AULA - Noções de Probabilidade ENG

Prévia do material em texto

PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA 
Noções de Probabilidade 
Curso: Eng Civil – 3º sem N 
Profa. Dra. Patrícia B. Braga 
1. Introdução 
POR QUE ESTUDAR PROBABILIDADE? 
 
 
“Após a apuração, condensação, apresentação e 
descrição dos dados obtidos a partir de uma 
amostra é comum estender as conclusões obtidas 
para toda a população. Este procedimento se 
chama inferência. 
 
ESTATISTICA 
DESCRITIVA 
TEORIA DAS 
PROBABILIDADES 
ESTATISTICA 
INDUTIVA 
Para fazer inferência sobre uma população a partir 
de dados amostrais são adotados conhecimentos de 
probabilidade. 
 
2. Conceitos básicos 
2.1 Experimento 
 
Processo pelo qual se obtém alguma informação. 
 
Experimento aleatório : É um experimento cujo resultado 
é incerto ou casual mesmo quando repetidos em 
condições idênticas 
 
 É a ação ou um ensaio por meio do qual resultados 
específicos (contagens, medidas ou respostas) são 
obtidos. 
Exemplos de alguns experimentos e fenômenos 
aleatórios 
 
• Escolher aleatoriamente uma amostra de três alunos 
da disciplina de estatística 
• Escolher aleatoriamente eleitores e perguntar em 
quem irão votar para presidente 
• Observar o tempo de vida (até queimar) de uma 
lâmpada 
• Observar a quantidade de chuva mensal 
2.2 Espaço amostral (  - ômega) 
 
É o conjunto formado por todos os possíveis 
resultados de um experimento ou fenômeno aleatório. 
 
 
Exemplo: 
 
 Experimento - Lançar uma moeda duas vezes 
 = { CC, CX, XC, XX} 
 
Observação do tipo sanguíneo de um indivíduo: 
Ω = {A, B, AB,0} 
 
Dois dados são jogados simultanêamente. 
1a jogada 
36 resultados 
2a jogada 
Início 
1 2 3 4 5 6 
1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 
2.3 Evento (A) 
 
 É todo subconjunto do espaço amostral. 
 
 
Exemplo: Lançar uma moeda duas vezes 
 
A= { pelo menos uma face da moeda é cara} 
{ CC, CX, XC} 
 
B= { pelo menos duas faces são cara} 
{ CC} 
 
RESUMO 
 
Experimento Probabilístico – Jogar um dado de 
seis faces. 
Espaço Amostral – {1, 2, 3, 4, 5, 6}. 
Evento –Jogar um número par {2, 4, 6}. 
Resultado do experimento –{2}. 
 
3. Tipos de eventos 
a) Evento Simples 
b) Evento composto 
c) Evento impossível 
d) Evento certo 
 Exemplo: Lançamento de um dado: Ω = {1,2,3,4,5,6}. 
Evento 
Subconjunto do espaço amostral Ω. 
Notação: A, B, C,... 
 
Exemplos. Eventos do exemplo acima: 
 
 A. Resultado é par: A = {2, 4, 6} (evento composto) 
 B. Resultado é maior do que 3: B = {4, 5, 6} (evento 
composto) 
 C. Resultado igual a 1: C = {1} (evento simples) 
 D. Resultado maior do que 6: D = ∅ (evento impossível) 
 E. Resultado menor do que 7: D = Ω (evento certo) 
b) Evento União ou Soma – se associarmos dois 
eventos A e B a um experimento aleatório a união 
dos eventos A e B será um conjunto formado por 
todos os elementos que pertencem A e B. 
 
Evento A = { plantas leguminosas} 
Evento B = { plantas com altura acima de 30 cm} 
 
A U B = { plantas leguminosas e plantas com altura 
acima de 30 cm} 
 
 
c) Eventos Interseção ou mutuamente não excludentes 
(A e B) ou (A  B): 
 
São os eventos que ocorrem se e somente se A e B 
ocorrem simultaneamente. 
Ex: A = plantas acima de 30 cm de altura 
 B = plantas da família das leguminosas. 
 
A  B = plantas leguminosas e com mais de 30 cm de 
altura simultaneamente 
 
 
 
Assim, 
 
Se os eventos não tiverem interseção: 
 
P(AUB) = P(A) + P(B) 
 
Se os eventos tiverem alguma 
interseção: 
 
P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩B) 
 
Eventos não excludentes 
 
Se dois eventos podem ocorrer na mesma tentativa, 
eles não são mutuamente excludentes. 
A = ter menos de 25 anos. 
B = ser um advogado. 
A B 
A e B 
d) Eventos Mutuamente Excludentes A e B são 
aqueles que não podem ocorrer simultaneamente 
(A  B =). 
A ocorrência de A exclui a ocorrência de B e vice 
versa 
Ex: A = bois da raça nelore 
 B = vacas leiteiras 
 
A B 
Complemento de A (A
c
): 
ocorre quando não ocorre A 
 Diferença A-B: quando ocorre 
A mas não ocorre B 
 
 
 
 
 A
c 
 
  
 
A A 
e) Evento Complementar (Ā): é o evento que ocorre 
se e somente se A não ocorre 
 
Ex.: 
A = conj. de frutas atacadas pela mosca 
Ā = conj. de frutas não atacadas pela mosca 
NÃO CONFUNDIR COM EVENTOS COMPLEMENTARES COM 
EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUDENTES. 
 
TODOS OS EVENTOS COMPLEMENTARES SÃO MUTUAMENTE 
EXCLUDENTES, MAS A RECÍPROCA NÃO É VERDADEIRA. 
 
f) Eventos Independentes - Dois eventos A e B são 
independentes quando a ocorrência do evento B 
não é afetada pela ocorrência (ou não-ocorrência) 
do evento A. 
 
A = ser mulher. 
B = ter sangue tipo O. 
g) Eventos Condicionados - Dois eventos A e B são 
condicionados quando a ocorrência do evento B 
depende da ocorrência do evento A. 
 
Exemplo 
Seja o experimento que consiste na retirada de duas 
cartas vermelhas de um baralho de 52 cartas. Na 
primeira retirada temos 26 cartas vermelhas de um total 
de 52 cartas. 
 
Na segunda retirada admitindo que a primeira foi 
vermelha, temos então 25 cartas vermelhas de um 
total de 51 cartas (considerando que não houve 
reposição da carta inicialmente retirada). 
 
Portanto, a ocorrência da segunda carta está 
vinculada ou condicionada ao aparecimento da 
primeira carta 
Observação: 
Compare “A e B” a “A ou B” 
O evento “A e B” significa que tanto A quanto B 
ocorreram na mesma tentativa. 
O evento “A ou B” significa que A pode ocorrer sem B, 
assim como B pode ocorrer sem A, ou ainda tanto A 
quanto B podem ocorrer. 
A B 
A ou B 
A e B 
A B 
A B mutuamente 
excludentes 
não mutuamente 
excludentes 
2.4 Variável aleatória 
 
É aquela que possui resultados que tendem a variar de 
uma observação para outra, em razão de fatores 
relacionados ao acaso 
 
 Vida útil (em horas) de um televisor. 
 Número de peças com defeito em um lote produzido. 
 Número de acidentes registrados durante um mês na 
BR.101. 
 Na internet, o tempo (em segundos) para que uma 
determinada mensagem chegue ao seu destino. 
Exemplos 
 
 
Variáveis aleatórias 
variável 
aleatória 
discreta 
os possíveis resultados estão 
contidos em um conjunto 
finito ou enumerável 
Assume valores discretos com 
probabilidades 
determinadas 
contínua 
os possíveis resultados 
abrangem todo um 
intervalo de números 
reais 
 
 
 
 Base teórica para a análise inferencial. 
 
 
3. Teoria das Probabilidades 
Qualquer que seja o experimento aleatório haverá 
sempre um grau de incerteza quanto à ocorrência ou 
não de um dado evento, ou seja, existe uma 
PROBABILIDADE associada à ocorrência de um evento. 
 
Probabilidade pode ser definida a partir de duas 
concepções: 
• Definição frequentista de probabilidade 
• Definição axiomática de probabilidade 
 
 
a) Definição frequentista de probabilidade 
 
Em situações em que os elementos do espaço 
amostral não são igualmente prováveis, a 
probabilidade de ocorrer o evento A pode ser 
calculada pela noção de freqüência relativa. 
 
 Se um experimento E for repetido n vezes e se 
algum evento A ocorre nA vezes, a freqüência 
relativa do evento a é definida matematicamente 
por: 
 
 
ƒ(A) = 
no. de vezes que A ocorreu 
no. total de repetições do experimento 
Exemplo 
Probabilidade de resultados de um dado 
 
 Espaço amostral = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 
Eventos: A = número par, 
 B = núm. menor que 3 
 
 A = {2, 4, 6} B = {1, 2} 
 P(A) = 3/6 = 0,5 P(B) = 2/6 = 
1/3 
 
 
b) Definição axiomática de probabilidade 
(Clássica) 
 
Probabilidade é uma função que associa a cada 
evento A, do espaço amostral, um número P(A), 
chamado de probabilidade do evento A, 
satisfazendo alguns axiomas. 
P(A) = 
no. de resultados favoráveis a ocorrênciade A 
no. de resultados possíveis 
Exemplo 
 
Um dado de seis faces é jogado. Obtenha a 
probabilidade dos seguintes eventos. 
1. Evento A: obter um 3. R=1/6 
2. Evento B: obter um 7. R=0/6 
3. Evento C: obter um número menor do que 5. R=4/6 
Perguntou-se a uma amostra de adultos em três cidades se eles 
gostavam de um novo suco. Os resultados estão a seguir. 
1. P(sim) 
 
2. P(Fortaleza) 
 
3. P(Recife) 
 
4. P(não, dado Recife) 
Salvador Fortaleza Recife Total 
Sim 100 150 150 400 
Não 125 130 95 350 
Não sabe 75 170 5 250 
Total 300 450 250 1.000 
Uma das respostas é selecionada ao acaso. Determine: 
1. P(sim) 
 
2. P(Fortaleza) 
 
3. P(Recife) 
 
4. P(não, dado Recife) 
100 150 150 
125 130 95 350 
 75 170 5 250 
Salvador 
 
Fortaleza Recife Total 
Sim 
Não 
Não sabe 
Total 300 450 250 
 400 
1.000 
= 95/250 = 0,38 
= 250/1.000 = 0,25 
Respostas: 1) 0,4 2) 0,45 3) 0,25 4) 0,38 
= 450/1.000 = 0,45 
= 400/1.000 = 0,4 
1,1 
1,2 
1,3 
1,4 
1,5 
1,6 
2,1 
2,2 
2,3 
2,4 
2,5 
2,6 
3,1 
3,2 
3,3 
3,4 
3,5 
3,6 
4,1 
4,2 
4,3 
4,4 
4,5 
4,6 
5,1 
5,2 
5,3 
5,4 
5,5 
5,6 
6,1 
6,2 
6,3 
6,4 
6,5 
6,6 
Detemine a probabilidade de que a soma seja 4. 
Determine a probabilidade de que a soma seja 11. 
Determine a probabilidade de que a soma seja 4 ou 11. 
Dois dados são jogados e sua soma é anotada. 
Foram colhidas 12 frutas, 5 das quais foram atacadas 
pela mosca. Se uma fruta for selecionada ao acaso, 
determine a probabilidade de que ela não seja 
atacada pela mosca?