑛 − 𝑎1𝛽𝑛−1 −⋯− 𝑎𝑛−1𝛽1 − 𝑎𝑛𝛽0
Obtenção do Espaço de Estados
Portanto, as matrizes do espaço de estados do sistema são:
𝑨 =
0 1 0 ⋯ 0
0 0 1 ⋯ 0
⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮
0 0 0 ⋯ 1
−𝑎𝑛 −𝑎𝑛−1 −𝑎𝑛−2 ⋯ −𝑎1
, 𝑩 =
𝛽1
𝛽2
⋮
𝛽𝑛−1
𝛽𝑛
,
𝑪 = 1 0 0 ⋯ 0 , 𝑫 = [𝛽0].
 𝒙 𝑡 = 𝑨𝒙 𝑡 + 𝑩𝑢 𝑡
𝑦 𝑡 = 𝑪𝒙 𝑡 + 𝑫𝑢(𝑡)
Obtenção do Espaço de Estados
A representação do espaço de estados do sistema em diagrama em
blocos é:
Exemplos de Espaço de Estados
Exercício 1: considere um sistema massa-mola com atrito. A massa
possui valor m, a mola possui uma constante elástica k e o
coeficiente de atrito cinético é igual a b. Represente no EE.
Exemplos de Espaço de Estados
Considere que 𝑢(𝑡) é a força externa imposta ao sistema
(gravidade) e que 𝑦 𝑡 é a sua posição em relação ao repouso. Pela
lei de Hooke, tem-se:
𝐹 = 𝑚𝑎 = −𝑘𝑦 𝑡 − 𝑏 𝑦 𝑡 + 𝑢(𝑡)
𝑚 𝑦(𝑡) + 𝑏 𝑦 𝑡 + 𝑘𝑦 𝑡 = 𝑢(𝑡)
Este é um sistema de segunda ordem de uma entrada e uma saída.
Assim, o sistema possui dois integradores e, consequentemente,
duas variáveis de estado:
𝑥1 𝑡 = 𝑦 𝑡
𝑥2 𝑡 = 𝑦(𝑡)
Posição
Velocidade
Exemplos de Espaço de Estados
As equações de estado são encontradas ao se derivar as variáveis de
estado. A variável de saída é igual à variável de estado 1. Assim:
 𝑥1 𝑡 = 𝑥2 𝑡
 𝑥2 𝑡 = −
𝑘
𝑚
𝑥1 𝑡 −
𝑏
𝑚
𝑥2 𝑡 +
1
𝑚
𝑢 𝑡
𝑦 𝑡 = 𝑥1(𝑡)
Exemplos de Espaço de Estados
Assim, as matrizes do espaço de estados do sistema são:
𝑨 =
0 1
−
𝑘
𝑚
−
𝑏
𝑚
, 𝑩 =
0
1
𝑚
, 𝑪 = 1 0 , 𝑫 = 0.
 𝑥1 𝑡
 𝑥2 𝑡
=
0 1
−
𝑘
𝑚
−
𝑏
𝑚
𝑥1 𝑡
𝑥2 𝑡
+
0
1
𝑚
𝑢 𝑡
𝑦 𝑡 = 1 0
𝑥1 𝑡
𝑥2 𝑡
Na forma matricial, tem-se que:
Exemplos de Espaço de Estados
Exercício 2: considere o circuito RLC abaixo, em que 𝑢(𝑡) é corrente
de entrada e 𝑣𝑜(𝑡) é a tensão de saída do circuito. Como o capacitor
e o indutor armazenam energia na forma de tensão e corrente
(memórias do sistema), descreva o sistema no espaço de estados
usando 𝑣𝐶(𝑡) e 𝑖𝐿(𝑡) como variáveis de estado.
Exemplos de Espaço de Estados
Primeiro, define-se 𝑥1 𝑡 = 𝑣𝐶(𝑡) e 𝑥2 𝑡 = 𝑖𝐿(𝑡) . Através da
equação do nó, encontra-se a equação do estado 𝑥1 𝑡 . Através da
equação de malha de saída, encontra-se a equação do estado 𝑥2 𝑡 .
Assim:
 𝑥1 𝑡 = −
1
𝐶
𝑥2 𝑡 +
1
𝐶
𝑢 𝑡
 𝑥2 𝑡 =
1
𝐿
𝑥1 𝑡 −
𝑅
𝐿
𝑥2 𝑡
𝑦 𝑡 = 𝑣𝑜 𝑡 = 𝑅𝑥2(𝑡)
Exemplos de Espaço de Estados
Portanto, as matrizes do espaço de estados do sistema RLC são:
𝑨 =
0 −
1
𝐶
1
𝐿
−
𝑅
𝐿
, 𝑩 =
1
𝐶
0
, 𝑪 = 0 𝑅 , 𝑫 = 0.
Exemplos de Espaço de Estados
Exercício 3: para mostrar que é possível ter diversos espaços de
estados distintos para um mesmo sistema, considere agora que:
𝑥1
∗ 𝑡 = 𝑣𝐶 𝑡 = 𝑥1(𝑡)
𝑥2
∗ 𝑡 = 𝑣𝐿 𝑡 = 𝑣𝐶 𝑡 − 𝑅𝑖𝐿 𝑡 = 𝑥1(𝑡) − 𝑅𝑥2(𝑡)
Assim:
 𝑥1 = −
1
𝐶
𝑥2 +
1
𝐶
𝑢
 𝑥2 =
1
𝐿
𝑥1 −
𝑅
𝐿
𝑥2
𝑦 = 𝑣𝑜 = 𝑅𝑥2
 𝑥1
∗ = −
1
𝑅𝐶
𝑥1
∗ +
1
𝑅𝐶
𝑥2
∗ +
1
𝐶
𝑢
 𝑥2
∗ = −
1
𝑅𝐶
𝑥1
∗ +
1
𝑅𝐶
−
𝑅
𝐿
𝑥2
∗ +
1
𝐶
𝑢
𝑦 = 𝑣𝑜 = 𝑣𝐶 − 𝑣𝐿 = 𝑥1
∗ − 𝑥2
∗
Exemplos de Espaço de Estados
Portanto, as novas matrizes do espaço de estados do sistema RLC
são:
𝑨 =
−
1
𝑅𝐶
+
1
𝑅𝐶
−
1
𝑅𝐶
+
1
𝑅𝐶
−
𝑅
𝐿
, 𝑩 =
1
𝐶
1
𝐶
,
𝑪 = 1 −1 , 𝑫 = 0.
O Uso do MATLAB em Controle
Atualmente, existem ferramentas CAD (Computer Aided Design)
bastante úteis para representar, analisar e projetar sistemas de
controle no MATLAB. Entre elas, se destacam:
• Control System Toolbox: pacote de ferramentas de controle;
• Symbolic Math Toolbox: pacote de ferramentas de matemática
simbólica (resolve equações algébricas, EDOs e transformadas de
Laplace);
• LTI View: ferramenta gráfica de análise de sistemas nos domínios
do tempo e da frequência;
• SISO Design Tool: ferramenta gráfica que permite que você defina
graficamente os parâmetros do controlador para que o sistema
tenha a resposta desejada.
O Uso do MATLAB em Controle
Há também ferramentas CAD para representar, analisar e projetar
sistemas de controle no Simulink:
• Simulink Control Design: ferramenta gráfica capaz de linearizar
sistemas, projetar controladores e analisar as respostas obtidas;
• Simulink Design Optimization: ferramenta gráfica capaz de
estimar parâmetros de sistemas usando otimização numérica.
As ferramentas do Simulink são utilizadas em majoritariamente em
sistemas não lineares e vinculadas a projetos de controladores
ótimos.
O Uso do MATLAB em Controle
Para ter acesso ao pacote de ferramentas Control System Toolbox,
basta digitar ‘help control’ no console do MATLAB e localizar a
função que deseja usar entre a gama de funções existentes.
Ao encontrar a função, basta digitar ‘help nome_funcao’ no console
do MATLAB para aprender como se usa determinada função. Em
geral, a ajuda vem com algum exemplo para melhor compreensão
da função.
Os subgrupos mais importantes de funções são: ‘Creating linear
models’,‘Data extraction’, ‘Time-domain analysis’ e ‘Frequency-
domain analysis’.
Espaço de Estados no MATLAB
Para representar um sistema no espaço de estados do MATLAB,
serão usadas funções dos subgrupos ‘Creating linear models’. Para
obter respostas temporais do sistema criado, serão usadas funções
do subgrupo ‘Time-domain analysis’.
Depois do sistema ser modelado no espaço de estados, montam-se
as matrizes A, B, C e D no MATLAB. Assim, o espaço de estados é
gerado através do comando:
>> sistema = ss(A, B, C, D);
Espaço de Estados no MATLAB
Depois de criado o modelo matemático, é possível obter a saída do
sistema para a entrada do tipo impulso:
>> [y, t] = impulse(sistema); % o tempo final é definido pelo MATLAB
>> [y, t] = impulse(sistema, Tfinal); % o tempo final é Tfinal
>> t = 0:Tpasso:Tfinal; % cria-se um vetor de tempo t
>> y = impulse(sistema, t); % obtém a resposta para o vetor t
>> [y, t, x] = impulse(sistema); % obtém também os valores das
variáveis de estado em função de t
Espaço de Estados no MATLAB
Depois de criado o modelo matemático, é possível obter a saída do
sistema para a entrada do tipo degrau unitário:
>> [y, t] = step(sistema); % o tempo final é definido pelo MATLAB
>> [y, t] = step(sistema, Tfinal); % o tempo final é Tfinal
>> t = 0:Tpasso:Tfinal; % cria-se um vetor de tempo t
>> y = step(sistema, t); % obtém a resposta para o vetor t
>> [y, t, x] = step(sistema); % obtém também os valores das variáveis
de estado em função de t
Espaço de Estados no MATLAB
Depois de criado o modelo matemático, é possível obter a saída do
sistema para qualquer entrada desejada:
>> t = 0:Tpasso:Tfinal; % cria-se um vetor de tempo t
>> u = sin(t); % define-se a entrada desejada
>> y = lsim(sistema, u, t); % obtém-se a saída ‘y’ em função de ‘u’
>> [y, t, x] = lsim(sistema, u, t, x0); % obtém também os valores das
variáveis de estado em função de t, assumindo um valor inicial igual
a x0
Espaço de Estados no MATLAB
Exercício 4: considere o circuito RLC apresentado no Exercício 2.
Primeiramente, escolhe-se os valores para LC: L = 1mH e C = 1mF.
Depois, escolhem-se três valores para R, representando três
sistemas distintos: R = 0,2Ω; R = 2 Ω; R = 10 Ω.
Obtenha o espaço de estados para os três sistemas e apresente a
resposta ao impulso, ao degrau e à uma onda senoidal de amplitude
unitária e frequência angular de 10.000 rad/s.
Simule o mesmo sistema no MATLAB/Simulink e apresente a
resposta ao degrau e à uma onda senoidal de amplitude unitária e
frequência angular de 10.000 rad/s.
Solução no Espaço de Estados
Solução no MATLAB/Simulink
Material/Aula4_Exercicio4.m
Material/Aula4_Exercicio4s.mdl
Espaço de Estados no MATLAB
Exercício 5: Compare as respostas ao impulso e ao degrau unitário
do circuito RLC (L = 1mH, C = 1mF e R = 0,2Ω) representado pelos
dois distintos espaços de estados apresentados anteriormente:
1) Exercício 2: 𝑥1 𝑡 = 𝑣𝐶(𝑡) e 𝑥2 𝑡 = 𝑖𝐿(𝑡);
2) Exercício 3: 𝑥1
∗ 𝑡 = 𝑣𝐶 𝑡 e 𝑥2
∗ 𝑡 = 𝑣𝐿 𝑡 .
Solução
Material/Aula4_Exercicio5.m
Espaço de Estados no MATLAB
Exercício 6: considere o circuito RLC apresentado no Exercício 2 (L =
1mH e C = 1mF). Assuma três valores para R, representando três
sistemas distintos: R = 0,2Ω; R = 2 Ω; R = 10 Ω. Obtenha:
1) A resposta ao degrau unitário das duas variáveis de estado
(𝑥1 = 𝑣𝐶 e 𝑥2 = 𝑖𝐿) para cada sistema;
2) A trajetória das variáveis de estado para cada sistema.
Solução
Material/Aula4_Exercicio6.m