Unidade III

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UNIDADE III 
 
 
Capítulo 7 – Taxa de variação constante 
 
Capítulo 8 – Derivada em um ponto 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 
 
Introdução 
 
Nos cinco capítulos que estão a seguir, começamos o estudo de Cálculo. Essa disciplina 
é um conteúdo de Matemática, usualmente chamado de Cálculo Diferencial e Integral. 
Este cálculo é diferencial porque trata de questões relacionadas à rapidez com que as 
coisas se movem, aumentam ou diminuem: como aumenta ou diminui, por exemplo, a 
área de um quadrado, quando seu lado muda de valor; como aumenta ou diminui o 
montante de uma aplicação à medida que o tempo passa. Por abordar questões que 
envolvem certos tipos de somas que apresentam um número cada vez maior de parcelas, 
as quais vão se tornando cada vez menores, este cálculo é também chamado de cálculo 
integral. 
 
Quase todas as ideias e aplicações do Cálculo giram em torno de dois problemas 
geométricos, apresentados de maneira simples na Figura 7.0. 
 
Figura 7.0 
 
Problema 1 
O problema básico do cálculo diferencial é o problema das tangentes: calcular a 
inclinação da reta tangente ao gráfico da curva y = f(x) no ponto P. 
 
Problema 2 
O problema básico do cálculo integral é o problema das áreas: calcular a medida da área 
da região limitada pelos gráficos de y = f(x), y = 0, x = a e x = b. 
 
O problema da inclinação da tangente leva a medir a rapidez de variação de uma 
grandeza em relação à variação de outra grandeza e conduz à ideia de derivada ou 
diferencial. Por sua vez, o estudo da medida de áreas leva a considerar somas com 
 
 
3 
 
muitas parcelas, que ficam cada vez menores à medida que seu número aumenta, e 
conduz ao conceito de integral. 
 
O problema do cálculo de áreas por meio de somas de infinitas pequenas parcelas foi 
utilizado por Arquimedes (287 – 212 a.C.), a quem muitos historiadores atribuem a 
origem dos métodos de integração. Também Kepler (1571 – 1630), Galileu (1564 – 
1642) e Cavalieri (1598 – 1647), entre outros, empregaram métodos semelhantes ao de 
Arquimedes para calcular áreas e volumes. O problema envolvendo tangentes e curvas 
foi estudado no início do século XVII, por Descartes (1596 – 1650) e Fermat (1601 – 
1665). 
 
Até a segunda metade do século XVII, os dois processos – o de calcular áreas e o de 
aproximar curvas por meio de tangentes – foram estudados separadamente, como se 
diferenciação e integração fossem questões independentes. A partir dos trabalhos de 
Newton (1642 – 1727) e Leibniz (1646 – 1716), as relações de interdependência entre 
esses dois processos foram reconhecidas, fazendo surgir uma nova disciplina, o Cálculo 
Diferencial e Integral. 
 
 
Nesta parte da apostila, optamos por fazer uma apresentação do Problema 1, dando 
ênfase ás noções de derivada, explicadas de modo intuitivo, sem maiores compromissos 
com a formalização. Consideramos que, após essa visão geral, estaremos mais bem 
preparados para uma abordagem do Cálculo Diferencial, ficando em condições de 
compreender as inúmeras aplicações dessa disciplina nas diferentes áreas científicas e 
tecnológicas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 
 
Capítulo 7 – Taxa de variação constante 
 
Introdução 
 
No estudo de Cálculo, vamos trabalhar com funções reais de variáveis reais, aquelas que 
têm como domínio e como imagem um subconjunto de números reais. Consideramos 
que as grandezas são representadas por números e que as relações de interdependência 
entre grandezas são traduzidas matematicamente por funções. 
 
Dizemos que uma grandeza y é uma função de outra grandeza x quando os valores de x 
e de y estão relacionados de tal forma que a cada valor de x corresponde um único valor 
de y. Para representar funções, utilizam-se tabelas, gráficos, descrições verbais ou, 
quando possível, fórmulas matemáticas. 
 
7.1 Crescimento e decrescimento de funções 
 
As funções se caracterizam pela maneira de variar, ou seja, pela forma como crescem ou 
decrescem. Quando conhecemos o gráfico de uma função, fica fácil identificar os 
intervalos nos quais essa função está crescendo (aumentando) ou decrescendo 
(diminuindo). 
 
Figura 7.1 
 
A função representada na Figura 7.1 é crescente no intervalo  a, b e é decrescente no 
intervalo  b, c . Lembre-se de que x varia sempre da esquerda para a direita. Assim, 
dizemos que uma função é crescente se, a um aumento no valor de x no intervalo 
considerado, corresponder um aumento no valor de y. Por outro lado, dizemos que uma 
função é decrescente se, a um aumento no valor de x no intervalo considerado, 
corresponder uma diminuição no valor de y. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 
 
A Figura 7.2, onde estão seis funções, sugere que existem diferentes formas de 
crescimento ou de decrescimento. 
 
Figura 7.2 
 
As que estão à esquerda são crescentes no intervalo  a, b : 
 z cresce cada vez mais rapidamente; 
 w cresce cada vez mais lentamente; 
 y cresce com uma rapidez constante. 
Já as funções da direita são decrescentes no intervalo  c, d : 
 v decresce cada vez mais rapidamente; 
 u decresce cada vez mais lentamente; 
 t decresce com uma rapidez constante. 
Observe como ficaria a variação de cada uma das funções que estão à esquerda na 
Figura 7.3. 
 
Figura 7.3 
 
 
6 
 
7.2 Taxa de variação constante 
 
Para indicar a rapidez com que uma função cresce ou decresce, utilizamos a ideia de 
taxa de variação, conceito que passamos a estudar. Desde já, podemos ter em mente 
que derivada é uma taxa de variação e a inclinação de uma tangente. 
 
A função linear y mx b  é um modelo matemático que serve para descrever a 
interdependência entre duas grandezas que são diretamente proporcionais. Nesse tipo de 
relação, quando x varia de uma unidade, a partir de um ponto qualquer, o valor de y 
varia de m unidades. Isso significa que y varia a uma taxa constante, sempre igual a m . 
O gráfico dessa função linear é uma reta ou um segmento de reta, conforme podemos 
observar na Figura 7.4. 
 
Figura 7.4 
 
Na função linear y mx b  , o número m é a taxa de variação de y em relação a x. 
Indicamos essa taxa de variação pela fração 
y
x


. Essa fração tem o nome de taxa de 
variação porque seu numerador, y , indica a variação de y e seu denominador, x , 
indica a variação de x. Tanto para y quanto para x, a variação é a diferença entre um 
valor final e um valor inicial. Escrevemos isso da seguinte forma: 
 
2 1variação de y y f (x ) f (x )    
2 1variação de x x x x    
2 1
2 1
f (x ) f (x )y
taxa de variação de y em relação a x
x x x

 
 
 
No lugar da expressão taxa de variação, podemos usar razão de variação ou quociente 
de variação. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7 
 
Do exame atento da Figura 7.4 e com o uso da ideia de taxa de variação, podemos 
estabelecer algumas conclusões a respeito da função linear y mx b  : 
 Quando m é positivo, a função é crescente para todo x; quando m é negativo, a 
função é decrescente. 
 Uma função é crescente quando sua taxa de variação é positiva; uma função é 
decrescente se sua taxa de variação é negativa. 
 
Quando x aumenta 1 y aumenta ou diminui m.
Quando x aumenta 2 y aumenta ou diminui 2m.
Quando x aumenta k y aumenta ou diminui k m.
 

 
 
 
y
m taxa de variação de y em relação a x.
x
m 0 indica função crescente.y mx b
m 0 indica função decrescente.
m 0 indica função constante.

  
   
 


 
 
A taxa de variação da função linear y mx b  é 
y
m
x



. Essa taxa de variação é 
constante, ou seja, tem sempre o mesmo valor. Isso quer dizer que, quaisquer que sejam 
os valores de 1 2x e x , ou seja, qualquer que seja o intervalo de variação de x, 
2 1
2 1
f (x ) f (x ) y
m
x x x
 
 
 
. 
Pensando na Geometria, o gráfico de umafunção linear é uma reta. Essa taxa de 
variação da função linear y mx b  , 
y
m
x



, é a inclinação dessa reta. Chamada de 
coeficiente angular da reta, essa inclinação pode ser calculada pela tangente 
trigonométrica do ângulo que a reta forma com o eixo das abscissas, conforme indicado 
na Figura 7.5. 
 
Figura 7.5 
 
 
8 
 
Exemplo 1 
Em certa cidade, a quantia C, em reais, a ser paga por uma corrida de táxi de x 
quilômetros é dada pela função C(x) 7 4x  . Com base nessas informações: (a) 
estabeleça a taxa de variação de C em relação a x, quando x varia de 1 2x 3 a x 8  ; 
(b) determine o custo de uma corrida de 12km ; (c) calcule quantos quilômetros são 
percorridos quando uma corrida sai por R$49,00; (d) esboce o gráfico da função , 
supondo que seu domínio é  0, 20 . 
Solução 
a) Para estabelecer a taxa de variação de C em relação a x, quando x varia de 
1 2x 3 a x 8  , fazemos: 
2 1
2 1
variação de C C C(x ) C(x ) C(8) C(3) 39 19 20reais
variação de x x x x 8 3 5quilômetros
        

      
 
Assim, temos: 
C C(8) C(3) 20 4R$
var iação de C em relação a x 4R$ km
x 8 3 5 1km
 
    
 
 
Nessa taxa de variação, o numerador C é medido em reais e o denominador x é 
medido em quilômetros. Por isso a unidade de medida da taxa de variação é reais por 
quilômetro: 
C
4R$ km.
x



 
b) Determinar o custo de uma corrida de 12kmsignifica determinar o valor da função 
C(x) 7 4x  quando x 12 . Para isso, fazemos: 
C(12) 7 4 12 55reais.    
c) Calcular o número de quilômetros percorridos em uma corrida que custa R$49,00 
significa achar o valor de x para o qual C(x) 49 . Para isso, fazemos: 
41
C(x) 7 4x 49 4x 41 x 10,25 quilômetros.
4
        
d) A Figura 7.6 traz um esboço do gráfico de C(x) 7 4x.  
 
Figura 7.6 
 
 
9 
 
Exemplo 2 
Certa gráfica compra um sistema de impressão por R$27.000,00. Após nove anos, o 
sistema está obsoleto e não tem mais nenhum valor comercial. Com base nessas 
informações e supondo que a depreciação desse sistema seja linear: (a) escreva uma 
equação que relacione o valor v desse sistema e o tempo t transcorrido após a compra; 
(b) estime o valor desse sistema após cinco anos de uso; (c) estabeleça após quanto 
tempo o valor do sistema será igual a 30% do valor de compra; (d) esboce o gráfico da 
função obtida no item (a). 
 
Solução 
a) A equação que relaciona o valor V desse sistema e o tempo t transcorrido após a 
compra é da forma: V(t) at b  . Como o valor de compra é R$27.000,00, 
podemos escrever: v(0) a 0 b 27000 b 27000      e, assim, v(t) at 27000 
. 
De acordo com o enunciado do problema, o sistema tem valor zero após nove anos 
de uso; assim, podemos escrever: 
V(9) 0 a 9 27000 0 a 3000        
Desse modo, a equação é V(t) 3000t 27000   . 
b) O valor desse sistema, após cinco anos de uso é: 
V(5) 3000 5 27000 12000reais.     
c) Para estimar após quanto tempo o valor desse sistema será igual a 30% do valor de 
compra, fazemos: 0,30 27000 3000x 27000 x 6,3 anos      . 
d) A Figura 7.7 traz o gráfico da função V(t) 3000t 27000   . 
 
 
Figura 7.7 
 
Na função V(t) 3000t 27000   , a taxa de variação de V em relação a t é negativa e é 
medida em reais por ano: 
V
3000reais ano
t

 

. Dizer que a taxa de variação é 
negativa significa dizer que a função é decrescente; nesse caso, significa que o preço do 
sistema diminui R$3.000,00 quando o tempo aumenta de um ano. 
Geometricamente, a taxa de variação negativa indica que o coeficiente angular da reta é 
negativo e que ela está inclinada para a esquerda. 
 
 
10 
 
Exemplo 3 
Primeiramente, determine a taxa de variação da função representada na Figura 7.8. A 
seguir, estabeleça a equação dessa função. 
 
Figura 7.8 
 
Solução 
a) Esse gráfico, por ser uma reta, indica que as grandezas x e y têm variações 
proporcionais. Como, quando x aumenta de 0 até 3, y aumenta de 5 até 17, podemos 
escrever: 
17 5 12
taxa de variação de y em relação a x 4
3 0 3

  

 
b) A função representada é linear e sua equação é da forma y mx b  , em que m é a 
taxa de variação e b é o valor inicial de y, ou seja, m 4 e b 5 . Assim, a 
equação dessa função é y 4x 5.  
 
Exemplo 3 
Em certa residência, um botijão, que contém 13kg de gás de cozinha, é comprado por 
R$74,00, sendo consumido à razão de 0,5kg por dia. Do valor total pago por esse 
botijão, cerca de 30% (R$22,00) cobrem os custos operacionais e os outros 70% 
(R$52,00) se referem ao preço do gás nele contido. Com base nessas informações: (a) 
escreva uma função M f (t) que forneça a massa M de gás no botijão, medida em 
quilogramas, após t dias de uso; (b) escreva uma função C g(t) que represente o gasto 
C, em reais, somente com o gás, durante t dias de uso; (c) esboce em um mesmo sistema 
de coordenadas os gráficos dessas duas funções; (d) determine as coordenadas do ponto 
de interseção desses gráficos e escreva a unidade de medida de cada uma dessas 
coordenadas. 
 
 
Solução 
a) A massa M de gás no botijão, após t dias de uso, é dada por: M(t) 0,5t 13   . 
Nessa equação, a taxa de variação de M em relação a t é 0,5kg dia . O valor 
negativo indica que a massa diminui de 0,5kg quando t aumenta de 1 dia. 
 
 
11 
 
b) O custo C do gás consumido durante t dias é dado por: C(t) 2 t . Nessa equação, a 
taxa de variação de C em relação a t é 
4reais 0,5kg
2reais dia
kg dia
  . Essa taxa indica 
que o custo aumenta de R$2,00 quando t aumenta de 1 dia. 
c) A Figura 7.9 traz um esboço dos gráficos dessas funções: 
 
Figura 7.9 
d) O ponto de interseção desses gráficos é P(5,2; 10,4) . A unidade de medida da 
abscissa 5,2 é dia; a unidade de medida da ordenada 10,4 é reais quando 
consideramos a função C(t) 2 t e é quilogramas quando nos referimos à 
função M(t) 0,5t 13.   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
12 
 
Exercícios 7 
 
1. Dada a função y 13x 760  , determine: 
a. A variação no valor de y quando x passa de 10 para 11. 
b. A variação no valor de y quando x passa de 1985 para 1986. 
c. A taxa de variação de y em relação a x. 
d. A variação no valor de y quando x passa de 3000 para 3002. 
 
2. A quantia y, em reais, a ser paga por x metros de determinado fio é y 17x, x 0  . 
a. Qual a taxa de variação de y em relação a x e o que ela representa? 
b. Quantos metros podem ser comprados com R$225,00? 
 
3. Um tanque contém inicialmente 20 litros de água. Uma torneira começa a despejar 
água nesse tanque à razão constante de 6 litros por minuto. 
a. Expresse o volume V de água no tanque em função do tempo t em minutos. 
b. Qual a taxa d variação de V em relação a t? 
 
4. Em um lago, a pressão p varia com a profundidade h de acordo com a fórmula: 
p 0,1h 1  (p em atmosferas; h em metros). 
a. Qual a taxa de variação da pressão em relação à profundidade? 
b. Descendo 20m, a partir de um ponto qualquer, de quanto aumentará a pressão? 
 
5. Em certa cidade, o total y a pagar, em reais, por uma corrida de táxi de x quilômetros 
é composto de uma quantia fixa de R$15,00, à qual se acrescenta uma quantia 
variável correspondente a R$7,50 por quilômetro rodado. 
a. Expresse y como função de x. 
b. Qual a taxa de variação de y em relação a x? 
c. Qual a diferença no total a pagar em duas corridas, uma de 23km e outra de 
32km? 
d. Quantos quilômetros rodados teve uma corrida pela qual se pagou R$134,00? 
 
6. A massa M de oxigênio contida em um tanque varia com o tempo t de acordo com a 
equação M(t) 30 4t  , em que M é medida em quilogramas e t, em horas. Com 
base nessas informações: 
a. Faça um esboço do gráfico da função M(t) 30 4t  . 
b. Calcule o valor da fração 
M(5) M(2)
5 2


. 
c. Escreva o significado do valor encontrado para a fração do item (b) e indique qual 
é sua unidade de medida. 
d. Determine após quanto tempo essetanque conterá apenas 35% da massa inicial de 
oxigênio. 
 
 
 
13 
 
7. Uma caixa d’água é abastecida à razão constante de 15L min e, simultaneamente, 
seu conteúdo escoa à razão constante de 7L min . Em certo instante, o volume de 
água nessa caixa é 400L . Com base nessas informações: (a) escreva a equação da 
função que fornece o volume V de água nessa caixa t minutos depois desse instante; 
(b) determine a taxa de variação de V em relação a t ; (c) esboce o gráfico da função 
obtida no item (a). 
 
8. Um corpo está em movimento uniforme quando percorre distâncias iguais em tempos 
iguais; nesse caso, dizemos que o corpo tem velocidade constante. Se, por exemplo, 
um carro em movimento uniforme percorre 90km em cada hora, dizemos que ele 
tem velocidade de 90km h . Partindo do marco quilométrico 20 de certa rodovia e 
deslocando-se no sentido da quilometragem crescente, após t horas, esse carro estará 
no marco quilométrico s(t) 20 90t  . 
 
9. A função que expressa a relação entre a posição S e o tempo t é a função posição do 
carro. A taxa de variação de s em relação a t é a velocidade. Com base nessas 
informações, determine a velocidade dos carros que apresentam as seguintes funções 
posição: (a) s(t) 30 75t  ; (b) s(t) 60t ; (c) s(t) 300 80t  ; (d) s(t) 90t 60  . 
(Interprete o sinal negativo dos itens c e d). 
 
10. Para cada uma das funções abaixo: (a) escreva a equação da função; (b) indique a 
taxa de variação de y em relação a x: 
 
 
 
 
14 
 
11. Sendo f (x) mx b  , mostre que: 
a. m f (x 1) f (x)   , para todo valor de x; 
b. 2 1
2 1
f (x ) f (x )
m
x x



, para todos os valores de 1 2x x . 
12. Determine a velocidade dos seguintes movimentos uniformes, sendo Ss medido 
em quilômetros e t , em horas: 
 (a) 
t 0 1 2 3 4 5 
S 100 160 220 280 340 400 
 
 (b) 
t 0 2 4 6 8 10 
S 70 140 210 280 350 420 
 
 (c) 
t 0 3 5 9 11 15 
S 30 120 180 300 360 480 
 
 (d) 
t 0 1 2 3 4 5 
S 200 140 80 20 40 100 
 
13. Cada um dos gráficos a seguir representa o movimento uniforme de um carro. 
Determine a função posição e escreva a velocidade de cada um desses carros. 
 
 
14. Primeiramente, esboce o gráfico da função f (x) 7 . A seguir, calcule o valor de 
f (9) f (4)
9 4


 e, por fim, escreva qual é a taxa de variação de y em relação a x. 
 
 
 
15 
 
Capítulo 8 – Derivada em um ponto 
 
As funções lineares da forma y mx b  crescem ou decrescem a uma taxa de variação 
constante. Isso quer dizer que as duas grandezas x e y, relacionadas por essa lei, têm 
variações proporcionais, ou seja, que a taxa de variação de y em relação a x é constante 
e, ainda, que o gráfico correspondente é uma reta de inclinação m . 
 
8.1 Taxa de variação variável 
 
Se duas grandezas x e y não têm variações proporcionais, a lei que estabelece a 
interdependência entre elas não é mais da forma y mx b  , a taxa de variação de y em 
relação a x é variável e o gráfico não é uma reta. Nesse caso, dizemos que as grandezas 
x e y, relacionadas pela lei y f (x) têm taxa de variação variável. Na sequência, vamos 
observar algumas dessas funções. 
 
 
 
Exemplo 1 
Consideremos que o valor V de uma ação, medido em reais, varia ao longo do tempo t, 
medido em meses, de acordo com a função 2V(t) t 7  . Essa função pode ser descrita 
por meio da Tabela 8.1. 
 
t 0 1 2 3 4 5 6 7 
V 7 8 11 16 23 32 43 56 
Tabela 8.1 
O gráfico de 2V(t) t 7  está na Figura 8.1. 
 
 
Figura 8.1 
 
 
 
16 
 
Podemos observar que a variação de V por unidade de t é positiva e aumenta à medida 
que t aumenta. Em outros termos, o valor dessas ações aumenta cada vez mais depressa, 
ou seja, a função 2V(t) t 7  cresce cada vez mais rapidamente. 
Isso que percebemos pelo exame do gráfico pode ser descrito algebricamente por meio 
de taxas de variação de V em relação a t: 
V V(1) V(0) 8 7
1 real mês
t 1 0 1
  
  
 
. 
V V(5) V(4) 32 23
11 reais mês
t 5 4 1
  
  
 
. 
V V(7) V(6) 56 43
13 reais mês
t 7 6 1
  
  
 
. 
 
Exemplo 2 
Consideremos que a temperatura T, medida em graus centígrados, varie no decorrer do 
tempo t, medido em horas, de acordo com a função T(t) t 7  . Essa função pode ser 
descrita por meio da Tabela 8.2. 
 
t 0 1 2 3 4 5 6 7 
T 7,0 8,0 8,4 8,7 9,0 9,2 9,5 9,7 
Tabela 8.2 
 
O gráfico de T(t) t 7  está na Figura 8.2. 
 
 
Figura 8.2 
 
Podemos observar que a variação de T por unidade de t é positiva e diminui à medida 
que t aumenta. A função T(t) t 7  cresce cada vez mais lentamente. No gráfico, 
percebemos que os “degraus” têm alturas cada vez menores. Algebricamente, as taxas 
de variação, embora permaneçam positivas, vão diminuindo à medida que o tempo 
aumenta: 
T T(1) T(0) 8 7
1 grau hora
t 1 0 1
  
  
 
. 
T T(4) T(3) 9,0 8,7
0,3 grau hora
t 4 3 1
  
  
 
 
 
 
17 
 
T T(7) T(6) 9,7 9,5
0,2 grau hora
t 7 6 1
  
  
 
 
 
 
Exemplo 3 
Consideremos que a demanda Q de um produto, medida em milhares de unidades 
comercializadas, em função do preço p, medido em reais, seja dada pela função 
2
Q(p) 7, p 0.
p
   Essa relação entre Q e p pode ser descrita pela Tabela 8.3. 
 
p 1 2 3 4 5 6 7 
Q 9,00 8,00 7,67 7,50 7,40 7,33 7,29 
Tabela 8.3 
O gráfico de 
2
Q(p) 7
p
  está na Figura 8.3. 
 
Figura 8.3 
 
Podemos observar que a variação de Q por unidade de p é negativa e tem valor absoluto 
cada vez menor. Dito de outra maneira, a função 
2
Q(p) 7
p
  decresce cada vez mais 
lentamente. 
 
Esse decrescimento cada vez mais lento pode ser visto nas taxas de variação: 
 
Q Q(1) Q(0) 8 9
1 milhar deunidades real 1000unidades real
p 1 0 1
  
     
 
 
Q Q(4) Q(3) 7,50 7,67
0,17 milhar deunidades real 170unidades real
p 4 3 1
  
     
 
Q Q(7) Q(6) 7,29 7,33
0,04 milhar deunidades real 40unidades real
p 7 6 1
  
     
 
 
 
 
 
 
 
 
18 
 
8.2 Taxa de variação média 
 
Nos exemplos do item anterior, estudamos a variação da variável dependente quando a 
variável independente varia de uma unidade. Nos gráficos, os “degraus” aparecem com 
larguras iguais e medindo uma unidade. Nas taxas de variação calculadas, o 
denominador é sempre 1. 
Vamos examinar agora o que acontece com a taxa de variação quando consideramos 
intervalos maiores do que 1, ou seja, quando aumentamos a largura do “degrau”. Essa 
análise nos levará ao conceito de taxa de variação média. 
Dados uma função qualquer y f (x) e um intervalo  1 2I x ,x , chamamos de taxa de 
variação média de y em relação a x, quando x varia de 1 2x até x , com 2 1x x , à razão
2 1
2 1
f (x ) f (x )
x x


. 
Considerando 1 1 2 2y f (x ) e y f (x )  , temos as seguintes igualdades: 
 
 2 1 2 1variação de y y y y f (x ) f (x )      
 2 1variação de x x x x    
 2 1 2 1
2 1 2 1
y y f (x ) f (x )y
taxa de variação média de y em relação a x
x x x x x
 
  
  
 
 
Figura 8.4 
 
O exame atento do gráfico da Figura 8.4 nos permite perceber o significado geométrico 
da taxa de variação média. 
 
 A taxa de variação média corresponde à variação de y por unidade de x, em 
média, entre 1 2x e x . 
 Podemos observar que essa razão é a inclinação da reta que passa pelos pontos 
   1 1 2 2x , f (x ) e x , f (x ) . 
 A taxa de variação média é a taxa de variação da função linear determinada pela 
reta que passa pelos pontos    1 1 2 2x , f (x ) e x , f (x ) . 
 A equação dessa reta é da forma 1 1
y
y f (x ) (x x )
x

  

. 
 
 
19 
 
Vamos detalhar essas idéias por meio de exemplos. 
 
Exemplo 4 
Retomemos a função 2V(t) t 7  , estudada no Exemplo 1 do item anterior e cujo 
gráfico está na Figura 8.5. 
 
 
Figura 8.5 
 
Entre os instantes 1 2t 1 e t 5  , temos as seguintes variações: 
 
variação de t t 5 1 4meses     
variação de V V V(5)V(1) 32 8 24reais       
m
V V(5) V(1) 24reais
taxa de variação média T = = 6reais mês
t 5 1 4meses
 
  
 
 
A taxa média encontrada,
 m
T = 6reais mês , indica que, entre 1 2t 1 e t 5  , a variação 
do valor V das ações por unidade de tempo t foi, em média, igual a 6 reais. É como se, a 
cada mês, o valor das ações aumentasse 6 reais. 
Sob o aspecto gráfico, a taxa média encontrada, 
V
6
t



, é a taxa de variação da função 
linear determinada pela reta que passa pelos pontos (1, 8) e (5,32) . Escrever a equação 
dessa reta é escrever a equação de uma reta que passa pelo ponto (1,8) e tem inclinação 
V
6 :
t



 
V 8 6(t 1) ou V 6t 2.     
Chegamos ao mesmo resultado ao escrever a equação da reta que passa pelo ponto 
(5,32) e tem inclinação 
V
6 :
t



 
V 32 6(t 5) ou V 6t 2.     
 
 
 
20 
 
Exemplo 5 
Consideremos uma partícula que se desloca em linha reta, de modo que sua posição em 
relação a 10, marco inicial de seu de seu movimento, seja dada pela função 
2S(t) t 10  , sendo a distância S medida em metros e o tempo t, em segundos. 
A função 2S(t) t 10  pode ser descrita por meio da Tabela 8.4. 
 
t 0 1 2 3 4 5 6 7 
S 10 11 14 19 26 35 46 59 
 
Tabela 8.4 
A Figura 8.6 traz o gráfico da função 2S(t) t 10.  
 
Figura 8.6 
Entre os instantes 1 2t 1 e t 6  , temos as seguintes variações: 
 
variação de t t 6 1 5 segundos     
variação de S S S(6) S(1) 46 11 35metros       
m
S S(6) S(1) 35metros
taxa de variação média T = = 7m s
t 6 1 5segundos
 
  
 
 
A taxa média encontrada,
 m
T = 5m s , indica que entre, 1 2t 1 e t 5  , a variação do 
valor da distância S percorrida pela partícula por unidade de tempo t foi, em média, 
igual a 5 metros. 
Como S é a variação da distância, medida em metros, e t é a variação do tempo, 
medido em segundos, a taxa média de variação 
S
t


indica a velocidade média da 
partícula, em metros por segundo. Desse modo, podemos escrever: 
S 35metros
velocidade média da partícula 7m s
t 5segundos

  

. 
Geometricamente ou, sob o aspecto gráfico, a taxa média encontrada, 
S
7
t



, é a 
inclinação da que passa pelos pontos (1, 11) e (6,46) . A equação dessa reta é 
S 11 5(t 1) ou S 5t 6.     
 
 
21 
 
Exemplo 5 
Consideremos um carro que, entre os instantes 1 2t e t , se desloca do marco 
quilométrico 1S ao marco quilométrico 2S , segundo a equação da função posição 
y S(t) , cujo gráfico está na Figura 8.7. 
 
Figura 8.7 
 
A taxa de variação média da posição em relação ao tempo, ou seja, a velocidade média 
desse carro é igual à velocidade que ele deveria ter em movimento uniforme para 
realizar o mesmo percurso. É como se o carro “seguisse”, entre os instantes 1 2t e t , a 
reta secante, em vez de “seguir” o gráfico da curva y S(t) . 
 
Para indicar algebricamente a velocidade média, escrevemos: 
2 1 2 1
m
2 1 2 1
S S S(t ) S(t )S
v
t t t t t
 
  
  
 
A equação da reta que passa pelos pontos    1 1 2 2t , f (t ) e t , f (t ) é da forma: 
1 1 1 m 1
S
S S(t ) (t t ) ou S S(t ) v (t t )
t

     

 
Exemplo 6 
Consideremos uma função qualquer y f (x) , representada na Figura 8.8. 
 
Figura 8.8 
A partir das informações contidas nessa figura, podemos estabelecer as seguintes 
variações: 
 
 
22 
 
y f (3 h) f (3)
x (3 h) 3 h
   

    
 
m
y f (3 h) f (3)
T
x h
  
 

 
A reta de inclinação 
y
x


e que passa pelos pontos    3,f (3) e 3 h,f (3 h)  tem 
equação: 
y
y f (3) (x 3)
x

  

. 
O gráfico de y f (x) em um intervalo pode ter diferentes aspectos, conforme podemos 
ver na Figura 8.9. 
 
Figura 8.9 
 
No entanto, podemos observar que, para qualquer uma dessas funções, a taxa de 
variação média, quando x varia de 3 até 8, é a mesma: 
m
y 33 21 12
T 2,4
x 8 3 5
 
   
 
. A 
unidade de medida dessa taxa de variação média é a unidade de medida do numerador 
sobre a unidade de medida de denominador. Assim, por exemplo, se y for medido em 
reais e x, em dias, temos: 
m
12reais 2,4reais
T 2,4reais dia
5dias 1dia
   . 
 
 
A taxa de variação média de uma função entre os pontos    1 1 2 2x ,f (x ) e x ,f (x ) é 
o número real 2 1
2 1
f (x ) f (x )y
m
x x x

 
 
. 
Esse número é a inclinação da reta y mx b  , determinada por esses pontos. 
A equação dessa reta é 
1 1
y
y f (x ) (x x ).
x

  

 
 
 
23 
 
A taxa de variação média nos fornece informações sobre a rapidez com que a função 
varia em um determinado intervalo. Ela não nos informa sobre como a função está 
variando em um ponto específico, ou seja, ela não nos informa com que rapidez a 
função y está aumentando ou diminuindo para um determinado valor de x. Utilizando o 
que foi visto no Exemplo 5, a taxa de variação média nos fornece a velocidade média 
entre os instantes 1 2t e t ; mas nada nos diz a respeito da velocidade no instante 1t ou no 
instante 2t . É isso que vamos estudar a seguir: o que vem a ser velocidade instantânea 
ou taxa de variação instantânea? 
 
8.3 Derivada em um ponto ou taxa de variação instantânea 
 
A noção de taxa de variação instantânea ou derivada em um ponto se fundamenta na 
ideia de que uma curva pode parecer uma reta nas proximidades de um ponto. Podemos 
perceber isso ao fazer um zoom na parte do gráfico de uma curva que contém o ponto P, 
conforme mostrado na Figura 8.10. 
 
Figura 8.10 
Assim, a rapidez com que uma função varia em um ponto pode ser associada à taxa de 
variação da função y mx b  que melhor se aproxima da função dada no ponto 
 0 0P x ,f (x ) . 
 
8.3.1 Reta tangente 
De todas as retas que passam pelo ponto  0 0P x ,f (x ) , a que mais se aproxima do 
gráfico da curva y f (x) no ponto de abscissa 0x é a reta tangente à curva nesse ponto, 
conforme podemos observar na Figura 8.11. 
 
Figura 8.11 
 
 
24 
 
As situações apresentadas nos gráficos da Figura 8.12 podem nos ajudar a perceber o 
que significa dizer que uma reta é tangente a uma curva em um ponto P. 
 
 
Figura 8.12 
Por ora, tomamos essa noção intuitiva de reta tangente para estudarmos as taxas de 
variação de uma função qualquer. 
 
Para caracterizar a rapidez com que uma função y f (x) varia em um ponto 0x , 
utilizamos a ideia de taxa de variação de y f (x) no ponto  0 0x ,f (x ) . Essa taxa de 
variação é a inclinação da curva y f (x) no ponto  0 0x ,f (x ) . Também chamada de 
taxa de variação instantânea de y f (x) no ponto  0 0x ,f (x ) , essa taxa é a inclinação 
da tangente ao gráfico da curva y f (x) no ponto  0 0x ,f (x ) . Podemos verificar o 
sentido gráfico dessas ideias na Figura 8.13. 
 
 
Figura 8.13 
 
 
 
 
25 
 
8.3.2 Derivada em um ponto 
 
A taxa de variação instantânea da função y f (x) no ponto  0 0x ,f (x ) é chamada de 
derivada da função y f (x) no ponto de abscissa 0x . Seu valor é usualmente indicado 
por 0f (x ) . (Lê-se: “efe linha de xis zero”.) 
 
Como fizemos para a taxa de variação média, também associamos a taxa de variação 
instantânea de uma função à inclinação de uma reta, conforme indicado no quadro a 
seguir. 
 
Para detalhar as idéias estudadas, vamos considerar alguns exemplos. 
 
Exemplo 7 
 
Consideremos, na Figura 8.14(a) e na Figura 8.14(b), cada gráfico da função y f (x) e 
o respectivo gráfico da reta tangente no ponto  0 0x ,f (x ) . 
 
 
 
 
 
 
 
A taxa de variação instantânea de y f (x) no ponto 0x é o número real 0m f (x )
. 
Esse número real é a inclinação da reta y mx b  , que é a reta tangente ao gráfico 
da curva y f (x) no ponto  0 0x ,f (x ) . 
A equação dessa reta tangente é 0 0 0y f (x ) f (x )(x x )   . 
 
 
26 
 
Exemplo 8 
Consideremos uma partícula com movimento não uniforme. A função posição dessa 
partícula é dada pela função S f (t) , cujo gráfico está na Figura8.15. 
 
Figura 8.15 
A velocidade em um movimento uniforme é um valor constante; esse valor é a razão 
constante da distância percorrida pela partícula em cada unidade de tempo. Já em um 
movimento não uniforme, a velocidade da partícula varia de um instante para o outro. 
Assim sendo, entendemos por velocidade da partícula no instante 1t a velocidade que 
ela teria se seu movimento se tornasse, a partir desse instante, um movimento uniforme. 
A velocidade da partícula no instante 1t é a taxa de variação da posição S em relação ao 
tempo t, ou seja, é a derivada de S em relação a t no instante 1t . Podemos, pois, 
escrever: 
1 1 1v(t ) S (t ) ou v(t ) m  
Desse modo, podemos dizer que a velocidade no instante 1t é a velocidade do 
movimento uniforme que melhor se aproximaria, nesse instante, do movimento 
considerado. Graficamente, é como se a partícula, a partir desse instante, em vez de 
seguir o gráfico da função posição, passasse a seguir o gráfico da reta tangente 
S mt b  . 
 
Exemplo 9 
Consideremos o gráfico de y f (x) na Figura 8.16 e as retas tangentes a esse gráfico 
nos pontos 1 2 3x , x e x . 
 
Figura 8.16 
Nos pontos de abscissas 1 3x e x , a taxa de variação de y f (x) é positiva e as 
respectivas retas tangentes estão inclinadas para a direita; no ponto de abscissa 2x , a 
 
 
27 
 
taxa de variação de y f (x) é negativa e a respectiva reta tangente está inclinada para a 
esquerda. 
 
Exemplo 10 
Analisemos as funções da Figura 8.17 e as tangentes a seus gráficos no ponto 
 0 0x ,f (x ) . 
 
Figura 8.17 
 
Nessas duas funções, a taxa de variação no ponto  0 0x ,f (x ) é nula. 
A derivada no ponto  0 0x ,f (x ) vale zero, ou seja, 0f (x ) 0  . 
As tangentes aos respectivos gráficos são horizontais: isso significa que a inclinação 
dessas tangentes é zero. A equação de cada uma dessas tangentes é oy f (x ) . 
 
Exemplo 11 
Examinemos os gráficos da Figura 8.18. 
 
 
Figura 8.18 
O gráfico da esquerda apresenta uma função que não é contínua no ponto  0 0x ,f (x ) . 
Os dois outros gráficos são angulosos (pontudos) nos respectivos pontos  0 0x ,f (x ) . 
Nesses três casos, não existe a derivada nos respectivos pontos  0 0x ,f (x ) , ou seja, não 
existe 0f (x ) . 
 
 
28 
 
Para que exista derivada em  0 0x ,f (x ) , é necessário que o gráfico admita uma reta 
tangente nesse ponto. Isso ocorre somente quando a curva for suave (não tem alterações 
bruscas) no ponto considerado.
 
 
 
Exemplo 12 
Observemos os gráficos da Figura 8.19. 
 
Figura 8.19 
 
Não existe derivada dessas funções nos respectivos pontos  0 0x ,f (x ) , porque a reta 
tangente, em cada um desses pontos, é vertical (paralela ao eixo y) e sua equação não é 
da forma y mx b  . Nos dois casos apresentados na Figura 8.19, as retas tangentes 
têm equação 0x x . 
 
 
Exercícios 8 
 
1. Primeiramente, construa uma tabela para cada uma das funções dadas, indicando os 
valores de y quando x assume valores inteiros de 0 a 4; observe a variação de y por 
unidade de variação de x no intervalo considerado. A seguir, calcule a taxa de 
variação média entre 1x 1 e 2x 4 para cada uma delas. 
2 3 2a) y 3x 7 b) y x 7 c) y x 5 d) y 5 e) y 72 8x
x
          
2. Determine a velocidade média de um carro entre as 8h e as 10h de um dia, 
sabendo que às 8h ele estava no quilômetro 50 e às 10h estava no quilômetro 220 
da mesma rodovia. Após isso, responda às perguntas seguintes: 
a. É possível afirmar que o carro não ultrapassou os 85km h ? Justifique sua 
resposta. 
b. Supondo que durante esse percurso o carro esteve parado durante 10 minutos, o 
que se pode afirmar sobre sua velocidade máxima em relação a sua velocidade 
média no intervalo considerado? Justifique sua resposta. 
 
 
 
29 
 
3. A inclinação do gráfico de uma função y f (x) no ponto 0x é a inclinação da reta 
tangente a esse gráfico no ponto  0 0x ,f (x ) . Essa inclinação é a taxa de variação 
da função y f (x) no ponto  0 0x ,f (x ) e essa taxa de variação é chamada de 
derivada da função y f (x) no ponto  0 0x ,f (x ) . Com base nessa informação, 
determine o sinal da derivada no ponto de abscissa 0x para cada uma das funções 
cujos gráficos aparecem a seguir. 
 
4. Dados os pontos de abscissas 1 2 3 4 5 6 7 8 9x ,x ,x ,x ,x ,x ,x ,x e x , que pertencem ao 
gráfico de y f (x) , determine o sinal da derivada dessa função em cada um desses 
pontos e indique os pontos onde a derivada se anula. 
 
 
 
 
 
 
30 
 
5. O gráfico de y f (x) está representado abaixo. Determine o valor da derivada dessa 
função nos pontos de abscissas 1 2x 7 e x 3  . 
 
6. Determine a derivada de y f (x) no ponto de abscissa 0x , sabendo que a reta 
tangente ao gráfico no ponto  0 0x ,f (x ) é paralela à reta y 2x 6.  
7. Determine a derivada de y f (x) no ponto de abscissa 0x , sabendo que a reta 
tangente ao gráfico no ponto  0 0x ,f (x ) é perpendicular à reta 
1
y 5 x
3
  . 
8. Determine a derivada de y f (x) no ponto de abscissa 0x , sabendo que a reta 
tangente ao gráfico no ponto  0 0x ,f (x ) é paralela à reta que passa por 
 A(2, 3) e B 1, 5  . 
9. Determine a equação das retas r e s, tangentes ao gráfico de y = f(x). 
 
 
 
 
 
 
31 
 
10. Determine a taxa de variação de cada função y = f(x) no ponto indicado e escreva a 
equação da tangente de cada uma delas nesse ponto. 
 
 
 
11. Na figura, as retas r e s são tangentes à curva de equação y = f(x) e, além disso, são 
paralelas à reta t, de equação y = 3x + 9. 
 
 
Com base nessas informações, determine o valor da derivada dessa função em cada 
um dos pontos assinalados. 
 
 
 
12. Calcule, nos pontos de abscissas 5, - 5, 13 e -13, a derivada da função y = f(x), cujo 
gráfico é o semicírculo representado. 
 
 
 
 
32 
 
13. Em cada caso, indique se existe ou não, no ponto indicado, a derivada da função 
representada.