Mat_2_3serie_Vol2_2019

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PARTE II
GEOMETRIA E TRIGONOMETRIA
UNIDADE V
SEMELHANÇA E HOMOTETIA
1) TEOREMA DE TALES
Se um feixe de retas paralelas é cortado por duas re-
tas transversais, os segmentos de reta determinados sobre
uma são proporcionais aos segmentos correspondentes de-
terminados sobre outra.
2) SEMELHANÇA
Dois polígonos são semelhantes se possuem lados
homólogos proporcionais e ângulos correspondentes iguais.
O estudo que é feito para identificar a semelhança de
figuras poligonais é válido para o estudo de semelhança de
triângulos. Com isso, dois triângulos serão semelhantes se
satisfizerem duas condições simultaneamente: seus lados
correspondentes possuírem medidas proporcionais e se os
ângulos correspondentes forem iguais (congruentes).
Se invertermos a afirmação feita acima, teremos um
fato verdadeiro: as condições são satisfeitas somente quan-
do os triângulos são semelhantes.
Veja um exemplo:
Antes, temos que determinar a correspondência dos
vértices de cada triângulo, pois assim determinaremos a
correspondência dos lados e dos ângulos entre estes dois
triângulos.
Os vértices A, B, C correspondem, respectivamente,
aos vértices A’, B’, C’. Sendo assim, montaremos as razões
de proporcionalidade entre os lados correspondentes.
Este valor (k) é a escala de ampliação ou redução,
muito usada em mapas, maquetes, miniaturas, cópias, fo-
tos e em muitas outras situações do cotidiano.
Uma das condições é que todos os lados correspon-
dentes possuam uma proporcionalidade, que chamaremos
neste caso de k. Ressaltando que essa razão foi construída
pela divisão de cada lado correspondente: veja que o lado
A’B’ do segundo triângulo corresponde ao lado AB do pri-
meiro triângulo. Por este fato, a divisão foi feita entre eles,
e de mesmo modo com os outros lados.
Entretanto, apenas a condição de proporcionalidade
dos lados não é suficiente para afirmarmos a semelhança
entre os dois triângulos. Necessitamos que seus ângulos
correspondentes sejam iguais
Sendo assim, indicaremos a semelhança destes tri-
ângulos desta forma:
2.1) CASOS DE SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS
Não é necessário conferir se todos os ângulos de dois
triângulos são congruentes e se todos os lados dos mes-
mos são proporcionais para saber se ambos são semelhan-
tes, basta que eles apresentem algumas das condições
necessárias.
Estudaremos, a seguir, três casos que facilitam de-
terminar quando triângulos são semelhantes.
2.1.1) CASO AA (ÂNGULO, ÂNGULO)
Se dois ângulos de um triângulo são congruentes a dois
ângulos de outro, os dois triângulos são semelhantes.
508508
A partir deste caso de semelhança, podemos perce-
ber que todos os triângulos retângulos e isósceles são se-
melhantes, já que sempre terão os ângulos congruentes de
90º, 45º e 45º.
2.1.2) CASO LLL (LADO, LADO, LADO)
Se todos os lados de um triângulo forem proporcionais
aos lados de outro, os dois triângulos são semelhantes.
2.1.3) CASO LAL (LADO, ÂNGULO, LADO)
Se dois triângulos possuírem um ângulo congruente for-
mado por dois lados de medidas proporcionais, os dois tri-
ângulos são semelhantes.
3) RAZÃO ENTRE PERÍMETRO E ÁREA DE FIGURAS
(F1 E F2) SEMELHANTES
• Perímetro: A razão entre seus perímetros é igual à
razão entre as medidas de quaisquer dois lados cor-
respondentes.
A razão entre as medidas dos perímetros é, também,
a razão entre as medidas de linhas homólogas (altu-
ra, bases, etc.)
• Área: A razão entre as medidas de suas áreas é igual
ao quadrado da razão existente entre as medidas de
quaisquer dois lados correspondentes.
4) HOMOTETIA: TRANSFORMAÇÃO DE FIGURAS PLANAS
A partir de um ponto O, traçamos retas que passam
em cada um dos pontos A, B, C e D da figura original. De-
pois, em cada reta traçada, marcamos os pontos A’, B’, C’ e
D’ de modo que , onde k é a constante de
proporcionalidade. Fazemos da mesma forma com os de-
mais pontos.
O ponto O é denominado ponto de homotetia.
As figuras ABCD e A’B’C’D’ são semelhantes.
IMPORTANTE !
O mapa de uma cidade, por exemplo, é a miniaturização
dos elementos reais, realizada com base num coeficiente
de proporcionalidade denominado ESCALA.
Escalas reduzem LINHAS homólogas !
Medidas do terreno e do mapa (ou maquete, projeto,
miniatura, foto etc) são grandezas diretamente proporcio-
nais, que se relacionam através de uma função de 1º grau
na forma y = ax + b, com comportamento gráfico linear (veja
as unidades de função afim e reta no R2)
Como já foi citado, a redução de áreas se faz a partir do
quadrado da escala, e a de volumes, pelo cubo da escala.
Quanto MAIOR o denominador, MENOR a escala e
MENOS detalhes podem ser observados na redução.
509509
01 (UNIRIO)
Observe os dois triângulos anteriormente representa-
dos, onde os ângulos assinalados são congruentes. O
perímetro do menor triângulo é:
(A) 3
(B)
(C) 5
(D)
(E) 15
02 (UNIRIO)
Numa cidade do interior, à noite, surgiu um objeto voa-
dor não identificado, em forma de disco, que estacio-
nou a 50 m do solo, aproximadamente. Um helicóptero
do exército, situado a aproximadamente 30 m acima
do objeto, iluminou-o com um holofote, conforme mos-
tra a figura anterior. Sendo assim, pode-se afirmar que
o raio do disco-voador mede, em m, aproximadamen-
te:
(A) 3,0
(B) 3,5
(C) 4,0
(D) 4,5
(E) 5,0
03 A figura mostra cinco “bonecos russos”.
Admita que todos sejam semelhantes entre si e que o
maior boneco tenha altura de 20 cm.
Considere, ainda, que o 2o boneco mais alto tenha al-
tura igual a 16 cm.
Assim, e apenas com os dados fornecidos acima, é
correto garantir que a altura do menor boneco:
(A) é impossível de se calcular
(B) é igual a 8,192 cm
(C) é igual a 8,3 cm
(D) é igual a 9 cm
04 A figura ao abaixo representa uma gravura retangular
com 8m de comprimento e 6m de altura.Deseja-se re-
produzi-la numa folha de papel retangular com 42cm
de comprimento e 30cm de altura, deixando livres 3cm
em cada margem, conforme a Figura 2.
A reprodução da gravura deve ocupar o máximo possí-
vel da região disponível, mantendo-se as proporções
da primeira figura.
A escala da gravura reproduzida na folha de papel é
(A) 1 : 3. (B) 1 : 4.
(C) 1 : 20. (D) 1 : 25.
(E) 1 : 32.
510510
05 Se o raio de um círculo é reduzido de 40%, sua área
será reduzida de qual porcentagem da área original ?
01 (ENEM) O dono de um sítio pretende colocar uma haste
de sustentação para melhor firmar dois postes de com-
primentos iguais a 6m e 4m. A figura representa a si-
tuação real na qual os postes são descritos pelos
segmentos AC e BD e a haste é representada pelo
segmento EF, todos perpendiculares ao solo, que é
indicado pelo segmento de reta AB. Os segmentos AD
e BC representam cabos de aço que serão instalados.
Qual deve ser o valor do comprimento da haste EF?
(A) 1 m
(B) 2 m
(C) 2,4 m
(D) 3 m
(E)
02 (ENEM) Em canteiros de obras de construção civil é
comum perceber trabalhadores realizando medidas de
comprimento e de ângulos e fazendo demarcações por
onde a obra deve começar ou se erguer. Em um des-
ses canteiros foram feitas algumas marcas no chão pla-
no. Foi possível perceber que, das seis estacas colo-
cadas, três eram vértices de um triângulo retângulo e
as outras três eram os pontos médios dos lados desse
triângulo, conforme pode ser visto na figura, em que as
estacas foram indicadas por letras.
A região demarcada pelas estacas A, B, M e N deveria
ser calçada com concreto.
Nessas condições, a área a ser calçada corresponde
(A) à mesma área do triângulo AMC.
(B) à mesma área do triângulo BNC.
(C) à metade da área formada pelo triângulo ABC.
(D) ao dobro da área do triângulo MNC.
(E) ao triplo da área do triângulo MNC.
03 (ENEM) A rampa de um hospital tem na sua parte mais
elevada uma altura de 2,2 metros. Um paciente ao ca-
minhar sobre a rampa percebe que se deslocou 3,2
metros e alcançou uma altura de 0,8 metro.
A distância em metros que o paciente ainda deve cami-
nhar para atingir o ponto mais alto da rampa é
(A) 1,16 metros.
(B) 3,0 metros.
(C) 5,4 metros.
(D) 5,6 metros.
(E) 7,04 metros.
04 (ENEM) A sombra de uma pessoa que tem 1,80m de
alturamede 60cm. No mesmo momento, a seu lado, a
sombra projetada de um poste mede 2,00m. Se, mais
tarde, a sombra do poste diminuiu 50cm, a sombra da
pessoa passou a medir:
(A) 30cm.
(B) 45cm.
(C) 50cm.
(D) 80cm.
(E) 90cm.
05 (ENEM PPL 2016) Em sua vez de jogar, um jogador
precisa dar uma tacada na bola branca, de forma a
acertar a bola 9 e fazê-la cair em uma das caçapas de
uma mesa de bilhar. Como a bola 8 encontra-se entre
a bola branca e a bola 9, esse jogador adota a estraté-
gia de dar uma tacada na bola branca em direção a
uma das laterais da mesa, de forma que, ao rebater,
ela saia em uma trajetória retilínea, formando um ân-
gulo de 90º com a trajetória da tacada, conforme ilus-
trado na figura.
Com essa estratégia, o jogador conseguiu encaçapar
a bola 9. Considere um sistema cartesiano de eixos
sobre o plano da mesa, no qual o ponto de contato da
bola com a mesa define sua posição nesse sistema.
As coordenadas do ponto que representa a bola 9 são
(3; 3) o centro da caçapa de destino tem coordenadas
(6; 0) e a abscissa da bola branca é 0,5, como repre-
sentados na figura.
Se a estratégia deu certo, a ordenada da posição origi-
nal da bola branca era
(A) 1,3.
(B) 1,5.
(C) 2,1.
(D) 2,2.
(E) 2,5.
511511
06 (UERJ 2019) Os triângulos A1B1C1, A2B2C2, A3B3C3,
ilustrados abaixo, possuem perímetros p1, p2, p3, respecti-
vamente. Os vértices desses triângulos, a partir do segun-
do, são os pontos médios dos lados do triângulo anterior.
Admita que .
Assim, (p1, p2, p3) define a seguinte progressão:
(A) aritmética de razão = -8
(B) aritmética de razão = -6
(C) geométrica de razão = 1/2
(D) geométrica de razão = 1/4
07 (FGV) No triângulo retângulo abaixo, os catetos e
medem, respectivamente, 2 e 3. A área do quadra-
do ARST é que porcentagem da área do triângulo ABC?
(A) 42% (B) 44%
(C) 46% (D) 48%
(E) 50%
08 (UNICESUMAR SP/2017) Os pontos A(0, 3) e B(2, 0)
são vértices de um quadrado ABCD, conforme mostra
a figura.
A reta r passa pelos vértices C e D desse quadrado e
intersecta o eixo x no ponto de abscissa
(A) (B)
(C) (D)
(E)
09 (UFU MG) Um lustre no formato cônico foi fixado ao
teto por duas cordas linearmente esticadas, AC, BC,
conforme indica a figura a seguir.
Suponha que o triângulo ABC seja retângulo com altu-
ra e e que, na figura, r é o
raio da região circular S, de forma que r é igual ao do-
bro de AB .
Nessas condições, a área de S, em m2, é dada pela
expressão:
(A) (B)
(C) (D)
10 (UNIMONTES MG) Na figura abaixo, , ,
 e os segmentos DE e BC são paralelos. Com
base nessas informações, é CORRETO afirmar que
vale
(A)
(B)
(C) a+b
(D) ab
512512
11 (FATEC SP) A fachada do Partenon, famoso templo em
Atenas, foi construída segundo o conceito de secção
áurea, que consiste na divisão de um segmento em
duas partes: a maior de 61,8% e a menor de 38,2%.
FACHADA DO PARTENON
(fotos.sapo.pt/asergio/pic/00029e3c. Acesso em: 05.10.2013. Original colorido)
A altura das colunas corresponde à maior parte da
secção áurea em relação à altura da fachada dessa
edificação.
Admitindo-se que a altura de cada coluna meça 10,5
m, a altura da fachada do Partenon é, em metros, mais
próxima de
(A) 15,8. (B) 16,1.
(C) 16,5. (D) 17,0.
(E) 17,4.
12 (PUC RJ) O retângulo DEFG está inscrito no triângulo
isósceles ABC, como na figura abaixo:
Assumindo , a
altura do triângulo ABC é:
(A) (B)
(C) (D)
(E)
13 (UNIFICADO RJ) Na figura abaixo, r, s e t são retas
paralelas.
Os valores de x e y são, respectivamente,
(A) 1 e 2
(B) 1,5 e 4
(C) 2,5 e 5
(D) 3 e 5
(E) 3,75 e 5
14 (UDESC SC) Quando olhamos para um ambiente qual-
quer, a percepção de profundidade é possível devido a
nossa visão binocular. Por estarem separados em mé-
dia 65 mm em adultos, cada um dos nossos olhos re-
gistra uma imagem de um ângulo ligeiramente diferen-
te. Ao interpretar essas imagens ao mesmo tempo, o
cérebro forma um “mapa” dessas diferenças, tornando
possível estimar a distância dos objetos em relação a
nós.
A estereoscopia (popularmente conhecida como “ima-
gem 3D”) é uma técnica que consiste em exibir ima-
gens distintas para cada olho do observador, represen-
tando o que se observaria em uma situação real. As-
sim, o cérebro pode ser “enganado” a interpretar os
objetos representados como se estivessem flutuando
diante da tela ou atrás dela.
Diversas tecnologias existem atualmente para conse-
guir isso. A mais comum delas, usada nas salas de ci-
nema 3D, funciona com o uso de óculos polarizadores
que filtram a imagem projetada na tela, permitindo que
cada olho receba somente a imagem correspondente.
Um observador está em uma sala de cinema 3D usan-
do óculos polarizadores e sobre a tela são projetados
dois pontos A e B a uma distância de 30 cm um do
outro, com A à esquerda de B. Os filtros polarizadores
dos óculos fazem com que o ponto A seja visto apenas
por seu olho direito e o ponto B apenas por seu olho
esquerdo, de forma que as linhas de visão de cada um
dos olhos se interseccionem em um ponto X, conforme
a Figura 1. O observador verá apenas um único ponto,
resultado da junção em seu cérebro dos pontos A e B,
localizado em X.
Sabendo que a reta imaginária que passa por seus olhos
é paralela àquela que passa pelos pontos A e B e estas
distam 20 m entre si, e que sua distância interocular é
de 60 mm, a distância da tela em que ele verá a ima-
gem virtual, formada no ponto X, é aproximadamente:
(A) 6,6 m
(B) 3,3 m
(C) 4 m
(D) 16,7 m
(E) 16 m
513513
15 (IBMEC SP INSPER) Duas cidades X e Y são interliga-
das pela rodovia R101, que é retilínea e apresenta 300
km de extensão. A 160 km de X, à beira da R101, fica a
cidade Z, por onde passa a rodovia R102, também
retilínea e perpendicular à R101. Está sendo construída
uma nova rodovia retilínea, a R103, que ligará X à ca-
pital do estado. A nova rodovia interceptará a R102 no
ponto P, distante 120 km da cidade Z.
O governo está planejando, após a conclusão da obra,
construir uma estrada ligando a cidade Y até a R103. A
menor extensão, em quilômetros, que esta ligação po-
derá ter é
(A) 250. (B) 240.
(C) 225. (D) 200.
(E) 180.
16 (IBMEC SP Insper) Suzana quer construir uma pisci-
na de forma triangular em sua casa de campo, confor-
me a figura abaixo (ilustrativa).
Ela deseja que:
• as medidas s e t sejam diferentes;
• a área da piscina seja 50m2;
• a borda de medida s seja revestida com um material
que custa 48 reais o metro linear;
• a borda de medida t seja revestida com um material
que custa 75 reais o metro linear.
Ao conversar com o arquiteto, porém, Suzana foi infor-
mada de que já foi construída uma saída de água que
fica a uma distância de 3m da borda de medida t e a
7m da borda de medida s. Para que a terceira borda da
piscina passe por esse ponto, t deve ser aproximada-
mente igual a
(A) 10,00m. (B) 13,33m.
(C) 16,67m. (D) 20,00m.
(E) 23,33m.
17 (INSPER) Considere o retângulo ABCD da figura, de
dimensões que foi dividido em três
regiões de áreas iguais pelos segmentos 
As retas , e são paralelas. Dessa forma,
sendo e , a razão é igual a
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
18 (UFPR) Em uma rua, um ônibus com 12 m de compri-
mento e 3 m de altura está parado a 5 m de distância
da base de um semáforo, o qual está a 5 m do chão.
Atrás do ônibus para um carro, cujo motorista tem os
olhos a 1 m do chão e a 2 m da parte frontal do carro,
conforme indica a figura a seguir. Determine a menor
distância (d) que o carro pode ficar do ônibus de modo
que o motorista possa enxergar o semáforo inteiro.
(A) 13,5 m
(B) 14,0 m
(C) 14,5 m
(D) 15,0 m
(E) 15,5 m
514514
19 (UFF) Um prédio com a forma de um paralelepípedo
retângulo tem 48 m de altura. No centro da cobertura
desse prédio e perpendicularmente a essa cobertura,
está instalado um pára-raios. No ponto Q sobre a reta r
— que passa pelo centro da base do prédio e é per-
pendicular a - está um observador que avista so-
mente uma parte do pára-raios (ver a figura).A distân-
cia do chão aos olhos do observador é 1,8 m e
 .
O comprimento da parte do pára-raios que o observa-
dor não consegue avistaré:
(A) 16 m (B) 12 m
(C) 8 m (D) 6 m
(E) 3 m
01 (FGV) Bem no topo de uma arvore de 10,2 metros de
altura, um gavião casaca-de-couro, no ponto A da figu-
ra, observa atentamente um pequeno roedor que su-
biu na mesma árvore e parou preocupado no ponto B,
bem abaixo do gavião, na mesma reta vertical em rela-
ção ao chão. Junto à árvore, um garoto fixa vertical-
mente no chão uma vareta de 14,4 centímetros de com-
primento e, usando uma régua, descobre que a som-
bra da vareta mede 36 centímetros de comprimento.
Exatamente nesse instante ele vê, no chão, a sombra
do gavião percorrer 16 metros em linha reta e ficar so-
bre a sombra do roedor, que não se havia movido de
susto.
Calcule e responda: Quantos metros o gavião teve de
voar para capturar o roedor, se ele voa verticalmente
de A para B?
02 (UFRJ) Na figura a seguir, o círculo de raio 1 cm rola
da posição I para a posição F, sempre tangenciando o
cateto AC do triângulo retângulo ABC.
Na posição I o círculo também tangencia AB e na posi-
ção F ele é tangente a BC. Os lados do triângulo valem
AB = 6 cm, AC = 8 cm e BC = 10 cm.
Determine a distância percorrida pelo centro do círcu-
lo.
03 (UNICAMP) Um artesão precisa recortar um retângulo
de couro com 10 cm x 2,5 cm. Os dois retalhos de cou-
ro disponíveis para a obtenção dessa tira são mostra-
dos nas figuras a seguir.
a) O retalho semicircular pode ser usado para a obtenção
da tira? Justifique.
b) O retalho triangular pode ser usado para a obtenção
da tira? Justifique.
515515
04 (FGV) Podemos dizer que duas figuras geométricas são
semelhantes, se uma delas, ampliada ou reduzida, for
um modelo exato da outra, isto é, se a razão entre seg-
mentos correspondentes for sempre a mesma. A razão
de semelhança entre essa ampliação e a foto original
do cervo-do-pantanal é igual a 
a) As fotocopiadoras expressam a razão de semelhança
como uma porcentagem. Qual é, em porcentagem, a
razão de semelhança entre a ampliação e a foto origi-
nal?
b) A foto original de um uacari-branco mede 3,2 cm por 4
cm. Foi feita uma ampliação da foto original. A razão de
semelhança na ampliação foi de 125%. Expresse, em
porcentagem, o aumento da área da ampliação em re-
lação à foto original do uacari-branco.
05 (UFMG) Uma folha de papel quadrada, ABCD, que
mede 12 cm de lado, é dobrada na reta r, como mostra-
do nesta figura:
Feita essa dobra, o ponto D sobrepõe-se ao ponto N, e
o ponto A, ao ponto médio M, do lado BC.
É correto afirmar que, nessas condições, o segmento
CE mede:
(A) 7,2 cm.
(B) 7,5 cm.
(C) 8,0 cm.
(D) 9,0 cm.
06 (UFSC - ADAPTADA) Tales, o grande matemático do
século VI a.C., foi também um próspero comerciante.
Certa vez, visitou o Egito em viagem de negócios. Nes-
sa ocasião, ele assombrou o faraó e toda a corte egíp-
cia, medindo a sombra da pirâmide de Quéops, cuja
base é um quadrado de 230 metros de lado.
Para calcular a altura da pirâmide, Tales fincou verti-
calmente no solo uma estaca que ficou com altura de 1
metro acima do solo.
As medidas dos comprimentos da sombra da pirâmide
e da sombra da estaca são, respectivamente, 255
metros e 2,5 metros.
(Adaptado de: JAKUBOVIC, J., CENTURION, M. e LELLIS, M.C.
“Matemática na Medida Certa”.Volume. São Paulo: Scipione)
Com base nas informações do texto e das figuras, DE-
TERMINE a altura da pirâmide.
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PARTE II
GEOMETRIA E TRIGONOMETRIA
UNIDADE VI
TRIÂNGULO RETÂNGULO
RELAÇÕES MÉTRICAS
1) ELEMENTOS DE UM TRIÂNGULO RETÂNGULO
No triângulo retângulo ABC da figura, temos:
• A, B e C são vértices.
• a é a medida da hipotenusa ;
• b e c são as medidas dos catetos e ;
• h é a medida da altura relativa a hipotenusa;
• m é a medida da projeção ortogonal do cateto
sobre a hipotenusa;
• n é a medida da projeção ortogonal do cateto
sobre a hipotenusa;
2) RELAÇÕES MÉTRICAS NUM TRIÂNGULO
RETANGULO
2.1) Através de relação de Euclides, podemos dizer que o
quadrado da medida de um cateto, é o mesmo que o
produto da medida da hipotenusa através da medida
da projeção ortogonal deste mesmo cateto sobre a
hipotenusa.
Demonstrações
2.2) TEOREMA DE PITÁGORAS
Demonstração
Somando membro a membro as relações de Euclides:
2.3)Há uma igualdade entre o quadrado da medida da al-
tura relativa e o produto das medidas das projeções
dos catetos sobre a hipotenusa.
Logo temos: 
Demonstração
2.4) O produto da medida da hipotenusa pela medida da
altura relativa à hipotenusa será igual ao produto das
medidas dos catetos.
Logo temos: 
517517
3) APLICAÇÕES DO TEOREMA DE PITÁGORAS
3.1) Diagonal do Quadrado
Dado o quadrado de lado L a diagonal D do quadrado
será a hipotenusa de um triângulo retângulo com catetos L
com base nessa definição usaremos o teorema de Pitágoras
para uma expressão que calcula a diagonal do quadrado
em função da medida do lado.
d2 = l2 + l2
d2 = 2l2
3.2) Altura de um triângulo equilátero
 O triângulo PQR é equilátero, vamos calcular sua altu-
ra com base na medida dos lados. Ao determinarmos a al-
tura (h) do triângulo PQR, podemos observar um triângulo
retângulo PHQ catetos: h e lllll/2 e hipotenusa h. Aplicando o
teorema de Pitágoras temos:
4) NOTA IMPORTANTE
O triângulo retângulo é um dos assuntos, da geometria,
mais abordados em vestibulares.
Sem dúvida alguma, o Teorema de Pitágoras é a rela-
ção métrica mais utilizada, mas de uma forma peculiar.
Na maioria das questões, o triângulo retângulo não é
“mostrado” claramente.
Ocorrem, então, 2 etapas:
1ª) identificar corretamente o triângulo retângulo;
2ª) elaborar uma estratégia para a solução, com o uso de
uma das relações conhecidas; na grande parte das
vezes, o Toreoma de Pitágoras finaliza a questão.
5) TERNOS PITAGÓRICOS
A tabela acima mostra alguns ternos pitagóricos , na
qual coluna indicada por “c”representa a hipotenusa do tri-
ângulo dito “pitagórico”.
As colunas indicadas por “a” e “b” mostram os catetos
do mesmo triângulo.
As colunas “m”e “n”indicam referenciais para a forma-
ção do terno pitagórico que, aliás, já foi tema de prova es-
pecífica da UERJ.
Veja a questão:
Terno pitagórico é a denominação para os três núme-
ros inteiros que representam as medidas, com a mes-
ma unidade, dos três lados de um triângulo retângulo.
Um terno pitagórico pode ser gerado da seguinte for-
ma: escolhem-se dois números pares consecutivos ou
dois números ímpares consecutivos; calcula-se a soma
de seus inversos, obtendo-se uma fração cujo nume-
rador e denominador representam as medidas dos
catetos de um triângulo retângulo; calcula-se a
hipotenusa.
a) Utilizando o procedimento descrito, calcule as medi-
das dos três lados de um triângulo retângulo, conside-
rando os números pares 4e 6.
b) Considere x um número inteiro maior do que1, e que
(x–1)e (x+1)representam dois pares ou dois ímpares
consecutivos. Demonstre que esses dois números ge-
ram um terno pitagórico.
518518
01 Uma folha quadrada de papel ABCD é dobrada de modo
que o vértice C coincide com o ponto M médio de AB.
Se o lado de ABCD é 1, o comprimento BP é:
(A) 0,300.
(B) 0,325.
(C) 0,375.
(D) 0,450.
(E) 0,500.
02 A figura a seguir mostra a trajetória percorrida por uma
pessoa para ir do ponto X ao ponto Y, caminhando em
um terreno plano e sem obstáculos.
Se ela tivesse usado o caminho mais curto para ir de X
a Y, teria percorrido
(A) 15 m
(B) 16 m
(C) 17 m
(D) 18 m
(E) 19 m
03 A figura abaixo representa o quadrado M N P Q de lado
l = 4cm.
Sabendo que os retângulos N X Y Z e J K L Q são
congruentes, o valor da medida do segmento YK é:
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
04 Um triângulo retângulo tem a altura relativa à hipotenusa
medindo 10 cm, e esta divide a hipotenusa em seg-
mentos, um dos quais com medida 25 cm. Qual a me-
dida do menor cateto desse triângulo ?
05 O lado BD de um triângulo equilátero BDE é diagonal
do quadrado ABCD, de lado 4 cm. Qual a distância entre
os pontos E e C, sabendo que é a menor possível ?
06 Uma circunferência está inscrita em um quadrado cuja
diagonal mede . O comprimento dessa circun-
ferência é:
(A) 10π cm
(B) 5π cm
(C) 6π cm
(D) 8π cm
(E) 7π cm
07 Um instrumentomusical é formado por 6 cordas para-
lelas de comprimentos diferentes as quais estão fixa-
das em duas hastes retas, sendo que uma delas está
perpendicular às cordas. O comprimento da maior cor-
da é de 50 cm, e o da menor é de 30 cm. Sabendo que
a haste não perpendicular às cordas possui 25 cm de
comprimento da primeira à última corda, se todas as
cordas são equidistantes, a distância entre duas cor-
das seguidas, em centímetros, é
(A) 1.
(B) 1,5.
(C) 2.
(D) 2,5.
(E) 3.
519519
01 (ENEM 2017) Para decorar uma mesa de festa infan-
til, um chefe de cozinha usará um melão esférico com
diâmetro medindo 10 cm, o qual servirá de suporte para
espetar diversos doces. Ele irá retirar uma calota esfé-
rica do melão, conforme ilustra a figura, e, para garan-
tir a estabilidade deste suporte, dificultando que o me-
lão role sobre a mesa, o chefe fará o corte de modo
que o raio r da seção circular de corte seja de pelo
menos 3 cm. Por outro lado, o chefe desejará dispor da
maior área possível da região em que serão afixados
os doces.
Para atingir todos os seus objetivos, o chefe deverá
cortar a calota do melão numa altura h, em centímetro,
igual a
(A)
(B)
(C) 1
(D) 4
(E) 5
02 (ENEM)
Na figura acima, que representa o projeto de uma es-
cada com 5 degraus de mesma altura, o comprimento
total do corrimão é igual a
(A) 1,8 m.
(B) 1,9 m.
(C) 2,0 m.
(D) 2,1 m.
(E) 2,2 m.
03 (ENEM) Quatro estações distribuidoras de energia A,
B, C e D estão dispostas como vértices de um quadra-
do de 40 km de lado. Deseja-se construir uma estação
central que seja ao mesmo tempo equidistante das es-
tações A e B e da estrada (reta) que liga as estações C
e D. A nova estação deve ser localizada
(A) no centro do quadrado.
(B) na perpendicular à estrada que liga C e D passan-
do por seu ponto médio, a 15km dessa estrada.
(C) na perpendicular à estrada que liga C e D passan-
do por seu ponto médio, a 25km dessa estrada.
(D) no vértice de um triângulo equilátero de base AB,
oposto a essa base.
(E) no ponto médio da estrada que liga as estações A
e B.
04 (UERJ 2018) Segundo historiadores da matemática, a
análise de padrões como os ilustrados a seguir possi-
bilitou a descoberta das triplas pitagóricas.
Observe que os números inteiros 32, 42 e 52, represen-
tados respectivamente pelas 2ª, 3ª e 4ª figuras, satisfa-
zem ao Teorema de Pitágoras. Dessa forma (3, 4, 5) é
uma tripla pitagórica.
Os quadrados representados pelas 4ª, 11ª e na figuras
determinam outra tripla pitagórica, sendo o valor de n
igual a:
(A) 10
(B) 12
(C) 14
(D) 16
520520
05 (UERJ) Um modelo de macaco, ferramenta utilizada
para levantar carros, consiste em uma estrutura com-
posta por dois triângulos isósceles congruentes, AMN
e BMN, e por um parafuso acionado por uma manivela,
de modo que o comprimento da base MN possa ser
alterado pelo acionamento desse parafuso. Observe a
figura:
Considere as seguintes medidas:
AM = AN = BM = BN = 4 dm; MN = x dm; AB = y dm.
O valor, em decímetros, de y em função de x
corresponde a:
(A)
(B)
(C)
(D)
06 (UERJ) Observe o desenho a seguir:
Ele representa uma folha retangular com 8 cm x 13 cm,
que foi recortada formando duas figuras I e lI, que, ape-
sar de distintas, possuem a mesma área.
A diferença entre o perímetro da figura I e da figura II,
em cm, corresponde a:
(A) 0
(B) 2
(C) 4
(D) 6
07 (UNITAU SP/2018) Uma rede de água potável ligará
uma central de abastecimento, situada à margem de
um rio de 400 m de largura (considerada constante), a
um conjunto habitacional, situado na outra margem,
através dos pontos USR, como mostra a figura.
O custo da instalação da tubulação através do rio é de
R$ 830,00 o metro, enquanto, em terra, custa R$
400,00.
Se a distância do conjunto habitacional até o ponto S
for igual a 1700 metros, pode-se afirmar, corretamen-
te, que o custo de instalação da rede de água potável
será de
(A) R$ 1.611.000,00
(B) R$ 1.012.000,00
(C) R$ 1.132.000,00
(D) R$ 1.095.000,00
(E) R$ 1.321.000,00
08 (UNIFOR CE/2018) A figura abaixo mostra um terreno,
com medidas em metros, pertencente a uma empresa
metalúrgica, na cidade de Caucaia, zona metropolita-
na de Fortaleza. Para isolar a área, a empresa colocou
uma tela metálica em todo o perímetro desse terreno,
deixando apenas um vão de 5 metros para a passa-
gem de máquinas e caminhões. A tela foi comprada
em rolos fechados, com 20 metros cada um, na quan-
tidade mínima necessária de rolos. Na sua colocação
houve uma perda de 5 metros.
Portanto, terminada a colocação, a quantidade de tela
que restou no último rolo foi de:
(A) 8 metros.
(B) 9 metros.
(C) 10 metros.
(D) 11 metros.
(E) 12 metros.
521521
09 (UNCISAL/2018) Um computador possui um teclado
diferenciado, no qual há quatro teclas, com os regis-
tros , , e , respectivamente. Essas teclas mo-
vimentam um ponto na tela desse computador. A cada
digitação das teclas ou , o ponto se movimenta 1,6
mm verticalmente para cima ou para baixo, respectiva-
mente; a cada digitação das teclas ou , o ponto
se movimenta 5 mm para a direita ou para a esquerda,
respectivamente. Indicando por P a posição de um pon-
to na tela e por Q a posição do ponto após digitar 2
vezes a tecla , 2 vezes a tecla , 4 vezes a tecla 
e 8 vezes a tecla , a distância entre P e Q medirá
(A) 3,2 cm.
(B) 3,4 cm.
(C) 3,6 cm.
(D) 3,8 cm.
(E) 4,0 cm.
10 (UNITAU SP/2017) Dado o plano α e os pontos A, B, C
e D, sabe-se que é perpendicular ao plano α. Já
os segmentos e estão contidos no plano α.
Sabe-se também que , e
.
A medida do segmento formado pelos pontos A e D é
(A) 10 cm
(B)
(C)
(D) 11 cm
(E)
11 (OBMEP/2017) No interior do quadrado ABCD de lado
9 cm, foram traçadas as semicircunferências de cen-
tros E, F e G, tangentes como indicado na figura. Qual
é a medida de AG?
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
12 (CEFET MG/2016) O triângulo ABC é retângulo em
e os segmentos e são perpendiculares.
Assim, a medida do segmento vale
(A)
(B)
(C)
(D)
13 (UNIFAP AP) Agora passam a estudar um dos últimos
assuntos do livro do nono ano que é geometria. E pe-
gam seguinte questão que pode ser resolvida com o
auxílio do Teorema de Pitágoras ou por semelhança de
triângulos:
Considere o triângulo retângulo de lados 5, 4 e 3. Qual
é o comprimento da altura que parte do vértice que con-
tém o ângulo reto. (Esta altura é a relativa à hipotenusa)
Qual é a alternativa que eles devem marcar como cor-
reta:
(A)
(B)
(C) 2
(D) 2,4
(E)
522522
14 (ENEM/2016) A bocha é um esporte jogado em
canchas, que são terrenos planos e nivelados, limita-
dos por tablados perimétricos de madeira. O objetivo
desse esporte é lançar bochas, que são bolas feitas de
um material sintético, de maneira a situá-las o mais perto
possível do bolim, que é uma bola menor feita, prefe-
rencialmente, de aço, previamente lançada. A Figura 1
ilustra uma bocha e um bolim que foram jogados em
uma cancha. Suponha que um jogador tenha lançado
uma bocha, de raio 5 cm, que tenha ficado encostada
no bolim, de raio 2 cm, conforme ilustra a Figura 2.
Considere o ponto C como o centro da bocha, e o pon-
to O como o centro do bolim. Sabe-se que A e B são os
pontos em que a bocha e o bolim, respectivamente,
tocam o chão da cancha, e que a distância entre A e B
é igual a d.
Nessas condições, qual a razão entre d e o raio do
bolim?
(A) 1
(B)
(C)
(D) 2
(E)
15 (FMTM MG) A figura 1 indica uma pirâmide de base qua-
drada, cuja planificação está representada na figura 2.
O quociente é igual a:
(A) 1
(B)
(C)
(D)
(E)
16 (ESPM RJ) A figura abaixo representa um arco de cír-
culo de raio R, em que a corda AB mede 2x. Sendo M o
ponto médio de AB, a medida da flecha MN é dada por:
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
17 (UESPI) A figura seguinte ilustra um triângulo retângu-
lo ABC com catetos medindo AB=9 e AC=12. Com cen-
tro em B traça-se um arco de circunferência AD de raio
9, e com centro em C, traça-se um arco de circunferên-
cia AE de raio 12. Qual a distância DE?
(A) 4,5
(B) 5,0
(C) 5,5
(D) 6,0
(E) 6,5
523523
18 (IFSC/2016)
2010 - CONSUMO DE CHOPP BATE
RECORDE DOSÚLTIMOS 20 ANOS
Entre os dias 07 e 24 de outubro a 27ª Oktoberfest re-
cebeu 578.870 mil pessoas nos setores do Parque Vila
Germânica. O consumo de chopp surpreendeu a orga-
nização do evento, 583.681 mil litros foram consumi-
dos, número superior ao registrado nos últimos 20 anos,
quando em 1990, a festa teve a marca de 774.672 mil
litros.
O público da Oktoberfest 2010 está mais qualificado
do que nos anos anteriores. A organização da festa
notou, ainda, um aumento de 30% a mais no consumo
de chopp. Os tickets de refrigerante e água vendidos
na festa somaram 182 mil, 30% a mais do que em 2009.
Fonte: http://www.oktoberfestblumenau.com.br/oktoberfest/edicoes-
anteriores/
2010-Consumo-de-chope-bate-recorde-dosultimos-20-anos
CURIOSIDADES SOBRE O CHOPP
Para produção de cada litro de chopp, são necessários
40 gramas de cevada.
Isso equivale, mais ou menos, a 12 pés de cevada.
Fonte: http://www.beerchopp.com.br/pg04.html
O plano cartesiano representado abaixo mostra o des-
locamento de uma pessoa por 4 pontos diferentes, no
interior do pavilhão da Oktoberfest. Considere que essa
pessoa partiu do ponto A e formou, com seu trajeto,
segmentos de reta entre os pontos consecutivos A, B,
C e D, nessa ordem. Em uma escala em metros, é cor-
reto afirmar que ela se deslocou
(A)
(B)
(C) 53 m.
(D)
(E)
19 O Homem Vitruviano, famoso desenho de Leonardo da
Vinci, que representa as proporções ideais do corpo
humano, foi representado na moeda de 1 Euro em 2002,
como mostra a figura 1 a seguir:
Considerando que dois vértices do quadrado perten-
çam ao círculo menor e que um lado desse quadrado
tangencia esse círculo, como esquematizado na figura
2, sendo x a medida do lado do quadrado, temos que o
raio desse círculo menor mede:
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
20 (UFF) No Japão, numerosos lugares de peregrinação
xintoístas e budistas abrigam tabuletas matemáticas
chamadas de Sangaku, onde estão registrados belos
problemas, quase sempre geométricos, que eram ofe-
recidos aos Deuses. A figura a seguir, que é uma vari-
ante de um exemplar de Sangaku, é composta por cin-
co círculos que se tangenciam.
Sabendo que seus diâmetros satisfazem as relações
AO = OB = e DF = EC, pode-se concluir que DF/
OB é igual a:
(A) 0,65
(B) 0,6555...
(C) 0,666...
(D) 0,7
(E) 0,7333...
524524
21 (URMAT) Em lugar de caminhar pelos lados de um re-
tângulo, uma pessoa preferiu tomar o atalho da
diagonal, economizando desta maneira metade da dis-
tância do maior lado.
A razão entre o menor e o maior lado do retângulo é :
(A) 0,45 (B) 0,5
(C) 0,6 (D) 0,75
(E) 0,8
22 (FATEC) As “áreas de coberturas” a serem atendidas
por um serviço de telefonia móvel são divididas em cé-
lulas, que são iluminadas por estações-radiobase lo-
calizadas no centro das células.
As células em uma mesma área de cobertura possu-
em diferentes frequências, a fim de que uma célula não
interfira na outra. Porém, é possível reutilizar a
frequência de uma célula em outra célula relativamen-
te distante, desde que a segunda não interfira na pri-
meira.
Cluster é o nome dado ao conjunto de células vizinhas,
o qual utiliza todo o espectro disponível. Uma configu-
ração muito utilizada está exemplificada na Figura 1,
que representa um modelo matemático simplificado da
cobertura de rádio para cada estação-base.
O formato hexagonal das células é o mais prático, pois
permite maior abrangência de cobertura, sem lacunas
e sem sobreposições.
A figura 2 ilustra o conceito de reutilização de frequência
por cluster, em que as células com mesmo número uti-
lizam a mesma frequência.
Na figura 2, os hexágonos são congruentes, regulares,
têm lado de medida R e cobrem uma superfície plana.
Para determinar a distância D, distância mínima entre
o centro de duas células que permitem o uso da mes-
ma frequência, pode-se traçar um triângulo cujos vérti-
ces são os centros de células convenientemente esco-
lhidas, conforme a figura 3.
Assim sendo, o valor de D, expresso em função de R, é
igual a
(A)
(B) 5R
(C)
(D)
(E) 6R
23 (URMAT) Uma revista científica publicou recentemen-
te:
“... a mina de pressão e o detonador formam um curio-
so conjunto, definido por dois círculos de raios distin-
tos, tangentes entre si.
O transporte para o Centro de Tecnologia, onde pre-
tende-se desativá-la, deu-se dentro de forte esquema
de segurança, em face do alto poder destruidor do ar-
tefato.
A mina foi transportada numa caixa com secção retan-
gular e encontrava-se perfeitamente ajustada às pare-
des revestidas de isopor, espuma e feltro, que impedi-
ram qualquer deslocamento ou impacto que pudesse
comprometer .........”
Considerando a base e a altura do retângulo medindo,
9 e 8 dm, respectivamente, conclui-se que a soma dos
raios dos círculos é igual a :
(A) 5
(B) 5,5
(C) 5,8
(D) 6
(E) 7,5
525525
01 (UFRJ) A figura ao lado (fora de escala) mostra parte
da superfície da Terra, considerada perfeitamente es-
férica, e uma torre, construída verticalmente numa praia,
no alto da qual, no ponto A, posta-se uma pessoa dota-
da de visão perfeita e que olha para a linha do horizon-
te, no ponto L.
Considerando R o raio da Terra e h a altura da torre, e
visto que 2R é muito maior que h, pode-se considerar
2r + h = 2R.
a) sendo d o comprimento AL, mostre que 
b) Considerando R = 6300 km e h= 35m, determine, usan-
do a demonstração acima, a medida do segmento AL.
02 (UERJ) Terno pitagórico é a denominação para os três
números inteiros que representam as medidas, com a
mesma unidade, dos três lados de um triângulo retân-
gulo.
Um terno pitagórico pode ser gerado da seguinte forma:
• escolhem-se dois números pares consecutivos ou dois
números ímpares consecutivos;
• calcula-se a soma de seus inversos, obtendo-se uma
fração cujo numerador e denominador representam as
medidas dos catetos de um triângulo retângulo;
• calcula-se a hipotenusa.
a) Utilizando o procedimento descrito, calcule as medi-
das dos três lados de um triângulo retângulo, conside-
rando os números pares 4 e 6.
b) Considere x um número inteiro maior do que 1, e que
(x - 1) e (x + 1) representam dois pares ou dois ímpares
consecutivos.
Demonstre que esses dois números geram um terno
pitagórico.
03 (UERJ) No triângulo ABC a seguir, os lados BC, AC e
AB medem, respectivamente, a, b e c. As medianas AE
e BD relativas aos lados BC e AC interceptam-se
ortogonalmente no ponto G.
Conhecidos a e b, determine:
a) o valor de c em função de a e b;
b) a razão entre as áreas dos triângulos ADG e BEG.
04 (UERJ) A extremidade A de uma planta aquática en-
contra-se 10 cm acima da superfície da água de um
lago (fig.1). Quando a brisa a faz balançar, essa extre-
midade toca a superfície da água no ponto B, situado a
do local em que sua projeção ortogonal C,
sobre a água, se encontrava inicialmente (fig. 2). Con-
sidere OA, OB e BC segmentos de retas e o arco AB
uma trajetória do movimento da planta.
Determine:
a) a profundidade do lago no ponto O em que se encontra
a raiz da planta;
b) o comprimento, em cm, do arco AB.
05 (UFRJ) Uma prateleira de um metro de comprimento e
4,4 cm de espessura deve ser encaixada entre duas
paredes planas e paralelas. Por razões operacionais,
a prateleira deve ser colocada enviesada (inclinada),
para depois ser girada até a posição final, como indica
a figura.
Se a distância entre as paredes é de um metro e um
milímetro, é possível encaixar a prateleira?
526526
06 (INSPER-ADAPTADA) O quadrado ABCD está inscri-
to na circunferência de centro O e raio de medida
, como mostra a figura.
Os vértices E e F do quadrado EFGH pertencem ao
lado e os vértices G e H pertencem à circunferên-
cia.
Assim, calcule a medida do lado do quadrado EFGH,
em cm.
07 (CEFET MG-ADAPTADA) Nesta figura, ABCD é um re-
tângulo e DH é um arco de circunferência cujo centro é
o ponto M.
Determine a medida do segmento em unidades de com-
primento.
PARTE II
GEOMETRIA E TRIGONOMETRIA
UNIDADE VII
TRIÂNGULO RETÂNGULO
RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
INTRODUÇÃO
Dado o triângulo retângulo ABC, temos as seguintes
relações:
• Seno: catetooposto/hipotenusa
• Cosseno: cateto adjacente/hipotenusa
• Tangente: cateto oposto/cateto adjacente
Vale destacar...
, e , observa-
das, naturalmente, as condições de existência.
527527
RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS DOS ÂNGULOS DE 30º, 45º E 60º
Podemos resumir os valores para o seno, co-seno e
tangente dos ângulos de 30º, 45º e 60º em uma única tabe-
la. Tais valores serão usados frequentemente.
(*) Notas:
1) No triângulo com ângulos 30o, 60o e 90o, o cateto opos-
to ao ângulo de 30o mede o equivalente à metade do
comprimento da hipotenusa; o outro cateto tem medi-
da igual à medida do primeiro multiplicada por
2) No triângulo com ângulos 45o, 45o e 90o, a medida da
hipotenusa é igual à medida de cada cateto multiplica-
da por
3) A medida do lado de um triângulo equilátero inscrito
num círculo de raio R é igual ao produto do raio multi-
plicado por 
4) A medida do lado de um quadrado inscrito num círculo
de raio R é igual ao produto do raio multiplicado por
5) A medida do lado de um hexágono regular inscrito num
círculo de raio R é igual à medida do raio.
01 De um ponto do chão situado a 150 m de distância de
um edifício, vê-se o topo do prédio sob um ângulo de
60º, como mostra a figura, desenhada sem escala.
Se for adotado , o ponto do chão a partir do
qual se vê o topo sob um ângulo de 45º ficará a uma
distância do edifício igual a
(A) 75,0 m. (B) 105,0 m.
(C) 127,5 m. (D) 255,0 m.
(E) 355,0 m.
02 A figura abaixo representa um rio plano com margens
retilíneas e paralelas. Um topógrafo situado no ponto A
de uma das margens almeja descobrir a largura desse
rio. Ele avista dois pontos fixos B e C na margem opos-
ta. Os pontos B e C são visados a partir de A, segundo
ângulos de 60º e 30º, respectivamente, medidos no sen-
tido anti-horário a partir da margem em que se encon-
tra o ponto A. Sabendo que a distância de B até C mede
100 m, qual é a largura do rio?
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
03 A figura mostra a secção frontal de um telhado e seu
ângulo de inclinação α. A inclinação de um telhado é
determinada pela porcentagem da medida do cateto
oposto ao ângulo de inclinação (cateto na vertical) em
relação à medida do cateto adjacente a esse ângulo
(cateto na horizontal), em um triângulo retângulo asso-
ciado a esse telhado.
Consultando a tabela, é correto concluir que, em um
telhado com 9,5% de inclinação, o ângulo α está entre
(A) 5,5º e 6º.
(B) 9º e 9,5º.
(C) 6º e 9º.
(D) 5º e 5,5º.
(E) 9,5º e 18º.
528528
04 A partir da figura a seguir, assinale V se verdadeiro e F
se falso.
(A) (B)
(C) (D)
05 Considerando o triângulo retângulo apresentado abai-
xo, no qual as medidas dos catetos são 12x e x2 + 36,
pode-se afirmar corretamente que o valor de x é
(A) 1 (B) 2
(C) 4 (D) 6
(E) 8
06 Andando pela rua onde mora, Bira notou que havia um
prédio em obras onde foi construída uma rampa para
retirada de entulhos do segundo andar do edifício. A
rampa forma um ângulo de inclinação de 30° com o
chão, conforme a figura abaixo.
Sabendo que o topo da rampa está a uma altura de 6m
do chão, qual o comprimento da rampa, em metros?
(A) 18
(B) 12
(C)
(D)
(E) 6
07 As construções de telhados em geral são feitas com
um grau mínimo de inclinação em função do custo. Para
as medidas do modelo de telhado representado a se-
guir, o valor do seno do ângulo agudo ϕ é dado por:
(Fonte: http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/portals/pde/
arquivos/933-2.pdf. Acesso em 9 de setembro de 2011 – Texto adaptado)
(A) (B)
(C) (D)
(E)
01 (ENEM 2018) Para decorar um cilindro circular reto
será usada uma faixa retangular de papel transparen-
te, na qual está desenhada em negrito uma diagonal
que forma 30º com a borda inferior. O raio da base do
cilindro mede , e ao enrolar a faixa obtém-se uma
linha em formato de hélice, como na figura.
O valor da medida da altura do cilindro, em centímetro,
é
(A)
(B)
(C)
(D) 36
(E) 72
529529
02 (ENEM) As torres Puerta de Europa são duas torres
inclinadas uma contra a outra, construídas numa ave-
nida de Madri, na Espanha. A inclinação das torres é
de 15º com a vertical e elas têm, cada uma, uma altura
de 114m (a altura é indicada na figura como o segmen-
to AB). Estas torres são um bom exemplo de um pris-
ma oblíquo de base quadrada e uma delas pode ser
observada na imagem.
Utilizando 0,26 como valor aproximado para tangente
de 15º e duas casas decimais nas operações, desco-
bre-se que a área da base desse prédio ocupa na ave-
nida um espaço
(A) menor que 100m2.
(B) entre 100 m2 e 300 m2.
(C) entre 300 m2 e 500 m2.
(D) entre 500 m2 e 700 m2.
(E) maior que 700 m2.
03 (ENEM) Um balão atmosférico, lançado em Bauru (343
quilômetros a Noroeste de São Paulo), na noite do últi-
mo domingo, caiu nesta segunda-feira em Cuiabá
Paulista, na região de Presidente Prudente, assustando
agricultores da região. O artefato faz parte do programa
Projeto Hibiscus, desenvolvido por Brasil, Franca, Argen-
tina, Inglaterra e Itália, para a medição do comportamento
da camada de ozônio, e sua descida se deu após o cum-
primento do tempo previsto de medição.
Disponível em: http://www.correiodobrasil.com.br. Acesso em: 02 maio
2010.
Na data do acontecido, duas pessoas avistaram o ba-
lão. Uma estava a 1,8 km da posição vertical do balão
e o avistou sob um ângulo de 60°; a outra estava a 5,5
km da posição vertical do balão, alinhada com a pri-
meira, e no mesmo sentido, conforme se vê na figura,
e o avistou sob um ângulo de 30°.
Qual a altura aproximada em que se encontrava o ba-
lão?
(A) 1,8 km (B) 1,9 km
(C) 3,1 km (D) 3,7 km
(E) 5,5 km
04 (ENEM (LIBRAS) 2017) A famosa Torre de Pisa, loca-
lizada na Itália, assim como muitos outros prédios, por
motivos adversos, sofrem inclinações durante ou após
suas construções.
Um prédio, quando construído, dispunha-se vertical-
mente e tinha 60 metros de altura. Ele sofreu uma incli-
nação de um ângulo α, e a projeção ortogonal de sua
fachada lateral sobre o solo tem largura medindo 1,80
metro, conforme mostra a figura.
O valor do ângulo de inclinação pode ser determinado
fazendo-se o uso de uma tabela como a apresentada.
Uma estimativa para o ângulo de inclinação α, quando
dado em grau, é tal que
(A) 0 ≤ α < 1,0 (B) 1,0 ≤ α < 1,5
(C) 1,5 ≤ α < 1,8 (D) 1,8 ≤ α < 2,0
(E) 2,0 ≤ α < 3,0
05 (ENEM) Uma empresa precisa comprar uma tampa para
o seu reservatório, que tem a forma de um tronco de
cone circular reto, conforme mostrado na figura.
Considere que a base do reservatório tenha raio
e que sua lateral faça um ângulo de 60° com
o solo.
Se a altura do reservatório é 12 m, a tampa a ser com-
prada deverá cobrir uma área de
(A) 12πm2. (B) 108πm2.
(C) (D) 300πm2.
(E)
530530
06 (UERJ) Um barco navega na direção AB, próximo a um
farol P, conforme a figura a seguir.
No ponto A, o navegador verifica que a reta AP, da em-
barcação ao farol, forma um ângulo de 30° com a dire-
ção AB. Após a embarcação percorrer 1.000 m, no ponto
B, o navegador verifica que a reta BP, da embarcação
ao farol, forma um ângulo de 60° com a mesma direção
AB.
Seguindo sempre a direção AB, a menor distância en-
tre a embarcação e o farol será equivalente, em metros,
a:
(A) 500 (B)
(C) 1.000 (D)
07 (UERJ 2016) O raio de uma roda gigante de centro C
mede Do centro C ao plano horizon-
tal do chão, há uma distância de 11m. Os pontos A e B,
situados no mesmo plano vertical, ACB, pertencem à
circunferência dessa roda e distam, respectivamente,
16m e 3,95 m do plano do chão. Observe o esquema e
a tabela:
A medida, em graus, mais próxima do menor ângulo
ACB corresponde a:
(A) 45
(B) 60
(C) 75
(D) 105
08 (UERJ) Um atleta faz seu treinamento de corrida em
uma pista circular que tem 400 metros de diâmetro.
Nessa pista, há seis cones de marcação indicados pe-
las letras A, B, C, D, E e F, que dividem a circunferência
em seis arcos, cada um medindo 60 graus.
Observe o esquema:
O atleta partiu do ponto correspondente ao cone A em
direção a cada um dos outros cones, sempre correndo
em linha reta e retornando ao cone A. Assim, seu per-
curso correspondeu a ABACADAEAFA.
Considerando, o total de metros percorridos
pelo atleta nesse treino foi igual a:
(A) 1480
(B) 2960
(C) 3080
(D) 3120
09 (UERJ)
No esquema acima estão representadas as trajetórias
de dois atletas que, partindo do ponto X, passam si-
multaneamente pelo ponto A e rumam para o ponto B
por caminhos diferentes, com velocidades iguais e
constantes. Um deles segue a trajetória de uma
semicircunferência de centro O e raio 2R. O outro per-
corre duas semicircunferências cujos centros são P e Q.
Considerando , quando um dos atletas tiver
percorrido 3/4 do seu trajeto de A para B, a distância
entre eles será igual a:
(A) 0,4 R
(B) 0,6 R
(C) 0,8 R
(D) 1,0 R
531531
10 (UERJ) A Terra pode ser representada por uma esfera
cujo raio mede 6.400 km.
Na representação a seguir, está indicado o trajeto de
um navio do ponto A ao ponto C, passando por B.
Qualquer ponto da superfície da Terra tem coordena-
das (x ; y), em que x representa a longitude e y, a latitu-
de. As coordenadas dos pontos A, B e C estão indicadas
na tabela a seguir.
Considerando π igual a 3, a distância mínima, em km,
a ser percorrida pelo navio no trajeto ABC é igual a:
(A) 11.200 (B) 10.800
(C) 8.800 (D) 5.600
11 (FAMEMA SP/2018) A figura mostra um quadrado
ABCD, com 6 cm de lado, e um triângulo retângulo ABF
de hipotenusa , com o ponto F no prolongamento
do lado e o ponto E sendo a intersecção dos seg-
mentos e .
Sabendo que o ângulo FÂB mede 60º, a medida do
segmento é
(A) (B)
(C) (D)
(E)
12 (FUVEST SP/2017) O paralelepípedo reto-retângulo
ABCDEFGH, representado na figura, tem medida dos
lados AB = 4, BC = 2 e BF = 2.
O seno do ângulo HÂF é igual a
(A) (B)
(C) (D)
(E)
13 (UDESC SC/2017) Um engenheiro precisa projetar uma
rampa de acesso com inclinação constante. A altura da
porta de entrada em relação à rua é de 150 cm e o
espaço para construção da rampa é de 215 cm. Sendo
α o ângulo de inclinação dessa rampa, é correto afir-
mar que:
(A) α ∈ (30º, 45º]
(B) α ∈ (15º, 30º]
(C) α ∈ (60º, 75º]
(D) α ∈ [5º, 15º]
(E) α ∈ (45º, 60º]
14 (UEFS BA/2017) Uma escada reta está apoiada em
uma parede, em um ponto a h metros do chão. O ângu-
lo formado entre a escada e o chão é igual a αº. P é um
ponto na escada que está a k metros da parede.
Considerando que a parede e o chão estejam em pla-
nos perpendiculares, a distância, em metros, que o
ponto P está do chão é igual a
(A) (h – k) cos αº
(B) h – k sen αº
(C) (h – k) sen αº
(D) h – k tg αº
(E) (h – k) tg αº
532532
15 (UERJ) Observe a bicicleta e a tabela trigonométrica.
Os centros das rodas estão a uma distância PQ igual a
120 cm e os raios PA e QB medem, respectivamente,
25 cm e 52 cm.
De acordo com a tabela, o ângulo AÔP tem o seguinte valor:
(A) 10º (B) 12º
(C) 13º (D) 14º
16 (UNCISAL/2017) Numa praça retangular (dimensões:
AB = 40 m, AD = 20 m) há um único passeio ligando
um canto a um ponto da calçada oposta como mostra
a figura, desenhada sem escala.
Se o passeio faz com a calçada da maior das dimen-
sões um ângulo de 30º e adotarmos , o cami-
nho para ir de A até C através da calçada e do passeio
mede, em metros,
(A) 34. (B) 40.
(C) 46. (D) 60.
(E) 74.
17 (IFPE/2017) O professor de matemática do Campus
Pesqueira lançou um desafio à turma de Edificações:
estimar a altura da Serra do Ororubá utilizando apenas
um transferidor. Sara, aluna da turma, lembrou que
existe uma placa turística a 1 km de distância da serra
de onde se consegue enxergar o cume da Serra.
Chegando a esta placa, Sara, com o transferidor per-
pendicular ao solo, estimou um ângulo de 50º entre a
base e o cume da Serra do Ororubá. Sabendo que
sen 50º = 0,77; cos 50º = 0,64; tg 50º = 1,19; e toman-
do como referência o esquema mostrado na figura abai-
xo, certo que Sara não errou os cálculos, qual é a alti-
tude estimada da Serra do Ororubá calculada por ela?
(A) 1000 m (B) 640 m
(C) 770 m (D) 1190 m
(E) 830 m
18 (PUCCAMPINAS SP/2017) Burj Khalifa, localizado em
Dubai, é considerado o edifício mais alto do mundo,
com cerca de 830 m. A figura ao lado da fotografia re-
presenta a extensão vertical desse edifício altíssimo,
dividida em 8 níveis igualmente espaçados.
Dado: adote em suas contas finais.
Utilizando os dados fornecidos, um feixe de laser emi-
tido a partir do ponto indicado na figura por P atingiria a
coluna central do Burj Khalifa, aproximadamente, na
marca
(A) N5.
(B) N6.
(C) N7.
(D) N4.
(E) N3.
19 (UNINORTE AC/2017)
Os pontos colineares P, Q e R representam três ami-
gos que visualizam um balão, em um mesmo instante,
sob ângulos de elevação α = 30º, β = 45º e γ = 60º, de
acordo com a figura.
Nessas condições, pode-se afirmar que a razão entre
as distâncias de P a Q e de Q a R, isto é, , é
igual a
(A) (B)
(C) (D)
(E)
533533
20 (UNESP SP/2016) Uma mesa de passar roupa possui
pernas articuladas e , conforme indica a figura.
Sabe-se que AB = CD = 1 m, e que M é ponto médio
dos segmentos coplanares e . Quando a mesa
está armada, o tampo fica paralelo ao plano do chão e
a medida do ângulo 
Considerando-se desprezíveis as medidas dos pés e
da espessura do tampo e adotando , a altura
do tampo dessa mesa armada em relação ao plano do
chão, em centímetros, está entre
(A) 96 e 99.
(B) 84 e 87.
(C) 80 e 83.
(D) 92 e 95.
(E) 88 e 91.
21 (FGV /2016) Na figura seguinte, as retas r e s são para-
lelas entre si, e perpendiculares à reta t. Sabe-se, ain-
da, que AB = 6 cm, CD = 3 cm, é perpendicular a
, e a medida do ângulo entre e a reta s é 30º.
Nas condições descritas, a medida de , em cm, é
igual a
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
22 (IBMEC SP INSPER/2016) O quadrilátero ABCD indi-
cado na figura possui ângulo reto em A, um ângulo ex-
terno de 60º em B e três lados de medidas conhecidas,
que são AB = 7 cm, BC = 6 cm e CD = 12 cm.
Nesse quadrilátero, a medida de , em centímetros,
é igual a
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
23 (FGV) A, B e C são quadrados congruentes de lado
igual a 1 em um mesmo plano. Na situação inicial, os
três quadrados estão dispostos de forma que dois ad-
jacentes possuem um lado em comum e outro sobre a
reta r. Na situação final, os quadrados A e C permane-
cem na mesma posição inicial, e o quadrado B é
reposicionado, conforme indica a figura.
A menor distância da reta r a um vértice do quadrado B
é
(A) (B)
(C) (D)
(E)
534534
01 (UERJ 2016) Na figura abaixo, observa-se o retângulo
ABCD, que contém o triângulo retângulo DEF, no qual
Considerando os ângulos e , deter-
mine o comprimento do lado DA em função de α e β.
02 (UFRJ) Determine, em função de θ, o perímetro da fi-
gura ABD, obtida retirando-se do triângulo retângulo
ABC o setor circular BCD (de centro em C, raio 1 e
ângulo θ). Justifique.
03 (UFRJ) A figura adiante mostra duas circunferências
que se tangenciam interiormente. A circunferência mai-
or tem centro em O. A menor tem raio r = 5 cm e é
tangente a OA e a OB. Sabendo-se que o ângulo AÔB
mede 60o, calcule a medida do raio R da circunferên-
cia maior. Justifique.
04 (UFRJ) Na figura a seguir, os círculos de centros O1 e
O2 são tangentes em B e têm raios 1 cm e 3 cm.
Determine o comprimento da curva ABC.
05 (UFRJ) A grande sensação da última ExpoArte foi a
escultura “O. I. T. O.”, de 12 metros de altura, compos-
ta por duas circunferências, que reproduzimos abaixo,
com exclusividade.
Para poder passar por um corredor de apenas 9 metros
de altura e chegar ao centro do Salão Principal, ela
teve de ser inclinada. A escultura atravessou o corre-
dor tangenciando o chão e o teto, como mostra a figura
a seguir. Calcule θ.
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