EXERCICIOS-COMENTADOS-aula02 exemplos

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2017.2 - Fenômenos Eletromagnéticos – BCJ0203
Aula 2: Exemplos
Javier Acuña
(javier.acuna@ufabc.edu.br)
Centro de Ciências Naturais e Humanas (CCNH)
Universidade Federal do ABC (UFABC)
Um dipolo elétrico é constituído por uma carga pontual q e por uma outra 
carga pontual −q, separadas por uma distância 2a.
a) Calcule o campo elétrico ao longo do eixo y no ponto P situado a uma 
distância y da origem.
b) Calcule o campo elétrico para
um ponto muito afastado da origem, isto é, y >> a.
Exemplo 1 – campo elétrico de um dipolo
a) E = E1 + E2 com 
b)
1 2 2 2 2e e
q qE E k k
r y a
= = =
+( )
( )
( ) ( )
( )
1
2
2
3
1
2
1 1
2 2
1 2 1
2 22 2 2
2 2
2
ˆ ˆcos sen
ˆ ˆcos sen
ˆ2 cos
ˆs
2
co 2 e
e
E E i j
E E i j
E E E E i
a a q aE k i
r y a
qaE k
y
y
a
y a a
θ θ
θ θ
θ
θ
=
= +
= −
= ⇒ =
= = ⇒ =
++ +
+
r
r
r
r
( ) 32
2 2 2
2 2 3
 
22
 e e
qay a a y y E k
y a
qak
y
⇒ + → = =
+
 
Uma haste de comprimento l tem uma densidade linear de carga uniforme λ e uma carga 
total Q. Calcule a intensidade do campo elétrico em um ponto P ao longo do eixo da haste, à 
distância a de uma de suas extremidades.
Exemplo 2 – campo elétrico devido a uma haste carregada
( )
( ) ( )
( )
2
2
2
1 1 1
1 1
e
e
l a l a
e
a a
l
e e
a
e e
e
a
e
dqdE k
x
dxdq dx dE k
x
dxE dE k
x
E k E k
x l a a
l a a
E k k k
a l a a a
k QE
l a l
l
l
a
a a
λ λ
λ
λ λ
λ λ λ
+ +
+
=
= ⇒ =
= =
− −   
= − ⇒ = −   +   
+ − 
= − = = + + + 
=
+
∫ ∫
Um anel de raio a tem uma distribuição de carga positiva uniforme por unidade de 
comprimento do anel, com carga total Q. Calcule a intensidade do campo elétrico em um 
ponto P no eixo do anel a uma distância x de seu centro.
Exemplo 3 – campo elétrico de um anel de carga uniforme
( ) ( )
( ) ( )
( )
1
2
3
2
3 3
2 2
3
22 2
2
2
2 2
2 2
2 2 2 2
cos
cos
e
e
x
x e
e
x
e e
dqdE k
r
dE dE
x dq xdE k
r r r
k x
r x a dE dq
x a
k x k xE dq dq
x a x
k
a
xE Q
x a
θ
θ
=
=
= ⇒ =
= + ⇒ =
+
= =
=
+
+ +
∫ ∫
Um disco com raio igual a 0,10 m está orientado de 
modo que seu vetor unitário normal n forme um 
ângulo de 30 com um campo elétrico uniforme E, 
cujo módulo é igual a 2,0x103 N/C. 
a) Qual é o fluxo elétrico através do disco?
b) Qual é o fluxo elétrico através do disco depois 
que ele gira e passa a ocupar uma posição 
perpendicular ao vetor E?
c) Qual é o fluxo elétrico através do disco quando 
sua normal é paralela ao vetor E? 
Exemplo 1 – fluxo elétrico através de um disco
( )
( )( )( )
22 2
3 22
ˆa) A área é = 0,10 m 0,0314 m e o ângulo entre e e 30
cos 2,0 10 N/C 0,0314 m cos30
b) A normal ao disco é agora perpendicular a ; logo, 90 ,cos 0 e 0. 
54
Ne
N
s
 m /CE
E
A r E A An
EA
E
pi pi
θ
θ θ
= = = Φ =
Φ = = × =
= = Φ =
⋅
o
o
o
rr
r
( )( )( ) 23 2
te
 caso, não existe nenhum fluxo através do disco.
c) A normal ao disco é agora paralela a ; logo 0 ,cos 1 e o fluxo elétrico atinge
 seu valor máximo.
cos 2,0 10 N/C 0,0314 63 N mm 1 /E
E
EA
θ θ
θ
= =
Φ = × = ⋅=
o
r
C
Cubo → 6 faces com área A = l2
A direção da área é perpendicular à superfície
dA1 e dA2 paralelas ao campo → θ1 = 180° e θ2 = 0
dA3, dA4, dA5 e dA6 perpendiculares ao campo → θ3 = θ4 = θ5 = θ6 = 0
Considere um campo elétrico uniforme E orientado ao 
longo do eixo + x. Encontre o fluxo elétrico resultante 
através da superfície de um cubo de aresta l.
Exemplo 2 – fluxo elétrico através de um cubo
=0 =0 =0 =0
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6
1 2
2 2 2
1 2
1 2
53 4 6
 e 
 0cos
Mas : 0E
n
E
E
E
E E E E
E E E EE E
E dA E dA E dA E dA E dA E dA E dA
E dA E dA
dA dA l El El
θ =− =
= = = =
= ⇒
Φ = ⋅ = + + + + +
Φ = − +
+ = ⇒Φ = − + ⇒Φ =
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
rr

E neste caso?
Em qualquer ponto sobre a superfície da esfera, o módulo de E
é dado por:
Uma carga puntiforme positiva q = 3,0 μC está 
circundada por uma esfera de raio igual a 0,20 m, 
centralizada sobre a carga. Calcule o fluxo elétrico 
produzido por essa carga através da esfera.
Exemplo 3 – fluxo elétrico através de uma esfera
( ) ( )
6
9 2 2 5
22
3,0 10 C9,0 10 N m /C 6,75 10 N/C
0,20 m
Como possui o mesmo valor em todos os pontos, pode ser retirado
do sinal da integral = .Assim, resta a integral , que é dada
pela área total
e
E
qE k
r
E
EdA dA
−×
= = × ⋅ = ×
Φ ∫ ∫
( )( )( )5 5 2
2
2
 4 da superfície esférica. Portanto, o fluxo elétrico
total que sai da esfera é:
 = 6,75 10 N/C 4 0,20 m 3,4 10 N m /CE
A r
EA
pi
pi
=
Φ = × × ⋅=
Uma partícula com carga positiva q e massa m em um campo elétrico uniforme é liberada do
repouso de uma placa carregada. Qual sua energia cinética ao atingir a outra placa?
Exemplo 4 – uma carga positiva acelerada
( )2 2 20 0
2
2
2 2
2
1
2
v v a x x v ax
qE qEx
a v
m m
K mv K qEx
− = − → =
= ⇒ =
== ⇒
Um elétron entra na região de um campo elétrico uniforme, com velocidade vi = 3,00×106 m/s
e E = 200 N/C. O comprimento horizontal das placas é l = 0,100 m.
(me = 9,11×10−31 kg)
a) Qual a aceleração do elétron enquanto ele está entre as placas?
b) Quanto tempo ele leva para atravessar o campo?
c) Qual o deslocamento vertical do elétron ao atravessar o campo?
Exemplo 5 – um elétron acelerado
( ) ( )
( )
( )
( )
( ) ( )
6
31
0 6
0
213 2 8
2
3 2
8
1
3,00 10 m/s 200 N/C
a) 
9,11 10 kg
 
0,100 m
3,33 10 s
b) 
3,00 10 m/s
 
3,51 10 m/s 3,33 10 s1
c) 
3
0,0195
,51 10 m/s
 m
2 2
 
y
eE
a
m
x
x v t t
v
y a t
y
t
a
−
−
−
× ×
= − = −
×
= → = =
×
× × ×
∆ = = −
−
=
=
=
∆
− ×
×
Exemplo 1 – campo de uma esfera condutora carregada
- Campo elétrico perpendicular à superfície da esfera
- Campo elétrico constante sobre toda a superfície
Uma carga positiva q está colocada sobre uma esfera 
condutora sólida de raio R. Determine o campo elétrico 
dentro e fora da esfera.
Exemplo 2 – distribuição de carga com simetria esférica
Uma esfera sólida isolante de raio a tem uma densidade volumétrica de carga uniforme ρ em 
uma carga positiva total Q. Calcule:
(a) A magnitude do campo elétrico em um ponto fora da esfera;
(b) A magnitude do campo elétrico em um ponto no interior da esfera.
Exemplo 3 – distribuição de carga com simetria cilíndrica
Superfície cilíndrica com linha de cargas no eixo do cilindro
- Campo constante sobre toda a superfície
- Campo perpendicular à superfície nas laterais do cilindro 
- Campo paralelo à superfície nas tampas do cilindro
Encontre o campo elétrico a uma distância r de uma linha de carga positiva 
tendo comprimento infinito, com carga por unidade de comprimento λ
constante.
Exemplo 4 – folha plana não condutora eletricamente carregada
Superfície gaussiana cilíndrica com plano carregado no meio
- Campo paralelo à superfície nas laterais do cilindro
- Campo perpendicular à superfície nas tampas do cilindro 
- Campo em uma das tampas igual ao campo na outra tampa
Encontre o campo elétrico devido a um plano não condutor infinito, com densidade 
σ uniforme de carga por unidade de área.
Exemplo 4 – folha plana não condutora eletricamente carregada
Superfícies gaussianas cilíndricascom extremidades de área total A
- Campo uniforme na região entre as placas
- Cargas se distribuem uniformemente sobre as superfícies planas 
opostas 
- Placas muito maiores que a separação entre elas � desprezar o 
efeito de encurvamento das linhas de campo, exceto nas bordas
Duas placas paralelas grandes possuem cargas com módulos iguais, mas com sinais 
contrários; a carga por unidade de área é +σ para uma das placas e – σ para a outra. 
Determine o campo elétrico na região entre as duas placas.
Exemplo 1 – campo elétrico entre duas placas paralelas 
de cargas opostas
Uma bateria de 12 V é conectada em duas placas paralelas. A distância entre as placas é de 
0,30 cm e se pressupõe que o campo elétrico seja uniforme. Encontre a magnitude do 
campo elétrico entre as placas.
 
Campo elétrico uniforme ⇒ ∆V = Ed
E =
VB −VA
d
=
12 V
0,30×10−2 m
E = 4,0×103 V/m
Exemplo 2 – movimento de um próton em um campo 
elétrico uniforme
Um próton é liberado do repouso em um campo elétrico uniforme de magnitude 8,0 ×104 V/m 
dirigido ao longo do eixo x positivo. O próton realiza um deslocamento de magnitude d = 0,50 
m na direção de E.
(a) Encontre a variação no potencial elétrico entre os pontos A e B.
(b) Encontre a variação na energia potencial do sistema para esse deslocamento.
 
a) ∆V = −Ed = − 8,0×104 V/m( )× 0,5 m( )
∆V = −4,0×104 V
b) ∆U = q∆V = e∆V = 1,6×10−19 C( )× −4,0×104 V( )
∆U = −6,4×10−15 J
Exemplo 3 – o potencial devido a duas cargas puntuais
Uma carga de 2,00 μC está localizada na origem 
e uma segunda carga de − 6,00 μC está situada 
em (0; 3,00) m.
(a) Encontre o potencial elétrico total devido a 
essas cargas no ponto P (4,00; 0).
(b) Quanto trabalho é necessário realizar para 
trazer uma carga de 3,00 μC do infinito até esse 
ponto?
 
a) VP = ke
q1
r1
+
q2
r2





= 9,0×109 2,0×10
−6
4,0
+
−6,0×10−6
5,0





⇒VP = −6,29×10
3
 V
b) W = ∆U = q3∆V = q3 VP −0( ) = − 3,0×10−6( ) 6,29×103( )⇒W = −18,9×10−3 J
Exemplo 4 – um fio condutor carregado ou um cilindro 
condutor carregado
Calcule o potencial a uma distância r de um fio carregado muito 
longo, com uma densidade de carga linear igual a λ.
Exemplo 1 – potencial elétrico de um dipolo
Um dipolo elétrico consiste em duas cargas iguais e opostas separadas por uma distância 2a. 
O dipolo está ao longo do eixo x e está centrado na origem. Calcule:
(a) O potencial elétrico em um ponto qualquer P ao longo do eixo x;
(b) O campo elétrico em um ponto do eixo xmuito distante da origem.
 
a) V = ke
qi
ri
= ke
q
x−a
+
−q
x+ a






i
∑
∴ V x( ) = 2keqa
x2 − a2
b) x  a ⇒ V x( ) ≈ 2keqa
x2
E
x
= −
dV
dx
 ⇒ E
x
=
4k
e
qa
x3
Exemplo 2 – potencial devido a um anel uniformemente 
carregado
Encontre o potencial elétrico e o campo elétrico em um ponto P situado no eixo de um anel 
uniformemente carregado de raio a e carga total Q. O plano do anel é perpendicular ao eixo x.
 
r → distância do elemento de carga dq ao ponto P
r = x2 + a2




V = k
e
dq
r
 → V = k
e
dq
x2 +a2
∫∫
Cada elemento dq está
à mesma distância de P 



⇒ V = k
e
1
x2 +a2
dq∫ ⇒
V = k
e
Q
x2 + a2
E
x
= −
dV
dx
 ⇒ E
x
= −k
e
Q d
dx
x2 + a2( )− 12 ⇒
E
x
= keQ
x
x2 + a2( ) 32
Exemplo 3 – potencial de uma esfera uniformemente 
carregada
Uma esfera sólida isolante de raio R tem uma carga total Q uniformemente distribuída por ela.
(a) Encontre o potencial elétrico em um ponto fora da esfera (r > R � V = 0 em r = ∞ ).
(b) Encontre o potencial elétrico em um ponto no interior da esfera (r < R).
P
 
b) Dentro da esfera (r < R)
E
r
= ke
Q
R3
r e VR = ke
Q
R
V
r
−VR = − Er dr
R
r
∫ = − ke
Q
R3
r dr
R
r
∫
V
r
− k
e
Q
R
= −k
e
Q
R3
r 2
2
R
r
= k
e
Q
2R3
R2 − r 2( )
⇒V
r
= k
e
Q
2R
3− r
2
R2






2017.2 - Fenômenos Eletromagnéticos – BCJ0203
Aula 2: Comentários teóricos
Javier Acuña
(javier.acuna@ufabc.edu.br)
Centro de Ciências Naturais e Humanas (CCNH)
Universidade Federal do ABC (UFABC)
Campo elétrico e campo gravitacional
Campo gravitacional
0
eFE
q
≡
r
r
0
gFg
m
=
r
r
� Forças que seriam experimentadas por uma massa/carga
localizada num ponto (x,y,z) num instante t
� Duas variedades de carga: positiva e negativa
� uma partícula de prova tem sempre uma carga elétrica positiva
Campo elétrico
� Unidade (SI): [N/C] (campo elétrico)
Campo elétrico
� O campo elétrico (E) não nulo existe em um dado ponto do espaço se 
uma partícula eletricamente carregada sofrer a ação de uma força 
elétrica nesse ponto
� A intensidade do campo elétrico (E) é definida como sendo a força
que age sobre a carga dividida pelo valor da carga
E � campo elétrico
Fe � força elétrica
q0 � valor da carga de prova
Definindo:
q � valor da carga que gera o campo
q0 � valor da carga que sente o campo
0
2
0
ˆ
e e
e
q qF k r
r
F q E
=
=
r
r r 2
ˆ
e
qE k r
r
=
r
0
0
e
e
FE F q E
q
= ⇔ =
r
r r r
Campo elétrico
� Se quisermos calcular o campo elétrico em um 
ponto P devido a um grupo de cargas pontuais
� Calculamos os vetores do campo elétrico em 
P individualmente e então realizamos a soma 
vetorial
� O campo elétrico total em um ponto no espaço 
devido a um grupo de partículas carregadas é 
igual à soma vetorial dos campos elétricos neste 
ponto devido a todas as partículas
� Princípio de superposição derivado da 
propriedade de soma vetorial
2 ˆ 
i
e i
i i
qE k r
r
= ∑
r
Campo devido a várias cargas pontuais
Ilustrando:
321 EEEE
rrrr
++=
i
i
i
ii
iTotal r
r
qEPE ˆ
4
1)( 2
0
∑∑ ==
piε
rr
Campo elétrico de uma distribuição de cargas
� Para uma distribuição homogênea de cargas:
2
2
2 20
ˆ
ˆ
0
ˆ ˆlim
i
i
i e
i
i
i e
i i i
i
i
e eq i i
qE k r
r
qE E k r
r
i q
q dqE k r E k r
r r∆ →
∆∆ =
∆
= ∆ =
→∞⇒ ∆ →
∆
= ⇒ =
∑ ∑
∑ ∫
r
r r
r r
2
 densidade volumétrica de carga
ˆ
e
Q Q V dq dV
V
dVE k r
r
ρ
ρ ρ ρ
ρ
→
≡ → = ⇒ =
= ∫
r
 densidade superficial de carga
Q Q A dq dA
A
σ
σ σ σ
→
≡ → = ⇒ =
 densidade linear de carga
Q Q l dq dl
l
λ
λ λ λ
→
≡ → = ⇒ =
Devidas equivalências
Linhas do campo elétrico
� Visualização do comportamento do campo
� O vetor campo elétrico E é tangente à linha do campo 
em cada ponto
� O número de linhas do campo elétrico por unidade de 
área é proporcional à intensidade do campo nessa 
região
� Regras para desenho do campo
� As linhas devem começar nas cargas 
positivas e terminar nas negativas
� Duas linhas de campo não podem se cruzar
� O número de linhas saindo de uma carga positiva, ou 
terminando em uma negativa, deve ser proporcional à 
carga
Movimento de partículas carregadas
em um campo elétrico uniforme
Para um elétron de carga –e movimentando-se em um campo elétrico uniforme E
a
Força elétrica 
2 Lei de Newton
eF qE
F ma
qEqE ma a
m
→ =
→ =
= ⇒ =
r r
r r
r
r r r
( )
( )
( )
0 0
2
0 0
2
2
2
0 0 0
ˆ ˆ ˆ0 e 
ˆ ˆ ˆ
 e 
ˆ ˆ0 e 
2
 (parábola)
2 2
x y x y
ox x y x y
eE eE
a j a a a a i a j
m m
eE
v v i v v v t v v i v j
m
eE
x x v t y t x xi yj
m
x eE x eE
t y y x
v m v mv
= − ⇒ = = − = +
= ⇒ = = − = +
= ⇒ = = − = +
 = ⇒ = − → = − 
 
r r
r r
r r
Linhas de cargas
( )dszyxdq
R
Q
,,
2
λ
pi
λ
=
=
Q = carga total do anel [C]
λ = densidade linear de carga [C/m]
Elemento de carga:
Linhas de cargas
r
R
z
R
R
Disco de cargas
( )
rdrda
dazyxdq
R
Q
pi
σ
pi
σ
2
,,
2
=
=
=
Q = carga total do anel [C]
σ = densidade superficial de carga [C/m2]
Elemento de carga:
Elemento de área (anel de espessura infinitesimal dr):
Fluxo elétrico
?
� Como determinar a quantidade de carga 
elétrica (caso haja) existente no interior da 
caixa?
� Coloca-se uma carga de teste no exterior da 
caixa e mede-se o campo elétrico
� Para determinar o conteúdo da caixa basta medir E sobre a superfície da caixa
Fluxo elétrico
� Fluxo elétrico líquido é diretamente proporcional ao módulo da carga líquida existente 
no interior da caixa
� O fluxo elétrico líquido produzido por uma única carga puntiforme no interior da caixa é 
independente do tamanho da caixa, dependendo somente do valor da carga existente 
em seu interior
� O fluxo elétrico líquido através da superfície da caixa é nulo, sendo a carga líquida em 
seu interior igual a zero
Fluxo elétrico
� Quantidade do campo elétrico que atravessa uma dada superfície 
� Proporcional ao número de linhas do campo elétrico que penetram alguma 
superfície
� Produto da intensidade do campo elétrico pela área da superfície perpendicular 
ao campo
� Unidade (SI): [N·m2/C] (fluxo elétrico)
Superfície perpendicular ( ) ao campo
EA A EA⊥ = ⇒Φ =
⊥
Superfície inclinada de uma ângulo em relação ao campo
cos cosEA A EAθ θ
θ
⊥ = ⇒Φ =
0
superfície
cos
Integrando sobre toda a superfície
lim
Para uma superfície qualquer:
 
i
E i i i E i i
E i i EA i
E A E A
E A E dA
θ
∆ →
∆Φ = ⇒ ∆Φ = ⋅∆
Φ = ⋅∆ ⇒ ∆Φ = ⋅∑ ∫
rr
rr r
Fluxo elétrico
� Fluxo elétrico sobre uma superfície fechada como, por exemplo, uma esfera oca
� O fluxo elétrico total é igual ao fluxo que sai menos o fluxo que entra na 
superfície fechada
� Fluxo do campo que aponta para fora da superfície � positivo
� Fluxo do campo que aponta para dentro da superfície � negativo
superfície
fechada
cos
 0 90 0 (sai)
 90 180 0 (entra)
Para uma superfície fechada
Definindo a componente do campo
na direção normal à superfície cos
E
E
E
E
n
E
d E dA EdA
d
d
E dA E dA
E E
θ
θ
θ
θ
Φ = ⋅ =
< < → Φ >
< < → Φ <
Φ = ⋅ ≡ ⋅
=
Φ =
∫ ∫
o o
o o
rr
r rr r

nE dA E dA⋅ =∫ ∫
rr
 
Lei de Gauss
� Relação entre o campo elétrico através de uma superfície 
fechada e a carga elétrica contida no interior da superfície
� O fluxo elétrico total através de qualquer superfície fechada 
que contenha uma dada carga depende apenas da carga
� Se a carga estiver localizada fora da superfície, o fluxo total 
através da superfície será zero
Lei de Gauss
� Carga elétrica q no centro de uma esfera de raio r
( )
( ) ( )
2
2 2
2
esfer
0
a
0
 com 0 e 
cos
4 4 4
1Como a permissividade do vácuo é 
4
e
E
E e
E
e
e
qE A E E r k
r
E dA E r dA E r dA
qdA r k r k q
r
k
q
θ
θ
pi pi pi
ε
ε
pi
= = =
Φ = ⋅ = =
= ⇒Φ = × =
=
=∴Φ
∫ ∫ ∫
∫
rr r

rr
  

� O fluxo resultante é proporcional apenas à carga no interior da 
superfície
� O fluxo resultante é independente do raio da esfera (da área da 
superfície)
� O fluxo resultante através de qualquer superfície fechada que 
envolva uma carga puntual q é dado por q/ε0
Lei de Gauss
� Carga puntual no exterior da superfície
� O número de linhas de campo que entra na superfície é 
igual ao número que sai da mesma
� O fluxo elétrico resultante através de uma superfície 
fechada que não engloba nenhuma carga é nulo
� Distribuição de várias cargas puntuais
� Princípio da superposição
i
1
nt
2 3
31 2
0 0 0 0
0 0
E
E
N
E E
N
E
E dA
E dA E dA E dA E dA
q qq q
Q qE dA
ε ε ε
ε ε
ε
Φ = ⋅
Φ = ⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅
Φ = + + +
Φ = ⋅
+
Φ = ⇒ =
∫
∫ ∫ ∫ ∫
∫
rr
r r r rr r r
L
L
r
r
r



  
Aplicações da lei de Gauss
� Lei de Gauss
– Válida para qualquer distribuição de cargas e independente da 
superfície escolhida
� Especialmente útil no cálculo do campo elétrico gerado por distribuições 
simétricas de cargas
– Simetrias esférica, cilíndrica ou plana
� Escolha uma simetria tal que a superfície satisfaça alguma destas 
condições (e/ou):
– O valor do campo elétrico seja constante sobre toda a superfície
– O campo elétrico seja perpendicular à superfície (EdA = EdA)
– O campo elétrico seja paralelo à superfície (EdA = 0)
– O campo elétrico seja nulo em qualquer parte da superfície
Aplicações da lei de Gauss
� Quando existe um excesso de carga em um condutor sólido em equilíbrio, o 
excesso de carga fica inteiramente localizado sobre a superfície do condutor 
e não no interior do material
� No equilíbrio eletrostático � E = 0 em qualquer ponto no interior do condutor
� Como E = 0 em todos os pontos da superfície � a carga total no interior da 
superfície é igual a zero
Carga sobre a superfície do condutor
Superfície gaussiana 
no interior do condutor
(corte transversal)
Condutor
(corte transversal)
Condutores em equilíbrio eletrostático
Condutor Elétrico: Cargas se movimentam 
livremente em seu interior
- Nenhum movimento � Condutor em equilíbrio 
eletrostático
- Propriedades de um condutor isolado em 
equilíbrio eletrostático:
– O campo elétrico é nulo no interior do 
condutor
– Se o condutor estiver carregado, a carga em 
excesso situa‐se na superfície externa do 
condutor
– O campo elétrico junto à superfície do 
condutor é perpendicular à superfície com 
magnitude σ/ε0
– Em um condutor de superfície irregular, a 
densidade de carga é maior onde o raio de 
curvatura é pequeno
-- - - - -
-
-
--
- - - -
--
Condutores em equilíbrio eletrostático
E = 0 dentro
do condutor
Superfície
gaussiana
arbitrária A
qc
A carga qc localiza-se inteiramente 
sobre a superfície do condutor. 
Como a situação é eletrostática �
E = 0 no interior do condutor
Como E = 0 em todos os pontos 
no interior do condutor, o campo 
elétrico em todos os pontos sobre 
a superfície gaussiana deve ser 
igual a zero
Para que E = 0 em todos os 
pontos sobre a superfície 
gaussiana, a superfície da 
cavidade deve ter carga total 
igual a -q
� Diferença de potencial e potencial elétrico
� Diferenças de potencial em um campo elétrico 
uniforme
� Potencial elétrico e energia potencial elétrica de 
cargas pontuais 
O que veremos hoje...
Energia potencial elétrica
� Força elétrica � Força conservativa
� O trabalho realizado é independente do caminho
Potencial elétrico
� V � potencial do campo elétrico
� Deve depender apenas da carga fonte e não da carga de prova q0
� Potencial em um dado ponto definido de um valor arbitrário
� Convenção: potencial nulo no infinito (V∞ = 0)
� Unidade de potencial elétrico no SI: volt (V) 1 volt = 1 joule/coulomb
� Unidade de campo elétrico
� Campo elétrico � taxa de variação do potencial com a distância
 
≡N/C ⇒ 1 N/C = 1 V/m
Diferenças de potencial elétrico em um campo 
elétrico uniforme
� Deslocamento na direção do campo por uma distância d
� Variação da energia potencial quando uma carga q0 se desloca de A para B
� Deslocamento entre dois pontos quaisquer
 
∆U = q0∆V = −q0Ed
Potencial elétrico de cargas puntuais
Energia potencial de cargaspuntuais
 
V1→ potencial devido à carga q1
V2→ potencial devido à carga q2
q1V2→ energia potencial da carga q1 no campo gerado por q2
q2V1→ energia potencial da carga q2 no campo gerado por q1
U12→ energia potencial do sistema de cargas 1,2
U12 = q1V2 = q2V1
V r( ) = ke qr ⇒ U12 = ke
q1q2
r
cargas de mesmo sinal → U12 > 0 ⇒ energia diminui quando r aumenta
cargas de sinal contrário → U12 < 0 ⇒ energia diminui quando r diminui




Exercícios
1) Sendo dadas duas cargas de 2,00 µC e uma carga de prova positiva
q = 1,28x10-18 C na origem
(a) Qual é a força resultante exercida em q pelas duas cargas de 2,00 µC?
(b) Qual é o campo elétrico na origem devido às duas cargas de 2,00 µC?
(c) Qual é o potencial elétrico na origem devido às duas cargas de 2,00 µC?
Resposta: (a) F = 0; (b) E = 0; (c) V = 45,0 kV
2) Uma carga +q está na origem. Uma carga –2q está em x = 2,00 m no eixo x.
Para qual(is) valor(es) finito(s) de x:
(a) O campo elétrico é zero � Resposta: x = -4,83 m
(b) O potencial elétrico é zero � Resposta: x = 0,667 (0≤ x ≤ 2,00); x = 2,00 m (x < 0)
Campo elétrico e potencial elétrico
Se V = 3x2y + y2 + yz, quanto vale Ex?
e
qV k
r
=
Potencial elétrico de distribuições contínuas de carga
 
dq → elemento infinitesimal de carga (puntual)
dV→ potencial no ponto P devido à carga dq
r → distância entre o ponto P e a carga dq





q→ carga puntual geradora de campo elétrico radial (não uniforme)
dV = ke
dq
r
 ⇒ V = ke
dq
r
∫
� O potencial elétrico é uma grandeza escalar
� Escolha arbitrária do ponto com potencial nulo
� Potenciais de cargas diferentes situadas a uma 
mesma distância podem ser consideradas como 
sendo de uma mesma carga total
Potencial elétrico de um condutor carregado
� Todos os pontos de um condutor carregado em 
equilíbrio eletrostático estão no mesmo potencial 
elétrico
– Equilíbrio � Não há movimento de cargas
� O campo elétrico é zero dentro do condutor
– Potencial constante � Campo nulo
� Todas as cargas situam‐se na superfície do condutor
– Campo nulo � Ausência de carga líquida no interior 
da superfície (Lei de Gauss)
� O campo no interior de uma cavidade é nulo
� O campo elétrico em um região será nulo se ele estiver 
envolvido em uma superfície condutora � blindagem
Potencial elétrico de um condutor carregado
� Em um condutor não esférico a densidade superficial 
de carga não é uniforme
– simplificação � 2 esferas condutoras carregadas 
conectadas por um fio fino condutor
- separação entre as esferas >> campo elétrico de uma 
não influencia a outra
� O campo elétrico de cada esfera pode ser modelado 
como aquele devido a uma distribuição de carga 
esfericamente simétrica
– Esferas conectadas � todo o sistema é um único 
condutor � todos os pontos estão no mesmo potencial
 
ke
q1
r1
= ke
q2
r2
→
q1
q2
=
r1
r2
 
σ 2
σ 1
=
q2
4pi r2
2






q1
4pi r1
2






=
q2
q1
r1
2
r2
2 =
r2
r1
r1
2
r2
2 =
r1
r2
Maior quantidade
de carga
Maior densidade superficial de carga
E σ∝