RESISTENCIA DOS MATERIAIS (estabilidade) exercicios resolvidos

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UNIP - Universidade Paulista 
ICET - Instituto de Ciências Exatas e Tecnológicas - Arquitetura e Urbanismo - 
Resistência dos Materiais – Estabilidade – Lista 1 de Exercícios Resolvidos - Tensões 
Lista1 de Exercícios de Aplicação – Tensões Normais na Compressão / Tração Simples 
1. Calcular a tensão normal de compressão que está solicitando o pilar da figura abaixo, submetido a uma força 
normal  centrada de 300  tf. O pilar  tem  seção  transversal  retangular, de 20cm  x 40cm. Desprezar o peso 
próprio do pilar. 
 
Força normal de compressão no pilar: N=300 tf 
Área de aplicação – seção transversal do pilar: A= 20 x 40 = 800cm² 
Tensão normal de compressão no pilar:  
            300  =                  = 0,375 tf/cm² 
            800 
 
Observação: Se quisermos, essa tensão pode ser representada em outras unidades. Basta que as unidades 
dos elementos da equação estejam coerentes. Por exemplo, se utilizarmos N em kgf,  teríamos N=300.000 
kgf, e o valor da tensão seria: 
        300.000  =                  = 375 kgf/cm² 
            800 
Entretanto,  se  utilizarmos  a  área  em m²,  ao  invés  de  cm²,  seu  valor  seria A  =  0,20  x  0,40  =  0,08m². Daí  
resultaria: 
            300  =                  = 3.750 tf/m²,      ou     
            0,08 
        300.000  =                  = 3.750.000 kgf/m² 
            0,08 
 
Conclusão: É importante observar as unidades, e de preferência fazer os ajustes às unidades desejadas antes 
de aplicar as fórmulas, para não correr risco de engano nas unidades depois de feitas as contas.  
(observar que 1m = 100cm , mas 1m²≠ 100cm². O correto é 1m² = 10000cm², ou seja 10.000cm²) 
    
 
2. O pilar abaixo esquematizado possui seção circular com 40cm de diâmetro   e é  feito de um material cujo 
peso  específico  é  2,5  tf/m³  e  tem  resistência  à  compressão  de  100  kgf/cm²  e  resistência  à  tração  de  10 
kgf/cm². 
Verificar  se,  para  a  condição  de  carregamento  indicada  (carga  de  vertical  de  20  tf  aplicada  no  topo, 
centrada), o pilar tem condição de resistir aos esforços. 
 
Nesse  caso,  embora  o  enunciado  não  seja  específico,  temos  os  dados  referentes  ao  peso  específico  do 
material do pilar. Portanto devemos considerar o peso próprio do pilar. 
Peso próprio do pilar: Gpil = Volume do Pilar x Peso Específico do Material do Pilar 
Volume do Pilar = Área da base do pilar x altura do pilar = Apil x hpil 
Como o diâmetro do pilar é Dpil=40cm, ou 0,40m, seu raio é Rpil=20cm, ou 0,20m, temos: 
(Área de uma seção circular: A =  R² ou A =  D² / 4) 
Apil =  R² = 3,14 x 0,2² = 0,126 m² 
Assim, Vpil  = 0,126 x 5,00 = 0,628 m³ 
E Gpil = 0,628 x 2,5 = 1,58 tf 
Portanto a reação de apoio na base do pilar, que corresponde à maior força normal de compressão no pilar 
será Nmax = 20 + 1,58 = 21,58 tf.  
 
Assim, a máxima tensão que atua no pilar é de compressão. Portanto ela não poderá ser superior à tensão 
máxima  à  compressão,  que  é  100  kgf/cm².  Para  fazer  a  comparação,  precisamos  trabalhar  nessa mesma 
unidade, então na fórmula da tensão, a carga normal deverá estar expressa em kgf e a área em cm². 
Ou seja: N = 21.580 kgf ,  e  Apil =   D² / 4 = 3,14 x 40² / 4 = 1.256 cm² 
(note que o  valor da área difere um pouco da área  calculada acima apenas devido ao erro de aproximação por  causa das  casas 
decimais cortadas) 
Assim a tensão de compressão que solicita o pilar é: 
              21.580 
 pil =                  = 17,18 kgf/cm²      ( <  100 kgf/cm²) 
              1.256 
Como essa tensão é menor que a resistência do pilar à compressão, pode‐se afirmar que o pilar tem condição 
de resistir aos esforços aplicados. 
3. O pilar do exemplo anterior está apoiado diretamente no solo por meio de uma sapata circular. Sabendo que 
o solo possui tensão admissível de 2 kgf/cm², e desprezando o peso próprio da sapata, calcular qual deve ser 
seu diâmetro mínimo para que o solo possa suportar o pilar. 
 
Nesse caso a área da sapata deverá ser  tal que distribua   a mesma carga do pilar no solo de  forma que a 
tensão aplicada seja no máximo igual a 2 kgf/cm². 
(Se,  por  acaso  a  tensão  no  solo  fosse  algo  igual  a  17,17  kgf/cm²,  não  seria  necessário  criar  a  sapata  para  distribuir  o  esforço  e 
consequentemente diminuir a tensão de compressão no solo, porque já estaria resistindo a tensão aplicada) 
 
Nesse caso a resolução do problema se inverte: temos a força de compressão e a tensão, e necessitamos da 
área do circulo que forma a sapata. Ou seja, a fórmula 
               N  =                      pode ser escrita da seguinte forma: 
               A 
               N  A=                  , onde N = 21.570 kgf    e   = 2 kgf/cm² .   
                
Portanto devemos ter a seguinte área da sapata: 
                  21.570  Asap =                  = 10.785 cm² .   
                   2,00 
E o diâmetro da sapata pode ser calculado a partir da fórmula de sua área: 
A =  D² / 4  D² = 4 A /  = 4 x 10.785 / 3,14 = 13.738  
D = √13.738 = 117,21 cm 
Resposta: A sapata deverá ter um diâmetro mínimo de 1,18m (ou, mais precisamente 1,172m)  
 
4. A viga abaixo representada está apoiada em 2 pilares e suporta uma parede feita em blocos de concreto de 
19cm de  largura com 3,5m de altura. Essa parede é feita em blocos de concreto, cujo peso específico é 1,4 
tf/m³.  A  viga  tem  seção  transversal  de  25cm  de  largura  e  40cm  de  altura,  e  seu  material  possui  peso 
específico de 3,0 tf/m³. Os pilares tem seção  quadrada de 20cm de lado. Calcular qual resistência devem ter 
os pilares para poder dar apoio a essa estrutura. 
 
O esquema estático da viga é o abaixo indicado: 
 
O valor da carga p, distribuída ao longo da extensão da viga é p = gviga + galv, onde  gviga é o peso próprio da 
viga distribuído ao longo de sua extensão e galv é o peso próprio da alvenaria distribuído ao longo da extensão 
da viga. 
Observação Importante: os esquemas das estruturas e seus carregamentos, utilizados nos cálculos estruturais,  
geralmente são unifilares e normalmente se referem aos eixos das estruturas e eixos dos apoios. Assim, todos 
os cálculos são feitos a partir dos esquemas estáticos unifilares, e portanto usando as distâncias entre eixos. 
Cálculo da carga distribuída devida ao peso próprio da viga:  
gviga = bviga x hviga x viga = 0,25 x 0,40 x 3,00 = 0,30 tf/m 
 
 
 
de forma análoga:  galv = balv x halv x alv = 0,19 x 3,50 x 1,40 = 0,93 tf/m 
assim p= 0,30 + 0,93 = 1,23 tf/m 
e a reação de apoio em cada um dos dois pilares será: RP1 = R P2 = 1,23 x 5,30 / 2 = 3,26 tf 
Portanto a carga de compressão aplicada em cada pilar será de 3,26 tf, ou se tomarmos a unidade kgf (apenas 
mantendo a mesma unidade dos outros exercícios), será 3.260 kgf. 
Como a seção do pilar é quadrada, com lado de 20cm, a área da seção transversal do pilar será  
Apil= 20 x 20 = 400cm². 
E a tensão de compressão aplicada em cada pilar será: 
           3.260  =                  = 8,15 kgf/cm² 
            400 
  
Portanto para poder dar apoio a essa estrutura o material do pilar deverá ter resistência  igual ou maior que 
8,15 kgf/cm². 
Observação: essa  resposta pode  ser  fornecida em qualquer unidade, por exemplo: 0,0815  tf/cm²; ou 81,50 
tf/m². 
 
Justificativa: peso total da viga: base x altura x comprimento x peso específico 
carga distribuída ao longo de seu comprimento = peso total da viga / comprimento 
Portanto: carga distribuída = base x altura x comprimento x peso específico / comprimento = base x altura x peso específico) 
5. A viga abaixo esquematizada, destinada a suportar uma placa de publicidade, é bi‐apoiada, e sustentada por 
2 cabos de aço, cuja tensão limite é de 1.500 kgf/cm². A placa pesa 400 kgf. A viga tem seção transversal de 
50cm  x 70cm, e  seu material  tem peso específico de 4,0  tf/m³. Oscabos disponíveis no mercado  tem os 
seguintes diâmetros: 10mm, 12,5 mm, 16mm, 20 mm e 25mm. 
Indicar qual é o cabo mais apropriado para ser usado nessa estrutura. 
 
Semelhante ao exercício anterior, o esquema estático da viga é o de uma viga bi‐apoiada, porém com a carga 
da placa distribuída parcialmente. Para efeito de reação de apoio, é importante notarmos que ela está 
centralizada no vão: 
 
O valor da carga distribuída ao longo da extensão da viga devida apenas ao peso próprio da viga será: 
gviga = bviga x hviga x viga = 0,50 x 0,70 x 4,00 = 1,40 tf/m 
e a reação de apoio em cada cabo devida apenas ao peso próprio será: 
RC1gviga = R C2gviga = 1,40 x 6,00 / 2 = 4,20 tf 
Quanto à placa, como ela está centrada em relação à viga, a reação de apoio em cada cabo será a mesma, e 
igual à metade do peso da placa, ou seja: 
RC1placa = R C2placa = 0,40 / 2 = 0,20 tf 
Assim, a força de tração em cada cabo será a mesma e igual à soma das reações devidas ao peso próprio e à 
placa, ou seja:  
Ncabo1 = Ncabo2= 4,20 + 0,20 = 4,40 tf = 4.400 kgf 
Como o material do cabo tem resistência máxima (ou tensão limite) de 1.500 kgf/cm², a área mínima que o 
cabo precisa ter será determinada da mesma forma que no exercício da sapata ou seja: 
                 4.400  Acabo=                  = 2,93 cm² 
                 1.500  
Portanto o diâmetro mínimo do cabo deverá ser: 
D = √ 4 A /  = √4 x 2,93 / 3,14 = √3,737 = 1,93 cm 
Ou seja, cada cabo deverá ter um diâmetro mínimo de 1,93cm ou seja, 19,3mm. 
Resposta: Dentre os diâmetros disponíveis, os únicos que atendem essa necessidade são os de 20mm e de 
25mm. E o mais adequado é o mais econômico ou seja, o cabo com diâmetro de 20mm. 
 
 
 Obs: Outra  forma de  resolver o mesmo problema, a partir do ponto em que se  tem a  força normal no 
cabo, é calcular a tensão normal para cada um dos cabos fornecidos e compará‐la com a sua resistência 
máxima, que é 1.500 kgf/cm²: 
Ou seja: na fórmula da tensão normal, calcula‐se a tensão para cada cabo: 
                  Ncabo             4.400 (kgf)  cabo=                     =  
                  Acabo               Acabo 
 
Fazendo essa conta para cada cabo, podemos montar a tabela abaixo: 
Dcabo(mm)    10    12,5    16    20    25 
Dcabo(cm)    1    1,25    1,6    2,0    2,5   
Acabo (cm²)    0,785    1,23    2,01    3,14    4,91   
 cabo (kgf/cm²)        5605,10                3587,26                      2189,49                  1401,27                  896,82 
 
Portanto apenas os cabos com diâmetros de 20mm e 25mm podem resistir à  força aplicada. E deles, o de 
diâmetro 20mm é o mais econômico, portanto o mais adequado.