Análise Econômica_NotasAULA_20190814

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UNIVERSIDADE PRESBITERIANA MACKENZIE 
 CCSA – Centro de Ciências Sociais Aplicadas 
 
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Análise Econômica 
 
Introdução 
Economia Matemática 
 Não é um ramo distinto 
 É uma abordagem da Análise Econômica 
 Problemas Econômicos através de Símbolos Matemáticos 
 Teoremas Matemáticos para auxiliar o raciocínio 
 
Tópicos específicos, que podem ser resolvidos com ferramentas 
matemáticas, são, por exemplo, microeconomia, macroeconomia, finanças 
públicas, economia urbana, política monetária etc. 
Atualmente a maioria dos livros didáticos de Economia utiliza elementos de 
Economia Matemática, entretanto, é mais comum associar tais técnicas 
matemáticas à elementos como Álgebra Matricial, Cálculo Diferencial e Integral, 
Equações Diferenciais etc. 
 
Objetivo Geral de Economia Matemática: introduzir os aspectos mais 
fundamentais dos métodos matemáticos utilizados em Economia. 
 
Economia Matemática Vs. Economia Não Matemática 
 Economia Matemática é equivalente a abordagem da Análise Econômica 
Discursiva, portanto, não difere em nenhum sentido fundamental da 
abordagem Não Matemática. 
 Diferenças Formais: 
 Economia Matemática usa símbolos para enunciar premissas e 
conclusões, ao invés de palavras e textos longos. 
 No lugar da lógica literária são usados teoremas matemáticos. 
 
A Matemática tem a vantagem de obrigar os analistas a enunciar suas 
premissas explicitamente em cada estágio do raciocínio. 
Teoremas Matemáticos costumam utilizar a lógica: 
“Se.... Então....” 
 
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Note: na Análise Econômica essa é a diferença fundamental entre os 
Métodos Hipotéticos Dedutivos e os Métodos Históricos Dedutivos. 
 
Geometria e sua limitação 
Em Economia o uso de apenas duas dimensões, por exemplo, nas curvas de 
indiferenças (das funções de Utilidade) se dá pelo fato de ser difícil construir 
representações tridimensionais (𝑅3), e impossível representar dimensões 
superiores (𝑅𝑛, 𝑐𝑜𝑚 𝑛 ≥ 4). 
Nesse sentido, é fisicamente impossível representar graficamente 04 ou 
mais dimensões. 
Para resolver problemas gerais com 03, 04 ou n dimensões (variáveis) deve-
se então utilizar-se de Equações ou Sistemas de Equações. 
 
 Vantagens da Economia Matemática 
 Linguagem mais precisa e concisa 
 Vasto número de Teoremas Matemáticos a disposição 
 Obriga formalismo e explicitação de premissas e hipóteses, o que 
consequentemente minimiza ‘falhas’ na formulação e facilita a 
verificação de cada etapa. 
 Permite generalizações (n variáveis) 
 
 Desvantagens: 
 Dificuldade de Comunicação entre Economistas Matemáticos e 
Não-Matemáticos 
 Economia Matemática pode gerar hipóteses matemáticas 
perfeitas, porém Não Realistas (com baixa aderência a realidade) 
e Não Razoáveis Economicamente. 
 Exemplo: Função de Utilidade e Escolha do Consumidor – 
como funciona na realidade, igual ao que a Teoria 
Microeconômica formaliza? 
 
Economia Matemática Vs. Econometria 
 
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Econometria: mensuração de dados econômicos. Trata do estudo de 
observações empíricas utilizando métodos estatísticos de estimação e teste de 
hipóteses. 
Economia Matemática é a aplicação de matemática aos aspectos 
puramente teóricos da Análise Econômica. 
Atualmente o método científico cobra estudos empíricos antes de aplicar 
teorias e resultados. Ao mesmo tempo, o estudo empírico precisa da teoria como 
fundamentação e orientação. 
Porém, Economia Matemática é mais básica, pois para a obtenção de um 
estudo estatístico e econométrico significativo é indispensável uma boa estrutura 
teórica. 
 
Modelos Econômicos 
Um Modelo Econômico é uma estrutura analítica deliberadamente 
simplificada da realidade, através da seleção de fatores mais importantes e das 
inter-relações relevantes para o problema estudado. 
Note: não precisa ser matemático. 
 
Modelos Matemáticos 
Um Modelo Matemático é construído de um conjunto de equações visando 
descrever a estrutura de um problema. 
Objetivo: obter um conjunto de conclusões lógicas através da aplicação de 
operações matemáticas. 
Se o Modelo Matemático for construído apropriadamente, de modo que 
possa ser mensurado, pode-se então resolvê-lo de forma a gerar-se valores para 
as soluções dos sistemas de variáveis utilizado. 
 
Exemplo: Oferta e Demanda 
{
𝑄𝐷 = 𝑎 − 𝑏. 𝑃
𝑄𝑂 = 𝑐 + 𝑑. 𝑃
 
 
 
Variável, Constante e Parâmetro 
Variável: algo que pode assumir valores diferentes. 
O 
D 
Q 
P 
 
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Constante: valor fixo, por exemplo, na expressão [𝑏2 − 4. 𝑎. 𝑐] o valor 4 é 
constante. 
Parâmetro: é uma constante paramétrica que deve assumir valores fixos 
para situações distintos, por exemplo, [𝑏2 − 4. 𝑎. 𝑐] onde 𝑏, 𝑎 𝑒 𝑐 são 
parâmetros. 
Variáveis Endógenas: seus valores são determinados pelo modelo 
(originadas internamente). 
Variáveis Exógenas: valores determinados por forças externas ao modelo 
(aceitas como dadas). 
 
Equações e Identidades 
Variáveis existem independentes de relações, porém o maior interesse em 
variáveis é a construção de relações por meio de equações e inequações. 
As aplicações econômicas têm 03 tipos de equações 
 Equações de Definição 
 Equações de Comportamento 
 Equações de Equilíbrio 
 
Equações de Definição: impõe uma identidade entre duas expressões 
alternativas com mesmo significado 
Exemplo: 𝐿𝑢𝑐𝑟𝑜 = 𝑅𝑒𝑐𝑒𝑖𝑡𝑎 − 𝐶𝑢𝑠𝑡𝑜 
 
Equações de Comportamento: impõe o padrão de comportamento de uma 
variável relativo a mudanças em outras variáveis. 
Exemplos: 
 Comportamento humano como em 𝐶 = 𝐶(𝑌) ou 𝐶(𝑌, 𝐼), função 
consumo como resposta ao nível de (renda) ou (renda e 
investimento). 
 Comportamento não humano 𝐶(𝑦), função custo da firma como 
resposta ao nível de produção. 
Equações de Comportamento precisam adotar pressupostos bem definidos 
com relação ao padrão de comportamento da variável em questão. 
 
 
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Equações de Equilíbrio: impõe a condição que é pré-requisito para a 
obtenção do equilíbrio. 
Exemplo: 
𝑄𝐸𝑞𝑢𝑖𝑙: 𝑄𝐷 = 𝑄𝑂 
 
Dessa forma, o sistema 
{
𝑄𝐷 = 𝑎 − 𝑏. 𝑃
𝑄𝑂 = 𝑐 + 𝑑. 𝑃
 
Tem como solução 𝑷∗ =
𝒂−𝒄
𝒅+𝒃
 
 
Relações, Funções e Gráficos 
Relação: é qualquer subconjunto específico de uma regra de associação de 
números mais geral. 
Função: regra de associação entre números onde cada elemento do 
domínio tem um único elemento na imagem. 
Exemplos: 
𝑦 = 𝑓(𝑥) 
𝑦: 𝑣𝑎𝑟𝑖á𝑣𝑒𝑙 𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒 
𝑥: 𝑣𝑎𝑟𝑖á𝑣𝑒𝑙 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒 
Ou 
𝑓: 𝑥 → 𝑦 
→:𝑚𝑎𝑝𝑒𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 
′𝑓′: 𝑟𝑒𝑔𝑟𝑎 𝑑𝑒 𝑚𝑎𝑝𝑒𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 
Ou 
𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) 
(𝑥, 𝑦): 𝑣𝑎𝑟. 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 (𝐷𝑜𝑚í𝑛𝑖𝑜) 
(𝑧): 𝑣𝑎𝑟. 𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒 (𝐼𝑚𝑎𝑔𝑒𝑚) 
 
 
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Gráficos de Funções 
 Linear: 𝑦 = 𝑎0 + 𝑎1. 𝑥 
 
 
 
 Quadrática: 𝑦 = 𝑎0 + 𝑎1. 𝑥 + 𝑎2. 𝑥
2 
 
 
 
 
 
 Cúbica: 𝑦 = 𝑎0 + 𝑎1. 𝑥 + 𝑎2. 𝑥
2 + 𝑎3. 𝑥
3 
 
 
 Hipérbole Retangular: 𝑦 =
𝑎
𝑥
 com 𝑎 > 𝑎 𝑒 𝑥 > 0 
 
 Exponencial: 𝑦 = 𝑏𝑥 
 
 
 
 
 
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 Logarítmica: 𝑦 = log𝑏 𝑥 
 
 
 
 
 
Níveis de Generalizações 
O mais comum é funções e modelos com as constantes dadas, tais como: 
𝑦 = 7, 𝑦 = 6𝑥 + 4, 𝑦 = 𝑥2 − 3𝑥 + 1, etc. 
 
Um nível mais geral de discussão e análise é 
𝑦 = 𝑎, 𝑦 = 𝑎 + 𝑏. 𝑥, 𝑦 = 𝑎 + 𝑏𝑥 + 𝑐𝑥2, etc. 
 
O mais generalizado é a falta da definição da forma analítica da função, tal 
como: 𝑦 =𝑓(𝑥) ou 𝑧 = 𝑔(𝑥, 𝑦). 
 
Roteiro para resolução de problemas 
1) Selecionar variáveis apropriadas (Endógenas/Exógenas) 
2) Traduzir em Equações as Suposições Analíticas 
3) Derivar as conclusões através de manipulação matemática e interpretar 
economicamente os resultados 
 
Análise do Equilíbrio em Economia 
Equilíbrio quando estamos pensando nos modelos econômicos é em 
essência a situação caracterizada por ausência de tendência a mudança. 
O equilíbrio quando atingido tende a se perpetuar exceto por quaisquer 
mudanças nas forças externas. 
 
 Equilíbrio: 
 Estável 
 Instável 
 
 
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Equilíbrio Estável acontece quando mesmo com pequenas oscilações das 
forças do sistema o equilíbrio tende a permanecer ou ser novamente atingido. 
Equilíbrio Instável acontece quando qualquer pequena oscilação das forças 
do sistema retira a condição de equilíbrio. 
Equilíbrio Estático acontece quando estaticamente as variáveis do sistema 
garantem a condição de equilíbrio entre as equações do sistema. 
 
 Equilíbrio Parcial de Mercado – modelo linear 
Objetivo: encontrar um conjunto de valores das variáveis endógenas que 
satisfazem as condições de equilíbrio. 
Exemplo: 
 01 Mercadoria 
 Variáveis: 𝑄𝐷, 𝑄𝑂, 𝑃 
 Supostos: Condição de Equilíbrio 𝑄𝐷 = 𝑄𝑂 (ou seja, [𝑄𝐷 − 𝑄𝑂 = 0] 
Excesso de Demanda igual a Zero). 
{
𝑄𝐷 = 𝑎 − 𝑏. 𝑃 (𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑟 𝑑𝑒𝑐𝑟𝑒𝑠𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒)
𝑄𝑂 = −𝑐 + 𝑑. 𝑃 (𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑟 𝑐𝑟𝑒𝑠𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒)
 
Sendo: {
𝑎, 𝑏 > 0
𝑐, 𝑑 > 0
 
 
 
 
 
 
 
𝑄∗: 𝑄𝐷 = 𝑄𝑂 
→ (𝑎 − 𝑏. 𝑃) = (−𝑐 + 𝑑. 𝑃) 
(𝑏 + 𝑑). 𝑃 = 𝑎 + 𝑐 
Tem-se como solução 𝑷∗ =
𝒂+𝒄
𝒃+𝒅
 
(Preço de Equilíbrio como função dos parâmetros) 
Usando 𝑷∗ na equação demanda temos: 
𝑄∗ = 𝑄𝐷(𝑃∗) = 𝑎 − 𝑏. (
𝑎 + 𝑐
𝑏 + 𝑑
) 
a 
-c 
Q* 
P* 
O 
D 
Q 
P 
 
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𝑄∗ = (
𝑎𝑏 + 𝑎𝑑 − 𝑎𝑏 − 𝑏𝑐
𝑏 + 𝑑
) 
𝑄∗ = (
𝑎𝑑 − 𝑏𝑐
𝑏 + 𝑑
) 
O que exige [𝑎𝑑 > 𝑏𝑐], para fazer sentido econômico. 
 
 Equilíbrio Parcial de Mercado – modelo linear 
Exemplo: 
 01 Mercadoria 
 Variáveis: 𝑄𝐷, 𝑄𝑂, 𝑃 
 Supostos: Condição de Equilíbrio 𝑄𝐷 = 𝑄𝑂 
{
𝑄𝐷 = 𝑄𝑂 
𝑄𝐷 = 4 − 𝑃2 
𝑄𝑂 = 4. 𝑃 − 1
 
 
 
𝑄𝐷 = 𝑄𝑂 
…𝑃∗ = 1 
𝑄∗ = 3 
 
Lista.01 – resolver e fazer os gráficos 
 Seção 3.2 
 #02 a) e b) 
 Seção 3.3 
 #06 a) e b) 
 
 
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#02) 
a) {
 
𝑄𝐷 = 51 − 3. 𝑃 
𝑄𝑂 = 6. 𝑃 − 10
 
b) {
 
𝑄𝐷 = 30 − 2. 𝑃 
𝑄𝑂 = −6 + 5. 𝑃
 
#06) 
a) {
 
𝑄𝐷 = 3 − 𝑃2 
𝑄𝑂 = 6. 𝑃 − 4
 
b) {
 
𝑄𝐷 = 8 − 𝑃2 
𝑄𝑂 = 𝑃2 − 2
 
 
Equilíbrio Geral de Mercado 
Todos os bens da Economia interagem entre si por relações de substituição 
e complementariedade nas trocas, dado variações de preços. 
Em um mercado isolado (equilíbrio parcial) a condição de equilíbrio consiste 
apenas em uma equação 𝑄𝐷 = 𝑄𝑆 (ou seja, Equilíbrio é 𝑄𝐷 − 𝑄𝑠 = 0). 
Em um mercado com várias mercadorias independentes, consideradas 
simultaneamente, temos para cada mercadoria: 
{
𝐸𝑞𝑢𝑖𝑙í𝑏𝑟𝑖𝑜𝑖 = 𝑄𝑖
𝐷 − 𝑄𝑖
𝑆 = 0
𝑖 = 1, 2, … , 𝑛 
 
 
Se existir uma solução, haverá um conjunto de preços 𝑃𝑖
∗ e correspondentes 
quantidades de equilíbrio 𝑄𝑖
∗ tais que todas as (n) equações da condição de 
equilíbrio serão satisfeitas simultaneamente. 
 
 Modelo de Mercado com duas Mercadorias - LINEAR 
{
 
 
 
 [
𝑸𝒅𝟏 − 𝑸𝒔𝟏 = 𝟎 
𝑄𝑑1 = 𝑎0 + 𝑎1. 𝑃1 + 𝑎2. 𝑃2
𝑄𝑠1 = 𝑏0 + 𝑏1. 𝑃1 + 𝑏2. 𝑃2
[
𝑸𝒅𝟐 − 𝑸𝒔𝟐 = 𝟎 
𝑄𝑑2 = 𝛼0 + 𝛼1. 𝑃1 + 𝛼2. 𝑃2
𝑄𝑠2 = 𝛽0 + 𝛽1. 𝑃1 + 𝛽2. 𝑃2
 
 
 
Respostas: 
#02. a) 𝑃∗ =
61
9
 e 𝑄∗ =
92
3
 
b) 𝑃∗ =
36
7
 e 𝑄∗ =
138
7
 
 
#06. a) 𝑃∗ = 1 e 𝑄∗ = 2 
b) 𝑃∗ = +√5 e 𝑄∗ = 3 
 
 
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O que nos leva a: 
{
(𝑎0 − 𝑏0) + (𝑎1 − 𝑏1). 𝑃1 + (𝑎2 − 𝑏2). 𝑃2 = 0
(𝛼0 − 𝛽0) + (𝛼1 − 𝛽1). 𝑃1 + (𝛼2 − 𝛽2). 𝑃2 = 0
 
 
Para simplificar, vamos reescrever os coeficientes tais como: 
{
𝑐𝑖 = 𝑎𝑖 − 𝑏𝑖
𝛾𝑖 = 𝛼𝑖 − 𝛽𝑖
 (𝑖 = 0, 1, 2) 
Então temos: 
{
𝑐0 + 𝑐1. 𝑃1 + 𝑐2. 𝑃2 = 0
𝛾0 + 𝛾1. 𝑃1 + 𝛾2. 𝑃2 = 0
 
 
Resolvendo temos: 
{
[𝑐1. 𝑃1 + 𝑐2. 𝑃2 = −𝑐0]. [−
𝛾2
𝑐2
]
𝛾1. 𝑃1 + 𝛾2. 𝑃2 = −𝛾0 
 
 
{
−
𝛾2
𝑐2
. 𝑐1. 𝑃1 + −𝛾2. 𝑃2 = +𝑐0.
𝛾2
𝑐2
𝛾1. 𝑃1 + 𝛾2. 𝑃2 = −𝛾0 
 
 
(𝛾1 −
𝑐1
𝑐2
. 𝛾2) . 𝑃1 + 0 = 
𝑐0
𝑐2
. 𝛾2 − 𝛾0 
 
𝑐2. 𝛾1 − 𝑐1. 𝛾2
𝑐2
. 𝑃1 = 
𝑐0. 𝛾2 − 𝑐2. 𝛾0
𝑐2
 
 
𝑷𝟏
∗ =
𝒄𝟎. 𝜸𝟐 − 𝒄𝟐. 𝜸𝟎
𝒄𝟐. 𝜸𝟏 − 𝒄𝟏. 𝜸𝟐
 
 
Substituindo 𝑃1
∗na primeira equação do sistema, temos: 
𝑐1. (
𝑐0. 𝛾2 − 𝑐2. 𝛾0
𝑐2. 𝛾1 − 𝑐1. 𝛾2
) + 𝑐2. 𝑃2 = −𝑐0 
 
𝑐2. 𝑃2 =
−𝑐1. 𝑐0. 𝛾2 + 𝑐1. 𝑐2. 𝛾0 − 𝑐0. 𝑐2. 𝛾1 + 𝑐1. 𝑐0. 𝛾2
𝑐2. 𝛾1 − 𝑐1. 𝛾2
 
 
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𝑐2. 𝑃2 = 𝑐2.
+𝑐1. 𝛾0 − 𝑐0. 𝛾1
𝑐2. 𝛾1 − 𝑐1. 𝛾2
 
Portanto: 
𝑷𝟐
∗ = 
+𝒄𝟎. 𝜸𝟏 − 𝒄𝟏. 𝜸𝟎
𝒄𝟏. 𝜸𝟐 − 𝒄𝟐. 𝜸𝟏
 
 
Restrições: 
i) Denominador diferente de zero  𝒄𝟏. 𝜸𝟐 ≠ 𝒄𝟐. 𝜸𝟏 
ii) Numerador com mesmo sinal que o denominador 
 
Obtendo 𝑃1
∗ e 𝑃2
∗ podemos calcular 𝑄1
∗ e 𝑄2
∗. 
 
Exemplo Numérico 
{
𝑄𝑑1 = 10 − 2𝑃1 + 𝑃2
𝑄𝑠1 = −2 + 3. 𝑃1 
𝑄𝑑2 = 15 + 𝑃1 − 𝑃2 
𝑄𝑠2 = −1 + 2. 𝑃2 
 
 
{
10 − 2𝑃1 + 𝑃2 = −2 + 3. 𝑃1
15 + 𝑃1 − 𝑃2 = −1 + 2. 𝑃2
 
 
{
5. 𝑃1 − 𝑃2 = 12 . (−3)
𝑃1 − 3. 𝑃2 = −16 
 
 
−14. 𝑃1 + 0 = −36 − 16 
𝑃1
∗ =
52
14
 
(… ) 𝑷𝟏
∗ =
𝟐𝟔
𝟕
 𝑷𝟐
∗ =
𝟒𝟔
𝟕
 
(… ) 𝑸𝟏
∗ =
𝟔𝟒
𝟕
 𝑸𝟐
∗ =
𝟖𝟓
𝟕
 
 
 
 
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Modelo de Mercado com (n) mercadorias 
{
𝑄𝑑𝑖 = 𝑄𝑑𝑖(𝑃1, 𝑃2, … , 𝑃𝑛)
𝑄𝑠𝑖 = 𝑄𝑠𝑖(𝑃1, 𝑃2, … , 𝑃𝑛)
 [𝑖 = 1,… , 𝑛] 
 
Assim temos (2. 𝑛) equações que em condições de equilíbrio devem gerar 
um sistema de (𝑛) equações dado por: 
 
{𝑄𝑑𝑖(𝑃1, 𝑃2, … , 𝑃𝑛) − 𝑄𝑠𝑖(𝑃1, 𝑃2, … , 𝑃𝑛) = 0 [𝑖 = 1,… , 𝑛] 
 
Resolvidas simultaneamente, essas (𝑛) equações podem determinar os (𝑛) 
preços de equilíbrio (𝑃𝑖
∗) - se realmente existir uma solução. E então, (𝑄𝑖
∗) pode 
ser obtido das funções de demanda e oferta. 
 
Solução de um Sistema Geral de Equações 
Não basta contar número de equações e variáveis para definir se existe 
solução. Vejamos os seguintes exemplo: 
{
𝑥 + 𝑦 = 8
𝑥 + 𝑦 = 9
  Sistema inconsistente, NÃO EXISTE Solução 
 
{
2𝑥 + 𝑦 = 8
4𝑥 + 2𝑦 = 16
  INFINITAS Soluções 
 
{
2𝑥 + 3𝑦 = 58
 𝑦 = 18
𝑥 + 𝑦 = 20
  Solução ÚNICA (2, 18) 
 
Para haver solução única as equações do sistema têm que formar uma 
matriz quadrada com os coeficientes das variáveis do sistema, de forma que, esta 
matriz dos coeficientes do sistema tem que ser Linearmente Independente (L.I.). 
 
Equilíbrio na Análise da Renda Nacional 
 Modelo Keynesiano de Determinação da Renda 
{
𝑌 = 𝐶 + 𝐼0 + 𝐺0
𝐶 = 𝑎 + 𝑏. 𝑌 
 (𝑎 > 0; 0 < 𝑏 < 1) 
Onde: 
 
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Y (Renda) e C (Consumo das Famílias) – Variáveis Endógenas 
(𝑏) propensão marginal a consumir 
 
Substituindo (𝐶) em (𝑌), temos: 
 𝑌 = (𝑎 + 𝑏. 𝑌) + 𝐼0 + 𝐺0 
(1 − 𝑏). 𝑌 = 𝑎 + 𝐼0 + 𝐺0 
 
∴ 𝑌∗ =
𝑎+𝐼0+𝐺0
1−𝑏
 
 
 𝐶 = 𝑎 + 𝑏. ( 
𝑎+𝐼0+𝐺0
1−𝑏
) =
𝑎−𝑎𝑏+𝑎𝑏+𝑏(𝐼0+𝐺0)
1−𝑏
 
∴ 𝐶∗ =
𝑎+𝑏.(𝐼0+𝐺0)
1−𝑏
 
 
Restrições: 
1) (1 − 𝑏) ≠ 0 → 1 ≠ 𝑏 
Ou seja, propensãomarginal a consumir 0 < 𝑏 < 1 
2) 𝑌∗, 𝐶∗ > 0 → 𝑁𝑢𝑚𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜𝑟 > 0 
Onde: 
𝑎: nível de consumo mínimo 
𝐼0: Investimento (normalmente >0) 
𝐺0: Gastos do Governo (normalmente >0) 
 
Lista.02 – Resolver 
 Seção 3.4 
 #03 
 Seção 3.5 
 #01, #02 e #03 
 
Seção 3.4: #03) As funções demanda e oferta de um modelo de duas 
mercadorias são as seguintes: 
 
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{
𝑄𝑑1 = 18 − 3𝑃1 + 𝑃2
𝑄𝑠1 = −2 + 4. 𝑃1 
𝑄𝑑2 = 12 + 𝑃1 − 2. 𝑃2 
𝑄𝑠2 = −2 + 3. 𝑃2 
 
Calcule 𝑷𝟏, 𝑷𝟐, 𝑸𝟏 𝒆 𝑸𝟐 de equilíbrio. 
 
Seção 3.5: #01) Dado o seguinte modelo: 
{
𝑌 = 𝐶 + 𝐼0 + 𝐺0 
𝐶 = 𝑎 + 𝑏(𝑌 − 𝑇) (𝑎 > 0, 0 < 𝑏 < 1)
𝑇 = 𝑑 + 𝑡. 𝑌 (𝑑 > 0, 0 < 𝑡 < 1)
 
a) Quantas variáveis endógenas existem? 
b) Calcule 𝑌∗, 𝐶∗, 𝑒 𝑇∗. 
 
#02) Seja o modelo de Renda Nacional: 
{
𝑌 = 𝐶 + 𝐼0 + 𝐺 
𝐶 = 𝑎 + 𝑏(𝑌 − 𝑇0) (𝑎 > 0, 0 < 𝑏 < 1)
𝐺 = 𝑔. 𝑌 (0 < 𝑔 < 1) 
 
a) Identifique as variáveis endógenas. 
b) Dê o significado econômico do parâmetro (𝑔). 
c) Calcule a Renda Nacional de Equilíbrio. 
d) Quais restrições devem ser impostas aos parâmetros para que exista 
uma solução? 
 
#03) Calcule 𝑌∗ e 𝐶∗ do seguinte sistema: 
{
 
 
 
 𝑌 = 𝐶 + 𝐼0 + 𝐺0 
𝐶 = 25 + 6. 𝑌
1
2 
𝐼0 = 16 𝐺0 = 14
 
 
Modelos Lineares e Álgebra Matricial 
Vantagens: 
1) Fornece um modo compacto de escrever um sistema de equações. 
2) Possibilidade de encontrar soluções através do cálculo do determinante. 
 
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3) Fornece um método para calcular a solução. 
4) Aplicabilidade em Análise Estática, Estática Comparativa, Análise 
Dinâmica, e Otimização, entre outros. 
Restrições: Aplicável somente a sistemas de equações lineares. 
 
Em muitos casos, a relação linear gera uma aproximação suficientemente 
boa a uma relação concreta não-linear. 
Ainda há casos onde, através de transformações monotônicas, podemos 
linearizar as funções a serem utilizadas. 
Exemplo: 𝑦 = 𝑎. 𝑥𝑏  ln(𝑦) = ln(𝑎) + 𝑏. ln(𝑥) 
[Linear para (ln(𝑦)) e (ln(𝑥))]. 
 
Matrizes e Vetores 
Sistema de (𝑚) equações lineares com (𝑛) variáveis (𝑥1, … , 𝑥𝑛) pode ser 
representado da seguinte forma: 
{
𝑎11. 𝑥1 + 𝑎12. 𝑥2 +⋯+ 𝑎1𝑛. 𝑥𝑛 = 𝑑1
𝑎21. 𝑥1 + 𝑎22. 𝑥2 +⋯+ 𝑎2𝑛. 𝑥𝑛 = 𝑑2
 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮
𝑎𝑚1. 𝑥1 + 𝑎𝑚2. 𝑥2 +⋯+ 𝑎𝑚𝑛. 𝑥𝑛 = 𝑑𝑚
 
 
Que pode ser reescrito matricialmente por: 
 
(
𝑎11 𝑎12 … 𝑎1𝑛
𝑎21 𝑎22 … 𝑎2𝑛
 ⋮ ⋮ ⋮ 
𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 … 𝑎𝑚𝑛
) .(
𝑥1
𝑥2
⋮
𝑥𝑛
) = (
𝑑1
𝑑2
⋮
𝑑𝑛
) 
 Matriz dos coeficientes 
𝐴 = (
𝑎11 𝑎12 … 𝑎1𝑛
𝑎21 𝑎22 … 𝑎2𝑛
 ⋮ ⋮ ⋮ 
𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 … 𝑎𝑚𝑛
) 
 Matriz (ou Vetor) de variáveis (Variáveis Endógenas) 
𝑥 = (
𝑥1
𝑥2
⋮
𝑥𝑛
) ou �⃗� = (
𝑥1
𝑥2
⋮
𝑥𝑛
) 
 
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 Matriz (ou Vetor) de termos constantes 
𝑑 = (
𝑑1
𝑑2
⋮
𝑑𝑛
) ou 𝑑 = (
𝑑1
𝑑2
⋮
𝑑𝑛
) 
 
Exemplo 
{
6𝑥1 + 3𝑥2 + 𝑥3 = 22
𝑥1 + 4𝑥2 − 2𝑥3 = 12
4𝑥1 − 𝑥2 + 5𝑥3 = 10
 
 
Que pode ser decomposto em: 
𝐴 = (
6 3 1
1 4 −2
4 −1 5
) 𝑥 = (
𝑥1
𝑥2
𝑥3
) 𝑑 = (
22
12
10
) 
 
Ou seja, podemos escrever 𝐴. 𝑥 = 𝑑, tal como: 
(
6 3 1
1 4 −2
4 −1 5
) . (
𝑥1
𝑥2
𝑥3
) = (
22
12
10
) 
 
 
SOLUÇÃO DE SISTEMAS LINEARES POR MÉTODOS MATRICIAS 
Em Economia é muito comum a discussão de sistemas de equações lineares 
por meio dos métodos matriciais. Todos os sistemas, de Microeconomia, 
Macroeconomia e Econometria, que tem por base equações lineares, são 
computacionalmente resolvidos por formas matriciais. 
Para a solução de sistemas lineares iremos considerar os casos descritos 
por: 
𝐴. 𝑥 = 𝑑 
 
Esses sistemas têm essencialmente dois métodos tradicionais de solução: 
1) Matriz Inversa (𝑨−𝟏) 
𝑨. 𝒙 = 𝒅  𝒙∗ = (𝑨−𝟏). 𝒅 
 
 
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18 
 
2) Regra de Cramer 
𝑨. 𝒙 = 𝒅  𝒙𝒊
∗ =
𝐝𝐞𝐭(𝑨𝒊)
𝐝𝐞𝐭(𝑨)
 
Onde (𝐴𝑖) é a matriz que se obtem da substituição da i-ésima coluna de (𝐴) 
pelo vetor (𝑑). 
 
Condição de Existência de Solução 
Essencialmente, para que seja possível calcular matricialmente a solução 
dos sistemas, pelos dois métodos supracitados, é necessário que det(𝐴) ≠ 0. 
Propriedade: 
Det(𝐴) ≠ 0 ⇔ 𝐸𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 (𝐴−1) 
 
Det(𝐴) = 0 ⇔ 𝑁Ã𝑂 𝐸𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 (𝐴−1) 
 
Em resumo: se det(𝐴) = 0 não existe solução única do sistema linear em 
estudo. 
 
Matrizes – REVISÃO 
 Definições 
1) ESCALAR: número real (ou complexo). 
2) MATRIZ: conjunto de escalares com duas ordenações, uma por linha e 
outra por coluna. 
𝐴 = [𝑎𝑖𝑗]𝑚𝑥𝑛
 𝑖 = 1,… ,𝑚 𝑗 = 1, … , 𝑛 
 
Exemplo: 𝐴 = [
1 −5 0
2 3 4
] 
𝑎12 = −5 
𝑎23 = 4 
 
3) VETOR: matriz com uma linha ou uma coluna. 
�⃗� = [
3
1
2
]
3𝑥1
 vetor coluna �⃗� = [5 2 3]1𝑥3 vetor linha 
 
 
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19 
 
 Operações com MATRIZES 
4) Adição (ou Subtração) 
𝐴 + 𝐵 = 𝐶 → 𝑎𝑖𝑗 + 𝑏𝑖𝑗 = 𝑐𝑖𝑗 
𝐴 − 𝐵 = 𝐶 → 𝑎𝑖𝑗 − 𝑏𝑖𝑗 = 𝑐𝑖𝑗 
 
Exemplo: [
1 2 5
4 1 0
] + [
0 −3 2
−1 1 4
] = [
1 −1 7
3 2 4
] 
 
5) Multiplicação de Matriz por Escalar 
 
𝛼. 𝐴 = 𝐵 → 𝑏𝑖𝑗 = 𝛼. 𝑎𝑖𝑗 
Ex.01: 2. [
1 0
2 3
] = [
2 0
4 6
] 
 
Ex.01: 𝛼 = 2 �⃗� = [
1
1
] → 𝛼. �⃗� = 2. [
1
1
] = [
2
2
] 
 
6) Multiplicação de Matrizes 
a. Produto Interno (ou produto escalar) 
�⃗⃗⃗� = [
1
5
2
] e �⃗� = [
2
3
1
] 
 
�⃗⃗⃗� ∗ �⃗⃗⃗� = (1.2) + (5.3) + (2.1) = 19 
 
 Ou seja, �⃗⃗⃗� ∗ �⃗⃗⃗� = ∑ 𝒙𝒊. 𝒚𝒊
𝒏
𝒊 
 
b. Multiplicação de Matrizes 
𝐴𝒎𝑥𝒑. 𝐵𝒑𝑥𝒏 = 𝐶𝒎𝑥𝒏 
 
 Para ser possível a multiplicação matricial o número de colunas 
da matriz (𝐴) deve ser igual ao número de linhas da matriz (𝐵). 
 A matriz (𝐶) resultante tem dimensões dadas por (𝒎 𝑥 𝒏), que 
correspondem ao número de linhas da matriz (𝐴) e ao número 
de colunas da matriz (𝐵). 
 Cada elemento 𝑐𝑖𝑗 é o resultado do produto interno da i-ésima 
linha de (𝐴) com a j-ésima coluna de (𝐵). 
 
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20 
 
 
Ex.01: 
[
1 2 1
3 4 2
]
2𝑥3
. [
5 2
4 3
1 0
]
3𝑥2
= [
𝟏𝟒 𝟖
𝟑𝟑 𝟏𝟖
]
2𝑥2
 
 
{
 
 
𝑐11 = (1.5) + (2.4) + (1.1) = 14
𝑐12 = (1.2) + (2.3) + (1.0) = 08
𝑐21 = (3.5) + (4.4) + (2.1) = 33
𝑐22 = (3.2) + (4.3) + (2.0) = 18
 
 
Ex.02: 
𝐴 = [
1 1
1 1
] e 𝐵 = [
1 1
−1 1
] 
 
→ 𝐴.𝐵 = [
1 1
1 1
] . [
1 1
−1 1
] = [
0 2
0 2
] 
 
→ 𝐵.𝐴 = [
1 1
−1 1
] . [
1 1
1 1
] = [
2 2
0 0
] 
 
Ou seja, a ordem importa na multiplicação matricial. Somente em casos 
especiais (exceções à regra) a ordem não importa, tal como na multiplicação da 
matriz pela sua matriz inversa. 
 
 Definições de espécies de MATRIZES 
7) Matriz Quadrada 
Matriz com mesmo número de linhas e colunas. 
Exemplos: 𝐴2𝑥2, 𝐴3𝑥3, ..., 𝐴𝑛𝑥𝑛. 
 
8) Matriz Diagonal 
Matriz quadrada cujos elementos fora da diagonal principal são nulos. 
 𝐴𝑛𝑥𝑛 e 𝑎𝑖𝑗 = 0, 𝑠𝑒 𝑖 ≠ 𝑗 
Exemplo: [
𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22
] = [
𝑎11 0
0 𝑎22
] 
 
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21 
 
 
9) Matriz Identidade 
Matriz quadrada com os elementos da diagonal principal todos iguais a 
1,e com os elementos fora da diagonal principal iguais a zero. 
Ou seja: 𝑎𝑖𝑗 = {
0, 𝑠𝑒 𝑖 ≠ 𝑗 
1, 𝑠𝑒 𝑖 = 𝑗
 
Exemplo: 𝐼2 = [
1 0
0 1
] 
 
Tem a propriedade da Neutralidade na Multiplicação Matricial, tal que 
𝑰. 𝑨 = 𝑨. 
Exemplo: [
1 0
0 1
] . [
1 4
5 2
] = [
1 4
5 2
] 
 
10) Matriz Transposta (𝐴′ 𝑜𝑢 𝐴𝑡) 
Operação que troca as linhas pelas colunas (ou as colunas pelas linhas) 
de uma matriz A. 
Ex.01: 𝐴 = [
1 2
3 4
5 6
]
3𝑥2
 → 𝐴′ = [
1 3 5
2 4 6
]
2𝑥3
 
 
Ex.02: 𝐴 = [
2 3
3 5
] → 𝐴′ = [
2 3
3 5
] 
Observação: quando 𝐴 = 𝐴′ dizemos que 𝐴 é simétrica, pois temos 
𝑎𝑖𝑗 = 𝑎𝑗𝑖. 
 
11) Matriz Inversa (𝑨−𝟏) 
A matriz inversa (𝐴−1) de uma matriz quadrada (𝐴), se existir, guarda a 
importante propriedade matricial: 
 
(𝑨). (𝑨−𝟏) = (𝑨−𝟏). (𝑨) = 𝑰 
Exemplo: encontrar, pela definição, a matriz inversa (𝑨−𝟏), dada 
𝐴 = [
1 2
0 1
] 
Resolução: 
 
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22 
 
(𝑨). (𝑨−𝟏) = 𝑰 
[
1 2
0 1
] . [
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
] = [
1 0
0 1
] 
 {
1. 𝑎 + 2. 𝑐 = 1
1. 𝑏 + 2. 𝑑 = 0
0. 𝑎 + 1. 𝑐 = 0
0. 𝑏 + 1. 𝑑 = 1
 → 𝑐 = 0 𝑒 𝑑 = 1 → 𝑎 = 1 𝑒 𝑏 = −2 
 
Portanto: 𝑨−𝟏 = [
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
] = [
1 −2
0 1
] 
 
Verificando que: (𝑨). (𝑨−𝟏) = 𝑰 
Temos: 
[
1 2
0 1
] . [
1 −2
0 1
] = [
1 (−2 + 2)
0 1
] = [
𝟏 𝟎
𝟎 𝟏
] 
 
 Aplicação da Inversa para Resolver Sistemas Lineares 
12) Propriedades de Matriz Inversa e Solução de Sistemas 
Seja 𝐴. 𝑥 = 𝑑, com 𝐴𝑛𝑥𝑛, um sistema de equações lineares descrito por: 
{
𝑎11. 𝑥1 + 𝑎12. 𝑥2 +⋯+ 𝑎1𝑛. 𝑥𝑛 = 𝑑1
𝑎21. 𝑥1 + 𝑎22. 𝑥2 +⋯+ 𝑎2𝑛 . 𝑥𝑛 = 𝑑2
 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮
𝑎𝑛1. 𝑥1 + 𝑎𝑛2. 𝑥2 +⋯+ 𝑎𝑛𝑛. 𝑥𝑛 = 𝑑𝑛
 
 
Que pode ser reescrito matricialmente por: 
 
(
𝑎11 𝑎12 … 𝑎1𝑛
𝑎21 𝑎22 … 𝑎2𝑛
 ⋮ ⋮ ⋮ 
𝑎𝑛1 𝑎𝑛2 … 𝑎𝑛𝑛
)
𝑛𝑥𝑛
. (
𝑥1
𝑥2
⋮
𝑥𝑛
)
𝑛𝑥1
= (
𝑑1
𝑑2
⋮
𝑑𝑛
)
𝑛𝑥1
 
 
Se existir (𝑨−𝟏) temos que: 
𝐴. 𝑥 = 𝑑 (multiplicando ambos os lados pela inversa) 
(𝑨−𝟏). 𝐴. 𝑥 = (𝑨−𝟏). 𝑑 
 
 
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23 
 
Mas, utilizando as propriedades (𝑨−𝟏). (𝑨) = 𝑰 e também que 𝐼. 𝑥 = 𝑥 
reescrevemos o sistema por: 
 
𝒙∗ = (𝑨−𝟏). 𝒅 
Ou seja, se existir (𝐴−1) temos: 
𝑨. 𝒙 = 𝒅  𝒙∗ = (𝑨−𝟏). 𝒅 como solução de qualquer sistema linear com 
(𝑛) equações e (𝑛) variáveis. 
 
Exemplo: {
𝑥 + 2𝑦 = 5
 3𝑦 = 3
 
Esse sistema tem uma solução muito simples dada por 𝑦 = 1 e 𝑥 = 3. 
 
Utilizando o método matricial de resolução pela matriz inversa temos: 
(
1 2
0 3
) . (
𝑥
𝑦) = (
5
3
) 
Portanto 𝐴 = (
1 2
0 3
). 
Utilizando da definição (𝑨). (𝑨−𝟏) = 𝑰 
[
1 2
0 3
] . [
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
] = [
1 0
0 1
] 
{
1. 𝑎 + 2. 𝑐 = 1
1. 𝑏 + 2. 𝑑 = 0
0. 𝑎 + 3. 𝑐 = 0
0. 𝑏 + 3. 𝑑 = 1
 → 𝑐 = 0 𝑒 𝑑 =
1
3
 → 𝑎 = 1 𝑒 𝑏 = −
2
3
 
 
Desse modo (𝑨−𝟏) = [
𝟏 −
𝟐
𝟑
𝟎
𝟏
𝟑
] 
 
Calculando a solução do sistema com (𝑨−𝟏), temos: 
𝒙∗ = (𝑨−𝟏). 𝒅  (
𝒙∗
𝒚∗
) = [
𝟏 −
𝟐
𝟑
𝟎
𝟏
𝟑
] . (
𝟓
𝟑
) 
(
𝒙∗
𝒚∗
) = (
𝟑
𝟏
) 
 
 
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24 
 
 Cálculo de Determinantes 
13) Determinantes 
a. Matriz 1𝑥1 
𝐴 = [𝑎11] → det(𝐴) = 𝑎11 
b. Matriz 2𝑥2 
𝐴 = [
𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22
] → det(𝐴) = (𝑎11. 𝑎22) − (𝑎12. 𝑎21) 
 
Exemplo: |
1 5
2 8
| = 8 − 10 = −2 
 
c. Matriz 3𝑥3 – Regra de Sarrus 
 
Exemplo.01: 𝐴 = [
1 0 3
2 1 5
4 1 4
] 
 
det(𝐴) = 
1 0 3
2 1 5
4 1 4
 
1 0
2 1
4 1
 
 
 
𝐝𝐞𝐭(𝑨) = 4 + 0 + 6 − 12 − 5 − 0 = −𝟕 
 
Exemplo.02: 𝐴 = [
1 2 3
4 5 6
9 12 15
] 
𝐝𝐞𝐭(𝑨) = 75 + 108 + 144 − 135 − 72 − 120 
 = 327 − 327 
𝐝𝐞𝐭(𝑨) = 𝟎 
 
d. Matriz 𝒏 𝑥 𝒏 (𝑛 >= 4) – Regra da Expansão de Laplace 
(ou Teorema de Laplace) 
 
 
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25 
 
𝐝𝐞𝐭(𝑨) = ∑ 𝒂𝒊𝒋. 𝑪𝒊𝒋
𝒏
𝒊=𝟏
(𝒐𝒖 𝒋=𝟏)
 
 
Onde: 
𝐶𝑖𝑗 é a matriz co-fatora dada por 𝐶𝑖𝑗 = (−1)
𝑖+𝑗 . det(𝑀𝑖𝑗) 
𝑀𝑖𝑗 é o Menor Principal, que é a matriz resultante da eliminação 
da linha (𝑖) e da coluna (𝑗) da matriz principal (𝐴), quando 
percorre-se uma linha (ou uma coluna) desta matriz (𝐴). 
 
Exemplo: Determine o 𝐷𝑒𝑡(𝐴) = |
3
5
7
1
 
1
2
4
−1
 
−2
2
−5
11
 
1
3
0
2
| 
 
𝐷𝑒𝑡(𝐴) = 𝟕. 𝑪𝟑𝟏 + 𝟒. 𝑪𝟑𝟐 + (−𝟓). 𝑪𝟑𝟑 + 𝟎. 𝑪𝟑𝟒 
 
Sendo: 
𝑪𝟑𝟏 = (−1)
𝟑+𝟏. |
1 −2 1
2 2 3
−1 11 2
| = ⋯ = (+1). (42 − 33) = 𝟗 
𝑪𝟑𝟐 = (−1)
𝟑+𝟐. |
3 −2 1
5 2 3
1 11 2
| = ⋯ = 𝟐𝟎 
𝑪𝟑𝟑 = (−1)
𝟑+𝟑. |
3 1 1
5 2 3
1 −1 2
| = ⋯ = 𝟕 
 
Portanto temos: 
𝐷𝑒𝑡(𝐴) = 7. (9) + 4. (20) + (−5). 7 + 0 
 
𝑫𝒆𝒕(𝑨) = 𝟏𝟎𝟖 
 
14) Regra de CRAMER 
Seja 𝐴. �⃗� = 𝑑 um sistema linear onde (𝐴) é uma matriz quadrada. 
Então a solução do sistema, se det (𝐴) ≠ 0, é dada por: 
 
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26 
 
 
𝑥𝑖
∗ =
det(𝐴𝑖)
det (𝐴)
 
 
Onde (𝐴𝑖) é a matriz resultante da substituição da i-ésima coluna de (𝐴) 
pelo vetor 𝑑. 
 
Ex.01: {
3𝑥1 + 4𝑥2 = 2
𝑥1 + 2𝑥2 = 4
 
 
𝐴 = (
3 4
1 2
) 𝐴1 = (
2 4
4 2
) 𝐴2 = (
3 2
1 4
) 
 
𝒙𝟏
∗ =
det(𝐴1)
det (𝐴)
= −
12
2
 = −𝟔 
𝒙𝟐
∗ =
det(𝐴2)
det (𝐴)
= 
10
2
 = 𝟓 
 
 
Ex.02: {
 𝑥1 + 3𝑥2 = 0
2𝑥1 + 5𝑥2 = 0
 
 
𝐴 = (
1 3
2 5
) 𝐴1 = (
0 3
0 5
) 𝐴2 = (
1 0
2 0
) 
 
𝒙𝟏
∗ =
det(𝐴1)
det (𝐴)
= −
0
1
 = 𝟎 
𝒙𝟐
∗ =
det(𝐴2)
det (𝐴)
= 
0
−1
 = 𝟎 
 
Quando 𝑑 = 0 o sistema é chamado de sistema homogêneo e, nesse caso, 
sempre tem pelo menos uma solução trivial �⃗� = 0. 
Ou seja: 
(
1 3
2 5
) . (
𝑥1
𝑥2
) = (
0
0
) 
 
 
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27 
 
Tem solução trivial: (
𝑥1
∗
𝑥2
∗) = (
0
0
). 
 
Ex.03: Modelo Keynesiano de Determinação da Renda 
 {
𝑌 = 𝐶 + 𝐼0 + 𝐺0 
𝐶 = 𝑎 + 𝑏. (𝑌 − 𝑇0)
 
 
Resolvendo matricialmente: 
{
 𝑌 − 𝐶 = 𝐼0 + 𝐺0 
−𝑏. 𝑌 + 𝐶 = 𝑎 − 𝑏. 𝑇0
 
 
(
1 −1
−𝑏 +1
) . (
𝑌
𝐶
) = (
𝐼0 + 𝐺0
𝑎 − 𝑏. 𝑇0
) 
 
Portanto: [ 𝐴 . �⃗� = 𝑑 ] 
𝐴 = (
1 −1
−𝑏 +1
) 𝐴1 = (
𝐼0 + 𝐺0 −1
𝑎 − 𝑏. 𝑇0 +1
) 𝐴2 = (
1 𝐼0 + 𝐺0
−𝑏 𝑎 − 𝑏. 𝑇0
) 
 
𝒀∗ =
det(𝐴1)
det(𝐴)
=
𝑰𝟎+𝑮𝟎+𝒂−𝒃.𝑻𝟎
𝟏−𝒃
 
𝑪∗ =
det(𝐴2)
det(𝐴)
=
𝒂−𝒃.𝑻𝟎+𝒃.(𝑰𝟎+𝑮𝟎) 
𝟏−𝒃
 
 
 Qual a variação de (𝑌) dado variações em (𝐼0)? 
 𝒀∗ =
𝑰𝟎
𝟏−𝒃
+
 𝐺0+𝑎−𝑏.𝑇0
1−𝑏
 
 ∆𝑌∗ =
∆𝐼0
1−𝑏
 →
∆𝒀∗
∆𝑰𝟎
=
𝟏
𝟏−𝒃
 
 
Lista.03 – Resolver 
#01) Dado 
{
𝑌 = 𝐶 + 𝐼0 + 𝐺0 
𝐶 = 25 + 0,8. (𝑌 − 𝑇0)
 
a) Indique as variáveis endógenas e as exógenas 
b) Represente o sistema matricialmente 
 
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28 
 
c) Calcule (𝑌∗) se 𝐼0 = 100, 𝐺0 = 75 e 𝑇0 = 100. 
d) Se o Investimento cair para 𝐼0 = 60, qual será a nova renda de 
equilíbrio? 
e) Se o Investimento subir para 𝐼0 = 120, qual será a nova renda de 
equilíbrio? 
f) Se os Gastos aumentarem para 𝐺0 = 95, qual será a nova renda de 
equilíbrio? 
[Respostas: c) 𝒀∗ = 𝟔𝟎𝟎; d) 𝒀∗ = 𝟒𝟎𝟎; e) 𝒀∗ = 𝟕𝟎𝟎; f) 𝒀∗ = 𝟕𝟎𝟎] 
 
#02) Modelo Keynesiano com Economia Aberta 
Sejam (𝑿𝟎) nível de exportação e (𝑴𝟎) nível de importação. Pode-se 
reecrever (𝑌) como: 
𝒀 = 𝑪 + 𝑰𝟎 + 𝑮𝟎 + (𝑿𝟎 −𝑴) 
 
Admitindo um comportamento linear para (𝑀) em função da renda 
disponível tem-se: 
𝑴 = 𝒖 + 𝒗. 𝒀𝑫 
Onde: 𝑌𝐷 = 𝑌 − 𝑇 
 
Então temos: 
{
𝑌 = 𝐶+ 𝐼0 + 𝐺0 + 𝑋0 −𝑀
𝐶 = 𝑎 + 𝑏. 𝑌𝐷 
𝑀 = 𝑢 + 𝑣. 𝑌𝐷 
 
 
a) Quais são as variáveis endógenas e quais são as variáveis exógenas? 
b) Escreva matricialmente o problema. 
c) Calcule as expressões de 𝑌∗ e 𝑀∗. 
d) Calcule a expressão para 
∆𝒀∗
∆𝑰𝟎
. 
Respostas: 
c) 𝒀∗ =
𝑰𝟎+𝑮𝟎+𝑿𝟎−𝒖+𝒗.𝑻𝟎+𝒂−𝒃.𝑻𝟎
𝟏−𝒃+𝒗
 
𝑴∗ =
[𝒖−𝒗.𝑻𝟎]+𝒗.[𝒂−𝒃.𝑻𝟎]+𝒗.[𝑰𝟎+𝑮𝟎+𝑿𝟎]−𝒃.[𝒖−𝒗.𝑻𝟎]
𝟏−𝒃+𝒗
 
d) 
∆𝒀∗
∆𝑰𝟎
=
𝟏
𝟏−𝒃+𝒗
 
 
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29 
 
Análise Econômica – parte 02 
 
 Cálculo de Matriz Inversa (𝑨−𝟏) 
Se uma matriz 𝐴𝑛𝑥𝑛 tem det (𝐴) ≠ 0, então é possível calcular a inversa, e 
um modo algébrico de proceder com esse cálculo é dado pela seguinte expressão: 
𝑨−𝟏 =
𝟏
|𝑨|
. 𝑨𝒅𝒋(𝑨) 
 
Onde a matriz Adjunta(A) é dada por: 
 
𝑨𝒅𝒋(𝑨) = [𝑪𝒐𝑭𝒂𝒕𝒐𝒓𝒂(𝑨)]𝒕 
 
E, por sua vez, a matriz CoFatora(A) é dada por elementos: 
 
𝒄𝒊𝒋 = (−𝟏)
𝒊+𝒋.𝑴𝒆𝒏𝒐𝒓𝑷𝒓𝒊𝒏𝒄𝒊𝒍𝒊𝒋 
 
Exemplo.01 
𝐴 = (
3 2
1 0
), calcule 𝐴−1 pela expressão da matriz Adj(A): 
 
Resolvendo: 
𝑐11 = (−1)
1+1. |0| = 0 
𝑐12 = (−1)
1+2. |1| = −1 
𝑐21 = (−1)
2+1. |2| = −2 
𝑐22 = (−1)
2+2. |3| = 3 
Portanto: 𝐶 = (
0 −1
−2 3
), e então 𝑨𝒅𝒋(𝑨) = 𝑪𝒕 = (
0 −2
−1 3
) 
 
Como temos: 𝑨−𝟏 =
𝟏
|𝑨|
. 𝑨𝒅𝒋(𝑨) e |𝑨| = −𝟐 
 
Então 𝑨−𝟏 = −
1
2
. (
0 −2
−1 3
) = (
𝟎 𝟏
𝟏
𝟐
−
𝟑
𝟐
) 
 
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30 
 
Lista.06 – resolver 
 Seção 5.4 
 #02 a) , b) , c) e d) 
 #04 a) , b) , c) e d) 
 
#02 Encontre a inversa de cada uma das seguintes matrizes 
a) 𝐴 = (
5 2
0 1
) 
b) 𝐵 = (
−1 0
9 2
) 
c) 𝐶 = (
3 7
3 −1
) 
d) 𝐷 = (
7 6
0 3
) 
 
#04 Encontre a inversa de cada uma das seguintes matrizes 
a) 𝐴 = (
4 −2 1
7 3 0
2 0 1
) 
b) 𝐵 = (
1 −1 2
1 0 3
4 0 2
) 
c) 𝐶 = (
1 0 0
0 0 1
0 1 0
) 
d) 𝐷 = (
1 0 0
0 1 0
0 0 1
) 
 
 
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31 
 
 Análise de Estática Comparativa 
Seja o modelo linear de Oferta e Demanda dado por: 
{
𝑄𝐷 = 𝑎 − 𝑏. 𝑃 (𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑟 𝑑𝑒𝑐𝑟𝑒𝑠𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒)
𝑄𝑆 = −𝑐 + 𝑑. 𝑃 (𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑟 𝑐𝑟𝑒𝑠𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒)
 
Sendo: {
𝑎, 𝑏 > 0
𝑐, 𝑑 > 0
 
 
 
 
 
 
 
Tem-se como solução 𝑷∗ =
𝒂+𝒄
𝒃+𝒅
 
(Preço de Equilíbrio como função dos parâmetros) 
𝑸∗ = (
𝒂𝒅−𝒃𝒄
𝒃+𝒅
), o que exige [𝑎𝑑 > 𝑏𝑐], para fazer sentido econômico. 
 
Estática Comparativa 
Para sabermos como uma variação infinitesimal de um dos parâmetros 
afetará (𝑃∗), basta diferenciar parcialmente 𝑃∗ em relação a cada um dos 
parâmetros, o que nos leva para a mensuração da variação de 𝑃∗ dado um 
incremento infinitesimal do parâmetro de interesse. 
Para esse modelo temos: 
𝝏𝑷∗
𝝏𝒂
=
𝟏
𝒃+𝒅
 [> 0] variação positiva 
𝝏𝑷∗
𝝏𝒃
= −
(𝒂+𝒄)
(𝒃+𝒅)𝟐
 [< 0] variação negativa 
 
𝝏𝑷∗
𝝏𝒄
=
𝟏
𝒃+𝒅
 [> 0] variação positiva 
𝝏𝑷∗
𝝏𝒅
= −
(𝒂+𝒄)
(𝒃+𝒅)𝟐
 [< 0] variação negativa 
 
a 
-c 
Q* 
P* 
S 
D 
Q 
P 
 
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32 
 
 
Ou seja, alterações em (𝑎) 𝑒 (𝑏) movimentam a curva de Demanda, e 
alterações em (𝑐) 𝑒 (𝑑) movimentam a curva de Oferta, e determinam um novo 
ponto de equilíbrio. 
 
Lista.07 – resolver 
#01 (Seção 7.5 exercício 01) Encontre a analise o sinal das variações dadas 
por 
𝜕𝑄∗
𝜕𝑎
, 
𝜕𝑄∗
𝜕𝑏
, 
𝜕𝑄∗
𝜕𝑐
 e 
𝜕𝑄∗
𝜕𝑑
. 
 
#02 Encontre o equilíbrio (𝑝∗, 𝑞∗), do sistema a seguir, e calcule 
𝜕𝑝∗
𝜕𝑦
 e 
𝜕𝑝∗
𝜕𝑘
. 
{
𝑞𝑑 = 𝛼 − 𝛽. 𝑝 + 𝛾. 𝑦
𝑞𝑠 = 𝜆 + 𝜃. 𝑝 − 𝜀. 𝑘
 𝑠𝑒𝑛𝑑𝑜 (𝛽, 𝛾 > 0) 𝑒 (𝜃, 𝜀 > 0) 
Variáveis Endógenas: q e p. 
Variáveis Exógenas: y e k ( renda e custo de capital). 
 
 
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33 
 
#03 Encontre o equilíbrio (𝑝∗, 𝑞∗), do sistema a seguir, e calcule 
𝜕𝑞∗
𝜕𝑦
 , 
𝜕𝑞∗
𝜕𝑘
, 
𝜕𝑝∗
𝜕𝑦
 
e 
𝜕𝑝∗
𝜕𝑘
. 
{
𝑞𝑑 = 3 − 2. 𝑝 + 4. 𝑦
𝑞𝑠 = 5 + 3. 𝑝 − 2. 𝑘
 
Variáveis Endógenas: q e p. 
Variáveis Exógenas: y e k ( renda e custo de capital). 
 
#04 Encontre o equilíbrio (𝑌∗, 𝐶∗, 𝑇∗), do sistema a seguir, e calcule 
𝜕𝑌∗
𝜕𝑡
 , 
𝜕𝐶∗
𝜕𝑡
 
e 
𝜕𝑇∗ 
𝜕𝑡
. 
{
𝑌 = 𝐶 + 𝐼0 + 𝐺0 
𝐶 = 𝑐0 + 𝛽. (𝑌 − 𝑇)
𝑇 = 𝑡. 𝑌 
 (𝑐0 > 0; 0 < 𝛽 < 1; 0 < 𝑡 < 1) 
 
 
Modelos de Insumo-Produto de Leontief 
O professor Wassily Leontief foi prêmio Nobel pela solução de: 
“Que nível de produto cada uma das (n) indústrias de uma economia deve 
produzir, de modo que seja exatamente suficiente para satisfazer a demanda 
total por aquele produto? ”. 
Análise Insumo-Produto: o produto de qualquer indústria é necessário 
como insumo de várias outras indústrias. 
 
 Estrutura de um Modelo Insumo-Produto: 
 Grande número de indústrias 
 Por simplificação adotamos as hipóteses: 
1) Cada indústria produz apenas uma mercadoria homogênea (02 ou 
mais mercadorias podem ser pensadas em proporções fixas). 
2) Cada indústria usa uma razão fixa de insumos (ou combinações) para 
a produção de seu produto. 
3) A produção em todas as indústrias está sujeita a rendimentos 
constantes de escala (𝑓(𝑘. 𝑥1, … , 𝑘. 𝑥2) = 𝑘
1. 𝑓(𝑥1, … , 𝑥𝑛)) 
 
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34 
 
Observação: se uma indústria produz duas mercadorias diferentes ou 
duas combinações possíveis de fatores, então, ela pode ser encarada 
como duas indústrias separadas. 
 
Para produzir uma unidade da j-ésima mercadoria as quantidades dos 
insumos necessários são 𝑎1𝑗 , 𝑎2𝑗 , … , 𝑎𝑛𝑗. 
Onde temos: 𝑎𝑖𝑗 relacionando insumo (𝒊) e produto (𝒋). 
 
Modelo Aberto 
Se além das (𝑛) indústrias o modelo tiver um setor “aberto” (externo ao 
modelo, como, por exemplo, famílias, governo ou países estrangeiros) que 
determine exogenamente uma demanda final (ou seja, não intermediária) pelo 
produto de cada indústria e que fornece um insumo primário não produzido pelas 
(𝑛) indústrias, então chamamos de modelo aberto. 
Para atender a condição de modelo aberto a soma dos elementos de cada 
coluna não pode exceder 1. 
Assim temos: 
∑ 𝑎𝑖𝑗
𝑛
𝑖=1 < 1 para cada 𝑗 = 1, 2, … , 𝑛 
 
𝐼 𝐼𝐼 𝑁 
𝐼
𝐼𝐼
𝑁
(
𝑎11 𝑎12 … 𝑎1𝑛
𝑎21 𝑎22 … 𝑎2𝑛
 ⋮ ⋮ ⋮ 
𝑎𝑛1 𝑎𝑛2 … 𝑎𝑛𝑛
)
𝑛𝑥𝑛
 
 
Se a indústria (𝐼) opera a um nível de produção exatamente igual ao 
necessário para satisfazer as necessidades das (𝑛) indústrias, assim como a 
demanda final do setor aberto, então seu nível de produção (𝑥1) deve atender a 
seguinte condição: 
𝑥1 = 𝑎11. 𝑥1 + 𝑎12. 𝑥2 +⋯+ 𝑎1𝑛. 𝑥𝑛 + 𝒅𝟏 
 
Onde temos: 
𝑑1: demanda final pelo produto 𝑥1. 
𝑎𝑖𝑗: requisição do insumo (𝑖) pela indústria (𝑗). 
 
 PRODUTO 
 
 IN
SU
M
O
 
 
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35 
 
Para os produtos 𝑥2 a 𝑥𝑛 devemos também impor que: 
𝑥2 = 𝑎21. 𝑥1 + 𝑎22. 𝑥2 +⋯+ 𝑎2𝑛. 𝑥𝑛 + 𝒅𝟐 
⋮ 
𝑥𝑛 = 𝑎𝑛1. 𝑥1 + 𝑎𝑛2. 𝑥2 +⋯+ 𝑎𝑛𝑛. 𝑥𝑛 + 𝒅𝒏 
 
Isso nos leva a: 
{
(1 − 𝑎11). 𝑥1 − 𝑎12. 𝑥2 −⋯− 𝑎1𝑛. 𝑥𝑛 = 𝑑1
−𝑎21. 𝑥1 + (1 − 𝑎22). 𝑥2 −⋯− 𝑎2𝑛. 𝑥𝑛 = 𝑑2
 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮
−𝑎𝑛1. 𝑥1 − 𝑎𝑛2. 𝑥2 −⋯+ (1 − 𝑎𝑛𝑛). 𝑥𝑛 = 𝑑𝑛
 
 
Matricialmente temos: 
(
(1 − 𝑎11) − 𝑎12 … − 𝑎1𝑛
−𝑎21 (1 − 𝑎22) … − 𝑎2𝑛
 ⋮ ⋮ ⋮ 
−𝑎𝑛1 − 𝑎𝑛2 … (1 − 𝑎𝑛𝑛)
)
𝑛𝑥𝑛
. (
𝑥1
𝑥2
⋮
𝑥𝑛
)
𝑛𝑥1
= (
𝑑1
𝑑2
⋮
𝑑𝑛
)
𝑛𝑥1Assim temos que: 
(𝑰 − 𝑨). 𝑥 = 𝑑 
 
Onde (𝐼 − 𝐴) é a denominada Matriz de Liontief. 
Se existir a inversa de (𝐼 − 𝐴), então temos: 
𝒙∗ = (𝑰 − 𝑨)−𝟏. 𝒅 
 
Exemplo numérico de Matriz Insumo-Produto 
Seja 𝐴 = (
0,2 0,3 0,2
0,4 0,1 0,2
0,1 0,3 0,2
) e 𝑑𝑡 = [10 5 6] 
(Observação: lê-se, por exemplo, “são necessários U$ 0,4 cents da 
mercadoria (𝐼𝐼) para produzir U$ 1,00 da mercadoria (𝐼)”). 
 
Então teremos (𝐼 − 𝐴) = (
0,8 −0,3 −0,2
−0,4 0,9 −0,2
−0,1 −0,3 0,8
) 
 
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36 
 
Como (
𝑥1
∗
𝑥2
∗
𝑥3
∗
) = (𝐼 − 𝐴)−1. 𝑑 
 
Então temos 𝑀(𝐼−𝐴) = (
|𝑀11| |𝑀12| |𝑀13|
|𝑀21| |𝑀22| |𝑀23|
|𝑀31| |𝑀32| |𝑀33|
) 
 
𝑀(𝐼−𝐴) =
(
 
 
 
|
0,9 −0,2
−0,3 0,8
| |
−0,4 −0,2
−0,1 0,8
| |
−0,4 0,9
−0,1 −0,3
|
|
−0,3 0,2
−0,3 0,8
| |
0,8 −0,2
−0,1 0,8
| |
0,8 −0,3
−0,1 −0,3
|
|
−0,3 −0,2
0,9 −0,2
| |
0,8 −0,2
−0,4 −0,2
| |
0,8 −0,3
−0,4 0,9
|)
 
 
 
 
 
𝑀(𝐼−𝐴) = (
(0,72 − 0,06) (−0,32 − 0,02) (0,12 + 0,09)
(−0,24 − 0,06) (0,64 − 0,02) (−0,24 − 0,03)
(0,06 + 0,18) (−0,16 − 0,08) (0,72 − 0,12)
) 
 
𝑀(𝐼−𝐴) = (
0,66 −0,34 0,21
−0,30 0,62 −0,27
0,24 −0,24 0,60
) 
 
(𝑴(𝑰−𝑨))
𝒕
= (
0,66 −0,30 0,24
−0,34 0,62 −0,24
0,21 −0,27 0,60
) 
 
 
(𝑪𝒐𝑭𝒂𝒕(𝑰 − 𝑨))𝒕 = (
𝟎, 𝟔𝟔 𝟎, 𝟑𝟎 𝟎, 𝟐𝟒
𝟎, 𝟑𝟒 𝟎, 𝟔𝟐 𝟎, 𝟐𝟒
𝟎, 𝟐𝟏 𝟎, 𝟐𝟕 𝟎, 𝟔𝟎
) 
 
 
Teremos (
𝑥1
∗
𝑥2
∗
𝑥3
∗
) =
1
0,384
. (
0,66 0,3 0,24
0,34 0,62 0,24
0,21 0,27 0,60
) . (
10
5
6
) 
 
 
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37 
 
Assim temos: 
𝒙𝟏
∗ =
1
0,384
. [0,66. (10) + 0,30. (5) + 0,24. (6)] =
𝟗, 𝟓𝟒
𝟎, 𝟑𝟖𝟒
= 𝟐𝟒, 𝟖𝟒 
 
𝒙𝟐
∗ =
1
0,384
. [0,34. (10) + 0,62. (5) + 0,24. (6)] =
𝟕, 𝟗𝟒
𝟎, 𝟑𝟖𝟒
= 𝟐𝟎, 𝟔𝟖 
 
𝒙𝟑
∗ =
1
0,384
. [0,21. (10) + 0,27. (5) + 0,60. (6)] =
𝟕, 𝟎𝟓
𝟎, 𝟑𝟖𝟒
= 𝟏𝟖, 𝟑𝟔 
 
 
Portanto, temos: (
𝒙𝟏
∗
𝒙𝟐
∗
𝒙𝟑
∗
) = (
𝟐𝟒, 𝟖𝟒
𝟐𝟎, 𝟔𝟖
𝟏𝟖, 𝟑𝟔
) bi de dólares. 
 
Demais conclusões do modelo 
1) Como em cada coluna encontramos: 
{
𝑎01 = 1 − 0,7 = 0,3
𝑎02 = 1 − 0,7 = 0,3
𝑎03 = 1 − 0,6 = 0,4
 
Onde (𝑎0𝑗) é a quantidade em dólares do insumo primário utilizado para 
obter 01 dólar da j-ésima mercadoria. 
 𝑎01. 𝑥1
∗ + 𝑎02. 𝑥2
∗ + 𝑎03. 𝑥3
∗ = 
= 0,3 ∗ (24,84) + 0,3 ∗ (20,68) + 0,4 ∗ (18,36) = 𝑼$𝟐𝟏 𝒃𝒊𝒍𝒉õ𝒆𝒔 
 
Para atender a demanda final 𝒅𝒕 = [𝟏𝟎 𝟓 𝟔] é necessário como gastos 
de insumo primário U$21 bilhões. 
 
2) Se os coeficiente da matriz inversa, (𝐼 − 𝐴)−1, não forem alterados – ou 
seja, se a relação Insumo-Produto das (𝑛) indústrias não se alterar – 
podemos testar para qualquer combinação de demanda final 𝑑𝑡 =
[𝑑1 𝑑2…𝑑𝑛] os valores de (𝑥
∗)𝑡 = [𝑥1
∗ 𝑥2
∗ … 𝑥𝑛
∗] e assim identificar os 
gastos com insumos primários. 
 
 
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38 
 
Análise Dinâmica 
Dinâmica: determinação e estudo das trajetórias temporais específicas das 
variáveis do modelo. Estuda-se também se, dado tempo suficiente, essas 
variáveis tenderão a convergir para certos valores de equilíbrio. 
Na Estática sempre adotamos a hipótese implícita de que o processo de 
ajustamento econômico conduz inevitavelmente ao equilíbrio. 
Na Dinâmica, ao invés de admitirmos a inexistência/existência do equilíbrio, 
estuda-se as trajetórias e condições de convergências ao equilíbrio. 
 
Tempo Discreto Vs. Tempo Contínuo 
 Discreto: variável sofre alterações em determinados instantes de tempo de 
forma enumerável (por exemplo, mês 1, mês 2, ..., mês n). 
Contínuo: variável sofre alterações em cada ponto do tempo (por exemplos, 
variável aleatória contínua, ou acumulação contínua do capital no tempo). 
 
 Dinâmica e Integração 
Modelo Estático 
Achar valores das variáveis endógenas que satisfazem certas condições de 
equilíbrio específicas. 
Modelo Dinâmico 
Determinar trajetória temporal de alguma variável com base em algum 
padrão conhecido de mudança. 
 
Exemplo 
Vamos supor que a população H varia ao longo do tempo com a taxa 
𝑑𝐻
𝑑𝑡
= 𝑡−
1
2 
 
Procura-se então a determinação da função, que representa a trajetória 
temporal 𝐻(𝑡), que resulta na taxa 
𝑑𝐻
𝑑𝑡
. 
Assim tempos: 
𝐻(𝑡) = 2. 𝑡
1
2 + 𝑐 
 
 
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39 
 
E dessa forma, para cada 𝐻(𝑡 = 0) = ℎ0 temos níveis diferentes da 
trajetória no instante 𝑡 = 0. 
 
 Modelos Contínuos 
 Integrais 
 Equações Diferenciais 
 Modelos Discretos 
 Somatórias 
 Equações a Diferenças Finitas 
 
 Regras de Integração 
 Integral Indefinida 
Se 
𝑑
𝑑𝑥
𝐹(𝑥) = 𝑓(𝑥) → ∫ 𝑓(𝑥). 𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥) + 𝑐 
 
 Regra I (regra da potência) 
∫𝒙𝒏𝒅𝒙 =
𝟏
𝒏+𝟏
. 𝒙𝒏+𝟏 + 𝒄 (𝑛 ≠ −1) 
 
 Regra II (Exponencial) 
∫ 𝑒𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒𝑥 + 𝑐 
 
∫ 𝑒𝑢(𝑥) 𝑑𝑥 =
1
𝑑
𝑑𝑥
(𝑢(𝑥))
. 𝑒𝑢(𝑥) + 𝑐 
 
 Regra II.(a): 
∫𝒇′(𝒙) . 𝒆𝒇(𝒙)𝒅𝒙 = 𝒆𝒇(𝒙) + 𝒄 
 
 Regra III (Logarítima) 
∫
1
𝑥
𝑑𝑥 = ln(𝑥) + 𝑐 (𝑥 > 0) 
 ou 
 = 𝑙𝑛|𝑥| + 𝑐 (𝑥 ≠ 0) 
 
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40 
 
 
 Regra III.(a): 
∫
𝒇′(𝒙)
𝒇(𝒙)
𝒅𝒙 = 𝐥𝐧(𝒇(𝒙)) + 𝒄 (𝒇(𝒙) > 𝟎) 
 ou 
 = 𝐥𝐧|𝒇(𝒙)| + 𝒄 (𝒇(𝒙) ≠ 𝟎) 
 
 Regra IV (integral de uma soma) 
∫[𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)]𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + ∫𝑔(𝑥)𝑑𝑥 
 
 Regra V (multiplicação escalar) 
∫ 𝑘. 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑘. ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 
 
 Regra VI (regra da substituição) 
∫ 𝑓(𝑢) .
𝑑𝑢
𝑑𝑥
. 𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑢) 𝑑𝑢 = 𝐹(𝑢) + 𝑐 
Observação: após resolver a integral, fazemos a substituição de 𝑢(𝑥) em 
𝐹(𝑢). 
 
 Regra VII (integral por partes) 
∫𝑢 . 𝑑𝑣 = 𝑢. 𝑣 − ∫ 𝑣 . 𝑑𝑢 
 
Note que: ∫ 𝑢
𝑏
𝑎
. 𝑑𝑣 = 𝑢. 𝑣|
𝑏
𝑎
− ∫ 𝑣
𝑏
𝑎
. 𝑑𝑢 
 
Exemplo.01 
∫(𝑥3 + 𝑥 + 1) 𝑑𝑥 =
𝑥4
4
+
𝑥2
2
+ 𝑥 + 𝑐 
 
Exemplo.02 
∫ (2. 𝑒2𝑥 +
14𝑥
7𝑥2+5
) 𝑑𝑥 = 𝑒2𝑥 + ln(7𝑥2 + 5) + 𝑐 
 
 
 
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41 
 
Lista.08 – resolver 
 Seção 14.2 
 Seção 14.3 (#01 e #02) 
 Seção 14.2 
#01 Resolva as seguintes integrais: 
a) ∫ 16 𝑥−3𝑑𝑥 
b) ∫ 9 𝑥8𝑑𝑥 
c) ∫(𝑥5 − 3𝑥) 𝑑𝑥 
d) ∫ 2. 𝑒−2𝑥 𝑑𝑥 
e) ∫
4𝑥
𝑥2+1
𝑑𝑥 
 
#02 Resolva as seguintes integrais: 
a) ∫ 13 𝑒𝑥𝑑𝑥 
b) ∫ (3𝑒𝑥 +
4
𝑥
) 𝑑𝑥 
c) ∫ (5𝑒𝑥 +
3
𝑥2
) 𝑑𝑥 
d) ∫ 3. 𝑒−(2𝑥+7) 𝑑𝑥 
e) ∫ 4𝑥. 𝑒𝑥
2+3 𝑑𝑥 
f) ∫ 𝑥. 𝑒𝑥
2+9 𝑑𝑥 
 
#03 Resolva as seguintes integrais: 
a) ∫
3
𝑥
𝑑𝑥 
b) ∫
1
𝑥−2
𝑑𝑥 
c) ∫
2𝑥
𝑥2+3
𝑑𝑥 
d) ∫
𝑥
3𝑥2+5
𝑑𝑥 
 
 
 
 
 
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42 
 
 Integrais Definidas 
∫ 𝒇(𝒙)
𝒃
𝒂
. 𝒅𝒙 = [𝑭(𝒙)]|
𝒃
𝒂
= 𝑭(𝒃) − 𝑭(𝒂) 
 
 Seção 14.3 
#01 Calcule as seguintes integrais: 
a) ∫
1
2
3
1
𝑥2𝑑𝑥 
b) ∫ 𝑥. (𝑥2 + 6)
1
0
𝑑𝑥 
c) ∫ 3√𝑥
3
1
𝑑𝑥 
d) ∫ (𝑥3 − 6𝑥2)
4
2
𝑑𝑥 
e) ∫ (𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐)
1
−1
𝑑𝑥 
f) ∫ 𝑥2. (
1
3
𝑥3 + 1)
2
4
𝑑𝑥 
 
#02 Calcule as seguintes integrais: 
a) ∫ 𝑒−2𝑥
2
1
𝑑𝑥 
b) ∫
1
𝑥+2
𝑒−2
−1
𝑑𝑥 
c) ∫ (𝑒2𝑥 + 𝑒𝑥)
3
2
𝑑𝑥 
d) ∫ (
1
𝑥
+
1
1+𝑥
)
6
𝑒
𝑑𝑥 
 
 Integrais Impróprias 
Quando temos integrais definidas da forma: 
∫ 𝑓(𝑥)
∞
𝑎
. 𝑑𝑥 ou ∫ 𝑓(𝑥)
𝑏
−∞
. 𝑑𝑥 ou ∫ 𝑓(𝑥)
∞
−∞
. 𝑑𝑥 
 
Com o limite de integração inferior, ou o limite superior, ou ambos, com o 
valor INFINITO, nos referimos a elas como integrais impróprias. 
 
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43 
 
Não será imprópria se o limite ao INFINITO gerar um valor convergente para 
a função primitiva, que se pretende calcular a integral. 
 
Exemplo 
∫
𝟏𝒙𝟐
∞
𝟏
𝒅𝒙 = −
1
𝑥
|
1
∞
= 0 + 1 = 𝟏 
 
 
Tempo Contínuo: Equações Diferenciais de Primeira 
Ordem 
Ordem: indica a mais alta ordem das derivadas (ou diferenciais) que 
aparecem na equação diferencial. 
Uma equação diferencial de 1ª ordem pode conter apenas derivadas 
primeiras, como por exemplo 
𝑑𝑦
𝑑𝑡
. 
 
 Equações Diferenciais Lineares de Primeira Ordem com Termo e 
Coeficientes Constantes 
A derivada primeira (
𝑑𝑦
𝑑𝑡
) é a única que pode figurar em uma E.D.O. (equação 
diferencial ordinária) de 1ª ordem, porém ela pode estar elevada a qualquer 
potência como: (
𝑑𝑦
𝑑𝑡
), (
𝑑𝑦
𝑑𝑡
)
2
, (
𝑑𝑦
𝑑𝑡
)
3
, ..., (
𝑑𝑦
𝑑𝑡
)
𝑛
. 
A mais alta potência à qual está elevada a derivada na equação determina 
o grau da Equação Diferencial. No caso de aparecer somente (
𝑑𝑦
𝑑𝑡
) temos apenas 
primeiro grau. 
Se não ocorrer 𝑦. (
𝑑𝑦
𝑑𝑡
) na equação, então temos uma equação linear. 
Uma E.D.O. linear de 1ª ordem assume em sua forma geral: 
𝒅𝒚
𝒅𝒕
+ 𝒖(𝒕). 𝒚 = 𝒘(𝒕) 
 
Onde 𝑢(𝑡) e 𝑤(𝑡) são funções de (𝑡), tal como (𝑦). 
 
 
 
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44 
 
 Caso Homogêneo 
𝒅𝒚
𝒅𝒕
+ 𝒂. 𝒚(𝒕) = 𝟎 (𝒂 é 𝒄𝒕𝒆) 
 
Solução: 
𝒅𝒚
𝒅𝒕
= −𝒂. 𝒚(𝒕) 
 
Integrando ambos os lados em (𝑡) temos: 
∫(
𝒅𝒚
𝒅𝒕
)𝒅𝒕 = ∫(−𝒂. 𝒚(𝒕))𝒅𝒕 
 
Como (𝑦) depende de (𝑡) então não podemos determinar a solução da 
integral em função de (𝑡) sem saber qual é a função. 
Novamente: 
𝒅𝒚
𝒅𝒕
= −𝒂. 𝒚(𝒕) → 
𝟏
 𝒚(𝒕)
.
𝒅𝒚
𝒅𝒕
= −𝒂 
Integrando ambos os lados: 
∫(
𝟏
 𝒚(𝒕)
.
𝒅𝒚
𝒅𝒕
)𝒅𝒕 = ∫(−𝒂)𝒅𝒕 
 
O que implica em: 
ln(𝑦) = −𝑎. 𝑡 + 𝑐 
 
Portanto: 𝑦(𝑡) = 𝑒−𝑎.𝑡+𝑐 → 𝑦(𝑡) = 𝑒𝐶 . 𝑒−𝑎𝑡 
 
O que nos leva a: 𝒚(𝒕) = 𝑨. 𝒆−𝒂𝒕 
 
Dessa forma, sendo 𝑦(0) = 𝐴 
→ 𝑦(𝑡) = 𝑦(0). 𝑒−𝑎𝑡 
 
 
 
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45 
 
Portanto: 
𝑦(𝑡) = {
𝐴. 𝑒−𝑎𝑡 (𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜 𝑔𝑒𝑟𝑎𝑙) 
𝑦(0). 𝑒−𝑎𝑡 (𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑎 − 𝑑𝑎𝑑𝑎 𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑖çã𝑜 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙)
 
 
Observação: é importante notar que as solução de E.D.O não são um 
número ou valor, mas uma função de (𝑡), tal como 𝑦(𝑡). 
 
 Caso Não-Homogêneo 
𝒅𝒚
𝒅𝒕
+ 𝒂. 𝒚(𝒕) = 𝒃 (𝒂, 𝒃 𝒔ã𝒐 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆𝒔) 
 
A solução deste tipo de equação é a combinação de dois termos: 
𝒚(𝒕) = 𝒚𝑯(𝒕) + 𝒚𝑷(𝒕) 
𝑦𝐻: solução da parte homogênea 
𝑦𝑃: solução particular 
 
Como resolvido anteriormente, temos: 
𝒅𝒚
𝒅𝒕
+ 𝒂. 𝒚(𝒕) = 𝟎 com solução dada por 𝒚𝑯(𝒕) = 𝑨. 𝒆
−𝒂𝒕 
 
A parte não homogênea seguirá o padrão de função dado pela expressão 
que aparece depois da igualdade na E.D.O, nesse caso uma constante (𝑏). 
A solução particular 𝑦𝑝(𝑡) é simplesmente qualquer solução particular da 
equação diferencial. A forma funcional da solução particular deve ser 
matematicamente semelhante a parte não-homogênea da equação diferencial. 
Como a parte não homogênea, neste exemplo, é dada por (𝑏) propomos 
então 𝑦𝑃(𝑡) = 𝑘, constante. 
Assim temos: 
𝑦𝑃(𝑡) = 𝑘 o que implica em 
𝑑𝑦(𝑡)
𝑑𝑡
= 0 
 
Substituindo na equação temos: 
→ 
𝒅𝒚
𝒅𝒕
+ 𝒂. 𝒚(𝒕) = 𝒃 
→ 0 + 𝑎. (𝑘) = 𝑏 
 
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46 
 
Portanto: 𝑘 =
𝑏
𝑎
 (𝑎 ≠ 0) o que nos leva a 𝒚𝑷(𝒕) =
𝒃
𝒂
 
 
Assim então, a solução geral da E.D.O é dada por: 
𝒚(𝒕) = 𝑨. 𝒆−𝒂𝒕 +
𝒃
𝒂
 
 
Substituindo a condição inicial 𝒚(𝟎), temos: 
→ 𝑦(0) = 𝐴. 𝑒0 +
𝑏
𝑎
 
→ 𝑦(0) = 𝐴. 1 +
𝑏
𝑎
 
→ 𝑨 = (𝒚(𝟎) −
𝒃
𝒂
) 
 
Portanto, dada a E.D.O.: 
𝒅𝒚
𝒅𝒕
+ 𝒂. 𝒚(𝒕) = 𝒃 𝒄𝒐𝒎 𝒚(𝟎) 
 
Temos 
𝑦(𝑡) = 𝑦𝐻(𝑡) + 𝑦𝑃(𝑡) 
 
𝒚(𝒕) = (𝒚(𝟎) −
𝒃
𝒂
) . 𝒆−𝒂𝒕 +
𝒃
𝒂
 
 
Exemplo.01 
𝒅𝒚
𝒅𝒕
+ 𝟐𝒚 = 𝟔 com a condição inicial 𝑦(0) = 10 
𝑦(𝑡) = (𝑦(0) −
𝑏
𝑎
) . 𝑒−𝑎𝑡 +
𝑏
𝑎
 
𝑦(𝑡) = (10 −
6
2
) . 𝑒−2𝑡 +
6
2
 
𝒚(𝒕) = 𝟕. 𝒆−𝟐𝒕 + 𝟑 
 
Exemplo.02 
𝒅𝒚
𝒅𝒕
+ 𝟒𝒚 = 𝟎 com a condição inicial 𝑦(0) = 1 
𝑦(𝑡) = (𝑦(0) −
𝑏
𝑎
) . 𝑒−𝑎𝑡 +
𝑏
𝑎
 
 
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47 
 
𝑦(𝑡) = (1 − 0). 𝑒−4𝑡 + 0 
𝒚(𝒕) = 𝒆−𝟒𝒕 
 
Lista.09 – resolver 
 Seção 15.1 (#01 e #03) 
 
#01 Encontre 𝑦𝐻, 𝑦𝑃, a solução geral e a solução definida, e teste a solução 
encontrada para confirmar sua resposta: 
a) 
𝑑𝑦
𝑑𝑡
+ 4𝑦 = 12 𝑦(0) = 2 
b) 
𝑑𝑦
𝑑𝑡
− 2𝑦 = 0 𝑦(0) = 9 
c) 
𝑑𝑦
𝑑𝑡
+ 10𝑦 = 15 𝑦(0) = 0 
d) 2
𝑑𝑦
𝑑𝑡
+ 4𝑦 = 6 𝑦(0) =
3
2
 
 
#03 Encontre 𝑦𝐻, 𝑦𝑃, a solução geral e a solução definida, e teste a solução 
encontrada para confirmar sua resposta: 
a) 
𝑑𝑦
𝑑𝑡
+ 𝑦 = 4 𝑦(0) = 0 
b) 
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= 23 𝑦(0) = 1 
c) 
𝑑𝑦
𝑑𝑡
− 5𝑦 = 0 𝑦(0) = 6 
d) 
𝑑𝑦
𝑑𝑡
+ 3𝑦 = 2 𝑦(0) = 4 
e) 
𝑑𝑦
𝑑𝑡
− 7𝑦 = 7 𝑦(0) = 7 
f) 3
𝑑𝑦
𝑑𝑡
+ 6𝑦 = 5 𝑦(0) = 0 
 
 
 
Teste da Solução 
 
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48 
 
Uma característica comum a todas as EDO’s é o fato de que sua validade de 
solução pode sempre ser testada por meio da diferenciação e substituição dos 
fatores correspondentes na equação principal. 
 
Dinâmica do Preço – no equilíbrio da oferta e da demanda 
Suponha a seguinte estrutura de mercado: 
{
𝑄𝑑 = 𝛼 − 𝛽. 𝑃 (𝛼, 𝛽 > 0)
𝑄𝑠 = −𝛾 + 𝛿. 𝑃 (𝛾, 𝛿 > 0)
 
 
→ 𝑷∗ =
𝜶+𝜸
𝜷+𝜹
 (esse resultado é um valor constante positivo) 
 
Seja um preço inicial dado por 𝑃(0), de tal forma que: 
{
𝑃(0) = 𝑃∗ ∶ 𝑚𝑒𝑟𝑐𝑎𝑑𝑜 𝑒𝑚 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑙í𝑏𝑟𝑖𝑜 
𝑃(0) ≠ 𝑃∗ ∶ 𝑚𝑒𝑟𝑐𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑒𝑣𝑒𝑟á 𝑠𝑒 𝑎𝑗𝑢𝑠𝑡𝑎𝑟
 
 
Trajetória Temporal 
Vamos super que a taxa de variação de preços, em relação ao tempo, seja 
diretamente proporcional ao excesso de demanda [𝑄𝑑 − 𝑄𝑠]. Assim temos: 
𝒅𝑷
𝒅𝒕
= 𝒋. [𝑸𝒅 − 𝑸𝒔] 𝑐𝑜𝑚 (𝑗 > 0) 
 
Esse padrão de variação de preços, no tempo, implica em 
𝑑𝑃
𝑑𝑡
= 0 ↔ 𝑄𝑑 = 𝑄𝑠 
 
Substituindo as expressões de 𝑄𝑑 e 𝑄𝑠 temos que: 
𝒅𝑷
𝒅𝒕
= 𝒋. [𝑸𝒅 − 𝑸𝒔] 
→
𝑑𝑃
𝑑𝑡
= 𝑗. [𝛼 − 𝛽. 𝑃 + 𝛾 − 𝛿. 𝑃] 
→
𝑑𝑃
𝑑𝑡
= 𝑗. (𝛼 + 𝛾) − 𝑗. (𝛽 + 𝛿). 𝑃 
 
 
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49 
 
Portanto temos a seguinte EDO: 
𝒅𝑷
𝒅𝒕
+ 𝒋. (𝜷 + 𝜹). 𝑷 = 𝒋. (𝜶 + 𝜸) 
 
Vamos relacionar com o caso: 
𝒅𝒚
𝒅𝒕
+ 𝒂. 𝒚(𝒕) = 𝒃 
E a sua respectiva solução: 
𝒚(𝒕) = 𝑨. 𝒆−𝒂𝒕 +
𝒃
𝒂
 
 
E dada uma condição inicial, 𝑦(0), assumirá a forma: 
𝒚(𝒕) = (𝒚(𝟎) −
𝒃
𝒂
) . 𝒆−𝒂𝒕 +
𝒃
𝒂
 
 
Desse modo temos que: 
𝑃𝐻(𝑡) = 𝐴. 𝑒
−𝒋.(𝜷+𝜹).𝒕 
E 
𝑃𝑃(𝑡) =
𝜶 + 𝜸
𝜷 + 𝜹
 
Portanto a solução geral será dada por: 
𝑃∗(𝑡) = 𝑃𝐻(𝑡) + 𝑃𝑃(𝑡) = 𝑨. 𝒆
−𝒋.(𝜷+𝜹).𝒕 +
𝜶 + 𝜸
𝜷 + 𝜹
 
 
Dada uma condição inicial 𝑃(0) temos então: 
𝑃∗(𝑡) = [𝑷(𝟎) −
𝜶 + 𝜸
𝜷 + 𝜹
] . 𝒆−𝒋.(𝜷+𝜹).𝒕 +
𝜶+ 𝜸
𝜷 + 𝜹
 
 
Como no equilíbrio 𝑃∗ =
𝛼+𝛾
𝛽+𝛿
 , então a equação da dinâmica do Preço, no 
tempo ganha a seguinte forma: 
𝑷∗(𝒕) = [𝑷(𝟎) − 𝑷∗]. 𝒆−𝒌.𝒕 + 𝑷∗ 
Onde: 𝒌 = 𝒋. (𝜷 + 𝜹) > 𝟎 
 
 
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50 
 
Graficamente – dinâmica do Preço 
 
Note que: lim
𝑡→∞
𝑃∗(𝑡) = lim
𝑡→∞
[𝑃(0)−𝑃∗]
𝑒𝑘.𝑡
+ 𝑃∗ = 0 + 𝑃∗ = 𝑷∗ 
 
Equação Diferencial Ordinária de Primeira Ordem com 
COEFICIENTE VARIÁVEL E TERMO VARIÁVEL 
Uma E.D.O. linear de 1ª ordem assume em sua forma geral: 
𝒅𝒚
𝒅𝒕
+ 𝒖(𝒕). 𝒚 = 𝒘(𝒕) 
 
 Caso Homogêneo 𝒘(𝒕) = 𝟎 
𝒅𝒚
𝒅𝒕
+ 𝒖(𝒕). 𝒚 = 𝟎→ 
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= −𝑢(𝑡). 𝑦 → 
𝑑𝑦
𝑦
= −𝑢(𝑡). 𝑑𝑡 
 
→ 𝑙𝑛(𝑦) + 𝑐 = −∫𝑢(𝑡) 𝑑𝑡 
 
→ 𝑙𝑛(𝑦) = −𝑐 − ∫𝑢(𝑡) 𝑑𝑡 
 
→ 𝑦(𝑡) = 𝑒−𝑐−∫𝑢(𝑡)𝑑𝑡 
 
→ 𝒚(𝒕) = 𝑨. 𝒆−∫𝒖(𝒕)𝒅𝒕 
 
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51 
 
 
Exemplo: 
𝒅𝒚
𝒅𝒕
+ (𝟑𝒕𝟐). 𝒚 = 𝟎 
 
→ 
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= −3. 𝑡2. 𝑦 → 
𝑑𝑦
𝑦
= −3. 𝑡2. 𝑑𝑡 
 
→ 𝑙𝑛(𝑦) = −3.
𝑡3
3
+ 𝑐 
→ 𝑦 = 𝑒−𝑡
3
. 𝑒𝑐 
 
→ 𝒚(𝒕) = 𝑨. 𝒆−𝒕
𝟑
 
 
 Caso Não-Homogêneo e FATOR INTEGRANTE 
Para todos os casos onde: 
𝒅𝒚
𝒅𝒕
+ 𝒖(𝒕). 𝒚 = 𝒘(𝒕) 
 
Em que 𝑤(𝑡) ≠ 0, podemos determinar um fator integrante dado por: 
 
FATOR INTEGRANTE = 𝒆∫𝒖(𝒕)𝒅𝒕 
 
Esse fator deve ser utilizado para reescrever o 1º membro da equação 
diferencial como o resultado da derivada de um produto, tal como: 
[𝒆∫𝒖(𝒕)𝒅𝒕]. [
𝒅𝒚
𝒅𝒕
+𝒖(𝒕). 𝒚 = 𝒘(𝒕)] 
 
→ 
𝒅𝒚
𝒅𝒕
.𝒆∫𝒖(𝒕)𝒅𝒕 +𝒖(𝒕). 𝒆∫𝒖(𝒕)𝒅𝒕. 𝒚 = 𝒘(𝒕). 𝒆∫𝒖(𝒕)𝒅𝒕 
 
→ [𝒚. 𝒆∫𝒖(𝒕)𝒅𝒕]
′
= 𝒘(𝒕).𝒆∫𝒖(𝒕)𝒅𝒕 
 
→ 𝒚. 𝒆∫𝒖(𝒕)𝒅𝒕 + 𝒄𝟏 = ∫𝒘(𝒕). 𝒆∫𝒖
(𝒕)𝒅𝒕 𝒅𝒕 
 
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52 
 
 
Portanto: 
𝒚(𝒕) =
𝒄𝟐 + ∫𝒘(𝒕).𝒆
∫𝒖(𝒕)𝒅𝒕 𝒅𝒕
𝒆∫𝒖(𝒕)𝒅𝒕
 
 
Exemplo 01: 
𝑑𝑦
𝑑𝑡
+ 4𝑡. 𝑦 = 4𝑡 
 
 Fator Integrante: 𝒆∫𝟒𝒕𝒅𝒕 = 𝒆𝟐𝒕
𝟐
 
 Multiplicando: 
𝑑𝑦
𝑑𝑡
. (𝒆𝟐𝒕
𝟐
) + 4𝑡. (𝒆𝟐𝒕
𝟐
). 𝑦 = 4𝑡. (𝒆𝟐𝒕
𝟐
) 
 
→ [𝑦. (𝒆𝟐𝒕
𝟐
)]
′
= 4𝑡. (𝒆𝟐𝒕
𝟐
) 
 
→ 𝑦. (𝒆𝟐𝒕
𝟐
) + 𝐾 = ∫4𝑡. (𝒆𝟐𝒕
𝟐
) 𝑑𝑡 
 
→ 𝑦. (𝒆𝟐𝒕
𝟐
) = +𝐾 + 𝒆𝟐𝒕
𝟐
 
 
→ 𝑦 = +
𝐾
(𝒆𝟐𝒕
𝟐
)
+
𝒆𝟐𝒕
𝟐
(𝒆𝟐𝒕
𝟐
)
 
 
Portanto: 𝒚(𝒕) = +𝑲. 𝒆−𝟐𝒕
𝟐
+ 𝟏 
 
 
Exemplo 02: 
𝑑𝑦
𝑑𝑡
+ 2𝑡. 𝑦 = 𝑡 𝑦(0) =
3
2
 
 
 Fator Integrante: 𝒆∫𝟐𝒕𝒅𝒕 = 𝒆
𝟐𝒕𝟐
𝟐 = 𝒆𝒕
𝟐
 
 Multiplicando: 
𝑑𝑦
𝑑𝑡
. (𝒆𝒕
𝟐
) + 2𝑡. (𝒆𝒕
𝟐
). 𝑦 = 𝑡. (𝒆𝒕
𝟐
) 
→ [𝑦. (𝒆𝒕
𝟐
)]
′
= 𝑡. (𝒆𝒕
𝟐
) 
 
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53 
 
 
→ 𝒚. (𝒆𝒕
𝟐
) + 𝒄𝟏 = ∫𝒕. (𝒆
𝒕𝟐) 𝒅𝒕 
 
Resolvendo ∫ 𝒕. (𝒆𝒕
𝟐
)𝒅𝒕, por substituição temos que 𝑢 = 𝑡2 → 𝑑𝑢 = 2𝑡. 𝑑𝑡 
o que implica em: 
∫𝒕. (𝒆𝒕
𝟐
)𝒅𝒕 = ∫
1
2
. (𝑒u) 𝑑𝑡 =
1
2
. 𝑒𝑢 =
𝟏
𝟐
. 𝒆𝒕
𝟐
 
 
Voltando na Equação Diferencial temos: 
→ 𝒚. (𝒆𝒕
𝟐
) + 𝒄𝟏 = ∫𝒕. (𝒆
𝒕𝟐) 𝒅𝒕 
 
→ 𝒚. (𝒆𝒕
𝟐
) + 𝒄𝟏 =
𝟏
𝟐
. 𝒆𝒕
𝟐
+ 𝒄𝟐 
 
→ 𝒚(𝒕) =
(
𝟏
𝟐
.𝒆𝒕
𝟐
+𝒄)
(𝒆𝒕
𝟐
)
 
 
→ 𝒚(𝒕) =
𝟏
𝟐
+
𝒄
(𝒆𝒕
𝟐
)
=
𝟏
𝟐
+ 𝒄. (𝒆−𝒕
𝟐
) 
 
Substituindo a Condição Inicial 𝑦(0) =
3
2
 temos: 
→ 𝒚(𝒕) =
𝟏
𝟐
+ 𝒄. (𝒆−𝒕
𝟐
) 
 
→
3
2
=
1
2
+ 𝑐. 𝑒0 → 𝑐 =
3
2
−
1
2
=
2
2
= 𝟏 
 
Portanto: 𝒚(𝒕) =
𝟏
𝟐
+ 𝒆−𝒕
𝟐
 
 
 
 
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54 
 
Lista.10 – resolver 
 Seção 15.3 (#01 ao #06) 
Resolva as seguintes equações diferenciais lineares de primeira ordem. Se 
for dada a condição inicial, defina a constante arbitrária: 
#01 
𝑑𝑦
𝑑𝑡
+ 5𝑦 = 15 
#02 
𝑑𝑦
𝑑𝑡
+ 2𝑡𝑦 = 0 
#03 
𝑑𝑦
𝑑𝑡
+ 2𝑡𝑦 = 𝑡 𝑦(0) =
3
2
 
#04 
𝑑𝑦
𝑑𝑡
+ 𝑡2𝑦 = 5𝑡2 𝑦(0) = 6 
#05 2
𝑑𝑦
𝑑𝑡
+ 12𝑦 + 2𝑒𝑡 = 0 𝑦(0) =
6
7
 
#06 
𝑑𝑦
𝑑𝑡
+ 𝑦 = 𝑡 
 
03 Tipos de Equações Diferenciais Ordinárias e Métodos 
de Solução 
E.D.O. Exatas 
Dado 𝐹(𝑦, 𝑡) a diferencial total é dada por 
𝑑𝐹(𝑦, 𝑡) =
𝜕𝐹
𝜕𝑦
. 𝑑𝑦 +
𝜕𝐹
𝜕𝑡
. 𝑑𝑡 
 
E.D.O. Exata implica 𝑑𝐹(𝑦, 𝑡) = 0. 
 
Em geral, uma E.D.O. da forma [𝑀. 𝑑𝑦 + 𝑁. 𝑑𝑡] = 0 é exata se existir 𝑀 =
𝜕𝐹
𝜕𝑦
 e N=
𝜕𝐹
𝜕𝑡
, dado uma função 𝐹(𝑦, 𝑡). 
 
Variáveis Separáveis 
Se a Equação Diferencial 
𝑓(𝑦, 𝑡). 𝑑𝑦 + 𝑔(𝑦, 𝑡). 𝑑𝑡 = 0 
 
 
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55 
 
Possuir a seguinte conveniência: 
𝑓(𝑦). 𝑑𝑦 + 𝑔( 𝑡). 𝑑𝑡 = 0 
 
Então classificamos esse caso como E.D.O. Separável. 
SOLUÇÃO: nesse caso, podemos isolar [𝒚 𝒆 𝒅𝒚] no 1º membro, e [𝒕 𝒆 𝒅𝒕] 
no 2º membro da equação, para então integrar ambos. 
 
Equações Redutíveis 
Se a equação diferencial assumir forma não-linear, devemos procurar 
transformações de variáveis de forma que a E.D.O. seja resolvida, na variável 
transformada, de forma linear. 
 
Diagrama de FASE 
Uma informação gráfica qualitativa interessante nos problemas de dinâmica 
é a obtenção do gráfico (
𝑑𝑦
𝑑𝑡
) por (𝑦). Essa informação gráfica ilustra a trajetória 
de equilíbrio, que pode, nesse sentido, ser convergente ou divergente. 
Considere a E.D.O. linear com coeficientes constantes: 
𝒅𝒚
𝒅𝒕
+ 𝒂. 𝒚(𝒕) = 𝒃 
 
Sabemos que a solução desta E.D.O. é dada por: 
𝒚(𝒕) = (𝒚(𝟎) −
𝒃
𝒂
) . 𝒆−𝒂𝒕 +
𝒃
𝒂
 
 
Se analisarmos especificamente o sinal de (𝑎), teremos a seguinte 
conclusão: 
{
𝑠𝑒 𝑎 > 0 ↔ 𝑦(𝑡) 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒 
𝑠𝑒 𝑎 < 0 ↔ 𝑦(𝑡) 𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒 
 
 
Pois temos a seguinte análise, quando (𝑡 → ∞): 
{
𝑠𝑒 𝑎 > 0 → lim
𝑡→∞
 𝒆−𝒂𝒕 = 0
𝑠𝑒 𝑎 < 0 → (lim
𝑡→∞
 𝒆−𝒂𝒕) → ∞
 
 
 
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56 
 
Graficamente, a análise de 𝑦(𝑡) pode ser representada: 
 
O Diagrama de Fases representa o comportamento do equilíbrio, nesse 
caso, Equilíbrio Instável se (𝑎 < 0) e Equilíbrio Estável se (𝑎 > 0). 
 
Lista.11 – resolver 
 Seção 15.6 (#01 e #02) 
#01 Construa o gráfico da linha de fase (diagrama de fase) para cada uma 
das seguintes funções, e discuta suas implicações qualitativas: 
a) 
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= 𝑦 − 7 
b) 
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= 1 − 5𝑦 
c) 
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= 4 −
𝑦
2
 
d) 
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= 9𝑦 − 11 
 
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57 
 
 
#02 Construa o gráfico da linha de fase (diagrama de fase) para cada uma 
das seguintes funções, e discuta suas implicações qualitativas: 
a) 
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= (𝑦 + 1)2 − 16 (𝑦 ≥ 0) 
b) 
𝑑𝑦
𝑑𝑡
=
1
2
𝑦 − 𝑦2 (𝑦 ≥ 0) 
 
Exemplo – Diagrama de Fases do Modelo de Solow 
Dada uma função de produção 𝑄 = 𝑓(𝐾, 𝐿) com (𝐾, 𝐿 > 0), temos a regra 
do produto para definir as condições de equilíbrio dada por: 
�̇� = 𝐿. �̇� + 𝑘. �̇� (regra do produto) 
 
Onde: 
 �̇� =
𝑑𝐾
𝑑𝑡
= 𝑠. 𝑄 
 𝑘 =
𝐾
𝐿
 
 �̇� =
𝑑𝐿
𝑑𝑡
= 𝜆. 𝐿 
 
O que nos leva a Equação Fundamental do Modelo de Crescimento de 
Solow, dado por: 
�̇� = 𝒔.𝝓(𝒌) − 𝝀. 𝒌 
 
Ou seja, uma Equação Diferencial Ordinária, na variável (𝑘), com dois 
parâmetros (𝑠) e (𝜆). 
Graficamente temos: 
 
 
 
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58 
 
Tempo Discreto: Equações a Diferenças Finitas 
Quando estamos tratando o tempo discreto, o valor da variável (𝑦) mudará 
somente quando a variável (𝑡) mudar de um valor inteiro para o seguinte, tal 
como de 𝑡 = 1 para 𝑡 = 2. 
A variação de (𝑦) no tempo de forma discreta pode ser escrita por: 
Δ𝑦𝑡 = 𝑦𝑡+1 − 𝑦𝑡 
 
Onde (𝑦𝑡) significa o (𝑦) no t-ésimo período. 
 
Exemplos de E.D.F. de primeira ordem são: 
Ex.01: Δ𝑦𝑡 = 2 → 𝒚𝒕+𝟏 − 𝒚𝒕 = 𝟐 
 
Ex.02: Δ𝑦𝑡 = −0,1. 𝑦𝑡 → 𝑦𝑡+1 − 𝑦𝑡 = −0,1. 𝑦𝑡 
𝒚𝒕+𝟏 − 𝟎, 𝟗. 𝒚𝒕 = 𝟎 
 
Resolvendo uma E.D.F de 1ª ordem 
 Método Iterativo 
Resultados das iterações em diferentes instantes de tempo permitem inferir 
sobre a trajetória temporal. 
Ex.01: 𝑦𝑡+1 = 𝑦𝑡 + 2 𝑦0 = 15 
→ 𝑦1 = 𝑦0 + 2 
𝑦2 = 𝑦1 + 2 = (𝑦0 + 2) + 2 = 𝑦0 + 2. (2) 
𝑦3 = 𝑦2 + 2 = (𝑦0 + 2) + 2. (2) = 𝑦0 + 3. (2) 
⋮ 
→ 𝒚𝒕 = 𝒚𝟎 + 𝒕. (𝟐) 
 
Como 𝑦0 = 15, então temos: 𝒚𝒕 = 𝟏𝟓 + 𝟐. 𝒕 
 
Ex.02: 𝑦𝑡+1 = 0,9. 𝑦𝑡 
→ 𝑦1 = 0,9. 𝑦0 
𝑦2 = 0,9. 𝑦1 = (0,9)
2. 𝑦0 
𝑦3 = 0,9. 𝑦2 = (0,9)
3. 𝑦0UNIVERSIDADE PRESBITERIANA MACKENZIE 
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59 
 
⋮ 
→ 𝒚𝒕 = (𝟎, 𝟗)
𝒕. 𝒚𝟎 
 
Ex.03: 𝒎.𝒚𝒕+𝟏 − 𝒏. 𝒚𝒕 = 𝟎 
→ 𝑦𝑡+1 = (
𝑛
𝑚
) . 𝑦𝑡 
Portanto: 𝒚𝒕 = (
𝒏
𝒎
)
𝒕
. 𝒚𝟎 
 
Uma forma mais geral de expressar, esse tipo de solução, é dada por: 
𝒚𝒕 = 𝑨. (𝒃)
𝒕 
 
 Método Geral 
Suponha que estamos procurando a solução da E.D.F de 1ªordem: 
𝒚𝒕+𝟏 + 𝒂. 𝒚𝒕 = 𝒄 
 
Como (𝑎) e (𝑐) são constantes, então temos a solução dada por: 
𝑦𝑡 = 𝑦𝑡
𝐻 + 𝑦𝑡
𝑃 
 
 Caso Homogêneo 
A E.D.F. homogênea de 1ª ordem é dada por: 
𝒚𝒕+𝟏 + 𝒂. 𝒚𝒕 = 𝟎 
→ 𝑦𝑡+1 = −𝑎. 𝑦𝑡 
 
Portanto: 𝒚𝒕
𝑯 = (−𝒂)𝒕. 𝒚𝟎 
 
Assumindo que a condição inicial é igual a uma constante tal como 𝑦0 = 𝐴, 
temos portanto: 
𝒚𝒕
𝑯 = 𝑨. (−𝒂)𝒕 
 
 Caso Não-Homogêneo – Solução Particular 
A E.D.F. não-homogênea de 1ª ordem é dada por: 
 
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60 
 
𝒚𝒕+𝟏 + 𝒂. 𝒚𝒕 = 𝒄 
 
Vamos supor que 𝒚𝒕+𝟏 = 𝒌, então 𝒚𝒕 = 𝒌 também. Substituindo temos: 
→ 𝑘 + 𝑎. 𝑘 = 𝑐 
𝑘. (1 + 𝑎) = 𝑐 
→ 𝒌 =
𝒄
𝟏+𝒂
 
 
Caso (𝒂 = −𝟏) 
Se ocorrer o caso (𝑎 = −1), então (𝑘) fica indefinido de forma que 
tentamos outra solução. 
Suponha que 𝒚𝒕 = 𝒌. 𝒕, então 𝒚𝒕+𝟏 = 𝒌(𝒕 + 𝟏). Substituindo temos: 
𝒚𝒕+𝟏 + 𝒂. 𝒚𝒕 = 𝒄 
→ 𝑘. (𝑡 + 1) + 𝑎. 𝑘. 𝑡 = 𝑐 
𝑘. (𝑡 + 1 + 𝑎. 𝑡) = 𝑐 
 
→ 𝑘 =
𝑐
𝑡+1+𝑎𝑡
 como 𝑎 = −1 temos 𝑘 = 𝑐 
Portanto: 𝒚𝒕
𝑷 = 𝒄. 𝒕 
 
Assim a solução geral é dada por: 
{
𝑦𝑡 = 𝐴. (−𝑎)
𝑡 +
𝑐
1+𝑎
 (𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑎 ≠ −1)
𝑦𝑡 = 𝐴. (−𝑎)
𝑡 + 𝑐. 𝑡 (𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑎 = −1) 
 
 
Lista.12 – resolver 
 Seção 17.2 (#01, #02 e #04) 
#01 Reescreve as seguintes Equações a Diferenças na forma: 
(𝒚𝒕+𝟏 + 𝒂. 𝒚𝒕 = 𝒄) 
a) ∆𝑦𝑡 = 7 
b) ∆𝑦𝑡 = 0,3. 𝑦𝑡 
c) ∆𝑦𝑡 = 2. 𝑦𝑡 − 9 
 
 
 UNIVERSIDADE PRESBITERIANA MACKENZIE 
 CCSA – Centro de Ciências Sociais Aplicadas 
 
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#02 Resolva as seguintes Equações a Diferenças por ITERAÇÃO: 
a) 𝑦𝑡+1 = 𝑦𝑡 + 1 (𝑦0 = 10) 
b) 𝑦𝑡+1 = 𝛼. 𝑦𝑡 (𝑦0 = 𝛽) 
c) 𝑦𝑡+1 = 𝛼. 𝑦𝑡 − 𝛽 (𝑦𝑡 = 𝑦0 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑡 = 0) 
 
#04 Resolva as seguintes Equações a Diferenças: 
a) 𝑦𝑡+1 + 3. 𝑦𝑡 = 4 (𝑦0 = 4) 
b) 2𝑦𝑡+1 − 𝑦𝑡 = 6 (𝑦0 = 7) 
c) 𝑦𝑡+1 = 0,2. 𝑦𝑡 + 4 (𝑦0 = 4) 
 
Tempo Contínuo: Equação Diferencial Ordinária de 2ª Ordem 
𝒂. 𝒚′′(𝒕) + 𝒃. 𝒚′(𝒕) + 𝒄. 𝒚(𝒕) = 𝟎 (Caso Homogêneo) 
 
 Raízes da Equação Característica: 
𝒂. 𝒓𝟐 + 𝒃. 𝒓 + 𝒄 = 𝟎 
 
 Raízes Reais e Distintas (𝑟1 ≠ 𝑟2) 
𝒚(𝒕) = 𝑨𝟏. 𝒆
𝒓𝟏.𝒕 + 𝑨𝟐. 𝒆
𝒓𝟐.𝒕 
 
 Raízes Reais Repetidas (𝑟1 = 𝑟2) 
𝒚(𝒕) = 𝑨𝟏. 𝒆
𝒓.𝒕 + 𝑨𝟐. (𝐭). 𝒆
𝐫.𝒕 
 
 Raízes Complexas (𝑟1,2 = 𝑎 ± 𝑏. 𝑖) 
𝒚(𝒕) = 𝒆𝒂𝒕. [(𝑨𝟏 + 𝑨𝟐). 𝐜𝐨𝐬(𝒃𝒕) + (𝑨𝟏 − 𝑨𝟐). 𝒊. 𝐬𝐞𝐧(𝒃𝒕)] 
 
 Solução Particular 
Caso tenhamos 𝒂. 𝒚′′(𝒕) + 𝒃. 𝒚′(𝒕) + 𝒄. 𝒚(𝒕) = 𝒘(𝒕), então 𝑦(𝑡) =
𝑦𝐻(𝑡) + 𝑦𝑃(𝑡), onde a solução particular é dada por uma função 𝑦𝑃(𝑡) que 
possui a mesma forma funcional matemática de 𝑤(𝑡).