Texto_PIRES_2012_Problemas multiplicativos

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Matemática: conversas dos anos iniciais 
esde pequenas, as criança,s se envolvem em situações em que fa-
zem divisões e multiplicações. Dividem doces e brinquedos com 
seus irmãos e colegas. Algumas sabem quanto devem cobrar por 
três pacotes de doce, especialmente aquelas levadas a fazer comércio 
desses produtos nas esquinas das cidades. No entanto, na escola, muitos 
professores indicam que a aprendizagem dessas operações pelas crian-
ças parece ser difícil e complicada. Por que isso acontece? Uma via para 
compreender essa problemática é conhecer um pouco sobre a história do 
ensino dessas operações. 
Nas décadas de 1950 e 1960, o ensino da multiplicação e da divisão 
centrava-se no "decorar" resultados. As tabuadas de multiplicação e de di-
visão eram muito importantes e os professores passavam grande tempo 
fazendo com que os alunos decorassem esses resultados, sem a necessária 
compreensão. Muitas vezes, usavam métodos voltados à memorização e 
alguns deles, ainda hoje, estão na lembrança de muitas pessoas, que so-
freram diferentes tipos de castigos pelo fato de não conseguirem decorar 
as tabuadas. 
A aprendizagem da multiplicação e da divisão seguia diversos pas-
sos que levavam em conta a grandeza dos números envolvidos e a hie-
rarquização das prováveis dificuldades. Os problemas eram apresenta-
dos às crianças somente após o estudo dessas operações e os significa-
dos trabalhados eram restritos à multiplicação como adição de parcelas 
iguais e à divisão como repartição em partes iguais. Nessa época, não 
era comum justificar procedimentos usados nas técnicas operatórias, 
mas enfatizavam-se a prova real e a prova dos nove como formas de 
verificação de resultados. 
A partir de meados da década de 1960, com a influência da "Matemá-
tica Moderna", a ênfase no ensino de Matemática passou a ser na Teoria 
dos Conjuntos. A multiplicação era, geralmente, estudada na sequênciada 
divisão e seus 
adição, antes da subtração, pois se considerava uma operação "próxima" 
da adição, ou seja, uma adição de parcelas iguais. A memorização de tabu-
adas, sem compreensão, passou a ser criticada. 
Nos anos de 1980 e 1990, começou a ser ressaltada a importância dos 
diferentes significados das operações, tais como a ideia de medir, na divi-
são, e de combinatória, na multiplicação. 
O trabalho com a multiplicação e divisão passou a ser realizado com 
a utilização de recursos como o Material Dourado (Montessori), tabelas e 
esquemas, como apoio para representar tais operações. Buscava-se a com-
preensão das técnicas operatórias, trabalhava-se o processo americano da 
divisão e a distributividade na multiplicação. Incentivavam-se o uso de jo-
gos, materiais e alguns problemas "não convencionais", no entanto, pouca 
atenção ainda era dada aos diferentes significados dessas operações e aos 
procedimentos de cálculo que as crianças criavam. 
Sabendo que grande parte dos problemas no interior da Matemática 
e fora dela é resolvida pelas operações fundamentais, seria natural, por-
tanto, que as atividades para o estudo das operações se iniciassem e se de-
senvolvessem em um contexto de resolução de problemas. Contudo, ainda 
nas décadas de 1980/1990, o trabalho é, quase sempre, iniciado pela ob-
tenção de resultados básicos, seguido imediatamente pelo ensino de téc-
nicas operatórias convencionais e finalizado pela utilização das técnicas 
em "problemas-modelo", muitas vezes ligados a uma única ideia, entre as 
várias que poderiam ser associadas a dada operação. 
De acordo com os PCNEF (1997), o trabalho a ser realizado com as ope-
rações deve estar centrado na compreensão dos diferentes significados de 
cada uma delas, nas relações existentes entre elas e no estudo do cálculo, 
contemplando diferentes tipos exato e aproximado, mental e escrito. 
Na prática, no entanto, particularmente da multiplicação, sabemos 
que uma abordagem frequente é o estabelecimento da relação entre ela 
e a adição, ou seja, a multiplicação é apresentada como um caso particu-
lar da adição, porque as parcelas envolvidas são todas iguais. Com base 
nessa interpretação, definem-se papéis diferentes para o multiplicando (o 
número que se repete) e para o multiplicador (o número de repetições), 
não sendo possível tomar u;rn pelo outro. O que se constata é que essa 
Matemática: conversas com dos anos iniciais 
abordagem não é suficiente para que os alunos compreendam e resolvam 
outras situações relacionadas à multiplicação, mas apenas aquelas que 
são essencialmente situações aditivas. 
Por sua vez, diferentes estudos destacam a importância de trabalhar 
um conjunto de problemas que explorem a multiplicação e a divisão com 
base em um campo mais amplo de significados do que o que tem sido 
usualmente realizado. Esses estudos apoiam-se, geralmente, na Teoria dos 
Campos Conceituais de Vergnaud, apresentada a seguir. 
Parte significativa dos problemas do campo multiplicativo apoia-se 
na ideia de proporção, ou seja, na relação "a está para b, assim como c está 
para d". 
Vamos analisar os quatro problemas a seguir" 
3 
6 
1 ,..,,.,.,..,.,..,~,.., .... ;~,.., 
'1 LA.LAJ.J.LU.u ca- ? 
5 
1 
-? 
divisão e seus e a ideia 
No primeiro problema, a relação é: "1 está para 2, assim como 8 está 
para 16". O resultado 16 poder ser obtido multiplicando 8 por 2. 
Do segundo problema pode ser resolvido multiplicando R$ 14,00 por 
2, já que vão ser comradas o dobro de camisetas. Na escola costuma-se 
impor que é preciso dividir 14 por 3 para depois multiplicar por 6. 
É claro que, se em vez de 6 cadernos Paulo tivesse comprado 5, cer-
tamente ele precisaria encontrar o preço de 1 caderno, mas, no exemplo 
apresentado, isso não é necessário, pois, se ele comprar o dobro de ca-
dernos, deverá pagar o dobro da quantia (na suposição de que a loja não 
faça desconto). 
No problema das camisetas, tem-se a relação: "1 está para 6, assim 
como 4 está para 24". O resultado 4 pode ser obtido dividindo 24 por 6. 
No quarto problema está envolvidao a proporção 5 está para 45 assm 
como 1 está para 9. O resultado pode ser obtido dividindo 45 por 5. 
Outros problemas do campo multiplicativo caracterizam-se por con-
ter a ideia de comparação, como nos exemplos destacados no quadro a 
seguir: 
tem 3vezes 
tem 
A quantidade de selos de João e a idade de André são calculadas, res-
pectivamente, por comparação em relação à quantidade de selos de Marta 
e aos anos de Jonas. Esses problemas envolvem noções como as de dobro, 
triplo, quádruplo, metade, te.rça parte etc. 
Matemática: conversas com dos anos iniciais 
BRASIL. Ministério da Educação e do Desporto. Secretaria de Educação Fundamen-
tal. Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática. Brasília: MEC/SEF, 1997. 
Disponível em: <http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/livro03.pdf>. 
Acesso em: 31 mar. 2009. 
FRANCHI, A. Considerações sobre a teoria dos campos conceituais. In: Educação 
matemática: uma introdução. São Paulo: Educ, 1999, p. 155-195. 
VERGNAUD, G. La théorie de champs conceptuels. Recherches en Didactique de Mathé-
matiques, Grenoble, La Pensée Sauvage, v. 10, n. 2.3, p. 133-170, 1990. 
Outros no combinatória 
I 
o campo multiplicativo, além da ideia de proporcionalidade e de 
comparação, existem situações-problema relacionadas a uma 
configuração retangular e à combinatória. 
A configuração retangular refere-se a situações em que se deseja sa-
ber o total de objetos dispostos em fileiras e colunas ou um produto de 
medidas, como no caso do cálculo da área de uma superfície retangular 
em que são conhecidas as medidas dos lados. 
A exploração dessa ideia é ainda muito interessante para a visuali-
zação de esquemas, que contribuem para as crianças compreenderem o 
algoritmo da multiplicação, com base em sua representação em malhas 
quadriculadas, como se verá no texto "Técnicas operatórias: multiplicação 
e divisão". 
Essa ideia pode ser explorada por meio de situações em queas crian-
ças resolvam problemas corp-o, por exemplo: 
Matemática: conversas com orofE::ssm~es dos anos iniciais 
No primeiro caso, a solução poderá ser encontrada pela representa-
ção gráfica das cadeiras organizadas em fileiras, ou pela multiplicação de 
5 por 4. 
Quanto ao segundo exemplo, a solução também poderá ser encontra-
da graficamente, desenhando a primeira fila e repetindo-a até totalizar as 
35 carteiras, ou dividindo 35 por 7. 
De modo geral, as crianças começam a resolver esses problemas con-
tando os objetos de um em um e, depois, de 4 em 4 ou de 5 em 5. Diversi-
ficando as situações e estimulando-as a atentar para o que está aconte-
cendo, o professor poderá ajudá-las a perceber regularidades, organizando 
tabelas nas quais seja possível verificar que o total corresponde ao produto 
do número de fileiras pelo número de colunas, ou vice-versa: 
5 4 20 
5 7 35 
3 3 9 
4 6 24 
10 10 100 
Outra ideia que faz parte do campo multiplicativo é a conhecida como 
ideia de combinatória. Refere-se ao estabelecimento de combinações entre 
Outros no combinatória 
grupos de objetos, em que o total de pares possíveis pode ser obtido pela 
multiplicação. Esse tipo de situação-problema nem sempre é trabalhado 
nos anos iniciais, porém é bastante interessante de ser apresentado às 
crianças, permitindo-lhes os primeiros contatos com o pensamento com-
binatório. 
e 3 blusas 
De quantas ma-
pode se arrumar 
e as 
No problema das saias e blusas, as crianças costumam pensar ini-
cialmente que são 2 combinações e justificam que 2 saias serão usadas 
com 2 blusas e que a terceira blusa não se usará. Questionadas, começam 
a perceber que, para uma saia escolhida, há três combinações possíveis e, 
portanto, existem 6 combinações no total. 
Também nesse caso é interessante que o professor colabore com a ob-
servação de regularidades, organizando tabelas que favoreçam às crianças 
a verificação de que o total de possibilidades corresponde ao produto do 
número de saias pelo de blusas: 
2 3 6 
3 4 12 
3 3 9 
4 2 8 
Na situação-problema apresentada a seguir se conhece o total de 
combinações e também que os sorvetes podem ser de palito ou de cas-
quinha. Fazendo simulações, as crianças descobrirão que é preciso ter 3 
sabores para conseguir 6 combinações diferentes: 
vários 
você pode optar 
pelo sorvete de palito ou casqui-
'"" .... '''"'"'-'ú são os sabores? 
O trabalho com situações-problema como essas é de grande impor-
tância e amplia a visão que a criança vai construindo da própria Matemá-
tica. 
Esquema elaborado por criança 
para resolver problema envolvendo 
a ideia de combinatória. 
BRASIL. Ministé1io da Educação e do Desporto. Secretaria de Educação Fundamen-
tal. Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática. Brasília: MEC/SEF, 1997. 
Disponível em: 
<http:/ /portal.mec .gov.br/seb/arquivos/pdf!livro03 .pdf>. 
Acesso em: 31 mar. 2009. 
FRANCHI, A. Considerações sobre a teoria dos campos conceituais. In: Educação 
matemática: uma introdução. São Paulo: Educ, 1999, p. 155-195. 
VERGNAUD, G. La théorie de champs conceptuels. Recherches en Didactique de Mathé-
matiques, Grenoble, La Pensée Sauvage, v. 10, n. 2.3, p. 133-170, 1990. 
Cálculo mental e construçao de fatos básicos no 
s tabuadas costumam ser identificadas, muito frequentemente, 
como marco divisório entre uma concepção tradicional e uma 
concepção atualizada de ensino de Matemática. A memoriza-
ção dos fatos fundamentais das operações foi duramente criticada como 
exemplo de um ensino baseado em regras e bastante descontextualizado. 
Por esse motivo há algumas décadas teve início um movimento de sus-
tentação da ideia de que o aluno deveria, em vez de decorar a tabuada, 
compreender o significado das escritas multiplicativas, o que é bem defen-
sável. No entanto, essa proposição não se confronta com a da necessidade 
de, uma vez compreendido o significado de tais escritas, pela exploração 
de variadas situações-problema, o aluno descobrir regularidades em uma 
sequência de resultados e, a partir daí, saber "de cor" tais resultados fun-
damentais para, até mesmo, resolver multiplicações envolvendo números 
com duas ou mais ordens. Sem saber a "tabuada", fica, de fato, muito difícil 
essa tarefa. 
Evidentemente, não se trata de defender a mecanização pura e simples 
da tabuada, obrigando os alunos a recitar os fatos ou copiá-los centenas de 
vezes para memorizá-los. É necessário, sim, desenvolver sequências didáti-
cas apropriadas para a finalidade pretendida. 
As tabuadas são "tábuas"- tabelas- referentes às operações que en-
volvem números menores que 10, como, por exemplo: 3 + 5; 7 x 8. 
No caso da tabuada da multiplicação, o desenvolvimento de algumas 
atividades pode ajudar as crianças na memorização dos fatos. 
A seguir, o exemplo de uma sequência de preenchimento da chamada 
"Tábua de Pitágoras", nome dado à tabela de dupla entrada na qual são re-
gistrados os resultados da multiplicação dos números que ocupam a linha 
e a coluna principais (que vão parecer em negrito). A sugestão de estraté-
gia para o professor é de que desenvolva, coletivamente com os alunos, 
procedimentos para compl~tá-la, em vez de apresentar a tabela pronta. 
Matemática: conversas com dos anos iniciais 
Uma primeira discussão com as crianças refere-se ao "funcionamen-
to" da tabela. Quando o espaço (*) é preenchido, indica -se o resultado de 1 
x 2 e, quando se preenche o espaço(**), indica-se o resultado de 2 >< 1, dois 
fatos fundamentais distintos, mas que têm o mesmo resultado. 
Na sequência, o professor poderá propor às crianças que discutam os 
resultados que deverão ser registrados na primeira linha e na primeira co-
luna da tabela, buscando levá-las a conjecturar que, nos casos analisados, 
quando um dos fatores é "1" o resultado da multiplicação é igual ao outro 
fator: 
Em geral, as crianças têm facilidade para calcular mentalmente o do-
bro de um número. 
Em função disso, é importante que elas percebam que os resultados 
das multiplicações em que um dos fatores é o 2 podem ser obtidos dobran-
do o outro número. Por exemplo, o resultado de 2 x 7 ou de 7 x 2 pode ser 
obtido dobrando o 7. Assim, a segunda linha e a segunda coluna da tabela 
podem ser completadas pelas crianças: 
Cálculo mental e de fatos básicos no 
2 4 6 8 10 12 14 16 18 
3 6 
4 8 
5 10 
6 12 
7 14 
8 16 
9 18 
Preenchidas essas linhas e colunas, é importante que o professor 
questione as crianças para estimulá-las a verbalizar sobre a compree~são 
que estão tendo do que acontece na linha do 1 e na coluna do 1, ou seJa, o 
fato de que os números aumentam de 1 em 1: 
2 3 4 5 6 7 8 9 
+1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 
e que na linha do 2 e na coluna do 2 os números aumentam de 2 em 2: 
2 4 6 8 10 12 14 16 18 
+2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 
Se multiplicar por dois é achar o dobro do outro número, multiplicar 
por quatro é dobrar duas vezes esse número, por isso, é importante que as 
crianças percebam que os resultados das multiplicações da quarta linha 
correspondem ao dobro dos resultados da segunda linha. Da mesma for-
ma, os resultados das multiplicações da quarta coluna correspondem ao 
dobro dos resultados da segunda coluna: 
Matemática: conversas professo:re" dos anos iniciais Cálculo mental e construção de fatos básicos no 
7 
2 4 6 8 10 12 14 18 
Agora, as crianças poderão ser desafiadas a completar os resultados 
que estão faltando na quinta linha e na quinta coluna. É importante discu-
3 6 12 tir com elas "como são" os resultados da multiplicação de um número por 
4 8 12 16 20 24 28 32 36 
5. Provavelmente, elas observarão que eles terminam em zero ou em cinco 
e que isso acontece de forma alternada: 
5 10 20 
6 12 24 
7 14 28 8 
10 12 14 
6 12 15 24 
8 16 32 8 12 16 20 24 28 32 36 
9 18 36 15 20 25 30 35 40 45 
24 30 48 
Usando o mesmo raciocínio, podem ser completadas a oitava linha 7 14 28 35 56 
e a oitava coluna da tabela, pois multiplicar por 8 é o mesmo que dobrar 8 16 24 32 40 48 56 6472 
o número três vezes seguidas. Os resultados da oitava linha representam 9 18 36 45 72 
o dobro dos resultados que aparecem na quarta linha. Os resultados em 
vermelho explicitam "os dobros": 
Como é possível observar, a tabela está quase completa, portanto, o 
professor poderá desafiar as crianças para preencherem os resultados que 
estão faltando na terceira linha e na terceira coluna, com a observação de 
2 3 4 5 que cada um deles tem 3 unidades a mais em relação ao que o precede na 
4 6 8 10 12 14 16 18 tabela: 
3 6 12 24 
4 8 12 16 20 24 28 32 36 
4 8 10 12 14 16 18 
5 10 20 40 6 9 12 15 18 21 24 27 
6 12 24 48 4 8 
12 16 20 24 28 32 36 
5 10 15 20 25 30 35 40 45 
7 14 28 56 6 12 18 24 30 48 
8 16 24 32 40 48 56 64 72 7 14 21 28 35 56 
8 16 24 32 40 48 56 64 72 
9 18 36 72 
9 18 27 36 45 72 
Matemática: conversas com dos anos iniciais 
Nessa sequência, o professor poderá discutir com os alunos que mul-
tiplicar um número por 6 é o mesmo que dobrar o seu triplo. Sendo assim, 
para completar os resultados da sexta linha e da sexta coluna, basta do-
brar os resultados que aparecem na terceira linha e na terceira coluna: 
2 3 4 5 7 8 9 
2 4 6 8 10 12 14 16 18 
3 6 9 12 15 18 21 24 27 
4 8 12 16 20 24 28 32 36 
5 10 15 20 25 30 35 40 45 
6 12 18 24 30 36 42 48 54 
7 14 21 28 35 42 56 
8 16 24 32 40 48 56 64 72 
9 18 27 36 45 54 72 
nona 
Solicitar às crianças que observem os resultados da nona linha e da 
nona coluna. Nos resultados da multiplicação por nove, já anotados na 
tabela, é possível perceber que o algarismo das dezenas vai "aumentando 
de 1 em 1", enquanto o algarismo das unidades vai "diminuindo de 1 em 1". 
Além disso, a soma do algarismo das unidades com o das dezenas resulta 
sempre em 9. Tais observações permitirão às crianças completar o que 
falta na nona linha e na nona coluna. A essa altura, a tabela está quase 
completa, restando apenas o resultado de 7 x 7: 
Cálculo mental e cons:trução de fatos básicos no 
3 4 8 9 
2 4 6 8 10 16 18 
3 6 9 12 15 24 27 
4 8 12 16 20 32 36 
5 10 15 20 25 30 35 40 45 
6 12 18 24 30 36 42 48 54 
7 14 21 28 35 42 ? 56 63 
8 16 24 32 40 48 56 64 72 
9 18 27 36 45 54 63 72 81 
A sequência aqui descrita, evidentemente, deve ser feita em várias 
etapas e acompanhada de outras estratégias didáticas, especialmente os 
jogos e a resolução de situações-problema. 
BRASIL. Ministério da Educação e do Desporto. Secretaria de Educação Fundamen-
tal. Parâmetros Curriculares Nacionais: Primeiro e Segundo Ciclos do Ensino 
Fundamental. Brasília: MEC/SEF, 1997. Disponível em: <http:/ /portal.mec. 
gov.br/index.php?option=com_content&view=article&id=12640:parametr 
os-curriculares-nacionais lo-a -4o-series &c a tid = 19 5: seb-educacao-basica>. 
Acesso em: 28 mar. 2009. 
Matemática: conversas com dos anos iniciais 
I 
o longo de sua história, a humanidade construiu diversos proces-
sos para calcular. As técnicas operatórias utilizadas hoje em dia 
nem sempre foram assim. No antigo Egito, a multiplicação era re-
alizada de modo muito interessante. Para multiplicarem dado número por 
sete, por exemplo, os escribas egípcios organizavam uma tabela como a 
apresentada a seguir e nela iam duplicando as quantidades: 
1 7 
2 14 
4 28 
8 56 
Se fosse o caso de multiplicar 13 por 7, como 13 é igual a 1 + 4 + 8, 
então, para calcularem 13 x 7, eles adicionavam 7 + 28 + 56, que corres-
pondem, respectivamente, aos resultados das multiplicações de 1, 4 e 8 por 
7. Assim, eles obtinham o resultado 91 ao determinar a soma 7 + 28 + 56. 
De que modo poderia ser feito o cálculo de 15 X 7, utilizando esse 
procedimento? 
Como 15 = 8 + 2 + 4 + 1, para calcularmos 15 x 7, usando os resul-
tados da tabela apresentada, poderíamos adicionar 56 + 14 + 28 + 7, que 
são os resultados das multiplicações de cada uma dessas parcelas por 7, 
chegando ao produto final105. 
Outro tipo de método, usado na Europa no século XV, conhecido como 
Gelosia, também é bastante interessante. Qual seria a maneira de decifrar 
o que está registrado a seguir, mostrando o cálculo do produto de 37 por 
45? 
Inicialmente, observe a colocação dos números 37 e 45 no diagrama. 
Depois, observe como foram registrados os produtos: 
4 X 7 = 28 
4 X 3 = 12 
5 X 7 = 35 
5 X 3 = 15 
A seguir, analise como se somam os números registrados nas faixas 
inclinadas obtendo o resultado 1.665 na última linha. 
Após essa primeira análise, que tal usar esse dispositivo para cal-
cular o produto 13 x 45? 
Quando nos referimos ao cálculo que envolve multiplicações e divisões, 
devemos nos questionar quanto ao papel do cálculo mental. 
O domínio dos fatos básicos pelas crianças, que precisam compreendê-
-los, mas também memorizá-los, é um aspecto fundamental. 
No entanto, outras regularidades precisam ser exploradas pelas 
crianças, no que se refere ao resultado de subtração que pode ser feita 
mentalmente. No quadro a seguir, destacamos algumas observações de 
que os estudantes precisam se apropriar para que tenham bom desempe-
nho nas técnicas operatórias relativas à multiplicação e também à divisão. 
Analise-as: 
Matemática: conversas com proflossm-es dos anos iniciais 
Multiplicar por 10 é o mesmo que 
acrescentar um zero: 
35 X 10 = 350 
Multiplicar por 8 é o mesmo que 
dobrar três vezes: 
7X8=7X2 2X2 
= 14 X 2 X 2= 28 X 2 = 56 
13 é só fazer 
12 3 e adicionar os 
resultados 120 e o que 156. 
Para dividir 720 por 6, basta dividir 
por 2 que dá 360, e esse resultado por 
3 que dá 120. 
Uma importante propriedade do cálculo é denominada distributiva 
da multiplicação em relação à adição. Essa importância está ligada ao fato 
de que a técnica operatória da multiplicação baseia-se na propriedade dis-
tributiva da multiplicação ern relação à adição. A seguir, um exemplo de 
como funciona esse mecanismo: 
Algumas atividades com o papel quadriculado são oportunas para se-
rem realizadas pelos alunos, como as sugeridas nos exemplos: 
a) No papel quadriculado, desenhe uma figura retangular de 4 uni-
dades de comprimento e 3 de largura e calcule o número de "qua-
dradinhos" (unidades) utilizados. Esse número corresponde ao 
produto de 4 por 3? 
Técnicas 
b) Agora desenhe outro retângulo com 14 unidades de comprimento 
e 3 de largura. Como seria possível calcular rapidamente o total de 
quadradinhos no interior desse retângulo? 
A figura revela que: 
e tem a ver com o algoritmo conhecido: 
10 + 4 
X3 
3 o+ 1 2 
2 
1 4 
3 
4 2 
c) Desta vez, a ideia é desenhar um retângulo de 12 por 14 e verificar 
quantos ''quadradinhos" (unidades) compõem esse retângulo. 
Para calcular o número de quadradinhos, é possível adicionar o 
total de quadradinhos de cada parte do retângulo: 100 + 40 + 20 
+ 8, o que dá 168. 
2 o 8 
4 o 
Matemática: conversas com dos anos iniciais 
d) Nesta sugestão, o desafio é comparar a figura acima com os regis-
tros apresentados a seguir, escrevendo as conclusões: 
1 4 1 4 
o 
ICU 
lr 
.a e 
~ 
Para saber quantos quadradinhos dentro da figura desenhada abaixo, '4::> 
Pedro dividiu-a em quatro partes. A maior delas tem 10 por 10 quadradinhos. ·~ 
Calcule quantos quadradinhos tem em cada parte e quantos Q 
quadradinhos há no total 
Produções de crianças referentes a problemas que envolvem configuração retângular. 
Quando se pede às crianças de 6/7 anos para repartirem, igualmente, 
peças de um jogo, figurinhas ou balas, em situações reais, elas não de-
monstram dificuldades para realizar as divisões, nem de compreender o 
que está em jogo: o que está sendo dividido, entre quantas pessoas, quanto 
caberá a cada uma e quanto restará, no entanto, quando se trata do algo-
ritmo da divisão, os relatos de professores e de alunos apontam as grandes 
dificuldades. Uma delas, frequentemente indicada, relaciona-se à memo-
rização da tabuada. Outras dizem respeito à dificuldade de compreensão 
do algoritmo da divisão e à dificuldade de fazer estimativas e validações 
dos resultados. 
cu 
~ a 
Técnicas 
Noque se refere aos fatos fundamentais organizados nas tabuadas, o 
trabalho com regularidades apresentado no texto "Cálculo mental e cons-
trução de fatos básicos no campo multiplicativo" deve ser complementado 
pela observação das relações entre a multiplicação e a divisão, de modo que 
as crianças percebam, por exemplo, que: 
Muitas vezes, talvez por julgar que essa relação seja muito óbvia, ela 
não é suficientemente explorada com as crianças, especialmente em ativi-
dades de cálculo mental. 
Os primeiros registros do algoritmo da divisão podem ser realizados 
logo nos dois primeiros anos de escolaridade, sempre reportados a uma si-
tuação em que as crianças estejam envolvidas e na qual o professor tome 
para si o papel de escriba. 
No exemplo a seguir, observa -se uma proposta feita por uma profes-
sora a crianças de 7 anos: 
Profa.: Eu vou fazer uma atividade com um grupo de 4 alunos e os outros 
vão prestar muita atenção. 
Situação-problema: 17 tampinhas devem ser repartidas igualmente entre 
4 crianças. Quanto cada criança receberá? Vão sobrar tampinhas? 
Profa.: Como vamos fazer pa'ra repartir as tampinhas? 
Paulo: Primeiro damos 1 para cada uma. 
Pro f a.: Então faça a divisão. 
Profa.: Agora eu vou registrar nesse papel o que aconteceu. Temos 17 tam-
pinhas e vamos repartir para 4 crianças. Paulo deu 1 para cada uma e, 
portanto, deu 4 no total. Quantas sobraram? 
Vítor: Sobraram 13. 
Matemática: conversas com Drof,essoJres dos anos iniciais 
Profa.: Como eu fiz o registro? O que está em vermelho? E em azul? E em 
verde? E em laranja? E em marrom? 
Crianças respondem: 
Profa.: E agora? 
Luísa: Vamos dar mais 1 para cada uma. E vão sobrar 9. 
Profa.: E como fazemos o registro? 
Crianças respondem: 
Profa.: E agora? 
Nina: Vamos dar mais 1 para cada uma, mas pode dar 2. Pode? 
Profa.: O que vocês acham? 
Vítor: Se tem nove, quatro mais quatro dá 8, então pode. 
Profa.: Então, como registramos? 
Crianças respondem: 
Profa.: Podemos continuar a divisão? 
Luísa: Não, só tem uma tampinha. 
Profa.: Todos concordam com Luísa? 
Crianças respondem que sim. 
Profa.: Quantas tampinhas havia no início para repartir? E para quantas 
crianças? Quantas tampinhas cada uma recebeu? Quantas sobraram? 
Vou registrar o total de tampinhas que cada uma recebeu: 
Técnicas e divisão 
Profa.: Agora, todos vão fazer sozinhos e registrar a seguinte situação: 
Temos 22 tampinhas para dividir igualmente entre 4 crianças. Cada grupo 
de 4 alunos vai fazer e registrar, do jeito que achar melhor. Procurem pen-
sar quanto dá para cada criança receber. 
Depois de um tempo, a professora socializou as soluções. Quatro gru-
pos foram distribuindo de 1 em 1- solução 1. Dois grupos começaram dis-
tribuindo de 2 em 2- solução 2. Um grupo apresentou a solução 3; e outro 
grupo fez a divisão, mas não conseguiu registrar. 
2 
Esse tipo de registro permite às crianças entenderem o que está acon-
tecendo a cada momento e, dependendo da capacidade que têm de fazer 
estimativas, poderão fazer registros mais curtos, como o da solução 3 e, até 
mesmo, encontrar o resultaçlo em uma única etapa: 
Matemática: conversas com dos anos iniciais 
Esse mesmo procedimento poderá ser usado quando as situações-
-problema envolverem números maiores. A seguir, um exemplo de propos-
ta desenvolvida com crianças de 8/9 anos: 
Profa.: Prestem atenção nesta situação-problema: 
Situação-problema: Vovô quer repartir igualmente 375 reais a seus 3 netos. 
Quanto cada um receberá? 
Profa.: Vocês acham que cada neto vai receber mais que 10 reais? 
Sílvia: Muito mais ... cada um vai receber mais que 100 reais ... , são tre-
zen tos. 
Profa.: Vou fazer um registro do que a Sílvia disse. Observem: 
Profa.: Se o vovô já distribuiu 100 para cada um, o que aconteceu? 
Marcos: Ele já distribuiu 300 e ainda sobraram 75. 
Profa.: Vou registrar essa informação do Marcos: 
I 
I 
Técnicas 
Profa.: E agora? 
Cássia: Dá para dar mais 10 para cada um, quer dizer, mais 20 ... 
Profa.: Vou registrar: 
100 20 
I 375 100 75 20 I 
100 20 
Léo: Sobraram 15 reais. 
Profa.: Vou escrever o que o Léo disse: 
100 20 
I 375 100 75 20 15 I 
100 20 
Profa.: E agora? 
e divisão 
Marcos: Agora está fáciL .. , dá mais 5 para cada um e não vai sobrar nada. 
Profa.: Marcos venha registrar, por favor ... 
100 20 5 
375 100 75 20 15 5 
100 20 5 
Profa.: Como eu faço para saber quanto cada um recebeu? 
]amile: É só somar 100 mais 20 mais 5 ... 
Profa.: Mostre aqui na lousa: 
100 20 5 
375 100 75 20 15 5 
100 20 5 
o 
I 
o 
I 
Educação Matemática: conversas com prol'ess<xes dos anos iniciais 
Abaixo reproduzimos algumas produções de alunos dessa turma: 
Para resolver o problema, Carlinhos fez o seguinte esquema: 
O que representa cada parte do esquema de Carlinhos? 
\ 
Técnicas e divisão 
Esse tipo de esquema de registro da divisão tem sido usado por mui-
tos educadores e os resultados são bastante interessantes. Os registros da 
divisão, conhecidos como Processo Americano, Processo Longo, Processo 
Curto, podem ser utilizados dependendo de como as crianças deles se 
apropriam, não havendo obrigatoriedade de chegar ao Curto: 
o 
BRASIL. Ministério da Educação e do Desporto. Secretaria de Educação Fundamen-
tal. Parâmetros Curriculares Nacionais: Primeiro e Segundo Ciclos do Ensino 
Fundamental. Brasília: MEC/SEF, 1997. Disponível em: <http://portal.mec. 
gov.br/index.php?option=com_content&view=article&id=12640:parametr 
os-curriculares-nacionais lo-a -4o-series&catid = 195 :seb-educacao-basica>. 
Acesso em: 28 mar. 2009. 
ZUFFI, E. M.; FELICIANO L. F. Uma sequência didática com uso de história da Ma-
temática: o método de multiplicação e divisão egípcio. Revista de Educação 
Matemática. São Paulo, ano 9, :h. 9-10, p. 55-60, 2005. Disponível em: <http:// 
www.sbempaulista.org.br/RevEdMatVol9.pdf>. Acesso em: 2 Abr. 2009. 
Educação Matemática: conversas com dos anos iniciais 
iversos campos da Matemática tiveram início com atividades pu-
ramente especulativas e recreativas. De modo geral, todo campo 
da Matemática tem seu aspecto recreativo, embora muitas vezes 
o que é recreativo para uns, seja trabalho para outros. 
Martin Gardner, autor de vários livros sobre divertimentos matemá-
ticos, considera que o jogo, que torna divertida a Matemática recreativa, 
pode tomar vários aspectos: um quebra -cabeça a ser resolvido, um jogo 
de competição, uma mágica, um paradoxo, ou simplesmente Matemática 
com um toque qualquer de curiosidade ou diversão. 
Nas escolas, os jogos costumam ser relacionados às atividades de 
ensino que têm por objetivo propiciar maior rendimento na aprendiza-
gem de um conteúdo específico. A introdução de jogos na sala de aula é 
vista como mais um recurso pedagógico e, assim como os jogos sempre 
desempenharam importante papel sociocultural, na sala de aula atribui-
-se a eles a potencialidade de desenvolver valores como respeito e hones-
tidade, entre outros. 
Diferentes autores consideram que o jogo aplicado à educação desen-
volveu-se vagarosamente e penetrou, muito tarde, no âmbito escolar. 
No século XVIII, Rousseau propôs considerar a Educação como um 
processo natural do desenvolvimento da criança e incentivou a valorizar 
o jogo, o trabalho manual, a experiência direta das coisas, tornando-se 
assim precursor de uma nova concepção de escola. Propunha uma escola 
que valorizasse os aspectos biológicos e psicológicos do aluno em desen-
volvimento: o sentimento, o interesse, a espontaneidade, a criatividade e o 
processo de aprendizagem. 
Essa nova concepção de Educação e de homem fez surgir outras pro-
postas formuladas por Pestalozzi, Montessori, Decroly com vistas a desen-
volver uma didática "ativa" para a Matemática. 
Uso como recurso didático nas aulas de Matemática 
Maria Montessori, importante educadora italiana, defendia não haver 
aprendizagem sem ação: 
Nada deve ser dado à criança, no campo da Matemática, sem primeiro 
apresentar-se aela uma situação concreta que a leve a agir, a pensar, a ex-
perimentar, a descobrir, e daí, a mergulhar na abstração (Montessori, apud 
Azevedo, 1979, p. 27). 
Miguel de Guzmán (1986) valorizou a utilização dos jogos para o en-
sino da Matemática, destacando que eles não apenas divertem, mas tam-
bém podem gerar conhecimento, interessar e fazer com que os estudantes 
pensem com certa motivação. 
De modo geral, há uma defesa feita por diferentes autores, pois ao 
aluno deve ser dado o direito de aprender. Não um "aprender" mecâni-
co, repetitivo, de fazer sem saber o que faz e porque faz. Muito menos um 
"aprender" que se esvazia em brincadeiras, mas, antes, um aprender signi-
ficativo, do qual ele participe, raciocinando, compreendendo, reelaborando 
o saber historicamente produzido e superando, assim, sua visão ingênua, 
fragmentada e parcial da realidade. 
Nessa perspectiva, os materiais didáticos ou os jogos podem de-
sempenhar papel fundamental na aprendizagem das crianças. O mate-
rial mais adequado nem sempre será o visualmente mais bonito nem 
o já construído. Muitas vezes, durante a construção de um material, 
o aluno tem a oportunidade de aprender Matemática de forma mais 
efetiva. Em outros momentos, o mais importante não será o material, 
mas, sim, a discussão e a resol~ção de uma situação-problema ligada 
ao contexto do aluno, ou ainda, a discussão e a utilização de um racio-
cínio mais abstrato. 
Isso vale até mesmo para os jogos, considerados também possibilida-
de de diminuir bloqueios apresentados pelos alunos. No entanto, algumas 
críticas são feitas, pois em muitas propostas utiliza-se "o jogo pelo jogo". 
Assim, ao optar por trabalhar com jogos, o professor deve levar em conta 
a importância da definição dos conteúdos e das habilidades presentes nas 
brincadeiras, bem como o planejamento de sua ação com o objetivo de o 
jogo não se tornar mero lazer, mas, simultaneamente, promover a oportu-
nidade de constituir situações significativas de aprendizagem, estimulan-
do a construção de habilidaçies, o desenvolvimento operatório etc. 
Educação Matemática: conversas com professores dos anos iniciais 
Segundo os Parâmetros Curriculares Nacionais de Matemática, do Ministé-
rio de Educação e Cultura (MEC), os jogos 
constituem uma forma interessante de propor problemas, pois permitem 
que estes sejam apresentados de modo atrativo e favorecem a criatividade 
na elaboração de estratégias de resolução de problemas e busca de soluções. 
Propiciam a simulação de situações-problema que exigem soluções vivas e 
imediatas, o que estimula o planejamento das ações [ ... ) (PCNEF: Matemá-
tica, 1997, p. 46). 
Esse documento destaca ainda que uma característica relevante nos 
jogos é o desafio genuíno que eles provocam no aluno, gerador de interesse 
e prazer. Por isso, é importante que os jogos façam parte da cultura escolar, 
cabendo ao professor analisar e avaliar a potencialidade educativa dos di-
ferentes jogos e o aspecto curricular que se deseja desenvolver. 
Em depoimentos de professores (P) que utilizam jogos em sala de aula 
coletados por (PIRES, 2008), algumas vantagens e também reflexões sobre 
o seu uso se destacam: 
Pl: A competição, se bem administrada e controlada, faz com que as crian-
ças procurem ultrapassar barreiras. Em outras situações não se empenha-
riam. Ganhar o jogo para elas é muito importante. 
P2: Nos jogos fica mais fácil observar que dificuldades cada uma das crian-
ças está encontrando e o que é preciso retomar nas atividades ... Elas aca-
bam mostrando como estão fazendo um cálculo, como fazem contagens 
enfim ... 
P3: Por algum motivo, nos jogos, o medo de errar é menor; as crianças acei-
tam mais facilmente o erro em uma situação de jogo, como algo natural. 
P4: Eu observo uma mudança de atitude importante no jogo: elas pergun-
tam, questionam as regras, discutem e ficam mais autônomas em relação 
ao professor do que nas outras atividades. 
PS: Dificilmente, as crianças deixam de se interessar por jogos; elas têm 
prazer de jogar e de ensinar como se joga para os colegas, mas é preciso 
cuidado na escolha: o jogo não pode ser fácil demais ou difícil demais para 
a cnança. 
Uso 
Eu confesso que não sei muito bem escolher os jogos mais adequados. 
Também fico um pouco insegura com relação ao meu papei no momento em 
que as crianças estão jogando. 
P7: Eu acho que é bom que, antes de apresentar um jogo para as crianças, 
a gente estude o jogo, jogue de fato, reflita sobre as estratégias possíveis 
para poder fazer intervenções, quando for o caso, de forma mais adequada. 
Para finalizar, é importante destacar que o uso de jogos nas aulas de 
Matemática, assim como de outros recursos metodológicos, pode promo-
ver interessantes situações de aprendizagem, desde que seu objetivo este-
ja muito claro para o professor e que sejam feitas boas intervenções por 
parte do professor, ao longo do desenvolvimento desses recursos. 
BRASIL. Ministério da Educação e do Desporto. Secretaria de Educação Fundamen-
tal. Parâmetros Curriculares Nacionais: Primeiro e Segundo Ciclos do Ensino 
Fundamental. Brasília: MEC/SEF, 1997. Disponível em: <http://portal.mec. 
gov.br/index.php?option=com_content&view=article&id=12640:parametr 
os-curriculares-nacionais lo-a -4o-series&catid = 195 :seb-educacao-basica>. 
Acesso em: 28 mar. 2009. 
CASTELNUOVO, E. Didáctica de la Matemática Moderna. México: Trillas, 1970. 
GUZMÁN, M. de. Aventuras matemáticas. Barcelona: Labor, 1986.