Vistas e projeções ortogonais

Prévia do material em texto

Prof. André da Costa 
 
1 costa.andrecs@gmail.com 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observe a charge a seguir: 
 
 
 
 
Note que dependendo da posição que o garotinho 
observa, o formato do polígono é diferente. 
Observe este empilhamento de cubos: 
 
 
 
 
 
 
 
Note que temos, no mínimo, os 4 cubos visíveis e mais 
um que está abaixo do amarelo, pois é obrigatório ter 
um cubo embaixo do amarelo para que o mesmo fique 
suspenso. 
As imagens a seguir representam as vistas frontal, 
lateral e superior desse empilhamento. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Detalhes... 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ALUNO(A): ________________________________ 
SÉRIE: ___________ DATA:___/___/_____ 
PROFESSOR(A): ____________________________ 
 
 
Vistas ortogonais 
 Quantos cubos você pode 
afirmar que foram utilizados? 
Vista lateral 
Vista superior 
Vista 
frontal 
Vista frontal 
Vista lateral 
André da Costa de Souza 
 
 
 
Prof. André da Costa 
 
2 costa.andrecs@gmail.com 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
» Exemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
01. Observe as vistas de um empilhamento de cubos. 
 
 
 
 
Assinale o empilhamento que contém essas vistas. 
( ) 
 
 
 
 
( ) 
 
 
 
 
( ) 
 
 
 
02. Observe as vistas do sólido a seguir e assinale a 
alternativa que o representa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
03. Como são as vistas superior, frontal e lateral 
esquerda da seguinte estrutura de lego, sabendo que 
não há peças escondidas? Represente-as coloridas 
como na imagem. 
 
 
 
 
 
Vista superior 
Dizemos que a vista de um objeto (ou algo) é a 
imagem que se tem dele dependendo do local de 
onde estamos olhando para ele. 
 
Vista 
frontal 
Vista 
lateral 
Vista 
superior 
Exercícios de aprendizagem 
 
Vista 
superior 
Vista 
frontal 
Vista 
lateral 
 
 
Frontal Lateral Superior 
( ) ( ) ( ) 
 
 
 
Prof. André da Costa 
 
3 costa.andrecs@gmail.com 
 
a) Vista superior 
 
 
 
 
 
 
 
b) Vista frontal 
 
 
 
 
 
 
 
c) Vista lateral esquerda 
 
 
 
 
 
 
 
04. Observe a figura abaixo e nomeie as vistas da 
figura. 
 
 
a) b) 
 
 
 ___________ ___________ 
c) d) 
 
 
 ___________ ___________ 
 
05. Determine os nomes das vistas da figura abaixo. 
 
 
 
 
 
a) 
 
 
b) 
 
 
 
c) 
 
 
 
 
06. Determine os nomes das vistas da figura abaixo. 
 
 
 
 
 
a) b) 
 
 
 
 
 
Prof. André da Costa 
 
4 costa.andrecs@gmail.com 
 
 
c) 
 
 
 
07. Observando a figura abaixo, desenhe a sua vista 
frontal. 
 
 
 
 
08. Desenhe a vista superior de cada uma das três 
figuras abaixo. 
 
 
 
09. Observando a figura abaixo, desenhe a sua vista 
frontal, lateral esquerda e superior. 
 
 
 
 
10. Observe o seguinte empilhamento de cubos. 
 
 
 
 
 
a) Em seu caderno, desenhe a vista frontal desse 
empilhamento. 
b) Quantos cubos foram utilizados nesse 
empilhamento? 
 
11. Qual das peças abaixo deve ser encaixada para 
que a figura fique com a forma de um paralelepípedo? 
 
 
 
 
a) b) 
 
 
c) d) 
 
12. Associe cada objeto à sua vista superior. 
 
 
 
 
 
 
 
 
( ) ( ) 
 
( ) ( ) 
A B C 
D E 
 
 
 
Prof. André da Costa 
 
5 costa.andrecs@gmail.com 
 
 
( ) 
 
13. Utilizando as cores adequadas, desenhe as vistas 
solicitadas na figura a seguir. 
 
 
 
 
 
 
a) Vista superior 
b) Vista lateral esquerda 
c) Vista lateral direita 
 
14. Como ficam as vistas superior e frontal da figura 
abaixo? 
 
 
 
 
 
 
15. Esses empilhamentos foram construídos a partir 
de cubos. Quantos cubos foram utilizados em cada 
caso? 
a) 
 
b) 
 
 
 
 
 
16. Observe as vistas que cada um observa: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Agora, responda quais das letras representam as 
vistas que eles estão visualizando. 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. André da Costa 
 
6 costa.andrecs@gmail.com 
 
17. As imagens abaixo mostram o empilhamento feito 
com cubos pequenos. São duas vistas diferentes do 
mesmo empilhamento. Quantos cubos, no mínimo, 
ainda deverão ser colocados, sem alterar a posição 
dos demais, para que o empilhamento seja um cubo 
maior? 
 
 
 
 
 
 
18. Qual é a vista que você teria dos sólidos que estão 
sobre a mesa, caso você se sentasse em cada uma das 
cadeiras? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
19. Bernardo brincou com algumas formas 
geométrica e fez a seguinte construção: 
 
 
 
 
 
Observe as figuras a seguir e escolha a letra que 
corresponde à silhueta da vista que Bernardo tem da 
construção que ele fez: 
 
 
 
 
 
 
 
20. Considere a seguinte planificação de um cubo. 
 
 
 
 
 
Qual será a vista traseira? 
a) b) 
 
 
Se empilharmos 4 cubos 
idênticos com esta 
planificação, de modo que 
a vista frontal fique como 
a do desenho a seguir: 
Vista 1 Vista 2 
 
 
 
Prof. André da Costa 
 
7 costa.andrecs@gmail.com 
 
c) d) 
 
 
21. Agora, observe a seguir outra planificação de um 
cubo. 
 
 
 
 
 
 
 
Quais das seguintes opções representam possíveis 
vistas laterais? 
a) b) c) d) e) 
 
 
 
 
22. A figura abaixo, ilustra um empilhamento de 
cubos idênticos. A quantidade mínima de cubos 
empilhados nesse empilhamento é: 
 
 
 
 
 
a) 9. 
b) 10. 
c) 8. 
d) 12. 
e) 11. 
 
23. Qual das figuras geométricas espaciais a seguir 
tem a mesma representação, qualquer que seja a 
vista? 
 
 
 
 
 
 
 
 
24. Qual é o nome da figura geométrica espacial 
representada abaixo por suas diferentes vistas? 
 
 
 
 
 
25. O desenho a seguir, feito por Natália, representa 
a vista superior de uma pilha de cubos. 
 
 
 
 
 
Se empilharmos 4 cubos 
idênticos com esta 
planificação, de modo que 
a vista frontal fique como 
a do desenho a seguir: 
Cilindro Paralelepípedo 
retângulo 
Esfera Pirâmide de 
base quadrada 
Vista 
frontal 
Vista 
lateral 
direita 
Vista 
lateral 
esquerda 
Vista 
superior 
Desenho de Natália 
 
 
 
Prof. André da Costa 
 
8 costa.andrecs@gmail.com 
 
a) 
 
 
 
b) 
 
 
 
c) 
 
 
 
 
26. Veja uma pilha composta por 26 cubos e o 
desenho de sua vista superior. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Agora, desenhe em seu caderno cada uma das outras 
vistas indicadas. 
 
27. Veja abaixo a representação que Henrique 
desenhou da vista frontal de uma composição de 
figuras geométricas espaciais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Entre as composições de figuras geométricas 
espaciais abaixo, qual delas é a que Henrique 
observou para fazer seu desenho? 
 
a) 
 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
c) 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. André da Costa 
 
9 costa.andrecs@gmail.com 
 
28. A partir das vistas ortogonais frontal, lateraldireita e superior apresentadas a seguir, Pedro 
desenhou em seu caderno um poliedro em perspectiva 
cônica. 
 
 
 
 
 
 
Qual dos desenhos a seguir corresponde a esse 
poliedro? 
a) 
 
 
 
b) 
 
 
 
c) 
 
 
 
 
 
 
29. (Ufrgs − 2011) Observe o sólido S formado por 
6 cubos e representado na figura abaixo. 
 
 
 
 
Dentre as opções a seguir, o objeto que, 
convenientemente composto com o sólido S, forma 
um paralelepípedo é 
 
a) b) 
 
 
 
 
c) d) 
 
 
 
e) 
 
 
30. (Upe − 2014) Como atividade recreativa, o 
professor Leocádio propôs que seu aluno Klécio 
montasse novas peças a partir da representada 
abaixo, mudando a posição de, apenas, um cubo. 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. André da Costa 
 
10 costa.andrecs@gmail.com 
 
Dentre as peças representadas abaixo, assinale a que 
não pode ter sido confeccionada por Klécio. 
 
a) b) 
 
 
 
c) d) 
 
 
 
e) 
 
 
 
31. Um cubo com 4 cm de aresta está sendo montado 
por cubos menores cuja aresta mede 1 cm. Parte da 
construção do cubo está representada na imagem a 
seguir. 
 
 
 
 
 
A quantidade máxima de cubos menores necessários 
para completar essa construção é 
 
a) 12. 
b) 25. 
c) 31. 
d) 34. 
e) 39. 
 
32. Um cilindro de madeira tem 60 cm de altura e 
diâmetro da base igual à metade da altura. Decidiu-
se fazer um corte no cilindro perpendicular às bases, 
tal como se mostra na figura. O corte foi feito de tal 
forma que a amplitude do ângulo ao centro AOB é 
igual a 60°. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Indique a opção que representa a vista de cima do 
cilindro após o corte efetuado. 
 
a) 
 
 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
 
c) 
 
 
 
 
 
 
d) 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. André da Costa 
 
11 costa.andrecs@gmail.com 
 
e) 
 
 
 
 
 
 
 
 
33. (Enem − 2016) Os alunos de uma escola 
utilizaram cadeiras iguais às da figura para uma aula 
ao ar livre. A professora, ao final da aula, solicitou 
que os alunos fechassem as cadeiras para guardá-las. 
Depois de guardadas, os alunos fizeram um esboço da 
vista lateral da cadeira fechada. 
 
 
 
 
Qual é o esboço obtido pelos alunos? 
a) 
 
 
b) 
 
 
c) 
 
 
 
d) 
 
 
e) 
 
 
 
34. (Enem − 2018) Minecraft é um jogo virtual que 
pode auxiliar no desenvolvimento de conhecimentos 
relacionados a espaço e forma. É possível criar casas, 
edifícios, monumentos e até naves espaciais, tudo em 
escala real, através do empilhamento de cubinhos. 
Um jogador deseja construir um cubo com dimensões 
4 x 4 x 4. Ele já empilhou alguns dos cubinhos 
necessários, conforme a figura. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Os cubinhos que ainda faltam empilhar para finalizar 
a construção do cubo, juntos, formam uma peça 
única, capaz de completar a tarefa. 
O formato da peça capaz de completar o cubo 
4 x 4 x 4 é 
 
 
 
Seção Enem 
 
 
 
Prof. André da Costa 
 
12 costa.andrecs@gmail.com 
 
a) 
 
 
 
b) 
 
 
 
c) 
 
 
 
d) 
 
 
 
e) 
 
 
 
35. (Enem − 2020) No projeto de uma nova máquina, 
um engenheiro encomendou a um torneiro mecânico a 
fabricação de uma peça, obtida a partir do recorte 
em um cubo, como ilustrado na figura. Para isso, o 
torneiro forneceu, juntamente com o desenho 
tridimensional da peça, suas vistas frontal, lateral e 
superior, a partir das posições indicadas na figura. 
Para facilitar o trabalho do torneiro, as arestas dos 
cortes que ficam ocultos nas três vistas devem ser 
representadas por segmentos tracejados, quando 
for o caso. 
 
 
 
 
 
 
 
As vistas frontal, lateral e superior que melhor 
representam o desenho entregue ao torneiro são 
 
a) 
 
 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
 
c) 
 
 
 
 
 
 
d) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. André da Costa 
 
13 costa.andrecs@gmail.com 
 
e) 
 
 
 
 
36. (Enem − 2020) A Figura 1 apresenta uma casa e 
a planta do seu telhado, em que as setas indicam o 
sentido do escoamento da água de chuva. Um 
pedreiro precisa fazer a planta do escoamento da 
água de chuva de um telhado que tem três caídas de 
água, como apresentado na Figura 2. 
 
 
 
 
 
 
 
A figura que representa a planta do telhado da 
Figura 2 com o escoamento da água de chuva que o 
pedreiro precisa fazer é 
 
a) 
 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
c) 
 
 
 
 
 
d) 
 
 
 
 
e) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. André da Costa 
 
14 costa.andrecs@gmail.com 
 
 
Projeções ortogonais são as figuras formadas no 
plano que resultam da projeção de todos os pontos 
de outra figura fora dele. 
 
Podemos dizer também que projeção ortogonal das 
figuras geométricas sobre um plano pode ser 
comparada à sombra desse mesmo objeto no horário 
em que o sol está mais alto no dia. Nesse horário, a 
sombra possui dimensões iguais às do objeto, mas não 
possui profundidade alguma. 
 
 
 
 
 
 
As projeções ortogonais sempre são exploradas nas 
avaliações do Enem porque a única forma de resolver 
problemas sobre o possível formato de uma projeção 
é por meio de raciocínio lógico. 
 
Veja a seguir as definições das projeções mais 
básicas 
 
● Projeção ortogonal do ponto no plano: 
A projeção ortogonal do ponto A sobre o plano é 
exatamente o ponto de encontro A’ entre esse plano 
e a reta ortogonal a ele que contém o ponto A. Sendo 
assim, a projeção ortogonal de um ponto sobre o 
plano também será um ponto. 
 
 
 
 
 
 
● Projeção ortogonal de um segmento de reta 
sobre o plano: 
1° caso: Segmento de reta paralelo ao plano 
 
A medida da projeção ortogonal é igual à medida do 
segmento de reta, ou seja a projeção é 
em verdadeira grandeza. 
 
 
 
 
 
 
2° caso: Segmento de reta perpendicular ao plano 
 
Se o segmento de reta já for perpendicular ao plano, 
a sua projeção ortogonal será apenas um ponto. A 
medida da projeção ortogonal é zero. 
 
 
 
 
 
 
 
3° caso: Segmento de reta inclinadoem relação ao 
plano 
 
Se o segmento de reta não for ortogonal ao plano, 
sua projeção ortogonal será o segmento de reta 
cujas extremidades são as projeções de suas 
extremidades sobre o plano. A medida da projeção 
é menor que a medida do segmento de reta. 
 
 
Projeções ortogonais 
 
 
 
Prof. André da Costa 
 
15 costa.andrecs@gmail.com 
 
 
 
 
 
 
 
● Projeção ortogonal de uma figura plana sobre o 
plano: 
A projeção ortogonal de uma figura sobre um plano 
é obtida projetando ortogonalmente todos os pontos 
da figura sobre o plano. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
● Projeção ortogonal de um sólido sobre o plano: 
Consideramos o cubo como sendo um conjunto de 
pontos e fizemos a projeção de cada ponto sobre o 
plano, obtendo, então, a projeção de todo o cubo 
sobre o plano. 
Observe que a projeção ortogonal do cubo sobre o 
plano resultou em um quadrado pertencente ao plano. 
 
 
 
 
 
 
 
É necessário usar a imaginação para 
observar projeções ortogonais. No caso 
dessas figuras, é bom pensar no formato que teria 
sua sombra ao meio-dia em um solo plano. 
 
O exemplo seguinte demonstra o último tipo 
de projeção ortogonal, que é aquele em que é preciso 
imaginar a trajetória descrita por pontos e objetos 
para pensar em sua projeção. Observe: 
 
 
37. (Prof. André C. – 2021) André está treinando 
para o campeonato de skate que ocorreráem seu 
bairro. Ele desloca-se do ponto A ao ponto B, como 
ilustra a figura abixo. 
 
 
 
Exercício resolvido 
● ● 
A B 
 
 
 
Prof. André da Costa 
 
16 costa.andrecs@gmail.com 
 
Qual é a melhor representação para a projeção 
ortogonal da trajetória de André sobre um plano no 
chão? 
a) 
 
 
b) 
 
c) 
 
d) 
 
e) 
 
Solução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: Alternativa d 
 
 
 
 
 
38. (Prof. André C. – 2021) O salto em distância é 
uma modalidade olímpica do atletismo, em que os 
atletas combinam velocidade, força e agilidade para 
saltarem o mais longe possível a partir de um ponto 
pré-determinado. O salto deve ser dado após uma 
corrida numa raia marcada no chão, com o atleta 
saltando o mais longe possível dentro de uma caixa 
de areia. A distância é então medida do limite da 
tábua até a primeira marca na areia feita pelo corpo 
do atleta. 
 
 
 
 
Qual é a melhor representação para a trajetória 
descrita pela sombra do atleta sobre a areia durante 
o salto? 
a) 
 
b) 
 
c) 
 
d) 
 
e) 
 
 
 
 
● ● 
● 
Limite da 
tábua 
● ● 
Primeira marca 
na areia 
● ● trajetória 
plano horizontal no chão 
projeção ortogonal 
no plano horizontal 
Exercícios de aprendizagem 
 
 
 
Prof. André da Costa 
 
17 costa.andrecs@gmail.com 
 
39. (Prof. André C. – 2021) Tirolesa é um esporte que 
possui origem na Áustria, e era utilizado para 
realizar a travessia de itens valiosos sobre rios e 
montanhas da região. Anos depois, a estrutura 
passou a se tornar um meio de transporte para os 
moradores. 
Hoje, a tirolesa se tornou um dos vários esportes 
radicais, sendo feita no mundo inteiro. Com várias 
alturas e distâncias, é possível realizá-la em lugares 
como parque, viveiros, bosques, entre outros. 
A imagem abaixo mostra uma pessoa que saiu do 
ponto A e chegará ao ponto B. 
 
 
 
 
 
 
Qual é a melhor representação para a trajetória 
descrita pela sombra da pessoa sobre o chão, do 
ponto A até o ponto B? 
 
a) 
 
b) 
 
c) 
 
d) 
 
e) 
 
 
40. (Prof. André C. – 2021) Inaugurada em dezembro 
de 2019, a Rio Star é uma das mais novas atrações 
do Rio de Janeiro. A maior roda gigante da América 
Latina com 88 metros de altura fica no Boulevard 
Olímpico, região portuária carioca, onde ficam 
atrações como o Museu do Amanhã, o AquaRio. Um 
casal entra na cabine no ponto A e desloca-se no 
sentido anti-horário até o ponto B, como mostra a 
imagem a seguir. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Qual é a melhor representação para a trajetória 
descrita pela cabine da roda gigante onde encontra-
se o casal, no plano do chão,do ponto A até o ponto 
B? 
 
a) 
 
 
b) 
 
 
c) 
 
 
 
● ● 
A B 
● 
● 
B 
A 
https://guia.melhoresdestinos.com.br/rio-de-janeiro-4-c.html
 
 
 
Prof. André da Costa 
 
18 costa.andrecs@gmail.com 
 
d) 
 
 
 
e) 
 
 
41. (Prof. André C. – 2021) Montanha-russa é uma 
atração popular dos parques de diversões modernos. 
Consiste basicamente em uma estrutura de aço que 
forme uma pista composta por elevações seguidas de 
quedas e por vezes inversões (sendo delas a mais 
conhecida o loopings, inversões de 360°) 
impulsionadas pela velocidade proveniente de uma 
descida ou lançamento impulsionado. A imagem a 
seguir mostra uma parte do trajeto de uma 
montanha-russa. 
 
 
 
 
 
 
Qual é a melhor representação para a projeção 
ortogonal da trajetória do carrinho sobre um plano 
no chão? 
a) 
 
 
b) 
 
c) 
 
 
 
d) 
 
 
e) 
 
 
 
 
42. (Enem – 2012) João propôs um desafio a Bruno, 
seu colega de classe: ele iria descrever um 
deslocamento pela pirâmide a seguir e Bruno deveria 
desenhar a projeção desse deslocamento no plano da 
base da pirâmide. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O deslocamento descrito por João foi: mova-se pela 
pirâmide, sempre em linha reta, do ponto A ao ponto 
E, a seguir do ponto E ao ponto M, e depois de M a C. 
O desenho que Bruno deve fazer é 
a) 
 
 
Seção Enem 
https://pt.wikipedia.org/wiki/Parques_de_divers%C3%B5es
https://pt.wikipedia.org/wiki/Modernidade
https://pt.wikipedia.org/wiki/A%C3%A7o
https://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Looping&action=edit&redlink=1
 
 
 
Prof. André da Costa 
 
19 costa.andrecs@gmail.com 
 
b) 
 
 
 
c) 
 
 
 
d) 
 
 
 
e) 
 
 
 
43. (Enem – 2012) O globo da morte é uma atração 
muito usada em circos. Ele consiste em uma espécie 
de jaula em forma de uma superfície esférica feita 
de aço, onde motoqueiros andam com suas motos por 
dentro. A seguir, tem-se, na Figura 1, uma foto de um 
globo da morte e, na Figura 2, uma esfera que ilustra 
um globo da morte. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Na Figura 2, o ponto A está no plano do chão onde 
está colocado o globo da morte e o segmento AB 
passa pelo centro da esfera e é perpendicular ao 
plano do chão. Suponha que há um foco de luz 
direcionado para o chão colocado no ponto B e que um 
motoqueiro faça um trajeto dentro da esfera, 
percorrendo uma circunferência que passa pelos 
pontos A e B. 
A imagem do trajeto feito pelo motoqueiro no plano 
do chão é melhor representada por 
 
a) 
 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
 
c) 
 
 
 
 
 
 
d) 
 
 
 
 
 
e) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. André da Costa 
 
20 costa.andrecs@gmail.com 
 
44. (Enem – 2012) O Museu do Louvre, localizado em 
Paris, na França, é um dos museus mais visitados do 
mundo. Uma de suas atrações é a Pirâmide de Vidro, 
construída no final da década de 1980. A seguir tem-
se, na Figura 1, uma foto da Pirâmide de Vidro do 
Louvre e, na Figura 2, uma pirâmide reta de base 
quadrada que a ilustra. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Considere os pontos A, B, C, D como na Figura 2. 
Suponha que alguns reparos devem ser efetuados na 
pirâmide. Para isso, uma pessoa fará o seguinte 
deslocamento: 1) partir do ponto A e ir até o ponto 
B, deslocando-se pela aresta AB; 2) ir de B até C, 
deslocando-se pela aresta que contém esses dois 
pontos; 3) ir de C até D, pelo caminho de menor 
comprimento; 4) deslocar-se de D até B pela aresta 
que contém esses dois pontos. 
A projeção do trajeto da pessoa no plano da base da 
pirâmide é melhor representada por 
 
a) 
 
 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
c) 
 
 
 
 
 
d) 
 
 
 
 
 
 
 
e) 
 
 
 
 
 
 
 
 
45. (Enem – 2013) Gangorra é um brinquedo que 
consiste de uma tábua longa e estreita equilibrada e 
fixada no seu ponto central (pivô). Nesse brinquedo, 
duas pessoas sentam-se nas extremidades e, 
alternadamente, impulsionam-se para cima, fazendo 
descer a extremidade oposta, realizando, assim, o 
movimento da gangorra. Considere a gangorra 
representada na figura, em que os pontos A e B são 
equidistantes do pivô: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A projeção ortogonal da trajetória dos pontos A e B, 
sobre o plano do chão da gangorra, quando esta se 
encontra em movimento, é: 
 
a) 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
Prof. André da Costa 
 
21 costa.andrecs@gmail.com 
 
 
c) 
 
 
 
 
 
d) 
 
 
 
 
 
e) 
 
 
 
 
46. (Enem – 2014) O acesso entre os dois andares de 
uma casa é feito através de uma escada circular 
(escada caracol), representada na figura. Os 
cincos A, B, C, D, E sobre o corrimão estão 
igualmente espaçados, e os pontos P, A e E estão em 
uma mesma reta. Nessa escada, uma pessoa caminha 
deslizando ponto A até o ponto D. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A figura que melhor representa a projeção ortogonal, 
sobre o piso da casa (plano), do caminho percorrido 
pela mão dessa pessoa é: 
 
a) 
 
 
 
 
b)c) 
 
 
 
 
 
 
 
d) 
 
 
 
 
 
 
e) 
 
 
 
 
 
 
47. (Enem – 2016) Um grupo de escoteiros mirins, 
numa atividade no parque da cidade onde moram, 
montou uma barraca conforme a foto da Figura 1. A 
Figura 2 mostra o esquema da estrutura dessa 
barraca, em forma de um prisma reto, em que foram 
usadas hastes metálicas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A B 
C D 
E F 
Figura 1 Figura 2 
 
 
 
Prof. André da Costa 
 
22 costa.andrecs@gmail.com 
 
Após a armação das hastes, um dos escoteiros 
observou um inseto deslocar-se sobre elas, partindo 
do vértice A em direção ao vértice B, deste em 
direção ao vértice E e, finalmente, fez o trajeto do 
vértice E ao C. Considere que todos esses 
deslocamentos foram feitos pelo caminho de menor 
distância entre os pontos. 
A projeção do deslocamento do inseto no plano que 
contém a base ABCD é dada por 
 
a) 
 
 
 
b) 
 
 
 
c) 
 
 
 
d) 
 
 
 
e) 
 
 
 
 
 
48. (Enem – 2016) A figura representa o globo 
terrestre e nela estão marcados os pontos A, B e C. 
Os pontos A e B estão localizados sobre um mesmo 
paralelo, e os pontos B e C, sobre um mesmo 
meridiano. É traçado um caminho do ponto A até C, 
pela superfície do globo, passando por B, de forma 
que o trecho de A até B se dê sobre o paralelo que 
passa por A e B e, o trecho de B até C se dê sobre o 
meridiano que passa por B e C. Considere que o plano 
α é paralelo à linha do equador na figura. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A projeção ortogonal, no plano α, do caminho traçado 
no globo pode ser representada por 
 
a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
 
c) 
 
 
d) 
 
 
 
e) 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. André da Costa 
 
23 costa.andrecs@gmail.com 
 
49. (Enem – 2017) Uma lagartixa está no interior de 
um quarto e começa a se deslocar. Esse quarto, 
apresentando o formato de um paralelepípedo 
retangular, é representado pela figura. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A lagartixa parte do ponto B e vai até o ponto A. A 
seguir, de A ela se desloca, pela parede, até o 
ponto M, que é o ponto médio do segmento EF. 
Finalmente, pelo teto, ela vai do ponto M até o 
ponto H. Considere que todos esses deslocamentos 
foram feitos pelo caminho de menor distância entre 
os respectivos pontos envolvidos. 
A projeção ortogonal desses deslocamentos no plano 
que contém o chão do quarto é dado por: 
 
a) 
 
 
b) 
 
 
 
 
c) 
 
 
 
 
 
d) 
 
 
 
e) 
 
 
 
50. (Enem – 2018) Uma torneira do tipo 1/4 de volta 
é mais econômica, já que seu registro abre e fecha 
bem mais rapidamente do que o de uma torneira 
comum. A figura de uma torneira do tipo 1/4 de volta 
tem um ponto preto marcado na extremidade da 
haste de seu registro, que se encontra na posição 
fechado e, para abri-lo completamente, é necessário 
girar a haste 1/4 de volta no sentido anti-horário. 
Considere que a haste esteja paralela ao plano da 
parede. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Qual das imagens representa a posição ortogonal, na 
parede, da trajetória traçada pelo ponto preto 
quando o registro é aberto completamente? 
 
a) 
 
 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
 
c) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. André da Costa 
 
24 costa.andrecs@gmail.com 
 
d) 
 
 
 
 
 
 
e) 
 
 
51. (Enem – 2019) Um grupo de países criou uma 
instituição responsável por organizar o Programa 
Internacional de Nivelamento de Estudos (PINE) 
com o objetivo de melhorar os índices mundiais de 
educação. Em sua sede foi construída uma escultura 
suspensa, com a logomarca oficial do programa, em 
três dimensões, que é formada por suas iniciais, 
conforme mostrada na figura. 
 
 
 
 
Essa escultura está suspensa por cabos de aço, de 
maneira que o espaçamento entre letras adjacentes 
é o mesmo, todas têm igual espessura e ficam 
dispostas em posição ortogonal ao solo, como 
ilustrado a seguir. 
 
 
 
 
 
 
Ao meio-dia, com o sol a pino, as letras que formam 
essa escultura projetam ortogonalmente suas 
sombras sobre o solo. 
A sombra projetada no solo é 
 
a) 
 
 
 
 
 
b) 
 
c) 
 
 
 
 
 
 
d) 
 
 
 
 
 
e) 
 
 
 
 
52. (Enem – 2020) Em um jogo desenvolvido para uso 
no computador, objetos tridimensionais vão 
descendo do alto da tela até alcançarem o plano da 
base. O usuário pode mover ou girar cada objeto 
durante sua descida para posicioná-
lo convenientemente no plano horizontal. Um desses 
objetos é formado pela justaposição de quatro cubos 
idênticos, formando assim um sólido rígido, como 
ilustrado na figura 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para facilitar a movimentação do objeto pelo 
usuário, o programa projeta ortogonalmente esse 
sólido em três planos quadriculados perpendiculares 
entre si, durante sua descida. 
A figura que apresenta uma possível posição desse 
sólido, com suas respectivas projeções ortogonais 
sobre os três planos citados, durante sua descida é 
 
 
 
 
 
Prof. André da Costa 
 
25 costa.andrecs@gmail.com 
 
a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
e) 
 
 
 
 
 
 
 
 
53. (Enem – 2020) Uma formiga move-se sobre um 
castiçal de vidro transparente, do ponto A para B em 
linha reta, percorre o arco circular BCD, sendo C 
localizado na parte da frente do castiçal, e desce o 
arco DE, como representado na figura. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Os pontos A, B, D e E estão sobre um mesmo plano 
perpendicular à mesa sobre a qual se encontra o 
castiçal. A projeção ortogonal, sobre o plano da 
mesa, do trajeto percorrido pela formiga, do ponto 
A até o ponto E, é melhor representada por 
 
 
a) 
 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
 
 
c) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. André da Costa 
 
26 costa.andrecs@gmail.com 
 
d) 
 
 
 
e) 
 
 
 
 
 
 
 
 
54. A caixa da figura está vazia e pode ser 
totalmente preenchida pelos cubos da pilha. 
A quantidade de cubos empilhados é superior a 
quantidade de cubos necessários para encher a caixa. 
 
 
 
 
 
 
 
Preenchendo essa caixa com os cubos da pilha, 
quantos cubos sobram? 
 
a) 7 cubos. 
b) 5 cubos. 
c) 3 cubos. 
d) 1 cubo. 
 
55. Um enfeite em espiral é colocado ao redor de um 
enfeite cilíndrico de vidro transparente, conforme a 
imagem: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O novo enfeite é posicionado entre uma lanterna e a 
parede. A lanterna aponta diretamente para o 
cilindro de forma a projetar uma sombra ortogonal 
da decoração em espiral. 
Nessas condições, uma das possíveis sombras a 
serem formadas é 
 
a) 
 
 
 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
 
 
c) 
 
 
 
 
 
 
 
d) 
 
 
 
 
 
 
 
e) 
 
 
 
 
 
 
Exercícios de fixação 
 
 
 
Prof. André da Costa 
 
27 costa.andrecs@gmail.com 
 
56. Uma árvore de Natal, com formato semelhante a 
um cone reto, será colocada na entrada de um 
shopping com luzes pisca-piscas, interligadas por um 
mesmo fio, que contornará a superfície lateral dela, 
conforme ilustra a figura a seguir. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ao observar essa árvore exatamente de cima, uma 
pessoa verá as luzes dos pisca-piscas a partir de qual 
formato? 
 
a) 
 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
c) 
 
 
 
 
 
d) 
 
 
 
 
 
e) 
 
 
 
 
 
57. Durante uma partida de tênis, um saque foi 
realizado ao meio-dia, com o sol a pino. A figura 
ilustra a trajetória da bola observada por um 
espectador situado no nível da quadra, em uma 
posição alinhada com a rede.Em 1, a bola encontra-se na mão do jogador que faz 
o saque. Em 2, a bola encontra-se na posição em que 
ocorre o contato com a raquete do sacador, após ter 
sido arremessada verticalmente para cima a partir 
da posição 1. Em 3, a bola faz contato com a quadra 
do jogador adversário. Por fim, em 4, a bola 
encontra-se na posição em que a raquete do jogador 
adversário rebate o saque. Considere que a bola de 
tênis apresenta pequenas dimensões. Considere 
ainda que esse saque tenha sido invalidado por ter 
sido desferido paralelamente às laterais da quadra, 
o que não é permitido pelas regras da modalidade. 
Qual é a melhor representação para a trajetória 
descrita pela sombra da bola sobre a quadra durante 
o movimento realizado pelo objeto entre as posições 
1 e 4? 
 
a) 
 
b) 
 
 
c) 
 
 
d) 
 
e) 
 
 
 
 
Prof. André da Costa 
 
28 costa.andrecs@gmail.com 
 
58. Na figura a seguir, o paralelepípedo ABCDEFGH 
representa um quarto com janela na parede externa 
da casa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Um passarinho entra por essa janela, passando pelo 
ponto P, centro do retângulo CDHG, e vai até o ponto 
A. Em seguida, vai até o ponto E e, na sequência, até 
o ponto B. Por fim, a ave sai do quarto passando pelo 
mesmo ponto onde entrou. Considere que todos os 
movimentos do passarinho no interior do quarto são 
retilíneos. 
Ao coincidir a face EFFG do paralelepípedo com o 
plano desta página, qual é a melhor representação 
para a projeção ortogonal do movimento do 
passarinho sobre o chão do quarto? 
 
a) 
 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
 
c) 
 
 
 
 
 
d) 
 
 
e) 
 
 
 
 
 
59. Um helicóptero sobrevoa uma ilha afetada por um 
terremoto, com a missão de entregar pacotes de 
suprimentos. A figura representa o momento em que 
a aeronave entregou um pacote com mantimentos em 
uma região de planície da ilha, o qual era 
suficientemente pesado para não ter sua trajetória, 
durante a queda, afetada pelo vento ou por massas 
de ar. No instante representado, a velocidade do 
helicóptero era nula, e o pacote foi abandonado no 
ar, em queda livre. 
 
 
 
 
 
 
Qual figura melhor representa a projeção ortogonal 
da trajetória do pacote sobre o plano dessa região 
da ilha, do momento em que ele foi abandonado até 
atingir o chão? 
 
a) 
 
 
 
b) 
 
c) 
 
 
 
 
Prof. André da Costa 
 
29 costa.andrecs@gmail.com 
 
 
d) 
 
 
 
e) 
 
 
 
60. Um dos instrumentos musicais mais populares no 
Brasil é, certamente, o tambor. Considere que um 
instrumentista queira incrementar a aparência de 
seu tambor, pintando com pincel a faixa poligonal em 
zigue-zague desenhada na sua superfície lateral 
conforme mostra a figura. 
 
 
 
 
 
Considere que a faixa tenha largura constante ao 
redor de toda a superfície lateral do tambor e que, 
ao dar início à pintura, o tambor se encontra 
perpendicular ao solo. Além disso, admita que seja 
suficiente passar o pincel uma úcica vez em cada 
ponto da faixa. 
Nessas condições, a figura que melhor representa no 
plano a projeção perpendicular da trajetória da 
ponta do pincel ao se completar a pintura é; 
 
a) 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
 
c) 
 
 
 
d) 
 
 
 
 
 
 
61. A Ponte Estaiada é um dos pontos turísticos de 
Teresina, capital do Piauí, principalmente pelo 
mirante que há na ponte. Nesse mirante, os turistas 
têm uma vista panorâmica de toda a cidade por meio 
de um corredor elíptico, conforme ilustra a figura. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Considere que um turista se deslocou em linha reta 
do ponto P ao ponto Q (centro do elevador) para 
entrar num elevador que sobe verticalmente até o 
centro do mirante. Quando chega ao mirante, esse 
turista sai do elevador em linha reta paralela ao 
trecho PQ até uma das extremidades do corredor 
elíptico. Em seguida, ele descreve uma trajetória 
elíptica no contorno do corredor para contemplar a 
vista da cidade. 
 
 
 
 
Prof. André da Costa 
 
30 costa.andrecs@gmail.com 
 
A vista superior da trajetória desse turista, desde o 
ponto P até o final da trajetória no mirante, é melhor 
representada pela figura: 
 
a) 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
c) 
 
 
 
 
d) 
 
 
 
 
62. (OBMEP) Cláudia gosta de montar sólidos colando 
cubinhos de aresta 1 cm. Ela sempre usa um pingo de 
cola entre duas faces de cubinhos que ficam em 
contato; por exemplo, para montar o sólido ao lado 
ela usou 7 pingos de cola. Nessas condições, 
responda: 
 
 
 
 
 
a) Quantos pingos de cola ela vai usa para montar um 
cubo de aresta 2 cm? 
 
 
 
b) Quantos pingos ela vai usar para montar um cubo 
de aresta 3 cm? 
 
 
c) Cláudia montou o sólido a seguir, com quatro 
camadas de cubinhos. Quantos pingos de cola ela 
usou? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Bons estudos!!!