Modelagem-de-Conversores empregando modelo medio em espaco de estados

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MODELAGEM DE
CONVERSORES CC-CC
EMPREGANDO MODELO MÉDIO
EM ESPAÇO DE ESTADOS
ELETRÔNICA DE POTÊNCIA
IVO BARBI
EDIÇÃO DO AUTOR
Ivo Barbi 
 
 
 
 
 
 
 
 
MODELAGEM DE 
CONVERSORES CC- CC 
EMPREGANDO MODELO 
MÉDIO EM 
ESPAÇO DE ESTADOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Florianópolis 
Edição do Autor 
2015 
 
II 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ivo Barbi 
Internet: http://www.ivobarbi.com 
E-mail: ivobarbi@gmail.com 
 
 
 
http://www.ivobarbi.com/
 
III 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MODELAGEM DE 
CONVERSORES CC- CC 
EMPREGANDO MODELO 
MÉDIO EM 
ESPAÇO DE ESTADOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
IV 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
B236m Barbi, Ivo 
 Modelagem de conversores CC-CC empregando 
modelo médio em espaço de estados / Ivo Barbi. – 
Florianópolis : [S. n.], 2014. 206 p. : il. 
 Inclui referência 
 1. Eletrônica de potência. 2. Circuitos elétricos lineares – 
Análise. 
 3. Laplace, Transformadas de. 4. Conversores CC-CC. I. Título. 
 
 
 CDU: 621.314.22 
 
 
Catalogação na publicação por: Onélia Silva Guimarães CRB-
14/071 
 
 
V 
 
 AGRADECIMENTOS 
Ao Eng. Andreas M. P. Correa, por sua dedicação na 
preparação desta edição, digitando o texto, editando figuras, 
formatando e diagramando a edição final. 
 
 
Ao Bruno Barbi, pela criação da capa. 
 
Ao Diogo Duarte Luis, pelo apoio administrativo na 
preparação desta edição. 
 
Ao Prof. Cassiano Rech, da UFSM, pela sugestão do 
título. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
VI 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
VII 
 
BIOGRAFIA DO AUTOR 
 
 
Ivo Barbi nasceu em Gaspar, Santa Catarina, Brasil, 
em 1949. Formou-se em Engenharia Elétrica pela Universidade 
Federal de Santa Catarina em 1973. Obteve o título de Mestre 
em Engenharia Elétrica pela Universidade Federal de Santa 
Catarina em 1976 e o título de Doutor em Engenharia Elétrica 
pelo Institut National Polytechnique de Toulouse, França, em 
1979. 
 Fundou a Sociedade Brasileira de Eletrônica de 
Potência(SOBRAEP), o Instituto de Eletrônica de Potência da 
Universidade Federal de Santa Catarina (INEP-UFSC) e o 
Congresso Brasileiro de Eletrônica de Potência (COBEP). 
É Pesquisador 1A do CNPq e Fellow IEEE. 
 Foi Editor Associado na área de Conversores Estáticos 
de Potência do periódico internacional IEEE Transactions on 
Industrial Electronics. e Editor Associado Convidado para 
Edições Especiais do periódico IEEE Transactions on Power 
Electronics. 
Desde o mês de março de 2015, é professor visitante 
do Departamento de Automação e Sistemas (DAS) da 
Universidade Federal de Santa Catarina. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
VIII 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
IX 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dedico este trabalho pequenino 
 
ANTONIO BARBI, 
 
nascido em 19/05/2015, 
 
à sua mãe 
 
ADRIANA S. S. BARBI 
 
e aos meus outros filhos 
 
Bernardo Barbi 
Bruno Barbi 
Beatriz Barbi 
Isadora Barbi 
 
 
 
X 
 
 
 
XI 
 
PREFÁCIO 
Os conversores estáticos de energia elétrica, para serem 
úteis nas mais diversas aplicações, devem ter suas variáveis 
elétricas, tais como tensões, correntes e potências, devidamente 
controladas. 
Para escolher os controladores adequados e seus 
parâmetros, o projetista do conversor precisa conhecer os 
modelos de planta do estágio de potência do conversor, que 
geralmente apresentam-se sob a forma de funções de 
transferências. Essas funções de transferência são obtidas a 
partir de equações diferenciais lineares, que resultam da 
linearização de equações não lineares, em torno de pontos de 
operação específicos, nos quais o conversar deverá operar. 
Geralmente os conversores operam com frequências de 
comutação elevadas, da ordem de várias dezenas de quilo-
hertz. No entanto, as dinâmicas envolvidas na troca de potência 
entre as fontes e as cargas, ocorrem em baixas frequências, da 
ordem de dezenas de hertz. 
Uma das peculiaridades dos conversores estáticos cc-cc é 
o fato de que em um período de operação, eles assumem 
diversos estágios topológicos, cujos circuitos equivalentes são 
lineares, representados por equações diferenciais de primeira 
ou segunda ordem. Porém, o comportamento macroscópico, em 
escala de tempo de suas respostas naturais do ponto de vista de 
valores médios quase instantâneos, é quase sempre não linear. 
Das diversas técnicas já propostas para a obtenção dos 
modelos matemáticos dos conversores estáticos cc-cc, duas se 
tornaram populares: (a) emprego do conceito de modelo médio 
em espaço de estado, proposto por Midlebrook e Cuk em 1976 
[1], e (b) conceito de chave PWM, proposto por Vorpérian em 
1990 [4]. 
Cada uma das técnicas tem vantagens e desvantagens em 
relação à outra. Porém, o método que utiliza modelo médio em 
espaço de estado é atualmente o mais aceito e utilizado pela 
XII 
 
comunidade internacional de especialistas em eletrônica de 
potência. 
O presente texto, despretensioso, incompleto e 
certamente pleno de imperfeições, é resultado das reflexões do 
autor sobre problemas de modelagem de conversores estáticos 
cc-cc, devidamente amparadas por publicações clássicas da 
área, de grande relevância técnica sobre o tema. 
O texto pretende introduzir o assunto, de maneira simples 
e resumida, através de exemplos, aos estudantes de engenharia 
elétrica, sobretudo aos pós-graduandos da área de eletrônica de 
potência e suas aplicações. Por isso o autor espera que o 
material possa ser útil para essa comunidade. Espera também 
que as imperfeições do texto não diminuam os benefícios que 
ele possa trazer aos que desejam aprender a modelar e controlar 
conversores estáticos cc-cc. 
Todo e qualquer comentário, observação ou crítica que 
possam contribuir para melhorar a qualidade do texto, serão 
bem acolhidos pelo autor. 
 
Florianópolis, agosto de 2015. 
 
XIII 
 
Sumário 
PREFÁCIO ..................................................................................................... XI 
SUMÁRIO ..............................................................................................XIII 
CAPÍTULO 1 ANÁLISE DE CIRCUITOS LINEARES .................... 17 
1.1 INTRODUÇÃO. .................................................................................. 17 
1.2 SOLUÇÃO EMPREGANDO A TRANSFORMADA DE LAPLACE. ........... 20 
1.3 EXEMPLO NUMÉRICO. ..................................................................... 25 
1.4 ANÁLISE DE UM CIRCUITO COM APENAS RESISTORES E 
CAPACITORES .............................................................................................. 27 
CAPÍTULO 2 CIRCUITO RC CHAVEADO ...................................... 36 
CAPÍTULO 3 CIRCUITO RC CHAVEADO ...................................... 41 
CAPÍTULO 4 COVERSOR CC-CC ABAIXADOR A CAPACITOR 
CHAVEADO 47 
CAPÍTULO 5 CIRCUITO RL CHAVEADO ...................................... 58 
CAPÍTULO 6 CIRCUITO LLR CHAVEADO .................................... 61 
CAPÍTULO 7 CIRCUITO LC CHAVEADO ...................................... 67 
CAPÍTULO 8 CIRCUITO VLR CHAVEADO ................................... 74 
CAPÍTULO 9 MODELAGEM DO CONVERSOR BUCK ................ 81 
9.1 INTRODUÇÃO. .................................................................................. 81 
9.2 EQUACIONAMENTO DA PRIMEIRA ETAPA DE OPERAÇÃO.............. 82 
9.3 EQUACIONAMENTO DA SEGUNDA ETAPA DE OPERAÇÃO. ............. 83 
9.4 ANALISE EM REGIME PERMANENTE. ............................................... 86 
9.5 MODELO DE PLANTA PARA CONTROLE DA CORRENTE. .................. 89 
XIV 
 
9.6 OBTENÇÃO DA FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA PARA O CONTROLE DA 
TENSÃO DE CARGA. ..................................................................................... 93 
9.7 EXERCÍCIO PROPOSTO. ................................................................... 102 
CAPÍTULO 10 MODELAGEM DO CONVERSOR BOOST .......... 103 
10.1 INTRODUÇÃO. ................................................................................ 103 
10.2 CIRCUITO EQUIVALENTE PARA OPERAÇÃO EM REGIME 
PERMANENTE. ........................................................................................... 108 
10.3 FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA DO CONVERSOR PARA O CONTROLE 
DA CORRENTE ............................................................................................ 114 
10.4 FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA DO CONVERSOR PARA O CONTROLE 
DE TENSÃO. ............................................................................................... 117 
10.5 COMENTÁRIOS ADICIONAIS SOBRE A EXISTÊNCIA DE UM ZERO NO 
SEMIPLANO DIREITO. ................................................................................ 127 
10.6 EXERCÍCIO PROPOSTO. ................................................................... 128 
CAPÍTULO 11 MODELAGEM DO CONVERSOR 
BUCK – BOOST...................................................................................... 130 
11.1 INTRODUÇÃO. ................................................................................ 130 
11.2 OBTENÇÃO DAS EQUAÇÕES GENÉRICAS. ....................................... 132 
11.3 ANALISE EM REGIME PERMANENTE. ............................................. 135 
11.4 FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA PARA O CONTROLE DA CORRENTE. 140 
11.5 FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA PARA O CONTROLE DA TENSÃO DE 
SAÍDA. 145 
CAPÍTULO 12 CIRCUITO EQUIVALENTE DO CONVERSOR CC-
CC BIDIRECIONAL EM REGIME 
PERMANENTE .......................................................................................152 
12.1 INTRODUÇÃO. ................................................................................ 152 
 
XV 
 
12.2 OBTENÇÃO DO CIRCUITO EQUIVALENTE. ...................................... 154 
CAPÍTULO 13 MODELAGEM DO CONVERSOR 
BIDIRECIONAL ZETA-SEPIC ........................................................... 158 
13.1 INTRODUÇÃO. ................................................................................ 158 
13.2 EQUAÇÕES GENÉRICAS. ................................................................. 160 
13.3 CIRCUITO EQUIVALENTE PARA OPERAÇÃO EM REGIME 
PERMANENTE. ........................................................................................... 162 
13.4 FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA PARA O CONTROLE DA CORRENTE DO 
CONVERSOR ZETA-SEPIC BIDIRECIONAL. .................................................. 166 
CAPÍTULO 14 MODELAGEM DO CONVERSOR BOOST EM 
CONDUÇÃO DESCONTÍNUA ............................................................. 175 
14.1 INTRODUÇÃO. ................................................................................ 175 
14.2 EQUACIONAMENTO DO CONVERSOR BOOST OPERANDO EM 
CONDUÇÃO DESCONTÍNUA. ..................................................................... 176 
14.3 ANÁLISE EM REGIME PERMANENTE. ............................................. 183 
14.4 MODELO DE PLANTA PARA CONTROLE DA CORRENTE NO INDUTOR.
 185 
14.5 FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA PARA O CONTROLE DA TENSÃO. .... 189 
CAPÍTULO 15 CONVERSOR CC-CC MEIA PONTE MODULADO 
EM FREQUÊNCIA ................................................................................ 194 
15.1 INTRODUÇÃO. ................................................................................ 194 
15.2 MODELAGEM POR ESPAÇO DE ESTADOS. ..................................... 197 
15.3 MODELO PARA OPERAÇÃO EM REGIME PERMANENTE. ............... 202 
15.4 FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA PARA O CONTROLE DA CORRENTE. 205 
CAPÍTULO 16 ANÁLISE DO ERRO COMETIDO AO SE 
EMPREGAR O VALOR MÉDIO EM ESPAÇO DE ESTADOS ...... 209 
XVI 
 
16.1 FONTE DE TENSÃO ALIMENTANDO INDUTÂNCIA PURA. ............... 209 
16.2 FONTE DE TENSÃO ALIMENTANDO CARGA RL. ............................. 213 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS .................................................. 218 
 
17 
 
CAPÍTULO 1 
ANÁLISE DE CIRCUITOS LINEARES 
1.1 INTRODUÇÃO. 
Seja o circuito representado na Figura 1-1. Trata-se de 
um circuito RLC série. No instante t=0, o interruptor S é 
fechado. 
 
Figura 1-1: Circuito RLC série. 
O comportamento do circuito é definido pelas equações 
diferenciais (1.1) e (1.2). A corrente no indutor iL e a tensão no 
capacitor vc são as variáveis de estado do circuito. 
     L L C
di
L R i v v
dt
 (1.1) 
 C L
dv
C i
dt
 (1.2) 
A partir de (1.1) e (1.2) obtém-se (1.3) e (1.4). 
 
18 
 
     CL L
vdi R v
i
dt L L L
 (1.3) 
 C L
dv i
dt C
 (1.4) 
As equações (1.3) e (1.4) podem ser representadas na 
forma matricial, de acordo com a expressão (1.5). 
 
   
                             
    
  
1
1
0
1
0 00
L
L
C C
di R
i vdt L L
L
dv v v
Cdt
 (1.5) 
Sejam as definições descritas a seguir. 
 
 
  
 
L
C
i
X
v
 (1.6) 
 
 
 
  
 
 
 
L
C
di
dt
X
dv
dt
 (1.7) 
 
 
  
  
 
 
 
1
1
0
R
L LA
C
 (1.8) 
 
19 
 
 
 
 
 
 
1
0
0 0
B L (1.9) 
 
 
  
 
v
U
v
 (1.10) 
Desse modo, na forma matricial, obtêm-se a equação 
(1.11). 
  X AX BU (1.11) 
Podem ocorrer situações em que as grandezas de saída 
não sejam os estados, mas sim uma combinação deles. 
Define-se então a equação (1.12). 
  Y CX DU (1.12) 
onde Y é um vetor definido pelas grandezas desejadas. C e D 
são matrizes com termos constantes. 
Agrupando as equações (1.11) e (1.12) obtêm-se as 
equações (1.13) e (1.14), conhecidas como equações de estado 
do sistema. 
  X AX BU (1.13) 
  Y CX DU (1.14) 
Costuma-se representar em diagrama de blocos as 
equações de estado, de acordo com a Figura 1-2. 
 
20 
 
 
 
Figura 1-2. Representação das equações de estado por diagrama de blocos. 
1.2 SOLUÇÃO EMPREGANDO A TRANSFORMADA DE 
LAPLACE. 
Vamos, com o emprego da transformada de Laplace, 
obter a solução da equação de estados que representa o 
comportamento do circuito. Vamos ignorar a equação (1.14). 
Seja a equação (1.15). 
    X A X B U (1.15) 
Aplicando-se a transformada de Laplace, obtêm-se a 
equação (1.16). 
    ( ) ( ) ( )X s A X s B U s (1.16) 
Mas, 
    ( ) ( ) (0)X s s I X s X (1.17) 
onde I é a matriz identidade. O vetor X(0) representa o estado 
inicial das variáveis do circuito. Substituindo-se (1.17) em 
(1.16) obtém-se (1.18). 
 
21 
 
       ( ) (0) ( ) ( )s I X s X A X s B U s (1.18) 
Assim: 
       ( ) ( ) (0) ( )s I X s A X s X B U s (1.19) 
       ( ) (0) ( )s I A X s X B U s (1.20) 
Portanto: 
    
 
        
1 1
( ) (0) ( )X s s I A X s I A B U s (1.21) 
Por razões didáticas e para simplificar o problema, vamos 
considerar nula a tensão de alimentação. Isto significa que o 
vetor U=0. Portanto, 
  

   
1
( ) (0)X s s I A X (1.22) 
Resolve-se o sistema de equações representado por (1.22)
aplicando-se a transformada inversa de Laplace. Assim: 
   1( ) ( )X t X s (1.23) 
  
     
 
11( ) (0)X t s I A X (1.24) 
Como o vetor X(0) é formado por termos constantes, 
podemos escrever: 
 
22 
 
  
     
 
11( ) (0)X t s I A X (1.25) 
Prosseguimos nossa análise como segue. 
 
 
   
     
   
 
1
0
10
0
R
s L Ls I A
s
C
 (1.26) 
 
 
 
    
 
 
 
1
1
R
s
L Ls I A
s
C
 (1.27) 
  


 
 
    
 
 
 
1
1
1
1
R
s
L Ls I A
s
C
 (1.28) 
 
Invertendo-se a matriz definida pela equação (1.28), 
obtêm-se: 
 
  

 
    
    
 
 
    
2 2
1
2 2
1 1
( )
1 1
LRs C
LRs RCs LRs RCs
s I A
L C R Ls
LRs RCs LRs RCs
 (1.29) 
 
 
23 
 
 
 Seja 
  
2
R
L
 (1.30) 
  20
1
LC
 (1.31) 
    2 2 20 (1.32) 
Com essas definições, após manipulação algébrica 
adequada, obtêm-se: 
  
   

   

 
    
   
 
 
    
2 2 2 2
1
2 2 2 2
1 /
( ) ( )
1 / (2 )
( ) ( )
s L
s s
s I A
C s
s s
 (1.33) 
Deste modo: 
  
   

   

 
    
    
 
 
    
0 0
2 2 2 2
1
0 0
2 2 2 2
/
( ) ( )
(0)
/ (2 )
( ) ( )
L C
L C
sI V L
s s
s I A X
I C s V
s s
 (1.34) 
Vamos considerar o caso de um sistema pouco 
amortecido, de modo que   . Aplicando-se a transformada 
inversa de Laplace, obtêm-se: 
 
 
24 
 
 













 
  
   
  
 
 
0
0
( )
cos( )
X( )
( )
cos( )
t
t
L
t
Ct
e sen t
e t
ILt
Ve sen t
e t
C
 (1.35) 
 
A expressão (1.35) pode ser reescrita como a expressão 
(1.36). 
  ( ) ( ) (0)X t t X (1.36) 
onde 
 
 
  
 
0
0
(0) stado inical
L
C
I
X E
V
 (1.37) 
 
 
  
 
( )
( ) Vetor de estado
( )
L
c
I t
X t
v t
 (1.38) 
 















 
 
 
 
 
 
( )
cos( )
( )
( )
cos( )
t
t
t
t
e sen t
e t
Lt
e sen t
e t
C
 (1.39) 
 A matriz ( )t é conhecida como matriz de transição de 
estados. 
Trata-se de um conceito muito importante, pois permite 
conhecer os estados do sistema a qualquer instante, se as 
condições iniciais forem conhecidas e se o sistema evoluir 
livremente sem excitações nem perturbações. 
 
25 
 
A partir das expressões deduzidas com o emprego das 
equações de estado, podemos obter as expressões (1.40) e 
(1.41). 
   

    
 
0
0( ) cos( ) ( )
t C
L L
V
i t e I t sen t
L
 (1.40) 
 
   

    
 
0
0( ) ( ) cos( )
t L
C C
I
v t e sen t V t
C
 (1.41) 
1.3 EXEMPLO NUMÉRICO. 
Vamos nesta seção apresentar um exemplo numérico e as 
formas de onda resultantes. 
Sejam os seguintes parâmetros e condições iniciais: 
 
   
 0 0
50 ; 20 ; 10
10 ; 200L C
L mH C F R
I A V V
 
Portanto: 
 


  


  
 
  
  
 
0
2 2
0
100 /
2
1
1000 /s
995 /s
49,8
0,02
R
H
L
rad
LC
rad
L
C Siemens
 
 
26 
 
Desse modo, 
 
 
 
    
          
100 100
0
100 100
0
( ) 10 cos(995 ) 4,02 (995 )
( ) 502,5 ( ) 200 cos( )
t t
L L
t t
C C
i t e t e sen t I
v t Ve sen t e t
 
As formas de onda resultantes, da corrente iL(t) e da 
tensão vC(t), encontram-se representadas na Figura 1-3 e na 
Figura 1-4 respectivamente. 
Na Figura 1-5 é mostrado o plano de fase, onde a 
corrente iL(t) é representada em função da tensão vC(t). 
 
Figura 1-3. Corrente em função do tempo, para o circuito da Figura 1-2. 
 
Figura 1-4. Tensão nos terminais do capacitor, para o circuito da Figura 1.2. 
 
27 
 
 
Figura 1-5. Plano de fase para as variáveis de estado do circuito representado na 
Figura 1-2. 
1.4 ANÁLISE DE UM CIRCUITO COM APENAS 
RESISTORES E CAPACITORES 
Seja o circuito mostrado na Figura 1-6. Desejamos 
encontrar as expressões das correntes i1(t) e i2(t). 
V é uma tensão constante e a chave S é fechada no 
instante t=0. 
Todos os resistores, bem como os capacitores, são 
idênticos entre si. 
As tensões nos capacitores, vC1(t) e vC2(t), são as variáveis 
de estado do sistema. 
Vamos estudar o caso particular em que as condições 
iniciais sejam nulas. Por inspeção do circuito podemos escrever 
as equações (1.42) e (1.43). 
 
28 
 
 
Figura 1-6. Circuito com resistores e capacitores. 
 
 
 
 1 1 21C
V V V V
i
R R
 (1.42) 
 

 1 2 22C
V V V
i
R R
 (1.43) 
Mas, 
  11C
dv
i C
dt
 (1.44) 
e 
  22C
dv
i C
dt
 (1.45) 
Portanto, 
    1 1 22
dv
RC V V V
dt
 (1.46) 
  2 1 22
dv
RC V V
dt
 (1.47) 
 
29 
 
Seja 
  RC (1.48) 
Portanto, 
 
       
         
       
1 1
2 2
2 1
1 2 0
v v v
v v
 (1.49) 
Ou ainda, 
 
  
 
       
         
       
1 1
2 2
2 / 1 / /
1 / 2 / 0
v v v
v v
 (1.50) 
Desse modo, 
    V A V B U (1.51) 
onde, 
 
 
  
 
1
2
v
V
v
 (1.52) 
 
 
  
 
1
2
v
V
v
 (1.53) 
 
 
 
 
  
 
2 / 1 /
1 / 2 /
A (1.54) 
 
30 
 
 
 
   
 
/
0
v
B U (1.55) 
Também por inspeção pode-se escrever: 
 

 11
V V
i
R
 (1.56) 
 

 1 22
V V
i
R
 (1.57) 
Portanto, 
 
       
         
       
1 1
2 2
1 / 0 /
1 / 1 / 0
i R v V R
i R R v
 (1.58) 
Seja 
 
 
 
  
 
1
2
i
i
i
 (1.59) 
 
 
  
 
1 / 0
1 / 1 /
R
C
R R
 (1.60) 
 
 
   
 
/
0
V R
D U (1.61) 
 
 
 
31 
 
Portanto: 
    i C V D U (1.62) 
Resumindo-se as expressões (1.51) e (1.61), obtêm-se 
    V A V B U (1.63) 
    i C V D U (1.64) 
que é a forma geral da representação de estado. 
Verificamos que nosso circuito, que é um sistema de 
segunda ordem linear e invariante no tempo, está sendo 
descrito matematicamente por um sistema formado por duas 
equações diferenciais lineares com coeficientes constantes. 
Vamos então resolver essas equações. 
Aplicando-se a transformada de Laplace na equação 
(1.63) obtém-se a equação (1.65). 
     ( ) (0) ( ) ( )sV s V A V s B U s (1.65) 
Desse modo: 
       ( ) (0) ( )s I A V s V B U s (1.66) 
Ou ainda: 
    
 
        
1 1
( ) (0) ( )V s s I A V s I A B U s (1.67) 
 
 
32 
 
Seja (0) 0V , nossa hipótese inicial. Assim: 
 
Mas, 
    
 


 
  
    
   
 
1
1
2 1
1 2
s
s I A
s
 (1.68) 
Portanto, 
  
 
   
 
 
 
  
 
 
 


 
 
    
    
 
     
1
2 2
1
2 2
2
2 1 2 1
2
2 1 2 1
s
s s
s I A
s
s s
 (1.69) 
 
 
  
  
 
( )
0
V
B U s s (1.70) 
Assim, 
  
 
 
 




 
 
    
      
 
    
  
2
1
2
2
0
2 1
( )
0
2 1
V s
s s
s I A B U s
V
s s
 (1.71) 
 
 
 
33 
 
Desse modo, 
 
 
 
 



 
 
      
   
   
    
  
2
1
2
2
2
2 1( )
( )
2 1
V s
s sV s
V s V
s s
 (1.72) 
Aplicando-se a transformação inversa de Laplace na 
equação (1.67) obtêm-se a equação (1.73). 
   1( ) ( )V t V s (1.73) 
Desse modo, 
  
  
   
 
3
1( ) 4 3
6
t tV
V t e e (1.74) 
  
    
      
   
2
2( ) 1 2
6
t tV
V t e e (1.75) 
Nosso objetivo é encontrar as correntes I1(t) e I2(t). 
A partir da expressão (1.64), obtemos: 
    i C V D U (1.76) 
 
 
 
 
 
34 
 
Portanto, 
 
       
         
       
1 1
2 2
( ) 1 / 0 ( ) /
( ) 1 / 1 / ( ) 0
i t R v t V R
i t R R v t
 (1.77) 
Assim, 
 

 11
( )
( )
V v t
i t
R
 (1.78) 
 

 1 22
( ) ( )
( )
v t V t
i t
R
 (1.79) 
Substituindo as expressões (1.74) e (1.75) em (1.78) e 
(1.79) obtemos: 
  
  
   
 
3
1( ) 2 3
6
t tV
i t e e
R
 (1.80) 
 
 
 
  
 
2( ) 1 3
3
tV
i t e
R
 (1.81) 
Observar-se que para t    1 2( ) ( ) ,
3
V
i i
R
 como era 
esperado. 
Sejam os seguintes parâmetros, escolhidos a título de 
ilustração: 
 
35 
 
 


 
100
1000
10
V V
C F
R
 
As correntes i1(t)e i2(t), em função do tempo, encontram-
se representadas na Figura 1-7, para esses parâmetros. 
 
Figura 1-7. Evolução das correntes do circuito representado na Figura 1-6. 
 
36 
 
CAPÍTULO 2 
CIRCUITO RC CHAVEADO 
Seja o circuito representado na Figura 2-1. 
 
Figura 2-1- Circuito RC Chaveado. 
O interruptor ideal S é comandado pelo sinal 
representado na Figura 2-2. 
 
Figura 2-2. Sinal de comando do interruptor S. 
 
O interruptor S encontra-se fechado quando  1S e 
aberto quando   0S . O período de funcionamento é TS. 
 
 
37 
 
Desse modo, 
 
 
 




 no intervalo 0,
no intervalo 0 ,
1 S
SS
DT
DT
S
T
 
A variável D, definida por (2.1), é denominada razão 
cíclica. 
 

 1
t
D
T
 (2.1) 
Vamos supor que o capacitor C esteja inicialmente 
carregado e que sua tensão inicial seja VC0. 
Se S permanecer fechado continuamente (D=1), a tensão 
vc(t) e a corrente ic(t) serão representadas pelas expressões (2.2) 
e (2.3). 
   

 0
t
Ccv V et (2.2) 
   

 0Cc
tV
i e
R
t (2.3) 
A expressão (2.2) é a solução da equação diferencial 
linear de primeira ordem representada por (2.4). 
  
( ) ( )
0c c
dv t v t
C
dt R
 (2.4) 
 
38 
 
Com essas informações desejamos obter a expressão da 
tensão do capacitor em função do tempo, para o interruptor S 
operando com D 1. 
Durante um ciclo de operação, o circuito assume dois 
estados topológicos mostrados na Figura 2-3. 
 
Figura 2-3. Estados topologicos do circuito. 
Durante o intervalo de tempo 
1Δt , S encontra-se fechado 
e parte da energia armazenada no capacitor é dissipada em R. 
Os dois estágios topológicos mostrados na Figura 2-2 são 
representados pelas equações diferenciais lineares de primeira 
ordem (2.5) e (2.6) respectivamente. 
  
( ) ( )
0c c
dv t v t
C
dt R
 (2.5) 
 
( )
0c
dv t
C
dt
 (2.6) 
Vamos multiplicar todos os termos de (2.5) por D e todos 
os termos de (2.6) por (1-D). Em seguida vamos somar as duas 
equações. 
Assim: 
 
39 
 
    
( ) ( )
0c c
dv t v t
D C D
dt R
 (2.7) 
    
( )
1 0c
dv t
D C
dt
 (2.8) 
Portanto: 
   
( )
( ) 0c c
dv t D
C v t
dt R
 (2.9) 
A expressão (2.9) representa o circuito mostrado na 
Figura 2-4 
 
Figura 2-4. Circuito equivalente. 
Seja o resistor equivalente definido pela expressão (2.10). 
 eq
R
R
D
 (2.10) 
Observe que o valor da resistência equivalente Req é 
inversamente proporcional à razão cíclica D. 
Desse modo, o efeito do chaveamento é um aumento da 
resistência aparente do resistor do circuito. 
 
40 
 
A constante de tempo do circuito com chaveamento é 
   eq eqR C (2.11) 
 

eq
R C
D
 (2.12) 
Ou ainda, 
 

 eq
D
 (2.13) 
Podemos interpretar o efeito do chaveamento como o 
aumento da constante de tempo do circuito. 
Assim, como 1D ,   .eq 
Com o emprego da técnica descrita, obtém-se um único 
circuito linear, para um valor dado de D , que representa os 
dois estados topológicos do circuito, associados aos dois 
estados de condução do interruptor. Dito de outra forma, o 
circuito original, chaveado, passa a ser representado por um 
circuito sem interruptor, com variáveis contínuas. 
Cada estado topológico, para D constante, é 
representado por um circuito linear, descrito por uma equação 
diferencial linear. 
O circuito equivalente é também linear, onde as variáveis 
(estados) são valores médios quase instantâneos. O método 
empregado contem aproximações e introduz erro. O erro é 
tanto menor quanto menor for o período de chaveamento em 
relação à constante de tempo original do circuito. 
Simulações realizadas mostram que para 

 0,10S
T
 o 
erro cometido é menor que 1%. 
 
41 
 
CAPÍTULO 3 
CIRCUITO RC CHAVEADO 
Seja o circuito representado na Figura 3-1. 
 
Figura 3-1. Circuito RC chaveado. 
O capacitor C1 encontra-se inicialmente carregado e sua 
tensão inicial é VC10. C2 encontra-se descarregado. t 
S é aberto e fechado com alta frequência de valor 
constante. A razão cíclica D é considerada constante. 
Ao longo do tempo, parte da energia inicialmente 
acumulada em C1 é transferida para C2, e parte dela é 
transformada em calor no resistor R. 
Desejamos encontrar as expressões que representem os 
valores médios quase instantâneos das tensões vC1(t) e vC2(t). 
Em um período de operação, o circuito possui dois 
estágios topológicos representados na Figura 3-2. 
 
Figura 3-2. Estados topológicos do conversor: (a) intervalo DT e (b) intervalo 
( 1 – D ) T. 
 
42 
 
Vamos equacionar cada um desses estágios topológicos. 
 
a) Primeiro Estágio:  0 t DT 
  11
( )cdv tC i
dt
 (3.1) 
 22
( )cdv tC i
dt
 (3.2) 
  1 2
( ) ( )C Cv t v ti
R R
 (3.3) 
Portanto, 
   1 1 21
( ) ( ) ( )c C Cdv t v t v tC
dt R R
 (3.4) 
  2 1 22
( ) ( ) ( )c C Cdv t v t v tC
dt R R
 (3.5) 
b) Segundo Estágio:  DT t T 
 11
( )
0c
dv t
C
dt
 (3.6) 
 22
( )
0c
dv t
C
dt
 (3.7) 
Vamos multiplicar (3.4) e (3.5) por D. Assim: 
 
43 
 
   11 1 2
( )
( ) ( )c C C
dv t D D
DC v t v t
dt R R
 (3.8) 
  22 1 2
( )
( ) ( )c C C
dv t D D
DC v t v t
dt R R
 (3.9) 
Do mesmo modo, vamos multiplicar (3.6) e (3.7) por 
(1-D). Assim, 
   11
( )
1 0c
dv t
D C
dt
 (3.10) 
   22
( )
1 0c
dv t
D C
dt
 (3.11) 
Adicionando (3.6) com (3.10) obtemos (3.12). 
   11 1 2
( )
( ) ( )C C C
dv t D D
C v t v t
dt R R
 (3.12) 
Adicionando (3.8) com (3.11) obtemos (3.13). 
  22 1 2
( )
( ) ( )C C C
dv t D D
C v t v t
dt R R
 (3.13) 
Desse modo (3.12) e (3.13) formam um sistema de 
equações diferenciais de primeira ordem, representado pelas 
equações (3.14). 
 
44 
 
 
  
 
1
1 1 2
2
2 1 2
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
C
C C
C
C C
dv t D D
C v t v t
dt R R
dv t D D
C v t v t
dt R R
 (3.14) 
Seja o resistor equivalente definido pela expressão (3.15). 
 eq
R
R
D
 (3.15) 
Então, 
 
  
 
1 1 2
1
2 1 2
2
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
C C C
eq eq
C C C
eq eq
dv t v t v t
C
dt R R
dv t v t v t
C
dt R R
 (3.16) 
O sistema de equações (3.16) representa o circuito 
mostrado na Figura 3-3, contínuo, válido para valores médios 
quase instantâneos. 
 
Figura 3-3. Circuito equivalente para valores médios quase instantâneos. 
 
45 
 
Verificamos que devido à ação do chaveamento, o valor 
da resistência aparente é modificado e representado pela 
expressão (3.17). 
 eq
R
R
D
 (3.17) 
A constante de tempo do circuito resultante é 
representada pela expressão (3.18). 
   eqR C (3.18) 
 onde 
 



1 2
1 2
C C
C
C C
 (3.19) 
Seja VC10 a tensão inicial no capacitor C1. O capacitor C2 
encontra-se inicialmente descarregado. 
Então a corrente através do resistor equivalente durante o 
regime transitório é dada pela equação (3.20). 
 


 10( )
t
eq
C
R
V
i t e (3.20) 
As tensões sobre os capacitores C1 e C2, em seus valores 
médios quase instantâneos, são representadas pelas expressões 
(3.21) e (3.22), respectivamente. 
 
46 
 
 
 
   
  
1 1 2
1 2
10( )
t
C
Cv t C C e
C C
V
 (3.21) 
 
 
 
  
 


1
2
1
1
2
0( ) 1
t
C
C
C V
v t e
C C
 (3.22) 
 
O procedimento apresentado nos permitiu, a partir da 
representação por equações de estado de um circuito chaveado 
com dois estágios topológicos lineares, encontrar valores 
médios das variáveis de estado, que por sua vez representam 
um circuito equivalente não chaveado ou contínuo. Este é o 
princípio geral que iremos encontrar na modelagem dos 
diversos circuitos que serão apresentados nos capítulos 
subsequentes deste texto. 
A partir das equações (3.21) e (3.22) podemos observar 
que após o período transitório, quando a corrente do circuito se 
anula, as tensões 𝑉𝑐1 e 𝑉𝑐2 tornam-se iguaisentre si, com o 
valor dado pela expressão (3.23). 
 10 11 2
1 2
C
C C
V C
V V
C C

 

 (3.23) 
Portanto, os valores das tensões finais nos capacitores 
não dependem do valor do resistor R, nem da frequência de 
comutação ou da razão cíclica. Dependem apenas do valor da 
tensão inicial no capacitor C1 e das capacitâncias de C1 e C2. 
Porém a duração do período transitório depende desses 
parâmetros. 
 
47 
 
CAPÍTULO 4 
COVERSOR CC-CC ABAIXADOR A 
CAPACITOR CHAVEADO 
Seja o circuito representado na Figura 4-1. Trata-se de 
um conversor CC-CC abaixador, empregando apenas 
capacitores, interruptores e suas resistências parasitas, portanto 
sem o emprego de dispositivos magnéticos, como indutores ou 
transformadores. Nosso objetivo é obter suas características 
fundamentais, como ganho estático e circuito equivalente, 
empregando a técnica de valores médios em espaço de estado. 
 
Figura 4-1. Conversor CC-CC abaixador a capacitor chaveado. 
Os interruptores, considerados ideais, são comandados de 
acordo com os sinais mostrados na Figura 4-2. 
 
48 
 
 
Figura 4-2. Sinais de comando dos interruptores do circuito representado na 
Figura 4-1. 
Nosso objetivo é encontrar um circuito linear 
equivalente, válido para valores médios quase instantâneos, que 
permita determinar o comportamento do conversor. 
Num ciclo completo de funcionamento, o conversor 
assume dois estados topológicos. Durante o intervalo de tempo 
(0, DT), o circuito equivalente é representado pela Figura 4-3. 
 
Figura 4-3. Circuito equivalente para o primeiro estágio topológico. 
Durante o intervalo de tempo (DT,T), o circuito 
equivalente é representado pela Figura 4-4. 
 
49 
 
 
Figura 4-4. Circuito equivalente para o segundo estágio topológico. 
Vamos primeiramente obter as equações que representam 
o primeiro estágio de operação (Figura 4-3). 
   1 211
1 1 1
C C
C
v vv
i
R R R
 (4.1) 
     2 1 212
1 1 1
C C C
C
o
v v vv
i
R R R R
 (4.2) 
 11 1
C
C
dv
C i
dt
 (4.3) 
 22 2
C
C
dv
C i
dt
 (4.4) 
Substituindo a equação (4.1) em (4.3) e a equação (4.2) 
em (4.4) obtemos (4.5) e (4.6): 
    1 1 2 11
1 1 1
C C Cdv v v vC
dt R R R
 (4.5) 
 
50 
 
 
 
     
 
2 1 1
2 2
1 1 1
1 1C C
C
o
dv v v
C v
dt R R R R
 (4.6) 
A seguir, vamos equacionar o circuito representado pela 
Figura 4-4. 
   1 21
1 1
C C
C
v v
i
R R
 (4.7) 
    2 1 22
1 1
C C C
C
o
v v v
i
R R R
 (4.8) 
 11 1
C
C
dv
C i
dt
 (4.9) 
 22 2
C
C
dv
C i
dt
 (4.10) 
Portanto, 
   1 1 21
1 1
C C Cdv v vC
dt R R
 (4.11) 
 
 
   
 
2 1
2 2
1 1
1 1C C
C
o
dv v
C v
dt R R R
 (4.12) 
Vamos representar os modelos obtidos na forma 
matricial, de acordo com as expressões (4.13) e (4.14) para os 
intervalos de tempo (0, DT) e (DT,T) respectivamente. 
 
51 
 
 
                                         
11
1
1 1 1 1
2 2 1
2
11 1
1 1
1 1 1
C
C
C C
o
vdv
C R R v Rdt
dv v v
C
Rdt R R R
 (4.13) 
 
                           
1
1
1 1 1
2 2
2
1 1
1 1
1 1 1
C
C
C C
o
dv
C R R vdt
dv v
C
dt R R R
 (4.14) 
As expressões (4.13) e (4.14), escritas na forma compacta 
são representadas pelas expressões (4.15) e (4.16). 
 
  1 1 1K X A X B U (4.15) 
  2 2 2K X A X B U (4.16) 
 
onde, 
 
 
  
 
1
2
C
C
v
X
v
 (4.17) 
é o vetor de estado, sendo VC1 e VC2 os estados do circuito. 
 
52 
 
 
 
  
 
  
      
1 1
1
1
1 1
1 1
1 o
o
R R
A
R R
R R R
 (4.18) 
 
 
 
 
  
     
1 1
2
1
1 1
1 1
1 o
o
R R
A
R R
R R R
 (4.19) 
 
 
  
 
1
1 0
0 1
B (4.20) 
 2 0B (4.21) 
 
 
 
 
 
 
 
1
1
1
1
v
R
U
v
R
 (4.22) 
Vamos multiplicar as expressões (4.15) e (4.16) por D e 
por (1-D) respectivamente. 
Assim, 
  1 1 1DK X DA X DB U (4.23) 
   2 2(1 ) (1 )D K X D A X (4.24) 
Vamos analisar a operação em regime permanente. 
Portanto,  0.X Desse modo, 
 
53 
 
  1 10 DA X DB U (4.25) 
   20 (1 )D A X (4.26) 
Portanto: 
 
 
  
  
  
    
  
      
      
    
     
   
1 1
1
1 1
1
1 1 1
11
11 1
1 1
1
1 1
(1 ) 0
1
o
o
o
o
R R
D
R R
R R R
Dv
R R R
D
DvR R
RR R R
 (4.27) 
O sistema representado por (4.27) pode ser simplificado, 
resultando na equação (4.28). 
 
 
  
 
      
  
 
  
             
  
1
1
1
1
1 1
1
1 1
(1 ) 0
1
o
o
o
o
D R R
R
D v
D R R
D v
R
 (4.28) 
 
 
 
54 
 
Assim: 
 
  
 
      
  
   
  
              
  
1
1
1
1
(1 ) (1 )
0
(1 ) (1 )
o
o
o
o
D D
R R
D D
R
D D
D v
R R
D D D v
R
 (4.29) 
Após as devidas manipulações algébricas, obtêm-se as 
expressões (4.30) e (4.31). 
       1 2 1(1 2 ) 0C Cv D v D v (4.30) 
  
 
       
 
1
1 2 11 2 0
o
C C
o
R R
D v v D v
R
 (4.31) 
Manipulações algebricamente se expressões (4.30) e 
(4.31), obtemos a expressão (4.32). 
 
 
 

 
  
 
2
21 1
2 (1 )
1 2
C
o
o
v D D
v R R
D
R
 (4.32) 
Seja o caso particular em que  0,5D . Portanto, 
 
 
  
 
1
2
1 2
o
C
o
R v
v
R R
 (4.33) 
 
55 
 
A expressão (4.33) mostra que o ganho ideal do 
conversor apresentado é igual a 0,5. O valor real do ganho é 
ligeiramente menor que 0,5, devido à queda de tensão no 
resistor série equivalente 1R . 
A expressão (4.33) representa o circuito equivalente 
mostrado na Figura 4-5. 
 
Figura 4-5. Circuito equivalente do conversor CC-CC abaixador a capacitor 
chaveado. 
Para razão cíclica diferente de 0,5 o circuito equivalente 
encontra-se representado na Figura 4-6. 
 
Figura 4-6. Circuito equivalente para  0,5.D 
 
Desse modo, pode-se escrever a expressão (4.34). 
 



0
1
0,5 o
o eq
v R
v R R
 (4.34) 
 
56 
 
Mas, como foi demonstrado anteriormente: 
 
 
 

 
  
 
21 1
2 (1 )
1 2
o
o
o
v D D
v R R
D
R
 (4.35) 
Igualando-se a expressão (4.34) com (4.35) e 
manipulando-se algebricamente, obtêm-se a expressão (4.36). 
 

1
24( )
eq
R
R
D D
 (4.36) 
Ou ainda, 
 
 21
1
4( )
eqR
R D D
 (4.37) 
Na Figura 4-7 é representado o valor de 1/eqR R em 
função da razão cíclica D. 
 
Figura 4-7. Resistência equivalente em função da razão ciclica D. 
 
57 
 
Observa-se que o valor mínimo da resistência equivalente 
ocorre para  0,5D . Por isso esses conversores geralmente são 
projetados para operar com esse valor de D . 
Pode-se também demonstrar que o valor de eqR depende 
da frequência de chaveamento do circuito, além da razão 
cíclica D . Para  0,5D , o modelo obtido é válido se for 
respeitada a restrição: 
  1 1ST R C (4.38) 
ou ainda 
 
1 1
1
Sf
R C
 (4.39) 
 Na análise apresentada, foi considerada muito grande a 
capacitância do capacitor C2. 
Na análise apresentada a título de exemplo, todos os 
componentes foram considerados ideais, exceto o capacitor C1 
cuja resistência é R1. Contudo, o procedimento pode ser 
facilmente estendido para as situações em que as demais não 
idealidades sejam incluídas. 
Essa análise que acabamos de apresentar, serve para 
mostrar a eficiência do método do valor médio em espaço de 
estado, na análise dos conversores CC-CC a capacitor 
chaveado, que de outra forma seria complexa e demorada. 
 
58 
 
CAPÍTULO 5 
CIRCUITO RL CHAVEADO 
Seja o circuito representado na Figura 5-1. 
 
Figura 5-1. Circuito RL paralelo com interruptor. 
O interruptor S é ideal e opera com frequência constante 
erazão cíclica D. 
Em um ciclo de operação ocorrem dois estágios 
topológicos para os intervalos de tempo (0,DT) e (DT,T) 
respectivamente, mostrados na Figura 5-2. 
 
Figura 5-2. Estagios topológicos para o circuito RL paralelo. 
Os dois estágios são representados pelas equações 
diferenciais (5.1) e (5.2), respectivamente. 
 
59 
 
  0L
di
L
dt
 (5.1) 
    0L L
di
L R i
dt
 (5.2) 
Vamos multiplicar (5.1) e (5.2) por D e (1-D) 
respectivamente, obtendo (5.3) e (5.4). 
   0L
di
D L
dt
 (5.3) 
       (1 ) (1 ) 0L L
di
D L D R i
dt
 (5.4) 
Somando (5.3) com (5.4) obtemos (5.5). 
     (1 ) 0L L
di
L D R i
dt
 (5.5) 
A equação diferencial (5.5) representa o circuito 
mostrado na Figura 5-3. 
 
Figura 5-3. Circuito equivalente do circuito RL paralelo com interruptor. 
 
 
60 
 
Seja, 
  eR (1 )q D (5.6) 
Assim: 
    0L eq L
di
L R i
dt
 (5.7) 
Seja LoI o valor da corrente inicial no indutor. 
Resolvendo-se a equação diferencial (5.7) obtêm-se a 
expressão (5.8). 
 

( )
t
L Loi t I e (5.8) 
Onde, 
   
 eR (1 )q
L L
D R
 (5.9) 
Verificamos então que o chaveamento modifica e 
controla o valor da resistência equivalente e consequentemente 
da constante de tempo do circuito. 
A hipótese fundamental empregada na modelagem, mais 
uma vez, é o período de chaveamento ser muito menor que a 
constante de tempo definida pelos parâmetros do circuito, R e 
L, como geralmente ocorre nos circuitos reais. 
 
61 
 
CAPÍTULO 6 
CIRCUITO LLR CHAVEADO 
Seja o circuito representado na Figura 6-1. São adotadas 
as mesmas condições de operação do circuito estudado no 
CAPÍTULO 5. 
Seja 1L oI a corrente inicial em 1L , com o sentido indicado 
na Figura 6-1. Seja nula a corrente inicial em 2L . 
Deseja-se obter o circuito equivalente que represente a 
evolução das grandezas médias quase instantâneas do circuito, 
em função do tempo, em regime permanente. 
 
Figura 6-1. Circuito LLR em paralelo com interruptor. 
Os dois estágios topológicos, para os intervalos de tempo 
(0, DT) e (DT, T) encontram-se representados na Figura 6-2. 
 
62 
 
 
Figura 6-2. Estágios topologicos do circuito LLR. 
As equações para o intervalo (DT, T) são: 
  11
LdiL V
dt
 (6.1) 
 22
LdiL V
dt
 (6.2) 
  1 2L LV Ri Ri (6.3) 
Portanto, 
     11 1 2
L
L L
di
L R i R i
dt
 (6.4) 
    22 1 2
L
L L
di
L R i R i
dt
 (6.5) 
Para o intervalo (0, DT) são obtidas as equações: 
 11 0
LdiL
dt
 (6.6) 
 
63 
 
 12 0
LdiL
dt
 (6.7) 
Na forma matricial, para os intervalos de tempo (DT, T) e 
(0, DT), o circuito é representado pelas equações (6.8) e (6.9), 
respectivamente. 
 
 
     
      
     
 
 
1
1
1
2 2
2
L
L
L L
di
L
R R idt
di R R i
L
dt
 (6.8) 
e 
 
 
   
   
   
 
 
1
1
2
2
0
0
L
L
di
L
dt
di
L
dt
 (6.9) 
Multiplicando-se (6.8) por (1-D) e (6.9) por D obtém-se: 
 
 
          
      
           
 
1
1
1
2 2
2
(1 )
(1 ) (1 )
(1 ) (1 )
(1 )
L
L
L L
di
D L
D R D R idt
di D R D R i
D L
dt
 (6.10) 
 
 
   
   
    
 
1
1
2
2
0
0
L
L
di
D L
dt
di
D L
dt
 (6.11) 
 
64 
 
Somando-se (6.10) com (6.11) obtêm-se (6.12). 
 
 
         
      
         
 
 
1
1
1
2 2
2
(1 ) (1 )
(1 ) (1 )
L
L
L L
di
L
D R D R idt
di D R D R i
L
dt
 (6.12) 
Ou ainda: 
         11 1 2(1 ) (1 )
L
L L
di
L D R i D R i
dt
 (6.13) 
        22 1 2(1 ) (1 )
L
L L
di
L D R i D R i
dt
 (6.14) 
Seja, 
   (1 )eqR D R (6.15) 
Assim: 
     11 1 2
L
eq L eq L
di
L R i R i
dt
 (6.16) 
    22 1 2
L
eq L eq L
di
L R i R i
dt
 (6.17) 
As expressões (6.16) e (6.17) representam o circuito 
equivalente mostrado na Figura 6-3. 
 
65 
 
 
Figura 6-3. Circuito equivalente para o circuito original LLR. 
Pode-se então concluir que o chaveamento modifica o 
valor da resistência aparente do circuito, definida pela 
expressão (6.15). 
O circuito resultante representa os valores médios quase 
instantâneos das tensões e correntes do circuito. 
Resolvendo-se o sistema de equações diferencias (6.16) e 
(6.17) obtém-se as expressões seguintes. 
 

 
  
 

1 2
1 1
1 2
( )
t
L L o
L L e
I t I
L L
 (6.18) 
 

 
 
  

2 1 1
1 2
1
( )
t
L L o
e
I t I L
L L
 (6.19) 
 

 1( )
t
R L oI t I e (6.20) 
onde, 
  
eq
eq
L
R
 (6.21) 
 
66 
 
   (1 )eqR D R (6.22) 
 



1 2
1 2
eq
L L
L
L L
 (6.23) 
Verifica-se que o valor final de ( )RI t é igual zero. 
Contudo, os valores finais de 1( )LI t e 2( )LI t são não nulos. 
A partir da análise das equações (6.24) e (6.25), pode-se 
concluir que após o transitório, ou seja, para um tempo muito 
grande, as correntes nos dois indutores tornam-se iguais entre 
si, com os valores definidos pelas equações (6.26) e (6.27). 
 
 
 𝐼𝐿1 = 𝐼𝐿10.
𝐿1
𝐿1+𝐿2
 (6.26) 
 
 
 𝐼𝐿2 = 𝐼𝐿10.
𝐿1
𝐿1+𝐿2
 (6.27) 
 
 
67 
 
CAPÍTULO 7 
CIRCUITO LC CHAVEADO 
Seja o circuito representado na Figura 7-1, com todos os 
seus componentes ideais. 
 
Figura 7-1. Circuito LC chaveado. 
A corrente inicial no indutor L é ILo e a tensão inicial no 
capacitor C é VCo. 
Os interruptores S1 e S2 são comandados de acordo com 
os sinais representados na Figura 7-2. 
 
 
Figura 7-2. Sinais de comando dos interruptores S1 e S2. 
 
68 
 
Os estágios topológicos, para um ciclo de operação, 
encontram-se representados na Figura 7-3. 
 
Figura 7-3. Estágios toplogicos para um período de operação do circuito. 
Durante o intervalo de tempo (0, DT) o circuito é 
representado pelas equações (7.1) e (7.2). 
  0L
di
L
dt
 (7.1) 
  0C
dv
C
dt
 (7.2) 
Durante o intervalo de tempo (DT, T) o circuito é 
representado pelas equações (7.3) e (7.4). 
 L C
di
L v
dt
 (7.3) 
 C L
dv
C i
dt
 (7.4) 
Os dois sistemas de equações são representados na forma 
matricial pelas equações (7.5) e (7.6), respectivamente. 
 
69 
 
 
 
     
      
     
 
 
0 0
0 0
L
L
C C
di
L
idt
dv v
C
dt
 (7.5) 
 
 
     
      
     
 
 
0 1
1 0
L
L
C C
di
L
idt
dv v
C
dt
 (7.6) 
Multiplicando-se (7.5) por D, (7.6) por (1-D) e somando-
se, obtêm-se as equações (7.7) e (7.8). 
   (1 )L C
di
L D v
dt
 (7.7) 
   (1 )C L
dv
C D i
dt
 (7.8) 
As equações (7.7) e (7.8) representam o circuito 
mostrado na Figura 7-4. 
 
Figura 7-4. Circuito equivalente do circuito LC chaveado. 
Manipulando-se a equação (7.8) obtêm-se 
 
70 
 
 

  
(1 )
C L
D
v i dt
C
 (7.9) 
Substituindo-se (7.9) em (7.7) obtêm-se (7.10). 
 

  
2(1 )L
L
di D
L i dt
dt C
 (7.10) 
Seja, 
 
 2(1 )
eq
C
C
D
 (7.11) 
Assim, 
   
1L
L
eq
di
L i dt
dt C
 (7.12) 
Ou ainda, 
   
L
eq L
di
L C i dt
dt
 (7.13) 
Portanto: 
  
2
2
L
eq L
d i
L C i
dt
 (7.14) 
A expressão (7.14) representa o circuito equivalente 
mostrado na Figura 7-5. 
 
71 
 
 
Figura 7-5. Circuito equivalente final do circuito LLC chaveado. 
Desse modo, podemos concluir que o chaveamento 
produz um capacitor variável, dependente da razão cíclica. 
Como  0 1D , então eqC C . 
Encontramos assim uma maneira de obter um capacitor 
cuja capacitância é maior que o valor da capacitância do 
capacitor físico. 
A partir da equação (7.7) é possível encontrar a equação 
(7.15). 
 

 
(1 )
L C
D
di v dt
L
 (7.15) 
Portanto, 
 

  
(1 )
L C
D
i v dt
L
 (7.16) 
Substituindo-se (7.16) em (7.8) obtêm-se. 
 

  
2(1 )C
Cdv D
C v dt
dt L
 (7.17) 
 
 
 
 
72 
 
Portanto: 
 

 

2
2 2(1 )
C
C
d vC L
v
D dt
 (7.18) 
Seja, 
 
 2(1 )
eq
L
L
D
 (7.19) 
Portanto: 
   
2
2
C
eq C
d v
C L v
dt
 (7.20) 
O circuito equivalente representado pela equação (7.20) é 
mostrado na Figura 7-6. 
 
 
Figura 7-6. Ciruito equivalente alternativo para o circuito LC chaveado. 
Neste caso, podemos interpretar o efeito do chaveamento 
como a modificação da indutância equivalente do circuito 
original. 
A pulsação do circuito chaveado é definida pela equação 
(7.21). 
 
73 
 
 
 
 

2
1
1
LC
D
 (7.21) 
Portanto: 
 
 



1 D
LC
 (7.22) 
Seja, 
  
1
o
LC
 (7.23) 
Portanto, 
     1 oD (7.24) 
A expressão mostra o efeito da razão cíclica sobre a 
frequência natural do circuito. 
A análise apresentada, mais uma vez, demonstra a 
eficácia e a simplicidade que o método de modelo médio em 
espaço de estado proporciona, na análise de circuitos elétricos 
chaveados. 
 
74 
 
CAPÍTULO 8 
CIRCUITO VLR CHAVEADO 
Seja o circuito representado na Figura 8-1. O interruptor 
é ideal e opera com razão cíclica D. 
 
Figura 8-1. Circuito com resistor chaveado. 
Os dois estados topológicos para os intervalos (0, DT) e 
(DT, T) encontram-se representados na Figura 8-2. 
 
Figura 8-2. Estados topologicos para um período de operação do circuito VLR 
chaveado. 
Os dois estágios são representados pelas equações (8.1) e 
(8.2) respectivamente. 
 
75 
 
 
di
L v
dt
 (8.1) 
    ( )
di
L v R i t
dt
 (8.2) 
Multiplicando-se (8.1) por D e (8.2) por (1-D), e 
somando-se, obtêm-se as expressões (8.3) e (8.4). 
   
di
D L D v
dt
 (8.3) 
         (1 ) (1 ) (1 )
di
D L D v D R i
dt
 (8.4) 
Adicionando-se (8.3) e (8.4) obtêm-se (8.5). 
     (1 )
di
L v D R i
dt
 (8.5) 
A equação (8.5) representa o circuito mostrado na Figura 
8-3. 
 
Figura 8-3. Circuito equivalente do circuito VLR chaveado. 
 
76 
 
A resposta a um degrau da tensão de entrada é dada pela 
equação (8.6). 
 
 
  
 
 
( ) 1 eq
t
RV
i t e
R
 (8.6) 
onde: 
  (1 )eqR D R (8.7) 
Deve-se observar que o circuito mostrado na Figura 8-3 é 
genérico, sendo valido para tensão V com qualquer forma de 
onda. É também é valido tanto para operação em regime 
permanente quanto para transitório. 
O circuito equivalente em regime permanente para tensão 
continua de entrada é mostrado na Figura 8-4. 
 
Figura 8-4. Circuito equivalente para tensão continua. 
O circuito equivalente para alimentação senoidal 
encontra-se representado na Figura 8-5. 
 
77 
 
 
Figura 8-5. Circuito equivalente para tensão alternada senoidal. 
A impedância Z é definida pela expressão (8.8). 
     (1 )Z D R j L (8.8) 
Para razão cíclica D constante, o circuito resultante da 
análise, mostrado na Figura 8-3, é invariante no tempo. 
É possível, a partir de um ponto de operação, introduzir 
pequena perturbação na razão cíclica D. 
Seja a equação (8.9), obtida anteriormente. 
Vamos introduzir uma perturbação muito pequena em D, 
e obter a resposta no tempo. 
     (1 )
di
L v D R i
dt
 (8.9) 
  oD D D (8.10) 
  Oi I i (8.11) 
Substituindo as equações (8.10) e (8.11) em (8.9) 
obtemos a equação (8.12). 
             1O o O
d
L I i v R D D I i
dt
 (8.12) 
 
78 
 
Desenvolvendo-se (8.12) obtêm-se (8.13). 
    

      (1 )O o O
dI d i
L L v R D D I i
dt dt
 (8.13) 
Assim, 
 

          
      
(1 ) (1 )O o O o
O
dI d i
L L v R D I R D i
dt dt
D I R D i R
 (8.14) 
Seja   0D i . Assim: 
 

       (1 )o O
d i
L R D i R D I
dt
 (8.15) 
Aplicando-se a transformada de Laplace, obtêm-se: 
         ( ) (1 ) ( ) ( )o OL s i s R D i s D s R I (8.16) 
Portanto, 
         (1 ) ( ) ( )o OL s R D i s D s R I (8.17) 
Assim: 
 
 


    
( )
( ) (1 )
O
o
R Ii s
D s s L R D
 (8.18) 
 
 
79 
 
Desse modo, 
  
   
 
 
( )
(1 )( )
O
o
RIi s
R DD s
s
L
 (8.19) 
Seja, 
 

 ( )
D
D s
s
 (8.20) 
Portanto, 
    
  
  
 
( )
(1 )
O
o
D R I
i s
R D
s L s
L
 (8.21) 
Assim, 
 
 
    
  
( ) 1
(1 )
t
O
o
D
i t I e
D
 (8.22) 
sendo 
  
 (1 )o
L
R D
 (8.23) 
Mas 
 
 (1 )
o
o
V
I
R D
 (8.24) 
 
80 
 
Portanto 
 
 
   
   
2
( ) 1
(1 )
t
o
V D
i t e
R D
 (8.25) 
A expressão (8.25) representa a resposta do circuito 
diante de uma pequena perturbação na razão cíclica D , em 
torno de um ponto de operação inicial, definido pela razão 
cíclica inicial Do. 
 
81 
 
CAPÍTULO 9 
MODELAGEM DO CONVERSOR BUCK 
9.1 INTRODUÇÃO. 
 Neste capítulo, vamos empregar a técnica do modelo 
médio em espaço de estado, para obter os modelos do 
conversor CC-CC conhecido como conversor Buck, que 
incluirão circuito equivalente, análise em regime permanente e 
funções de transferência para o controle da corrente do indutor 
e da tensão do capacitor ou da carga. 
Seja o conversor Buck ideal alimentando carga resistiva, 
mostrado na Figura 9-1. 
 
Figura 9-1. Conversor Buck ideal. 
O mesmo circuito com a introdução de algumas não 
idealidades encontra-se representado na Figura 9-2. 
 
Figura 9-2. Conversor Buck com componentes não ideais. 
 
82 
 
As não idealidades são as seguintes: 
 



Resistência do interruptor S
Queda de tensão no diodo
Resistência do indutor L
S
D
L
R
V
R
 
Vamos estudar o caso em que o conversor esteja 
operando em condução continua e frequência de chaveamento 
constante. 
Seja D a razão cíclica. Os dois circuitos equivalentes para 
os intervalos de tempo (0, DT) e (DT, T) encontram-se 
representados na Figura 9-3. 
 
Figura 9-3. Estados topológicos do conversor Buck, para os intervalos de tempo 
(1,DT) e (DT,T), respectivamente. 
9.2 EQUACIONAMENTO DA PRIMEIRA ETAPA DE 
OPERAÇÃO. 
O primeiro estágio topológico mostrado na Figura 9-3(a) 
é representado pelas seguintes equações: 
 
83 
 
        1
L
S L L L C
di
L R i R i v v
dt
 (9.1) 
  C CL
o
dv v
C i
dt R
 (9.2) 
A representação matricial das equações (9.1) e (9.2) é 
dada pela equação (9.3). 
 
           
              
   
 
1
1
1
1 0
L
S L
L
C C
o
di R RL
i vdt
dv v
C R
dt
 (9.3) 
Multiplicando todos os termos da equação (9.3) por D 
obtemos: 
 
              
                 
 
11
0
L
S L
L
CC
o
di
D R R DD L
i D vdt
D
D vdv
D C R
dt
 (9.4) 
9.3 EQUACIONAMENTO DA SEGUNDA ETAPA DE 
OPERAÇÃO. 
A segunda etapa operação, mostrada na Figura 9-3(b), é 
representada pelas equações (9.5) e (9.6). 
     L L L C D
di
L R i v v
dt
 (9.5) 
 
84 
 
  C CL
o
dv v
C i
dt R
 (9.6) 
As equações (9.5) e (9.6) representadas na forma 
matricial são dadas pela equação (9.7) 
 
          
              
   
 
1
1
1 0
L
L
L D
C C
o
di RL
i vdt
dv v
C R
dt
 (9.7) 
Multiplicando-se os termos da equação (9.7) por (1-D) 
obtemos a equação (9.8). 
 
          
              
 
  
 
 
(1 ) (1 )(1 )
(1 )
(1 )
(1 )
(1 )
0
L
L
L
C C
o
D
di D R DD L
idt
D
Ddv v
D C R
dt
D v
 (9.8) 
Vamos então somar a equação (9.7) com a equação (9.8). 
Como, 
 
    
      
     
          
    
(1 )
(1 )
L LL
CC C
di didi
D L LD L
dt dtdt
dvdv dv
D CD C C
dtdt dt
 (9.9) 
 
85 
 
Obtêm-se, 
 
                      
                        
       
         
1
(1 ) (1 )
(1 )
(1 )
(1 )
0 0
L
LS L
L
CC
oo
D
di D R DD R R DL
idt
DD
DD vdv
C RR
dt
D v D v
 
 (9.10) 
Manipulando-se a equação (9.10) obtêm-se (9.11). 
 
          
          
   
 
    
 
 
1
1
1
1
(1 )
0
L
S L
L
CC
o
D
di D R RL
idt
vdv
C R
dt
D v D v
 (9.11) 
Pode-se ainda representar o modelo por duas equações de 
primeira ordem, ou seja: 
           1 (1 )
L
S L L C D
di
L D R R i v D v D v
dt
 (9.12) 
  
( )C C
L
o
dv t v
C i
dt R
 (9.13) 
 
86 
 
As equações (9.12) e (9.13) representam o circuito 
mostrado na Figura 9-4, 
 
Figura 9-4. Circuito medio equivalente do conversor buck. 
Onde, 
     1 (1 ) DV D v D v (9.14) 
   S LR D R R (9.15) 
O circuito representado na Figura 9-4, obtido com o 
emprego da técnica de modelo médio em espaço de estados, é 
válido para grandezas médias quase instantâneas, e 
consequentemente também para operação em regime 
permanente. 
9.4 ANALISE EM REGIME PERMANENTE. 
Em regime permanente,  0L
di
dt
 e  0C
dv
dt
. Desse modo, 
o circuito equivalente para operação em regime permanente 
para valores médios encontra-se representado na Figura 9-5. 
 
87 
 
 
Figura 9-5. Circuito equivalente para operação em regime permanente. 
A corrente oI é definida pela expressão (9.16). 
 
   

  
1 (1 ) D
o
S L o
D v D v
I
D R R R
 (9.16) 
Desse modo, 
  o o oV R I (9.17) 
e 
 
     

  
1 (1 )o D
o
S L o
R D v D v
V
D R R R
 (9.18) 
Interessa-nos obter o ganho estático G, definido pela 
expressão (9.19). 
 
1
oVG
V
 (9.19) 
Manipulando-se algebricamente a equação (9.18), obtêm-
se a equação (9.20). 
 
88 
 
 
    
  
  
1
(1 ) Do
S L o
v
R D D
v
G
D R R R
 (9.20) 
Para o conversor ideal,    0.S L DR R v Portando, a partir 
da equação (9.20) obtêm-se a equação (9.21). 
 G D (9.21) 
A expressão (9.20) representa o ganho em função da 
resistência de carga oR . Muitas vezes é preferível conhecer o 
ganho estático em função da corrente de carga. Vamos então 
obter tal expressão, como segue. 
Sejam as seguintes definições: 
  oo
o
V
R
I
 (9.22) 
 


1
S o
o
R I
I
V
 (9.23) 
  LL
S
R
R
R
 (9.24) 
 
1
D
D
V
V
V
 (9.25) 
Substituindo-se (9.22), (9.23), (9.24) e (9.25) em (9.20), 
obtêm-se a expressão (9.26). 
 
 
89 
 
        (1 ) (1 )D L oG D D v D R I (9.26) 
A expressão (9.26) representa a característica 
normalizada do conversor Buck não ideal em regime 
permanente. 
Para o conversor ideal  0DV e  0oI (pois  0SR ). 
Portanto, 
 G D (9.27) 
A equação (9.26) claramente indica que no conversor real 
a tensão de saída varia com a corrente de carga, mesmo para 
tensão de entrada constante. Por isso é necessário o emprego de 
controle da tensão em malha fechada. 
9.5 MODELO DE PLANTA PARA CONTROLE DA 
CORRENTE. 
Seja o sistema representado na Figura 9-6. 
 
Figura 9-6. Controle da corrente do coversor buck. 
O capacitor C e a resistência de carga Ro foram 
substituídos por uma fonte de tensão ideal 𝑉0. Deseja-se 
 
90 
 
controlar o valor da corrente IL. A variável de entrada é a razão 
cíclica D. 
 
Desejamos então obter a função de transferência. 
 



( )
( )
( )
LI sF S
D s
 (9.28) 
Seja oV o valor da tensão da fonte utilizada como carga. 
Portanto C oV V e  0
CdV
dt
. Com essas restrições, a partir 
das equações (9.12) e (9.13) obtêm-se a equação (9.29). 
            1 (1 )
L
S L L C D
di
L D R R i v D v D v
dt
 (9.29) 
Como D é variável no tempo, estamos diante de uma 
equação diferencial linear com coeficientes variáveis. Para que 
se possa obter a função de transferência desejada, deve-se obter 
uma equação diferencial linear com coeficientes constantes. 
Vamos então introduzir uma pequena perturbação na 
razão cíclica D, definida pela equação (9.30), e obter a 
resposta na corrente. 
  oD D D (9.30) 
Desse modo, 
  L Lo LI I i (9.31) 
 
 
 
91 
 
Portanto: 
   

          
        
  
1
1
(1 )
( )
Lo L
S L o S L L
L o D
D
dI d i
L L D R R I D R R i
dt dt
D R I D v D v
D v v
 (9.32) 
admitindo-se que    0Loi D . 
Manipulando-se a equação (9.32) obtêm-se a expressão 
(9.33). 
  

         1( )
L
S L L S o D
d i
L D R R i D R I D v v
dt
 (9.33) 
Aplicando-se a transformada de Laplace em todos os 
termos, obtêm-se. 
           
  1
( ) ( ) ( )
( ) ( )
L S L L S o
D
s L i s D R R i s R I D s
v v D s
 (9.34) 
Desse modo, 
                    1( ) ( )S L L D S os L D R R i s v v R I D s (9.35) 
Portanto: 
 
 
 
  

    
1( )
( )
D S oL
S L
v v R Ii s
D s s L D R R
 (9.36) 
 
92 
 
 
Mas, 
       1 D S o oD v v D R I v (9.37) 
 
Portanto: 
    1
o
D S o
V
v v R I
D
 (9.38) 
Substituindo (9.37) em (9.36) obtêm-se (9.39). 
 
 


       
( )
( )
oL
S L
Vi s
D s D s L D R R
 (9.39) 
Ou ainda, 
 


     
     
  
( )
( )
oL
S L
Vi s
D s D R R
L D s
L
 (9.40) 
Seja, 
  
 S L
L
D R R
 (9.41) 
 
 
 
93 
 
 
Portanto, 
 



  
   
 
( )
1( )
oL Vi s
D s
L D s
 (9.42) 
No caso de um conversor ideal a equação se torna 
 


  
( )
( )
oL Vi s
D s L D s
 (9.43) 
Mas  1
oV V
D
. Então, 
 


 
1( )
( )
Li s V
D s L s
 (9.44) 
que é uma expressão comumente encontrada na literatura. 
9.6 OBTENÇÃO DA FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA PARA 
O CONTROLE DA TENSÃO DE CARGA. 
Foi demonstrado que os dois estágios topológicos para os 
intervalos  0, sDT e  , s sDT T são representados pelas 
equações (9.45) e (9.46), respectivamente. 
    1 1X A X B U (9.45) 
    2 2X A X B U (9.46) 
 
94 
 
Foi também obtida à expressão (9.47). 
                      1 2 1 21 1X A D A D X B D B D U (9.47) 
Vamos adotar as seguintes definições: 
  x X x (9.48) 
  d D d (9.49) 
onde X representa o vetor de estados e D representa a razão 
cíclica, para um ponto de operação. As variáveis x e d
representam pequenas alterações alternadas do vetor de 
estados e da razão cíclica em torno desse ponto de operação. 
Portanto: 
  x X x (9.50) 
Mas  0X . Portanto: 
 x x (9.51) 
Vamos substituir as expressões (9.48), (9.49) e (9.50) na 
expressão geral (9.47), resultando na expressão (9.52). 
 
     
   
            
         
1 2
1 2
1
1
X x A D d A D d X x
B D d B D d U
 (9.52) 
Vamos desenvolver cada membro separadamente. Assim. 
 
95 
 
 
     
   
   
          
            
           
1 2
1 2 1 2
1 2 1 2
1
1
1
A D d A D d X x
A D A D X A A d X
A D A D x A A d x
 (9.53) 
Mas     1 2 0A A d x 
 
Portanto, 
 
 
 
        
       
1 2
1 2
1
1
X A D A D X
B D B D U
 (9.54) 
Como  0X , pode-se escrever a expressão (9.55). 
 
 
 
       
        
1 2
1 2
1
1 0
A D A D X
B D B D U
 (9.55) 
Vamos desenvolver o segundo termo da equação (9.52), 
definida pela expressão (9.56). 
             1 2 1P B D d B D d U (9.56) 
Desse modo, 
             1 1 2 21P B D B d B D B d U (9.57) 
 
 
 
96 
 
 
Portanto, 
 
         
      
1 2
1 2
1P B D B D U
B d B d U
 (9.58) 
Combinando-se as expressões (9.52), (9.55) e (9.58) 
obtêm-se (9.59). 
 
 
   
        
       
1 2
1 2 1 2
1x A D A D x
A A X d B B U d
 (9.59) 
A expressão (9.59) representa um sistema de equações 
diferenciais, lineares e invariantes no tempo de1ª ordem e 
descreve o comportamento do conversor para pequenas 
componentes alternadas em torno do ponto de operação 
definido por X e D . 
Vamos em seguida utilizar essa expressão para a 
obtenção da função de transferência que estamos procurando. 
Foram obtidas, no inicio do capitulo, as expressões (9.60) 
e (9.61). 
 
 
                           
1
1
1 1
0
S L
LL
CC
o
R R
v
ii L L
L
vv
C R C
 (9.60) 
 
97 
 
 
 
                             
1
(1 )
1 1
0
L
D
LL
CC
o
R
D v
ii L L
L
vv
C R C
 (9.61) 
Vamos admitir, para simplificar nossa analise, que 
  0D SV R . 
 
Desse modo. 
 
 
  
  
   
1 2
1
1 1
L
o
R
L L
A A
C R C
 (9.62) 
 2 0B (9.63) 
 
 
 
  
 
1
1
0
v
B L (9.64) 
 
Portanto, substituindo-se as equações (9.62), (9.63) e 
(9.64) em (9.59) obtêm-se (9.65). 
     1 1x A x B U d (9.65) 
Aplicando-se a transformada de Laplace em (9.65) 
obtêm-se a expressão (9.66). 
 
98 
 
        1 1( ) ( ) ( )s x s A x s B U d s (9.66) 
 onde  é a matriz identidade. Portanto: 
        1 1( ) ( )x s s A B U d s (9.67) 
 
 
 ou ainda, 
  

     
1
1 1( ) ( )x s s A B U d s (9.68) 
Mas, 
  
 
 
    
    
1
1
1 1
L
o
R
s
L L
s A
s
C R C
 (9.69) 
Portanto: 
  
      
    
     
1
1
(1 )1
( )( )
o o
o o L
L C R s C R
s A
L R R C R L sM s
 (9.70) 
Sendo, 
 
           2
1
( )
o L o L o
M s
R R L s C R R s L C R s
 (9.71) 
 
99 
 
e 
 
 
   
  
 
( )
( )
0
v d s
B U d s L (9.72) 
Com as expressões (9.70) e (9.72) obtêm-se (9.73). 
 
      
   
    
(1 ) ( )( ) 1
( )( ) ( )
oL
C o
V C R s d si s
M sV s V R d s
 (9.73) 
Portanto: 
 
 
 

( )
( )
( )
o
C
V R d s
V s
M s
 (9.74) 
Desse modo, 
 
  
( )
( ) ( )
C oV s RV
d s M s
 (9.75) 
 
    
        
     
2
1
( ) 1 1
o
o LL
o o
R
M s R RR
L C s s
C R L L C R
 (9.76) 
 
Seja o LR R . 
 
 
100 
 
 Portanto: 
 
  
     
   
2
( )
( ) 1 1
C
L
o
V s V
d s R
L C s s
C R L L C
 (9.77) 
Sejam as seguintes definições: 
  

1
o
L C
 (9.78) 
 

 
 
 

1
2
L
o
o
R
C R L
 (9.79) 
Assim: 
 

  


    
2
2 2
( )
( ) 2
C o
o o
V s V
d s s s
 (9.80) 
A função de transferência (9.80) relaciona a resposta na 
tensão de carga, causada por uma pequena perturbação 
alternada da razão cíclica em torno de um ponto de operação. 
Como o conversor Buck com interruptores ideais, do 
ponto de vista dos valores médios quase instantâneos, 
comporta-se linearmente, as condições iniciais não aparecem 
na equação final obtida. 
O mesmo resultado seria obtido através da análise do 
circuito equivalente deduzido anteriormente e reproduzido na 
Figura 9-7. 
 
101 
 
 
Figura 9-7. Circuito equivalente do conversor Buck. 
Se   0D SV R , obtêm-se o circuito equivalente mostrado 
na Figura 9-8. 
Devido à própria natureza do conversor Buck, nenhum 
dos parâmetros do circuito equivalente simplificado depende da 
razão cíclica, o que não acontece com muitos outros 
conversores. 
 
Figura 9-8. Circuito equivalente do conversor Buck para   0D SV R . 
Com o emprego da equação (9.80), pode-se definir a 
estrutura e os parâmetros do controlador da tensão de saída ou 
da carga. 
 
102 
 
9.7 EXERCÍCIO PROPOSTO. 
O leitor é convidado a obter a função de transferência 
( )
( )
oV s
d s
, para o conversor Buck representado na Figura 9-9, onde 
é adicionada a resistência serie equivalente do capacitor de 
filtragem, além das demais não idealidades já mencionadas. 
 
Figura 9-9. Conversor Buck não ideal com a inclusão da resistência do 
capacitor. 
O leitor deverá concluir que a resistência RC do capacitor 
introduzirá um zero na função de transferência F(s). 
 
103 
 
CAPÍTULO 10 
MODELAGEM DO CONVERSOR BOOST 
10.1 INTRODUÇÃO. 
Neste capítulo, iremos empregar a técnica do modelo 
médio em espaço de estados, para obter os circuitos 
equivalentes, ganho estático e funções de transferência do 
conversor Boost, representado na Figura 10-1. 
 
Figura 10-1. Conversor Boost. 
Na Figura 10-1, RL representa a resistência do indutor L, 
Rs representa a resistência do interruptor S e VD representa a 
queda de tensão no diodo D. 
Vamos analisar o conversor operando em condução 
contínua (MCC). Durante um ciclo de operação o conversor 
assume dois estados topológicos, representados na Figura 10-2 
para os intervalos de tempo (0, DTS) e (DTS, TS), 
respectivamente. 
 
104 
 
 
Figura 10-2. Estados topológicos do conversor Boost. 
Durante o primeiro intervalo de tempo, representado na 
Figura 10-2(a), o comportamento do circuito é descrito pelas 
equações (10.1) e (10.2). 
       1
L
L s L
di
L R R i V
dt
 (10.1) 
  C C
o
dv V
C
dt R
 (10.2) 
As mesmas equações, na forma matricial, são 
representadas pela expressão (10.3). 
 
   
                         
1
10
1
00
L s
LL
CC
o
R R
ii L
VL
VV
C R
 (10.3) 
 
105 
 
O estágio topológico mostrado na Figura 10-2(b) é 
descrito pelas equações (10.4) e (10.5). 
      1
L
L L D C
di
L R i V V V
dt
 (10.4) 
  C CL
o
dv V
C i
dt R
 (10.5) 
Portanto: 
 

    1 CL DL L
vR V V
i i
L L L
 (10.6) 
  

CL
C
o
vi
v
C C R
 (10.7) 
com a representação matricial dada pela expressão (10.8). 
  
 
                            
1
1
1
1 1
0
L
LL
D
CC
o
R
ii L L
V VL
vv
C C R
 (10.8) 
Sejam as seguintes definições: 
 
 
  
 
L
C
i
x
v
 (10.9) 
 
106 
 
 
 
  
 
L
C
i
x
v
 (10.10) 
 
   
 
 
 
  
1
0
1
0
L s
o
R R
L
A
C R
 (10.11) 
 
 
  
 
   
2
1
1 1
L
o
R
L L
A
C C R
 (10.12) 
 
 
 
 
 
1
1
0
0 0
B L (10.13) 
 
 
 
 
 
2
1 1
0 0
B L L (10.14) 
 
 
  
 
1
D
V
U
V
 (10.15) 
Podemos então escrever para os dois estágios 
topológicos: 
    1 1x A x B U (10.16) 
    2 2x A x B U (10.17) 
 
107 
 
Multiplicando a equação (10.16) por D e (10.17) por 
(1 -D), obtemos as equações (10.18) e (10.19), 
respectivamente. 
       1 1D x A D x B D U (10.18) 
               2 21 1 1D x A D x B D U (10.19) 
Adicionando-se as duas equações, obtêm-se: 
 
 
 
        
       
1 2
1 2
1
1
x A D A D x
B D B D U (10.20) 
Seja, 
      1 2 1A A D A D (10.21) 
      1 2 1B B D B D (10.22) 
Portanto: 
    x A x B U (10.23) 
A equação na forma matricial (10.23), formada por duas 
equações diferenciais lineares de primeira ordem, descreve o 
comportamento do conversor, para grandezas médias quase 
instantâneas. 
 
108 
 
10.2 CIRCUITO EQUIVALENTE PARA OPERAÇÃO EM 
REGIME PERMANENTE. 
Em regime permanente,  0x . Portanto, 
    0 A x B U (10.24) 
Vamos inicialmente obter a matriz A. 
      1 2 1A A D A D (10.25) 
Portanto, 
 
     
   
      
   
   
   
   
   
1 1
0
1 1
0
LL s
o o
R D DD R R
L LL
A
D DD
CR C CR
 (10.26) 
Assim, 
 
 
 
  
  
 
 
 
 
1
1 1
s L
o
DD R R
L L L
A
D
C C R
 (10.27) 
Em seguida vamos obter a matriz B. 
      1 2 1B B D B D (10.28) 
 
109 
 
 
    
   
    
   
11
0
0 0 0 0
DD D
B L L L (10.29) 
Desse modo, 
 
  
 
 
 
 
11
0 0
D
B L L (10.30) 
Substituindoas expressões (10.27) e (10.30) em (10.24), 
obtemos (10.31). 
 
   
 
    
    
            
 
     
  
 
1
1
0
1 10
11
0 0
s L
L
C
o
D
D R R D
iL L
D v
C C R
D
V
L L
V
 (10.31) 
Manipulando-se adequadamente a expressão (10.32), 
obtêm-se as expressões (10.32) e (10.33). 
 
      
      1
1 1
0 s L L C D
D DD R R V
i v V
L L L L
 (10.32) 
 

  

1
0 CL
o
vD
i
C C R
 (10.33) 
 
110 
 
Ou ainda: 
               1 1 1D s L L CV D V D R R i D v (10.34) 
      0 1C o Lv R D i (10.35) 
As equações (10.34) e (10.35) representam o circuito 
equivalente mostrado na Figura 10-3. 
 
Figura 10-3. Circuito equivalente do conversor Boost. 
Com as expressões (10.34) e (10.35) obtêm-se a 
expressão (10.36), que representa o conversor boost operando 
em regime permanente. 
                
2
1 01 1D s L L LV D V D R R i R D i (10.36) 
A equação (10.36) representa o circuito equivalente 
mostrado na Figura 10-4. 
Pode-se também obter um circuito equivalente referido 
para o lado da carga. Vamos dividir a equação (10.36) por 
(1- D), resultando na equação (10.37). 
 
 
111 
 
 
Figura 10-4. Circuito equivalente do conversor Boost. 
 
 
 
 
 
 
      
 
1
0 1
1 1
s L
D L L
D R RV
V i R D i
D D
 (10.37) 
ou ainda, 
 
 
 
 
   

    
 
1
02
1 1
1 1
s L
D L L
DR RV
V D i R D i
D D
 (10.38) 
A equação (10.38) representa o circuito equivalente 
mostrado na Figura 10-5. 
 
Figura 10-5. Circuito equivalente do conversor Boost visto pelo lado da carga. 
 
112 
 
Se considerarmos o conversor ideal, 
    0D S LV R R 
Desse modo, 
 

1
(1 )
o
V
V
D
 (10.39) 
ou ainda, 
 
1
1
(1 )
oV
V D
 (10.40) 
que é a expressão clássica do ganho estático do conversor boost 
ideal. 
Vamos em seguida obter a expressão do ganho do 
conversor a partir da análise do circuito equivalente em regime 
permanente mostrado na Figura 10-5. 
Por inspeção, pode-se obter: 
 
 
 
      


1
2
(1 )
(1 )
o
o D
S L
o
RV
V V
D R RD
R
D
 (10.41) 
Ou ainda, 
 
 
    
     
        
2
2
1 1
(1 )1
(1 ) (1 )
o oD
S L o
V R DV
V D V D R R R D
 (10.42) 
 
113 
 
Na Figura 10-6 são representadas curvas do ganho do 
conversor boost em função da razão cíclica, tomando oR como 
parâmetro. 
Foram adotados os seguintes parâmetros a título de 
exemplo: 
 
  
  1
1 ; 1 ;
0,5 ; 100 .
D L
S
V V R
R V V
 
Foram traçadas duas curvas, para  100oR e 𝑅0 =
50Ω, respectivamente. Verifica-se que a curva do ganho, na 
presença das não idealidades dos componentes do conversor, 
afasta-se muito da curva ideal, para  0,5D . 
 
 
Figura 10-6. Ganho estático do conversor Boost em função da razão ciclica. 
 
114 
 
10.3 FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA DO CONVERSOR PARA 
O CONTROLE DA CORRENTE 
O modelo completo, na forma de equações de estados, 
obtido anteriormente é: 
    x A x B u (10.43) 
Fazendo as devidas substituições, com o emprego dos 
resultados anteriormente obtidos, encontramos a expressão 
(10.44). 
 
   
     
             
   
 
  
 
1
(1 )
1 1
(1 )
0
S L
LL
CC
o
D
D R R D
ii L L
D vv
C C R
V D V
L
 (10.44) 
Normalmente a dinâmica da corrente no indutor é muito 
mais rápida que a dinâmica da tensão no capacitor. Por isso, 
para a obtenção da função de transferência para o controle da 
corrente vamos admitir que C oV V , portanto com valor 
constante. 
Consequentemente, 
dv
0C
dt
. 
Desse modo, a expressão (10.44), adquire a forma da 
equação (10.45). 
 
115 
 
         1(1 ) (1 )
L
S L L o D
di
L DR R i D V V D V
dt
 (10.45) 
A equação (10.45) representa o circuito equivalente 
mostrado na Figura 10-7. 
 
Figura 10-7. Circuito equivalente do conversor Boost para tensão constante na 
carga. 
Vamos introduzir componentes alternadas de pequenas 
amplitudes d e Li em torno do ponto de operação definido por 
Do e IL. Desse modo: 
  L L Li I i (10.46) 
  oD D d (10.47) 
Substituindo as equações (10.46) e (10.47) em (10.45) 
obtemos as expressão (10.48). 
 
116 
 
 
 
 
         
          
      
(1 )
(1 )
L L
o S L L S L
o S L L S L C
C D D
di dI
L L D R R I d R I
dt dt
D R R i d R i D V
d V D V d V
 (10.48) 
Mas, 
    0S Ld R i (10.49) 
  0L
dI
L
dt
 (10.50) 
e 
         1(1 ) (1 ) 0o S L L o CD R R I D V D V V (10.51) 
Portanto: 
              L o S L L o D S L
di
L D R R i V V d d R I
dt
 (10.52) 
Aplicando a transformada de Laplace obtemos: 
            ( ) ( )o S L L o D S LsL D R R i s V V R I d s (10.53) 
Desse modo: 
 
 
 
  
 
     
( )
( )
o D S LL
o S L
V V R Ii s
d s s L D R R
 (10.54) 
 
117 
 
Para o caso particular de um conversor ideal, 
   0D S LV R R . Portanto, 
  

( )
( )
oL Vi s
d s s L
 (10.55) 
que é uma expressão muito conhecida e normalmente 
empregada na definição da estrutura e dos parâmetros dos 
controladores de corrente do conversor Boost. 
10.4 FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA DO CONVERSOR PARA 
O CONTROLE DE TENSÃO. 
Seja a Figura 10-8, na qual se encontra incluída uma 
malha de controle da tensão da carga do conversor Boost. 
 
Figura 10-8. Conversor Boost com controle de tensão. 
Nosso objetivo é controlar a tensão de saída ov do 
conversor. Necessitamos, para definir a estrutura e os 
parâmetros do controlador, uma função de transferência que 
 
118 
 
relacione a razão cíclica, que é variável de entrada, com a 
tensão de carga. 
Essa função ( )F s é definida pela expressão (10.56). 
 
( )
( )
( )
ov s F s
d s
 (10.56) 
( )d s perturbação da razão cíclica, em torno de um 
ponto de operação. 
ov resposta da tensão de carga, na forma de pequena 
componente alternada em torno de um ponto de operação. 
Foi obtida anteriormente a equação (10.57). 
 
 
   
        
        
1 2
1 2 1 2
1x A D A D x
A A X B B U d
 (10.57) 
 
Seja 
      1 2 1A A D A D (10.58) 
Portanto: 
              1 2 1 2x A x A A X B B U d (10.59) 
Aplicando-se a transformada de Laplace obtêm-se a 
expressão (10.60). 
          1 2 1 2( ) ( ) ( )sIx s Ax s A A X B B U d s (10.60) 
 
119 
 
Portanto, 
      

       
1
1 2 1 2( ) ( )x s sI A A A X B B U d s (10.61) 
Desse modo, 
      

          
1
1 2 1 2
( )
( )
x s
s I A A A X B B U
d s
 (10.62) 
 
onde 
 
 
 
 
 
 
 
( )
( ) ( )
( )( )
( )
L
c
i s
x s d s
v sd s
d s
 (10.63) 
Definindo: 
 1
( )
( )
( )
Li sF s
d s
 (10.64) 
 2
( )
( )
( )
cv sF s
d s
 (10.65) 
Obtêm-se 
 
 
  
 
1
2
( )( )
( )( )
F sx s
F sd s
 (10.66) 
 
120 
 
A matriz A , já obtida anteriormente, é representada a 
seguir, pela expressão (10.67). 
 
      
  
 
 
  
1
1 1
s L
o
D R R D
L L
A
D
C C R
 (10.67) 
 
Portanto: 
  
 
 
  
 
   
 
  
 
1
1 1
s L
o
DD R R
s
L L
s I A
D
s
C C R
 (10.68) 
 
 
 
   
  
 
1 2
1
1
0
sR
L LA A
C
 (10.69) 
 
 
        
 
1
1
1
0
0 0 D
V
B U L
V
 (10.70) 
 
 
         
 
1
2
1 1
0 0 D
V
B U L L
V
 (10.71) 
 
 
 
121 
 
Portanto, 
  
 
   
  
 
1 2
0
DV
B B U L (10.72) 
A matriz X representa os estados iniciais, e é definida 
pela expressão (10.73). 
 
 
  
 
Lo
Co
I
X
V
 (10.73) 
Portando: 
  
 
   
      
    
 
1 2
1
1
0
s
Lo
Co
R
IL LA A X
V