Matemática - Teórico_VOLUME3

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Caro aluno 
Ao elaborar o seu material inovador, completo e moderno, o Hexag considerou como principal diferencial sua exclusiva metodologia em pe-
ríodo integral, com aulas e Estudo Orientado (E.O.), e seu plantão de dúvidas personalizado. O material didático é composto por 6 cadernos 
de aula e 107 livros, totalizando uma coleção com 113 exemplares. O conteúdo dos livros é organizado por aulas temáticas. Cada assunto 
contém uma rica teoria que contempla, de forma objetiva e transversal, as reais necessidades dos alunos, dispensando qualquer tipo de 
material alternativo complementar. Para melhorar a aprendizagem, as aulas possuem seções específicas com determinadas finalidades. A 
seguir, apresentamos cada seção:
No decorrer das teorias apresentadas, oferecemos uma cuidadosa 
seleção de conteúdos multimídia para complementar o repertório 
do aluno, apresentada em boxes para facilitar a compreensão, com 
indicação de vídeos, sites, filmes, músicas, livros, etc. Tudo isso é en-
contrado em subcategorias que facilitam o aprofundamento nos 
temas estudados – há obras de arte, poemas, imagens, artigos e até 
sugestões de aplicativos que facilitam os estudos, com conteúdos 
essenciais para ampliar as habilidades de análise e reflexão crítica, 
em uma seleção realizada com finos critérios para apurar ainda mais 
o conhecimento do nosso aluno.
multimídia
Um dos grandes problemas do conhecimento acadêmico é o seu 
distanciamento da realidade cotidiana, o que dificulta a compreensão 
de determinados conceitos e impede o aprofundamento nos temas 
para além da superficial memorização de fórmulas ou regras. Para 
evitar bloqueios na aprendizagem dos conteúdos, foi desenvolvida 
a seção “Vivenciando“. Como o próprio nome já aponta, há uma 
preocupação em levar aos nossos alunos a clareza das relações entre 
aquilo que eles aprendem e aquilo com que eles têm contato em 
seu dia a dia.
vivenciando
Sabendo que o Enem tem o objetivo de avaliar o desempenho ao 
fim da escolaridade básica, organizamos essa seção para que o 
aluno conheça as diversas habilidades e competências abordadas 
na prova. Os livros da “Coleção Vestibulares de Medicina” contêm, 
a cada aula, algumas dessas habilidades. No compilado “Áreas de 
Conhecimento do Enem” há modelos de exercícios que não são 
apenas resolvidos, mas também analisados de maneira expositiva 
e descritos passo a passo à luz das habilidades estudadas no dia. 
Esse recurso constrói para o estudante um roteiro para ajudá-lo a 
apurar as questões na prática, a identificá-las na prova e a resolvê-
-las com tranquilidade.
áreas de conhecimento do Enem
Cada pessoa tem sua própria forma de aprendizado. Por isso, cria-
mos para os nossos alunos o máximo de recursos para orientá-los 
em suas trajetórias. Um deles é o ”Diagrama de Ideias”, para aque-
les que aprendem visualmente os conteúdos e processos por meio 
de esquemas cognitivos, mapas mentais e fluxogramas.
Além disso, esse compilado é um resumo de todo o conteúdo 
da aula. Por meio dele, pode-se fazer uma rápida consulta aos 
principais conteúdos ensinados no dia, o que facilita a organiza-
ção dos estudos e até a resolução dos exercícios.
diagrama de ideias
Atento às constantes mudanças dos grandes vestibulares, é ela-
borada, a cada aula e sempre que possível, uma seção que trata 
de interdisciplinaridade. As questões dos vestibulares atuais não 
exigem mais dos candidatos apenas o puro conhecimento dos 
conteúdos de cada área, de cada disciplina.
Atualmente há muitas perguntas interdisciplinares que abrangem 
conteúdos de diferentes áreas em uma mesma questão, como Bio-
logia e Química, História e Geografia, Biologia e Matemática, entre 
outras. Nesse espaço, o aluno inicia o contato com essa realidade 
por meio de explicações que relacionam a aula do dia com aulas 
de outras disciplinas e conteúdos de outros livros, sempre utilizan-
do temas da atualidade. Assim, o aluno consegue entender que 
cada disciplina não existe de forma isolada, mas faz parte de uma 
grande engrenagem no mundo em que ele vive.
conexão entre disciplinas
Herlan Fellini
De forma simples, resumida e dinâmica, essa seção foi desenvol-
vida para sinalizar os assuntos mais abordados no Enem e nos 
principais vestibulares voltados para o curso de Medicina em todo 
o território nacional.
incidência do tema nas principais provas
Todo o desenvolvimento dos conteúdos teóricos de cada coleção 
tem como principal objetivo apoiar o aluno na resolução das ques-
tões propostas. Os textos dos livros são de fácil compreensão, com-
pletos e organizados. Além disso, contam com imagens ilustrativas 
que complementam as explicações dadas em sala de aula. Qua-
dros, mapas e organogramas, em cores nítidas, também são usados 
e compõem um conjunto abrangente de informações para o aluno 
que vai se dedicar à rotina intensa de estudos.
teoria
Essa seção foi desenvolvida com foco nas disciplinas que fazem 
parte das Ciências da Natureza e da Matemática. Nos compilados, 
deparamos-nos com modelos de exercícios resolvidos e comenta-
dos, fazendo com que aquilo que pareça abstrato e de difícil com-
preensão torne-se mais acessível e de bom entendimento aos olhos 
do aluno. Por meio dessas resoluções, é possível rever, a qualquer 
momento, as explicações dadas em sala de aula.
aplicação do conteúdo
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SUMÁRIO
MATEMÁTICA
ÁLGEBRA
TRIGONOMETRIA E ARITMÉTICA
GEOMETRIAS PLANA E ESPACIAL
Aulas 17 e 18: Função polinomial do 2.º grau 6
Aulas 19 e 20: Equações, inequações e funções exponenciais 13
Aulas 21 e 22: Definição e propriedades dos logaritmos 20
Aulas 23 e 24: Equações, inequações e sistemas de equações logarítmicas 29
Aulas 25 e 26: Funções logarítmicas 37
Aulas 17 e 18: Juros simples e compostos 42
Aulas 19 e 20: Conceitos trigonométricos 47
Aulas 21 e 22: Relações fundamentais da trigonometria 68
Aulas 23 e 24: Transformações trigonométricas 72
Aulas 25 e 26: Equações trigonométricas 80
Aulas 17 e 18: Polígonos 86
Aulas 19 e 20: Áreas dos quadriláteros e razão de semelhanças para áreas 93
Aulas 21 e 22: Área do círculo, setor e segmento circular 100
Aulas 23 e 24: Poliedros e noções de geometria métrica de posição 104
Aulas 25 e 26: Prismas 113
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Competência 1 – Construir significados para os números naturais, inteiros, racionais e reais.
H1 Reconhecer, no contexto social, diferentes significados e representações dos números e operações – naturais,inteiros, racionais ou reais.
H2 Identificar padrões numéricos ou princípios de contagem.
H3 Resolver situação-problema envolvendo conhecimentos numéricos.
H4 Avaliar a razoabilidade de um resultado numérico na construção de argumentos sobre afirmações quantitativas.
H5 Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos numéricos.
Competência 2 – Utilizar o conhecimento geométrico para realizar a leitura e a representação da realidade e agir sobre ela.
H6 Interpretar a localização e a movimentação de pessoas/objetos no espaço tridimensional e sua representação no espaço bidimensional.
H7 Identificar características de figuras planas ou espaciais.
H8 Resolver situação-problema que envolva conhecimentos geométricos de espaço e forma.
H9 Utilizar conhecimentos geométricos de espaço e forma na seleção de argumentos propostos como solução de problemas do cotidiano.
Competência 3 – Construir noções de grandezas e medidas para a compreensão da realidade e a solução de problemas do cotidiano.
H10 Identificar relações entre grandezas e unidades de medida.
H11 Utilizar a noção de escalas na leitura de representação de situação do cotidiano.
H12 Resolver situação-problema que envolva medidas de grandezas.
H13 Avaliar o resultado de uma medição na construção de um argumento consistente.
H14 Avaliar proposta de intervenção na realidade utilizando conhecimentos geométricos relacionados a grandezas e medidas.
Competência 4 – Construir noções de variação de grandezas para a compreensão da realidade e a solução de problemas do cotidiano.
H15 Identificar a relação de dependência entre grandezas.
H16 Resolver situação-problema envolvendo a variação de grandezas, direta ou inversamente proporcionais.
H17 Analisar informações envolvendo a variação de grandezas como recurso para a construção de argumentação.
H18 Avaliar propostas de intervenção na realidade envolvendo variação de grandezas.
Competência 5 – Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técnico-científicas, usando representações 
algébricas.
H19 Identificar representações algébricas que expressem a relação entre grandezas.
H20 Interpretar gráfico cartesiano que represente relações entre grandezas.
H21 Resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos algébricos.
H22 Utilizar conhecimentos algébricos/geométricos como recurso para a construção de argumentação.
H23 Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos algébricos.
Competência 6 – Interpretar informações de natureza científica e social obtidas da leitura de gráficos e tabelas, realizando previsão de 
tendência, extrapolação, interpolação e interpretação.
H24 Utilizar informações expressas em gráficos ou tabelas para fazer inferências.
H25 Resolver problema com dados apresentados em tabelas ou gráficos.
H26 Analisar informações expressas em gráficos ou tabelas como recurso para a construção de argumentos.
Competência 7 – Compreender o caráter aleatório e não determinístico dos fenômenos naturais e sociais e utilizar instrumentos ade-
quados para medidas, determinação de amostras e cálculos de probabilidade para interpretar informações de variáveis apresentadas em 
uma distribuição estatística.
H27
Calcular medidas de tendência central ou de dispersão de um conjunto de dados expressos em uma tabela de frequências de dados agrupados 
(não em classes) ou em gráficos.
H28 Resolver situação-problema que envolva conhecimentos de estatística e probabilidade.
H29 Utilizar conhecimentos de estatística e probabilidade como recurso para a construção de argumentação.
H30 Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos de estatística e probabilidade.
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ÁLGEBRA: Incidência do tema nas principais provas
UFMG
Questões de logaritmos e exponenciais têm 
alta incidência na prova, portanto, deve-se 
saber relacionar todas as propriedades de 
logaritmos e exponenciais.
Em sua segunda fase, possui questões difíceis 
para todos os temas deste caderno. Funções 
exponenciais e logarítmicas possuem incidên-
cia menor que funções do 2º grau.
Função polinomial do 2º grau tem grande 
incidência, com questões médias e difíceis, 
portanto, deve-se saber as condições de 
existência de logaritmos.
Funções exponenciais e logarítmicas não 
possuem grande incidência em sua prova, 
porém, as propriedades e como trabalhá-las 
será cobrado.
A prova exigirá grande habilidade com 
logaritmos e exponenciais. Funções do 2º 
grau podem ser cobradas com interpretação 
de texto.
A prova exigirá firme análise das proprieda-
des de logaritmos e exponenciais, podendo 
ocorrer questões de funções nessas áreas.
Ocorre questões elevadas para todos os temas 
deste caderno, portanto, deve-se possuir gran-
de habilidade nas propriedades logarítmicas.
O Enem exigirá conceitos básicos de logaritmos 
e exponenciais em situações problemas, nos 
quais o raciocínio lógico matemático será explo-
rado. Questões de função do 2º grau ocorrem 
cada vez mais nessa prova.
Todos os temas deste caderno são importantes 
para a primeira e segunda fases, portanto, 
deve-se ter ampla habilidade em interpretação 
de gráficos polinomiais do 2º grau, exponenciais 
e logaritmos.
Oscila em relação ao grau de exigência para 
as questões de logaritmos e de exponenciais. 
Funções do 2º grau são muito bem exploradas 
nessa prova.
O processo seletivo exigirá grande conheci-
mento de funções do 2º grau.
A prova cobra habilidade em resolução de 
problemas do 2º grau junto com as proprieda-
des de logaritmos.
A Faculdade de Ciências Médicas de Minas 
Gerais por possuir uma quantidade de 
questões menor pode exigir diversas áreas da 
matemática dentro de uma questão. Saber dos 
os conceitos desse caderno é fundamental.
A prova possui questões dissertativas e 
objetivas com alto grau de dificuldade, 
portanto, deve-se saber resolver logaritmos e 
exponenciais.
A prova pode cobrar questões medianas e 
difíceis de funções em todos os temas deste 
caderno.
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 FUNÇÃO POLINOMIAL DE 2.º GRAU
COMPETÊNCIAS: 3, 4 e 5 HABILIDADES: 13, 15, 19, 20 e 21
AULAS 
17 E 18
1. ESTUDO DA FUNÇÃO 
POLINOMIAL DO 2.° GRAU
1.1. Definição
A função f: R é R dada por f(x) = ax2 + bx + c, com 
a, b e c reais e a ≠ 0, denomina-se função polinomial do 
2.° grau ou função quadrática. Os números representados 
por a, b e c são os coeficientes da função. Observe que se 
a = 0, tem-se uma função do 1.° grau.
Assim, são funções polinomiais do 2.° grau:
f(x) = x2 – 3x + 4 coeficientes: a = 1, b = – 3 e c = 4
f(x) = – x2 + 3 __ 
2
 x coeficientes: a = –1, b = 3 __ 
2
 e c = 0
Em geral, o domínio da função quadrática é ou um de 
seus subconjuntos. Entretanto, quando essa função está liga-
da a uma situação real, é preciso verificar o que representa 
a variável independente x para determinar o seu domínio.
Exemplo:
Considere que a função f é do 2.° grau, em que f(0) = 5, 
f(1) = 3 e f(–1) = 1. Escreva a lei de formação dessa função 
e calcule f(5).
Como a função f é do 2.° grau, pode-se escrever: f(x) = ax2 
+ bx + c, com a ≠ 0.
Usando os dados:
f(0) = 5 ä a · 02 + b · 0 + c = 5 ä c = 5
f(1) = 3 ä a · 12 + b · 1 + c = 3 ä a + b + 5 = 3 ä 
a + b = – 2 (I)
f(– 1) = 1 ä a · (– 1)2 + b · (– 1) + c = 1 ä a – b + 
5 = 1 ä a – b = – 4 (II)
Resolvendo o sistema formado por (I) e (II):
 { a + b = –2 a – b = –4 2a = –6 ä a = -3 
Substituindo em (I): – 3 + b = –2 ä b = 1.
Como a = – 3, b = 1 e c = 5, a lei de formação da função será 
f(x) = – 3x2 + x + 5 e f(5) = – 3 · (5)2 + 5 + 5 e f(5) = – 65
O gráfico de uma função polinomial do 2.° grau ou qua-
drática é uma curva aberta chamada parábola.
Pode-se destacar três importantes características do gráfico 
da função quadrática.
 concavidade;
 posição em relação ao eixo x;
 localização do seu vértice.
2. CONCAVIDADE
Pelos exemplos dados, é possível observar que, em algu-
mas parábolas, a abertura ou concavidade está voltada 
para cima, enquanto em outras está voltadapara baixo.
Observe:
Em f(x) = x2, temos a = 1 > 0.
[ Concavidade voltada para cima.
Em f(x) = –x2 + 2x + 3, temos a = –1 < 0
[ Concavidade voltada para baixo.
A concavidade de uma parábola que representa uma 
função quadrática f(x) = ax2 + bx + c do 2.° grau depende 
do sinal do coeficiente a:
7
3. ZEROS DE UMA 
FUNÇÃO QUADRÁTICA
Já foi visto que os zeros ou raízes de uma função f(x) são os 
valores do domínio para os quais f(x) = 0.
Dessa forma, os zeros ou raízes da função quadrática 
f(x) = ax2 + bx + c são as raízes da equação do 2.° grau 
ax2 + bx + c = 0.
Por exemplo, para determinar as raízes da função f(x) = x2 – 7x + 6, 
deve-se fazer:
f(x) = 0 ä x² – 7x + 6 = 0
Assim, os números 1 e 6 são os zeros da função f(x) = x2 – 7x + 6.
3.1. Interpretação geométrica das raízes
Os zeros ou raízes de uma função são os valores de x tais 
que f(x) = 0. No plano cartesiano, são os pontos do gráfico 
da função que possuem ordenada nula.
Geometricamente, os zeros ou raízes de uma função poli-
nomial do 2.° grau são as abscissas dos pontos em que a 
parábola intercepta o eixo x.
Exemplo:
 Determinar os zeros da função f(x) = x2 – 2x – 3.
Considere a equação do 2.° grau x2 – 2x – 3 = 0.
D = (–2)2 – 4 · 1 · (–3) = 16 > 0 é a função possui dois 
zeros reais diferentes
x = – (–2) ± 
√
___
 16 __________ 
2 ∙ 1
 = 2 ± 4 _____ 
2
 { x’ = 3 x’’ = –1 
Como a função possui dois zeros reais diferentes, a parábola 
intercepta o eixo x em dois pontos distintos: (–1, 0) e (3, 0).
3.2. Estudo do discriminante (D)
Sabe-se que o discriminante de uma equação de 2.º grau 
fornece informação sobre a quantidade de raízes reais dis-
tintas da equação:
 Se D > 0, a equação do segundo grau possui duas 
raízes reais distintas.
 Se D < 0, a equação do segundo grau não possui raíz-
es reais.
 Se D = 0, a equação do segundo grau possui duas 
raízes reais iguais.
Sendo D = b² – 4ac, em que a, b e c são os coeficientes de 
uma função de segundo grau f(x) = ax² + bx + c.
Como os pontos de intersecção do gráfico da função 
quadrática com o eixo das abscissas representam as raízes 
da função, o discriminante indica a posição da parábola em 
relação ao eixo x.
Se D > 0, a função possui duas raízes distintas, x1 e x2; 
portanto, intercepta o eixo x em dois pontos distintos:
Se D < 0, a função não possui raízes reais; portanto, não 
intercepta o eixo x:
Se D = 0, a função possui duas raízes reais iguais, x1 = x2; 
portanto, intercepta o eixo x em apenas um ponto, tangen-
ciando o eixo:
4. VÉRTICE DA PARÁBOLA
Para determinar as coordenadas do vértice da parábola 
que representa a função do 2.° grau f(x) = ax2 + bx + c, 
basta aplicar as fórmulas:
xv = – 
b __ 
2a
 e yv = – 
D __ 
4a
 
8
 Se a função possui uma raiz dupla, o seu gráfico corta o 
eixo x num único ponto que, evidentemente, será o vértice.
x = xv = – 
b __ 
2a
 
 Se a função não possui zeros reais, a parábola não cor-
ta o eixo x. Entretanto, mesmo nesse caso, continuam 
valendo as fórmulas que determinam o vértice da pa-
rábola. A demonstração desse fato pode ser realizada 
tomando-se dois pontos da parábola que sejam equi-
distantes do eixo de simetria.
Exemplo:
Determinar a e b de modo que o gráfico da 
função definida por y = ax2 + bx – 9 tenha o vértice no 
ponto (4, – 25).
Pelos dados do problema, xv = 4.
Como xv = – b/2a, tem-se: – 
b __ 
2a
 = 4 ä 
ä – b = 8a ä b = – 8a.
Substituindo na função dada, obtém-se:
y = ax2 + bx – 9 ä – 25 = a · 42 + (– 8a) · 4 – 9
Daí, 16a – 32a – 9 = –25 ä – 16a = – 16 ä
ä a = 1
Como b = – 8a ä b = – 8 · 1 ä b = – 8
a = 1 e b = – 8
4.1. Valor mínimo ou valor 
máximo da função quadrática
Pelos esboços dos gráficos das funções quadráticas, é pos-
sível perceber que, dependendo da posição da parábola 
(concavidade para cima ou para baixo), a função pode ter 
um valor mínimo ou um valor máximo, e que esses valores 
correspondem à ordenada do vértice da parábola.
Pelos esboços, pode-se observar que a função y = ax2 + bx + c 
apresenta um valor mínimo yv = – 
D __ 
4a
 , que é a ordenada do 
vértice V. Nesse caso, a abscissa do vértice V é denominada 
ponto de mínimo da função.
Nesse outro caso, pelos esboços, pode-se observar que 
a função y = ax2 + bx + c apresenta um valor máximo 
yv = – 
D __ 
4a
 , que é a ordenada do vértice V. Nesse caso, a 
abscissa do vértice V é denominada ponto de máximo da 
função.
 Se a > 0, y = – D __ 
4a
 é o valor mínimo da função.
 Se a < 0, y = – D __ 
4a
 é o valor máximo da função.
Exemplo:
A função f(x) = x2 – x – 6 admite valor máximo ou valor 
mínimo? Qual é esse valor?
f(x) = x2 – x – 6
Como a = 1 > 0, a função admite valor mínimo, que pode 
ser calculado:
D = b2 – 4ac = (– 1)2 – 4 · 1 · (– 6) = 1 + 24 = 25
y = – D __ 
4a
 = – 25 ____ 
4 · 1
 = – 25 ___ 
4
 
O valor mínimo da função é y = – 25 ___ 
4
 .
9
Crescimento e decrescimento de uma função quadrática
a > 0
f(x) é crescente para { x [ R | x > – b __ 2a } 
f(x) é decrescente para { x [ R | x < – b __ 2a } 
a < 0
f(x) é crescente para { x [ R | x < – b __ 2a } 
f(x) é decrescente para { x [ R | x > – b __ 2a }
4.2. Forma fatorada de uma 
função quadrática
Uma função de 2.º grau f(x) = ax² + bx + c pode ser escrita 
em função de suas raízes x1 e x2 da seguinte maneira:
f(x) = ax² + bx + c = a(x – x1)(x – x2)
Exemplo:
Encontre a lei de formação da função de 2.º grau represen-
tada no plano cartesiano a seguir:
A função apresenta forma f(x) = a(x – x1)(x – x2). Como as 
raízes são 1 e 3, tem-se:
f(x) = a(x – 1)(x – 3)
É possível observar a partir do gráfico que f(0) = –3, logo:
f(0) = a(0 – 1)(0 – 3) = –3
a(–1)( –3) = –3
3a = –3
a = –1.
Assim, a lei de formação da função é f(x) = (–1)(x – 1)(x – 3). 
Efetuando a multiplicação, tem-se:
f(x) = (–1)(x – 1)(x – 3) = –x² + 4x – 3
f(x) = –x² + 4x – 3
No dia a dia, há muitas situações definidas pelas funções do 2.º grau. Durante uma partida de futebol, por exemplo, 
quando um jogador faz um lançamento para um companheiro, observa-se que a trajetória descrita pela bola é uma 
parábola e a altura máxima atingida pela bola nada mais é do que o vértice da parábola. A antena parabólica tem a 
forma de parábola, originando o seu nome. Se vários furos forem feitos em um recipiente cheio de água, os pequenos 
jorros de água que sairão pelos furos descreverão parábolas. Além disso, a função do 2.º grau também está presente 
nas construções: é possível observar que os arcos da ponte Juscelino Kubitschek, situada em Brasília, têm a forma 
de parábolas.
VIVENCIANDO
10
 Aplicação do conteúdo
1. Considere o gráfico da função f definida por f(x) = 3x2 – px + q:
 
2 
y 
2 
x 
Determine a expressão de f(x).
Resolução:
Observe que o vértice mínimo é indicado por xv = 2. 
Logo, –b __ 
2a
 = 
–(–p)
 ____ 
2(3)
 = 
p
 __ 
6
 = 2 p = 12.
O valor onde o gráfico intercepta o eixo Y é dado por (0,2). 
Assim, q = 2. A equação, portanto, é dada pela expressão: 
f(x) = 3x2 – 12x + 2.
2. O custo de produção de um determinado artigo é dado 
por C(x) = 3x2 – 15x + 21. Se a venda de x unidades é 
dada por V(x) = 2x2 + x, para que o lucro L(x) = V(x) – C(x) 
seja máximo, quantas peças deverão ser vendidas?
A função do 2.º grau possui um papel importante na análise dos movimentos uniformemente variados (MUV) em 
Física, pois, em razão da aceleração, os corpos variam a velocidade e o espaço em função do tempo. A expressão que 
os relaciona é:
S = S0 + V0 t + 
1 __ 
2
 ∙ at², onde:
A: ACELERAÇÃO, S: ESPAÇO, V: VELOCIDADE E T: TEMPO.
Além disso, as funções do 2.º grau também possuem aplicações na Administração e Contabilidade relacionando as 
funções custo, receita e lucro; e na Engenharia Civil, presente em diversas construções.
CONEXÃO ENTRE DISCIPLINAS
Resolução:
Substituindo V(x) e C(x) na expressão do lucro, tem-se:
L(x) = 2x2 + x – (3x2 – 15x + 21) ä 
L(x) = 2x2 + x – 3x2 + 15x – 21 = – x2 + 16x – 21. 
A quantidademáxima é o valor da primeira coordenada 
do vértice:
Assim, serão vendidas 8 peças.
xv = – 
b ___ 
2a 
 = – 16 _____ 
2(–1)
 = – 16 ___ 
–2
 = 8
multimídia: sites
PhotoMath é um aplicativo que resolve prob-
lemas matemáticos diversos de uma maneira 
muito simples. O aplicativo funciona de for-
ma semelhante aos leitores de QR, ofere-
cendo a solução para o cálculo matemático 
em apenas alguns segundos. Para isso, basta 
enquadrar a equação desejada na tela. O 
aplicativo é uma boa opção para conferir se o 
seu raciocínio foi corretamente desenvolvido. 
PhotoMath
11
ÁREAS DE CONHECIMENTO DO ENEM
Habilidade
Dentro do terceiro eixo cognitivo do Enem, a habilidade 21 exige do aluno a capacidade de resolver uma situação 
proposta a partir de conhecimentos algébricos adquiridos.
Modelo
(Enem) A Igreja de São Francisco de Assis, obra arquitetônica modernista de Oscar Niemeyer, localizada na Lagoa da Pam-
pulha, em Belo Horizonte, possui abóbadas parabólicas. A seta na Figura 1 ilustra uma das abóbadas na entrada principal 
da capela. A Figura 2 fornece uma vista frontal dessa abóbada, com medidas hipotéticas para simplificar os cálculos.
Qual a medida da altura H, em metro, indicada na Figura 2?
a) 16/3
b) 31/5
c) 25/4
d) 25/3
e) 75/2
Resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos algébricos.21
Análise expositiva - Habilidade 21: O exercício exige que o aluno seja capaz de interpretar um problema do 
cotidiano e utilizar seus conhecimentos sobre equação do 2.º grau para a sua resolução.
Calculando:
Parábola:
Pontos (5,0) e (4,3)
f(x) = ax² + bx + c
b = 0 (parábola simétrica ao eixo y)
f(0) = c = H
 { 0 = a∙52 + H 3 = a∙42 + H { 0 = 25a + H -3=-16a - H -3 = 9a a = - 1 __ 3 H = 25 ___ 3 
Alternativa D
D
12
FUNÇÃO DO 2º GRAU
f(x) = ax2 + bx + c
CONCAVIDADE
RAÍZES
VÉRTICE DA 
PARÁBOLA
GRÁFICO
CORTA O 
EIXO X
a > 0
P/ CIMA
a < 0
P/ BAIXO
∆ < 0
2 PONTOS
∆ > 0
NÃO CORTA 
O EIXO X
∆ = 0
1 PONTO
X =
2a
-b ± ∆
PONTO 
MÁXIMO
a < 0 a > 0
PONTO 
MÍNIMO
xvértice yvértice
,
2a
-b
4a
-∆
∆ = b2 -4ac
∆ > 0: 2 RAÍZES REAIS E DISTINTAS
∆ = 0: 2 RAÍZES REAIS E IGUAIS
∆ < 0: NÃO POSSUI RAIZ REAL
 DIAGRAMA DE IDEIAS
13
 EQUAÇÕES, INEQUAÇÕES E 
FUNÇÕES EXPONENCIAIS
COMPETÊNCIAS: 1, 5 e 6 HABILIDADES:
3, 4, 5, 19, 20, 21, 
22, 23, 24, 25 e 26
AULAS 
19 E 20
1. EQUAÇÕES EXPONENCIAIS
Toda equação que contém incógnita no expoente é deno-
minada equação exponencial.
Exemplos:
2x = 8
3x+1 · 3x–2 = 27
32x–5 = 18
10 · 3x – 5 · 3x – 1 = 0
Para resolver uma equação exponencial, é preciso trans-
formá-la de modo a obter potências de mesma base no 
primeiro e no segundo membro da equação, utilizando as 
definições e propriedades da potenciação. Além disso, será 
usado o seguinte fato:
Se a > 0, a ≠ 1 e x é a incógnita da equação ax = ap, então 
x = p.
Exemplos:
 Resolva a equação 4x = 512.
Utilizando as propriedades das potências, o 1.° e o 2.° 
membros da equação devem ser transformados em potên-
cias de mesma base:
 
 
 4
x = (22)x = 22x 
512 = 29 (fatoração)
 } ä 22x = 29 ä 2x = 9 ä x = 9 __ 2 
O conjunto solução é S = { 9 __ 2 } .
 Resolva a equação 0,5x+1 = 82x.
Reescrevendo 0,5 como um quociente, tem-se 0,5 = 1 __ 
2
 . Uti-
lizando as propriedades de potenciação, tem-se que 1 __ 
2
 = 2–1.
Agora que ambos os termos da equação são potências de 
mesma base, tem-se:
0,5x + 1 = 82x à 2–x – 1 = 26x à –x – 1 = 6x à 
7x = –1 à x = – 1 __ 
7
 
Assim, o conjunto solução é S = { – 1 __ 7 } .
1.1. Resolução de equações 
exponenciais com o uso de artifícios
Exemplo:
Resolva a equação 4x – 5 · 2x + 4 = 0.
Nesse caso, não é possível transformar os termos para uma 
mesma base de modo a obter uma equação do tipo ax = ap 
como visto anteriormente.
Utilizando as propriedades da potenciação, será realizada 
uma transformação na equação dada:
4x – 5 · 2x + 4 = 0 ä (22)x – 5 · 2x + 4 = 0 ä 
ä (2x)2 – 5 · 2x + 4 = 0
Fazendo 2x = y, tem-se a equação do 2.° grau em y:
y2 – 5y + 4 = 0
Resolvendo a equação, tem-se: y = 5 ± 3 _____ 
2
 ä { y’ = 4 y” = 1 
Por fim, voltando à igualdade 2x = y, obtém-se:
 { 2x = 4 ä 2x = 22 [ x = 2 2x = 1 ä 2x = 20 [ x = 0 
S = {0,2}.
2. FUNÇÃO EXPONENCIAL
A função f : R é R dada por f(x) = ax (com a > 0 e a ≠ 1) 
é denominada função exponencial de base a.
Por que a base deve ser positiva e diferente de 1?
Observe:
 Se a < 0, então f(x) = ax não estaria definida para todo 
x real.
Por exemplo, supondo a = –2 e x = 1 __ 
2
 , tem-se: f ( 1 __ 2 ) = (–2)1/2 
 f ( 1 __ 2 ) = √
__
 -2 , que não é um número real.
 Se a = 1, então f(x) = ax é uma função constante: f(x) = 1x
f(x) = 1, para todo x real.
14
2.1. Função exponencial 
de base a com a > 1
 Domínio R; contradomínio R+.
 Contínua em todo o domínio.
 A função é estritamente crescente em R e, portanto, 
injetiva.
 Não possui zeros. O gráfico intercepta o eixo das orde-
nadas no ponto (0,1).
 Admite a assíntota horizontal y = 0 quando x é −Ü.
 Não possui assíntotas verticais nem oblíquas.
2.2. Função exponencial de 
base a com 0 < a < 1
 Domínio R; contradomínio R+.
 Contínua em todo o domínio.
 A função é estritamente decrescente em R e, portanto, 
injetiva.
 Não possui zeros. O gráfico intercepta o eixo das orde-
nadas no ponto (0,1).
 Admite a assíntota horizontal y = 0 quando x é + Ü.
 Não possui assíntotas verticais nem oblíquas.
Existem fenômenos que podem ser descritos por meio de 
uma função do tipo exponencial, como os juros do dinheiro 
acumulado, o crescimento ou decrescimento de populações 
animais ou vegetais e a desintegração radioativa.
 Aplicação do conteúdo
1. Uma cultura, inicialmente com 100 bactérias, repro-
duz-se em condições ideais. Suponha que, por divisão 
celular, cada bactéria dessa cultura dê origem a duas 
outras bactérias idênticas por hora.
a) Qual a população dessa cultu-
ra após 3 horas do instante inicial?
b) Depois de quantas horas a população des-
sa cultura será de 51.200 bactérias?
Resolução:
a) No instante inicial, tem-se 100 bactérias.
Uma hora depois, tem-se: 100 · 2 = 200 bactérias
Decorrida mais uma hora (depois de 2 horas do instante 
inicial), a população será de (100 · 22) = 100 ∙ 22 = 400 
bactérias.
Decorrida outra uma hora (depois de 3 horas do instante 
inicial), a população será de (100 · 22) · 2 = 100 ∙ 23 = 800 
bactérias. E assim por diante.
Depois de 3 horas, tem-se 800 bactérias.
Exponencial é um tema com muitas aplicações interdisciplinares. Em Química e Física, podem ser estudados decai-
mentos e meias-vidas de elementos radioativos. Em Biologia, é possível estudar o crescimento de uma cultura de 
bactérias e a decomposição de certas substâncias.
CONEXÃO ENTRE DISCIPLINAS
15
b) Depois de n horas, haverá uma população P dada 
por P = 100 · 2n.
De acordo com os dados do problema, tem-se: 
51200 = 100 · 2n ä 2n = 51200 _____ 
100
 ä 2n = 512.
Resolvendo a equação, tem-se: 2n = 29 ä n = 9.
Assim, a população da cultura será de 51.200 bacté-
rias depois de 9 horas.
2. Seja f(x) = 4x – 6 · 2x + 8.
a) Calcule f(0). 
b) Encontre todos os valores re-
ais de x para os quais f(x) = 168. 
Resolução:
a) f(0) = 40 - 6 · 20 + 8 = 3.
b) 4x – 6 · 2x + 8 = 168 4x – 6 · 2x – 160 = 0 
(2x)2 – 6 · 2x – 160 = 0.
Resolvendo a equação, tem-se:
2x = 16 x = 4 ou 2x = –10 (não convém).
Assim, x = 4. 
3. Se m __ n é a fração irredutível que é solução da equação 
exponencial 9x – 9x-1 = 1944, calcule m – n .
Resolução:
Resolvendo a equação, tem-se:
9x – 9x-1 = 1944.
Reescrevendo a equação, tem-se:
9x – 9
x
 __ 
9
 = 1944.
Colocando 9x em evidência:
9x ( 1 – 1 __ 9 ) = 1944 9x ( 8 __ 9 ) = 1944 
9x = 1944 ∙ 9 _______ 
8
 = 9x = 2187 (32)x = 37
32x = 37 2x = 7 x = 7/2.
Assim, tem-se: m – n = 7 – 2 = 5.
4. Em um experimento no laboratório de pesquisa, ob-
servou-se que o número de bactérias deuma determi-
nada cultura, sob certas condições, evolui conforme a 
função B(t) = 10 · 3t - 1, em que B(t) expressa a quan-
tidade de bactérias e t representa o tempo em horas. 
Qual o tempo decorrido, em horas, para atingir uma cul-
tura de 810 bactérias depois do início do experimento? 
Resolução:
Se B(t) = 810 , então é possível escrever:
B(t) = 810 = 10 · 3t-1 
3t-1 = 81 3t-1 = 34 t –1 = 4 t = 5. 
 5 horas
5. As matas ciliares desempenham importante papel na 
manutenção das nascentes e na estabilidade dos solos 
nas áreas marginais. Com o desenvolvimento do agro-
negócio e o crescimento das cidades, as matas ciliares 
vêm sendo destruídas. Um dos métodos usados para a 
sua recuperação é o plantio de mudas.
O gráfico mostra o número de mudas N(t) = ba t (0 < a 
1 e b > 0) a serem plantadas no tempo t (em anos) numa 
determinada região. 
 
De acordo com os dados, qual o número de mudas a serem 
plantadas, quando t = 2 anos? 
a) 2.137.
b) 2.150.
c) 2.250.
d) 2.437.
e) 2.500.
Resolução:
Considerando os pontos (1, 1500) e (3, 3375) do gráfico, 
tem-se o seguinte sistema:
 { 1500 = b · a1 (I) 3375 = b · a3 (II) 
Fazendo (II) dividido por (I), tem-se:
a2 = 2,25 a = 1,5 e b = 1000
Assim, N(t) = 1000 · (1,5)t N(2) = 1000 · (1,5)2 = 2250 .
Alternativa C
3. INEQUAÇÕES EXPONENCIAIS
Com base no crescimento e no decrescimento da função 
f(x) = ax, com a [ R*+ – {1}, pode-se comparar quaisquer 
dois de seus expoentes.
16
Usando essas relações, e lembrando que ax1 = ax2 ä x1 = x2, é 
possível resolver algumas inequações exponenciais.
Para satisfazer a condição f(x) ≥ 0, deve-se ter x ≤ –1 ou x ≥ 4.
S = {x [ R | x ≤ –1 ou x ≥ 4}.
 Resolva a inequação ( 1 __ 3 ) 
3x –1
 < ( 1 __ 3 ) 
x+5
.
Como a base ( 1 __ 3 ) está compreendida entre 0 e 1, tem-se:
 ( 1 __ 3 ) 
3x –1
 < ( 1 __ 3 ) 
x+5
 ä 3x – 1 > x + 5 
(O sentido da desigualdade se inverte.)
2x > 6
x > 3
S = {x [ R | x > 3}.
 Aplicação do conteúdo
1. Resolver as inequações exponenciais (em ℝ):
a) 2x < 32. 
b) ( 1 __ 9 ) x 243. 
c) ( √
__
 2 ) x > 1 ____ 
 
3
 √
___
 16 
 .
d) 0,16x > 5 √
______
 15,625 .
e) 3t ≤ 9 
2
 
__
 t .
f) 2
-x
 _______ 
3x
2 - x – 1
 0.
Resolução:
Aplicando as propriedades das potências e utilizando al-
guns artifícios algébricos, tem-se:
a) 2x < 32 2x < 25 (base > 1) x < 5. 
b) ( 1 __ 9 ) x 243 (3-2)x 35 (base > 1) 
 –2x 5 2x –5 x – 5 __ 
2
 .
c) ( √
__
 2 ) x > 1 ____ 
 
3
 √
___
 16 
 (21/2)x > 1 ___ 
 
3
 √
__
 24 
 2x/2 > 
2-4/3 (base > 1) x __ 
2
 > – 4 __ 
3
 x > – 8 __ 
3
 .
d) Utilizando a representação decimal na base 
10 e decompondo os números, tem-se:
0,16x > 5 √
______
 15,625 (24 ∙ 10-2)x > 5 √
______
 56 ∙10-3 
24x ∙ 10-2x > (56 ∙ 10-3)1/5 24x ∙ 10-2x > 56/5 ∙ 10-3/5
 Observando que 10 = 2 · 5, desmembra-se cada termo 
10 dessa forma e reagrupam-se as potências:
24x ∙ (2 ∙ 5)-2x > 5 6/5 ∙ (2 ∙ 5)-3/5 
24x ∙ 2-2x ∙ 5-2x > 56/5 ∙ 2–3/5 ∙ 5-3/5 
24x ∙ 2-2x ∙ 23/5 > 52x ∙ 56/5 ∙ 5-3/5
Crescimento das Funções Exponenciais
FONTE: YOUTUBE
multimídia: vídeo
Exemplos:
 Resolva a inequação ( dXX 5 ) x2 – 3x ≥ ( dXX 5 ) 4.
Como a base dXX 5 é maior que 1, tem-se:
 ( dXX 5 ) x2 – 3x ≥ ( dXX 5 ) 4 à x2 – 3x ≥ 4 
(O sentido da desigualdade se conserva.)
x2 – 3x – 4 ≥ 0 é inequação do 2.º grau.
Cálculo das raízes da função f(x) = x2 – 3x – 4 :
x2 – 3x – 4 = 0 ä 3 ± 5 _____ 
2
 { x’ = 4 x” = –1 
Sinal da função f:
17
multimídia: sites
pt.khanacademy.org/math/algebra/intro-
duction-to-exponential-functions/expo-
nential-vs-linear-growth/v/exponential-
-growth-functions
No cotidiano, as funções exponenciais são aplicadas nos juros compostos. Observe uma aplicação rotineira:
1. (UPE-SSA) Mariana fez um empréstimo à base de juros compostos, num banco que cobra 10% ao mês. Ao final de 
180 dias, o montante a ser pago por ela será de R$ 9.000,00. Com o dinheiro do empréstimo, Mariana realizou alguns 
pagamentos, chegando a sua casa com R$ 1.250,00. Quanto ela gastou, aproximadamente, com os pagamentos?
Adote (1,1)6 = 1,8 
a) R$ 1.333,00 d) R$ 3.750,00
b) R$ 2.755,00 e) R$ 4.500,00
c) R$ 3.260,00
VIVENCIANDO
Note que os sinais dos expoentes mudam ao serem tro-
cados os membros, pois os termos são divididos do lado 
oposto, e o sinal do expoente muda. Aplicando as proprie-
dades de potências, tem-se:
 2
4x ∙ 2-2x ∙ 23/5 ____________________ 
52x ∙ 56/5 ∙ 5-3/5
 > 1 2
2x + 3 __ 5 _____ 
52x + 
3
 
__
 5 
 > 1 ( 2 __ 5 ) 
2x +
 
3
 
__
 
5
 > ( 2 __ 5 ) 
0
 (base < 1) 2x + 3 __ 
5
 < 0 x < – 3 ___ 
10
 . 
e) 3t ≤ 9 2/t 3t ≤ (32)2/t 3t 34/t (base > 1) 
t 4 __ 
t
 t – 4 __ 
t
 0 t
2 – 4 _____ 
t
 0.
Observando os intervalos, verifica-se que “t” não pode ser 
nulo devido ao denominador, e o quociente assume valores 
negativos em ]–∞ –2] ]0,2].
–2 0 2
t2 – 4 + – – +
t – – + +
t2 – 4/t – + – +
S = { t | t ≤ –2 ou 0 < t ≤ 2} 
f) 2
-x
 ______ 
3x2- x – 1
 ≤ 0. 
Note que o quociente não se anula, pois o numerador 
é maior do que zero. Além disso, é positivo, o que 
significa que o quociente será negativo somente se o 
denominador também o for. Tem-se:
 2
-x
 ______ 
3x2-x – 1
 ≤ 0 3x2 - x – 1 < 0 3x2 - x < 1 
3x2 - x < 30 (base > 1) x2 – x < 0 x(x – 1) < 0. 
O produto será negativo entre as raízes 0 e 1. Ou seja, t 
 ]0,1[.
2. Depois de um estudo em uma colmeia de abelhas, 
verificou-se que, no instante t = 0, o número de abe-
lhas era 1.000 e que o crescimento populacional da 
colmeia é dado pela função f, na qual f é definida por 
f(t) = 1000 ∙ 2 
2t
 
__
 3 , em que t é o tempo decorrido em dias. 
Supondo que não haja mortes na colmeia, em quantos 
dias no mínimo essa colmeia atingirá uma população 
de 64.000 abelhas? 
Resolução:
Deve-se calcular o menor valor de t para o qual se tem 
f(t) 64000. Assim:
1000 ∙ 2 
2t
 
__
 3 64000 2 
2t
 
__
 3 26 t 9.
18
ÁREAS DE CONHECIMENTO DO ENEM
Habilidade
Dentro do terceiro eixo cognitivo do Enem, a Habilidade 21 exige do aluno a capacidade de resolver uma situação 
proposta a partir de conhecimentos algébricos adquiridos.
Modelo
(Enem) A população mundial está ficando mais velha, os índices de natalidade diminuíram e a expectativa de vida 
aumentou. No gráfico seguinte, são apresentados dados obtidos por pesquisa realizada pela Organização das Nações 
Unidas (ONU), a respeito da quantidade de pessoas com 60 anos ou mais em todo o mundo. Os números da coluna da 
direita representam as faixas percentuais. Por exemplo, em 1950, havia 95 milhões de pessoas com 60 anos ou mais 
nos países desenvolvidos, número entre 10% e 15% da população total nos países desenvolvidos.
Países em
desenvolvimento
Suponha que o modelo exponencial y = 363.e0,03x , em que x = 0 corresponde ao ano 2000, x = 1 corresponde ao ano 
2001, e assim sucessivamente, e que y é a população em milhões de habitantes no ano x, seja usado para estimar essa 
população com 60 anos ou mais de idade nos países em desenvolvimento entre 2010 e 2050. Desse modo, conside-
rando e 0,3 = 1,35, estima-se que a população com 60 anos ou mais estará, em 2030, entre:
a) 490 e 510 milhões. c) 780 e 800 milhões. e) 870 e 910 milhões.
b) 550 e 620 milhões. d) 810 e 860 milhões.
Resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos algébricos.21
Resolução:
Sendo 180 dias correspondentes a 6 meses, considerando como sendo x o valor que Maria-
na pegou emprestado e y o valor gasto com os pagamentos, pode-se escrever:
M = C(1+i)t
M = 9000,
C = x,
i = 0,1,
t = 6,
9000 = x ∙ (1,1)6 x = 5000
x – y = 1250 5000 – y = 1250 y = 3750 reais
Alternativa D
19
Análise expositiva - Habilidade 7: O exercício exige que o aluno seja capaz de interpretar um problema 
do cotidiano e utilizar seus conhecimentos paramodelar e resolver problemas a partir da aplicação de 
expressões algébricas. 
y = 363∙e0,03∙30 y = 363∙e0,9 y = 363(e0,3)3 y = 363(1,35)3 = 893
Assim, está entre 870 e 910.
Alternativa E
E
DECOMPOR AS 
POTÊNCIAS EM 
BASES IGUAIS
ATENÇÃO! 
INVERTE 
O SINAL
EQUAÇÕES 
EXPONENCIAIS
ax = aY X = Y
F(x) = ax
a > 0 e a ≠ 1
FUNÇÃO 
EXPONENCIAL
GRÁFICO
ASSÍNTOTA
HORIZONTAL
CRESCENTE
(a > 1)
DECRESCENTE
(0 < a < 1)
INEQUAÇÕES 
EXPONENCIAIS
SE a > 1
aX > aY
X > Y
MESMA BASE
IGUALA OS 
EXPONENTES
SE 0 < a < 1
aX > aY
X < Y
 DIAGRAMA DE IDEIAS
20
 DEFINIÇÃO E PROPRIEDADES 
DOS LOGARITMOS
COMPETÊNCIAS: 1, 3 e 5 HABILIDADES:
1, 3, 4, 10, 11, 12, 13 
e 21
AULAS 
21 E 22
1. O QUE SÃO LOGARITMOS?
Todo número positivo pode ser escrito como uma potência 
de base 10 ou como uma aproximação dessa potência.
Para muitos números, isso pode ser feito com facilidade. 
Observe alguns exemplos:
 1 = 100 0,1 = 10-1
 10 = 101 0,01 = 10–2
 100 = 102 0,001 = 10–3
 1000 = 103 0,0001 = 10–4
 10000 = 104 0,00001 = 10–5
Contudo, na maioria dos casos, torna-se difícil escrever um 
número como potência de base 10. Por exemplo, como os 
expoentes aproximados, por falta, até a 3.ª casa decimal, 
tem-se:
2 = 100,301
3 = 100,477
7 = 100,845
Dessa forma, o número 0,301 é denominado logaritmo de 
2 na base 10.
Indica-se: log102 = 0,301, ou seja, 2 = 10
0,301.
O número 0,778 é denominado logaritmo de 6 na base 10.
Indica-se: log106 = 0,778, ou seja, 6 = 10
0,778.
No entanto, os logaritmos podem ser escritos em qualquer 
base positiva diferente de 1.
Veja:
 log28 = 3, porque 2
3 = 8
 log7 2 = 0,356, porque 2 = 7
0,356
 log5 125 = 3, porque 125 = 5
3
 log8 47 = 1,852, porque 47 = 8
1,852
Afirma-se que o logaritmo de um número positivo b 
(chamado logaritmando), na base a, positiva e diferente de 
1, é o expoente x ao qual se deve elevar a para se obter b.
loga b = x b = a
x, com b > 0, a > 0 e a ≠ 1
Se a base do logaritmo for 10, costuma-se omiti-la na sua 
representação.
log10 b = log b (log é logaritmo decimal)
O conjunto dos logaritmos na base 10 de todos os númer-
os reais positivos é denominado sistema de logaritmos 
decimais.
Há, ainda, o sistema de logaritmos neperianos, no 
qual a base desses logaritmos é o número irracional 
e = 2,71828...
Esse sistema também é conhecido como sistema de loga-
ritmos naturais e tem grande aplicação no estudo de diver-
sos fenômenos da natureza.
loge b = In b (In é logaritmo natural)
1.1. O número e
Entre tantos números fascinantes, existe o número e, base 
dos logaritmos neperianos, também chamados de logarit-
mos naturais.
Quem o designou foi o matemático suíço Leonhard Euler 
(1707-1783), que provou ser esse número o limite de 
( 1 + 1 __ x ) 
x
 quando x cresce infinitamente.
Por meio de um artifício, o valor aproximado de e (com 
9 casas decimais!) pode ser memorizado facilmente: 
e = 2,718281828... Mas lembre-se: não se trata de uma 
dízima periódica!
Exemplos:
Calcule:
a) log6 36
log6 36 = x ä 36 = 6
x ä 6² = 6x ä x = 2
log6 36 = 2
b) log10 0,01
log10 0,01 = x ä 0,01 = 10
x ä 10– 2 = 10x ä 
ä x = – 2
log10 0,01 = –2
21
c) log1/4 2 
dXX 2 = x
 ( 1 __ 4 )
 x = 2 √__ 2 (2-2) x = 23/2 
–2x = 3 __ 
2
 x = – 3 __ 
4
 
Calcule log 1,4. Use 2 = 100,301 e 7 = 100,845.
Usando a definição de logaritmo, tem-se: 
log1,4 = x ä 1,4 = 10x.
O logaritmo de 1,4 é o expoente x ao qual se deve elevar 
10 para obter 1,4.
Resolvendo a equação exponencial, tem-se:
1,4 = 10x ä 14 ___ 
10
 = 10x
 2 · 7 ____ 
10
 = 10x ä 10
0,301 · 100,845 ___________ 
101
 = 10x
100,301 + 0,845 – 1 = 10x ä 100,146 = 10x ä x = 0,146
log1,4 = 0,146
1.2. Condição de existência 
de um logaritmo
Considere os logaritmos:
log2 4 = x ä 4 = 2
x ä 22 = 2x [ x = 2
log10 0,1 = x ä 0,1 = 10
x ä 
ä 10–1 = 10x [ x = –1
Observe que não existe o logaritmo x quando o logaritman-
do é negativo, ou quando a base é negativa ou igual a 1.
Para logab existir, deve ocorrer:
 Logaritmando positivos: b > 0
 Base positiva e diferente de 1: a > 0 e a ≠ 1
Exemplo:
Para quais valores de x existe log3 (x – 5)?
Para que o logaritmo exista, o logaritmando deve ser posi-
tivo, e a base deve ser positiva e diferente de 1.
Como a base é 3 (positiva e diferente de 1), deve-se impor 
apenas a condição para o logaritmando.
Assim: x – 5 > 0 ä x > 5
log3 (x – 5) existe para todo x real, tal que x > 5.
1.3. Consequências da definição
1. O logaritmo de 1 em qualquer base é igual a zero:
loga 1 = 0, pois a
0 = 1
2. O logaritmo da própria base é igual a 1:
loga a = 1, pois a
1 = a
3. O logaritmo de uma potência da base é igual ao expoente:
loga a
m = m, pois loga a
m = p à ap = am
Portanto, p = m, então, loga a
m = m.
4. O logaritmo de b na base a é o expoente ao qual deve-se 
elevar a para obter b, assim:
alog b 
 
 a = b, pois ax = b à x = logab
Substituindo x por logab em a
x = b, resulta alog b 
 
 a = b.
Exemplos:
Que número natural log10 (log10 10) representa?
Quando há um problema com uma incógnita no expoente, a ferramenta dos logaritmos é utilizada para se chegar 
a uma solução. É frequente o uso de escalas logarítmicas, como nos problemas da física de acústica que se utilizam 
da medida bel ou decibel (unidade que está em escala logarítmica) e nos problemas da geografia na medição da 
magnitude de um sismo. A famosa escala Richter também está em escala logarítmica. As questões de química, na 
medição de pH e de pOH, também estão em escala cologarítmica.
CONEXÃO ENTRE DISCIPLINAS
22
Como log10 10 = 1, obtém-se: 
log10 (log10 10) = log10 1 = 0
log10 (log10 10) = 0
Determine o valor da expressão 
log7 7
3 + log9 1
6 + 2 log2
5 
.
Calculando o valor de cada uma das parcelas, resulta:
log7 7
3 = 3
log9 1
6 = log9 1 = 0
2 log2
5 
 = 5
log7 7
3 + log9 1
6 + 2 log2
5 
 = 3 + 0 + 5 = 8
O valor da expressão é 8.
Aplicando a propriedade do logaritmo de um produto, tem-se:
log(2 · 2 · 3) = log2 + log 2 + log3
Substituindo os valores fornecidos, tem-se:
log(12) = a + a + b = 2a + b
2. Resolva a equação log2 (x + 2) + log2 (x – 2) = 5.
As condições de existência são: x + 2 > 0 e 
x – 2 > 0, portanto x > – 2 e x > 2
Então: x > 2.
Usando a propriedade do logaritmo de um produto, 
transforma-se a soma dos dois logaritmos no logaritmo 
do produto.
log2 (x + 2) + log2 (x – 2) = 5 log2 (x + 2)(x – 2) = 5
Pela definição de logaritmo, tem-se: 
(x + 2)(x – 2) = 25 x2 – 4 = 32
x2 = 36 x = ± 6 
Somente o valor 6 satisfaz as condições de existência. 
Logo, S = {6}.
Se ocorrer a substituição 
x = -6 em log2(x + 2)(x – 2) = 5, obtém-se: 
log2[(–4)(–8)] = 5 log2(32) = 5, o que é verdadeiro.
Então por que x = – 6 não é solução do problema? Porque 
a equação é log2 (x + 2) + log2 (x – 2) = 5, 
e não log2(x + 2)(x – 2) = 5. 
Apesar de a segunda equação ser consequência da 
primeira, aplicar essa propriedade do logaritmo do 
produto (ou qualquer outra propriedade) só é per-
mitido se a condição de existência for satisfeita.
3. SEGUNDA PROPRIEDADE: 
LOGARITMO DE UM QUOCIENTE
O logaritmo de um quociente é igual ao logaritmo do di-
videndo menos o logaritmo do divisor tomadas na mesma 
base, ou seja:
logb 
a __ c = logb a – logb c,com a > 0, c > 0, b > 0 e b Þ 1
Exemplo:
1. Sabendo que log2 = 0,301 e log3 = 0,477, 
Logaritmos
FONTE: YOUTUBE
multimídia: vídeo
2. PRIMEIRA PROPRIEDADE: 
LOGARITMO DE UM PRODUTO
O logaritmo de um produto é igual à soma dos logaritmos 
dos fatores, tomados na mesma base, ou seja:
logb (a · c) = logb a + logb c, com a > 0, c > 0, b > 0 e 
b Þ 1
Exemplos:
1. Se log 2 = a e log 3 = b, calcule log 12 em função de 
a e b.
Fatorando 12, segue que 12 = 2 · 2 · 3, portanto:
log(12) = log(2 · 2 · 3)
23
multimídia: sites
pt.khanacademy.org/math/algebra2/exponential-
-and-logarithmic-functions/introduction-to
-logarithms/v/logarithms
calcule:
a) log 6
log 6 = log(2 · 3) = log2 + log3 
log 6 = 0,301 + 0,477 = 0,778 
log 6 = 0,778
b) log5
log 5 = log 10 ___ 
2
 = log10 – log2 = 1 – 0,301 = 0,699 
log 5 = 0,699
c) log 2,5
log 2,5 = log 25 ___ 
10
 = log 5 __ 
2
 = log5 – log2 
log 2,5 = 0,699 – 0,301 = 0,398 
log 2,5 = 0,398
e aplicando o logaritmo de base a em ambos os membros 
da equação, tem-se:
loga x = logaa
logab
loga x = logab · logaa
logax = logab
Portanto, x = b; logo:
alogab = b
5. USANDO AS PROPRIEDADES 
DOS LOGARITMOS NA 
RESOLUÇÃO DE SISTEMAS
Exemplo:
1. Resolva o sistema: 
x + y = 110
log x + log y = 3
As condições de existência são x > 0 e y > 0.
Aplicando a propriedade do logaritmo de um produto na 
2.ª equação, obtém-se:
log x + log y = 3 log (x · y) = 3
Usando a definição de logaritmo, vem: 
log(x · y) = 3 xy = 103
xy = 1000
Tem-se, então, o sistema equivalente: 
x + y = 110 (I)
xy = 1000 (II)
De (I), vem: x = 110 – y (III)
Substituindo (III) em (II), resulta: 
(110 – y) y = 1000
y2 – 110y + 1000 = 0
y9 = 100
y0 = 10
Substituindo os valores de y em (III), obtém-se:
y = 100 x = 110 – 100 ou
y = 10 x = 110 – 10
x = 10 x = 100
Como esses valores satisfazem as condições de existência, 
tem-se: x = 10 e y = 100 ou x = 100 e y = 10
S = {(10, 100), (100, 10)}
4. TERCEIRA PROPRIEDADE: 
LOGARITMO DE UMA POTÊNCIA
O logaritmo de uma potência é igual ao produto do expo-
ente pelo logaritmo da base da potência, ou seja:
logb a
n = n · logb a, com a > 0, b > 0, b Þ 1 e n [ R
Exemplo:
1. log √
__
 3 
Transformando, obtém-se: 
log √
__
 3 = log3 = 1 __ 
2
 · log3 = 1 __ 
2
 · 0,477 = 0,2385
log √
__
 3 = 0,2385
Há uma consequência dessa propriedade:
alogab = b
Demonstração:
Fazendo x = alogab = b 
24
6. RESUMO DAS PROPRIEDADES
Se b > 0, c > 0, m [ R, a > 0 e a Þ 1 valem as proprie-
dades dos logaritmos:
P1: loga (b · c) = loga(b) + loga(c)
P2: loga ( b __ c ) = loga(b) – loga(c)
P3: loga (b
m) = m loga
b
P4: a
logab= b
6.1. Exemplos de aplicação 
das propriedades
1. Determine o desenvolvimento logarítmico da expressão 
log ( a √
__
 b ____ 
c3
 ) .
log ( a √
__
 b ____ 
c3
 ) = log ( a · b ____ c3 ) = log ( a · b ) – log c3 = 
= log a + log b – log c3 = log a + 1 __ 
2
 · log b – 3 · log c
Logo, log ( a √
__
 b ____ 
c3
 ) = log a + 1 __ 2 · log b – 3 · log c.
2. Dados loga m = 11 e loga n = 6, qual é o valor de loga (m
3n2)?
loga (m
3n2) = logam
3 + loga n
2 = 
= 3 · loga m + 2 · loga n = 3 · 11 + 2 · 6 = 45
Então, loga (m
3n2) = 45.
3. Se log 2 = a e log 3 = b, expresse log 72 em função de 
a e b.
log 72 = log (23 · 32) = log 23 + log 32 = 
= 3 · log 2 + 2 · log 3 = 3a + 2b
Então, log 72 = 3a + 2b.
4. Sabendo que logaA = 2 logaC – 
1 __ 
3
 logaD, calcule A em 
função de c e d.
loga c
2 – loga d = loga c
2 – loga 
3
 √
__
 d = loga ( c2 ___ 3 √__ d ) 
Daí:
logaA = loga ( c2 ___ 3 √__ d ) A = c2 ___ 3 √__ d 
Logo, A = c
2
 ___ 
 3 √
__
 d 
 
5. Escreva as expressões a seguir por meio de um único 
logaritmo:
a) 3 · log4 7
3 · log4 7 = log47
3 = log4 343
b) log3 x – log32
log3 x – log32 = log3 
x __ 
2
 
c) log 6 + log 3
log 6 + log 3 = log (6 · 3) = log 18
d) log5 4 + log5 x – log5 3
log5 4 + log5 x – log5 3 = log5 4x – log5 3 =
 = log5 
4x __ 
3
 
7. MUDANÇA DE BASE
Em diversas situações são encontrados logaritmos es-
critos em uma certa base, mas deseja-se esse mesmo 
logaritmo escrito em outra base, como na equação lo-
garítmica a seguir:
log2(x + 4) = log4(25)
Na resolução dessa equação, se o logaritmo do membro 
da direita possuísse base 2, seria possível encontrar o con-
junto solução facilmente. Para realizar essa transformação, 
pode-se efetuar uma mudança de base.
7.1. Fórmula para mudança 
de base de um logaritmo
Considere que queremos encontrar o valor de logab, saben-
do o valor de logcb e logca, sendo que: 
Se a > 0, a Þ 1, b > 0, c > 0 e c Þ 1. Então:
loga b = x
logc b = y
Pela definição de logaritmos, tem-se:
loga b = x a
x = b
logc b = y c
y = b
Igualando as duas primeiras expressões, segue que:
ax = cy
Aplicando o logaritmo na base c em ambos os membros 
da equação, tem-se:
logc a
x = logc c
y x · logc a = y · logc c
Como y = logcb e logcc = 1, segue que:
x · logc a = logc b · 1 x = loga b = 
logc b _____ 
logc a
 
25
Assim, conclui-se que:
Se a > 0, a Þ 1, b > 0, c > 0 e c Þ 1:
loga b = 
 logc b _____ 
logc a
 
Exemplos:
1. log75 = 
log25 _____ 
log27
 (na base 2)
2. log75 = 
log 5
 ____ 
log 7
 (na base 10)
3. log525 = 2 log25 5 = 
1 __ 
2
 
4. logba = 
3 __ 
4
 loga b = 
4 __ 
3
 
Caso você possua uma calculadora que calcule apenas lo-
garitmos decimais, ou seja, em base 10, como proceder 
para calcular log2 5?
Pela fórmula de mudança de base, tem-se que:
log25 = 
log10 5 ___________ 
log10 2
 0,7 ___ 
0,3
 =2,3.
7.2. Consequências da fórmula 
de mudança de base
Nessa propriedade de mudança de base, fazendo c = b, 
ocorre um caso importante:
loga b = 
logb b _____ 
logb a
 = 1 _____ 
logb a
 
Assim, pode-se escrever que, quando existirem os logarit-
mos envolvidos:
loga b = 
1 _____ 
logb a
 ou logb a · loga b =1
Ou seja, quando existirem, logb a é inverso de loga b.
Outra consequência envolve potências da base do logarit-
mo. Considere o seguinte logaritmo:
logam (b)
A base apresenta um expoente m. Aplicando a fórmula de 
mudança de base para a base a, tem-se:
logam (b) = 
loga (b) _______ 
loga (a
m)
 
Observe que loga (a
m) = m · loga (a) = m, portanto:
logam (b) = 
loga (b) ______ m = 
1 __ m loga (b)
Assim, quando a base de um logaritmo apresentar um ex-
poente, é possível transpor o inverso desse expoente mul-
tiplicando o logaritmo.
7.3. Propriedades operatórias 
dos logaritmos
loga (b · c) = loga b + loga c
loga 
b __ c = loga b – loga c
loga 
1 __ 
b
 = – loga b
loga b
m = m · loga b
loga 
m
 √
__
 b = 1 __ m · loga b
loga b = 
logc b _____ 
logc a
 
loga b = 
1 _____ 
logb a
 ou logab ∙ logba = 1
logam (b) = 
1 __ m loga (b).
7.4. Exemplos de aplicação da 
fórmula de mudança de base
1. Escreva log2 8 usando logaritmos na base 10.
loga b = 
logc b _____ 
logc a
 log2 8 = 
log10 8 _____ 
log10 2
 
2. Calcule o valor da expressão log3 5 · log25 81.
log3 5 · log25 81 = log3 5 · 
log3 81 ______ 
log3 25
 = log3 5 · 
log3 3
4
 _____ 
log3 5
2 = 
= log3 5 · 
4 _______ 
2 · log3 5
 = 4 __ 
2
 = 2
8. COLOGARITMO
Denomina-se cologaritmo de um número N (N > 0) numa 
base a (a > 0 e a Þ 1) o oposto do logaritmo do número 
N na base a ou o logaritmo do inverso de N na base a.
cologa N = – loga N ou cologa N = loga 
 1 __ 
N
 
9. APLICAÇÃO DOS LOGARITMOS 
NA RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES 
EXPONENCIAIS E DE PROBLEMAS
Exemplos:
1. Resolva a equação 3x = 5.
Dados: log 3 0,47712 e log 5 0,69897
26
3x = 5 log 3x = log 5 x · log 3 = log 5 
x = 
log 5
 ____ 
log 3
 x > 0,69897 _______ 
0,47712
 > 1,46
S = {1,46}.
Dados log 2 = 0,30; log 3 = 0,48 e log 5 = 0,70, resolva a 
equação 52x – 7 . 5x + 12 = 0.
52x – 7 · 5x + 12 = 0 (5x)2 – 7(5x) + 12 = 0
Fazendo 5x = y, tem-se:
y2 – 7y + 12 = 0
D = (–7)2 – 4(1) (12) = 1
y9 = 4 e y0 = 3
Daí:
5x = 4 log 5x = log 4 log 5x = log 22 
 x · log 5 = 2 · log 2 
x = 
2 · log 2
 _______ 
log5
 = 0,60 ____ 
0,70
 > 0,86
5x = 3 log 5x = log 3 x · log 5 = log 3 
 x = log 3/log 5 = 0,48 ____ 
0,70
 > 0,69
S = {0,69; 0,86}.
2. Resolva a equação ex – 27 = 0, dados log e = 0,43 e 
log 3 = 0,48.
ex – 27 = 0 ex = 27 log ex = log 27 
 log ex = log 33 x · log e = 3 · log 3 
 x = 
3 · log 3
 _______ 
log e
 = 3 · 0,48 ______ 
0,43
 = 3,34
S = {3,34}.
Alguns medicamentos apresentam comportamento exponencial ao serem eliminados pelo corpo humano. O uso de 
logaritmos permite quantificar o tempo de eliminação pelo organismo:
1. (Acafe) Quando um paciente ingere um medicamento, a droga entra na corrente sanguínea e, aopassar pelo 
fígado e pelos rins, é metabolizada e eliminada. A quantidade de medicamentos, em miligramas, presente no 
organismo de um paciente é calculada pela função Q(t) = 30 ∙ 21 – 
t ___ 10 , onde t é o tempo dado em horas.
O tempo necessário para que a quantidade de medicamento em um paciente se reduza a 40% da quantidade inicial, é:
Dado: log 2 = 0,3
a) 13 horas e 33 minutos. 
b) 6 horas e 06 minutos. 
c) 13 horas e 20 minutos. 
d) 6 horas e 40 minutos. 
Resolução:
Mas t = 0 Q(t) 100% Q(0) = 30 ∙ 2
1 – 
0
 ___ 10 
Para: 40% ∙ 60 = 0,4 ∙ 60 = 24
24 = 30 ∙ 21 – 
t
 ___ 10 
0,8 = 2 log2 0,8 = log2 2
log2 0,8 = 
 log100,8 _______ 
log102
 = 
log108 – log1010 ____________ 
log102
 = 
log102
3 – log1010 ____________ 
log102
 = 
3 ∙ log102 – 1 __________ 
log102
 = 3 ∙ 0,3 – 1 ________ 
0,3
 = – 0,1 ____ 
0,3 
 = – 1 __ 
3
 
1 – t ___ 10 1 – 
t
 ___ 10 
VIVENCIANDO
27
ÁREAS DE CONHECIMENTO DO ENEM
Habilidade
Dentro do terceiro eixo cognitivo do Enem, a Habilidade 21 exige do aluno a capacidade de resolver uma situação 
proposta a partir de conhecimentos algébricos adquiridos.
Modelo
(Enem) Para realizar a viagem dos sonhos, uma pessoa precisava fazer um empréstimo no valor de R$ 5.000,00. Para 
pagar as prestações, dispõe de, no máximo, R$ 400,00 mensais. Para esse valor de empréstimo, o valor da prestação 
(P) é calculado em função do número de prestações (n) segundo a fórmula:
P = 
5000 ∙ 1,013n ∙ 0,013
 ____________________ 
(1,013n – 1)
 
Se necessário, utilize 0,005 como aproximação para log 1,013; 2,602 como aproximação para log 400; 2,525 como 
aproximação para log 335.
De acordo com a fórmula dada, o menor número de parcelas, cujos valores não comprometem o limite definido pela 
pessoa, é:
a) 12.
b) 14.
c) 15.
d) 16.
e) 17.
Resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos algébricos.21
Análise expositiva - Habilidade 21: O exercício exige que o aluno seja capaz de interpretar o problema e utili-
zar seus conhecimentos sobre as propriedades logaritmicas para a sua resolução.
Cálculo:
Pmáx = 400
400 = 5000∙1,013
n∙0,013 ___________________ 
(1,013n – 1)
 400(1,013n –1) = 65∙1,013n 400∙1,013n – 400 = 65∙1,013n
335∙1,013n = 400 1,013n = 400 ____ 
335
 log 1,013n = log ( 400 ____ 335 ) n∙log 1,013 = log 400 – log 335
n∙ 0,005 = 2,602 – 2,525 n = 15,4 16 parcelas
Alternativa D
D
Assim,
– 1 __ 
3
 = 1 – t ___ 
10
 –10 = 30 – 3t 3t = 40 t = 40 ___ 
3
 horas = 800min = 13h20min
Alternativa C
28
CONSEQUÊNCIAS 
DA DEFINIÇÃO
PROPRIEDADES
LOGARITMOS
loga(b ∙ c) = logab + logac
loga( 
b
c 
) = logab - logac
logab
n = n ∙ logab
logamb = logab
a = mlogam
1
m
MUDANÇA DE BASE
logcb
logca
logab =
logb1 = 0
b0 = 1
logab = 1
b1 = a
logab = x a
x = b
 DIAGRAMA DE IDEIAS
29
 EQUAÇÕES, INEQUAÇÕES E SISTEMAS 
DE EQUAÇÕES LOGARÍTMICAS
COMPETÊNCIAS: 5 e 6 HABILIDADES: 19, 21, 22, 23 e 25
AULAS 
23 E 24
1. EQUAÇÕES LOGARÍTMICAS
A seguir, serão estudadas as equações logarítmicas, ou 
seja, aquelas nas quais a incógnita está envolvida no loga-
ritmando ou na base do logaritmo. De modo geral, a maio-
ria das equações logarítmicas pode ser reduzida a uma das 
duas formas a seguir.
1.1. Igualdade entre um 
logaritmo e um número real
loga(x) = b
Utiliza-se então a definição do logaritmo:
loga(x) = b
Então ab = x
Exemplo:
1. Resolver a equação log2(x – 2) = 3
Condição de existência:
x – 2 > 0
x > 2
Como loga b = c a
c = b:
log2 (x – 2) = 3 2
3 = x – 2 8 = x – 2 x = 10
Como 10 > 2, então o conjunto solução é S = {10}.
1.2. Igualdade entre 
logaritmos de mesma base
loga(x) = loga(y)
Como a função logarítmica é injetiva, pode-se dizer que, para 
dois números reais quaisquer x1 e x2, segue que log(x1) Þ log(x2). 
Assim, se loga (x) = loga (y), implica que x = y:
loga (x) = loga (y) x = y
É importante ressaltar que isso é válido somente se as bas-
es forem as mesmas. Se isso não ocorrer, é possível aplicar 
a fórmula de mudança de base.
Exemplo:
1. Resolver a equação log2(9 – x) – log2(2x) = 0:
Condição de existência:
9 – x > 0
2x > 0 
x < 9
x > 0
Portanto, 0 < x < 9.
Transpondo o termo log2(2x) para o outro membro da 
equação, tem-se:
log2(9 – x) = log2(2x)
Como a função logarítmica é injetiva, pode-se escrever:
log2 (9 – x) = log2 (2x) 9 – x = 2x
9 = 2x + x
9 = 3x
x = 3
Como x = 3 satisfaz a condição de existência, o conjunto 
solução é S = {3}.
1.3. Exemplos de equações 
logarítmicas
Os exemplos a seguir mostram como as propriedades estu-
dadas são aplicadas na resolução de equações logarítmicas. 
1. log2 (x – 3) + log2 x = 2
Condição de existência: x – 3 > 0 e x > 0 
 x > 3 e x > 0 x > 3.
Há dois modos diferentes de resolução:
I. log2 (x – 3) + log2 x = 2 
 log2 [(x – 3)x] = 2
Usando a definição de logaritmo:
(x – 3)x = 22 x2 – 3x – 4 = 0
x’ = 4 e x’’ = –1
30
II. log2 (x – 3) + log2 x = log2 2
2 
log2 [(x – 3)x] = log2 4
Usando o fato de que a função logarítmica é injetiva:
(x – 3)x = 4 x2 – 3x – 4 = 0
D = 25
x’ = 4 e x’’ = –1
Verificação: como a condição de existência é x > 3, então 
4 [ S e – 1 Ó S.
S = {4}.
2. log3 (x
2 – 3x – 1) = 1 + log3 (x – 2)
Condição de existência: x2 – 3x – 1 > 0 e
x – 2 > 0
log3 (x
2 – 3x – 1) = 1 + log3 (x – 2) 
 log3 (x
2 – 3x – 1) = log3 3 + log3 (x – 2) 
 log3 (x
2 – 3x – 1) = log3 [3(x – 2)] 
 x2 – 3x – 1 = 3x – 6 x2 – 6x + 5 = 0
D = 16
x’ = 5 e x’’ = 1
Verificação: 
x = 5 
x = 1 
Portanto, 5 [ S e 1 Ó S.
S = {5}.
3. log10 [1 + 2 log10 (x – 1)] = 0
Condição de existência: x – 1 > 0 e
1 + 2 . log10 (x – 1) > 0
log10 [1 + 2 · log10 (x – 1)] = 0 
 100 = 1 + 2 · log10 (x – 1) 
 1 = 1 + 2 · log10 (x – 1) 
 2 · log10 (x – 1) = 0 log10 (x – 1) = 0 
 100 = x – 1 1 = x – 1 x = 2
x2 – 3x – 1 = 25 – 15 – 1 = 9 > 0
x – 2 = 5 – 2 = 3 > 0
x2 – 3x – 1 = 1 – 3 – 1 = –3 < 0
x – 2 = 1 – 2 = –1 < 0
Verificação: 
x = 2 
Portanto, 2 [ S.
S = {2}.
4. logx – 1 4 = 2
Condição de existência: x – 1 > 0 e x – 1 Þ 1 
 x > 1 e x Þ 2
logx – 1 4 = 2 (x – 1)
2 = 4 
 x2 – 2x + 1 = 4 x2 – 2x – 3 = 0
= 16
x’ = 3 e x’’ = –1
Verificação: 
x = 3: 3 > 1 e 3 Þ 2. Logo, 3 [ S.
x = –1: –1 < 1. Então, –1 Ó S.
S = {3}.
5. log2 (log3 x) = 2
Condição de existência: x > 0 e log3 x > 0
log2 (log3 x) = 2 2
2 = log3 x log3 x = 4 
 34 = x x = 81
Verificação: 81 > 0 e log3 81 = 4 > 0.
Então, 81 [ S.
S = {81}.
6. log210 x – 3 · log10 x + 2 = 0
Condição de existência: x > 0
A equação pode ser escrita na forma:
(log10 x)
2 – 3 · log10 x + 2 = 0
Fazendo log10 x = y, tem-se:
y2 – 3y + 2 = 0
D = 1
y’ = 2 e y’’ = 1
Como log10 x = y, então:
log10 x = 2 10
2 = x x = 100
log10 x = 1 10
1 = x x = 10
x – 1 = 2 – 1 = 1 > 0
1 + 2 · log10 (x – 1) = 1 + 2 · 0 = 1 > 0
31
Verificação: 100 > 0 e 10 > 0. Logo, 100 [ S e 10 [ S.
S = {10, 100}.
7. 2 · log10 x = log10 4 + log10 3x
Condição de existência: x > 0 e 3x > 0 x > 0
2 · log10 x = log10 4 + log10 3x 
 log10 x
2 = log10 (4 · 3x) x
2 = 12x 
 x2 – 12x = 0 x(x – 12) = 0
x’ = 0 e x’’ = 12
Verificação: como se deve ter x > 0, então 0 Ó S e 12 [ S.
S = {12}.
8. log9 x + log27 x – log3 x = –1
Condição de existência: x > 0
log9 x + log27 x – log3 x = – 1
Escrevendo os logaritmos na base 3:
 
log3 x _____ 
log3 9
 + 
log3 x ______ 
log3 27
 – log3 x = –1
Como log3 9 = 2 e log3 27 = 3, tem-se:
 
log3 x _____ 
2
 + 
log3 x _____ 
3
 – log3 x = – 1 
 
3 · log3 x + 2 log3 x – 6 · log3 x _______________________ 
6
 = –6 ___ 
6
 
 3 · log3 x + 2 · log3 x – 6 · log3 x = –6 
– log3 x = –6 log3 x = 6 3
6 = x 
 x = 729
Verificação: 729 > 0 729 [ S
S = {729}.
9. log2 (x + 7) – log2 (x – 11) = 2
Condição de existência:
x + 7 > 0 e x > -7 e
x – 11 > 0 x > 11
log2 (x + 7) – log2 (x – 11) = 2 
 log2 ( x + 7 _____ x – 11 ) = 2 22 = x + 7 _____x –11 
 x + 7 ________ 
x – 11
 4x – 44 = x + 7 
 4x – x = 7 + 44 3x = 51 x = 17
Verificação: como 17 > 11, então 17 [ S.
S = {17}.
2. SISTEMAS DE EQUAÇÕES 
LOGARÍTMICAS
São sistemas de equações que são resolvidos aplicando-se 
as propriedades operatórias dos logaritmos.
Exemplo:
1. Resolva o sistema 
log10 x – log10 y = log10 2
4x – y = 16
.
 Condições de existência: x > 0 e y > 0
 Preparação do sistema:
log10 x – log10 y = log10 2 
log10 ( x _ y ) = log10 2 
 x _ y = 2 x = 2y
4x – y = 16 4x – y = 42 x – y = 2
 Resolvendo o sistema:
x = 2y
x – y = 2
 2y – y = 2 y = 2
x = 2y x = 2(2) x = 4
 Verificação: x = 4 > 0 e y = 2 > 0
S = {(4, 2)}.
3. INEQUAÇÕES LOGARÍTMICAS
Considere as inequações a seguir:
 log2x log4(x – 1)
2
 ln (x2 – x) e2
 log2(x) – 5 log(x) + 6> 0
Elas são exemplos de inequações logarítmicas. A seguir, 
serão estudados três casos de inequações logarítmicas.
3.1. Primeiro caso: inequações 
redutíveis a uma desigualdade 
de logaritmos de mesma base
Exemplo: logc a> logc b
Para resolver essa inequação, é preciso relembrar como se 
comporta uma função logarítmica de acordo com sua base. 
Considere uma função logarítmica: 
f(x) = logc (x), onde x> 0, c > 0 e c 1.
Se a base c for maior que 1, a função logarítmica será 
crescente. Considerando dois valores a e b positivos, em 
que b > a, tem-se:
32
logcb > logca b > a
Como a função logarítmica f(x) = logc(x) é injetora, pode-se 
afirmar que, se logcb > logca, necessariamente segue que 
b > a, ou seja, o sinal de desigualdade se mantém.
No entanto, se a base c for menor que 1, a função loga-
rítmica será decrescente. Novamente, considerando dois 
valores a e b positivos, onde b > a, tem-se:
logcb < logca b > a
Nesse caso, é possível concluir por meio do gráfico da função 
logarítmica que, se logcb < logca, necessariamente segue 
que b > a, ou seja, o sinal de desigualdade inverte.
Resumindo, tem-se:
Se c > 1: logcb > logca b > a (o sinal se mantém)
Se 0 < c < 1: logcb > logca b < a (o sinal inverte)
 Aplicação do conteúdo
1. Encontre o conjunto solução das seguintes inequa-
ções logarítmicas:
loga (x – 1) ≤ loga (3 – x) com a > 1
 Em primeiro lugar, deve-se sempre considerar a 
condição de existência dos logaritmos, na qual o loga-
ritmando deve ser positivo:
x – 1 > 0 x > 1 e 3 – x > 0 x < 3
Assim, a condição de existência é 1 < x < 3 (I).
 Agora, como a base é maior que 1, tem-se:
loga (x – 1) loga(3 – x) x – 1 3 – x
2x 4
x 2 (II)
A solução deve estar contida no intervalo 
1 < x < 3; portanto:
Assim, o conjunto solução S do problema é:
S = {x R | 1 < x 2}
log 1 __ 2 (3x – 12) > log 
1 __ 2 (9)
 Em primeiro lugar, calcula-se a condição de existência 
do logaritmo:
3x – 12 > 0 3x > 12 x > 4 (I)
 Agora, como a base é 1 __ 
2
 , o sentido da desigualdade 
inverte:
log 1 __ 2 (3x – 12) > log 
1 __ 2 (9) 3x – 12 < 9
3x < 21
x < 7 (II)
Realizando a intersecção dos intervalos (I) e (II), encon-
tra-se o conjunto solução:
S = {x R | 4 < x < 7}
3.2. Segundo caso: inequações 
redutíveis a uma desigualdade entre 
um logaritmo e um número real
Exemplo: logca k
Para resolver esse tipo de inequação logarítmica, deve-se 
transformá-la em uma inequação do 1.º caso. Para isso, é 
utilizada uma propriedade dos logaritmos:
33
k = logb(b
k), para k R, b R, b > 0 e b 1
É possível provar que essa propriedade é válida por meio 
da propriedade dos logaritmos de potências:
logb(b
k) = k logb (b) = k 1 = k
Depois de reescrita, a inequação deve ser resolvida da ma-
neira demonstrada anteriormente.
 Aplicação do conteúdo
1. Resolva a inequação log2(15 – x) 3.
 Como sempre, calcula-se em primeiro lugar a condição 
de existência:
15 – x > 0 x < 15 (I)
 Em seguida, deve-se reescrever o segundo membro da 
inequação como um logaritmo e resolver a inequação:
3 = log2(2
3) = log28
log2(15 – x) log28
15 – x 8
 x 7 (como a base é maior que 1, o sentido da desi-
gualdade se mantém) (II)
Por fim, calcula-se a intersecção dos intervalos (I) e (II) para 
encontrar o conjunto solução:
S = {x R |7 x < 15}
2. Resolva a inequação log 1 __ 3 (4 – x
2) –1.
 Impondo a condição de existência, tem-se:
4 – x2 > 0 –2 < x < 2 (I)
 Reescrevendo o segundo membro da inequação como 
um logaritmo e substituindo na inequação:
– 1 = log 1 __ 3 [ ( 1 __ 3 ) 
–1
 ] = log 1 __ 3 3
log 1 __ 3 (4 – x
2) log 1 __ 3 3
4 – x2 3 (como a base é um número entre 0 e 1, o sentido 
da desigualdade inverte).
1 ≤ x2 
x2 – 1 $ 0
Resolvendo a inequação do segundo grau, tem-se: x – 1 
ou x > 1 (II).
Portanto, o conjunto solução é a intersecção dos intervalos 
(I) e (II):
S = {x R | –2 x –1 ou 1 x < 2}
3. Qual o intervalo de x, no qual a função f(x) = ln (2x – 5) 
é negativa?
 Calculando a condição de existência:
2x – 5 > 0 x > 5 __ 
2
 (I)
 Para a função ser negativa, segue que f(x) < 0, portanto:
ln(2x – 5) < 0
ln(2x – 5) < ln(e)0 ln(2x – 5) < ln1
Como o número e, base do logaritmo natural, é um núme-
ro irracional maior que 1, tem-se:
ln(2x – 5) < ln1 2x – 5 < 1
x < 3 (II).
Por fim, pode-se calcular o conjunto solução S:
S = {x R | 5/2 < x < 3}
3.3. Terceiro caso: inequações 
que utilizam substituição por 
uma incógnita auxiliar
De modo a facilitar sua manipulação algébrica, algumas 
inequações exigem uma substituição de variável. Como no 
segundo caso, a ideia é reduzir a inequação a uma inequa-
ção do 1.º caso. Observe a seguir um exemplo desse tipo 
de inequação:
 Aplicação do conteúdo
1. Encontre o conjunto solução da inequação 
log 2 2 (x – 1) – log2 (x – 1) – 6 0.
 Calculando a condição de existência:
x – 1 > 0 x > 1 (I)
 Realizando a seguinte substituição de incógnita:
log2(x – 1) = k
34
ÁREAS DE CONHECIMENTO DO ENEM
Habilidade
A Habilidade 25 exige do aluno a capacidade de resolver uma situação proposta a partir da análise de 
gráficos e tabelas.
Modelo
(Enem) Um engenheiro projetou um automóvel, cujos vidros das portas dianteiras foram desenhados de forma que 
suas bordas superiores fossem representadas pela curva de equação y = log(x), conforme a figura.
Resolver problema com dados apresentados em tabelas ou gráficos.25
Dessa maneira, tem-se a seguinte inequação do segundo 
grau: k2 – k – 6 0.
 Resolvendo a inequação em k:
k2 – k – 6 0
Raízes: k1 = –2 e k2 = 3.
Concavidade.
Portanto, a solução em k da inequação é –2 k 3.
 Retornando à variável original, onde k = log2 (x – 1), 
tem-se:
–2 log2(x – 1) 3
Também é possível escrever como:
log2 (x – 1) –2
log2 (x – 1) 3
Resolvendo cada inequação, tem-se:
log2(x – 1) log2(2
–2) x – 1 2–2 x 5 __ 
4
 
log2 (x – 1) log2 2
3 x – 1 23 x 9
Portanto, 5 __ 
4
 x 9 (II).
Realizando a intersecção dos intervalos (I) e (II), encontra-
-se o conjunto solução S:
S = {x R | 5/4 x 9}
35
Análise expositiva - Habilidade 25: A questão exige que o aluno seja capaz de interpretar os dados 
fornecidos pelo gráfico para a sua resolução.
Montando o sistema:
log (k + n) = h __ 2 
log k = -- h __ 2 
2 log (k + n) = h
2 log k = h
Segue que:
log (k + n) = –log k
log (k + n) + log k = 0
log (k² + kn) = 0
k² + kn = 1
k² + kn – 1 = 0
Resolvendo essa equação do 2.º grau, resulta que k = 
[–n + √
_______
 (n² + 4n) ]
 _____________ 2 ; assim, 
h = 2 log (k + n)
2 log ( n + √_____ n2 + 4n __________ 2 ) 
.
Alternativa E
E
A forma do vidro foi concebida de modo que o eixo x sempre divida ao meio a altura h do vidro e a base do vidro seja 
paralela ao eixo x. Obedecendo a essas condições, o engenheiro determinou uma expressão que fornece a altura h do 
vidro em função da medida n de sua base, em metros.
A expressão algébrica que determina a altura do vidro é:
a) log ( n + √_____ n2 + 4 __________ 2 ) – log ( n – √
_____
 n2 + 4 __________ 2 ) .
b) log ( 1 + n __ 2 ) – log ( 1 –n __ 2 ) .
c) log ( 1 + n __ 2 ) + log ( 1 – 
n __ 2 ) .
d) log ( n + √_____ n2 + 4 __________ 2 ) .
e) 2 log ( n + √_____ n2 + 4 n __________ 2 ) .
36
LOGARITMOS
EQUAÇÕES
SISTEMAS INEQUAÇÕES
IGUALDADE
LOGARITMO E 
NÚMERO REAL
LOGARITMOS DE 
MESMA BASE 
1º CASO
DESIGUALDADE DE 
MESMA BASE
2º CASO
DESIGUALDADE ENTRE UM 
LOGARITMO E UM NÚMERO
3º CASO
SUBSTITUIÇÃO POR UMA 
INCÓGNITA AUXILIAR
TRANSFORMAR NO 
1º CASO, UTILIZANDO A 
SEGUINTE PROPRIEDADE
loga(x) = b
logCa ≤ k
logcb > logca
SÃO RESOLVIDOS 
APLICANDO AS 
PROPRIEDADES 
OPERATÓRIAS
loga(x) = loga(y)
x = y
SE c > 1 b > a (sinal mantém)
SE 0 < c < 1 b < a (sinal inverte)
 DIAGRAMA DE IDEIAS
37
 FUNÇÕES LOGARÍTMICAS
COMPETÊNCIAS: 1, 5 e 6 HABILIDADES:
3, 4, 5, 19, 20, 21, 
22, 23, 24, 25 e 26
AULAS 
25 E 26
1. FUNÇÃO LOGARÍTMICA
Para todo número real positivo a Þ 1, a função exponen-
cial f: R R+*, f(x) = ax é uma correspondência biunívoca 
entre R e R+*. Ela é crescente se a > 1, decrescente se 
0 < a < 1 e tem a seguinte propriedade:
f(x1 + x2) = f(x1) · f(x2), ou seja a
x1 + x2 = ax1 · a x2
Essas considerações garantem que f possui uma função inversa.
Nota
Dizer que f(x) é uma correspondência biunívoca é o 
mesmo que dizer que f é uma função bijetiva.
2. DEFINIÇÃO DA FUNÇÃO 
LOGARÍTMICA
A inversa da função exponencial de base a é a função 
f: R+* R, que associa a cada número real positivo x o 
número real loga x, denominado logaritmo de x na base a, 
com a > 0 e a Þ 1.
Observe que f: R R+*, dada por f(x) = ax, tem a proprieda-
de f(x1 + x2) = f(x1) · f(x2), ou seja, a
x1 + x2 = ax1 · a x2. A sua in-
versa g: R+* R, dada por g(x) = logax, tem a propriedade 
g(x1 · x2) = g(x1) + g(x2), isto é, loga (x1 · x2) = loga x1 + loga x2.
Domínio da função logarítmica: R+*
Imagem da função logarítmica: R
É importante lembrar que, se f –1(x) é função inversa de 
f(x), segue que f[f–1(x)] = x; como a função logarítmica é a 
inversa da função exponencial, tem-se:
aloga x = x e loga (a
x) = x para todo x [ R
Assim, loga x é o expoente ao qual se deve elevar a base a 
para obter o número x, ou seja, y = loga x a
y = x, como 
já foi visto.
As funções logarítmicas mais usadas são aquelas cuja base 
a é maior do que 1. Particularmente, as de base 10 (logarit-
mos decimais), as de base 2 (logaritmos binários) e as base 
e (logaritmos naturais).
São exemplos de função logarítmica as funções de R+* em 
R definidas por:
 f(x) = log2 x
 g(x) = log10 x = log x
 h(x) = loge x = ln x
 i(x) = log x
3. GRÁFICO DA FUNÇÃO 
LOGARÍTMICA
Observe os seguintes gráficos de função logarítmica:
f(x) = log2 x
x 1 __ 4 
1 __ 2 1 2 4
y = f(x) –2 –1 0 1 2
38
f(x) = log x
x 1 __ 4 
1 __ 2 1 2 4
y = f(x) 2 1 0 –1 –2
Observe a seguir o gráfico da função exponencial g(x) = 10x e 
da função logarítmica f(x) = log(x). Veja a simetria em relação 
à reta h(x) = x, pois f(x) e g(x) são funções inversas:
Como consequência da definição de função logarítmica e 
da análise dos gráficos, é possível concluir que:
 O gráfico da função logarítmica passa pelo ponto (1,0), 
isto é, f(1) = 0, ou, ainda, loga 1 = 0.
 O gráfico nunca toca o eixo y nem ocupa pontos dos 
quadrantes II e III, pois seu domínio é R+*.
 Quando a > 1, a função logarítmica é crescente (x1 > x2 
 loga x1 > loga x2).
 Somente números positivos possuem logaritmo real, 
pois a função x ax assume somente valores positivos.
 Se a > 1, os números maiores do que 1 têm 
logaritmo positivo, e os números compreendidos entre 
0 e 1 têm logaritmo negativo.
 Se 0 < a < 1, os números maiores do que 1 têm loga-
ritmo negativo, e os números compreendidos entre 0 e 
1 têm logaritmo positivo.
 A função logarítmica é ilimitada, superior e inferior-
mente. No caso de a > 1 ser ilimitada superiormente, 
significa que se pode dar a loga x um valor tão grande 
quanto se queira, desde que tomemos x suficiente-
mente grande.
 Ao contrário da função exponencial f(x) = ax com 
a > 1, que cresce rapidamente, a função logarítmica 
loga x com a > 1 cresce muito lentamente. Por exemplo, 
se log10 x = 1.000, então x = 10
1000. Assim, se quisermos 
que log10 x seja maior do que 1.000, será preciso tomar 
um número x que tenha pelo menos 1.001 algarismos;
 A função logarítmica é injetiva, pois números po-
sitivos diferentes têm logaritmos diferentes. Ela é 
também sobrejetiva, pois, dado qualquer número 
real b, existe sempre um único número real positi-
vo x tal que loga x = b. Portanto, ela é bijetiva (há 
uma correspondência biunívoca entre R+* e R).
Exemplos:
1. Encontre o domínio da função 
f(x)=logx − 2(3x − 12)
Pelas condições de existência dos logaritmos, tem-se:
Logaritmando: 
3x − 12 > 0
x > 4 (I)
Base: 
 x − 2 > 0
x > 2 (II)
Fazendo a intersecção de (I) e (II):
(I) (II): x > 4
O domínio de f(x) é : {x R | x>4}
2. Dada f(x) = 2 log(500x) e g(x) = log(x ∙ 5 __ 
6
 ) 
calcule fog(120).
Calculando g(120): 
g(120) = log(120 ∙ 5 __ 
6
 ) = log(100) = 2
Logo:
fog(120) = f(g(120)) = f(2) = 2 log(500 ∙ 2) 
fog(120) = 2 log(1000) = 2 ∙ 3 = 6
39
FUNÇÃO 
LOGARÍTMICA
GRÁFICO FUNÇÃO INVERSA DA 
FUNÇÃO EXPONENCIAL
f(x) = y = logax
ay = x
Y
X
Y
X
a > 1
f(x) = logax
0 < a < 1
f(x) = logax
NUNCA TOCA 
O EIXO Y
f : R R*+
 DIAGRAMA DE IDEIAS
41
TRIGONOMETRIA E ARITMÉTICA: Incidência do tema 
nas principais provas
UFMG
Aplicar juros compostos e simples é 
fundamental, oscilando de questões simples 
até elevadas, não faltando questões de 
trigonometria.
Em sua segunda fase, ocorrerá algu-
ma questão elevada com os conceitos 
trigonométricos abordados neste caderno, e 
questões sobre matemática financeira têm 
baixa incidência.
Geralmente, aborda questões trigonométricas, 
de maneira clara e até mesmo associadas à 
geometria plana, também podendo ocorrer 
juros simples e compostos.
Com temas próximos à Unesp, a prova da 
Einstein possui questões de mediano grau de 
dificuldade em trigonometria e matemática 
financeira com baixa incidência.
Questões contextualizadas sobre trigono-
metria com alto nível de dificuldade são 
encontradas nesse processo seletivo. Saber 
auxiliar essa área com geometria plana ou 
espacial é fundamental.
Por possuir um vestibular tradicional, exigirá 
habilidade em trigonometria, e questões 
contextualizadas serão cobradas.
O processo seletivo exigirá conhecimento em 
trigonometria, com questões contextualizadas 
e tradicionais. Juros simples e compostos 
possuem incidência menor nessa prova.
Cada vez mais, o Enem apresenta questões 
sobre trigonometria, elevando o grau de 
dificuldade em cada prova, e questões sobre 
matemática financeira são tradicionais.
O vestibular para o ingresso na USP exigirá 
dos seus candidatos amplo conhecimento em 
trigonometria e questões com matemática 
financeira.
Pode oscilar dentro da trigonometria, trazendo 
questões fáceis e elevadas. Realizar arco duplo 
é de extrema importância para essa prova.
Essa prova tem alta incidência em trigono-
metria. Questões contextualizadas de juros 
podem aparecer.
A Faculdade Souza Marques pode trazer ao 
seu candidato questões contextualizadas e 
com um grau de dificuldade alto em trigono-
metria. Juros simples e compostos possuem 
baixa incidência.
Pode ocorrer na prova conceitos trigonomé-
tricos aliados à geometria plana. Deve-se 
ter conhecimento amplo em matemática 
financeira.
Trigonometria não será cobrada em questões 
de geometria e dinâmica. Podemos encontrar 
também questões de juros simples e 
compostos.
Por meio de situações do cotidiano, a prova 
exigirá boa resolução em matemática financei-
ra. É de extrema importância o conhecimento 
em trigonometria.
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 JUROS SIMPLES E COMPOSTOS
COMPETÊNCIA: 5 HABILIDADES: 21 e 23
AULAS 
17 E 18
1. PORCENTAGEM
Já foi visto que uma razão centesimal é definida como uma 
razão em que o denominador é 100:
 1 ___ 
100
 10 ___ 
100