Capítulo 3 - Torção

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CEFET-MG
Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais
“Capítulo 3 – Torção”
DISCIPLINA: MECÂNICA DISCIPLINA: MECÂNICA E RESISTÊNCIA DOS E RESISTÊNCIA DOS 
MATERIAISMATERIAIS
Professor: Alexandre Hubinger
“Capítulo 3 – Torção”
INTRODUÇÃOINTRODUÇÃO
 Deformações nos eixos circulares
 Tensões no regime elástico
 Ângulo de torção no regime elástico
torçãotorção
INTRODUÇÃOINTRODUÇÃO
Estudaremos as tensões e deformações produzidas 
em peças de seção transversal circular, sujeitas à 
ação de conjugados que tendem a torcer as peçasação de conjugados que tendem a torcer as peças
torçãotorção
Tais conjugados são chamados momentos de torção, 
momentos torcionais ou torque.
INTRODUÇÃOINTRODUÇÃO
Um caso comum de aplicação é o de eixos de 
transmissão, utilizados para transmitir potência de um 
ponto a outro.ponto a outro.
torçãotorção
INTRODUÇÃOINTRODUÇÃO
torçãotorção
INTRODUÇÃOINTRODUÇÃO
torçãotorção
DEFORMAÇÕES NOS EIXOS CIRCULARESDEFORMAÇÕES NOS EIXOS CIRCULARES
torçãotorção
DEFORMAÇÕES NOS EIXOS CIRCULARESDEFORMAÇÕES NOS EIXOS CIRCULARES
Quando um eixo circular fica submetido à torção, 
todas as seções transversais se mantêm planas e 
conservam sua forma.conservam sua forma.
torçãotorção
DEFORMAÇÕES NOS EIXOS CIRCULARESDEFORMAÇÕES NOS EIXOS CIRCULARES
Tomamos um eixo circular de comprimento L e raio c, 
que foi torcido em um ângulo de torção .
torçãotorção
DEFORMAÇÕES NOS EIXOS CIRCULARESDEFORMAÇÕES NOS EIXOS CIRCULARES
Retiramos do interior do eixo um cilindro de raio , 
marcando na superfície deste um elemento de área 
formado por dois círculos adjacentes e duas geratrizes 
muito próximas.muito próximas.
torçãotorção
DEFORMAÇÕES NOS EIXOS CIRCULARESDEFORMAÇÕES NOS EIXOS CIRCULARES
Após aplicação de um momento de torção o elemento 
se transforma em um losango.
torçãotorção
DEFORMAÇÕES NOS EIXOS CIRCULARESDEFORMAÇÕES NOS EIXOS CIRCULARES
Quando , em radianos, é 
pequeno temos:
 L´AA
´AA




´AA
´AA
L´AA
L
´AA
torçãotorção
L


DEFORMAÇÕES NOS EIXOS CIRCULARESDEFORMAÇÕES NOS EIXOS CIRCULARES
A deformação de cisalhamento é 
máxima na superfície da barra circular 
onde  = c:
L
c
máx


Podemos expressar a deformação de 
cisalhamento  a uma distância  do 
eixo da barra por:
torçãotorção
eixo da barra por:
máxc



TENSÕES NO REGIME ELÁSTICOTENSÕES NO REGIME ELÁSTICO
Aplicando a Lei de Hooke para tensões e deformações de 
cisalhamento temos:
 G G
Multiplicando a equação por G:máxc



torçãotorção
máxmáx c
G
c
G 




TENSÕES NO REGIME ELÁSTICOTENSÕES NO REGIME ELÁSTICO
A tensão de cisalhamento em uma barra circular varia 
linearmente com a distância  do eixo da barra.
máxc



torçãotorção
TENSÕES NO REGIME ELÁSTICOTENSÕES NO REGIME ELÁSTICO
Para um eixo circular vazado de raio interno c2 e raio externo 
c1, a distribuição de tensões será:
máx
2
1
mín c
c

torçãotorção
TENSÕES NO REGIME ELÁSTICOTENSÕES NO REGIME ELÁSTICO
A tensão de cisalhamento máxima no eixo pode ser 
calculada pela fórmula:
cT 
J
cT
máx


Podemos também obter a expressão da tensão de 
cisalhamento a uma distância  do eixo da barra 
circular:
torçãotorção
circular:
J
T 

TENSÕES NO REGIME ELÁSTICOTENSÕES NO REGIME ELÁSTICO
A letra JJ corresponde ao 
MOMENTO POLAR DE INÉRCIAMOMENTO POLAR DE INÉRCIA
que mede o quão difícil é de se torcer alguma coisa.
torçãotorção
TENSÕES NO REGIME ELÁSTICOTENSÕES NO REGIME ELÁSTICO
A fórmula do momento polar de inércia de um círculo de raio c 
ou de diâmetro d será:
dc 44 
32
d
2
c
J
44 



Para um eixo circular de seção vazada, com raio interno c1 (ou 
diâmetro interno d1) e raio externo c2 (ou diâmetro externo d2), 
o momento polar de inércia será:
torçãotorção
o momento polar de inércia será:
   41424142 dd32cc2J 




Ex. 3.1: Um eixo circular vazado de aço tem comprimento L = 1,5 m
e diâmetros interno e externo respectivamente 
de 40 e 60 mm.
(a) Qual é o maior momento de torção que pode ser aplicado ao 
EXERCÍCIOSEXERCÍCIOS
(a) Qual é o maior momento de torção que pode ser aplicado ao 
eixo, para que as tensões de cisalhamento não excedam 
120 MPa? 
(b) Qual é o valor mínimo da tensão de cisalhamento para esse 
caso?
torçãotorção
a) Maior momento de torção:
O maior momento de torção T que pode ser aplicado ao eixo de 
seção circular é aquele para o qual máx = 120 MPa. Esse valor é 
menor que a tensão de escoamento do material do eixo, portanto:
EXERCÍCIOSEXERCÍCIOS
menor que a tensão de escoamento do material do eixo, portanto:
c
J
T
J
cT máx
máx




Vamos calcular o momento polar de inércia J da seção 
transversal do eixo:
torçãotorção
    46444142 m 10021,104,006,032dd32J





Agora, podemos calcular o maior momento de torção 
transmitido pelo eixo:
EXERCÍCIOSEXERCÍCIOS
mN 4084T
10021,110120J
T
66
máx 





mN 4084T
2
06,0c
T máx 
b) Valor mínimo da tensão de cisalhamento para esse caso:
O valor mínimo da tensão de cisalhamento ocorre na superfície 
interna da barra e podemos calcular:
torçãotorção
MPa 80120
2
06,0
2
04,0
c
c
mínmáx
2
1
mín 
Problema Resolvido 3.1:
O eixo circular BC é vazado e 
tem diâmetros interno de 90 
EXERCÍCIOSEXERCÍCIOS
tem diâmetros interno de 90 
mm e externo de 120 mm. Os 
eixos AB e CD são maciços, 
com diâmetro d. Determinar, 
para o carregamento indicado: 
(a) o valor máximo e o valor 
mínimo da tensão de 
cisalhamento no eixo BC; (b) cisalhamento no eixo BC; (b) 
qual o diâmetro nos eixos AB 
e CD se a tensão admissível 
no material é de 65 MPa?
torçãotorção
Equações da estática:
EXERCÍCIOSEXERCÍCIOS
Chamando de TAB o torque no eixo AB, 
cortamos uma seção através do eixo AB e, para o 
diagrama de corpo livre mostrado, escrevemos:
mkN 6T0T60M ABABx 
Cortamos agora uma seção através do eixo 
BC e, para o diagrama de corpo livre mostrado, 
diagrama de corpo livre mostrado, escrevemos:
torçãotorção
BC e, para o diagrama de corpo livre mostrado, 
temos:
mkN 20T0T1460M BCBCx 
a) Eixo BC:
O momento polar de inércia de um eixo vazado é:
EXERCÍCIOSEXERCÍCIOS
    46444142 m 1092,1309,012,0ddJ 
Tensão de cisalhamento máxima:
MPa 2,86
1092,13
2
12,01020
J
cT
máx6
3
2BC
máx 



 
   12 m 1092,1309,012,032dd32J 
torçãotorção
Tensão de cisalhamento mínima:
MPa 7,64
212,0
209,0
2,86c
c
mín
mín
2
1
máx
mín 




b) Eixo AB e CD:
Podemos notar que em ambos os eixos a intensidade do torque 
EXERCÍCIOSEXERCÍCIOS
Podemos notar que em ambos os eixos a intensidade do torque 
é T = 6 kN.m e adm = 65 MPa, portanto:
10701,4d
32
d
2
d106
1065
J
cT
3
43
4
3
6
máxadm 




torçãotorção
mm 8,77dm 1076,77d 3  
Problema Resolvido 3.2: 
O projeto preliminar de um eixo de 
transmissão levou à escolha de uma 
barra de seção vazada, com diâmetro 
EXERCÍCIOSEXERCÍCIOS
barra de seção vazada, com diâmetro 
interno de 100 mm e diâmetro externo de 
150 mm. 
Pede-se determinar o máximo torque que 
poderá ser transmitido, sendo a tensão 
admissível do material 82 MPa, nas 
seguintes situações: (a) do projeto 
preliminar; (b) supondo um eixo sólido preliminar; (b) supondo um eixo sólido 
maciço de mesmo peso daquele do 
anteprojeto; (c) supondo um eixo de 
seção vazada com 200 mm de diâmetro 
externo e de mesmo peso do anteprojeto.
torçãotorção
a) Eixo vazado conforme projetado:
O momento polar de inércia para um eixo vazado é:
EXERCÍCIOSEXERCÍCIOS
   
Agora, podemos calcular o máximo torque que o eixo pode 
transmitir:
    46444142 m 1088,391,015,032dd32J





torçãotorção
mN 606.43T
1088,39
2
15,0T
1082
J
cT
6
62
máx 



 
b) Eixo de seção cheia com o mesmo peso:
Para que o eixo projetado e a seção transversal tenham o 
mesmo peso, suas áreasde seção transversal devem ser iguais:
EXERCÍCIOSEXERCÍCIOS
 
2
Para adm = 82 MPa, temos um torque máximo transmitido de:
112,0T 
         
  mm 112d
m 112,0d
4
d
1,015,0
4
AA
b
b
2
b22
ba




torçãotorção
   
 
 
  mN 620.22T
32
112,0
2
112,0T
1082
J
cT
b4
b6
b
bb
máx 




c) Eixo vazado com 200 mm de diâmetro externo:
Da mesma maneira que fizemos para o item b, vamos 
determinar o diâmetro interno necessário para o eixo com 200 mm 
de diâmetro externo:
EXERCÍCIOSEXERCÍCIOS
de diâmetro externo:
Agora, para adm = 82 MPa, temos um torque máximo 
transmitido de:
          
  mm 166d
m166,0dd2,0
4
1,015,0
4
AA
ci
ci
2
ci
222
ca






torçãotorção
   
 
 
   
mN 676.67T
166,02,0
32
2
2,0T
1082
J
cT
c
44
c6
c
cc
máx 






Exercício 3.4: 
Determine: 
EXERCÍCIOSEXERCÍCIOS
Determine: 
(a) o torque que pode ser aplicado a um eixo maciço de 75 mm de 
diâmetro sem que seja excedida a tensão admissível de 
cisalhamento de 83 MPa; 
(b) idem ao item a, considerando que o eixo maciço dever ser 
substituído por um eixo vazado de mesma área da seção 
transversal e com um diâmetro interno igual à metade do 
diâmetro externo.diâmetro externo.
torçãotorção
Exercício 3.7: 
Sob condições normais de operação, um motor elétrico exerce um 
torque de 1350 N.m, em E. Sabendo-se que todo o eixo tem um furo 
de diâmetro igual a 25,4 mm, determine a máxima tensão de 
EXERCÍCIOSEXERCÍCIOS
de diâmetro igual a 25,4 mm, determine a máxima tensão de 
cisalhamento: (a) no eixo BC; (b) no eixo CD; (c) no eixo DE.
torçãotorção
Exercício 3.17: Um torque de intensidade T = 120 N.m é aplicado 
ao eixo AB do trem de engrenagens mostrado. Sabendo-se que a 
tensão admissível de cisalhamento é de 75 MPa, nos três eixos 
maciços, determinar o diâmetro necessário para o: (a) eixo AB; (b) 
EXERCÍCIOSEXERCÍCIOS
maciços, determinar o diâmetro necessário para o: (a) eixo AB; (b) 
eixo CD; (c) eixo EF.
torçãotorção
ÂNGULO DE TORÇÃO NO REGIME ÂNGULO DE TORÇÃO NO REGIME 
ELÁSTICOELÁSTICO
L
c
máx


Aplicando a Lei de Hooke:
JG
Tc
G
máx
máx 


Igualando:
torçãotorção
Igualando:
JG
TL

Exemplo 3.2:
Que valor de momento de torção dever ser aplicado à extremidade 
do eixo circular da figura de modo que o ângulo de torção produzido 
seja de 2º? Adotar para o módulo de elasticidade transversal o valor 
EXERCÍCIOEXERCÍCIO
seja de 2º? Adotar para o módulo de elasticidade transversal o valor 
de 80 GPa, para o aço.
torçãotorção
Primeiramente, será necessário transformar o ângulo de torção de 
2 em radianos:
EXERCÍCIOEXERCÍCIO
360 2 
Agora, vamos calcular o momento polar de inércia da seção do eixo:
rad 03491,0
360
22
2 





torçãotorção
    46444i4e m 10021,1J04,006,032dd32J





Finalmente, podemos calcular o momento de torção que 
correspondente a um ângulo de torção de 2:
EXERCÍCIOEXERCÍCIO
5,1T
03491,0
TL 

mN 1901T
5,1
108010021,103491,0
T
108010021,1
03491,0
JG
96
96







torçãotorção
ÂNGULO DE TORÇÃO NO REGIME ÂNGULO DE TORÇÃO NO REGIME 
ELÁSTICOELÁSTICO
Quando o eixo estiver submetido a momentos de 
torção aplicados em outros pontos, e se tiver várias 
seções transversais, compostas de materiais seções transversais, compostas de materiais 
diferentes, devemos dividí-los em várias partes:




i
ii
GJ
LT
torçãotorção

i ii GJ
EXERCÍCIOEXERCÍCIO
Problema Resolvido 3.3:
Um eixo vertical AD é 
engastado a uma base 
rígida D, e fica submetido rígida D, e fica submetido 
aos torque indicados. A 
porção CD do eixo tem 
seção transversal vazada 
de 44 mm de diâmetro 
interno. Sabendo-se que o 
eixo é feito de aço, com 
módulo de elasticidade 
torçãotorção
módulo de elasticidade 
transversal de 80 GPa, 
calcular o ângulo de torção 
na extremidade A.
Como o eixo consiste em três partes AB, BC e CD, cada uma delas 
com seção transversal constante o momento de torção interno 
constante, podemos utilizar a equação:
EXERCÍCIOEXERCÍCIO


 ii
LT
Vamos utilizar as equações de equilíbrio da estática. Cortando o 
eixo em uma seção transversal entre A e B e utilizando o diagrama 
de corpo livre das figuras encontramos:




i ii
ii
GJ
LT
torçãotorção
mN 250T
0T2500M
AB
ABx


Cortando agora o eixo em uma seção entre B e C, temos:
EXERCÍCIOEXERCÍCIO
0T20002500M 
Como não é aplicado nenhum torque em C:
mN 2250T
0T20002500M
BC
BCx


torçãotorção
mN 2250TT BCCD 
Vamos agora, calcular os momentos polares de inércia das seções:
EXERCÍCIOEXERCÍCIO
  49CD44CD
46
BC
4
BC
49
AB
4
AB
m 10377,904J044,006,0
32
J
m 10272,1J06,0
32
J
m 10522,79J03,0
32
J












torçãotorção
  CDCD m 10377,904J044,006,032J 
Finalmente, podemos determinar o ângulo de torção do eixo. O eixo 
é feito totalmente do mesmo material com G = 80 GPa.
EXERCÍCIOEXERCÍCIO
 LTLTLTLT
























rad 0388,0
01866,000442,001572,0
108010377,904
6,02250
1080102722,1
2,02250
108010522,79
4,0250
GJ
LT
GJ
LT
GJ
LT
GJ
LT
A
A
696669A
CD
CDCD
BC
BCBC
AB
ABAB
ii
ii
A
torçãotorção



 22,2
2
3600388,0
)graus(A)graus(A
A
EXERCÍCIOEXERCÍCIO
Exercício:
O motor elétrico aplica ao eixo de aço ABCD um torque de 2500 N.m 
ao girar com velocidade constante. A figura indica os valores dos 
torques em B e C. Determinar o ângulo de rotação entre A e D, se o torques em B e C. Determinar o ângulo de rotação entre A e D, se o 
aço tem valor de G = 80 GPa.
torçãotorção
Utilizamos as equações de equilíbrio da estática temos:
EXERCÍCIOEXERCÍCIO
mN 1000T
mN 2500TAB


mN 0T
mN 1000T
CD
BC


Agora, vamos calcular os momentos polares de inércia para as 
seções do eixo:
494 m 105,965J056,0J 


torçãotorção
49
CDBC
4
CDBC
49
AB
4
AB
m 103,251JJ04,0
32
JJ
m 105,965J056,0
32
J








Finalmente, podemos calcular o ângulo de rotação entre A e D.
EXERCÍCIOEXERCÍCIO
 LTLTLTLT
























rad 02139,0
001492,000647,0
1080103,251
15,00
1080103,251
3,01000
1080105,965
2,02500
GJ
LT
GJ
LT
GJ
LT
GJ
LT
AD
AD
999999AD
CD
CDCD
BC
BCBC
AB
ABAB
ii
ii
AD
torçãotorção





23,1
2
36002139,0
rad 02139,0
)graus(AD)graus(AD
AD
Exercício 3.38: As especificações de projeto para o sistema 
eixo-engrenagem mostrado requerem que os mesmos diâmetros 
sejam usados para ambos os eixos e que o ângulo de torção da 
polia A, quando ela está sujeita a um torque TA de 226 kN, não deve 
EXERCÍCIOSEXERCÍCIOS
polia A, quando ela está sujeita a um torque TA de 226 kN, não deve 
exceder 7,5º, mantida fixa a polia D. Determinar o diâmetro 
necessário dos eixos, se ambos são de um aço com G = 77 GPa e 
adm = 83 MPa.
torçãotorção