Módulo 3 - Respostas da atividade 4 - Respostas da atividade 4 Função exponencial e função logarítmica

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246246246246246
CCCCCURSOURSOURSOURSOURSO DEDEDEDEDE EXTENSÃOEXTENSÃOEXTENSÃOEXTENSÃOEXTENSÃO
UUUUUNIDADENIDADENIDADENIDADENIDADE 9 - F 9 - F 9 - F 9 - F 9 - FUNÇÃOUNÇÃOUNÇÃOUNÇÃOUNÇÃO EXPONENCIALEXPONENCIALEXPONENCIALEXPONENCIALEXPONENCIAL EEEEE LOGARÍTMICALOGARÍTMICALOGARÍTMICALOGARÍTMICALOGARÍTMICA
1) Escreva na forma decimal:
(a) 10-8 = 0,00000001
(b) 105 = 100 000
(c) 2 . 102 = 200
2) Escreva na notação científica:
(a) 82 000 = 4102,8 ×
(b) 0,005 = 3105 −×
(c) 0,021 = 2101,2 −×
3) Escreva na forma de uma única potência:
(a) 2-5 . 22 = 2-3 (b) 21012
52
43
1313
)13(
)13( == −
(c) 43 . 8 . 2-5 = 45332 22.2.)2( =− (d)
3
)2(5
2
5
810
32
5
5
5
5
5 . 5
5 . 5
−
−−−
−
−
−
−−
=
===
MMMMMATEMÁTICAATEMÁTICAATEMÁTICAATEMÁTICAATEMÁTICA ELEMENTARELEMENTARELEMENTARELEMENTARELEMENTAR I I I I I
247247247247247AAAAA N E X O SN E X O SN E X O SN E X O SN E X O S
4) Calcule:
(a) 
813
3
3
)3.()3(
)3.(3
81 . 27
9 . 3
4
5
5473
229
57
29
==
== −
−
−
−
(b)
5) Simplifique:
(a) 
94
23
66
.
 w. 
z . −− = zw
z
w
(b)
3/144/53
46
4
1
2
3
4/13/4
62/3
413 4
323
..
.
.
 x. y
)(y . 
yxyx
xy
yxx
=
==
−−
6) Esboce o gráfico das seguintes funções:
(a) f(x) = 3x
248248248248248
CCCCCURSOURSOURSOURSOURSO DEDEDEDEDE EXTENSÃOEXTENSÃOEXTENSÃOEXTENSÃOEXTENSÃO
(b) f(x) = 2 x - 1
(c) f(x) = log2x
MMMMMATEMÁTICAATEMÁTICAATEMÁTICAATEMÁTICAATEMÁTICA ELEMENTARELEMENTARELEMENTARELEMENTARELEMENTAR I I I I I
249249249249249AAAAA N E X O SN E X O SN E X O SN E X O SN E X O S
(d) f(x) = log(1/2)x
7) Identifique se o as seguintes funções são crescentes ou decrescentes:
(a) f(x) = 6x Crescente (b) f(x) = 2
x
3 Crescente
(c) f(x) =
x
4
3





Decrescente (d) f(x) = (0,125)x Decrescente
(e) f(x) = log3x Crescente (f) f(x) = log(1/3)x Decrescente
8) Calcule os seguintes logaritmos:
(a) log327 (b) log3(1/243)
3
33
27327log
3
3
=
=
=⇒=
x
ou
x
x
x
5
33
243
13
243
1log
5
3
−=
=
=⇒=
−
x
ou
x
x
x
(c) log10100 (d) log81 4 3
2
1010
10010100log
2
10
=
=
=⇒=
x
ou
x
x
x
16/1
4/14
33
3813log
4/14
4/14/1
81
=
=
=
=⇒=
x
x
ou
x
x
x
250250250250250
CCCCCURSOURSOURSOURSOURSO DEDEDEDEDE EXTENSÃOEXTENSÃOEXTENSÃOEXTENSÃOEXTENSÃO
9) Determine o valor de x:
(a) log(1/625)5 = x (b) logx25 = 2
4/1
14
55
5
625
15log
4
625/1
−=
=−
=
=



⇒=
−
x
x
ou
x
x
x
5
25
25225log 2
=
=
=⇒=
x
x
ou
xx
(c) log2x = 8 (d) logx(8/27) = 3
log2x = 8 logx(8/27) = 3
 28 = x x3 = 27
8
 x = 256 x3 = 
3
3
2





x = 3
2
10) Determine o valor de x de tal modo que os seguintes logaritmos
existam:
(a) log3(x + 1)
A base já é um número positivo e diferente de 1, logo a condição
deve ser estabelecida apenas para o logaritmando:
x + 1 > 0
x > - 1
(b) log(7x-21)4
Como o logaritmando já é um número positivo, estabelece-se
apenas a condição para a base:
7x - 21 > 0 e 7x - 21 ≠ 1
7x > 21 e 7x ≠ 22
x > 3 e x 7
22≠
11) Sabendo que log 2 = 0,3010, calcule log0,0002.
log0,0002 = log 10000
2
 = log 410
2
 = log 2 - log 104 = log 2 - 4log 10 =
= 0,3010 - 4 = -3,699-3,699-3,699-3,699-3,699
MMMMMATEMÁTICAATEMÁTICAATEMÁTICAATEMÁTICAATEMÁTICA ELEMENTARELEMENTARELEMENTARELEMENTARELEMENTAR I I I I I
251251251251251AAAAA N E X O SN E X O SN E X O SN E X O SN E X O S
12) Um capital de R$ 56,00 é aplicado, a juros compostos, por 2 anos
e meio, à taxa de 4 % a.m. Qual o valor resultante dessa aplicação?
Sabendo-se que nn iCC )1( +=
Dados do Problema:
C = 56
i = 4% = 0,04
n = 30 meses
30)04,01(56 +=nC
30)04,1(56=nC
24339751,356 ×=nC
63,181=nC
O valor resultante da aplicação de R$ 56,00 é de R$ 181,63.
13) Um capital foi aplicado, a juros compostos, durante 3 meses, à
taxa de 20% a.m. Se, decorrido esse período, o montante produzido
foi de R$ 864,00, qual o capital aplicado?
Dados do problema:
n = 3
i = 20% = 0,2
Cn = 864
n
n iCC )1( +=
3)2,01(864 += C
3)2,1(864 C=
500
728,1
864 ==C
O capital aplicado foi de R$ 500,00
14) Qual a taxa mensal (%) para quadruplicar um capital em 8 anos?
Dados do problema
n = 8 anos = 96 meses
Cn= 4C
n
n iCC )1( +=
96)1(4 iCC +=
96)1(4 i+=
96)1log(4log i+=
96
4log)1log( =+ i
96
60205,0)1log( =+ i
00627,0)1log( =+ i
252252252252252
CCCCCURSOURSOURSOURSOURSO DEDEDEDEDE EXTENSÃOEXTENSÃOEXTENSÃOEXTENSÃOEXTENSÃO
00627,0)1log( 1010 =+i
=+ i1 1,01454
i = 0,01454
i = 1,45%
15) A taxa de crescimento populacional do Brasil é de,
aproximadamente, 2% ao ano. Em quantos anos a população irá
dobrar, mantendo esta taxa de crescimento?
Equação a ser utilizada:
niPP )1(0 +=
Dados do problema:
P = 2P0
i = 2% = 0,02
nPP )02,01(2 0 +=
2 = (1,02)n
n)02,1log(2log =
02,1log2log n=
02,1log
2log=n
0086,0
3010,0=n
35=n
A população irá dobrar em 35 anos
16) O álcool no sangue de um motorista alcançou o nível de 2 gramas
por litro após ingerir uma bebida. Considere que esse nível decresce
de acordo com a fórmula N = 2 (0,5)t, sendo t é o tempo em horas.
Quanto tempo deverá o motorista esperar, se o limite permitido por lei
é de 0,8 gramas de álcool por litro de sangue? (considerar
log 2 = 0,3).
Temos que tN )5,0(2 ×= , onde N = 0,8, portanto:
t)5,0(28,0 ×=
2
8,0)5,0( =t
4,0)5,0( =t
4,0log)5,0log( =t
10
4log
2
1log =t
MMMMMATEMÁTICAATEMÁTICAATEMÁTICAATEMÁTICAATEMÁTICA ELEMENTARELEMENTARELEMENTARELEMENTARELEMENTAR I I I I I
253253253253253AAAAA N E X O SN E X O SN E X O SN E X O SN E X O S
10log4log2log 1 −=−t
12log2log 2 −=−t
12log22log −=−t
2log
12log2 −=− t
3,0
13,02 −×=− t
3333,1−=−t
t = 1,3333 horas
t = 80 minutos
t = 1 hora e 20 minutos