Módulo 4 1 - Problemas e equações gerais

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MMMMMATEMÁTICAATEMÁTICAATEMÁTICAATEMÁTICAATEMÁTICA ELEMENTARELEMENTARELEMENTARELEMENTARELEMENTAR I I I I I
191191191191191
UUUUUNIDADENIDADENIDADENIDADENIDADE 10 10 10 10 10
PPPPPROBLEMASROBLEMASROBLEMASROBLEMASROBLEMAS EEEEE EQUAÇÕESEQUAÇÕESEQUAÇÕESEQUAÇÕESEQUAÇÕES GERAISGERAISGERAISGERAISGERAIS
Objetivos de aprendizagemObjetivos de aprendizagemObjetivos de aprendizagemObjetivos de aprendizagemObjetivos de aprendizagem
Ao final desta unidade você estará apto a:
 resolver problemas utilizando conjuntos numéricos e funções;
 modelar problemas com ferramentas matemáticas.
PPPPPLANOLANOLANOLANOLANO DEDEDEDEDE ESTUDOESTUDOESTUDOESTUDOESTUDO DADADADADA UNIDADEUNIDADEUNIDADEUNIDADEUNIDADE
Para uma visão geral da unidade acompanhe a seguir um sumário
das seções. A sugestão para a realização de um estudo mais rápido e
seguro, é você resolver as atividades propostas, procurando sanar todas as
dúvidas, antes de seguir em frente.
 Seção 1 – Introdução
 Seção 2 – Equações do primeiro grau
 Seção 3 – Equações do segundo grau
 Seção 4 – Equações envolvendo outras funções
polinomiais
 Seção 5 – Equações exponenciais e logarítmicas
 Seção 6 – Observe outros exemplos
 O O O O O QUEQUEQUEQUEQUE VOCÊVOCÊVOCÊVOCÊVOCÊ LÊLÊLÊLÊLÊ?????
192192192192192
CCCCCURSOURSOURSOURSOURSO DEDEDEDEDE EXTENSÃOEXTENSÃOEXTENSÃOEXTENSÃOEXTENSÃO
Nesta unidade apresenta-se uma visão geral de equações e suas
aplicações. Você irá estudar problemas históricos para que possa perceber
a importância das situações problemas na formação dos conceitos
matemáticas no decorrer da história da humanidade.
O O O O O PROBLEMAPROBLEMAPROBLEMAPROBLEMAPROBLEMA MOTIVADORMOTIVADORMOTIVADORMOTIVADORMOTIVADOR
Qual é o número que, multiplicado por 5, aumenta depois 9,
se divide por 6, se multiplica por si mesmo, se acrescenta a
19 e, depois de extraída a raiz quadrada, diminui 2, se divide
por 4 e dá 2?
SSSSSEÇÃOEÇÃOEÇÃOEÇÃOEÇÃO 1 1 1 1 1 – – – – – IIIIINTRODUÇÃONTRODUÇÃONTRODUÇÃONTRODUÇÃONTRODUÇÃO
Muitas descobertas de fórmulas matemáticas foram motivadas por
problemas de ordem comercial ou financeira. Problemas em geral serão
resgatados buscando algumas particularidades para o contexto comercial
ou financeiro.
 VVVVVOCÊOCÊOCÊOCÊOCÊ SABIASABIASABIASABIASABIA:::::
A motivação de Bhaskara para resolver equação do 2º grau era
um problema de juros?
Veja o problema enunciado na linguagem de hoje: um capital de 100
foi emprestado a uma certa taxa de juro ao ano. Após 1 ano, o
capital foi retirado e o juro obtido foi aplicado durante mais 1 ano. Se
o juro total foi de 75, qual foi a taxa ao ano?
Quando você está diante de um problema em geral pode resolvê-lo por
mais de um caminho ou estratégia. Se este problema requer o uso de objetos
matemáticos, a solução pode ser obtida a partir do envolvimento de
algoritmos numéricos, resolução de equações ou sistemas de equações. Para
cada situação, deve usar a ferramenta matemática adequada que poderá ser
simples ou de nível mais complexo como é o caso de derivadas e integrais
(objetos matemáticos não estudados neste curso).
Os problemas considerados da área econômica em geral são modelados
através de expressões algébricas resultando fórmulas práticas. Ao aplicar os
dados, fica-se diante de uma equação ou de um sistema de equação. Nas
unidades anteriores várias situações foram apresentadas e discutidas.
Resgate agora o problema de Bhaskara apresentado no quadro “Você
sabia que?”
MMMMMATEMÁTICAATEMÁTICAATEMÁTICAATEMÁTICAATEMÁTICA ELEMENTARELEMENTARELEMENTARELEMENTARELEMENTAR I I I I I
193193193193193UUUUUNIDADENIDADENIDADENIDADENIDADE 10 10 10 10 10
Um capital de 100 foi emprestado a uma certa taxa de
juro ao ano. Após 1 ano, o capital foi retirado e o juro
obtido foi aplicado durante mais 1 ano. Se o juro total foi
de 75, qual foi a taxa ao ano?
SSSSSOLUÇÃOOLUÇÃOOLUÇÃOOLUÇÃOOLUÇÃO
Sendo a taxa x%, se tem que o juro no primeiro ano será de x e no
segundo ano será de x.x/100, ou seja, a equação algébrica é:
75
100
. =+ xxx
ou
075001002 =−+ xx
que é uma equação do segundo grau.
Receita matemática da épocaReceita matemática da épocaReceita matemática da épocaReceita matemática da épocaReceita matemática da época
Eleve a metade do capital (coeficiente de x) ao quadrado,
acrescente o resultado ao produto dos juros totais (termo
independente) pelo capital, extraia a raiz quadrada e diminua
a metade do capital, o que leva a solução procurada.
50
5010075502
=
−×+=x
Ao se resolver esta equação você irá encontrar duas soluções:
501 =x e 1502 −=x . Como a solução negativa não pode ser usada
para o contexto do problema ficará diante de uma única solução.
Seção 2Seção 2Seção 2Seção 2Seção 2 – – – – – EEEEEQUAÇÕESQUAÇÕESQUAÇÕESQUAÇÕESQUAÇÕES DODODODODO PRIMEIROPRIMEIROPRIMEIROPRIMEIROPRIMEIRO GRAUGRAUGRAUGRAUGRAU
Nesta seção você irá estudar as equações do primeiro grau buscando
relacionar o estudo das equações com as funções discutidas nas unidades
anteriores.
O testamento de um moribundo impõe que se sua
esposa, que está grávida, tiver um filho, este herdará 3/4
e a viúva 1/4 dos bens; mas se nascer uma filha, esta
herdará 7/12 e a viúva 5/12 dos bens. Como devem ser
divididos os bens no caso de nascer um casal de
gêmeos?1
1 Problema extraído de EVES, Howard. Introdução à História da Matemática. Campinas: UNICAMP,
1995, p.314.
194194194194194
CCCCCURSOURSOURSOURSOURSO DEDEDEDEDE EXTENSÃOEXTENSÃOEXTENSÃOEXTENSÃOEXTENSÃO
SSSSSOLUÇÃOOLUÇÃOOLUÇÃOOLUÇÃOOLUÇÃO
Este problema é um problema discutido na Idade Média de origem
romana. A solução considerada viável faz uma suposição satisfatória,
pois rigorosamente não se poderia solucioná-lo já que não se conhece o
critério adotado pelo moribundo – poderia, por exemplo, ser uma
escolha aleatória.
A sugestão de solução considera que o moribundo queria deixar:
 para um filho o valor equivalente ao triplo do valor da viúva pois
 4
13
4
3 ×= ;
 para uma filha o valor equivalente a 7/5 do valor da viúva pois
 12
5
5
7
12
7 ×= .
Assim, pode-se escrever a equação
1
5
73 =++ xxx .
Considerando-se que a herança foi repartida para 3 pessoas (viúva,
filho e filha), e mantendo-se a proporcionalidade inicialmente
proposta. Na equação o valor de x representa a parte da viúva.
Para resolver a equação usa-se os conceitos operatórios já discutidos
nas unidades anteriores. Você pode também observar que a equação
apresentada é uma equação do primeiro grau e tem uma única solução.
Veja:
.
27
5
527
1
5
27
1
5
7155
1
5
73
=
=
=
=++
=++
x
x
x
xxx
xxx
MMMMMATEMÁTICAATEMÁTICAATEMÁTICAATEMÁTICAATEMÁTICA ELEMENTARELEMENTARELEMENTARELEMENTARELEMENTAR I I I I I
195195195195195
Assim a solução pode ser dada:
 viúva = 5/27 dos bens ou 18,51%;
 filho = triplo de 5/27 = 15/27 dos bens ou 55,56%;
 filha = 7/5 de 5/27 = 7/27 dos bens ou 25,93%.
A resolução de uma equação do 1o grau é análoga ao da
determinação do zero ou raiz da função. O objetivo é “isolar” o x. Para
tal, você precisa relembrar dois princípios:
 princípio aditivo da igualdade: adicionando
(ou subtraindo) aos dois membros de uma igualdade o
mesmo número, a igualdade não se altera. Em outras
palavras: ao passar um número, que está somando ou
subtraindo, para o outro lado da igualdade deve inverter seu
sinal;
 princípio multiplicativo da igualdade: multiplicando
(ou dividindo) os dois membros de uma igualdade pelo
mesmo número, a igualdade não se altera. Em outras
palavras: um número que está multiplicando passa para o
outro lado da igualdade dividindo; já um número que está
dividindo passa para o outro lado da igualdade
multiplicando.
ExemplosExemplosExemplosExemplosExemplos
Determine o valor da incógnita para os casos:
(a) 4 x + 2 = 3 ⇒ 4 x = 3 - 2 = 1 ⇒ x = 4
1
(b) - 2 x - 3 = 3 ⇒ - 2 x = 3 + 3 = 6 ⇒ x = - 2
6 ⇒ x = - 3
(c) 7
2 x - 3 = 5 ⇒ 7
2 x = 5 + 3 = 8 ⇒ x = 2
7 . 8 ⇒ x = 28
196196196196196
CCCCCURSOURSOURSOURSOURSO DEDEDEDEDEEXTENSÃOEXTENSÃOEXTENSÃOEXTENSÃOEXTENSÃO
EEEEEMMMMM TEMPOTEMPOTEMPOTEMPOTEMPO:::::
Usa-se as letras para representar os valores que
uma variável pode assumir. É comum, de forma
mais tradicional, usar o termo incógnita para
expressar o valor que é desconhecido e se procura
saber.
SSSSSISTEMASISTEMASISTEMASISTEMASISTEMAS DEDEDEDEDE EQUAÇÕESEQUAÇÕESEQUAÇÕESEQUAÇÕESEQUAÇÕES DODODODODO 1 1 1 1 1OOOOO GRAUGRAUGRAUGRAUGRAU
OBSERVEBSERVEBSERVEBSERVEBSERVE OOOOO SEGUINTESEGUINTESEGUINTESEGUINTESEGUINTE PROBLEMAPROBLEMAPROBLEMAPROBLEMAPROBLEMA:::::
Duas camisas (uma azul e outra branca) custaram R$ 100,00. Se
a camisa azul custou R$ 20,00 a mais que a branca, qual é o
preço de cada uma?
Indicando a para a camisa azul e b para a branca, pode-se afirmar
que:
a + b = 100 → (as duas camisas custaram R$100,00);
a = b + 20 → (a camisa azul custou R$20,00 a mais que a branca).
Quando se tem duas equações do 1o grau com duas incógnitas,
pode escrevê-las como um sistema de equações:



+=
=+
20ba
100ba 
SSSSSOLUÇÃOOLUÇÃOOLUÇÃOOLUÇÃOOLUÇÃO DEDEDEDEDE UMUMUMUMUM SISTEMASISTEMASISTEMASISTEMASISTEMA DEDEDEDEDE DUASDUASDUASDUASDUAS EQUAÇÕESEQUAÇÕESEQUAÇÕESEQUAÇÕESEQUAÇÕES DODODODODO 1 1 1 1 1OOOOO GRAUGRAUGRAUGRAUGRAU
MMMMMÉTODOÉTODOÉTODOÉTODOÉTODO DADADADADA SUBSTITUIÇÃOSUBSTITUIÇÃOSUBSTITUIÇÃOSUBSTITUIÇÃOSUBSTITUIÇÃO
Para resolver um sistema de equações pelo método da substituição,
segue-se os seguintes passos:
 isola-se uma das variáveis em uma equação (linha) e a
substitui na outra equação, pelo valor encontrado;
 resolve-se a equação, obtendo um valor para a outra variável;
MMMMMATEMÁTICAATEMÁTICAATEMÁTICAATEMÁTICAATEMÁTICA ELEMENTARELEMENTARELEMENTARELEMENTARELEMENTAR I I I I I
197197197197197UUUUUNIDADENIDADENIDADENIDADENIDADE 10 10 10 10 10
 substitui-se o valor dessa variável na 1a ou 2a equação, para
encontrar o valor da variável isolada inicialmente.
O par de números encontrado é a solução do sistema. Veja:
ExemplosExemplosExemplosExemplosExemplos
1) Do problema apresentado se tem:



+=
=+
20ba
100ba 
Para a sua comodidade, a variável a já esta isolada. Assim, se
substitui seu valor na outra equação:
a = b + 20 e a + b = 100 ⇒ (b + 20) + b = 100
 2b = 100 - 20
 b = 40
como a = 40 + 20 ⇒ a = 60
Assim, a camisa azul custou R$ 60,00 e a camisa branca R$ 40,00.
2) Resolva o sistema:



=+
=+
9 y x 3
7 y x 2 
⇒ y = 7 - 2 x
3 x + (7 - 2 x) = 9
3 x - 2 x = 9 - 7
x = 2
⇒ y = 7 - 2 . 2
⇒ y = 3
SSSSSOLUÇÃOOLUÇÃOOLUÇÃOOLUÇÃOOLUÇÃO
(x,y) = (2,3)
198198198198198
CCCCCURSOURSOURSOURSOURSO DEDEDEDEDE EXTENSÃOEXTENSÃOEXTENSÃOEXTENSÃOEXTENSÃO
MMMMMÉTODOÉTODOÉTODOÉTODOÉTODO DADADADADA ADIÇÃOADIÇÃOADIÇÃOADIÇÃOADIÇÃO
Para resolver um sistema de equações pelo método da adição, segue-
se os seguintes passos:
 adiciona-se membro a membro as equações com o objetivo
de eliminar os coeficientes que são números opostos;
 isola-se a variável e substituií-se o valor obtido em qualquer
das equações para encontrar o valor da outra variável.
É conveniente aplicar o método da adição quando os coeficientes
de uma mesma variável forem opostos. Para obter coeficientes que sejam
números opostos, se pode multiplicar (ou dividir, se for mais conveniente)
os dois membros de cada equação por números adequados. Veja:
ExemplosExemplosExemplosExemplosExemplos
(a) Do problema apresentado se tem:



+=
=+
20ba
100ba 
Rearranjando o sistema você terá :



=−
=+
20ba
100ba 
somando as duas equações,
120 0 a2 
20ba
100ba 
=+



=−
=+
 a = 60
substituindo o valor de a na primeira equação,
60 + b = 100 ⇒ b = 40
(b) Resolva o sistema:



=−
=+
29 y x 8 
0 y 3 x 5
Multiplicando a segunda equação por 3, terá:



=−
=+
87 y 3 x 24
0 y 3 x 5
MMMMMATEMÁTICAATEMÁTICAATEMÁTICAATEMÁTICAATEMÁTICA ELEMENTARELEMENTARELEMENTARELEMENTARELEMENTAR I I I I I
199199199199199UUUUUNIDADENIDADENIDADENIDADENIDADE 10 10 10 10 10
somando as duas equações,
87 0 x 29
87 y 3 x 24
0 y 3 x 5
=+



=−
=+
 x = 3
substituindo o valor de x na primeira equação,
 5 . 3 + 3 y = 0 ⇒ y = - 5
SSSSSOLUÇÃOOLUÇÃOOLUÇÃOOLUÇÃOOLUÇÃO
 (x,y) = (3,-5)
SSSSSEÇÃOEÇÃOEÇÃOEÇÃOEÇÃO 3 3 3 3 3 – – – – – EEEEEQUAÇÕESQUAÇÕESQUAÇÕESQUAÇÕESQUAÇÕES DODODODODO SEGUNDOSEGUNDOSEGUNDOSEGUNDOSEGUNDO GRAUGRAUGRAUGRAUGRAU
Nesta seção você irá estudar as equações do segundo grau. É
possível observar que os problemas históricos são fundamentais para
acompanhar a evolução dos recursos matemáticos e tecnológicos.
Um grupo de abelhas, cujo número era igual a raiz
quadrada da metade de todo o enxame, pousou
sobre uma rosa, tendo deixado para trás 8/9 do
enxame; apenas uma abelha voava ao redor de um
jasmim, atraída pelo zumbido de uma de suas amigas
que caíra imprudentemente na armadilha da florzinha
de doce fragrância. Quantas abelhas formavam o
enxame?2
SSSSSOLUÇÃOOLUÇÃOOLUÇÃOOLUÇÃOOLUÇÃO
Para modelar este problema considere x o número total de abelhas
do enxame. Assim, seguindo o enunciado do problema pode-se
escrever:
xxx =++ 2
9
8
2
Para resolver essa equação faça operações algébricas. Observe:
1 Este é um problema famoso da antiguidade, apresentado originalmente em versos. O enunciado
apresentado é uma adaptação.
200200200200200
CCCCCURSOURSOURSOURSOURSO DEDEDEDEDE EXTENSÃOEXTENSÃOEXTENSÃOEXTENSÃOEXTENSÃO
ou
06481532 2 =+− xx
Assim, você está diante de uma equação do segundo grau.
Para resolver aplique a fórmula de Bhaskara já usada na Unidade 8.






==−
==+
=±=
±=
×
××−±−−=
−±−=
5,4
4
18
4
135153
72
4
288
4
135153
4
135153
4
18225153
22
64824153)153(
2
4
2
2
x
x
x
a
acbbx
Como o número de abelhas não pode ser fracionário a resposta é 72
abelhas.
Originalmente o modelo deste problema é uma equação dita
irracional pois a variável x aparece sob o radical.
MMMMMATEMÁTICAATEMÁTICAATEMÁTICAATEMÁTICAATEMÁTICA ELEMENTARELEMENTARELEMENTARELEMENTARELEMENTAR I I I I I
201201201201201UUUUUNIDADENIDADENIDADENIDADENIDADE 10 10 10 10 10
Pode-se lembrar que as equações do segundo grau podem ser
resolvidas graficamente (ver Figura 10.1). Observar que o uso de
um software para fazer os gráficos é altamente recomendado - é a
tecnologia a serviço da matemática e do homem.
FIGURA FIGURA FIGURA FIGURA FIGURA 10.1 - G10.1 - G10.1 - G10.1 - G10.1 - GRÁFICORÁFICORÁFICORÁFICORÁFICO DADADADADA FUNÇÃOFUNÇÃOFUNÇÃOFUNÇÃOFUNÇÃO 06481532 2 =+− xx
SSSSSEÇÃOEÇÃOEÇÃOEÇÃOEÇÃO 4 4 4 4 4 – – – – – EEEEEQUQUQUQUQUAÇÕESAÇÕESAÇÕESAÇÕESAÇÕES ENVENVENVENVENVOLOLOLOLOLVENDOVENDOVENDOVENDOVENDO
OUTRASOUTRASOUTRASOUTRASOUTRAS FUNÇÕESFUNÇÕESFUNÇÕESFUNÇÕESFUNÇÕES POLINOMIAISPOLINOMIAISPOLINOMIAISPOLINOMIAISPOLINOMIAIS
Como resolver equações de ordem maior que dois? Por
exemplo, como resolver:
 0404256 234 =+−−+ xxxx ?
SSSSSOLUÇÃOOLUÇÃOOLUÇÃOOLUÇÃOOLUÇÃO
Em diferentes momentos da história da matemática é possível
constatar matemáticos famosos pesquisando uma fórmula mágica para
resolver equações de ordem maior que dois. Algumas fórmulas são
propostas, envolvendo muitos cálculos e usadas para situações
particulares.
202202202202202
CCCCCURSOURSOURSOURSOURSO DEDEDEDEDE EXTENSÃOEXTENSÃOEXTENSÃOEXTENSÃOEXTENSÃO
Se você precisar resolver uma equação como a proposta você poderá
usar os recursos tecnológicos atualmente disponíveis em sites da
internet. Destaca-se o software Derive3 pela sua facilidade de uso e
precisão de respostas. A solução poderá ser obtida algebricamente ou
graficamente. Para a solução gráfica você pode usar também outros
softwares gráficos que estão disponíveis na Internet (ver Graph citado
na Unidade 6).
Confira as respostas da equação proposta na Figura 10.2. As raízes da
equação são os pontos que a curva corta o eixo dosx. Você pode notar
quatro raízes reais: -5, -4, 1 e 2.
FIGURA FIGURA FIGURA FIGURA FIGURA 10.2 - G10.2 - G10.2 - G10.2 - G10.2 - GRÁFICORÁFICORÁFICORÁFICORÁFICO DEDEDEDEDE 404256)( 234 +−−+= xxxxxf
Pode-se ter situações em que as raízes não são reais e neste caso o
gráfico não corta o eixo dos x.
Veja outros exemplos com resolução algébrica:
(a) x5 = 32 ⇒ x5 = 25 ⇒ x = 2
Neste exemplo se tem uma raiz real e as outras 4 raízes são
complexas. Nas equações do tipo polinomial de ordem n se tem sempre n
raízes.
(b) 2 x4 = 162 ⇒ x4 = 2
162
 = 81 ⇒ x4 = 34 ⇒ x = 3
3 Disponível para uso livre durante 30 dias em http://www.derive-europe.com/main.asp
MMMMMATEMÁTICAATEMÁTICAATEMÁTICAATEMÁTICAATEMÁTICA ELEMENTARELEMENTARELEMENTARELEMENTARELEMENTAR I I I I I
203203203203203UUUUUNIDADENIDADENIDADENIDADENIDADE 10 10 10 10 10
Nas resoluções apresentadas você deve estar se questionando: como
descobrir uma base se os expoentes forem diferentes? Veja o exemplo que
segue.
ExemplosExemplosExemplosExemplosExemplos
(a) x3 = 4
Para fazer “desaparecer” o expoente do x, você deve transformá-lo
em 1, usando as propriedades da potência e o princípio da igualdade.
( ) 3
1
3 x = 3
1
4 ⇒ x = 3 4 ⇒ x = 1,587401
(b) 100 (1 + x)12 = 250 ⇒ (1 + x)12 = 
100
250
 = 2,5 ⇒ ( )121 12 x) 1( + =
= 12
1
5,2 ⇒ 1 + x = 12 2,5 ⇒ x = 12 2,5 - 1 ⇒ x = 0,079348
SSSSSEÇÃOEÇÃOEÇÃOEÇÃOEÇÃO 5 5 5 5 5 – – – – – EEEEEQUAÇÕESQUAÇÕESQUAÇÕESQUAÇÕESQUAÇÕES EXPONENCIAISEXPONENCIAISEXPONENCIAISEXPONENCIAISEXPONENCIAIS EEEEE LOGARÍTMICASLOGARÍTMICASLOGARÍTMICASLOGARÍTMICASLOGARÍTMICAS
Numa tábula do Louvre, de cerca de 1700 a.C., há o
seguinte problema: por quanto tempo deve-se aplicar
uma certa soma de dinheiro a juros compostos anuais
de 20% para que ela dobre?
SSSSSOLUÇÃOOLUÇÃOOLUÇÃOOLUÇÃOOLUÇÃO
Pode-se observar que esse tipo de problema ainda é atual. Para
resolvê-lo você pode usar uma equação exponencial. Veja:
4
2,1log
1
2,1log2log
2,12
)2,01(2
)1(
2
22
≅
=
=
=
+=
+=
n
n
n
CC
iCM
n
n
n
Portanto, a resposta é aproximadamente 4 anos.
204204204204204
CCCCCURSOURSOURSOURSOURSO DEDEDEDEDE EXTENSÃOEXTENSÃOEXTENSÃOEXTENSÃOEXTENSÃO
Para resolver equações exponenciais, pode-se tentar transformá-las
em igualdades de mesma base. Uma vez que as bases são iguais,
obrigatoriamente, os expoentes também o são.
af(x) = ag(x) ⇒ f(x) = g(x) para a > 0, a ≠ 1
ExemplosExemplosExemplosExemplosExemplos
(a) 3x = 27 ⇒ 3x = 33 ⇒ x = 3
(b) 2x + 1 = 32
1 ⇒ 2x + 1 = 52
1
 ⇒ 2x + 1 = 2-5 ⇒ x + 1 = - 5 ⇒ x = - 6
(c) 3 x2 = 0,25 ⇒ 3
x
2 = 100
25 = 4
1 = 22
1
 ⇒ 3
x
2 = 2
-2 ⇒ 3
x = -2 ⇒ x = - 6
(d) 22x - 5 . 2x + 4 = 0
Inicialmente, faça uma transformação: (2x)2 - 5 . (2x) + 4 = 0
Chamando (2x) de y, terá: y2 - 5 . y + 4 = 0
Esta é uma equação do 2o grau de raízes 1 e 4. Substituindo estas
raízes em y, tem-se:
(2x) = 1 ⇒ (2x) = 20 ⇒ x = 0
(2x) = 4 ⇒ (2x) = 22 ⇒ x = 2
Assim, a solução é: {0,2}
Veja exemplos de equações logarítmicas.
MMMMMATEMÁTICAATEMÁTICAATEMÁTICAATEMÁTICAATEMÁTICA ELEMENTARELEMENTARELEMENTARELEMENTARELEMENTAR I I I I I
205205205205205UUUUUNIDADENIDADENIDADENIDADENIDADE 10 10 10 10 10
ExemploExemploExemploExemploExemplo
(a) )7log()42log( +−=+ xx
Neste caso basta simplificar e escrever:
.1
33
472
742
=
=
−=+
+−=+
x
x
xx
xx
Precisa-se verificar se o valor encontrado pertence ao domínio das
funções logarítmicas envolvidas. Na função:
 )42log( += xy se tem: 042 >+x ou 2−>x ;
 )7log( +−= xy se tem: 07 >+− x ou 7<x .
Portanto, a equação dada deverá ter a solução no intervalo (-2,7).
Assim 1=x satisfaz a condição de pertencer ao intervalo dado.
(b) 5)282(log =+xx
Como o valor de x está também na base do logaritmo tem-se que
considerar como domínio para a resolução:
 2
280282 −>⇒>+ xx ou 14−>x
 10 ≠> xex
Aplicando a definição de logaritmo se tem:
2825 += xx
ou
02825 =−− xx
206206206206206
CCCCCURSOURSOURSOURSOURSO DEDEDEDEDE EXTENSÃOEXTENSÃOEXTENSÃOEXTENSÃOEXTENSÃO
Você está diante de uma equação do quinto grau. Fazendo a
representação gráfica (ver Figura 10.3) pode-se observar a solução .2=x
Esta pertence ao domínio pois é maior que zero e diferente de 1.
FIGURA FIGURA FIGURA FIGURA FIGURA 10.3 - G10.3 - G10.3 - G10.3 - G10.3 - GRÁFICORÁFICORÁFICORÁFICORÁFICO DEDEDEDEDE 2825 −−= xxy
SSSSSEÇÃOEÇÃOEÇÃOEÇÃOEÇÃO 6 6 6 6 6 – – – – – OOOOOBSERVEBSERVEBSERVEBSERVEBSERVE OUTROSOUTROSOUTROSOUTROSOUTROS EXEMPLOSEXEMPLOSEXEMPLOSEXEMPLOSEXEMPLOS
Observe bem os detalhes dos exemplos apresentados. Você deve
lembrar sempre das propriedades para resolver os diferentes tipos de
equações que podem aparecer na modelagem de problemas.
Resgate o problema inicial da unidade.
O O O O O PROBLEMAPROBLEMAPROBLEMAPROBLEMAPROBLEMA MOTIVADORMOTIVADORMOTIVADORMOTIVADORMOTIVADOR
Qual é o número que, multiplicado por 5, aumenta depois 9,
se divide por 6, se multiplica por si mesmo, se acrescenta a
19 e, depois de extraída a raiz quadrada, diminui 2, se divide
por 4 e dá 2?
MMMMMATEMÁTICAATEMÁTICAATEMÁTICAATEMÁTICAATEMÁTICA ELEMENTARELEMENTARELEMENTARELEMENTARELEMENTAR I I I I I
207207207207207UUUUUNIDADENIDADENIDADENIDADENIDADE 10 10 10 10 10
SSSSSOLUÇÃOOLUÇÃOOLUÇÃOOLUÇÃOOLUÇÃO
Chame o número de x e escreva a sentença enunciada. Tem:
 24/}219]6/)95[({ =−++ xx
Simplificar as operações indicadas:
 
1019]6/)95[(
8}219]6/)95[({
24/}219]6/)95[({
=++
=−++
=−++
xx
xx
xx
Agora eleve tudo ao quadrado: 
048695
48695
81
6
)95(
19100]6/)95[(
10019]6/)95[(
10)19]6/)95[((
2
2
22
=−+
=+
=+
−=+
=++
=++
xx
xx
xx
xx
xx
xx
Resolvendo esta equação do segundo grau obtém-se: 9=x
e x = -10,8.
Este tipo de problema perseguia os matemáticos na Antiguidade.
Atualmente a solução é fácil, podendo ser trabalhosa, pois já sedomina
um raciocínio lógico que nos permite usar propriedades operatórias
necessárias para resolver a equação apresentada.
Para finalizar acompanhe 4 exemplos rápidos envolvendo as funções
e propriedades discutidas neste curso.
Exemplo 1Exemplo 1Exemplo 1Exemplo 1Exemplo 1
Equação do primeiro grau:
2
1342 +−=+ xxx
208208208208208
CCCCCURSOURSOURSOURSOURSO DEDEDEDEDE EXTENSÃOEXTENSÃOEXTENSÃOEXTENSÃOEXTENSÃO
SSSSSOLUÇÃOOLUÇÃOOLUÇÃOOLUÇÃOOLUÇÃO
.9
09
09
01684
0
2
1342
2
1342
=
=−
=+−
=++−+
=++−+
+−=+
x
x
x
xxx
xxx
xxx
Exemplo 2Exemplo 2Exemplo 2Exemplo 2Exemplo 2
Equação do segundo grau:
0)3)(5( =−− xx
SSSSSOLUÇÃOOLUÇÃOOLUÇÃOOLUÇÃOOLUÇÃO
Neste exemplo se está diante de uma equação do segundo grau
fatorada, assim para resolvê-la basta considerar que cada fator pode ser
igual a zero. Não precisa usar a fórmula de resolução. Tem:
05 =−x ou 03 =−x .
Assim, a solução é 5=x e 3=x .
Exemplo 3Exemplo 3Exemplo 3Exemplo 3Exemplo 3
Equação exponencial:
xx 522 42 =−
SSSSSOLUÇÃOOLUÇÃOOLUÇÃOOLUÇÃOOLUÇÃO
Use as propriedades:
MMMMMATEMÁTICAATEMÁTICAATEMÁTICAATEMÁTICAATEMÁTICA ELEMENTARELEMENTARELEMENTARELEMENTARELEMENTAR I I I I I
209209209209209UUUUUNIDADENIDADENIDADENIDADENIDADE 10 10 10 10 10
4
1
8
2
28
2102
1022
22
)2(2
42
1022
5222
522
−=
−=
=−
=−
=−
=
=
=
−
−
−
x
x
x
xx
xx
xx
xx
xx
Exemplo 4Exemplo 4Exemplo 4Exemplo 4Exemplo 4
Equação logarítmica:
.1)25ln( =−x
SSSSSOLUÇÃOOLUÇÃOOLUÇÃOOLUÇÃOOLUÇÃO
Você está diante de uma equação simples, basta lembrar da
propriedade:
.
5
2
25
25
.1)25ln(
1
+=
+=
−=
=−
ex
ex
xe
x
Como você está diante de um valor irracional para apresentar um valor
aproximado pode usar um valor aproximado para o número e .
Tem:
.944,0
5
718,4
5
2718,2
5
2
≅
=
+=
+=
x
x
x
ex
Agora 5x - 2 > 0, ou seja, 5x > 2, ou seja, x >
5
2 . Como 0,944 > 
5
2 .
Segue que é solução da equação. S = {0,944}.