LISTA DE EXERCICIOS DE ELETROMAGNETISMO 1AV(2013)

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LISTA DE EXERCÍCIOS
Forças de Coulomb e Vetor Campo Elétrico
1. Duas cargas, Q1 = 250 µC e Q1 = -300 µC, estão localizadas em (5, 0, 0)m e (0, 0, -5), respectivamente. Calcule a força sobre Q2 em virtude de Q1.
resp. 
z
x
a
a
F
ˆ
55
,
9
ˆ
55
,
9
2
+
=
r
 (N)
2. Duas cargas, Q1 = 30 µC e Q1 = -100 µC, estão localizadas em (2, 0, 5)m e (-1, 0, -2)m, respectivamente. Calcule a força sobre Q2 em virtude de Q1.
resp. 
z
x
a
a
F
ˆ
427
,
0
ˆ
183
,
0
2
-
-
=
r
 (N)
3. No problema 3, ache a força sobre Q2.
resp. 
1
F
r
-
4. Quatro cargas pontuais de 20 µC cada estão fixadas sobre os eixos x e y em ± 4 m. Encontre a força sobre uma quinta carga pontual de 100 µC localizada em (0, 0, 3)m.
resp. 
z
a
ˆ
73
,
1
 N
5. Determine a força sobre uma carga pontual de 50 µC em (0, 0, 5)m devido a uma carga pontual de 500( µC na origem.
resp. 
z
a
ˆ
3
,
28
N
6. Calcule a força sobre uma carga pontual de 30 µC em (0, 0, 5)m devido a um quadrado de cargas de lado 4 m, no plano z = 0 e situado entre x = ± 2 m e y = ± 2 m, com 500 µC de carga total distribuída uniformemente.
resp. 
z
a
ˆ
66
,
4
N
7. Cinco cargas pontuais idênticas de 15 mC cada estão localizadas no centro e nos cantos de um quadrado definido por -1 < x, y < 1 e z = 0. 
(a) Determine a força sobre uma carga pontual de 10 µC localizada em (0, 0, 2). 
(b) Calcule a intensidade de campo elétrico em (0, 0, 2)
resp. 
8. Duas cargas pontuais Q1 e Q2 estão localizadas em (4, 0, -3)m e (2, 0, 1)m, respectivamente. Se Q2 = 4 nC, determine Q1 tal que: 
(a) O campo 
E
r
 em (5, 0, 6)m não tenha componente em z.
(b) A força sobre uma carga de teste em (5, 0, 6)m não tenha componente em x.
resp.
9. As cargas +Q e +3Q estão separadas por uma distância de 2 m. Uma terceira carga está localizada em uma posição tal que o sistema eletrostático está em equilíbrio. Determine a localização e o valor da terceira carga em termos de Q.
resp.
10. Uma carga pontual positiva Q1 = 5
C
m
 está localizada em (0, 0, 2)m no sistema de coordenadas retangulares, e uma carga pontual negativa, Q2 = -10 
C
m
, está localizada em (0, 4, 0)m. Determine o vetor intensidade de campo elétrico em (0, 4, 2)m.
resp.
11. Uma carga pontual positiva de +50 
C
m
 e duas cargas pontuais negativas de -50 
C
m
 são colocadas nos vértices de um triângulo eqüilátero cujos lados têm comprimentos de 5 m. Determine a magnitude do vetor intensidade de campo elétrico no centro do triângulo.
Resp. 108 kV/m
12. Uma distribuição volumétrica de cargas de carga 
z
v
2
=
r
C/m³ está contida em uma região definida em coordenadas cilíndricas por 
2
0
£
£
z
m, 
1
0
£
£
r
m, 
º
90
º
45
£
£
f
. Determine a carga total contida na região.
Resp.
13. Uma distribuição superficial de carga está contida em uma superfície lisa em forma de cunha cujos vértices são definidos no sistema de coordenadas retangulares por (2, 1, 2)m, (1, 1, 2)m e (1, 3, 2)m. Determine a Carga total contida na superfície.
resp. 13 C
14. Determine a carga contida na distribuição volumétrica de carga 
r
v
4
10
5
-
´
=
r
 (C/m²) num volume definido por 
3
0
£
, 
2
/
0
p
f
£
£
, 
2
/
0
p
q
£
£
.
Resp. 
C
2
10
59
,
1
-
´
15. Encontre a carga total encerrada em um cubo centrado na origem, de arestas 2 m, paralelas aos eixos, sendo a densidade de cargas 
)
2
cos(
²
50
y
x
p
r
=
(
C
m
/m³)
resp. 84,9 
C
m
16. Calcule a carga encerrada no volume 
m
r
3
1
£
£
, 
3
/
0
p
f
£
£
 e 
m
z
2
0
£
£
, sabendo que a densidade de cargas é 
f
r
²
2
zsen
=
(
C
m
/m³).
Resp. 4,19 C
17. Duas linhas de cargas, densidades 
m
nC
l
/
4
=
r
 cada, estão paralelas ao eixo z em x = 0, ±4 m. Determine 
E
r
 em (±4, 0, z)m.
Resp. ±18
x
a
ˆ
 V/m
18. Determine 
E
r
 na origem devido a uma distribuição linear de cargas, com 
3
,
3
=
l
r
nC/m constante, localizada em x = 3 m e y = 4 m.
Resp. 
y
x
a
a
ˆ
50
,
9
ˆ
13
,
7
-
-
V/m
19. Duas linhas uniformes de cargas, densidades 
5
=
l
r
nC/m cada, estão paralela ao eixo x, uma em z =0 e y =-2 m, outra em z = 0 e y = 4 m. Ache 
E
r
 em (4, 1, 3)m.
Resp. 
z
a
ˆ
30
V/m
20. O plano z = 10 m tem uma distribuição de cargas de 20 nC/m². Determine a intensidade do campo elétrico na origem.
Resp. 
21. Uma carga pontual de 100 pC está localizada em (4, 1, -30)m, enquanto o eixo x está carregado com 2 nC/m. Se o plano z = 3 m também estiver carregado com 5 nC/m², determine 
E
r
 no ponto (1, 1, 1)m.
Resp. 
22. A linha x = 3 m e z = -1 m está carregada com 20 nC/m, enquanto o plano x = -2 m está carregado com 4 nC/m². Determine a força sobre uma carga pontual de – 5mC localizada na origem.
Resp. 
z
x
a
a
18
,
0
ˆ
591
,
0
-
-
 (N)
Fluxo Elétrico e a Lei de Gauss
23. Uma carga pontual Q = 30 nC está localizado na origem do sistema de coordenadas cartesianas. Calcule o vetor densidade de fluxo elétrico 
D
r
 no ponto (1, 3, -4)m.
Resp. 
z
y
x
a
a
a
ˆ
4
,
20
ˆ
4
,
5
ˆ
8
,
1
-
+
 EMBED Equation.3 (
)
)
²
/
10
11
m
C
-
24. Calcule a carga encerrada no volume 1≤ r ≤ 3 m, 
3
/
0
p
f
£
£
 e 
2
0
£
£
z
 m, sabendo que a densidade de cargas é 
f
r
2
2
zsen
=
(C/m²)
Resp. 4,91 C
25. Uma linha de cargas de densidade uniforme 
m
C
l
/
3
m
r
=
 está localizada ao longo do eixo x. Que fluxo elétrico atravessa uma superfície esférica centrada na origem com r =3 m?
resp. 18 µC
26. No centro do sistema de coordenadas cartesianas foi colocada uma carga Q = 3 nC. Que fluxo 
y
 atravessa a porção do plano z = 2m delimitada por 
4
4
£
£
-
x
m e 
£
£
-
y
4
4 m?
Resp. 0,5 nC
27. Uma linha uniforme de cargas de densidade 
C
l
m
r
5
=
/m situa-se ao longo do eixo x. Ache 
D
r
em (3, 2, 1)m. 
Resp. 
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
+
5
ˆ
ˆ
2
356
,
0
z
x
a
a
(µC/m³)
28. Considerando um 
x
x
a
e
D
ˆ
500
1
,
0
-
=
r
 (µC/m²), ache o fluxo 
y
 que cruza uma superfície de 1m² normal ao eixo x, localizada em x = 1 m, x = 5 m e x = 10 m.
Resp. 
C
m
452
; 303µC; 184µC
29. Considerando 
z
x
a
z
a
x
D
ˆ
10
ˆ
²
5
+
=
r
(C/m²), encontre o fluxo que atravessa, de dentro para fora, a superfície de um cubo de arestas 2 m e centro na origem. As arestas do cubo são paralelas aos eixos.
Resp. 80 C
30. Seja 
z
a
r
sen
a
r
D
ˆ
3
ˆ
cos
2
f
f
-
=
r
 em coordenadas cilíndricas. Ache o fluxo que atravessa a porção do plano z = 0 definida por 
a
r
£
, 
2
/
0
p
f
£
£
. Repita o problema para 
p
f
p
2
2
/
3
£
£
. Assuma fluxo positivo na direção de 
z
a
ˆ
. 
Resp. 
3
a
-
, 
3
a
30. Dada uma distribuição de cargas de densidade 
r
5
=
r
(C/m³), em coordenadas cilíndricas, use a lei de Gauss para calcular 
D
r
.
Resp. 
r
a
r
ˆ
)
4
/
²
5
(
(C/m²)
31. Uma distribuição volumétrica de cargas, 
kr
v
=
r
 (C/m³), está contida em um volume esférico de raio a, e o meio é o vácuo. Determine (a) a carga total contida no volume, (b) o vetor intensidade de campo elétrico para 
a
r
³
 e (c) o vetor intensidade de campo elétrico para 
a
r
£
.
Resp. 
4
ka
p
; 
r
a
r
ka
E
ˆ
²
4
0
4
e
=
r
; 
r
a
kr
E
ˆ
4
²
0
e
=
r
32. Um volume cilíndrico, 
4
0
£
£
z
m e 
2
0
£
£
r
m, envolve uma carga. Se o campo elétrico é 
z
a
zr
E
ˆ
0
e
=
r
 determine a carga total envolvida por esse cilindro.
Resp. 
3
64
p
C
33. Uma densidade volumétrica de carga 
r
k
v
=
r
(C/m³) existe em uma região esférica 
b
r
a
£
£
. Determine o vetor intensidade de campo elétrico.
Resp. 
r
a
a
b
k
E
ˆ
2
)
2
²
(
0
e
-
=
r
 para r ≥ b; 
0
=
E
r
 para r ≤ a; 
r
a
r
a
k
E
ˆ
2
²)
/
²
1
(
0
e
-
=
r
34. Encontre a carga total em cubo centrado na origem, de arestas 2 m, paralelas aos eixos, sendo a densidade de cargas 
)
2
cos(
50
2
y
x
p
r
=
 (µC/m³).
Resp. 84,9 µC
35. Desejamos encontrar 
 EMBED Equation.3D
r
 na região em volta de uma linha de cargas uniformes de 8nC/m que se estende ao longo do eixo z, no espaço livre.
Resp. 0,424ar nC/m.
36. Uma placa quadrada descrita por 
2
2
£
£
-
x
, 
2
2
£
£
-
y
, z = 0 está carregada com 
y
12
 mC/m². Determine a carga total na placa.
Resp. 192 Mc
37. Uma superfície S contém uma distribuição linear finita de cargas, 
p
£
£
l
0
 m, cuja densidade de cargas é 
2
0
l
sen
l
r
r
-
=
 (C/m). Que fluxo elétrico total atravessa a superfície?
Resp. 
0
2
r
-
38. O plano z = 10 m tem uma distribuição de cargas de 20 nC/m². Determine a intensidade de campo elétrico na origem.
Resp. -360(
z
a
ˆ
 V/m
39. Uma carga pontual de 30 nC está localizada na origem, enquanto que um plano em y = 3 está carregado com 10 nC/m². Determine 
D
r
em (0, 4, 3).
Resp. 
z
y
a
a
ˆ
057
,
0
ˆ
1
,
5
+
 nC/m²
Trabalho, Energia e Potencial Elétrico.
40. Uma carga pontual positiva de 10 µC está localizada em (0, 3 m, 0) no sistema de coordenadas retangulares. Determine a tensão no ponto (0, 3, 2)m em relação à origem.
Resp. 15 kV
41. Se uma carga pontual de 3 µC estiver localizada na origem, além das duas cargas pontuais -4 µC e 5 µC estão localizadas em (2, -1, 3)m e em (0, 4, -2)m, respectivamente. Determine o potencial em (-1, 5, 2), considerando que 
)
(
¥
V
=0.
Resp. 10,23 kV.
42. Uma carga pontual de 5 nC está localizada na origem. Se V = 2V em (0, 6, -8)m, determinte:
(a) o potencial em A(-3, 2, 6)m;
(b) o potencial em B(1, 5, 7)m;
(c) a diferença de potencial 
AB
V
.
Resp. 3,929; 2,696 V; -1,233 V
43. Uma carga pontual Q = 0,4 nC está localizada no ponto (2, 3, 3)m no sistema cartesiano. Se o ponto A está a (2, 2, 3)m e o ponto B em (-2, 3, 3)m, qual a diferença de potencial 
AB
V
?
Resp. 2,70 V
44. Duas cargas pontuais são colocadas no sistema de coordenadas Q1 = 10 µC e colocada em (0,0,3 m) e Q2 = 5 µC em (0,2 m,0). Determine a tensão no ponto (0,5 m,5 m) em relação a origem do sistema de coordenadas.
Resp. -28070 V
45. Uma linha uniforme de cargas, densidade 
l
r
= 1 nC/m, foi usada na construção de um quadrado de lados 6 m, como mostra a figura. Ache o potencial no ponto (0, 0, 5)m.
Resp. 35,6 V
46. Em uma certa região do espaço, o potencial elétrico é dado pela relação V(x, y, z) = Axy – Bx² + Cy, onde A, B e C são constantes positivas. A) Calcule as componentes x, y, z do campo elétrico. B) Em que pontos o campo elétrico é igual a zero?
Resp. A) 
0
,
,
2
=
+
-
=
+
-
=
z
y
x
x
E
C
Ax
E
B
Ay
E
 B) x = C/A , y = 2BC/A², qualquer valor de z
47. No espaço livre, 
)
3
(
2
+
=
z
y
x
V
V. Determine 
E
r
 em (3, 4, -6)m.
48. Determine o campo elétrico devido ao seguintes potenciais:
a) 
²
4
²
2
²
z
y
x
V
+
=
=
b) 
2
1
²)
²
²
(
z
y
x
sen
V
+
+
=
c) 
f
sen
z
r
V
)
1
²(
+
=
d) 
f
q
2
cos
sen
e
V
r
-
=
resp.
z
y
x
a
z
a
y
a
x
ˆ
8
ˆ
4
ˆ
2
-
-
-
; 
2
1
²)
²
²
cos(
)
ˆ
ˆ
ˆ
(
z
y
x
a
z
a
y
a
x
z
y
x
+
+
+
+
-
; 
z
r
a
sen
r
a
z
r
a
sen
z
r
ˆ
²
ˆ
cos
)
1
(
ˆ
)
1
(
2
f
f
f
f
-
+
-
+
-
; 
f
q
f
f
q
f
q
a
sen
r
e
a
r
e
a
sen
e
r
r
r
r
ˆ
2
2
ˆ
2
cos
cos
ˆ
2
cos
-
-
-
+
-
.
49. Um campo elétrico é produzido pelas cargas pontuais 1 µC e 4 µC, localizadas nos pontos (-2, 1, 5)m e (1, 3, -1)m, respectivamente. Determine a energia no campo elétrico.
Resp. 5,14 mJ.
50. Determine o trabalho realizado pela força 
z
y
x
a
a
a
F
ˆ
2
ˆ
3
ˆ
4
+
-
=
r
(N) para provocar, em uma carga de 1 nC, o deslocamento de 
z
y
x
a
a
a
ˆ
7
ˆ
2
ˆ
10
-
+
(m).
Resp. 20 nJ
51. Calcule a energia armazenada em um sistema de três cargas pontuais iguais 
nC
Q
2
=
, arranjadas em uma linha e com separação de 0,5 m entre elas.
Resp. 180 nJ
52. Repita o problema anterior se a carga centro o arranjo for substituída para -2 nC.
Resp. -108 nJ
53. Quatro cargas pontuais iguais a Q = 2 nC são montadas uma a uma nos vértices de um quadrado de lado 1/3 m. Ache a energia no sistema para cada carga que vai sendo montada nos vértices. 
Resp. 0; 108 nJ; 292 nJ; 585 nJ
54. Dado o campo 
r
a
r
kQ
E
ˆ
)
/
(
=
r
, coordenadas cilíndricas, mostre que o trabalho necessário para mover uma carga Q igual, de um ponto r até outro ponto 3r é independente da variável r.
Resp. 
3
ln
2
kQ
W
-
=
55. Determine o trabalho realizado ao deslocar uma carga de 5 C do ponto P(1, 2, -4)m até o ponto R(3, -5, 6)m, na presença de um campo elétrico dado por
z
y
x
a
yz
a
z
a
E
ˆ
2
ˆ
ˆ
2
+
+
=
r
 V/m.
Resp. 1050 J
56. Dado 
y
x
a
x
a
y
x
E
ˆ
ˆ
)
²
3
(
+
+
=
r
 kV/m, determine o trabalho realizado ao movimentar uma carga de -2 µC do ponto (0, 5, 0) até o ponto (-2, -1, 0) usando a trajetória:
a) (0, 5, 0)
®
(2, 5, 0)
®
(2, -1, 0);
b) 
x
3
5
-
.
Resp.a)12 mJ e b) 12 mJ.
57. Calcule o trabalho necessário para mover uma carga pontual Q = -20 µC da origem até o ponto (4, 2, 0)m, dentro do campo elétrico,
y
x
a
x
a
y
x
E
ˆ
8
ˆ
)
4
(
2
+
+
=
r
 (V/m)
 Ao longo da trajetória x² = 8y.
Resp. 1,6 mJ.
58. Encontre o trabalho necessário para remover a carga pontual Q = 3 µC do ponto (4m, (, 0) e levá-la para (2m, (/2, 2m), em coordenadas cilíndricas, no campo 
(
)
z
r
a
z
a
r
E
ˆ
10
ˆ
/
10
5
5
+
=
r
(V/m).
Resp. -0,392 J.
59. Calcule a diferença de trabalho requerida para trazer uma carga pontual Q = 2 nC do infinito até r = 2 m e, depois, do infinito até r = 4 m, no campo 
r
a
r
E
ˆ
10
5
=
(V/m).
Resp. 
4
10
39
,
1
-
´
J
60. Seja V = xy²z. Calcule a energia necessária para transferir uma carga de 2 µC de (1, -1, 2)m a (2, 1, -3)m.
Resp. -16 µJ
Capacitância e meios dielétricos
61. Calcule o módulo de 
,
D
r
 
P
v
 
r
e
 para os meio dielétricos na qual E = 0,55 MV/m e 
25
,
2
=
e
c
.
Resp. 15,8 µC/m²; 10,9 µC/m²; 3,25
62. Calcule a capacitância do capacitor de placas paralelas com dielétrico 
2
r
e
= 3,0, área de 0,92 m² e distância de separação de 4,5 mm.
Resp. 5,43 nF.
63. Um capacitor de placas paralelas de 8 nF possui área de 1,51 m² e distância de separação de 10 mm. Qual é a distância de separação necessária para obter a mesma capacitância, se o dielétrico é substituído por vácuo?
Resp. 1,67 mm
64. Encontre a capacitância por unidade de comprimento entre um condutor cilíndrico de diâmetro = 6,99 cm e um plano condutor, paralelo ao eixo do cilindro e distante 8,53 m do mesmo.
Resp. 8,99 pF/m
65. Calcule a capacitância por unidade de comprimento entre dois condutores cilíndricos paralelos no ar, de raio = 1,5 cm cada, e com uma distância de centro a centro de 85 cm.
Resp. 6,92 pF/m
66. Um capacitor de placas paralelas, com área = 0,30 m² e distância de separação entre placas de 5,5 mm, possui três dielétricos com interfaces normais a 
E
r
 e 
D
r
, como segue: 
3
1
=
r
e
e d1 = 1 mm; 
4
2
=
r
e
e d2 = 2 mm; 
6
3
=
r
e
 e d3 =2,5 mm. Calcule a capacitância.
Resp. 2,12 nF
67. Com 1000 V de tensão aplicada entre as placas do capacitor do problema anterior, calcule a d.d.p e o gradiente de potencial (intensidade do campo elétrico) em cada dielétrico.
Resp. 267 V, 267 kV/m; 400 V, 200 kV/m; 333 V, 133 kV/m.
68. Encontre a capacitância por unidade de comprimento de um condutor coaxial com raio externo de 4 mm e raio interno de 0,5 mm, se o dielétrico possui um 
2
,
5
=
r
e
.
Resp. 139 pF/ m
69. Calcule a capacitância por unidade de comprimento de um cabo coaxial com condutor interno de raio 0,75 cm e uma blindagem cilíndrica de raio 2,25 cm, considerando 
7
,
2
=
r
e
.
Resp, 137 pF/m
70. Um capacitor de placas paralelas é momentaneamente ligado a uma fonte de tensão 200 V. Após a remoção da fonte é acrescentado um dielétrico de 
0
,
2
=
r
e
, preenchendo completamente o espaço entre placas. Compare os valores de 
E
W
, D, E, 
s
r
, V e C após a inserção dodielétrico, em relação aos valores iniciais (antes do dielétrico ter sido inserido).
Resp. parcial: 
1
2
2
1
V
V
=
71. Um capacitor de placas paralelas, com vácuo entre placas, permanece ligado a uma fonte de tensão constante enquanto as placas são pressionadas, passando de d para 1/2d a distância entre elas. Examine as mudanças em Q, 
s
r
, C, E e 
E
W
.
Resp. 
1
2
2
D
D
=
72. Um capacitor de placas paralelas, com vácuo entre placas, permanece ligado a uma fonte de tensão constante enquanto as placas são afastadas, passando de d para 2d a distância entre elas. Expresse as mudanças em D, E, Q, 
s
r
, C e 
E
W
.
Resp. 
1
2
6
1
V
V
=
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