Módulo 4 2 - Problemas e resolução de equações

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Módulo 4
Problemas e resoluções de equações
Seção 1 
Introdução
Antes de iniciarmos a abordagem das resoluções de problemas, que tal 
revisarmos conceitos como equação, raiz e ordem?
1.1 Equações
Definição 1.1: Equação é uma expressão matemática que contém uma ou mais 
incógnitas e uma igualdade.
Exemplos de equações:
a) 4x + 6 = 10;
b) 3x + 5 = 2x + 8;
c) x2 – 7x + 12 = 0.
1.2 Raiz
Definição 1.2: Raiz (ou solução) de uma equação é um número que satisfaz a 
igualdade, ou seja, é um número que, colocado no lugar da incógnita, transforma 
a equação em uma sentença verdadeira.
Exemplos de raízes:
a) 4x + 6 = 10 a raiz é x = 1;
b) 3x + 5 = 2x + 8 a raiz é x = 3;
c) x2 – 7x + 12 = 0 são duas raízes: x = 3 e x = 4.
WAGNER, Christian. Problemas e resoluções de equações. Palhoça: UnisulVirtual, 2016.
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1.3 Ordem da equação
Uma equação do primeiro grau com uma incógnita é uma equação da forma: 
ax + b = 0
Sendo: a, b constantes, com a ≠ 0.
Uma equação do segundo grau com uma incógnita é uma equação da forma: 
ax2 + bx + c = 0
Sendo: a, b, c constantes, com a ≠ 0.
Exemplos de ordem de uma equação:
a) 4x + 6 = 10: equação do primeiro grau com uma incógnita x;
b) x – 1 = 8y + 6: equação do primeiro grau com duas incógnitas x e y;
c) x2 – 7x + 12 = 0: equação do segundo grau com uma incógnita x.
Seção 2 
Equações e sistemas de primeiro grau
2.1 Equações do primeiro grau
Para resolver uma equação do primeiro grau com uma incógnita, você pode 
realizar dois tipos de operações sobre as equações:
1. Somar um mesmo número em ambos os membros da equação.
2. Multiplicar ambos os membros da equação por um número 
diferente de zero.
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Problemas e resoluções de equações. 
Exemplos:
Resolva as equações abaixo:
a) 5x + 1 = 4x.
Solução: Subtrair –1 em ambos os lados da equação:
5x + 1 – 1 = 4x – 1
5x = 4x – 1
Subtrair –4x em ambos os lados da equação:
5x – 4x = 4x – 4x – 1
x = –1
b) 2(4x + 7) = 3(5 + 2x).
Solução:
8x + 14 = 15 + 6x
8x – 6x = 15 – 14
2x = 1
x = .
c) 5(x –1) + 8 = 3(x + 1) + 2(2x –3)
Solução:
5x – 5 + 8 = 3x + 3 + 4x – 6
5x + 3 = 7x – 3
5x – 7x = –3 – 3
–2x = –6 Dividir ambos os lados por –2
x = 3
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d) 
Solução: Primeiramente, tirar o MMC, que é 12.
.
Multiplica-se ambos os lados por 12 para cancelar os denominadores.
22x – 2 = 6x – 18
16x = –16
x = –1
Resolver uma equação significa determinar sua raiz (ou suas raízes).
Problema: (IFSC-2012) Num mundo cada vez mais “matematizado”, é 
importante diagnosticar, equacionar e resolver problemas. Dada a equação: 
2(x + 5) – 3(5 – x) = 10, é correto afirmar que o valor de x nessa equação é:
a) ( ) um múltiplo de nove.
b) ( ) um número inteiro negativo.
c) ( ) um número par.
d) ( ) um número composto.
e) ( ) um número natural.
Solução: 
2(x + 5) – 3(5 – x) = 10
2x + 10 – 15 + 3x = 10
5x – 5 = 10
5x = 15
x = 3
A resposta é o item (e), ou seja, um número natural.
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Problemas e resoluções de equações. 
2.2 Problemas do primeiro grau
Para resolver um problema do primeiro grau, você deve seguir alguns passos:
1. Leia atentamente o problema.
2. Estabeleça a incógnita.
3. Observe as condições que envolvem a incógnita (observe se é um 
número natural, inteiro, racional, positivo etc.).
4. Escreva a equação, observando os dados do problema.
5. Resolva a equação.
6. Verifique se o número encontrado satisfaz a equação, se pode ser a 
solução do problema.
Exemplos:
(1) Subtraindo 10 da metade da idade de Marcos, encontraríamos a idade de 
Lídia, que tem 8 anos. Qual a idade de Marcos?
Solução: Seja x a idade de marcos, então:
 
(2) (IFSC-2011) O aluguel que Marina paga todo mês corresponde à quinta parte 
do seu salário. As despesas com alimentação e transporte correspondem a dois 
sétimos de seu salário. Portanto, que salário Marina deve receber para que, no 
final do mês, lhe sobre um valor de R$ 540,00?
Solução: Seja x o salário de Marina, temos que:
Aluguel: .
Alimentação e transporte: .
Assim, temos que: 
 
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(3) (IFSC-2012) Supondo que um professor recebe mensalmente um vencimento 
básico de R$ 2.735,00, e um deputado federal recebe mensalmente um 
vencimento básico de R$ 26.700,00, o gasto com os vencimentos básicos de um 
deputado federal em quatro anos são equivalentes a x anos de gastos com os 
vencimentos básicos desse professor. Qual o valor aproximado de x?
Solução: 
 
Assim, o valor aproximado é de 39 anos.
2.3 Atividades de autoavaliação
1. (IFSC-2012) O professor Arquimedes, ao ensinar equações do 1º grau a 
uma turma de alunos, fez uma pequena brincadeira sobre o tema com o aluno 
Joãozinho. Acompanhe a conversa:
Professor: Joãozinho, pense em um número inteiro maior que zero e menor que 100.
Joãozinho: Já pensei professor.
Professor: Agora multiplique esse número por 4. Deste produto, subtraia 6. Divida por 
2 esse novo resultado. Adicione 8 a esse quociente. Qual o resultado Joãozinho?
Joãozinho: 29!
O professor, de imediato, falou o número em que Joãozinho pensou inicialmente.
Com base nos dados da brincadeira, analise as afirmações abaixo.
I. O número em que Joãozinho pensou era 15.
II. Um dos procedimentos para descobrir o número pensado por 
Joãozinho consiste no uso de operações inversas. Neste caso, 
basta pegar o 29, dividi-lo por 4, depois adicionar 6, multiplicar por 
2 e subtrair 8.
III. O conjunto de números que o professor delimitou inicialmente para 
Joãozinho escolher continha 100 elementos.
IV. A situação pode ser representada pela equação .
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Problemas e resoluções de equações. 
Assinale a alternativa CORRETA. 
a) ( ) Apenas as afirmações II, III e IV são verdadeiras.
b) ( ) Apenas as afirmações I, II, e III são verdadeiras.
c) ( ) Apenas a afirmação IV é verdadeira.
d) ( ) Apenas a afirmação III é verdadeira.
e) ( ) Todas as afirmações são verdadeiras.
2. Diego disse a Roberta: “Pense em um número, dobre esse número, some 12 ao 
resultado; divida o novo resultado por 2. Quanto deu?” Roberta respondeu “15”. 
Imediatamente, Diego falou o número pensado por Roberta. Esse número é:
a) ( ) 7.
b) ( ) 8. 
c) ( ) 9. 
d) ( ) 10. 
e) ( ) 11. 
3. (UECE-CE) Uma peça de tecido, após a lavagem, perdeu 1/10 de seu 
comprimento e este ficou medindo 36 metros. Nestas condições, o comprimento, 
em metros, da peça antes da lavagem era igual a:
a) ( ) 38.
b) ( ) 40.
c) ( ) 41.
d) ( ) 42. 
e) ( ) 44. 
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4. (CEP) Em uma empresa, 2/3 dos funcionários são homens adultos e 1/6 são 
mulheres adultas. Há, também, 20 menores. Qual o total de funcionários da 
empresa?
a) ( ) 100 funcionários.
b) ( ) 200 funcionários.
c) ( ) 122 funcionários.
d) ( ) 220 funcionários.
e) ( ) 120 funcionários.
5. Miguel gastou 3/7 do valor que possuía, depois gastou a metade dos 6/5 
do restante e mais R$ 8,00, ficando com R$ 20,00. É CORRETO afirmar que 
inicialmente Miguel possuía uma quantia entre: 
a) ( ) R$ 20,00 e R$ 50,00.
b) ( ) R$ 50,00 e R$ 70,00.
c) ( ) R$ 70,00 e R$ 90,00.
d) ( ) R$ 100,00 e R$ 150,00.
e) ( ) R$ 160,00 e R$ 180,00.
6. (UTFPR) Em um cassino, uma pessoa introduz em uma máquina um 
determinado número de fichas e recebe dela o dobro da quantidade original, 
decrescido de dez unidades. Em uma segunda máquina, coloca essa nova 
quantidade e recebe novamente o dobro, mas agora decrescido de 30 unidades. 
Finalmente, em uma terceira máquina, coloca a nova quantidade obtida e recebe 
mais uma vez o dobro, menos 40 unidades. Coincidentemente, o valor final é 
o mesmo que a quantidade introduzida na primeira máquina. Essa quantidade 
original de fichas era de:
a) ( ) 5.
b) ( ) 10.
c) ( ) 15.
d) ( ) 20.
e) ( ) 25.
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Problemas e resoluções de equações. 
7. (IFE-ES) Joana tem um celular no qual ela paga por mês um valor fixo de R$ 
20,00 mais R$ 0,40 por cada minuto de ligação efetuada.A conta mensal de 
Joana costuma ficar entre R$ 60,00 e R$ 100,00. Quanto tempo ela gasta fazendo 
ligações de seu celular por mês?
a) ( ) Entre 40 e 80 minutos.
b) ( ) Menos de 40 minutos.
c) ( ) Mais de 200 minutos.
d) ( ) Entre 200 e 300 minutos.
e) ( ) Entre 100 e 200 minutos.
2.4 Sistemas de equações do primeiro grau
Um sistema de equações lineares do primeiro grau (com duas incógnitas x e y) é 
um conjunto de duas equações do primeiro grau que envolvem estas incógnitas.
Exemplos:
Sistema de equação do primeiro grau com duas incógnitas:
 
Resolver um sistema de equações lineares é determinar o par ordenado (x, y) 
que satisfaz as duas equações lineares. Ou seja, você pode dizer que um par 
ordenado (x, y) é solução de um sistema de equações lineares de duas incógnitas 
se for solução das duas equações.
Um sistema de equações lineares pode ter uma solução, pode ter infinitas soluções ou 
pode não ter solução.
2.4.1 Resolução
Método da substituição
Para aplicar este método, você deve isolar uma incógnita (escrever uma incógnita 
em função da outra) em uma equação e substituir a expressão na outra equação. 
Assim, a equação ficará em função de uma incógnita apenas; e você poderá 
resolvê-la. Encontrando o valor desta incógnita, basta substitui-lo em uma das 
equações e, assim, você encontrará a outra incógnita. 
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Exemplo:
Resolva o sistema a seguir por substituição.
 
Solução: 
Nomeie as equações, por exemplo:
 
Você pode escolher uma incógnita para ser isolada em uma das equações. 
No caso, vamos escolher a incógnita x na equação (I): 
 .
Agora substitua essa incógnita na equação (II). Observe que, fazendo isso, essa 
equação ficará com uma incógnita apenas e, assim, você poderá resolver a 
equação.
 
Pronto, você encontrou o valor de y. Agora basta substituir o y em uma das duas 
equações e você encontrará o valor de x.
 
Solução (2, 1).
Não se esqueça que, ao substituir x por 2 e y por 1 nas equações do sistema, as 
igualdades deverão valer.
Verificação: 
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Problemas e resoluções de equações. 
Método da adição
Este método tem como objetivo “sumir” com uma incógnita. Para isso, você 
deve escolher uma das incógnitas e deixá-la com coeficientes opostos nas duas 
equações. Se isso for possível, some as duas equações para que a incógnita 
“suma”, resolva a equação de uma incógnita e substitua o seu valor na outra 
equação. Assim, você encontra a solução do sistema. 
Exemplos:
(1) Resolva o sistema a seguir por adição:
 
Solução:
Neste caso, você pode somar as duas equações. Veja que na primeira aparece o 
–y e na segunda y. Dessa forma, ao somá-las, o y será cancelado.
 
Agora isole o x, veja: 
 
Para encontrar o valor de y, substitua o x por 2 em qualquer uma das duas 
equações.
Substituindo na primeira:
 
Solução (2,1).
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(2) Resolva 
Solução:
Observe que você poderia cancelar a incógnita y se os números que multiplicam 
y nas duas equações fossem iguais. Isso pode acontecer se você multiplicar a 
primeira equação por (1/2) ou a segunda por 2. 
Vamos multiplicar todos os números da primeira equação por (1/2):
 
Somando as duas equações:
 
Substituindo esse valor em qualquer uma das equações, obtemos o y.
 
Solução (5, –2).
Lembre-se de conferir a resposta substituindo x por 5 e y por –2 nas duas 
equações.
3) Resolva 
Solução:
Veja que, neste exemplo, se você multiplicar uma das equações por um número e 
somar as duas, nenhuma das incógnitas será cancelada.
Para resolver este problema, você pode utilizar outra estratégia: faça com que os 
números que multiplicam uma das incógnitas sejam iguais com sinais trocados 
(coeficientes opostos). Para isso, multiplique cada uma das equações por um número.
Veja: se você multiplicar a primeira equação por (–2) e a segunda por 3, o sistema fica:
 
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Problemas e resoluções de equações. 
Agora basta somar as duas equações:
 
Substituindo em qualquer uma das equações:
 
Então, a solução é (3, –1). 
Observação: Alguns sistemas podem não parecer lineares, mas aplicando 
operações eles se mostram lineares.
Veja:
 
Se você multiplicar a última equação por 2x (ou multiplicar em cruz), o sistema fica:
 
Agora basta arrumar a última equação, colocando as duas incógnitas no mesmo 
lado da equação.
 
Você pode resolver por substituição ou por soma de equações.
Por substituição, isolando x na primeira equação:
 .
Substituindo na segunda equação:
 
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Determinando x:
 
Solução (15, 6).
2.5 Aplicações
Em muitas situações, você pode precisar utilizar duas incógnitas para resolver 
determinados problemas. Nesses casos, a resolução pode gerar uma sistema de 
equações lineares com duas incógnitas. Consequentemente, resolver o problema 
consiste em resolver o sistema.
Para isso, vamos escrever algumas expressões, traduzindo do português para a 
linguagem matemática, utilizando letras (x ou y ou z ou a etc.). 
Se você escolher o x para representar a incógnita ou o número procurado:
Em português Utilizando símbolos matemáticos
O dobro do número 2x
O número acrescido de 3 unidades x + 3
Um terço do número somado ao seu quádruplo 
Dois quintos da subtração de um número pela sua quinta 
parte 
Você pode precisar utilizar duas incógnitas para interpretar um problema, vamos 
escolher x e y:
Em português Utilizando símbolos matemáticos
A soma de dois números x + y
O dobro do produto de dois números 2xy
A razão entre dois números
A soma de um número com o triplo de outro número é igual a 
24 
x + 5y = 24
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Problemas e resoluções de equações. 
2.6 Atividades de autoavaliação
1. Determine dois números, cuja soma é 20/3 e a diferença é 16/3.
2. Luiz possui R$ 24,00 a mais que Miguel. Com o valor que ambos possuem juntos, 
é possível comprar duas pizzas de R$ 29,00. Quantos reais cada um possui?
3. No estacionamento do supermercado havia 40 veículos, entre carros e motos. 
Sabendo que no total eram 126 rodas, quantas motos e quantos carros estavam 
no estacionamento?
4. Em uma festa havia 35 jovens, entre rapazes e moças. Sabendo que o número 
de moças era 2/3 do número de rapazes, quantos rapazes estavam na festa?
5. A soma das idades de Sônia e Ruth é 38 anos. Sabendo que daqui a 5 anos a 
idade de Sônia será o triplo da idade de Ruth, qual a idade de Ruth?
6. Em uma apresentação de teatro, estudantes pagaram R$ 15,00 cada ingresso; 
e não estudantes pagaram R$ 28,00 cada. Sabendo que os 906 lugares do 
teatro estavam ocupados e que a venda de ingressos resultou em RS 18.556,00, 
quantos estudantes estavam no teatro?
7. (IFSC-2010) Sabendo que x + y = 14, determine x e y na proporção .
a) ( ) x = 6 e y = 8.
b) ( ) x = 8 e y = 6.
c) ( ) x = 7 e y = 7.
d) ( ) x = 5 e y = 9.
e) ( ) x = 9 e y = 5.
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8. (IF-Farroupilha-2012) O consumo diário recomendado para um adulto saudável 
é de 2500 kcal. Um aluno do campus Alegrete consumiu na cantina, em certo dia, 
2 cheeseburgers e 2 latas de refrigerante, totalizando 1364 kcal. Em outro dia, 
o mesmo aluno consumiu 1 cheeseburger e 3 latas de refrigerante, totalizando 
S = 5p+ 28
4
.
Considerando essa informação, assine a alternativa CORRETA.
a) ( ) Uma pessoa que usa o sapato número 34 terá um pé com 68 cm de 
comprimento.
b) ( ) Para uma pessoa que tem o pé medindo 20 cm, um sapato tamanho 30 
será grande.
c) ( ) O sapato de uma pessoa que tem o pé com 22 cm de comprimento será 
de tamanho 32.
d) ( ) Uma pessoa que usa o sapato número 36 terá um pé com 52 cm de 
comprimento.
e) ( ) Se uma pessoa que usa o calçado número 40, então seu pé terá 26,4 cm 
de comprimento.
10. Para se deslocar de casa até seu trabalho, Luiz percorre 550 km por mês. 
Para isso, em alguns dias ele utiliza um automóvel e, em outros, uma motocicleta. 
Considerando que o custo do quilômetro rodado é de 21 centavos para o 
automóvel e de 7 centavos para a motocicleta, calcule quantos quilômetrosLuiz 
deve andar em cada um dos veículos (automóvel e motocicleta, respectivamente) 
para que o custo total mensal seja de R$ 70,00.
a) ( ) 252 km e 330 km.
b) ( ) 325 km e 225 km.
c) ( ) 250 km e 320 km.
d) ( ) 225 km e 325 km.
e) ( ) 320 km e 250 km.
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Problemas e resoluções de equações. 
11. Quais são os dois números cuja soma é 59 e o primeiro está para o segundo, 
assim como 51 está para 126.
a) ( ) 30 e 29.
b) ( ) 17 e 42.
c) ( ) 38 e 21.
d) ( ) 37 e 22.
e) ( ) 43 e 16.
12. A razão entre as idades de Roberta e Cristiano é de 5/6. Daqui a três anos 
essa razão será de 6/7. Qual a atual idade de Cristiano?
a) ( ) 14.
b) ( ) 16.
c) ( ) 18.
d) ( ) 20.
e) ( ) 25.
13. (IFSC-2015/1) O salário mensal de Marcos é 30% superior ao salário mensal 
de Marta, na mesma função. A soma dos salários de Marcos e Marta é igual a 
R$ 2.760,00. Considerando as afirmações acima, é CORRETO afirmar que o 
salário mensal de Marcos é de: 
a) ( ) R$ 1.560,00.
b) ( ) R$ 1.230,00.
c) ( ) R$ 1.200,00.
d) ( ) R$ 1.500,00. 
e) ( ) R$ 1.280,00.
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Seção 3 
Equações e sistemas do segundo grau
3.1 Equações do segundo grau
Uma equações é denominada do segundo grau se é representada na forma:
ax2 + bx + c = 0 a ≠ 0
Lembre-se: 
x é a incógnita;
a, b e c são os coeficientes.
Exemplos: 
São equações do segundo grau:
I. 
II. 
III. 
III. 
IV. 
Quando você estiver estudando uma equação do segundo grau, é importante que 
saiba identificar os coeficientes.
Exemplos: 
Identifique a, b e c nas equações:
I. 
 
II. 
 
19
Problemas e resoluções de equações. 
III. 
 
IV. 
 
V. 
 
Classificação:
 • Equação do segundo grau completa: Quando b e c são diferentes de 
zero;
Exemplos: equações (I), (II) e (III) anteriores.
 • Equação do segundo grau incompleta: Quando b ou c é igual a zero;
Exemplos: equações (IV) e (V) anteriores.
3.2 Raiz de uma equação do segundo grau
Raiz (ou solução) de uma equação é o valor da incógnita que satisfaça a 
igualdade. Ou seja, é o número que, colocado no lugar da incógnita, transforma a 
equação em uma sentença verdadeira.
Pensando no conjunto dos números reais, uma equação do segundo grau pode 
ter uma das três possibilidades:
 • Duas raízes (duas soluções).
 • Uma raiz (uma solução).
 • Nenhuma raiz (nenhuma solução).
Exemplos: 
A equação do segundo grau:
 • tem duas raízes, pois se x = 3 e se x = –2 a igualdade 
será válida.
 
 .
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Módulo 4 
 • tem apenas uma raiz, x = –4 
 
 • não tem raiz, ou seja, não existe um número no 
conjunto dos números reais que, substituído no lugar do x, satisfaça 
a igualdade.
Observação: Resolver uma equação do segundo grau é determinar o conjunto-
verdade, ou seja, verificar se ela possui ou não solução e, em caso afirmativo, 
encontrar a solução ou as soluções. Para isso, você pode utilizar a fórmula de 
Bhaskara.
 .
Sendo:
 (chamado de discriminante).
Discriminante e raiz:
 • se a equação possui duas raízes distintas;
 • se a equação possui duas raízes iguais (ou uma raiz);
 • se a equação não possui raiz.
Exemplos: 
a) Resolva a equação do segundo grau 
Resolução:
 
Duas raízes reais:
 
O valor do discriminante 
∆ é utilizado para saber 
se uma equação possui 
solução e se possui 
uma ou duas soluções. 
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Problemas e resoluções de equações. 
b) Resolva a equação do segundo grau 
Resolução:
 
Uma raiz real:
 
c) Resolva a equação do segundo grau 
Resolução:
 
Sem raiz real.
 .
Observação: Se a equação for incompleta, você pode resolver de outra forma, 
vejamos os exemplos:
Se c = 0, a equação possui uma raiz nula.
d) Resolva a equação 
Resolução:
Coloque o x em evidência:
 
Quando um produto de dois termos é igual a zero, no mínimo um dos dois termos 
é zero.
 .
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Então, ou .
Assim, ou .
 .
Observação: 
Se b = 0, as raízes são opostas uma da outra.
Veja o exemplo:
e) Resolva a equação 
Resolução:
Isole o x:
 
3.3 Equações fracionárias que resultam em equações do 
segundo grau
Uma equação do segundo grau pode ser representada inicialmente como uma 
equação fracionária.
Exemplo: 
Resolva a equação:
 
23
Problemas e resoluções de equações. 
Resolução:
 
 
3.4 Sistemas de equações do segundo grau
São sistemas que apresentam uma equação do segundo grau ou que podem 
gerar uma equação do segundo grau durante a resolução. Para resolvê-los, você 
deve isolar uma incógnita em uma equação e substituir na outra equação.
Exemplos:
Resolva o sistema:
 
Resolução:
Isolando y na primeira equação: 
 .
Substituindo na segunda equação:
 
É possível resolver por Bhaskara:
 
 
24
Módulo 4 
Agora basta substituir os valores na primeira equação e você encontrará dois 
pares de solução.
Para:
 
Para:
 
Soluções:
 .
3.5 Problemas de equações do segundo grau
Alguns problemas podem resultar em um sistema com equação do segundo grau.
Exemplo: 
Determine dois números reais, cuja diferença é 2 e cujo produto é igual a 8.
Solução: 
Isolando y na primeira equação: 
 .
Substituindo na segunda equação:
 
É possível resolver por Bhaskara:
 
 
Agora basta substituir os valores na primeira equação e você encontrará dois 
pares de solução.
25
Problemas e resoluções de equações. 
Para:
 
Para:
 
Soluções:
 .
3.6 Atividades de autoavaliação
1. Resolva as equações:
a) .
b) .
c) .
d) .
e) .
f) .
g) .
h) .
i) .
j) .
k) .
l) .
m) .
n) .
o) .
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Módulo 4 
2. Resolva os sistemas:
 
 
 
 
3. O triplo do quadrado do número de filhos de Manoela é igual a 63, menos 12 
vezes o número de filhos. Quantos filhos Manoela tem?
4. O quadrado da idade de Robson, menos a idade que ele tinha 20 anos atrás, é 
igual a 2000. Quantos anos tem Robson agora?