Nos problemas a seguir, determine as soluções gerais das equações diferenciais dadas: a. 12????2−????′′+????′=0 d. ????????^????????′′−2????′+3????=0 b. ????????′′+4????′...

a. A equação diferencial 12y^2 - y'' + y' = 0 pode ser resolvida usando o método da equação característica. Primeiro, encontramos as raízes da equação característica associada, que é dada por r^2 - r + 12 = 0. Resolvendo essa equação, encontramos as raízes r1 = (1 + √47i)/2 e r2 = (1 - √47i)/2. Portanto, a solução geral da equação diferencial é y(x) = c1 * e^(x/2) * cos((√47x)/2) + c2 * e^(x/2) * sin((√47x)/2), onde c1 e c2 são constantes arbitrárias. d. A equação diferencial y^(n) - 2y' + 3y = 0 pode ser resolvida usando o método da equação característica. Primeiro, encontramos as raízes da equação característica associada, que é dada por r^n - 2r + 3 = 0. Resolvendo essa equação, encontramos as raízes r1, r2, ..., rn. A solução geral da equação diferencial é y(x) = c1 * e^(r1x) + c2 * e^(r2x) + ... + cn * e^(rnx), onde c1, c2, ..., cn são constantes arbitrárias. b. A equação diferencial y'' + 4y' + 4y = 0 é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Podemos resolver essa equação encontrando as raízes da equação característica associada, que é dada por r^2 + 4r + 4 = 0. Resolvendo essa equação, encontramos uma raiz dupla r = -2. Portanto, a solução geral da equação diferencial é y(x) = (c1 + c2x) * e^(-2x), onde c1 e c2 são constantes arbitrárias. e. A equação diferencial y^(n) = 0 é uma equação diferencial linear de ordem n com coeficientes constantes. A solução geral dessa equação é y(x) = c1 + c2x + c3x^2 + ... + cnx^(n-1), onde c1, c2, ..., cn são constantes arbitrárias. c. A equação diferencial y^2y'' + 4y^2y' + 4y = 0 é uma equação diferencial não linear. Não há uma fórmula geral para encontrar a solução dessa equação. É necessário utilizar métodos numéricos ou técnicas específicas para resolver essa equação diferencial.