PROJEÇÃO ORTOGONAL

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1. Projeção de um ponto 
A projeção ortogonal de um ponto num 
plano é o “pé da perpendicular" ao plano pelo 
ponto. 
 
O ponto P’ é a projeção ortogonal de P em a. 
O plano a é chamado plano de projeção e a reta 
perpendicular r é chamada reta projetante . 
2.Projeção de uma figura 
A projeção ortogonal de uma figura num 
plano é o conjunto das projeções ortogonais dos 
pontos da figura. 
Exemplo 
A projeção ortogonal de um cilindro num 
plano paralelo ao eixo é um retângulo. A projeção 
do mesmo cilindro num plano paralelo à base é um 
círculo. 
 
3. Projeção de uma reta 
A projeção ortogonal de uma reta num plano 
é o conjunto das projeções ortogonais dos pontos 
da reta neste plano. 
a) Se a reta for perpendicular ao plano, a sua 
projeção ortogonal será um ponto. 
 
Na figura, P é a projeção ortogonal de r em a. 
b) Se a reta não for perpendicular ao plano, a 
sua projeção ortogonal será outra reta. 
 
Na figura, r’ é a projeção ortogonal de r em a. 
4. Projeção do círculo e da esfera 
 
EXERCÍCIOS 
1) (ENEM – 2014) João propôs um desafio a 
Bruno, seu colega de classe: ele iria descrever um 
deslocamento pela pirâmide a seguir e Bruno 
deveria desenhar a projeção desse deslocamento no 
plano de base da pirâmide. 
 
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O deslocamento descrito por João foi: mova-se pela 
pirâmide, sempre em linha reta, do ponto A ao 
ponto E, a seguir do ponto E ao ponto M, e depois 
de M a C.O desenho que Bruno deve fazer é: 
 
 
2) (ENEM – 2013) Gangorra é um brinquedo que 
consiste de uma tábua longa e estreita equilibrada e 
fixada no seu ponto central (pivô). Nesse 
brinquedo, duas pessoas sentam-se nas 
extremidades e, alternadamente, impulsionam-se 
para cima fazendo descer a extremidade oposta, 
realizando, assim o movimento de gangorra. 
 
Considere a gangorra representada na figura, em 
que os pontos A e B são equidistantes do pivô. 
 
 
A projeção ortogonal da trajetória dos pontos A e 
B, sobre o plano do chão da gangorra, quando este 
se encontra em movimento é: 
 
 
3) O acesso entre os dois andares de uma casa é 
feito através de uma escada circular (escada 
caracol), representada na figura. Os cinco pontos 
A,B,C,D,E sobre o corrimão estão igualmente 
espaçados, e os pontos P,A e E estão em uma 
mesma reta. Nessa escada, uma pessoa caminha 
deslizando a mão sobre o corrimão do ponto A até 
o ponto D. 
 
A figura que melhor representa a projeção 
ortogonal, sobre o piso da casa (plano), do caminho 
percorrido pela mão dessa pessoa é: 
 
 
 
 
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4) Uma haste de metal foi presa entre dois muros, 
ambos perpendiculares ao solo, nos pontos A e B, 
conforme mostra a figura.A projeção ortogonal 
dessa haste, no solo, é representada na figura pelo 
segmento 
 
a) HF. b) GD. c) CD. d) CF. e) CE 
 
5) Uma tigela no formato de uma semiesfera está 
apoiada em um tampo de madeira, conforme figura 
abaixo. Os pontos A, C e D são pontos de 
intersecção entre a semiesfera e o tampo de 
madeira, sendo o segmento AD um diâmetro 
máximo da esfera e C um ponto equidistante dos 
pontos A e D. O ponto B e o topo da semiesfera, ou 
seja, o ponto mais alto. 
 
Uma formiga, inicialmente no ponto A, 
percorre o seguinte trajeto pela superfície da 
semiesfera: 
• Vai do ponto A até o ponto B pelo caminho 
de menor distância; 
• Segue até o ponto C pelo caminho de 
menor distância; 
• Vai até o ponto D pelo caminho de menor 
distância; 
• Retorna ao ponto B pelo caminho de menor 
distância; 
 
Assinale a alternativa que melhor representa a 
projeção ortogonal do caminho ABCDB percorrido 
pela formiga na superfície semiesférica no tampo 
de madeira. 
 
 
 
6) O globo da morte é uma atração muito usada em 
circos. Ele consiste em uma espécie de jaula em 
forma de uma superfície esférica feita de aço, onde 
motoqueiros andam com suas motos por dentro. A 
seguir, tem--se, na Figura 1, uma foto de um globo 
da morte e, na Figura 2, uma esfera que ilustra um 
globo da morte. 
 
Na Figura 2, o ponto A está no plano do chão onde 
está colocado o globo da morte e o segmento AB 
passa pelo centro da esfera e é perpendicular ao 
plano do chão. Suponha que há um foco de luz 
direcionado para o chão colocado no ponto B e que 
um motoqueiro faça um trajeto dentro da esfera, 
percorrendo uma circunferência que passa pelos 
pontos A e B. 
 
A imagem do trajeto feito pelo motoqueiro no 
plano do chão é melhor representada por 
 
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7)Texto I 
 
Portões basculantes são aqueles cuja abertura é 
feita por um mecanismo de elevação do portão, 
rotacionando-o sobre um eixo móvel. Na figura a 
seguir, observe o modelo de um portão basculante 
com esquemas sobre seu funcionamento. Os pontos 
A e B indicam os centros dos rolamentos, 
localizados nos extremos do eixo móvel do portão. 
Os esquemas indicando apenas o ponto B são 
simetricamente válidos também para o ponto A: 
 
 
Disponível em: http://www.portaoteledisk.com.br. 
Acesso em: 16 dez. 2014 (adaptado). 
 
 
Texto II 
 
Os rolamentos (aliados ao conjunto de hastes e 
roldanas), ao deslizarem sobre a guia linear, fazem 
o portão tanto rotacionar sobre si mesmo quanto se 
elevar, recolhendo-se no alto. 
 
O movimento dos centros dos rolamentos ocorre 
sempre no mesmo plano α, ortogonal ao plano do 
chão e paralelo às frentes das guias lineares. 
 
A figura que representa a projeção ortogonal da 
trajetória dos centros dos rolamentos do portão 
basculante sobre o plano do chão é 
 
GABARITO: 
 
1) C 
2) B 
3) C 
4) E 
5) C 
6) E 
7) A 
 
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