Estudo dos Números e Operações matemáticas

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Universidade do Estado do Pará 
Centro de Ciências Sociais e Educação 
Curso de Licenciatura em Pedagogia 
 
 
 
 
ESTUDO DOS NÚMEROS 
E OPERAÇÕES 
MATEMÁTICAS 
 
 
 Elaboração: 
Neivaldo Oliveira Silva 
 
 
 
 
 
 
Igarapé-Açú / Pará 
2021 -1 
2 
 
SUMÁRIO 
 
1. INTRODUÇÃO.................................................................................................................. 06 
1.1. Conexões entre Aritmética e Geometria..................................................................... 06 
- O Uso de Jogos no Ensino de Matemática ......................................................................... 07 
2. O PENSAMENTO MATEMÁTICO E A CONSTRUÇÃO DO NÚMERO: Visão de Piaget ...... 10 
- Atividades Bloco 01: Construção do Número ................................................................. 17 
2.1. A ação de contar .......................................................................................................... 18 
3. SISTEMA DE NUMERAÇÃO DECIMAL............................................................................. 34 
4. OPERAÇÕES ................................................................................................................... 35 
4.1. Campo Aditivo: Adição e Subtração............................................................................ 35 
- Atividades Bloco 02: Operações – Campo aditivo (Adição) ............................................... 35 
5. ALGORITMOS ................................................................................................................... 39 
5.1. Algoritmos no Campo Aditivo ..................................................................................... 40 
- Atividades Bloco 03: Operações – Campo aditivo (Subtração) ........................................ 41 
5.2. Algoritmos no Campo Multiplicativo: Multiplicação e Divisão ................................... 48 
- Atividades Bloco 04: Campo Multiplicativo (multiplicação e Divisão) ............................. 49 
6. MÚLTIPLOS, DIVISORES, NÚMEROS PRIMOS E DIVISIBILIDADE..................................... 59 
- Atividades Bloco 05: Múltiplos e Divisores ...................................................................... 59 
7. OPERAÇÕES COM FRAÇÕES: Construindo pontes para a compreensão........................ 64 
- Atividades Bloco 06: Frações .............................................................................................. 66 
8. FRAÇÕES DECIMAIS E NÚMEROS DECIMAIS................................................................... 73 
- Atividades Bloco 07: Frações Decimais ............................................................................. 74 
9. PROBLEMAS COM FRAÇÕES: Relação entre o contínuo e o descontínuo...................... 79 
- Referências ...................................................................................................................... 80 
3 
 
Universidade do Estado do Pará 
Centro de Ciências Sociais e Educação 
Curso de Licenciatura em Pedagogia 
 
PLANO DE ENSINO 
 
IDENTIFICAÇÃO 
Semestre letivo: 2021.1 Cod turma: 
Curso: Licenciatura em Pedagogia 
Componente curricular: Estudo dos Números e Operações Matemáticas 
Carga horária: 100 horas Departamento: DMEI 
Docente: Neivaldo Oliveira Silva 
EMENTA 
Visão crítico-reflexiva da utilização da matemática tanto no contexto social 
como na solução de problemas práticos envolvendo números e operações. 
OBJETIVOS 
GERAL: Propiciar aos alunos, fundamentos teóricos e metodológicos, associados 
ao desenvolvimento de práticas, relativos a Números e Operações Matemáticas, 
no Ensino Infantil e Fundamental, visando à futura Prática Docente. 
 
ESPECÍFICOS: - Discutir fundamentos teóricos e metodológicos, relativos a 
Números e Operações Matemáticas, no Ensino Infantil e Fundamental, com vistas 
a uma Prática Pedagógica eficaz; 
- Desenvolver atividades práticas no Ensino Infantil e Fundamental, relativas a 
Números e Operações Matemáticas. 
CONTEÚDO PROGRAMÁTICO 
UNIDADE I: Fundamentação Teórica e Metodológica envolvendo a temática 
“Números”. Subunidades: 1. Conexões entre Aritmética e Geometria; 2. O 
Pensamento Matemático e a Construção do Número: Visão de Piaget; 3. 
Sistema de Numeração Decimal. 
 
UNIDADE II: Fundamentação Teórica e Metodológica envolvendo a temática 
“Operações matemáticas”. Subunidades: 1. Campo Aditivo: Adição e 
Subtração; 2. Campo Multiplicativo: Multiplicação e Divisão; 3. Operações com 
Frações, Números Decimais e Problemas. 
 
UNIDADE III: Fundamentos da Prática: Discussão e Aplicação de atividades 
práticas, em situações não formais de ensino, envolvendo a temática “Números 
e Operações matemáticas”, para o Infantil e Fundamental. 
METODOLOGIAS (Atividades teórico-práticas) 
4 
 
 
 A disciplina será desenvolvida de modo a associar a discussão teórica o 
desenvolvimento de práticas no Ensino de Matemática, relativo a Números e 
Operações Matemáticas, no Ensino Infantil e Fundamental. 
 A discussão teórica será desenvolvida a partir da leitura e discussão dos 
diversos itens presentes no material escrito, seguida da análise das atividades 
apresentadas sob a forma de exemplos nesse material. Após a discussão e como 
resultado dela, haverá produção de materiais de ensino, pelos alunos, e o 
desenvolvimento atividades de ensino, para estudantes do Infantil e 
Fundamental. 
 
AVALIAÇÃO 
 
 A avaliação será contínua e terá como parâmetro, no momento da 
Fundamentação Teórica e Metodológica, a frequência, participação durante as 
atividades desenvolvidas e produção de materiais de ensino. No momento do 
desenvolvimento de atividades de ensino, a avaliação ocorrerá a partir dos 
registros escritos destas. Para isso, o desenvolvimento das atividades deverá ser 
registrada, de forma detalhada e relatada sob forma de artigo cientifico. 
 
 
 
REFERÊNCIAS 
BÁSICAS: 
SILVA, Neivaldo O. Estudo dos Números e Operações Matemáticas. Belém: UEPA, 
2019. 
 
COMPLEMENTARES: 
BOYER, C. História da Matemática. São Paulo. Edgard Blucher, 1974. 
CARRAHER, Terezinha e outros. Na vida dez, na escola zero. 3ª. ed. São Paulo: 
Cortez, 1989. 
CUNHA, M. O. Sobre a ideia de algoritmo. In: Seminários de Estudos em 
Epistemologia e Didática (SEED-FEUSP). São Paulo: USP, 2007. 
D’AMBROSIO, U. Educação matemática: da teoria à prática. 14. ed. – Campinas, 
SP: Papirus, 1996. (Coleção Perspectivas em Educação Matemática). 
DANYLUK, O. Alfabetização Matemática: as primeiras manifestações da escrita 
infantil. Porto Alegre: Sulina, 2002. 
DANTE, Luiz Roberto. Como Ensinamos. in Revista do Professor de Matemática nº 
6. 1º semestre de 1985. 
DAVIS, Marton D. Teoria dos jogos - Uma Introdução não Técnica: CULTRIX, São 
Paulo, 1973. 
DIENES, Zoltan Paul. As seis etapas do processo de aprendizagem em 
5 
 
matemática. São Paulo: EPU, 1986. 
DOMITE-MENDONÇA, M. C. A intensidade dos algoritmos nas séries iniciais: uma 
imposição sócio-histórico-estrutural ou uma opção valiosa? In: Zetetiké, 
Campinas, v. 5, p. 55-76, 1996. 
FARIA, Anália Rodrigues de. O Desenvolvimento da Criança e do Adolescente 
Segundo Piaget. São Paulo: Ática, 1993. 
IFRAH, G. História universal dos algarismos: a inteligência dos homens contada 
pelos números e pelo cálculo. Trad. Alberto Muñoz e Ana B. Katinsky. 2v. RJ. Nova 
Fronteira, 1997. 
KAMII, Constance. A criança e o número. Campinas: Papirus, 1994. 
MIGUEL, Antônio. MIORIM, Maria Ângela. O ensino de Matemática no Primeiro 
Grau. 10. ed. São Paulo: Atual, 1986. 
NETO, Ernesto Rosa. Didática da Matemática. São Paulo: Ática, 199 2. 
NICOLAS, André. Introdução ao pensamento de Jean Piaget. Zahar editores. Rio 
de Janeiro: 1978. 
NUNES, Terezinha; BRYANT, Peter [Et alli]. Educação Matemática: Números e 
operações numéricas. São Paulo: Cortez, 2005. 
Parâmetros Curriculares Nacionais.Matemática, Brasil: MEC, 1998. 
VERGNAUD, G. (1983a). Quelques problèmes theóriques de la didactique a 
propos d'un example: lês structures additives. Atelier International d'Eté: 
Récherche en Didactique de la Physique. La Londe les Maures, França, 26 de 
junho a 13 de julho. 
_______________. La Teoria de los Campos Conceptuales. In: Recherches en 
Didáctique des Mathématiques, Vol. 10, nº 2, 3, pp. 133-170, 1990. 
WADSWORTH, J. B. Inteligência e Afetividade da Criança na Teoria de Piaget. São 
Paulo: Pioneira, 1992. 
 
DIGITAIS 
http://super.abril.com.br/superarquivo/1989/conteudo_111632.shtml 
http://revistaescola.abril.com.br/inclusao/educacao-especial/como-funciona-sistema-
braille-496102.shtml 
http://matematicafracional.blogspot.com/2006/12/os-conjuntos-nmericos-os-
conjuntos.html 
http://www.mat.ufrgs.br/~portosil/compla.html 
 
 
 
http://super.abril.com.br/superarquivo/1989/conteudo_111632.shtml
http://revistaescola.abril.com.br/inclusao/educacao-especial/como-funciona-sistema-braille-496102.shtml
http://revistaescola.abril.com.br/inclusao/educacao-especial/como-funciona-sistema-braille-496102.shtml
http://matematicafracional.blogspot.com/2006/12/os-conjuntos-nmericos-os-conjuntos.html
http://matematicafracional.blogspot.com/2006/12/os-conjuntos-nmericos-os-conjuntos.html
http://www.mat.ufrgs.br/~portosil/compla.html
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1. INTRODUÇÃO 
 
Para iniciar a discussão envolvendo Números e Operações Matemáticas, 
convidamos você a refletir sobre o conteúdo Aritmética, temática tratada nos Anos 
Iniciais e relacionada aos aspectos que envolvem, desde o processo de construção da 
ideia de número às primeiras operações com esses números. Essa temática é abordada 
nas atividades apresentadas no transcorrer do texto e a intenção é que você pare e 
reflita sobre o ensino desse conteúdo, antes de realizá-las. 
São várias atividades de ensino, envolvendo Aritmética, através de atividades 
práticas, uso de jogos, sempre explorando a ludicidade no ensino e a pretensão não é 
esgotar os conteúdos que constam na proposta para os Anos Iniciais. São apenas 
exemplos que podem ser postos em prática, dependendo do ponto de vista adotado 
por você, tendo como parâmetro o que foi exposto. 
Tenha sempre a clareza de que essas atividades têm como objetivo final a sala 
de aula e você terá que usar sua criatividade para propor questões às crianças. A 
intenção é lhe possibilitar desenvolver estratégias de ensino de matemática, para os 
anos iniciais, em termos de Aritmética, mas fazendo uma forte conexão com as demais 
sub áreas da Matemática, pois o seu enlace permite a complementação de 
conhecimentos e uma melhor aprendizagem. 
 
1.1. Conexões entre Aritmética e Geometria 
 
Uma das principais dificuldades apresentadas por alunos é a construção de uma 
visão globalizada, tendo em vista o modo de organização disciplinar que eles 
vivenciam. São oferecidos fragmentos de conhecimentos e cobra-se deles a difícil 
tarefa de montar um verdadeiro quebra-cabeças buscando conexões entre as várias 
peças. Cabe uma pergunta. Não seria mais fácil, para o(a) professor(a), tentar esses 
encaixes e trabalhar buscando fazer os alunos perceberem as relações? Essa é uma 
orientação presente nos Parâmetros Curriculares Nacionais e nos parece ser um 
caminho absolutamente necessário. 
7 
 
No ensino de matemática, no entanto, antes de atingir esse estágio de 
articulação, que pode ser compreendido como um trabalho interdisciplinar existe um 
passo inicial que também precisa ser dado, que é estabelecer articulações entre os 
vários ramos que a compõe, o que não costuma ser feito por professores, dando a 
esses ramos um tratamento isolado. 
Isso ocorre desde as séries iniciais. A Geometria é pouco utilizada para permitir 
a visualização de aspectos aritméticos, apesar da relação muito próxima. O paralelo 
entre esses dois campos de conhecimento pode permitir maior compreensão de 
ambos os campos. É necessário evitar os exercícios mentais sem possibilidade de um 
parâmetro visual e, na medida em que essa visualização ocorre, pode-se ampliar o foco 
de visão e traçar vínculos com a realidade, permitindo chegar ao estágio 
interdisciplinar. 
Em razão dessa organização fragmentada do ensino e da necessidade de 
permitir uma visão mais unificada do conhecimento matemático, principalmente 
tendo como perspectiva o ensino de Geometria é que surge a ideia de estabelecer 
“Conexões”. São várias as alternativas que podem ser utilizadas para um trabalho 
articulado entre a Aritmética e Geometria. Alguns exemplos estão presentes nas 
atividades que serão apresentadas no decorrer da disciplina, às vezes de modo 
explícito, outras vezes de modo implícito. 
1.2. O uso de Jogos no Ensino de Matemática 
A utilização de jogos no ensino de matemática, nos anos iniciais pode ser 
considerada uma alternativa lúdica de dar às crianças a oportunidade de reflexão e 
participação na busca de respostas a problemas que surgem durante o ato de jogar e 
de construir e surge como um ato renovador, criativo e solucionador das dificuldades 
encontradas no processo. 
 O aspecto central no uso de jogos no ensino e na aprendizagem é que, ao 
jogarem, as crianças agem como jogadores e os jogadores devem agir, tomar certas 
decisões”. (DAVIS, 1973, p. 16) e nessa ação há diferentes questionamentos que 
podem ser evidenciados no momento em que cada jogada é realizada, pois reflexões 
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podem ser feitas, visando com isso a compreensão de tais interrogações presentes no 
ato lúdico e esse é o aspecto principal a ser considerado quando da utilização do jogo 
no ensino. 
Jogar também não significa, necessariamente, competir com outra pessoa. O 
jogo pode ser visto como um desafio pessoal, uma barreira que deve ser ultrapassada, 
como, aliás, a vida costumeiramente nos apresenta e, quando acontecer a competição, 
é primordial que se busque diminuir a ênfase à posição de ganhador ou perdedor, 
assim como trabalhar o momento temporário dessa posição. A possibilidade de um 
jogador auxiliar o outro seria uma forma de dar caráter coletivo ao jogo. 
 Em relação à confecção, além da necessária estruturação conceitual do jogo, 
quando utilizado como estratégia de ensino-aprendizagem, é importante que alguns 
aspectos sejam observados e entre eles, destacamos a linguagem, que deverá ser 
atual, considerando os jogos (games) que fazem parte do cotidiano das crianças, assim 
como filmes ou desenhos animados televisivos. Outro aspecto é o dinamismo que 
necessariamente deve estar presente. A possibilidade de superar obstáculos ou 
alcançar níveis cada vez maiores de dificuldade pode ser uma boa estratégia. Além 
disso, é sempre interessante que o jogo permita a discussão de conteúdos de outras 
disciplinas. 
O jogo faz parte de um momento no processo didático-metodológico de 
construção do conhecimento, não se configurando no único meio de estruturação da 
aprendizagem. Para que o jogo seja utilizado como elemento facilitador da 
aprendizagem e como forma de despertar o interesse da criança para o conhecimento, 
se faz necessário permitir que elas joguem e reflitam sobre o processo de constituição 
do jogo, pois sua organização estrutural deve ser percebida, para que haja produção 
contínua de conhecimento. 
Cabe ao(à) professor(a) a utilização desses instrumentos visando explorar, 
juntamente com as crianças, todos os aspectos presentes nessas atividades a fim de 
alcançar o objetivo previsto no seu planejamento de ensino, a partir da 
contextualização das etapas presentes no jogo. Com isso torna-se imprescindível uma 
reflexão a respeito do processo de criação no ato de jogar. É necessário, portanto, a 
complementação do trabalho didático, sob a forma de sistematização dos 
conhecimentos explorados e construídos, durante a execução das etapas do jogo, 
9 
 
momento em que deverá ser feita a relação entre as etapas do jogo e os conteúdos 
nelepresentes. 
 São três os tipos de jogos, nos quais cada característica nos remete a uma 
classificação. Os jogos utilizados na perspectiva de sistematização posterior de 
conceitos, são chamados “jogos de aprendizagem” e sua finalidade é a aprendizagem 
de conceitos, propriedades e/ou fatos a serem ensinados. Esses jogos também são 
utilizados visando a aquisição ou desenvolvimento de habilidades. 
Outro tipo é o "jogo de fixação", utilizado para a memorização de regras, e/ou 
propriedades, utilizadas a partir da construção de conceitos ocorrida anteriormente, 
como forma de sistematização do conhecimento e de modo que isso possa acontecer 
com mais envolvimento das crianças, na sua aprendizagem. 
Há ainda jogos que apresentam ambas as características anteriores, tendo em 
vista a aprendizagem de conceitos, bem como a fixação desses conceitos, através de 
ações diferenciadas previstas no próprio jogo. É fundamental perceber que essa 
classificação se dá em função da forma como o jogo é utilizado no processo de ensino 
e aprendizagem, mas que, no entanto, os jogos naturalmente possuem características 
específicas que podem apontar para uma ou outra forma de utilização. 
 A importância dos jogos em sala de aula reside no fato de que as atividades 
lúdicas auxiliam a manter a criança interessada e motivada a aprender, a desenvolver 
o raciocínio lógico, habilidade básica fundamental ao aprendizado e se apresenta como 
mais uma alternativa de construção autônoma de aprendizagem. 
 
 
 
 
 
 
 
 
10 
 
2. O PENSAMENTO MATEMÁTICO E A CONSTRUÇÃO DO NÚMERO: O NÚMERO NA 
VISÃO DE PIAGET 
Neste tópico pretendemos refletir sobre o processo de construção do 
conhecimento da criança e mais especificamente sobre a construção do conhecimento 
do número, com todas as relações que elas estabelecem no pensamento, e que se 
materializam sob a forma de noções básicas como classificação e seriação. Na 
discussão sobre a construção do número, pela criança, são explicitadas as ideias de 
Correspondência termo a termo, Classe-inclusão e Ordenação, que são as bases dessa 
construção mental. 
Todas as relações existentes no pensamento são expressões do conhecimento 
lógico-matemático da criança, que aos poucos começa a se manifestar. A criança faz 
essas relações, desde muito cedo, mas é no final do período pré-operatório e início do 
operatório concreto, de acordo com as fases de desenvolvimento de Piaget1, que a 
criança começa a estabelecer relações entre as coisas, considerando as várias 
características intrínsecas a essas coisas, como tamanho, forma e cor, entre outras, 
mas sempre em presença do objeto concreto. 
Piaget realizou, além de outros, estudos sobre a percepção e sobre as relações 
entre a percepção e a ação do sujeito. Em 1950 ele construiu uma epistemologia 
genética, na qual as relações entre as estruturas biológicas e as estruturas lógico-
matemáticas traziam um surpreendente esclarecimento sobre a continuidade da vida 
sob todas as suas formas (NICOLAS, 1978, p. 16). 
A teoria de Piaget divide o desenvolvimento humano em quatro fases que 
podem variar de indivíduo para indivíduo quanto às suas idades. O entendimento dos 
fundamentos dessa teoria é necessário, segundo o autor, para se chegar à noção de 
número. Neste sentido é preciso entender onde tudo se inicia. As fases apresentam-se 
necessariamente na ordem discriminada a seguir. 
No período Sensório motor (do nascimento aos 2 anos) ocorrem as primeiras 
adaptações e o reconhecimento do ambiente. Repetições sucessivas testam as 
 
1 Para saber mais sobre as etapas de aprendizagem de Piaget, leia o livro Didática da Matemática de 
Ernesto Rosa Neto, que trata, além das etapas de aprendizagem, de aspectos relativos à história da 
Matemática e sobre o trabalho com Laboratório de Matemática. 
 
11 
 
reações, cujos resultados são assimilados e incorporados a novas situações. As 
experiências com objetos ampliam os meios para entendimento de novas situações. A 
criança começa a considerar, por exemplo, que os objetos saem da visão, como uma 
bola atrás de uma almofada. Surgem combinações mentais e de ações. Os jogos de 
encaixe tornam-se instigantes. Há uma mudança qualitativa da organização da 
inteligência, que passa de sensível e motora para mental. 
Segundo Piaget "a estrutura é uma totalidade que é o centro de 
transformações e auto-regulagens". Neste sentido Piaget aborda as estruturas 
biológicas como o sistema nervoso e os reflexos, para daí fazer uma relação entre 
estruturas orgânicas e lógico-matemáticas. Ele alerta, no entanto, que o sistema 
nervoso não é um agregado de reflexos, que se constitui numa rede de tipo 
matemático, ao ponto de se poder esperar pela possibilidade de se controlar, um dia, 
o organismo por um tratamento lógico-matemático. 
Piaget estudou o saber instintivo, a percepção e, a partir disto, elaborou a 
hipótese de que "nosso conhecimento não provém nem da sensação nem da 
percepção somente, mas sim da ação total, em que a percepção constitui somente a 
função de sinalização". O conhecimento sobre um objeto, então, é rigorosamente 
paralelo à ação exercida sobre ele para transformá-lo, mesmo que apenas modificando 
suas posições e seus movimentos e, nesse sentido, o entendimento sobre a gênese do 
número serve para esclarecer a raiz do pensamento piagetiano. 
No período Pré-operacional (de 2 a 7 anos) o pensamento da criança não está 
mais limitado a seu ambiente sensorial imediato em virtude do desenvolvimento da 
capacidade simbólica. A criança começa a usar símbolos mentais, imagens ou 
palavras, que representam coisas e pessoas que não estão presentes. Há uma 
verdadeira explosão linguística, um considerável aumento de vocabulário, bem como 
da habilidade de entender e usar as palavras. Iremos nos deter um pouco mais neste 
período, por ser aquele no qual a maioria das crianças inicia sua fase escolar. 
Nesta fase, processos como a Classificação não estão tão latentes, pois as 
crianças não usam um critério definido para fazer a tarefa. Agrupam as coisas ao 
acaso, pois não têm uma concepção real de princípios abstratos que orientem a 
classificação. Embora aos cinco anos a criança já consiga classificar os objetos, ela 
ainda tem dificuldade de entender que uma coisa possa pertencer, ao mesmo tempo, 
12 
 
a duas classes diferentes. Diante de um vaso contendo dez rosas vermelhas e cinco 
amarelas, perguntando-se à criança se há mais rosas vermelhas ou rosas, ela 
geralmente responde que há mais rosas vermelhas. 
A Seriação também é um problema, pois as crianças pequenas são incapazes de 
lidar com problemas de seriação ou ordenação. Crianças pré-operacionais não são 
capazes de realizar Conservação do número, mesmo que já saibam contar verbalmente 
1, 2, 3, 4..., ainda não construíram o conceito de número. 
Piaget se pergunta: como, a partir dos esquemas sensório-motores, como o 
reflexo, o instinto e a percepção, comuns a animais e a homens, o homem começa a 
construir o real e seu próprio universo? Então Piaget inicia sua análise pela construção 
do objeto permanente, mostrando que não é a percepção que nos dá o objeto, pois é 
quando o objeto sai do campo perceptivo que pode sobrevir a construção e a 
conservação do objeto por encadeamento. Desta forma Piaget mostra como e quando 
se formam as noções de espaço, tempo e causalidade. 
Depois Piaget parte para o estudo da função semiótica e a intuição, que 
segundo ele aparece no ser humano, entre os dezoito meses e os dois anos. Este nível 
de representação é desenvolvido com a imitação diferenciada, o brinquedo simbólico, 
o desenho, as imagens mentais e a memória, então Piaget parte para a linguagem e 
posteriormente para a intuição e, então, Piaget chega às operações concretas e a 
descoberta do equilíbrio. 
A assimilação do nível sensório-motor, apresenta duas diferenças com o nível 
pré-operatório. A primeira é quena ausência de representação, o sujeito ignora a 
extensão lógica dos esquemas, ele só aprende uma situação em sua compreensão 
ligada à ação própria, na qual faz analogias com outras situações. A segunda deve-se a 
que essas analogias permitem reconhecer certas qualidades no objeto que 
desencadeiam situações similares às precedentes. Enfim, a assimilação dos esquemas 
sensório-motores não distingue, ou faz isso de modo mal feito, as características de 
um objeto entre os da ação do sujeito relativos a esse objeto. No pré-operatório ele se 
refere ao ausente tanto quanto ao presente, fazendo o sujeito transitar da 
compreensão à extensão, o que lhe permite classificar. Estes são os pré-conceitos. 
(NICOLAS, 1978, p. 89-91) 
13 
 
Em torno dos seis ou sete anos nascem as operações mentais. É aqui que 
chegamos aos números. É no final do período pré-operatório e início do operatório 
concreto que a criança começa a estabelecer relações entre as coisas, considerando as 
várias características intrínsecas a essas coisas, como tamanho, forma e cor, entre 
outras, mas sempre em presença do objeto concreto. As operações escapam ao sujeito 
e se tornam comuns a todos que têm o mesmo nível mental. As operações intervêm 
tanto nos raciocínios privados quanto nas trocas cognitivas. As operações não são 
inatas, mas sim a capacidade para criá-las. 
As abstrações passam a se estabelecer de modo que as ações particulares não 
são mais apreendidas em suas relações com os objetos, mas apreendidas em sua 
estrutura intrínseca, então se chega à fonte das operações. Piaget diz que a criança 
conta dez seixos e descobre que realmente são dez, apesar de ter mudado a ordem. 
Para a existência das operações, Piaget diz que é necessário o indício da conservação. 
Esta conservação não existe antes dos sete ou oito anos de idade. (NICOLAS, 1978, p. 
93-94). 
A partir do pré-operatório se abre caminho para as operações concretas, com a 
abstração de ações sobre os objetos, tais como reunir, ordenar, corresponder e outros. 
A abstração, juntamente com a coordenação dessas ações e a estruturação delas, são 
relações, no desenvolvimento do pensamento, que Piaget define como os passos 
seguintes no desenvolvimento do pensamento e que apresentam o número como a 
síntese dessas relações. As relações simétricas são as relações de classes ou de 
classificação, que considera as semelhanças como critério de organização. Este é o 
princípio da reunião, mas isto não é suficiente para chegar à conclusão do que seja o 
número, é preciso descobrir um princípio de distinção que derive das coordenações 
operatórias. (NICOLAS, 1978p. 106). Surgem então as relações de ordem, ou seja, de 
ordenação, aquelas cuja organização leva em conta as diferenças. Além destas 
relações Piaget fala em grupamentos em classes cada vez maiores que incluem as 
anteriores. 
Segundo Piaget o indivíduo passa pelas fases da percepção, depois pela 
coordenação das ações (nível sensório-motor), passa pela função semiótica, isto é, de 
representação, intuição e chega ao advento das operações concretas. Em síntese 
14 
 
Piaget diz que o processo inicia com a percepção, passa pelos grupamentos e chega ao 
número. 
A função essencial do número é transformar os elementos em unidades. 
Segundo Piaget: “O número é apenas uma coleção de elementos tornados todos 
equivalentes por semelhanças generalizadas e, entretanto, mantidos todos distintos, 
graças a uma ordem auxiliar ou diferença generalizada. Cada um desses elementos se 
constitui em uma unidade ao mesmo tempo cardinal e ordinal (já que existe sempre 
um primeiro elemento qualquer que seja a ordem escolhida, depois um segundo 
elemento, que é o sucessor do primeiro etc.)” (NICOLAS, 1978p. 108). Podemos 
entender essa teoria de forma mais clara, a partir da materialização dos aspectos que a 
envolvem, que se fazem presentes nos exemplos que são apresentados a seguir. 
As noções de classificação, ou maneiras de separar ou agrupar objetos por suas 
semelhanças ou diferenças vão se tornando mais racionais e, com isso, a criança 
começa a ser capaz de estabelecer outra relação, que é a seriação, quando ela é capaz 
de organizar uma sequência, respeitando determinados critérios ao definir a posição 
dos objetos dessa sequência. 
 
 
 
 
A seriação nos remete à ordenação, quando o critério de posicionamento está 
relacionado a coisas que possam ser mensuradas (medidas ou contadas). Porém, é 
mais fácil, para a criança, comparar objetos que possuam tamanhos diferentes. A 
noção de quantidade é mais complexa. 
 
 
 
O Número também é uma construção mental, que é feita a partir de relações 
estabelecidas entre objetos. Inicialmente, a criança usa os nomes dos números como 
se fossem nomes de objetos. Ela vai, aos poucos, aliando o dar nomes a esquemas de 
Série de bolas: Critério: vermelho, azul, amarelo. 
Ordenação por tamanho 
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seriação. Só depois, no entanto, é que a criança irá construir a noção de classe-
inclusão. 
A classe-inclusão, na construção do Número, significa que a criança precisa 
perceber que a quantidade dois (2), nada mais é que duas classes de um (1) que foram 
combinadas para formar uma única classe maior. Que a quantidade três (3), nada mais 
é que uma classe de dois (2) que foi combinada com outra classe de um (1). Isso requer 
que a criança faça comparações entre dois níveis de uma hierarquia de classes, se 
concentrando em dois aspectos, simultaneamente: a classe superior unificada e a 
classe inferior. 
 
 
 
 
 
É quando ocorre a sedimentação desses princípios ou habilidades básicas na 
organização do pensamento, como reversibilidade, transitividade, seriação, ordenação 
e classificação que a criança tem plenas condições de aprender a lidar com números e 
com os sistemas numéricos. 
E quando a criança ordena as classes cada vez maiores e percebe que a 
quantidade dois (2) é maior que a quantidade um (1), que a quantidade três (3) é 
maior que a quantidade (2) e assim por diante, pode-se dizer que a criança está 
realmente contando. 
No período das operações concretas (de 7 a 12 anos) começam as operações 
chamadas de lógico-concretas, nas quais as respostas baseiam-se na observação do 
mundo e no conhecimento adquirido. É a fase dos primeiros textos e operações 
matemáticas. 
Neste período as operações mentais da criança ocorrem em resposta a objetos 
e situações reais. A criança usa a lógica e o raciocínio de modo elementar, mas os 
aplica apenas na manipulação de objetos concretos. 
1 2 3 4 
16 
 
A criança não pensa em termos abstratos, nem raciocina a respeito de 
proposições verbais ou hipotéticas. Assim, experimenta dificuldades com os problemas 
verbais. Piaget diz que, antes da idade de 11 ou 12 anos, as operações da inteligência 
infantil são unicamente concretas, isto é, só se referem a objetos tangíveis, suscetíveis 
de serem manipulados. Se pedirmos que as crianças raciocinem sobre hipóteses 
simples ou enunciados puramente verbais dos problemas, elas logo fracassam. 
No quarto período, das operações formais (após os 12 anos) as operações 
lógicas serão realizadas entre as ideias, expressas numa linguagem qualquer (palavras 
ou símbolos), sem a necessidade da percepção e da manipulação da realidade. O 
pensamento formal é, portanto, hipotético-dedutivo, isto é, capaz de deduzir as 
conclusões de puras hipóteses, e não somente através de observação de uma situação 
real. 
Na fase da adolescência, o indivíduo pode considerar hipóteses que talvez 
sejam ou não verdadeiras e examinar o que resultará se essas hipóteses forem 
verdadeiras. Ele pode acompanhar a “forma” de um argumento, embora ignore seu 
conteúdo concreto. É desta última característica que as operações formais recebem o 
nome. 
O raciocínio ocorre com formulação de hipóteses e com a comprovação delas, 
na realidade ou em pensamento. Enquanto o pensamento de uma criançamais nova 
envolve apenas objetos concretos, na adolescência ela já pode imaginar possibilidades. 
Quando tem por volta de 15 anos, os problemas são resolvidos a partir da análise 
lógica e da formulação de hipóteses a respeito de resultados possíveis, a respeito do 
que poderia ocorrer. 
A partir disto Piaget defende duas ideias centrais: 
1. “Todo conhecimento é sempre assimilação de um dado exterior às estruturas 
do sujeito” 
2. “os fatores normativos do pensamento correspondem biologicamente a uma 
necessidade de equilíbrio por auto-regulação”, o que punha em correspondência o 
lógico e o processo de equilibração (p. 10). 
Apresentamos, a seguir, como forma de ilustração, algumas atividades que 
podem ser desenvolvidas em sala de aula e que, se conduzidas de acordo com as 
17 
 
orientações indicadas, podem permitir que se alcance o objetivo de aprendizagem dos 
números e das operações com esses números. 
Como proposta de vivência da prática essas atividades podem ser aplicadas em 
sala de aula, com crianças e os resultados relatados após a aplicação, acompanhados 
dos devidos registros da aplicação delas. Para o relato, podem ser considerados os 
itens indicados a seguir: 
 
Atividades Bloco 01: Construção do Número 
Atividade 01 – Blocos Lógicos 
Um exemplo de material a ser utilizado para se trabalhar noções básicas de 
Matemática nos é trazido pela Escola Montessoriana, que tem em Ana Maria 
Montessori sua maior referência. É o material denominado de Blocos Lógicos, um 
conjunto de peças, de diferentes formas, cores, tamanhos e espessuras. Aqui, os 
atributos “forma”, “cor” e “tamanho” serão considerados. Assim, os blocos contarão 
com as seguintes peças: 
Propomos aqui, a confecção do material e que o trabalho seja feito a partir 
de uma contextualização do material, de modo que o aluno possa fazer relações entre 
coisas existentes no seu cotidiano e o novo material que lhe será apresentado. A 
proposição de desenhos de casas, carrinhos, animais, ou outros pode ser uma 
alternativa. Nesse momento os nomes das formas não é o objetivo do trabalho. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
18 
 
Após esse trabalho, a sugestão é que os alunos possam manipular 
livremente as peças, de modo que eles não tenham dificuldades para reconhecer as 
diferentes cores, formas e tamanhos e, a partir daí, podem ser propostos jogos e 
desafios diversos. O jogo do “trenzinho” com uma ou mais diferenças é uma 
possibilidade. O jogo da “regra oculta” também é interessante. Um desafio que 
possibilita a visualização da ideia de intersecção está apresentado abaixo. 
Desafio: Forme dois conjuntos, sendo um com todos os quadrados e um 
com todas as figuras de cor azul. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.1 A AÇÃO DE CONTAR 
O ato de contar e sua história provavelmente tem muita relação com a nossa 
necessidade de se alimentar, em primeiro lugar, e com nossa organização familiar. 
Quando o homem começou a perceber as regularidades da natureza os ciclos das 
estações, e esta percepção ligada às épocas do ano em que tinham alimentos para 
coletar e caça mais abundante, é que precisou organizar formas de registrar e 
controlar suas ações em função do tempo. Inicialmente eram utilizados registros 
simples. Evez (1997, p.26) diz que “Para uma contagem de carneiros, por exemplo, 
podia se dobrar um dedo para cada animal. Podia-se também contar fazendo-se 
ranhuras no barro ou numa pedra, produzindo-se entalhes num pedaço de madeira ou 
fazendo-se nós numa corda”. Mas com a evolução gradativa da sociedade e a maior 
necessidade de contagem de grandes quantidades foi ficando cada vez mais difícil a 
utilização de métodos simples e foram necessárias novas formas de contagem, 
19 
 
exigindo a dedicação de vários povos de várias partes do mundo no sentido de 
sistematizar esses processos de contagem, como egípcios, babilônios, romanos, hindus 
e árabes. 
Contar é o princípio do que Daniluk (2002) chama de “alfabetização matemática”, 
pois é a primeira ação que o sujeito busca e que se busca dele ao ingressar em 
trabalhos matemáticos na escola. Contar é uma atividade semelhante a ler, pois o 
sujeito reconhece a quantidade, associa a ela uma palavra-número (o nome do 
número) que representa esta quantidade e um signo, o algarismo2. Ao contar, o sujeito 
está lendo (recitando) um numeral, expresso em algarismos indo-arábicos e 
associando a este a ideia de que este simboliza um atributo de um conjunto: sua 
cardinalidade, ou seja, a quantidade de elementos que este contém. 
Terezinha Nunes (2005), entre outro(a)s pesquisadores, enfatizam que as crianças 
tem ideias de contagem já em sua idade pré-escolar, por volta de 4 ou 5 anos. Isto é 
percebido pelo ato de recitar os números em uma sequência muito própria, mas 
fazendo diferença entre palavras comuns e palavras-número. As crianças contam por 
verem os adultos contarem, e parecem gostar disso, e procuram reproduzir esta forma 
de falar e de tocar os objetos, esta intencionalidade é geradora de aprendizagens. 
Como toda a construção matemática, a contagem representada por algarismos nos é 
imposta pela escola como patrimônio da humanidade que deve ser preservado e 
divulgado, e não aprendida de forma espontânea ou natural, assim como os números 
são um atributo imposto pela criança que conta aos objetos que são contados (KAMII, 
1994). 
O gráfico, na página seguinte, também de Kamii (p.84), ilustra o provável percurso 
da simbolização, partindo do objeto à ideia de número. 
 
 
 
 
2 Algarismo vem de Al-Khowarizmi, um brilhante matemático árabe que sistematizou e divulgou em um 
livro o sistema de numeração dos hindus, composto de dez signos, daí nossos algarismos se chamarem 
indo-arábicos. Estes signos foram conhecidos como a notação de Al-Khowarizmi, e com o tempo se 
falava apenas algarismus (latim), que resultou em algarismo. daí nossos algarismos se chamarem indo-
arábicos. 
20 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ao aproveitar os saberes que a criança traz de seu convívio extraescolar, o 
professor pode criar momentos em que os alunos que aprendem a contar se dediquem 
a recitar os números. Para isso é importante que nas salas de aula e no prédio da 
escola estejam à disposição das crianças objetos que possam contar e comparar, 
compondo um ambiente matematizador (parafraseando o ambiente alfabetizador). 
Para contar é necessário que o sujeito manifeste aplicar alguns princípios: 
a) Princípio da adequação única, pelo qual a criança associa a cada semente 
tocada uma e somente uma palavra-número, respeitando a ordem de recitação. Neste 
exercício de recitar tocando, as crianças geralmente recitam mais rápido que tocam ou 
vice-versa, o que denota uma percepção parcial do princípio da adequação única no 
que deve ser auxiliado pelo professor. 
b) Princípio da cardinalidade - Por este princípio, o último objeto tocado e sua 
palavra-número correspondente, devem representar o número de elementos 
contados, ou seja, este é o cardinal do conjunto de objetos contados, ou seja, o 
número de seus elementos. Para aperfeiçoar este princípio, o(a) professor(a) pode 
realizar algumas sequências didáticas como as que sugerimos a seguir: 
i. O(a) professor(a) coloca diante do aluno um punhado de sementes sem contar e 
pede que ele diga a quantidade. 
21 
 
ii. Em grupos de alunos: cada aluno pega do kit, a quantidade de sementes que quiser. 
O(a) professor(a), antes que contem pergunta quem tem mais. Os alunos fazem 
estimativas e contam para conferir os palpites. 
c) Princípio da indiferença da ordem – a ordem em que os objetos são tocados 
não interfere na contagem destes. O que interfere é a ordem em que as palavras-
número são recitadas. 
 
Atividade 02 - Problemas para aprendizagem da contagem 
O problema em sala de aula de matemática deve ter a mesma conotação que 
tem na vida fora da escola: o que não apresenta solução imediata sem que se 
mobilizem estruturas depensamento e conhecimentos de forma não linear. 
Aprendemos de forma mais significativa e eficiente quando somos desafiados. Por isso, 
o(a) professo(a)r deve pensar em problemas, a princípio simulados, mais simples, mas 
que tenham contextos próximos dos alunos, e depois se arriscar em propor situações 
que envolvam contagens mais complexas, em que as crianças precisem confiar em seu 
trabalho para resolver a situação. Este tipo de problema ajuda a promover a 
autonomia tão necessária e buscada na formação dos cidadãos. 
A aprendizagem da contagem e dos números pode ser motivada por meio de 
problemas, mas estes problemas devem enfocar as diversas formas como os números 
são apresentados na vida cotidiana: 
- Problemas relativos à Memória de Quantidades (função cardinal) – Para exercitar a 
memória de número (função cardinal) o(a) professor(a) pode pedir que um aluno a 
cada dia, distribua os lápis (ou outro material) para a turma, sendo um objeto por 
criança. Em um primeiro momento, a criança, por conta própria, pode ir e vir tantas 
vezes quanto achar necessárias para que todos recebam os seus materiais, o que ficará 
cansativo. O(a) professor(a) pode interferir quando achar conveniente e sugerir, caso o 
aluno não perceba por si só que pode ganhar tempo se trouxer a quantidade de lápis 
correspondente de uma vez só. A criança, com a apreensão da contagem realiza a 
tarefa com mais facilidade, podendo ser desafiado com um grau crescente de 
dificuldade: levar lápis para as meninas e borrachas para os meninos; levar dois 
22 
 
objetos para cada criança; etc. Constance Kamii na obra que citamos nas referências, 
traz várias sugestões para o tratamento de situações de sala de aula que podem e 
devem ser utilizadas como motivadoras de aprendizagem de conceitos matemáticos. 
 
- Problemas relativos à Memória de Posição (função ordinal) – pedir à criança que 
busque algo para você que esteja no 3º escaninho (armário). Peça que a 7ª criança da 
3ª fila vá pegar algo etc, são atividades que exercitam esta função dos números. O(a) 
professor(a) também pode organizar os alunos em sequência e colar números em suas 
carteiras ou nos armários, assim como se colam os nomes, isto pode ajudar na 
realização de atividades. Na atividade do tesouro, a função ordinal dos números será 
observada ao classificar, por ordem crescente ou decrescente, os alunos pelo número 
de sementes conseguidas. 
 
- Problemas relativos a códigos – no CPF, RG, número de telefones, os números não 
representam obrigatoriamente cardinalidade ou ordem, mas apenas denominam o 
elemento. Esta percepção é motivada ao se levar os alunos a observarem os 
documentos dos pais, e perceberem quantos números tem lá. 
 
Problemas para expressar Grandezas – quando associados a unidades de medidas, os 
números expressam grandezas: 5 anos, 100 metros (100 m), 30 quilogramas (30 kg), 
etc. 
 
Sementes para Contar 
 Você pode utilizar sementes de diferentes cores e tamanhos, oriundas de 
vegetais da flora regional, como tucumã, buriti, açaí e seringueira, dentre outras. Essas 
sementes deverão ser utilizadas em várias atividades, com orientações específicas a 
cada uma delas e conteúdos também específicos. 
As atividades envolvem contagem, sempre utilizando sementes de diferentes 
cores e tamanhos. Essas atividades serão descritas a seguir, acompanhadas de 
considerações didáticas. 
 
23 
 
 
 
 
 
 
O primeiro momento é o jogo livre (DIENES, 1986). Ao se depararem com 
sementes de diversas cores e tamanhos, a brincadeira espontânea será imediata e as 
sementes logo receberão muitas atribuições. Neste momento, as crianças devem se 
apropriar dos objetos e brincar livremente, criar suas regras, seus jogos particulares, 
depois, em grupo, criar suas formas de jogar. Após este “reconhecimento” entramos 
com atividades direcionadas aos objetivos propostos. 
Você pode também desenvolver atividades de classificação misturando todas 
as sementes diante da criança. Esta poderá “organizá-las” de acordo com alguns 
atributos que perceber: tamanho, tipo, cores, etc. o(a) professor(a) poderá variar a 
atividade, deixando a disposição do aluno, a princípio, apenas dois tipos de sementes 
para serem organizadas; em um segundo momento pode incluir mais um tipo e assim 
por diante até que todos os tipos tenham sido contemplados na atividade. Pode-se 
explorar nesta atividade atributos como tamanho, cor, qualidade, textura. 
As crianças também podem criar/copiar sequências. O(a) professor(a) pode 
propor sequências com as sementes e pedir que os alunos as reproduzam. Este 
exercício é bem aceito quando os alunos são motivados a montarem colares ou 
pulseiras de sementes, atividade muito praticada e viável economicamente. Nestas 
bijuterias, as sementes são combinadas em uma sequência que é reproduzida no 
decorrer da peça. 
Uma atividade motivadora para aprendizagem utilizando sementes e que 
também avalia é a atividade do tesouro, que descrevemos abaixo: 
Montamos grupos de 4 ou 5 crianças. Distribuímos para cada criança um saco 
opaco (para que não se veja o que tem dentro) com um número de sementes dentro 
(pode ser qualquer número que o professor considere conveniente pela maturidade da 
24 
 
turma), um punhado de sementes e um dado por grupo. Cada jogador joga o dado e 
conforme o número que cair, pega a quantidade de sementes do punhado e põe no 
seu saco. O jogador deve sempre saber quantas sementes tem no saco, usando apenas 
lápis e papel, não podendo abrir o saco. Ao final, ao acabarem as sementes do 
punhado, ganha quem souber quantas sementes tem em seu saco. No caso de todos 
acertarem, ganha quem tiver mais sementes. 
No momento de representar os resultados, os alunos podem fazê-lo de várias 
maneiras válidas e que devem ser observadas e aproveitadas pelo(a) professor(a) para 
ensinar: 
a) Representações Idiossincráticas – são rabiscos, garatujas, sem relação com 
objeto ou a quantidade. É típico em crianças que pegam no lápis pela primeira vez, por 
volta de 3 anos, mas esta representação também é percebida com frequência em 
crianças em fase de alfabetização, por volta dos 6 anos. É relevante que os alunos de 
educação infantil passem por esta representação, pois percebem que o lápis tem a 
função de marcar, de escrever, como fazem os mais experientes. O(a) professor(a), ao 
perceber estas manifestações, deve conduzir o aluno a representar as quantidades de 
forma pictográfica. 
b) Representações Pictográficas – o jogador busca desenhar com o máximo de 
fidelidade os objetos que deseja enumerar. Interessante perceber se ele o faz em 
relação biunívoca, ou seja, se cada semente desenhada corresponde a uma e somente 
uma em seu reservatório. 
c) Representações Icônicas – quando o jogador representa a quantidade exata 
de objetos contados, em correspondência biunívoca, por meio de um tracinho ou 
bolinha, como fazemos a contagem de ponto no jogo de voleibol. Significa que o aluno 
conta, mas lhe falta utilizar o sistema formal, cuja motivação é atribuição da escola. 
Para a transcendência da criança deste nível para o próximo, o(a) professor(a) pode 
provocá-la pedindo que represente quantidades muito grandes, como o numero de 
alunos no recreio. A criança logo perceberá que seu sistema pictográfico é eficiente 
até certa quantidade, mas que a visualização para grandes quantidades é deficiente. 
25 
 
d) Representações Simbólicas – finalmente representa com símbolos formais 
(algarismos) as quantidades. Ressaltamos que não é obrigatório que a criança passe 
por todas estas fases para que aprenda a contar corretamente, mas este é um 
caminho percebido em pesquisas e que devemos conhecer para fundamentar nossa 
ação. 
 
O Maior leva 
Neste jogo são utilizados 40 cartões, como ilustrado abaixo, que apresentam a 
representação numérica e pictórica dos números de 1 até 10 (podemos também usar 
as cartas de um a dez de umbaralho). Os cartões são divididos por duas crianças. 
Cada criança abre um cartão de seu monte e os valores são comparados. Quem 
tiver o maior valor, fica com os dois cartões. Em caso de empate, novos cartões são 
abertos e o aluno que tiver o maior número nesta nova rodada ganha os quatro 
cartões. Ao final do jogo, ganha quem tiver mais cartões. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Atividade 3 – Material Dourado e o Processo de Contar 
A ideia de Número é bastante abstrata e a Geometria pode permitir que esse 
conteúdo abstrato seja visualizado pelas crianças. Para isso, podemos associar 
unidades a pequenos cubos, dezenas a barras, centenas a placas e milhar a um grande 
cubo, trabalhando um material Montessoriano denominado de Material Dourado. 
Observe as ilustrações a seguir e veja como isso pode ser feito. 
26 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Os números irão sendo formados a partir do agrupamento desses materiais, 
que podem ser manipulados pelas crianças. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Atividade 04 – Identificando Quantidades 
 
O aluno precisa perceber a relação entre a quantidade e o símbolo que o 
representa e, como forma de obter essa relação, o trabalho com um material que 
expresse essa relação, como o que é apresentado, a seguir, é uma boa alternativa. 
A atividade deverá ser realizada em três etapas, de modo que ele primeiro 
perceba a quantidade, depois relacione a quantidade à sua representação e em uma 
terceira etapa possa trabalhar apenas com a representação das quantidades. O 
material pode ser confeccionado por você, ou conjuntamente com os alunos, o que é 
recomendável. 
 
27 
 
Etapa 01: Nessa etapa, o aluno deve trabalhar apenas com as quantidades, sem a 
preocupação de simbolizar essas quantidades. O trabalho pode ser feito com a 
introdução das quantidades de 1 a 9, mas se você achar que as crianças possuem 
conhecimentos que lhes permitam ir mais longe pode seguir adiante! 
 
 
 
 
 
Aqui, você deve fazer muitas perguntas, como: 
- Quantos carrinhos? 
- Qual tem mais? Qual tem menos? 
- Quantos têm a mais? Quantos têm a menos? 
 
Etapa 02: Agora, o aluno já vai trabalhar com as quantidades relacionando-as aos 
símbolos que as representam. O trabalho deve ser feito com quantidades trabalhadas 
na etapa anterior. Faça, novamente, muitas perguntas similares à etapa 01. 
 
 
 
 
 
Etapa 03: Nessa terceira e última etapa, o aluno já deverá reconhecer a quantidade 
apenas a partir do símbolo que a representa. As fichas também deverão ser 
apresentadas ou construídas com as quantidades trabalhadas. Novamente as 
perguntas devem ser feitas por você. Essas perguntas devem possibilitar a 
 1 2 3 
28 
 
identificação e a comparação. Apresente uma ficha, ou solicite que os alunos façam 
isso e pergunte quantos tem. Depois, apresente duas e pergunte: - Quantos? Qual o 
maior? Quantos têm a mais? Quantos têm a menos? Qual é o menor? 
 
 
 
 
Em termos de orientação do trabalho didático, o aluno tem que ser 
incentivado a pensar, de modo a primeiro compreender, falar o que compreendeu, 
para depois fazer a representação daquilo que aprendeu (compreender em ação, 
compreender em pensamento e compreender explicitando por representação 
simbólica). No entanto, a fala do aluno também pode estar no momento final desse 
processo, quando se pensa na socialização, entre os alunos, das ideias aprendidas, mas 
que também exige saber expressar essa fala ou pensamento, de forma simbólica, 
através de registro gráfico. 
O trabalho com as diferentes quantidades não pode ser, inicialmente, 
fragmentado. É necessário que os alunos visualizem as diferentes quantidades, para 
terem noção do todo e, só depois, ser dada ênfase, gradualmente, a cada quantidade. 
Para a simbolização, que é a última etapa do processo e por exigir habilidades 
motoras, é importante que sejam desenvolvidas atividades direcionadas à grafia dos 
números. 
Para auxiliar os alunos, na grafia com os números, existe uma atividade 
na qual são utilizados números recortados em lixa ou utilizando areia e cola, em 
tamanho grande, fixados em folhas de papel, para os alunos desenvolverem a 
coordenação motora, na medida em que passam a mão sobre esses números. Nessa 
atividade, os alunos devem ser orientados a seguirem sempre uma direção (da 
esquerda para a direita e de cima para baixo, que são os movimentos feitos mais 
facilmente. Para o canhoto é o inverso). Atividades com água, com tinta ou outras 
alternativas para desenharem números, também são interessantes. 
 1 2 3 
29 
 
Atividade 05 – Números maiores que nove 
Um obstáculo que surge, quando ensinamos os números, é a mudança 
de representação, utilizando dois símbolos a partir da quantidade dez. É necessário, 
aqui, que os alunos componham essas quantidades, a partir de grupamentos de dez e, 
para atingir esse objetivo, pode ser desenvolvida a atividade a seguir. 
Juntando... 
Essa atividade é uma extensão do trabalho que foi desenvolvido 
anteriormente. Os alunos já aprenderam a compor as quantidades, sempre 
acrescentando mais um e isso permanece igual, quando o número a ser composto é o 
dez, que nada mais é que nove mais um. Agora, você vai ensinar a eles que sempre 
que juntarmos dez coisas, devemos formar um grupo e que isso pode ser considerada 
uma regra ou um jogo. 
- Trabalhe com palitos de picolé e componha outras quantidades, como: 
 
 
Ou 
 
 
- Faça isso com outras quantidades (desarrumadas), desafiando os alunos a 
contarem e depois discuta a forma de representar essas quantidades. Para isso, 
use a linguagem "quantos grupos de dez e quantos soltos?". A resposta a essa 
pergunta possibilitará que os próprios alunos representem as quantidades maiores 
que dez e a própria quantidade dez, como um grupo de dez e nenhum solto. 
Lembre-se que os alunos estão compondo quantidades. Experimente, então, 
desconstruir essas quantidades ou decompô-las, quebrando os números, ou 
subtraindo. Isto é, trabalhar com a reversibilidade. 
 
 
+ 
+ 
30 
 
 
Sem pretender definir o momento em que essa atividade deverá ser 
aplicada, pois depende da velocidade dos seus alunos, podemos dizer que 
normalmente ocorre no final do 2º ano. O importante é que essa estratégia seja 
utilizada para trabalhar com quantidades envolvendo dezenas e seja ampliado para o 
trabalho com centenas, quando o grupamento de 10 dezenas formar uma centena. 
Você estará, assim, trabalhando informalmente com o Sistema de Numeração Decimal 
e os alunos estarão compreendendo que a quantidade 12, por exemplo, nada mais é 
que (10 + 2), ou um grupo de dez e dois soltos, ou ainda, uma dezena e duas unidades. 
A compreensão é fundamental, pois essa ideia é básica para o trabalho com as 
operações que deverá ser feita posteriormente. 
Novamente, não deve haver preocupação inicial com a gradualidade. 
Trabalhe com diferentes quantidades, sem a preocupação com a ordem. Só depois, se 
você sentir que é necessário, é que essa preocupação deve aparecer. 
Utilize recursos diversos para fazer contagens. Use sementes de frutas 
comuns no seu município, desenhos de animais regionais ou outras coisas presentes 
no seu contexto. Aproveite para conversar sobre preservação. 
Como atividade preparatória para o trabalho com o Sistema de Numeração 
Decimal existe um material interessante, o ábaco, com o qual podemos desenvolver 
atividades de contagem. Existem várias versões de ábacos, utilizando diferentes 
sistemas, inclusive o decimal e a versão aqui apresentada é uma que possibilita a 
continuidade do trabalho com os palitos que foi iniciado em atividades anteriores. 
 
Atividade 06 – Usando o Ábaco – Números e o Pensamento Abstrato 
Um momento que exige um trabalho cuidadoso é a passagem do ensino 
com objetos concretos para as representações abstratas, quando apenas os números 
irão aparecer. A sugestão que damos é que seja feito um trabalho de transição, comum material que traz implícita essa ideia: O Ábaco. 
31 
 
A transição se dá, pois no Ábaco são utilizadas bolinhas para representar 
quantidades e essas bolinhas assumem valores diferentes, na medida em que estão 
em posições também diferentes. Com ele, os alunos podem representar grandes 
quantidades, utilizando o princípio do valor posicional. 
O Ábaco foi a primeira calculadora inventada pelo homem e as suas 
primeiras versões utilizavam pedras e fios. Sua maior vantagem era a de prescindir do 
“zero”, que ainda não havia sido inventado à época do seu surgimento. 
Existem várias versões. O Ábaco Japonês é constituído por uma espécie 
de grade retangular, com hastes fixas paralelamente e uma haste perpendicular. Nas 
hastes paralelas são colocadas bolinhas que deslizam em direção à haste 
perpendicular. Cada bolinha que fica abaixo da haste perpendicular vale 01 (uma) 
unidade, enquanto que a bolinha que fica acima desta haste, vale 05 (cinco) unidades. 
O Ábaco Chinês é similar ao Japonês, sendo que são colocadas duas bolinhas acima da 
haste vertical. Os valores das bolinhas também são os mesmos. O Ábaco Romano, que 
é o mais utilizado nas escolas (em duas versões), é composto por uma base e várias 
hastes. Cada haste comporta 09 (nove) argolas. 
Em todas as versões, porém, o princípio é o valor posicional: Na primeira 
haste, à direita, cada bolinha abaixo da haste central (na horizontal) vale uma unidade. 
Na segunda (da direita para a esquerda), cada bola vale dez. Na terceira, vale cem e 
assim sucessivamente. As bolas acima da haste valem cinco no chinês e dez no 
japonês. A contagem é feita considerando as bolas que estão coladas na haste central. 
No chinês utiliza-se o princípio da subtração, enquanto que no japonês, o princípio 
aditivo. 
O objetivo, ao se trabalhar com o Ábaco, é permitir a passagem do 
pensamento com base no concreto, para o pensamento abstrato. No entanto, é 
importante que os alunos façam a representação, no papel, após fazer a contagem no 
ábaco. 
Novamente, aqui, o trabalho deve ser uma extensão da proposta que 
vem sendo posta em prática. Para contar e representar no Ábaco, os alunos devem 
dispor e manusear quantidades (desarrumadas) de objetos. Essas quantidades podem 
ser resultantes de situações criadas por você, professor(a) ou pelas crianças. É 
32 
 
necessário, no entanto, que elas lembrem da regra básica de formar um grupo, sempre 
que contarem dez. No Ábaco, não podem ficar 10 bolinhas em uma haste e sempre 
que se alcançar essa quantidade elas devem trocar por uma bolinha a ser colocada na 
haste imediatamente à esquerda. O desafio e a atividade devem ser das crianças. 
- Solicite, então, que contem e representem no Ábaco quantidades diversas, como por 
exemplo: 
 
 
 
Você pode construir o Ábaco juntamente com seus alunos. Use 
materiais da sua região e, para contar e representar continue utilizando coisas do seu 
contexto. No final, explore as situações criadas por você e seus alunos, aproveitando 
para ampliar a discussão envolvendo outros aspectos, que não a matemática. 
 
- Ábaco da Caixa de Sapatos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
33 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A sequência das figuras indica como produzir o Ábaco. Inicialmente você deve 
recortar a caixa de sapatos de modo que a frente fique rebaixada. Os recortes terão 
forma de triângulos que serão utilizados para separar o espaço interno em três partes. 
Esses espaços representarão as casas das unidades, das dezenas e das centenas. Um 
pedaço da tampa da caixa deverá ser colado na parte superior onde serão colados 
pequenos bolsos nos quais as representações das quantidades serão colocadas. Se a 
caixa utilizada já tiver a tampa colada a ela, essa última etapa não será necessária. 
 
 - Para ensinar utilizando o Ábaco, você deverá utilizar palitos, ligas plásticas e fichas 
numeradas de 0 a 9. Na medida em que você for contando os palitos, eles serão 
colocados nos espaços específicos. Sempre que juntar 10 palitos eles deverão ser 
amarrados com uma liga. A primeira casa da direita será a casa dos palitos soltos 
(unidades). A segunda casa, à esquerda, será a casa dos montinhos de 10 (dezenas) e, 
sempre que juntar 10 montinhos de 10, eles serão amarrados para formar um monte 
de 100 (centenas) e deverão ser colocados na casa mais à esquerda. Um exemplo 
abaixo: 
 
 
 
 
 
 
34 
 
3. SISTEMA DE NUMERAÇÃO DECIMAL 
 Um Sistema de Numeração é um conjunto de princípios utilizados na 
organização, sob a forma de grupos e subgrupos, das unidades que formam os 
números. Na história da humanidade existiram vários sistemas de numeração, 
utilizando outros símbolos, mas o que passou a ser o mais utilizado foi o Sistema de 
Numeração Decimal, talvez pelo sentido de número que o ser humano possui e 
possivelmente por termos dez dedos nas mãos. Esse sistema passou a ser conhecido 
como Sistema de Numeração Indo arábico, em razão das contribuições dessas 
civilizações. 
O princípio básico do Sistema de Numeração Decimal é que, utilizando dez 
símbolos para representar as quantidades, dez unidades de uma ordem formam uma 
ordem imediatamente superior. Essas ordens são grupadas em classes de três. Nessa 
organização temos, na primeira classe das unidades, a ordem das unidades, das 
dezenas e das centenas. Na classe seguinte, dos milhares, temos as ordens de unidade 
de milhar, dezena de milhar e centena de milhar. Na classe seguinte, dos milhões, 
organizadas da mesma forma que a anterior. Depois temos as classes dos bilhões, 
trilhões, ... 
Existem outros sistemas de numeração em diferentes bases. O Sistema Binário, 
que é utilizado nos computadores é um exemplo de utilização que ainda permanece na 
atualidade. 
O Sistema de Numeração Romano é um exemplo de sistema ainda utilizado na 
atualidade, no qual são utilizados outros símbolos. Nele são utilizadas letras e um 
sistema posicional aditivo ou subtrativo, dependendo da posição ocupada pelas letras 
que possuem valor maior ou menor. 
O uso generalizado do Sistema de Numeração Decimal e da numeração indo 
arábica também pode ser justificado pela facilidade no desenvolvimento de cálculos e 
das operações matemáticas, quando comparado a outros sistemas. 
 
 
 
35 
 
4. OPERAÇÕES 
O tratamento desse item, de modo a manter a diretriz inicial de construção 
natural, como parte do desenvolvimento da criança, deverá dar ênfase aos processos 
desenvolvidos pelas crianças no seu cotidiano, ao lidar com situações que exigem o 
pensamento operatório e a discussão dos processos mentais que aí se dão. Para o 
trabalho com as operações, a referência principal será a ideia de Campo Conceitual de 
Vergnaud (1990), relativa a um conjunto de problemas e situações cujo tratamento 
requer conceitos, procedimentos e representações de diferentes tipos, mas 
intimamente ligados. Desse modo, as operações não devem ser ensinadas a partir de 
algoritmos, regras, propriedades, termos, mas colocando as crianças frente a situações 
a serem analisadas, de modo que esses campos conceituais sejam compreendidos por 
elas. 
A ordem de apresentação poderá ser feita a partir da adição, como 
operação geradora das demais, que se encontra implícita na ação de juntar que é 
própria da construção de Número. No entanto, é necessário discutir a não linearidade 
nas situações que são vivenciadas pelas crianças. A ideia de reversibilidade deverá ser 
utilizada na discussão a ser feita. 
 
4. 1. Campo Aditivo: Adição e Subtração. 
 
Se a adição pode ser expressa a partir da combinação de dois números que 
deverão ser expressos como um terceiro número, o conceito de adição é construído a 
partir da ação de juntar, mas também das ações de comparar e de completar 
quantidades. A abordagem conceitual está sendo feita aqui, no sentido de se ter a 
centralidade nos processos de raciocínio das crianças. 
O conceito de subtração, porsua vez, é construído a partir da adição, pois 
as ações de juntar e de retirar são ações inversas, mas que podem ser momentos 
diferentes de uma mesma situação, pois se houve acréscimo é possível discutir sobre o 
que existia anteriormente ao acréscimo ou, se houve retirada, também havia um 
momento anterior antes de ocorrer essa retirada. A ação de completar, também 
permite esse olhar reversível, na medida em que se faz a análise desses diferentes 
momentos. 
36 
 
Atividades Bloco 02: Operações – Campo aditivo (Adição) 
 
Atividade 07 - As primeiras Adições 
 
O objetivo, com esta atividade, é que os alunos construam o conceito de 
Adição. No momento inicial, que pode ocorrer no 2º ano, a sugestão é que sejam 
apresentados, aos alunos, problemas envolvendo o manuseio de materiais. Você 
entrega certa quantidade de objetos aos alunos (bolinhas, por exemplo) e pergunta: 
 
 
 
- Quantas bolas vermelhas? Quantas azuis? Quantas, no total? Qual tem mais? 
Quantas a mais? Quantas azuis faltam para completar a quantidade de vermelhas? 
 
É importante, nesse momento inicial, que os alunos possam manusear 
materiais. Você pode armar a conta, utilizando riscos representando as quantidades, 
ensinar o símbolo + e até pode usar os termos parcela e soma, mas sem cobranças. A 
conta, utilizando os números pode vir em um segundo momento e somente aí, 
possivelmente em um terceiro ano, é que os termos poderão ser cobrados. A 
mecanização do processo ocorrerá naturalmente e apenas depois que os alunos 
compreenderam e memorizaram. 
No exemplo, foram utilizadas bolinhas, mas você deve lembrar que a 
contextualização do trabalho é responsabilidade sua e, para isso, pode utilizar objetos 
do cotidiano dos seus alunos e, depois, ampliar a discussão, envolvendo aspectos não 
matemáticos. 
O conceito de subtração é construído a partir da adição e deve ser 
trabalhada em paralelo. A ação de juntar e de retirar devem ser compreendidas como 
ações inversas, mas que podem ser momentos diferentes de uma mesma situação. A 
37 
 
ação de completar, também permite esse olhar reversível. A busca das respostas às 
perguntas feitas, na situação apresentada, é que darão indicativos das operações 
realizadas pelos alunos. 
Se você quiser fazer uma discussão envolvendo outras áreas e 
temáticas, experimente perguntar aos alunos sobre situações que eles observaram 
aumento ou diminuição de quantidades. Você pode, depois das respostas e das 
situações e discussões daí resultantes, criar outras e falar da variação da quantidade 
de alunos na turma (em diferentes dias), de preços de coisas que eles compram, do 
valor de passagem, ou outras situações possíveis. Isso pode gerar uma discussão 
interessante. Mas é importante que as comparações, nos diferentes momentos, se 
deem, na perspectiva de que eles percebam as variações sempre relacionadas às 
operações adição e subtração. 
 
Atividade 08 – Quem forma um montão primeiro 
 
No jogo, os alunos são convidados a formar um montão (uma centena) de 
palitos, jogando alternadamente um dado e formando pequenos montes (dezenas), 
amarrando cada um deles, na medida em que as quantidades de palitos que cada um 
possui chega no número dez. O jogo tem continuidade até que um dos jogadores 
forma um montão, que são as dez dezenas que serão amarradas, formando um monte 
maior. 
 
 
 
Os alunos, ao ganharem palitos, nas rodadas que se alternam, estarão 
fazendo informalmente pequenas adições. Por exemplo, se um aluno, na primeira 
rodada jogar o dado e este cair no número 6, ele ganha seis palitos. 
 
38 
 
Se esse mesmo aluno, na rodada seguinte, jogar o dado e ele cair no 
número 5, por exemplo, a operação informal que ele fará será: 
 
 
 + = 
 
O resgate das etapas do jogo, com o registro sob a forma de algoritmo 
permite que o (a) professo(a)r formalize a operação adição, seja no momento em que 
o jogo está acontecendo ou depois dele. 
 
- jogo de esconder. 
Neste jogo, distribua certo número de objetos (podem ser sementes de frutas) 
do mesmo tipo para cada dupla de alunos (podem ser 9 no primeiro momento, e mais 
tarde uma quantidade maior). Diga às crianças que o jogo tem as seguintes regras: 
a) um aluno apresenta ao seu colega uma quantidade de fichas (ou do objeto que 
estiver sendo utilizado) arrumadas em dois grupos – as fichas não utilizadas 
permanecem escondidas da vista do outro jogador. 
b) Depois que o colega observar, junta as fichas e cobre-as com uma folha de papel. 
c) O outro aluno que joga deve dizer o total de fichas que ficou embaixo da folha. 
d) Em seguida, os dois alunos levantam a folha e conferem o resultado. Para cada 
resultado correto será marcado um ponto para o jogador. 
e) A turma faz 10 jogadas, revezando sempre o jogador. Depois os pontos são 
contados para se determinar o vencedor da partida. 
 
 
 
 
 
 
39 
 
5. ALGORITMOS 
 
Para entender o que é um algoritmo uma possibilidade é recorrer à 
etimologia da palavra e, assim, perceber sua origem e seu significado para que se 
compreenda como/o que se desenvolve no processo algorítmico. De forma sintética, 
existem duas versões etimológicas sobre o termo algoritmo: a primeira deriva do 
nome do matemático persa Abu Ja´far Maomé ibn Mûsâ al-Khowârism, que escreveu 
sobre algoritmos utilizados no sistema de numeração decimal indiano e sobre álgebra; 
a outra é derivada “da palavra Al-goreten , que significa raiz, conceito que se pode 
aplicar aos cálculos” (CUNHA, 2007, p. 01). 
Com essa ideia, ainda não fica evidente o entendimento do que é um 
algoritmo. De maneira didática, quando se ensina uma operação, o professor explica 
aos seus alunos o primeiro passo que se deve realizar e, posteriormente, o segundo 
passo, e assim por diante. Assim, algoritmo trata-se de uma sequência de passos a ser 
seguida para que se encontre algo, na matemática um resultado. Porém, quando um 
aluno não executa a sequência estabelecida pelo professor para resolver determinada 
operação matemática e chega ao resultado esperado, ele está realizando um 
algoritmo? Certamente que sim, pois aquela forma de resolver a operação é o 
algoritmo desenvolvido por ele para encontrar o resultado. “Assim, a característica 
mais marcante de um algoritmo é se constituir numa sequência de passos simples, 
para a realização de uma tarefa mais complexa” (CUNHA, 2007, p. 02). Isso possibilita 
que problemas dos simples aos complexos sejam resolvidos, através de uma sequência 
pré-estabelecida e formalizada pela ação do sujeito com o objeto matemático. 
Ressaltamos que a matemática é uma construção histórica dada pelas 
sociedades no fazer de suas sistematizações relacionais. Sendo assim, as relações 
matemáticas elaboradas durante a História da Humanidade foram estruturadas por 
representações formalizadas tais como temos hoje. Consideramos, portanto, que os 
algoritmos convencionais ensinados no sistema escolar são construções que 
representam uma maneira de resolver problemas de certa natureza, mas não é o 
único. Pensar a matemática como uma construção histórica enraizada numa sociedade 
e em sua cultura é possibilitar a abertura para outros algoritmos desenvolvidos por 
indivíduos na sua relação com a realidade em que estão imersos. 
40 
 
Os grupos sociais desenvolveram diferentes formas de resolver as 
situações do seu cotidiano, de tal maneira sistematizaram procedimentos para 
representá-las. Porém, a matemática ocidental expandiu-se pelo restante do mundo e 
com efeito de dominação se impôs sob essas outras formas de conhecimento. Neste 
processo de sujeição e dominação, os algoritmos convencionais assumem hegemonia 
no tratamento das operações matemáticas realizadas atualmente em sala de aula. 
Portanto, entendendo algoritmo como uma sequência definida de 
procedimentos a serem seguidos, ou etapas a serem seguidas no processo de 
resoluçãode um problema matemático ou situação matemática apresentada, a 
principal característica a que somos remetidos quando se pensa no uso de algoritmos 
é a ação mecânica que normalmente acompanha os processos de resolução, processos 
que surgem desde as noções mais básicas que, desde as séries iniciais se pretende 
ensinar, como a adição e a subtração. 
Quando os processos de adição e subtração assumem formalidade e são 
realizados sob a forma de algoritmos, os conceitos, princípios, regras e propriedades se 
fazem presentes implicitamente, mas nem sempre são percebidos e compreendidos 
no ato às vezes mecânico de operar. Os algoritmos, na maioria das vezes, acabam por 
se apresentar como Esquemas Vergnaud (1983) que, no caso específico, se 
caracterizam como condutas automatizadas e que não expressam os elementos 
cognitivos implícitos à ação do sujeito. 
Os princípios do Sistema de Numeração Decimal, por exemplo, estão 
intrínsecos ao processo. Esses princípios podem ou não estar presentes nos esquemas 
formais dos algoritmos, pois nesses a automatização acaba sendo o elemento mais 
visível da organização da ação. 
Antes do trabalho com o algoritmo da adição, sugerimos o uso de um jogo 
preparatório, denominado “quem forma um montão primeiro” que é jogado com 
palitos de picolé, ligas e um dado. 
 
5.1. Algoritmos no Campo Aditivo 
Existe outra como sugestão de ação didática, que permite a percepção dos 
princípios mencionados anteriormente, com a utilização de uma estratégia que orienta 
41 
 
a decomposição do número, ou de forma mais simples, quando se possibilita perceber 
que os números podem ser "quebrados". O número 43 pode ser entendido como 40 + 
3 e isso pode facilitar a compreensão das operações. Por exemplo, adicionar 38 + 27 
poderia ser feito da seguinte maneira: 
30 + 8 (+) 
20 + 7 
50 + 15 Mas, como o 15 pode ser quebrado, ficamos com: 
50 + 10 + 5 = 60 + 5 = 65 (juntando os pedaços) 
Desse modo, a ideia do "vai um" pode ser mais bem interpretada que se 
estiver apenas implícita. 
 
 
Atividades Bloco 03: Operações – Campo aditivo (Subtração) 
 
 
Atividade 09 – Quem acaba os montes primeiro 
 
Antes da introdução do trabalho de ensino da subtração também existe um 
jogo que pode ser utilizado como atividade preparatória, similar ao apresentado 
anteriormente e denominado de “Quem acaba os montes primeiro”. A diferença é que 
o início do jogo se dá com as crianças recebendo grupos de palitos já formados. Os 
alunos agora são convidados a acabar com os montes de palitos que receberam, que 
podem ser em número de três (dezenas). Eles também jogarão os dados 
alternadamente, retirando as quantidades obtidas nos dados. O jogo tem continuidade 
até que um dos jogadores não tenha mais palitos, o qual será o vencedor. Todos os 
alunos iniciam o jogo com trinta palitos amarrados em grupos de dez. 
 
 
 
42 
 
Ao jogarem o dado podem ocorrer situações parecidas com o exemplo a 
seguir. Um aluno, na primeira rodada joga o dado e este cai no número 5. Ele então 
precisa retirar cinco palitos de 30 e necessariamente terá que desmanchar um dos 
montes para fazer a retirada. A quantidade restante será: 
 
 
 
 
 
O jogo tem continuidade e o resgate das etapas do jogo, com o registro sob 
a forma de algoritmo deve permitir que o (a) professo(a)r formalize a operação 
subtração. 
Na formalização, a estratégia utilizada com a adição, que orienta decompor 
ou "quebrar" os números também poderá ser utilizada na subtração e o processo de 
resolução seria o mesmo. Observe, no exemplo abaixo, como poderia ser realizada a 
subtração de 43 - 29: 
 40 + 3 (-) 
 20 + 9 
 
Como não é possível retirar a quantidade 9 de 3, a possibilidade é 
transformarmos uma dezena em unidades, juntamos ao 3 e ficarmos com a seguinte 
subtração, que na verdade é a mesma subtração: 
 30 + 13 (-) 
 20 + 9 
 10 + 4 = 14 (ao juntar os pedaços) 
 
 
 
43 
 
Atividade 10 – Tabela Mágica3 
 
A tabela a seguir apresenta vários números e permite que alguém adivinhe um 
número pensado, entre 1 e 31, bastando que você diga em quais colunas esse número 
está. Pense em um número e deixe que eu adivinhe. Observe, com atenção, pois você 
deverá descobrir como o "adivinho" descobre o número pensado e depois você vai 
descobrir como a tabela é construída. 
 
1 2 4 8 16 
3 3 5 9 17 
5 6 6 10 18 
7 7 7 11 19 
9 10 12 12 20 
11 11 13 13 21 
13 14 14 14 22 
15 15 15 15 23 
17 18 20 24 24 
19 19 21 25 25 
21 22 22 26 26 
23 23 23 27 27 
25 26 28 28 28 
27 27 29 29 29 
29 30 30 30 30 
31 31 31 31 31 
 
 
 
 
3 Jogo de autoria desconhecida – adaptação de Neivaldo Silva. 
44 
 
Orientações Didáticas: A utilização desse jogo em sala de aula não pode se dar apenas 
como uma mera curiosidade. É necessário envolver Matemática e possibilitar aos alunos a 
compreensão da forma como essa Matemática se apresenta no jogo. Entender porque o 
“adivinho” descobre o Número Pensado e perceber como o jogo foi construído são passos 
fundamentais nessa utilização. 
 
Descobrindo os Números Pensados: Para descobrir o número que alguém pensou é 
necessário ficar atento às informações prestadas por estas pessoas, pois estarão aí as 
referências para a descoberta. Cada ausência ou presença do Número Pensado em cada 
uma das colunas servirá para materializar, simbolicamente, esse Número. A técnica 
utilizada e, em consequência, o conteúdo matemático a ser utilizado fica a critério do 
“adivinho”. 
 
Simples adições: Para adivinhar, basta adicionar os números que aparecem na primeira 
linha de cada coluna na qual o Número Pensado aparece. 
Ex: Se o Número pensado for o 23, ele estará presente nas colunas 1, 2, 3 e 5, cujos 
números presentes na primeira linha são: 1, 2, 4 e 16. A Soma desses números é 
exatamente 23. 
 
Utilizando Potências: A estratégia tem relação com a apresentada anteriormente. No 
entanto, o conteúdo matemático se amplia, pois você irá fazer adições de potências de 
base dois. 
A estratégia envolvendo as potências de dois já permite perceber o conteúdo 
matemático intrínseco à construção da Tabela. Aqui, as colunas são relacionadas às 
potências de base dois, na ordem crescente, partindo da base zero. Então, a primeira 
coluna corresponde a 20, a segunda coluna corresponde a 21, a terceira coluna 
corresponde a 22, a quarta coluna corresponde a 23 e a quinta coluna corresponde a 24. 
Ex: Se o Número Pensado for o 25, ele estará presente nas colunas 1, 4 e 5. A 
primeira coluna corresponde a 20 = 1, a quarta coluna corresponde a 23 = 8 e a quinta 
coluna corresponde a 24 = 16 e a Soma desses números é 25. 
 
Construção da Tabela: A estratégia que utiliza potências de dois nos permite perceber que 
os números presentes na Tabela, que estão representados a partir da base 10, podem ser 
escritos utilizando a base dois. Fazendo isto, nós teremos indicações de quais números 
45 
 
devem ser escritos em cada uma das colunas, na medida em que o “1” significa presença e 
o “0” significa ausência. 
Para exemplificar, iremos construir uma Tabela Mágica com os números de 1 a 7. 
Para isso e, para isso, será necessário organizar uma tabela de transposição de Base, para 
descobrir quais os números irão aparece em cada coluna da Tabela Mágica. 
Veja nas transformações apresentadas na tabela de transposição a seguir (1 a 7): 
 
Tabela de transposição de Base 
Base 10 Base 2 
1 1 
2 10 
3 11 
4 100 
5 101 
6 110 
7 111 
 
Tabela Mágica 
1 
3 
5 
7 
2 
3 
6 
7 
4 
5 
6 
7 
 
Observe, na tabela de transposição de Base, que os números, na base 10, que 
estarão presentes na primeira coluna da Tabela Mágica são os números nos quais aparece 
o “1” na primeira coluna mais à direita, na representação dos números na base 2. Serão, 
portanto, 1,3,5 e 7. 
Na segunda coluna, estarão