Torção

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----TorçãoTorçãoTorçãoTorção
Prof. Dr. Prof. Dr. Prof. Dr. Prof. Dr. Carlos Carlos Carlos Carlos TriveñoTriveñoTriveñoTriveño RiosRiosRiosRios
carlos.triveno@ufabc.edu.brcarlos.triveno@ufabc.edu.brcarlos.triveno@ufabc.edu.brcarlos.triveno@ufabc.edu.br
Universidade Federal do ABCUniversidade Federal do ABCUniversidade Federal do ABCUniversidade Federal do ABC
DefiniçãoDefiniçãoDefiniçãoDefinição:::: TorçãoTorçãoTorçãoTorção sesesese refererefererefererefere aoaoaoao girogirogirogiro dededede
umaumaumauma barrabarrabarrabarra retilínearetilínearetilínearetilínea quandoquandoquandoquando submetidasubmetidasubmetidasubmetida
aaaa umumumum momentomomentomomentomomento torçortorçortorçortorçor ((((ouououou torque)torque)torque)torque)
�IssoIssoIssoIsso tendetendetendetende aaaa produzirproduzirproduzirproduzir umaumaumauma rotaçãorotaçãorotaçãorotação
sobresobresobresobre oooo eixoeixoeixoeixo longitudinallongitudinallongitudinallongitudinal dadadada barra,barra,barra,barra,
�OuOuOuOu,,,, aaaa solicitaçãosolicitaçãosolicitaçãosolicitação tendetendetendetende aaaa girargirargirargirar umaumaumauma
secçãosecçãosecçãosecção transversaltransversaltransversaltransversal emememem relaçãorelaçãorelaçãorelação àsàsàsàs
outrasoutrasoutrasoutras nananana peçapeçapeçapeça....
Torção Antes da deformaçãoAntes da deformaçãoAntes da deformaçãoAntes da deformação
Depois da deformaçãoDepois da deformaçãoDepois da deformaçãoDepois da deformação
-Torção, também se refere à
deformação helicoidal que sofre um
corpo quando se lhe aplica um par de
forças (Sistemas de forças paralelas de
igual magnitude e de sentido contrário).
����Esforços de torção estão presentes em:
-motores de arranque,
-turbinas aeronáuticas,
-rotores de máquinas pesadas,
-cortadores de grama,
-liquidificadores,
-serras circulares, brocas, eixos,
-virabrequim polias, molas helicoidais,
eixos de máquinas, etc..
Eixo com Eixo com Eixo com Eixo com 
Falha Falha Falha Falha DúctilDúctilDúctilDúctil
TorçãoTorçãoTorçãoTorção
-É um esforço não muito popular, porem muito importante para a industria.
-Observado em elementos estruturais (eixos) que operam sob esforços de tensão de
cisalhamento ou transmitem torque desde um plano para outro quando expostos a
movimentos rotacionais.
����Quando esses produtos quebram é porque não resistiram ao esforço de torção seja
sob esforços elásticos ou plásticos.
Eixo com 
Falha Frágil
-A turbina-vapor 
aplica um torque, T
no eixo. O eixo
transmite o torque 
ao gerador para 
criar um torque, T´, 
igual e oposto no 
eixo. 
����A quantidade de 
voltas de um 
extremo em relação 
ao outro extremo 
pode ser uma 
medida de torção.
Momento Momento Momento Momento TorsorTorsorTorsorTorsor
Resultante de forças internas , FR, e de momentos , M, que 
atuam sobre a seção do DCL
-Torque ( T) é um momento 
torsor (Mt) que tende a torcer 
ou rotar um elemento em 
torno do seu próprio eixo 
longitudinal de uma peça 
retilínea 
Convenção de Sinal: -T(+) � quando a seta sai da seção de referência (regra da mão)
-T(-) � quando a seta entra na seção de referência.
Torção Pura
-Ocorre em peças que apresentam seção transversal idêntica ao longo do
seu eixo longitudinal e estão sujeitas ao mesmo torque (torque interno).
-As deduções de torção pura aplicam-se a barras
prismáticas com seção transversal circular (cheia
ou vazada )
-Os materiais das barras obedecem a lei de Hooke.
-As seções transversais das barras torcidas
permanecem inalteradas ao longo do seu eixo
longitudinal , ou seja , todas as seções transversais
planas e circulares e todos os raios permanecem
retos.
-O ângulo de torção, φφφφ, na Seção Transversal e o
ângulo de deformação, γγγγ, ao longo do eixo da
barra são pequenas � O comprimento e o raio da
seção transversal da peça não variam.
-As formulações das tensões são validas, apenas,
para seções transversais distantes de
concentradores de tensão.
HipóteseHipóteseHipóteseHipótese adotadasadotadasadotadasadotadas nananana teoriateoriateoriateoria dededede torçãotorçãotorçãotorção purapurapurapura:
γγγγ
φφφφ
Deformação de Cisalhamento em Barras Circulares – Na região Elástica
Lei de Hooke ���� ττττ = Gγγγγ
����Dedução da Deformação de Cisalhamento ou de corte , γγγγ.
Para pequenos valores do arco AA, temos que:
AA´ = L.γ
AA´ = c.φ
L.γγγγ = c.φφφφ
-γγγγ é proporcional ao ângulo de torção, φφφφ.
-γγγγ é proporcional à distancia c, até o ponto em estudo.
A equação indica :
�A deformação de cisalhamento, γγγγ, na barra circular
varia linearmente com o comprimento do eixo da barra.
máxR
r γγ =
�Conclui-se, que a deformação de cisalhamento, γγγγ:
i) é máxima na superfície (γγγγmax) do eixo, quando: ρρρρ = c.
ii) é zero no centro da barra, quando: ρρρρ = 0.
L
cφγ .=
Raio (desde centro), em m.
Ângulo de torção, 
radianos
comprimento do CP, em m. 
c
AA
L
AA
'
'
.
)tan(
.
)tan(
==
==
φφ
γγ
 maxγ
ργ
c
=
ρ = r = raio que cresce desde 0 a R; c = R = raio final da ST da barra
Ou;
c ���� r; raio na STL
�Conclui-se, que a tensão de cisalhamento, ττττ, é máxima quando; ρρρρ = c;
maxτ
ρτ
c
=
ρρρρ ����c r ����R
Momento Polar de Inércia – J
�Se define o momento polar de inércia em relação a um polo O.
-O momento polar de inércia é dado por:
∫=
A
dAJ 2ρ [L]4;; m4
O x
y
dA
y
x
ρ
�É uma características geométrica de superfície plana.
São denominados momentos de inércia retangulares uma vez que são calculados a
partir de coordenadas retangulares de um elemento dA.
�Assim, o momento Polar de Inércia é dado pela
soma dos momentos de inércia de área dos dois eixos
perpendiculares, centrados no ponto de referência.
�Consideração o teorema de Pitágoras , no pólo: ρρρρ2 = x2 + y2;
∫ ∫∫ +=+=
A AA
dAydAxdAyxJ 22 22 )(
yx IIJ +=
NotaNotaNotaNota: 
�O momento polar de inércia é uma medida da capacidade de um objeto de resistir
a torção, aplicado a eixos.
Tensões e Torque em Barras de Seção Circular 
�Barra circular de comprimento AB submetida em A e B a
torques iguais e opostos T e T´.
�Fazendo um corte transversal no plano C.
-Forças elementares de cisalhamento interno:
� dF = ττττ dA � 1)
-Agem como torques internos,
dT = ρρρρ.dF � 2)
∫= dFT ρ ∫= )( dAT τρ����Subst. 1 em 2:
����Assim, a soma dos torques internos na ST é igual e
oposto ao torque externo aplicado.
-Como a tensão de cisalhamento, ττττ, varia
desde o eixo axial da barra (ττττ = 0) até
tensões máximas, ττττmax, na superfície
externa, c, da barra (há distrib. de ττττ).
maxτ
ρτ
c
= � 4)
� 3)
J T 
c
dA
c
dA
c
dAT max2maxmax ;
τρττρρρτ ===




== ∫∫∫
�Subst. 4 em 3, e integrando:
�Eq. conhecida como Eq. Generalizada de Torção Elástica.
Eixo axial 
da barra
J = Momento polar de Inércia 
ρ = raio crescente
; ττττ = F/A 
�A tensão máxima de cisalhamento 
é na superfície externa da ST. J
Tc=maxτ Onde; ττττ = 0; Quando; c = r = 0 
324
222
44
0
3
0
2 DrdrrrdrrJ
RR ππππ ==== ∫∫
)(
32
4
2
4
1 DDJ −=
π
D2 D1
D
)(
.16
)(
32
)
2
(
4
2
4
1
1
4
2
4
1
1
DD
DT
DD
D
T
máx −
=
−
=
ππ
τ
Relação entre Tensão Máxima de Cisalhamento, ττττ, 
e Momento Polar de Inércia, J.
D1 ���� Diâmetro externo
D2 ���� Diâmetro Interno
34 .
.16
32
)
2
(
D
T
D
D
T
máx ππ
τ =






=
)(
2
44 rRJ −= π
D ���� Diâmetro externo
r ���� R: raio da seção transversal
����Momento Polar de Inércia, J, 
para Barras Sólidas: (2) e (3) substituindo em (1):
����tensão máxima cisalhamento , ττττmax
Ou;
ondeondeondeonde: 
ρρρρ = raio que cresce
c=c=c=c=r =D/2r =D/2r =D/2r =D/2 = = = = raio na superf. externaraio na superf. externaraio na superf. externaraio na superf. externaJ
Tr
J
T →= ρτmax (1) (2)
(3)
����Tensão máxima cisalhamento , ττττmax
����Eq. generalizada:Eq. generalizada:Eq. generalizada:Eq. generalizada:
����Momento Polar de Inércia, J, 
para Barras vazadas (tubos):
Torção em Eixos Não UniformesTorção em Eixos Não UniformesTorção em Eixos Não UniformesTorção em Eixos Não Uniformes
�Se a carga de torção, ou, o diâmetro da seção transversalmuda ao longo do
comprimento de uma barra prismática o Toque total será a soma algébrica de
todos os torques produzidos em cada segmento.
����Análise da Condição de Equilíbrio da Figura do lado:
����Torque para o segmento CD:
����Torque para o segmento BC:
����Torque para o segmento AB
∑ = ;0T T1 + T2 – T3 + T4 = 0
-Aplicando a seção de corte: 
TAB = ?
TBC = ?
TCD = ?
Tensões Normais e de Cisalhamento em Barras
����Elementos com faces //s e ⊥⊥⊥⊥s ao eixo
longitudinal, xx , estão sujeitas apenas
a tensões de cisalhamento, ττττ.
����Para outras orientações, podem
surgir tensões normais ou combinação
de tensões de cisalhamento com
tensões normais
�Nota:Todas as tensões para os elementos; a e c tem a mesma magnitude.
�Ex.; considerando um elemento em 45º com
o eixo longitudinal, xx, da barra, temos:
xxxx xxxx
xxxx xxxx
4545
45
SenFVCosFF o . ;. ==
σσ
2
1
2
1
2
1
45/
45.
2
45
45
45
==




===
ooo A
F
A
F
CosA
CosF
A
F
o
στ
2
1
2
1
2
1
45.45
45/
45.
45
max =====
ooo A
F
CosSen
A
F
CosA
SenF
A
V
max45 τσ =
����O elemento a esta sujeito a cisalhamento puro.
�O elemento c esta sujeito a tensões normais de
tração em 2 faces e de compressão nas outras 2 faces
����Tensões máximas geradas
VVVV
FFFF
Falha de torção
(Material dúctil )
Falha de torção
(Material frágil )
Formas de Falha em Torção
Em torção:
-�Materiais dúcteis normalmente
sofrem falha por tensões de corte
(de máximo cisalhamento).
�O plano de falha é perpendicular
ao eixo da barra � a fratura ocorre
de forma plana.
�Materiais frágeis são menos
resistentes a tensões de tração que
em cisalhamento.
�A falha ocorre ao longo de planos
cuja direção normal coincide com a
máxima tensão que é ao longo de
superfícies em 45º ao eixo da barra
� a fratura ocorre de forma
helicoidal.
Ex. 1; O dispositivo consiste de dois tubos de aço
galvanizado unidos por um acoplamento redutor em
B. O tubo mais pequeno tem um diâmetro externo de
0,75 pol e um diâmetro interno de 0,68 pol. E o tubo
maior tem um diâmetro externo de 1,0 pol. e interno
de 0,86 pol. Se a tubulação é fixado em C, determine
a tensão de cisalhamento máxima desenvolvida em
cada seção dos tubos quando se aplica um par de
forças, como mostrado na figura.
Tubo AB: de = 0,75; re = 0,375 ���� di = 0,68; ri = 0,34 (pol)
Tubo BC: de = 1,0; re = 0,5 ���� di = 0,86; ri = 0,43 (pol) 
ττττmax-AB = ? E ; ττττmax-CD = ?
Dados:
ττττmax-AB = 7,82 ksi
ττττmax-BC = 2,36 ksi
-Análise do momento torsor máximo: Tmax pelo par de forças.
-Análise de momento polar de inércia: J = ππππ.(re4- ri4)/2
-Análise de ττττmax = T.c/J, em cada segmento. 
Solução:
Ex. 2; O motor libera um torque de 50N.m para o eixo
AB. Esse torque é transmitido para o eixo CD usando
uma engrenagens em E e F. Determine o torque de
equilíbrio T´ sobre o eixo CD e a tensão de
cisalhamento máximo em cada eixo. Os B, C e D são
de apoio e permitem livre rotação dos eixos.
Tubo AB: d = 0,03; r = 0,015 (m); rEeng = 0,05m���� TM-A = 50N.m
Tubo CD: d = 0,035; r = 0,0175 (m); rFeng = 0,125m ���� T´ = ?
ττττmax-AB = ? E ; ττττmax-CD = ?
Dados:
-Análise de momento de equilíbrio em E e F.
-Análise de momento polar de inércia
-Análise de tensão de cisalhamento em cada segmento. 
Solução:
T´= 15 N.m 
ττττmax-AB = 9,43 MPa
ττττmax-CD = 14,8 MPai
Ex.3; O eixo da seção circular BC é vazado com
diâmetros interno e externo de 90 mm e 120 mm,
respectivamente. Os eixos da seção circular AB e CD
são cheios e tem diâmetro d. Para o carregamento
mostrado na figura determine,
a) as tensões máxima e mínima no eixo BC,
b) o diâmetro d para os eixos AB e CD se a tensão de
cisalhamento admissível nesses eixos for de 65 MPa.
Dados:
DBC-e = 120 mm; DBC-i = 90 mm � ττττmax= ?; e, ττττmin= ?
���� ττττAdmi= 65 MPaDAB = DCD = d = ?
2) Calcular tensão de cisalhamento Maximo e
mínimo no Segmento BC; ττττBC = ?
3) Calcular o diâmetro, d, no segmento AB
1) Análise de Torques em Segmentos AB e BC.
Solução: 
ττττmax-BC=86,3 MPa; 
ττττmin-BC=64,7 MPa; d = 77,9 mm
Relações Elástica Linear para Barras de Seção Circu lar 
Para Materiais Elásticos:
 
G
τγ =
G = modulo de cisalhamento elástico,
γ = deformação de cisalhamento
-Desde Equações de deformação de 
cisalhamento: L
rφγ =
(1)
(2)
Relação entre tensão e deformação de cisalhamento e momento de torção;
-Desde a Eq. generalizada de Torção:
J
Tr
J
T == ρτ (3)
���� (2) e (3) em (1): 
 ; 
G
JTr
L
r )/(=φ 
GJ
TL=φ ���� Ângulo Total de Torção
���� Ângulo de Torção por unidade de comprimento : 
L
φθ =
���� Ângulo de Rigidez Torcional: 
L
GJ
kT =
: (ρρρρ = r = c)
-Desde a Lei de Hooke:
Torção em Eixos Não UniformesTorção em Eixos Não UniformesTorção em Eixos Não UniformesTorção em Eixos Não Uniformes
�Se a carga de torção, ou, o diâmetro da seção transversal muda ao longo
do comprimento de uma barra prismática o ângulo de torção e o torque é
constante através de cada segmento.
����O ângulo de torção total é a soma de todos os segmentos de rotação.
i
ii
i J
rT .=τ
ii
ii
i JG
LT .=φ
∑=
ii
ii
i JG
LT .φ
����Tensão de cisalhamento de cada segmento;
����ângulo de torção de cada segmento;
����ângulo de torção Total;
∑=
i
ii
i J
rT .τ
Eixos Estaticamente IndeterminadosEixos Estaticamente IndeterminadosEixos Estaticamente IndeterminadosEixos Estaticamente Indeterminados
�A soluçãosoluçãosoluçãosolução implicaimplicaimplicaimplica dividir a barra em dois
componentes que devem ter deformaçõesdeformaçõesdeformaçõesdeformações
compatíveiscompatíveiscompatíveiscompatíveis (superposiçãosuperposiçãosuperposiçãosuperposição dededede componentescomponentescomponentescomponentes)
�Dadas as dimensõesdimensõesdimensõesdimensões dadadada barrabarrabarrabarra e o torquetorquetorquetorque
aplicado, devemos encontrarencontrarencontrarencontrar asasasas reaçõesreaçõesreaçõesreações dededede
torquetorquetorquetorque em AAAA eeee BBBB.
-Desde o DCLDCLDCLDCL o equilíbrio da barra;
-A equação não é suficiente para encontrar
os torques (2222 incógnitasincógnitasincógnitasincógnitas). Assim, o
problema é estaticamenteestaticamenteestaticamenteestaticamente indeterminadoindeterminadoindeterminadoindeterminado.
�Substituir (2) na equação (1) de equilíbrio;
(1)
(2)
BABAT φφφφφ =⇒=+= 0
Ex.5; A figura (a) mostra um cilindro de aço sólido de 2
pol. de diâmetro que é fixado no suporte C, e é
submetido aos torques TA e TB.
a) Determine as tensões de cisalhamento máximas nos
segmentos AB e BC do cilindro; e,
b) calcular o ângulo de rotação do extremo A.
Use Gaço =12x106 psi.
b) Calcular a tensão de cisalhamento
máximo em cada segmento; AB e BC:
c) O ângulo de rotação do extremo A do
cilindro é obtido por adição das
rotações dos 2 segmentos:
a) Análise de Torques no DCL pelas Eqs.
de Estática; na Estrutura e nos Segmentos:
4
32
DJ
π=
J
Tr=τ
JG
TL=φ
ΣΣΣΣT = 0
Solução: 
CBBA // φφφ +=
ττττAB= 6879 lb/pol2; ττττAC= 3822 lb/pol2; φφφφ = 2,63o
TC = ?
TAB = ?
TBC = ?
a1) 
a2) 
a3) 
Ex.6; a) Qual é o momento torsor, Mt, que deverá ser aplicado à extremidade do eixo de 1,5
m de comprimento e diâmetro interno e externo, respectivamente, iguais a 40 mm e 60 mm,
para produzir um ângulo de torção, φ, de 2º?. b) qual o ângulo de torção, φφφφ, que criará uma
tensão de cisalhamento, τ, de 70MPa na superfície interna do eixo vazado de aço. Utilize;
G=77GPa para o modulo de elasticidade transversal do aço.
G = 77 GPa
JG
TL
JG
LM t == .φ
Dados:
a) Momento torsor , Mt =T= ?
b) Ângulo de torção, φφφφ = ?
60
 m
m
40
 m
m
1,5 m
L = 1,5 m ; Di = 40 mm ; De = 60 mm
ττττmin = 70 MPa � na Superf. Interna é mínimo .
)(
32
44
ie DDJ −=
π
φ= 2º 
T = 1,83 kN.m; φφφφ = 3,91o
L
rφγ =;minmin G
τγ =
Ex.7; Um conjunto estrutural consiste de um nucleo de aço
(G=80GPa) conectado por placas rígidas no extremos a um
tubo de alumínio (G=28GPa), tal como mostrado na figura. As
dimensões da seção transversal também são mostradas na
figura do lado. Se um torquede T = 1100 N.m é aplicado ao
conjunto, determine:
a) a máxima tensão de cisalhamento no tubo de alumínio (1) e
no nucleo de aço (2), e,
b) o ângulo de rotação do extremo B em relação ao extremo A.
Usar GAço = 80 Gpa, e, GAl = 28 Gpa.
Solução: Solução: Solução: Solução: 
a. a. a. a. Condições de Equilíbrio: Condições de Equilíbrio: Condições de Equilíbrio: Condições de Equilíbrio: ∑∑∑∑Mx=0Mx=0Mx=0Mx=0
b. b. b. b. Condições de compatibilidade; Condições de compatibilidade; Condições de compatibilidade; Condições de compatibilidade; 
o ângulo de torção; ; ; ; φφφφAlAlAlAl----1111 ==== φφφφaçoaçoaçoaço----2222
1) 1) 1) 1) Tensão de cisalhamento máxima para Al e Aço; Tensão de cisalhamento máxima para Al e Aço; Tensão de cisalhamento máxima para Al e Aço; Tensão de cisalhamento máxima para Al e Aço; 
2) 2) 2) 2) Ângulo de torção de B em relação a Ângulo de torção de B em relação a Ângulo de torção de B em relação a Ângulo de torção de B em relação a AAAA; φφφφAlAlAlAl = = = = φφφφaçoaçoaçoaço = = = = φφφφ
���� Calcular; Calcular; Calcular; Calcular; TTTTAlAlAlAl = ? ; = ? ; = ? ; = ? ; TTTTAçoAçoAçoAço = ?= ?= ?= ?
DCLDCLDCLDCL
bbbb
aaaa
Torção de Membros NãoTorção de Membros NãoTorção de Membros NãoTorção de Membros Não----CircularesCircularesCircularesCirculares
Coeficientes para barras 
retangulares 
�AsAsAsAs equaçõesequaçõesequaçõesequações jájájájá observadas,observadas,observadas,observadas, sãosãosãosão
validasvalidasvalidasvalidas paraparaparapara eixoseixoseixoseixos circularescircularescircularescirculares ouououou
assimétricoassimétricoassimétricoassimétrico....
�Em eixoseixoseixoseixos nãonãonãonão circularescircularescircularescirculares após aplicar
um torque, a seção transversal não
permanece plana e a distribuição de
tensão como a deformação variam de
forma nãonãonãonão----linearlinearlinearlinear.
�Equações para seções transversais
retangulares não uniformes;
�Para grandes diferenças de valores
de a/b, a máxima tensão de
cisalhamento e o ângulo de torção
(como de seções abertas) serãoserãoserãoserão asasasas
mesmasmesmasmesmasmesmas comocomocomocomo dededede barrasbarrasbarrasbarras retangularesretangularesretangularesretangulares.
Transmissão de Potencia por Eixos Circulares 
Projeto de Eixos de Transmissão
����As principais especificações em
projeto de eixos de transmissão são:
�O projetista deve: selecionar o material do eixo e calcular as dimensões da ST do eixo.
�De forma a que as tensões de cisalhamento máximas admissíveis do material não
sejam ultrapassadas para atender as especificações de desempenho do projeto.
�A potencia no qual o trabalho é executado é igual a:
�O calculo da secção transversal
do eixo não deve exceder a tensão de
cisalhamento máxima permitida;
-potencia a ser transmitida
-velocidade de rotação do eixo
����Para Eixos Sólidos
����Para Eixos Vazados:
f = freqüência de rotação = no de revoluções/s � Hertz
ω = velocidade angular (rad/s); P � N..m/s = watts (w)
Adm
T
c
πτ
23 =
2/4c
Tc
Adm π
τ =
fTTP πω 2==
�O uso mais principal de eixos circulares é transmitir potencia mecânica desde um
dispositivo ou maquina a outra.
�O torque, T, aplicado ao eixo com a potência, P,
e velocidade angular, w, especificada;
max
)(
πτ
T
c
cc 2
2
4
1
4
2 =−
�Geralmente, os torques aplicados ao
eixo é porporporpor acoplamentosacoplamentosacoplamentosacoplamentos comcomcomcom flangeflangeflangeflange,
ou, porporporpor engrenagensengrenagensengrenagensengrenagens unidasunidasunidasunidas aoaoaoao eixoeixoeixoeixo porporporpor
chavetaschavetaschavetaschavetas que se encaixam em rasgos.
etc..
�Assim,Assim,Assim,Assim, o fator concentrador de tensão,
KKKK, na vizinhança das descontinuidades
pode ser determinado experimental ou
numericamente ou através de gráficos.
�A tensão próximo a concentradores de
tensãotensãotensãotensão éééé maximizadamaximizadamaximizadamaximizada, dada por:
Concentradores de TensãoConcentradores de TensãoConcentradores de TensãoConcentradores de Tensão
Flanges Rasgo
�PróximoPróximoPróximoPróximo aaaa essasessasessasessas descontinuidadesdescontinuidadesdescontinuidadesdescontinuidades a
distribuição de tensão por torques
aplicados será bastante alta, diferente
daquela dada pela equação de torção.
� Não validaNão validaNão validaNão valida
Ex.8; A barra de madeira consiste em dois segmentos, cada
um com comprimento L. Um segmento tem uma seção
transversal quadrada de largura d. A seção transversal do
outro segmento é um círculo de diâmetro d. A tensão de
trabalho para a madeira é de τw = 5 MPa e o módulo de
cisalhamento, G = 0.5 GPa. Usando L = 0.6 m, e, d = 50 mm.
Determine;
(1) o maior torque T que pode ser aplicado com segurança;
(2) o ângulo de torção correspondente para a barra.
Dados:
1) Calcular o maior torque para a ST circular e ST quadrado; 
-Para eixo maciço:, 
L = 0.6 m, d = 50 mm, τw = 5 MPa; T = ? θ = ?
���� a = b = d ; ττττw = ττττmax ; c1 = 0,208 ; c2 = 0,14 
ττττw = T.r/J = T((d/2)/(ππππd4/32) = 16T/ππππd3
2) ângulo de torção, θθθθ, da barra é obtida por adição dos 2 segmentos;
Ex. 9. O motor libera uma potencia de15 hp à polia
em A, o que permite um giro a uma velocidade
constante de 1800 rpm. Determine o diâmetro
mais pequeno do eixo BC , se a tensão de
cisalhamento admissível para o aço é τAdm = 12 ksi.
Assumir que o cinto não escorrega na polia.
1) Para o sistema de polias e correias; VA = VC ���� wA rA = wBC.rC; determinar wBC
Solução:
τAdm = 12 ksi = 12 klb/pol2
P = 15 hp
wA = 1800rev/min
dBC = ?
2) Determinar o Torque: T = P/wBC
3) Determinar o diâmetro, dAC:
1rev = 2π rad
1 min = 60s 
1hp = 550 lib-pé/s
).(max 42 c
Tc
Adm π
ττ ==
Ex.10. Um eixo de transmissão AB de um
automóvel é feito de aço tendo uma tensão
de cisalhamento admissível de 8 ksi. Se o
diâmetro externo do eixo é de 2,5 pol e o
motor libera uma potencia de 200 hp ao eixo
quando ele gira em 1140 rev/min, determine
a espessura mínima necessária da parede
do eixo.
τAdm = 8 ksi = 8000 lb/pol2
P = 200 hp
w = 1140rev/min
Raio externo; ce = 2,5/2 pol = 1,25 pol
1) Determinar o Torque: T = P/w
2) Determinar o raio interno:
Solução:
eespessura = ?
3) Determinar a espessura; e = cex - cin
1rev = 2π rad
1 min = 60s 
1hp = 550 lib-pé/s
Ex.11. O eixo escalonado da figura é suportado
por rolamentos em A e B. Determinar a tensão
máxima no eixo devido a torques aplicados. O
filete de junção (raio de concordância) dos dois
eixos de diferente diâmetro tem um raio r = 6 mm.
Solução:.
� O concentrador de tensões se localiza na 
raiz do eixo de menor diâmetro � T = 30N.m 
1. Condições geométricas, determinar K: 
d = 2r = 2(20) = 40 mm
D = 2R = 2(40) = 80 mm
2. Determinar ττττmax: 
Obrigado
� Se assume uma condição de equilíbrio.
Do gráfico:
Ex. 1; Deduzir a expressão do momento
polar de inércia da seção de uma barra
circular vazada , e, em que se converte para
uma barra circular sólida.
∫= A dAJ
2ρ
-Por definição, o momento polar de inérciamomento polar de inérciamomento polar de inérciamomento polar de inércia:
-A indica que se deve calcular a integral de toda a seção:
-dρρρρ é a espessura do elemento radial e é menor que, ρρρρ.
-dA é um elemento de área, onde, ρρρρ, é constante em
todos os pontos.
-A área do elemento anular; dA = 2πρπρπρπρdρρρρ � Substituindo na equação 1.
1)
e
i
e
i
e
i
D
D
D
D
D
D
ddJ
2
1
2
1
4
2
1
2
1
32
1
2
1
2
4
222
ρπρρπρπρρ === ∫∫ )(
)(
)()(
44
4444
32161624
2
1
2
4
2
1
2
ie
ie DD
DDDD
J
ie
−=








−=







−







= ππππ
�Para barra solida , 
Di é zero , coincide 
com o eixo;
4
32 e
DJ
π=)( 44
32 ie
DDJ −= π�Para barra vazada;
Ex.2; Aplica-se um torque de TD = 450 N.m a um
engrenagem D. Os rolamentos mostrados permitem que o
eixo gire livremente.
a) determine o torque TA necessário para o equilíbrio do
sistema,
b) determine a tensão máxima de cisalhamento que atua
em cada eixo. -Assuma que os eixos 1 e 2, são eixos de
aço com diâmetrode 30 mm,
c) Determine o diâmetro mínimo necessário para cada
eixo. Assuma que os eixos 1 e 2 são eixos sólidos e tem
uma tensão de cisalhamento admissível de 60 MPa (N/m2).
a) TA = ? 
b) b) b) b) ττττmaxmaxmaxmax----ABABABAB = ?= ?= ?= ?
ττττmaxmaxmaxmax----CDCDCDCD = ?= ?= ?= ?
1) Condição de equilíbrio através dos Eixos 1 e 2; � TA /rB = TD /rC
2) Tensões de cisalhamento máxima para cada eixo; ττττ = T.c/J
3) Calcular o diâmetro mínimo, d, para ττττAdm = 60MPa, para cada eixo; ττττAdm = T.c/J
Solução:
TA = 270N.m; τmax-AB=59,9 MPa; τmax-CD=84,9 MPa
dAB = 28,3 mm; dCD = 33,7 mm
TD = 450 N.m
d = 30mm (para os 2 eixos); r = 15mm
ττττAdmAdmAdmAdm = = = = 60 MPa