Função Logaritmica

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LOGARITMO 
 
 
Modelar e resolver problemas que envolvem va-
riáveis socioeconômicas ou técnico-científicas, 
usando representações algébricas. 
 
Resolver situação-problema cuja modelagem en-
volva conhecimentos algébricos. 
 
Utilizar conhecimentos algébricos/geométricos 
como recurso para a construção de argumentação. 
 
Avaliar propostas de intervenção na realidade utili-
zando conhecimentos algébricos. 
 
 
LOGARITMOS 
 
A. Definição de Logaritmos 
 
Sejam a e b números reais positivos, sendo b  1. 
Logaritmo de a na base b (logb a) é o expoente c que 
devemos elevar a base b para resultar o número a. 
 
Logb a = c  bc = a 
 
a = logaritmando 
b = base 
c = logaritmo 
 
Exemplo: log2 8 = 3 
 
Observação: 
O número, real positivo "a" também pode ser chamado 
de antilogaritmo. 
a = antilogb c 
 
B. Consequências da Definição 
Sendo a, b e c números reais positivos com b  1, e k 
número real qualquer. 
 
1ª) logb 1 = 0; pois b0 = 1,  b 
2ª) logb b = 1; pois b1 = b,  b 
3ª) logb bk = k; pois bk = bk,  b,k 
4ª) logb a = logc c  a = c 
5ª) b
alogb = a 
 
C. Propriedades Operatórias 
Sendo a, b e c números reais positivos com b  1, e m 
e n números reais qualquer com n  0. 
 
1ª) logb (ac) = logb a + logb c 
 
2ª) logb 





c
a
 = logb a – logb c 
3ª) logb (am) = m logb a 
 
 
4ª) logb 
n a = 
n
1
logb a 
 
5ª) 
blog
alog
c
c = logb a (mudança de base) 
 
D. Função Logarítmica e Inequações Logarítmicas 
 
f(x) = logb x com b > 1 
 
 
Exemplo: 
22loglog 33  xx 
 
f(x) = logb x com 0 < b < 1 
 
 
 
Exemplo: 
202loglog 2,02,0  xx 
 
 
E. Condições de existência: 
 
loga b existe quando e somente quando: 
 





1ae0a
0b
 
 
 
 
1. (Unicamp 2016) A solução da equação na variável 
real x, xlog (x 6) 2,+ = é um número 
 primo. 
 par. 
 negativo. 
 irracional. 
 
 
Sabendo que calog b c a b,=  = para quaisquer a e 
b reais positivos, e a 1, temos 
 
2
xlog (x 6) 2 x x 6 0 x 3,+ =  − − =  = que é um nú-
mero primo. 
Alternativa 
 
2. (IFPE) Biólogos estimam que a população P de certa 
espécie de aves é dada em função do tempo t, em anos, 
de acordo com a relação 
t
5P 250 (1,2) ,=  sendo t 0= o 
momento em que o estudo foi iniciado. 
 
Em quantos anos a população dessa espécie de aves 
irá triplicar? (Dados: log 2 0,3= e log 3 0,48.)= 
 45 25 12 18 30 
 
 
Para 
0
5
t ? P(t) 3P(0)
P(0) 250 (1,2) P(0) 250
=  =
=   =
 
Logo, 
t t
5 5P(t) 3P(0) 250 (1,2) 3 250 (1,2) 3=   =   = 
Aplicando logaritmos, temos: 
( )
( )
( )
( )
t
5log(1,2) log3
t 12
log log3
5 10
t
log12 log10 log3
5
t
2log2 log3 log10 log3
5
t
2 (0,3) 0,48 1 0,48
5
t
0,08 0,48 t 30anos
5
 =
 
 = 
 
 − =
 + − =
  + − =
 =  =
 
Alternativa 
 
3. Resolvendo a equação log (3x – 11) = 1, encontra-se 
como solução um número que representa: 
 a raiz quadrada de 49 
 divisor de 25 
 um múltiplo de 14 
 a raiz quadrada de 16 
 um divisor de 8 
 
4. As indicações R1 e R2 de dois terremotos, na escala 
Richter, estão relacionadas pela formula 
 1
1 2
2
log
 
− =  
 
E
R R
E
, 
em que E1 e E2 medem as respectivas energias liberadas 
pelos terremotos em forma de ondas que se propagam 
pela crosta terrestre. Nessas condições, se 𝑅1 = 8,5 
e 𝑅2 = 7,0 e correto afirmar que a razão E1/E 2 nessa 
ordem e igual a: 
 0,5 
 1,5 
 100,5 
 101,5 
 104 
 
5. Um professor de matemática propôs o seguinte pro-
blema aos seus alunos: 
Indique o valor preciso da seguinte expressão, em que 
os algoritmos são todos calculados na base 10 (logarit-
mos decimais): 
𝑋 = 𝑙𝑜𝑔1/2 + 𝑙𝑜𝑔2/3 + 𝑙𝑜𝑔3/4 + 𝑙𝑜𝑔4/5 + 𝑙𝑜𝑔5/6 
+ 𝑙𝑜𝑔 6/7 + 𝑙𝑜𝑔7/8 + 𝑙𝑜𝑔8/9 
+ 𝑙𝑜𝑔9/10 
Os alunos que resolveram corretamente esta questão 
concluíram que: 
 x = -1/2 
 x = 1 
 x = 2 
 x = 2 
 x = -1 
 
6. (UNIFESP-H21) A relação 
P(t) = P0(1 + r)t, 
em que r > 0 é constante, representa uma quantidade P 
que cresce exponencialmente em função do tempo t > 
0. P0 é a quantidade inicial e r é a taxa de crescimento 
num dado período de tempo. Neste caso, o tempo de 
dobra da quantidade é o período de tempo necessário 
para ela dobrar. O tempo de dobra T pode ser calculado 
pela fórmula: 
 T = log (1+ r) 2 
 T = log r 2 
 T = log 2 r 
 T = log 2 (1+ r) 
 T = log (1+ r) (2r) 
 
7. (UFRA-H21) Um fato importante na análise de solos 
é a determinação de seu nível de acidez, denominado 
pH. O pH de uma substância é definido por pH = - log 
[H+], onde, [H+] é a concentração de hidrogênio em 
íons-grama por litro de solução. Uma solução cujo [H+] 
=1,0x10-6, tem pH igual a: 
 6 0 1,0 
 10-6 10 
 
 
8. (FATEC-H21) Um modelo da perda (L) de propagação 
de sinais entre a antena transmissora e a receptora em 
espaço livre de obstáculos é, em decibel (dB), expressa 
por 
10 10L 32,44 20 log f 20 log d= +  +  
em que f é a frequência de transmissão em mega-hertz 
(MHz) e d é a distância entre as antenas de transmissão 
e recepção em quilômetros (km). 
Considerando que um sinal de radiofrequência de 600 
MHz é enviado de uma estação-base para uma antena 
receptora que está a 20 km de distância, em espaço li-
vre, então o valor da perda de propagação desse sinal 
é, em dB, aproximadamente, 
Adote: 10log 2 0,30= e 10log 3 0,48= 
 106. 
 114. 
 126. 
 140. 
 158. 
 
9. (UEPA-H21) O pH de uma solução química mede a 
acidez da mesma e é definido como 
1
pH log
[H ]+
 
=  
 
, onde [H ]+ , 
representa a concentração de íons H
+
. 
Devido às secas registradas na região nordeste do País, 
a escassez de água tornou-se uma calamidade pública 
em algumas cidades. Como atendimentos de urgência, 
caminhões pipas distribuíram águas retiradas direta-
mente de açudes entre as famílias atingidas, com pH
baixíssimo, tornando-as vulneráveis à contaminação 
com determinadas bactérias prejudiciais à saúde hu-
mana. Numa amostra dessas águas foi detectado que 
[𝐻+] = 2,5 × 10−9. 
De acordo com texto, e considerando log5 0,70= , o pH 
dessa água foi de: 
 9,70 
 9,68 
 9,23 
 8,87 
 8,60 
 
10. (UFG-H21) Para estimular um estudante a se famili-
arizar com os números atômicos de alguns elementos 
químicos, um professor cobriu as teclas numéricas de 
uma calculadora com os símbolos dos elementos quími-
cos de número atômico correspondente, como mostra a 
figura a seguir. 
 
Nessa calculadora, se o estudante adicionar o elemento 
de menor número atômico com o de maior eletronegati-
vidade, elevar a soma ao elemento cujo número atômico 
seja um número primo par e, em seguida, calcular o lo-
garitmo do resultado, acionando a tecla log, o resultado 
final será um dígito, cuja tecla corresponde ao símbolo 
 de um gás nobre. 
 do elemento mais eletronegativo. 
 do elemento de menor número atômico. 
 de um halogênio. 
 do elemento menos eletronegativo. 
 
11. (UNEB-H21) 
DANOS DE ALIMENTOS ÁCIDOS 
O esmalte dos dentes dissolve-se prontamente em con-
tato com substâncias cujo pH (medida da acidez) seja 
menor do que 5,5. Uma vez dissolvido, o esmalte não é 
reposto, e as partes mais moles e internas do dente logo 
apodrecem. A acidez de vários alimentos e bebidas co-
muns é surpreendentemente alta; as substâncias lista-
das a seguir, por exemplo, podem causar danos aos 
seus dentes com contato prolongado. 
(BREWER. 2013, p. 64). 
COMIDA/BEBIDA PH 
SUCO DE LIMÃO/LIMA 1,8 – 2,4 
CAFÉ PRETO 2,4 – 3,2 
VINAGRE 2,4 – 3,4 
REFRIGERANTES DE COLA 2,7 
SUCO DE LARANJA 2,8 – 4,0 
MAÇÃ 2,9 – 3,5 
UVA 3,3 – 4,5 
TOMATE 3,7 – 4,7 
MAIONESE/MOLHO DE SALADA 3,8 – 4,0 
CHÁ PRETO 4,0 – 4,2 
 
A acidez dos alimentos é determinada pela concentra-
ção de íons de hidrogênio H ,+ 
 
 em 
1mol L .− Em Quí-
mica, o pH é definido por pH colog H log H .+ +   == −
   
Sabendo-se que uma amostra de certo alimento apre-
sentou concentração de íons de hidrogênio igual a 
10,005mol L− e considerando que colog 2 0,3,= − 
pode-se afirmar que, de acordo com a tabela ilustrativa, 
a amostra corresponde a 
 SUCO DE LIMÃO/LIMA. 
 CAFÉ PRETO. 
 MAÇÃ. 
 MAIONESE/MOLHO DE SALADA. 
 CHÁ PRETO. 
 
12. (INSPER-H21) Analisando o comportamento das 
vendas de determinado produto em diferentes cidades, 
durante um ano, um economista estimou que a quanti-
dade vendida desse produto em um mês (Q), em milha-
res de unidades, depende do seu preço (P), em reais, de 
acordo com a relação 
2PQ 1 4 (0,8) .= +  
No entanto, em Economia, é mais usual, nesse tipo de 
relação, escrever o preço P em função da quantidade Q. 
Dessa forma, isolando a variável P na relação fornecida 
acima, o economista obteve: 
 
 
 0,8
Q 1
P log .
4
−
= 
 0,8
Q 1
P log .
8
− 
=  
 
 
 0,8
Q 1
P 0,5 .
4
−
=  
 0,8
Q 1
P .
8
−
= 
 0,8
Q
P 0,5 log 1 .
4
 
=  − 
 
 
 
13. Durante três semanas um estudante acompanhou, 
pelos noticiários, a evolução mundial da pneumonia asi-
ática ou síndrome respiratória aguda severa (SARS). 
Por curiosidade, ele construiu o gráfico abaixo e estimou 
que o total (T) de casos confirmados até o enésimo dia 
de observação seria dado por: 
knT 100 3=  , em que k 
é uma constante positiva. 
 
Depois do 21º dia, o estudante não acompanhou mais 
os noticiários sobre os casos dessa doença. Pela esti-
mativa dele, qual seria o total de casos confirmados até 
o 28º dia? 
 3000 
 3600 
 4500 
 5600 
 8100 
 
14. (CESUPA-H21-23) Por ocasião de um acidente de 
trânsito, foi constatado que o nível de álcool no sangue 
de um dos motoristas era de 4 gramas por litro, ou seja, 
cinco vezes o limite permitido para dirigir com segu-
rança. Suponha que a diminuição do nível de álcool no 
sangue pode ser descrita pela lei N(t)= 4.(0,5)t, onde t é 
o tempo medido em horas a partir do momento em que 
o nível foi constatado. Desse modo, quanto tempo ainda 
faltava, a partir do momento do acidente, para que esse 
motorista pudesse dirigir com segurança. (use log 2 = 
0,3). 
 1 hora e 38 minutos. 
 2 horas. 
 2 horas e 12 minutos. 
 2 horas e 20 minutos. 
 2 horas e 50 minutos. 
15. (FGV) Economistas afirmam que a dívida externa de 
um determinado pais crescera segundo a lei y = 
40.(1,2)x, sendo “y” o valor da dívida em bilhões de dó-
lares e “x” o número de anos transcorridos após a divul-
gação dessa previsão. Em quanto tempo a dívida estará 
estimada em 90 bilhões de dólares? (log2=0,30 e 
log3=0,48)
 3,5 anos 
 4,5 anos 
 5,5 anos 
 6 anos 
 7,5anos 
 
 
16. (ENEM-H21) A escala e Magnitude de Momento 
(abreviada como MMS e adotada como MW) introduzida 
em 1979 por Thomas Haks e Hiroo Kanamori, substituiu 
a escala Richter para medir a magnitude de terremotos 
em termos de energia liberada. Menos conhecida pelo 
público, a MMS é, no entanto, a escala usada para esti-
mar as magnitudes de todos os grandes terremotos da 
atualidade. Assim como a escala Richter, a MMS é uma 
escala logarítmica. MW e M0 se relacionam pela fórmula: 
( )W 10 0
2
M 10,7 log M
3
= − + 
Onde M0 é o momento sísmico (usualmente estimado a 
partir dos registros de movimento da superfície, através 
dos sismogramas), cuja unidade é o dina . cm. O terre-
moto de Kobe, acontecido no dia 17 de janeiro de 1995, 
foi um dos terremotos que causaram maior impacto no 
Japão e na comunidade científica internacional. Teve 
magnitude MW = 7,3. 
U.S. GEOLOGICAL SURVEY. Historic Earthquakes. 
Disponível em: http//earthquale.usgs.gov. Acesso em: 1 maio 2010 (adaptado). 
Mostrando que é possível determinar a medida por meio 
de conhecimentos matemáticos, qual foi o momento sís-
mico M0 do terremoto de Kobe (em dina. cm)? 
 10– 5,10 
 10– 0,73 
 10 12,00 
 10 21, 65 
 10 27,00 
 
17. (H21-23) A onça-pintada, tam-
bém conhecida por jaguar ou ja-
guaretê, costuma ser encontrada 
em reservas florestais e matas 
cerradas, mas, atualmente, é um 
dos carnívoros brasileiros que 
corre perigo de extinção. Suponha 
que, em determinada região, a po-
pulação de onças-pintadas, P(t), 
daqui a t anos, será estimada pela 
função: 
𝑝(𝑡) = 60. (1 + 𝑒−0,05𝑡) 
 
Se mantiver esse decrescimento, daqui a quantos anos 
será atingido o ponto em que a extinção é inevitável, 
considerada pelos biólogos em cem indivíduos? 
Utilize: 𝑙𝑛 2 = 0,69; 𝑙𝑛 3 = 1,1. 
 
 7,2 9,2 11,2 
 8,2 10,2 
 
 
 
18. (H21) Uma estimativa da população de onças-pinta-
das que habitarão essa região daqui a vinte anos é apro-
ximadamente: (Utilize e = 2,7). 
 80 82 84 86 88 
 
19. (H21-23) O processo de aquisição de conhecimento 
e destreza tem sido estudado em várias perspectivas e 
com diferentes objetivos. As famosas curvas de apren-
dizado têm se mostrado ferramentas úteis no monitora-
mento do desempenho de uma nova tarefa, avaliando 
um progresso na medida em que algumas repetições 
são efetuadas. Essas curvas foram introduzidas por 
Wright em 1936, e, desde então, têm sido utilizadas para 
avaliação do tempo demandado para a conclusão de 
corridas de produção, estimação da redução de custos 
de produção e alocação de trabalhadores para tarefas 
com base em suas características de atuação ou habili-
dades, por exemplo. 
Considere que o número de artigos que um operário re-
cém-contratado é capaz de produzir diariamente, após 
n dias de treinamento é dado por 
0,175nP(n) 40 40 2−= −  . 
Determine quanto tempo é necessário para que a pro-
dução diária desse trabalhador seja pelo menos 25 arti-
gos por dia. (Use log 2 ≈0,30 e log 3 ≈0,48 ) 
 Aproximadamente 4 dias. 
 Aproximadamente 5 dias. 
 Aproximadamente 6 dias. 
 Aproximadamente 7 dias. 
 Aproximadamente 8 dias. 
 
20. (UERJ) Um lago usado para abastecer uma cidade 
foi contaminado após um acidente industrial, atingindo o 
nível de toxidez T0, correspondente a dez vezes o nível 
inicial. 
Leia as informações a seguir. 
- A vazão natural do lago permite que 50% de seu vo-
lume sejam renovados a cada dez dias. 
- O nível de toxidez T(x), após x dias do acidente, pode 
ser calculado por meio da seguinte equação: 
T(x) = T0  (0,5)0,1x 
Considere D o menor número de dias de suspensão do 
abastecimento de água, necessário para que a toxidez 
retorne ao nível inicial. Sendo log 2 = 0,3, o valor de D é 
igual a: 
 30 32 34 36 38 
 
21. (UFPA) A intensidade I de uma onda sonora, me-
dida em Watt por metro quadrado, possui uma faixa de 
valores muito grande. Por essa razão é conveniente o 
uso de logaritmos em seu cálculo. O nível sonoro N , 
medido em decibéis (dB), é definido por 
( ) 10.
 
=  
 o
I
N I og
I
, 
onde oI é a intensidade de referência padrão. O nível 
sonoro de uma sala de aula típica é 
1 1( ) 50=N I dB, en-
quanto o nível sonoro mais intenso que um ser humano 
pode suportar antes de sentir dor é 
2 2( ) 120=N I dB. A 
razão entre as intensidades sonoras 2I e 1I é: 
 107 106 104 108 105 
 
22. (UFPA-H21-23) As populações de duas culturas de 
bactérias têm seus respectivos crescimentos dados pe-
las expressões ( ) 600.3= tf t e 2( ) 400.2= tg t , nas quais 
t é o tempo, em meses, contado a partir do início das 
culturas. Após quanto tempo do início dessas culturas, 
suas populações serão iguais? 
(Dados: ℓ𝑜𝑔2 = 0,3 e ℓ𝑜𝑔3 = 0,48) 
 3 meses 
 2 meses e meio 
 2 meses 
 1 mês e meio
 1 mês 
 
23. (UEPA-H21-23) Pesquisas realizadas em certa ci-
dade indicam que o número de pessoas que morrem de 
doenças cardíacas vem aumentando em 20% ao ano. 
Se esse aumento porcentual for constante, o número de 
anos necessários para que dobre o número de pessoas 
que morrem dessa doença é: 
(Use: ℓ𝑜𝑔2= 0,3 e ℓ𝑜𝑔3 = 0,48.) 
 3 anos e 6 meses 
 3 anos e 9 meses 
 4 anos 
 4 anos e 6 meses 
 5 anos 
 
24. (H21-23) Uma empresa de transporte de cargas es-
tima em 20% ao ano a taxa de depreciação de cada ca-
minhão de sua frota. Ou seja, a cada ano, o valor de 
seus veículos se reduz em 20% em relação ao ano an-
terior. Pela política da empresa, quando o valor de um 
caminhão atinge 25% do valor pelo qual foi comprado, 
ele deve ser vendido, pois o custo de manutenção passa 
a ficar muito alto. Considerando a aproximação log 
2=0,30, os caminhões dessa empresa são vendidos em, 
aproximadamente: 
 3 anos após sua compra. 
 4 anos após sua compra. 
 6 anos após sua compra. 
 8 anos após sua compra. 
 10 anos após sua compra. 
 
 
25. (ENEM-H21-23) Em setembro de 1987, Goiânia foi 
palco do maior acidente radioativo ocorrido no Brasil, 
quando uma amostra de césio-137, removida de um 
aparelho de radioterapia abandonado, foi manipulada 
inadvertidamente por parte da população. A meia-vida 
de um material radioativo é o tempo necessário para que 
a massa desse material se reduza à metade. A meia-
vida do césio-137 é 30 anos e a quantidade restante de 
massa de um material radioativo, após t anos, é calcu-
lada pela expressão 
𝑀(𝑡) = 𝐴⋅ (2,7)𝑘𝑡 
onde A é a massa inicial e k é uma constante negativa. 
(considere 0,3 como aproximação para 𝑙𝑜𝑔10 2 ).Qual o 
tempo necessário, em anos, para que uma quantidade 
de massa do césio-137 se reduza a 10% da quantidade 
inicial? 
 27 36 50 54 100 
 
 
 
 
26. (ENEM) Um engenheiro projetou um automóvel cu-
jos vidros das portas dianteiras foram desenhados de 
forma que suas bordas superiores fossem representa-
das pela curva de equação y=log x, conforme a figura: 
 
A forma do vidro foi concebida de modo que o eixo x 
sempre divida ao meio a altura h do vidro e a base do 
vidro seja paralela ao eixo x. Obedecendo a essas con-
dições, o engenheiro determinou uma expressão que 
fornece a altura h do vidro em função da medida n de 
sua base, em metros. A expressão algébrica que deter-
mina a altura do vidro é 
 
   + + − +
   −
   
   
2 2n n 4 n n 4
log log
2 2
 
 
   
+ − −   
   
n n
log 1 log 1
2 2
 
 
   
+ + −   
   
n n
log 1 log 1
2 2
 
 
 + +
 
 
 
2n n 4
log
2
 
 
 + +
 
 
 
2n n 4
2log
2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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B 
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E 
10 
A 
11 
A 
12 
A 
13 
E 
14 
D 
15 
B 
16 
E 
17 
B 
18 
B 
19 
E 
20 
C 
21 
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