Dinâmica de um Sistema de Partículas

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V. Dinâmica de um Sistema de Partículas 
 
Nos capítulos anteriores, discutimos a teoria da dinâmica de uma partícula. Agora vamos 
considerar o problema de várias partículas, que é o mais importante e realístico. É importante 
também salientar que na discussão vamos considerar partículas com massas constantes. 
 
V.1 Centro de Massa 
 
O centro de massa de um sistema de partículas é o ponto que se move como se toda a 
massa do sistema estivesse concentrada nele e como se todas as forças actuantes estivessem a ser 
aplicadas no mesmo ponto, em outras palavras, pode-se considerar o centro de massa como 
sendo o ponto onde está concentrada a massa do sistema, ou do corpo. 
 
V.1.1 Posição de Centro de Massa ( ) 
 
A posição de centro de massa é definida pelo vector posição. Antes de analisar sistemas 
de muitas partículas, vamos considerar um sistema composto por duas partículas fixadas nas 
posições mostradas na figura 6.1. 
 
 
 
 
 
 
Universidade Zambeze 
Faculdade de Ciência e Tecnologia 
Disciplina: Física I 
Lição n
0
 6: Dinâmica de um 
Sistema de Partículas (SP) 
Cursos: Engenharias, Mecatrónica, Civil e Eléctrica Data: 08/04/2020 - I Semestre 
 Aula Teórica 
 
 Centro de Massa  Massa Reduzida 
 Posição de Centro de Massa (CM)  Momentos, Angular e de Froça 
 Velocidade e Aceleração do CM  Energia Cinética de um S.P 
 Leis de Newton  Conservação de energia de S.P 
 
 
 
Subtemas: 
Mecânica como ciência 
 
 
 
 
Figura 5.1 Sistema de duas partículas (Fonte: R. Hallady 8A Ed) 
Docente Responsável: Msc. Enfraime Jaime Valoi (valoi.enfraime@gmail.com) 
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 A posição de centro de massa para este sistema é definido pela expressão: 
 
 
 
 ( ) ( ) 
 
 
 
 ( ) 
Veja que, para , enquanto, para . Para além da análise 
anterior, ao tomar , o centro de massa do sistema mostrado anteriormente move-se para 
o ponto médio da distância que separa as duas massas ( ). De referir que, a relação (*) 
foi escrita tomando como base a localização de ( ) 
 
Levando em consideração partículas distribuidas no sistema tri-dimensional, então a 
posição de centro de massa será dada pelas coordenadas em causa, isto é, 
 
 
 
∑ 
 
 ( ) 
 
 
∑ 
 
 ( ) 
 
 
∑ 
 
 ( ) ( ) 
 
Recorrendo a definição do vector posição temos: 
 ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗ ( ) 
Para um sistema constituído por um número muito maior de partículas, por exemplo, 
sistema de pontos materiais de massas, e ocupando as posições, , então 
definimos a posição do seu centro de massa pela expressão, 
 
 
 
 
∑ 
 
 ( ) 
 
V.1.2 Velocidade de Centro de Massa ( ⃗⃗⃗ ) 
 
Dado o vector-posição (5.2), por derivação podemos definir a velocidade de centro de 
massa, isto é, 
 ⃗⃗ 
 ⃗ 
 
 
 
 
∑ 
 
 
 
 
 ⃗ ⃗ ⃗ 
 
 
 
 
∑ ⃗ 
 
 ( ) 
Levando em consideração que , então podemos reescrever (5.4) na forma, 
 ⃗⃗ 
 
 
∑ 
 
 
 ⃗⃗
 
 ( ) ⃗⃗ ⃗⃗ ( ) ( ) 
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Onde, ∑ é a quantidade do movimento total do sistema. Em outras palavras, isso sugere 
que, a quantidade de movimento do sistema é a mesma que se teria se toda massa fosse 
concentrada no centro, movendo-se com velocidade . Por essa razão é as vezes chamada 
de velocidade do sistema. 
 
IV.1.3 Aceleração de Centro de Massa 
 
Assim como a velocidade de centro de massa, para a aceleração de centro de massa, 
derivamos em função tempo a relação (5.4), i.e, 
 ⃗ 
 ⃗⃗ 
 
 
 
 
∑ 
 
 
 
 
 ⃗ ⃗ ⃗ 
 
 
∑ ⃗ 
 
 ( ) 
 
IV.2 Leis de Newton para Sistema de Partículas 
IV.2.1 Primeira Lei 
 
Se um sistema é isolado (isenta a interações), sabemos do princípio de conservação da 
quantidade do movimento que P é constante, portanto, 
 
 
 
IV. Seguda e Terceira Lei 
 
Agora vamos considerar um sistema não isolado, onde as partículas contidas nele estão 
interagido com outras do sistema e, que juntos ( ) forma um sistema isolado, figura(5.2). 
 
 
 
 
 
 
 
𝑠 
𝑠′ 
Figura 5.2 Interação dos sistemas s e s’ 
𝑃 ∑𝑃𝑖 ∑𝑃𝑗
𝑗𝑖
 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 𝑜𝑢 𝑃 𝑃𝑠 𝑃𝑠′ 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 ( 7) 
Vamos designar pelo índice i, as partículas que pertencem a 𝑠 e 
por j, as que pertencem a 𝑠 . O princípio de conservação de 
quantidade de movimento para sistema isolado composto 
por 𝑠 𝑒 𝑠 , é, 
 O centro de massa de um sistema isolado está em repouso ou movendo-se com 
velocidade constante em qualquer referência inercial (massas constantes) 
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Vista a relação (5.7), então pode-se dizer que, qualquer variação na quantidade de 
movimento de , deve ser acompanhada por uma variação igual e oposta da quantidade de e, 
analiticamente escrevemos, 
 ∑ 
 
 ∑ 
 
 ( ) 
Desta forma a interação entre , pode ser descrita como troca de quantidade de 
movimento. Agora, derivando (5.8) em função ao tempo, e, em simultâneo calcularmos o limite 
quando , temos, 
 
 
 
 
 
 ( ) 
 
 
 
 
 
(∑ 
 
) ( ) 
Diz-se força externa ( ), porque a razão de variação com o tempo da quantidade de 
movimento de , é devida a sua interação com , então, , será a força externa agindo sobre 
 , dai que escrevemos, 
 ( ) 
Contudo, a relação (5.10) traduz a terceira lei de Newton, acção e reacção entre . 
 
É importante salientar que para além das forças externas, também actuam nos sistemas as 
forças internas devidas às interações entre as partículas componentes, mas, não foram levantadas 
nas deduções das fórmulas anteriores, porque não produzem qualquer variação na quantidade de 
movimento. 
Para um sistema de partículas, podemos definir a lei fundamental da dinâmica, ou a 
equação de movimento de centro de massa de um sistema de partículas, pela expressão, 
 ⃗ 
 ⃗⃗ 
 
 ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ( ) 
 
A expressão (5.11), traduz a segunda lei de Newton para sistemas de partículas, isto é, 
 
 
 
 
 O centro de massa de um sistema de partículas move-se como se fosse uma partícula de 
massa igual a massa total do sistema e sujeita à força externa aplicada 
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V.2 Massa Reduzida 
 
Consideremos duas partículas que estão submetidas apenas á interações mútuas, isto é, 
sobre elas não agem forças externas (figura 5.3). 
 
 
 
 
 
 
 
Subtraindo as relação anteriores (5.12) e (5.13), tem-se, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( ) (
 
 
 
 
 
) ( ) 
 
Neste caso a diferença das velocidades, também chamada velocidade de 
relativamente a é definida como, ( ) , logo, 
 
 
( ) 
 
 
 ( ) 
Desta forma, encontramos a definição para a aceleração de relativamente a . 
 
Agora se introduzirmos uma nova grandeza, chamada massa reduzida designada por , 
para o sistema de duas partículas, resulta, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ( ) 
Substituindo (5.15) e (5.16) em (5.14), resulta, 
 
 
 ( 7) 
 
 
 
 
Figura 5.3 Interação de Duas Partículas 
𝐹 𝑚 
𝑑𝑣 
𝑑𝑡
 𝑜𝑢 
𝐹 
𝑚 
 
𝑑𝑣 
𝑑𝑡
 ( ) 
𝐹 𝑚 
𝑑𝑣 
𝑑𝑡
 𝑜𝑢 
𝐹 
𝑚 
 
𝑑𝑣 
𝑑𝑡
 ( ) 
As equações de movimento para cada partícula 
relativamente a um observador inercial𝑂, são, 
 O movimento relativo de duas partículas sujeitas apenas às suas interações mútuas é, 
relativamente a um observador inercial, equivalente ao movimento de uma partícula de 
massa igual à massa reduzida sob acção de uma força igual à força de interação. 
𝑚 𝑚 
𝐹 𝐹 
𝑦 
𝑥 
𝑧 
𝑂 
𝑟 𝑟 
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Veja que se , de expressão (5.15), podemos definir a massa reduzida por, 
 
 
 
 
 ⁄
 ( 
 
 
) ( 7) 
 
 
 ( ) 
Para chegar a relação (5.18), dividimos os membros de (5.15) por e levamos em 
consideração a aproximação ( ) ( ). 
 
V.3 Momento Angular e de Força de um Sistema de Partículas 
 
Agora o objecto de estudo é o momento angular de um sistema de partículas. Para tal 
primeiro relembrémos a definição do momento linear, so que desta vez, para um sistema de 
partículas, escrevendo-a na forma, 
 ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗ ( ) 
 ⃗⃗
 
 ( ) ⃗⃗ ∑ ⃗⃗ 
 
 ∑ ⃗⃗ 
 
 ( ) 
 
Para simplificar, vamos considerar duas partículas e, os momentos angulares serão, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( ) ( ) 
 
Desta vez, para além das interações mútuas, suponhamos que cada partícula está também 
submetida a uma força externa (figura 5.4). 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pela análise da figura 5.4, é fácil ver que o vector , tem a direcção da 
recta que une as partículas e, as forças , também agem ao longo da mesma recta. Visto 
Figura 5.4 Interação de Duas Partículas 
na Presença de Forças Externas 
𝜏 𝑟 𝑥(𝐹 𝐹 ) 𝑟 𝑥𝐹 𝑟 𝑥𝐹 ( ) 
𝜏 𝑟 𝑥(𝐹 𝐹 ) 𝑟 𝑥𝐹 𝑟 𝑥𝐹 ( ) 
𝜏 𝜏 𝑟 𝑥𝐹 𝑟 𝑥𝐹 (𝑟 𝑟 )𝑥𝐹 ( ) 
Então sobre a partícula 1 actuam as forças 𝐹 𝑒 𝐹 , e sobre a 
partícula 2 actuam as forças 𝐹 𝑒 𝐹 , logo, defimos o torque como, 
Levando em consideração que 𝐹 𝐹 , então, o torque total será, 
 
𝐹 
𝑚 𝑚 
𝐹 𝐹 
𝑦 
𝑥 
𝑧 
𝑂 
𝐹 
𝑟 𝑟 
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isso, os vectores , são paralelos, então o seu produto vectorial será nulo, isto é, [( 
 ) ] 
Desta forma, podemos reescrever a expressão (5.25) na forma, , logo, 
 
 
 
 
( ) ( ) 
Generalizando o resultado para qualquer número de partículas, obtemos, 
 
 
 ( 7) ∑ 
 
 
Onde, 
 é o momento angular total e é o torque total exercido apenas pelas forças externas 
Uma nova lei fundamental da dinâmica de rotação pode ser enunciada, isto é, 
 
 
 
 
Na ausência de forças externas, ou se a soma dos seus torques é zero ( ), então, 
 
 
 
 
 
(∑ ) , e, integrando tem-se, ∑ ( ), 
que constitui o princípio de conservação do momento angular. Em palavra temos, 
 
 
 
V. Energia Cinética de um Sistema de Partículas 
 
Na figura 5.4, suponhamos que ao longo das trajectórias indicadas, as particulas movem-
se com velocidades , dai que, as equações de movimento de cada partícula serão, 
 ( ) ( ) ( ) 
Nos instantes de tempo muito pequenos, as partículas sofrem deslocamentos 
infinitesimais , tangentes a sua trajectória. Se multiplicarmos os respectivos 
deslocamento em cada equção resulta, 
 A razão de variação com o tempo do momento angular de um sistema de partículas, 
relativamente a um ponto arbitrário, é igual ao torque total, relativo ao mesmo ponto, das 
forças externas que agem sobre o sistema. 
 O momento angular total de um sistema isolado, ou de um sistema com torque externo igual a 
zero, é constante em módulo, direcção e sentido. 
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 ( ) 
 ∫ 
 
 
 ∫ 
 
 
 ∫ 
 
 
 ∫ 
 
 
 ( ) 
No membro esquerdo o integral nos dá, (
 
 
 
 
 
 
 
 ) (
 
 
 
 
 
 
 
 ) 
(
 
 
 
 
 
 
 
 ) (
 
 
 
 
 
 
 
 ) ( ) 
 energias cinéticas totais nos instantes t0 e t 
Para o membro direito, temos, ∫ 
 
 
 ( ) ∫ 
 
 
 ( ) ( ) 
 são os trabalhos totais executados pelas forças externas e internas, respectivamente. 
Combinando as três relações anteriores, (5.34), (5.33) e (5.32), escrevemos, 
 ( ) 
 
 
 
V.6 Conservação da Energia de um Sistema de Partículas 
 
Suponhamos agora que as forças internas são conservativas e que, portanto, existe uma 
função que depende das coordenadas de , tal que, 
 ∫ 
 
 
 ( ) 
 energias potenciais internas nos instantes t0 e t 
Figura 5.3 Interação de Duas Partículas 
na Presença de Forças Externas 
𝐹 
𝑚 𝑚 
𝐹 𝐹 
𝑦 
𝑥 
𝑧 
𝑂 
𝐹 
𝑚 𝑎 𝑑𝑟 𝐹 𝑑𝑟 𝐹 𝑑𝑟 ( 𝑎) 
 𝑚 𝑎 𝑑𝑟 𝐹 𝑑𝑟 𝐹 𝑑𝑟 ( 𝑏) 
𝑚 𝑎 𝑑𝑟 𝑚 𝑎 𝑑𝑟 𝐹 𝑑𝑟 𝐹 𝑑𝑟 𝐹 (𝑑𝑟 𝑑𝑟 ) 
𝑎 𝑑𝑟 
𝑑𝑣 
𝑑𝑡
𝑑𝑟 𝑣 𝑑𝑣 𝑒 𝑎 𝑑𝑟 𝑣 𝑑𝑣 
𝑑𝑟 𝑑𝑟 𝑑(𝑟 𝑟 ) 𝑑𝑟 
Agora, somando membro a membro as equações anteriores, 
levando em consideração que, 𝐹 𝐹 , então temos, 
 
 A variação da energia cinética de um sistema de partículas é igual ao trabalho realizado 
sobre o sistema pelas forces externas e internas. 
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Se as forças internas agem ao longo da linha , então, a energia potencial interna não 
depende do sistema de referência, mas sim, de . 
Substituindo a equação (5.36) em (5.35), então, 
( ) ( ) ( 7) 
Definindo a energia própria do sistema, temos, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ( ) 
E para um caso geral de n partículas, escrevemos, 
 ∑
 
 
 
 ∑ 
 
 ( ) 
De relação (5.38), na ausência de forças internas, toda a energia própria é cinética 
( ). 
Veja que a definição do princípio de conservação da energia, é encotrada pela substituição da 
expressão (5.38) em (5.37), isto é, 
 ( ) 
 
 
 
É importante salientar que esta lei surgiu como consequência do princípio de conservação 
da quantidade de movimento e da hipótese de que as forças internas são conservativas. 
Se considerarmos um sistema isolado, no qual, (ausência de forças externas), mas, sob 
a condição das forças internas serem conservativas, então, . 
 
 
Assim, se a energia cinética de um sistema isolado aumenta, sua energia potencial interna 
deve decrescer pela mesma quantidade, de tal maneira que a soma permaneça constante. 
 A variação da energia própria de um sistema de partículas é igual ao trabalho feito sobre o 
sistema pelas forças externas. 
 A enrgia própria de um sistema isolado de partículas permanence constante