DETERMINANTES_ DESENVOLVIMENTO_de_LAPLACE(parte III)

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Universidade Jean Piaget de Cabo Verde
Álgebra Linear
Determinantes: Desenvolvimento de Laplace
Desenvolvimento de Laplace
Definição 1 — Menor de aij. Seja A = [ai j] uma matriz quadrada de ordem n ≥ 2. Seja Mi j a
submatriz de A, obtida pela eliminação da i-ésima linha e j-ésima coluna de A. Chama-se menor do
elemento ai j de A ao determinante |Mi j|.
Exemplo 1 Seja A uma matriz definida por A =
 1 2 31 3 4
2 4 7
.
• O menor do elemento a11, |M11|, obtém-se da seguinte maneira:
A =
 1 2 31 3 4
2 4 7
⇒M11 = [ 3 44 7
]
⇒ |M11|=
∣∣∣∣ 3 44 7
∣∣∣∣= 5
• O menor do elemento a23, |M23|, obtém-se da seguinte maneira:
A =
 1 2 31 3 4
2 4 7
⇒M23 = [ 1 22 4
]
⇒ |M23|=
∣∣∣∣ 1 22 4
∣∣∣∣= 0
• O menor do elemento a22, |M22|, obtém-se da seguinte maneira:
A =
 1 2 31 3 4
2 4 7
⇒M22 = [ 1 32 7
]
⇒ |M22|=
∣∣∣∣ 1 32 7
∣∣∣∣= 1
Definição 2 — Cofator ou Complemento Algébrico de ai j. Seja A = [ai j] uma matriz quadrada
de ordem n≥ 2. Define-se cofator ou complemento Algébrico do elemento ai j, denotado por Ai j, por:
Ai j = (−1)i+ j · |Mi j|. (1)
Exemplo 2 Aproveitando a matriz A do Exemplo 1, vamos calcular os cofatores dos elementos a11,
a23 e a22.
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• O cofator do elemento a11, A11, é dado por:
A11 = (−1)1+1 · |M11|= |M11|= 5.
• O cofator do elemento a23, A23, é dado por:
A23 = (−1)2+3 · |M23|=−|M23|= 0.
• O cofator do elemento a22, A22, é dado por:
A22 = (−1)2+2 · |M22|= |M22|= 1.
OBS
• Se a soma dos índices i e j (i+ j) do elemento ai j é par, então o cofator de ai j é igual ao
menor de ai j.
• Se a soma dos índices i e j (i+ j) do elemento ai j é ímpar, então o cofator de ai j é igual ao
simétrico do menor de ai j.
Resumindo, o cofator de ai j é dado por
Ai j =
 |Mi j| se i+ j é par−|Mi j| se i+ j é ímpar . (2)
Teorema 1 — Desenvolvimento de Laplace. O determinante de uma matriz quadrada A = [ai j] de
ordem n é igual a soma dos produtos obtidos multiplicando os elementos de uma dada linha (coluna)
pelos seus respetivos cofatores:
|A|=
n
∑
j=1
ai jAi j = ai1Ai1 +ai2Ai2 + · · ·+ainAin (desenvolvimento usando a linha i) (3)
ou
|A|=
n
∑
i=1
ai jAi j = a1 jA1 j +a2 jA2 j + · · ·+an jAn j (desenvolvimento usando a coluna j) (4)
Exemplo 3 Vamos usar a matriz A do Exemplo 1, A =
 1 2 31 3 4
2 4 7
, para aplicar o desenvolvimento
de Laplace. Faremos isso de duas maneiras:
• Alternativa 1: Escolher uma linha qualquer da matriz A. Nesse caso, vamos usar a linha 2.
Como vamos usar a linha 2, então precisamos calcular os cofatores dos elementos da linha 2,
isto é,  A11 A12 A13A21 A22 A23
A31 A32 A33
 ⇒ A21, A22, A23.
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Temos que
A21 = −|M21|=−
∣∣∣∣ 2 34 7
∣∣∣∣=−2,
A22 = |M22|=
∣∣∣∣ 1 32 7
∣∣∣∣= 1,
A23 = −|M23|=−
∣∣∣∣ 1 22 4
∣∣∣∣= 0.
Assim,
|A| = a21A21 +a22A22 +a23A23
= 1× (−2)+3×1+4×0
= −2+3+0
= 1.
• Alternativa 2: Escolher uma coluna qualquer da matriz A. Vamos optar pela coluna 3.
Como vamos usar a coluna 3, então precisamos calcular os cofatores dos elementos da co-
luna 3, isto é,
 A11 A12 A13A21 A22 A23
A31 A32 A33
 ⇒ A13, A23, A33.
Temos que
A13 = |M13|=
∣∣∣∣ 1 32 4
∣∣∣∣=−2,
A23 = −|M23|=−
∣∣∣∣ 1 22 4
∣∣∣∣= 0,
A33 = |M33|=
∣∣∣∣ 1 21 3
∣∣∣∣= 1.
Assim,
|A| = a13A13 +a23A23 +a33A33
= 3× (−2)+4×0+7×1
= −6+0+7
= 1.
OBS O desenvolvimento de Laplace usa a recursividade para o cálculo de determinante de uma matriz.
O determinante de ordem n é decomposto em determinantes de ordem n−1.
• A combinação do desenvolvimento de Laplace e algumas propriedades de determinantes
resulta, muitas vezes, numa poderosa ferramenta de cálculo de determinantes.
• Em geral, costuma-se escolher a linha ou coluna que tiver a maior quantidade de zeros
possíveis, ou usar a terceira operação elementar para introduzir zeros em uma determinada
linha ou coluna.
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Exemplo 4 Calcule o determinante da seguinte matriz:
A =

5 4 2 1
2 3 1 −2
−5 −7 −3 9
1 −2 −1 4
 .
• Passo 1: Vamos escolher uma coluna para introduzir zeros, utilizando a terceira operação
elementar. Vamos optar pela coluna 3.
|A|=
∣∣∣∣∣∣∣∣
5 4 2 1
2 3 1 −2
−5 −7 −3 9
1 −2 −1 4
∣∣∣∣∣∣∣∣
L1→ L1−2L2
=
L3→ L3 +3L2
L4→ L4 +L2
∣∣∣∣∣∣∣∣
1 −2 0 5
2 3 1 −2
1 2 0 3
3 1 0 2
∣∣∣∣∣∣∣∣ .
• Passo 2: Agora podemos usar o desenvolvimento de Laplace na coluna 3. Como, nesta coluna,
somente o elemento a23 é diferente de zero, então precisamos apenas do cofator A23.
|A|=
∣∣∣∣∣∣∣∣
1 −2 0 5
2 3 1 −2
1 2 0 3
3 1 0 2
∣∣∣∣∣∣∣∣= a23A23 =−
∣∣∣∣∣∣
1 −2 5
1 2 3
3 1 2
∣∣∣∣∣∣
• Passo 3: Do último determinante, podemos introduzir zeros na coluna 1. Assim,
|A|=−
∣∣∣∣∣∣
1 −2 5
1 2 3
3 1 2
∣∣∣∣∣∣=−
∣∣∣∣∣∣
1 −2 5
0 −4 2
0 7 −13
∣∣∣∣∣∣
• Passo 4: Aplicar desenvolvimento de Laplace na coluna 1.
|A|=−
∣∣∣∣∣∣
1 −2 5
0 4 −2
0 7 −13
∣∣∣∣∣∣=−
∣∣∣∣ 4 −27 −13
∣∣∣∣= 38.
Exercício 1 Use o desenvolvimento de Laplace para calcular os seguintes determinantes:
(a)
∣∣∣∣∣∣
1 2 3
4 11 18
7 8 24
∣∣∣∣∣∣
(b)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
0 4 0 0 0
0 0 0 2 0
0 0 0 0 1
0 0 3 0 0
5 0 0 0 0
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
(c)
∣∣∣∣∣∣∣∣
1 −3 1 −2
2 −5 −1 −2
0 −4 5 1
−3 10 −6 8
∣∣∣∣∣∣∣∣
(d)
∣∣∣∣∣∣
1 2 3
4 5 6
7 8 9
∣∣∣∣∣∣
(e)
∣∣∣∣∣∣∣∣
1 0 0 3
2 7 0 6
0 6 3 0
7 3 1 −5
∣∣∣∣∣∣∣∣
(f)
∣∣∣∣∣∣∣∣
x x x x
x 4 x x
x x 4 x
x x x 4
∣∣∣∣∣∣∣∣
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