Resist_Materiais_Tração_Compressão

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Solicitações simples: Carga axial - 
Tração e Compressão
Profª. Mscª. Priscila Moreira da Silva Lemos
priscilamoreira_12@hotmail.com
Resistência dos Materiais
Deformação Elástica
2
Considere a barra homogênea de comprimento L e seção 
transversal variável submetida a uma força axial centrada P. A 
barra está sujeita à cargas concentradas em suas 
extremidades e a uma carga variável distribuída ao longo de 
seu comprimento. 
O que poderia ser essa carga 
distribuída?
Peso próprio de uma barra 
vertical;
Forças de atritos que agem 
sobre a superfíce da barra
Deformação Elástica
3
Baseados nesse modelo, poderemos determinar o 
deslocamento relativo δ de uma das extremidades da barra 
em relação à outra extremidade, causada por esse 
carregamento.
Usando o método das seções, isolamos um elemento 
diferencial da barra de comprimento dx e área da seção 
transversal A(x).
Deformação Elástica
4
 Se a tensão axial resultante σ não ultrapassar o limite de 
proporcionalidade do material, podemos aplicar a lei de 
Hooke. Então, teremos:
σ =
P(x)
A(x )
ε=d δ
dx
σ =E ε
P(x )
A (x)
=E dδ
dx
dδ=
P(x )dx
A (x )E
Deformação Elástica
5
 Para o comprimento total da barra, L, devemos integrar essa 
expressão para determinas o deslocamento da extremidade.
dδ=
P(x )dx
A (x )E
δ=∫
0
L P(x)dx
A (x)E
δ = deslocamento de um ponto na barra relativo a um 
outro ponto;
L = distância original entre os pontos;
P(x) = força axial interna na seção, localizada a 
distância x de uma extremidade;
A(x) = área da seção transversal da barra, expressa em 
função de x;
E = módulo de elasticidade do material
Deformação Elástica
6
Para casos onde a seção transversal A e a força forem 
constantes, tem-se a equação geral:
Se a barra for submetida a várias forças axiais diferentes, ou 
se a área da seção transversal ou o módulo de elasticidades 
mudar repentinamente de uma região da barra para outro, a 
equação poderá ser aplicada por segmento.
δ=∑
i
PiLi
A iE i
δ= P L
A E
Deformação Elástica
7
Convenção de sinais: força e deslocamento serão positivos 
quando provocarem TRAÇÃO (alongamento) e serão 
negativos quando provarem COMPRESSÃO (contração).
Deformação Elástica
8
Exemplo 1: Determine a deformação da barra de aço 
mostrada abaixo submetida às forças dadas (E = 200 GPa).
Deformação Elástica
9
Exemplo 1: Determine a deformação da barra de aço 
mostrada abaixo submetida às forças dadas (E 200 GPa).
Deformação Elástica
10
Exemplo 2: O conjunto mostrado abaixo consiste em um tubo 
de alumínio AB com área da seção transversal de 400 mm². 
Uma haste de aço de 10 mm de diâmetro está acoplada a um 
colar rígido que passa através do tubo. Se for aplicada uma 
carga de tração de 80 kN à haste, qual será o deslocamento 
da extremidade C? Considere: Eaço= 200 GPa e Eal= 70 GPa.
Deformação Elástica
11
Exemplo 2:
Força interna: desenhar diagrama de corpo livre 
Deslocamento: Definir entre quais extremidades
•Extremidade C em relação à extremidade B (haste)
δ C /B=
P L
A E
= +80⋅10
3N⋅0 ,6m
π⋅(0 ,005m)2⋅200⋅109N /m ²
δ C /B=+0 ,003056m→
Deformação Elástica
12
Exemplo 2:
Deslocamento: Definir entre quais extremidades
•Extremidade B em relação à extremidade A (tubo)
Deslocamento resultante: 
δ B / A=
P L
A E
= −80⋅10
3N⋅0 ,4m
(400mm2⋅(10−6)m ² /mm ²)⋅70⋅109N /m ²
δ B / A=−0 ,001143m→
δ C=δ B / A+δ C /B=0 ,001143+0 ,003056m=0 ,00420m=4 ,20mm→
Deformação Elástica
13
Exemplo 3: Uma viga rígida AB apoia-se sobre dois pilares 
curtos, como mostrado abaixo. AC é feito de aço e tem 
diâmetro de 20 mm; BD é feito de alumínio e tem diâmetro de 
40 mm. Determine o deslocamento do ponto F em AB se for 
aplicada uma carga vertical de 90 kN nesse ponto. Considere: 
Eaço= 200 GPa e Eal= 70 GPa.
Deformação Elástica
14
Exemplo 3: 
Força interna: Determinar as forças internas por meio das 
equações de equilíbrio
∑ F y=0 RAC+RBD=90 kN
∑ M A=0 +RBD⋅0 ,6m−90⋅0 ,2m=0
RBD=30 kNRAC=60 kN
Deformação Elástica
15
Exemplo 3: 
Deslocamento:
 
•Poste AC
δ A=
PAC LAC
A AC Eaço
= −60⋅10
3N⋅0 ,3m
π (0 ,010m)2⋅200⋅109N /m ²
δ A=0 ,286mm↓
δ A=−286(10
−6)m↓
Deformação Elástica
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Exemplo 3: 
Deslocamento:
 
•Poste BD
δ B=
PBD LBD
ABD Eal
= −30⋅10
3N⋅0 ,3m
π (0 ,020m)2⋅70⋅109N /m ²
δ A=0 ,102mm↓
δ A=−102(10
−6)m↓
Deformação Elástica
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Exemplo 3: 
Deslocamento:
 
•Ponto F
δ F=0 ,102mm+0 ,184⋅(
400mm
600mm
) δ F=0 ,225mm↓
δ F '
400mm
= 0 ,184mm
600mm
Princípio da Superposição
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O princípio da superposição é geralmente usado para determinar 
a tensão ou deslocamento em determinado ponto do elemento 
quanto este está sujeito a carregamento complexo ou possui mais 
restrições que o mínimo necessário (estaticamente 
indeterminada). 
Condições para que o princípio da superposição seja válido:
•A carga deve ser linearmente relacionada à tensão ou ao 
deslocamento a determinar;
•A carga não deve mudar significativamente a geometria ou a a 
configuração original do elemento (pequenos dos 
deslocamentos).
Princípio da Superposição
19
Observamos que uma estrutura é estaticamente indeterminada sempre 
que ela é vinculada por mais suportes do que aqueles necessários para 
manter seu equilíbrio. Isso resulta em mais reações desconhecidas do que 
equações de equilíbrio disponíveis. Muitas vezes é conveniente designar 
uma das reações como redundante e eliminar o suporte correspondente. 
Como as condições estabelecidas no problema não podem ser alteradas 
arbitrariamente, a reação redundante deve ser mantida na solução. 
Contudo, ela será tratada como uma força desconhecida que, juntamente 
com outras forças, deve produzir deformações compatíveis com as 
restrições originais. A solução real do problema é obtida considerando-se 
separadamente as deformações provocadas pelas forças e pela reação 
redundante e somando ou superpondo os resultados obtidos.
Princípio da Superposição
20
Diz-se que uma estrutura é estaticamente indeterminada 
quando as equações de equilíbrio não são suficientes para 
determinar as reações.
δ A /B=0
+↑∑ F=0
F A+FB−P=0
Condições de equilíbrio:
Condições de compatibilidade 
ou cinemática:
Princípio da Superposição
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Diz-se que uma estrutura é estaticamente indeterminada 
quando as equações de equilíbrio não são suficientes para 
determinar as reações.
δ= PL
EA
Relação carga-deslocamento:
F A LAC
EA
−
FB LCB
EA
=0
F A=
FB LCB
LAC
Princípio da Superposição
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Diz-se que uma estrutura é estaticamente indeterminada 
quando as equações de equilíbrio não são suficientes para 
determinar as reações.
Relação carga-deslocamento:
(
FB LCB
LAC
)+FB=P
F A+FB−P=0
[
FB(L−L AC)
L AC
]+FB=P
FB(
L
LAC
−
LAC
LAC
)+FB=P
Princípio da Superposição
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Diz-se que uma estrutura é estaticamente indeterminada 
quando as equações de equilíbrio não são suficientes para 
determinar as reações.
Relação carga-deslocamento:
FB
L
LAC
−FB+FB=P
FB=P
LAC
L
F A=P
LCB
L
Princípio da Superposição
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Exemplo 4: A haste de aço mostrada abaixo tem diâmetro de 
5 mm. É presa à perda fixa em A e, antes de ser carregada, 
mantém uma folga de 1 mm em relação à parede B’. 
Determinar as reações em A e B’ se a haste for submetida a 
uma força axial P = 20 kN como mostrado. Desprezar o 
tamanho do acoplamento C e considerar que Eaço= 200 GPa. 
Princípio da Superposição
25
Exemplo 4: 
Condições de equilíbrio
Condições de compatibilidade
+→∑ F=0 −F A−FB+20⋅103 N=0
δ B / A=0 ,001m
δ B / A=0 ,001m=
F A LAC
EA
−
FB LCB
EA
0 ,001m=
FA 0 ,4m
π (0 ,0025m)2200(109)N /m ²
−
FB0 ,8m
π (0 ,0025m)2200(109)N /m ²
Princípio da Superposição
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Exemplo 4: 
Condições de compatibilidade
F A 0 ,4m−FB0 ,8m=3927N⋅m
F A=16 ,6 kN
FB=3 ,39 kN
Princípio da Superposição
27
Exemplo 4: As três barras de aço A-36 são acopladas a um 
elemento rígido por pinos. Supondo que a carga aplicada ao 
elemento seja de 15 kN, determinara força desenvolvida em 
cada barra. Cada uma das barras AB e EF tem área da seção 
transversal de 25 mm², e a barra CD tem área de seção 
transversal de 15 mm².
Princípio da Superposição
28
Exemplo 4:
 Condições de equilíbrio: 
+↑∑ F y=0 +F A+FC+FE=15kN
∑ MC=0 −F A(0 ,4m)+15kN (0 ,2m)+FE(0 ,4m)=0
−0 ,4 F A+0 ,4 FE=−3
Princípio da Superposição
29
Exemplo 4:
 Condições de compatibilidade: 
δ A−δ E
0 ,8m
=
δC−δ E
0 ,4m δ C=
1
2
δ A+
1
2
δ E
FC L
15mm2⋅Eaço
=1
2
FA L
25mm2⋅Eaço
+ 1
2
FE L
25mm2⋅Eaço
Princípio da Superposição
30
Exemplo 4:
 Condições de compatibilidade: 
F A=9 ,52kN
FC=3 ,46kN
FE=2 ,02kN
FC=0 ,3F A+0 ,3 FE
+F A+FB+FE=15 kN
−0 ,4 F A+0 ,4 FE=−3
Tensão Térmica
31
Um corpo quando submetido a uma variação de temperatura ΔT, 
tende a ter suas dimensões alteradas. Assim, quando se eleva a 
temperatura do corpo, ele se dilata e quando se abaixa a 
temperatura do corpo, ele se contrai. 
Uma barra de comprimento inicial Lo, quando não está presa em 
suas extremidades terá seu comprimento aumentado 
proporcionalmente à elevação de sua temperatura, e também 
proporcional em relação a seu comprimento inicial Lo. 
ΔT = 0 ΔT > 0 +
Tensão Térmica
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Um corpo quando submetido a uma variação de temperatura ΔT, 
tende a ter suas dimensões alteradas. Assim, quando se eleva a 
temperatura do corpo, ele se dilata e quando se abaixa a 
temperatura do corpo, ele se contrai. 
Uma barra de comprimento inicial Lo, quando não está presa em 
suas extremidades terá seu comprimento aumentado 
proporcionalmente à elevação de sua temperatura, e também 
proporcional em relação a seu comprimento inicial Lo. 
δ T=α Δ TL
ε T=α ΔT
α = coeficiente linear de dilatação térmica (unidade: 1/°C, 1/°F)
ΔT = variação de temperatura (unidade: °C, °F)
L = comprimento original do elemento (unidade: m, cm, mm)
δT = variação de comprimento do elemento (unid.: m, cm, mm)
εT = deformação específica térmica (unidade: mm/mm, m/m)
Tensão Térmica
33
Supondo que a mesma barra de comprimento L é colocada 
entre dois apoios fixos a uma distância L um do outro. 
Novamente, não há tensão nem deformação nesta condição 
inicial. Se aumentarmos a temperatura em ΔT, a barra não 
poderá se alongar em razão das restrições impostas nas suas 
extremidades; a deformação δT da barra será, então, zero. 
ΔT = 0 ΔT > 0 +
Tensão Térmica
34
 A deformação específica εT em qualquer ponto será também zero. No 
entanto, os apoios exercerão forças iguais e opostas na barra, após a 
elevação da temperatura, para impedir sua deformação. Concluímos, 
então, que é criado um estado de tensão (sem a deformação específica 
correspondente) na barra.
δ T=α Δ TL δ P=
PL
EA
δ=δ T+δ P
δ=α (ΔT )L+ PL
EA
=0
P=−EAα (ΔT )
σ T=
P
A
=−Eα (ΔT )
Tensão Térmica
35
Exemplo 5: A barra rígida abaixo está presa no topo de três postes feitos 
de aço A-36 e alumínio 2014-T6. Cada poste tem comprimento de 250 mm 
quando não há carga aplicada sobre a barra e a temperatura é T1 = 20°C. 
Determine a força suportada em cada poste se a barra estiver submetida a 
uma carga uniformemente distribuída de 150 kN/m e a temperatura for 
aumentada para T2 = 80°C. Considere Eaço = 200 GPa e Eal = 73,1 GPa.
Tensão Térmica
36
Exemplo 5:
Condições de equilíbrio: 
+↑∑ F y=0 +2F aço+F al−150kN /m⋅0 ,6m=0
+2F aço+F al=90 kN
Tensão Térmica
37
Exemplo 5:
Condições de compatibilidade: 
+↑δ aço=δ al
+↑δ aço=(δ aço)T−(δ aço)F
+↑δ al=(δ al)T−(δ al)F
(δ aço)T−(δ aço)F=(δ al)T−(δ al)F
α açoΔT L−
F aço L
Eaço Aaço
=α alΔT L−
F al L
Eal Aal
Tensão Térmica
38
Exemplo 5:
Condições de compatibilidade: 
α açoΔT L−
F aço L
Eaço Aaço
=α alΔT L−
F al L
Eal Aal
(12⋅10−6/°C)(80−20)°C (0 ,25m)−
Faço0 ,25m
(200109N /m ²)π (0 ,02m)²
=(23⋅10−6/°C)(80−20)°C (0 ,25m)−
Fal 0 ,25m
(73 ,1109N /m ²)π (0 ,03m)²
F aço=1 ,216 Fal−165 ,8⋅10
3
F aço=−16 ,46 kN (↓)
F al=122 ,92kN (↑)
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