Livro fenomemos de transporte

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Autores: Profa. Thaís Cavalheri dos Santos
 Profa. Iara Batista de Lima
 Prof. Túlio Cearamicoli Vivaldini
 Prof. Pedro José Gabriel Ferreira
Fenômenos de Transporte
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Professores conteudistas: Thaís Cavalheri dos Santos / Iara Batista de Lima / 
Túlio Cearamicoli Vivaldini / Pedro José Gabriel Ferreira
© Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta obra pode ser reproduzida ou transmitida por qualquer forma e/ou 
quaisquer meios (eletrônico, incluindo fotocópia e gravação) ou arquivada em qualquer sistema ou banco de dados sem 
permissão escrita da Universidade Paulista.
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)
Z13 Zacariotto, William Antonio
Informática: Tecnologias Aplicadas à Educação. / William 
Antonio Zacariotto - São Paulo: Editora Sol.
il.
Nota: este volume está publicado nos Cadernos de Estudos e 
Pesquisas da UNIP, Série Didática, ano XVII, n. 2-006/11, ISSN 1517-9230.
1.Informática e tecnologia educacional 2.Informática I.Título
681.3
?
Thaís Cavalheri dos Santos
Bacharel em Física Médica pela Universidade de São Paulo (USP), tem MBA 
em Gerenciamento de Hospitais e Sistemas de Saúde pela Fundação Getulio 
Vargas, mestrado em Ciências no Programa de Física Aplicada em Medicina e 
Biologia pela USP e doutorado em Ciências – Tecnologia Nuclear – Aplicações 
pela USP, pertencente ao programa de tecnologia nuclear do Instituto de 
Pesquisas Energéticas e Nucleares (Ipen).
Coordenadora do curso de licenciatura em Física, coordenadora do 
curso técnico em Edificações do PRONATEC, Professora titular do curso de 
Engenharia e líder das disciplinas de Estática dos Fluidos e Fenômenos de 
Transporte da Universidade Paulista (UNIP), ministrando disciplinas ligadas à 
Física e Mecânica dos Fluidos.
Professora adjunta do curso de Engenharia da Universidade São Judas Tadeu 
(USJT), ministrando disciplinas de Mecânica, Oscilações e Eletromagnetismo.
Líder do Grupo de Pesquisa em Ensino de Física para Engenharias 
(GruPEFE), trabalha com temas que abrangem novas tecnologias e técnicas de 
aprendizagem. Tem publicações em revistas e anais de congressos no Brasil e no 
exterior, premiados em 2015 nos Estados Unidos.
Iara Batista de Lima
Bacharel em Física pela Pontifícia Universidade Católica (PUC–SP), 
mestre e doutora em Ciências – Tecnologia Nuclear – Aplicações pela USP, 
pertencente ao programa de tecnologia nuclear do Instituto de Pesquisas 
Energéticas e Nucleares (Ipen).
Possui experiência na área de Física, com ênfase em Métodos 
Experimentais e Instrumentação para Partículas Elementares e Física Nuclear, 
atuando principalmente em pesquisa com detectores gasosos de radiação, 
operando em regime de ionização e em regime de multiplicação de cargas e 
transporte de elétrons em gases.
É professora do curso de Engenharia e líder da disciplina Mecânica da 
Partícula da UNIP, ministrando disciplinas ligadas à Física e Mecânica dos Fluidos.
Túlio Cearamicoli Vivaldini
Bacharel em Física pela Pontifícia Universidade Católica (PUC–SP), mestre 
e doutor em Ciências – Tecnologia Nuclear – Aplicações pela Universidade 
de São Paulo (USP–SP), pertencente ao programa de tecnologia nuclear do 
Instituto de Pesquisas Energéticas e Nucleares (Ipen).
Possui experiência na área de Física, com ênfase em Métodos 
Experimentais e Instrumentação para Partículas Elementares e Física Nuclear, 
atuando principalmente com análise de sinais de detectores de gasosos de 
radiação, operando em regime de ionização, regime de multiplicação de 
cargas e transporte de elétrons em gases.
É professor do curso de Engenharia e líder da disciplina Tópicos de Física 
Geral e Experimental da UNIP, ministrando disciplinas ligadas à Física.
Pedro José Gabriel Ferreira
Bacharel em Engenharia de Controle e Automação, especialista em 
Ensino Superior e Mestre em Engenharia de Produção pela UNIP.
Trabalhou como engenheiro nas áreas de manutenção, produção, 
normatização e projetos de novos equipamentos na área de engarrafamento 
de gás liquefeito do petróleo (GLP).
Coordenador de laboratórios dos cursos do Instituto de Ciências Exatas 
e Tecnologia (ICET) da UNIP, atuando na montagem e desenvolvimento de 
tecnologias educacionais.
Atualmente coordena o curso de Engenharia da UNIP e atua como 
professor no campus Marquês de São Vicente, ministrando disciplinas ligadas 
à Física e Mecânica dos Fluidos.
Pesquisador do Grupo de Pesquisa em Ensino de Física para Engenharias 
(GruPEFE), trabalha com temas que abrangem novas tecnologias, sistemas 
de controle e automação e técnicas de aprendizagem. Possui publicações em 
revistas e anais de congressos no Brasil e no exterior premiadas em 2015 nos 
Estados Unidos.
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Prof. Dr. João Carlos Di Genio
Reitor
Prof. Fábio Romeu de Carvalho
Vice-Reitor de Planejamento, Administração e Finanças
Profa. Melânia Dalla Torre
Vice-Reitora de Unidades Universitárias
Prof. Dr. Yugo Okida
Vice-Reitor de Pós-Graduação e Pesquisa
Profa. Dra. Marília Ancona-Lopez
Vice-Reitora de Graduação
Unip Interativa – EaD
Profa. Elisabete Brihy 
Prof. Marcelo Souza
Prof. Dr. Luiz Felipe Scabar
Prof. Ivan Daliberto Frugoli
 Material Didático – EaD
 Comissão editorial: 
 Dra. Angélica L. Carlini (UNIP)
 Dra. Divane Alves da Silva (UNIP)
 Dr. Ivan Dias da Motta (CESUMAR)
 Dra. Kátia Mosorov Alonso (UFMT)
 Dra. Valéria de Carvalho (UNIP)
 Apoio:
 Profa. Cláudia Regina Baptista – EaD
 Profa. Betisa Malaman – Comissão de Qualificação e Avaliação de Cursos
 Projeto gráfico:
 Prof. Alexandre Ponzetto
 Revisão:
 Aline Ricciardi
 Elaine Pires
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Sumário
Fenômenos de Transporte
APRESENTAÇÃO ......................................................................................................................................................7
INTRODUÇÃO ...........................................................................................................................................................8
Unidade I
1 MOVIMENTO DE UM FLUIDO .........................................................................................................................9
1.1 Fluido ideal e fluido real .......................................................................................................................9
1.2 Fluido incompressível e fluido compressível ................................................................................9
1.3 Movimento permanente (estacionário) ...................................................................................... 12
1.4 Movimento variado (não estacionário) ....................................................................................... 12
2 REGIMES DE ESCOAMENTO ........................................................................................................................ 15
2.1 Experimento de Reynolds ................................................................................................................. 15
2.2 Escoamento laminar ........................................................................................................................... 16
2.3 Escoamento turbulento ..................................................................................................................... 17
2.4 Tensão de cisalhamento .................................................................................................................... 18
3 NÚMERO DE REYNOLDS E DESCRIÇÃO DE ESCOAMENTO ............................................................. 29
3.1 Número de Reynolds ........................................................................................................................... 29
3.2 Trajetória e linha de corrente ..........................................................................................................30
3.3 Tubo de corrente ................................................................................................................................... 31
3.4 Tipos de escoamento .......................................................................................................................... 32
4 VAZÕES ................................................................................................................................................................ 39
4.1 Vazão volumétrica (Q) ........................................................................................................................ 39
4.2 Vazão em massa (QM) .......................................................................................................................... 41
4.2.1 Relação entre a vazão em massa e a vazão volumétrica ....................................................... 42
4.3 Vazão em peso (QG) .............................................................................................................................. 42
4.3.1 Relação entre a vazão em peso e a vazão mássica ................................................................... 43
4.3.2 Relação entre a vazão em peso e a vazão volumétrica .......................................................... 43
4.4 Medição de vazão (Método volumétrico e rotâmetro) ......................................................... 44
Unidade II
5 EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE E ENERGIAS ASSOCIADAS A UM FLUIDO ................................ 62
5.1 Equação da continuidade para regime permanente ............................................................. 62
5.2 Equação da continuidade para fluidos incompressíveis ...................................................... 64
5.3 Entradas e saídas não únicas ........................................................................................................... 64
5.4 Energia potencial (Ep) .......................................................................................................................... 70
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5.5 Energia cinética (Ec) ............................................................................................................................. 72
5.6 Energia de pressão (Epr) ...................................................................................................................... 72
5.7 Energia mecânica total (E) ................................................................................................................ 73
6 EQUAÇÃO DE BERNOULLI E EQUAÇÃO DA ENERGIA NA PRESENÇA DE MÁQUINAS ......... 73
6.1 Considerações da equação de Bernoulli ..................................................................................... 75
6.2 Pressão estática, dinâmica e de estagnação ............................................................................. 77
6.3 Bombas ..................................................................................................................................................... 84
6.4 Turbinas .................................................................................................................................................... 85
6.5 Equação da energia na presença de uma máquina ............................................................... 85
6.6 Potência e rendimento de uma máquina ................................................................................... 87
Unidade III
7 TUBO DE PITOT E MEDIDORES DE VAZÃO DE RESTRIÇÃO ............................................................106
7.1 Tubo de Pitot – princípio de funcionamento ..........................................................................106
7.2 Aplicações do tubo de Pitot ...........................................................................................................110
7.3 Tubo de Venturi ...................................................................................................................................116
7.4 Placa de orifício ..................................................................................................................................119
8 EQUAÇÃO DA ENERGIA – FLUIDO REAL E CASOS ESPECIAIS ......................................................132
8.1 Perda de carga .....................................................................................................................................132
8.2 Equação da energia para fluido real na presença de uma máquina .............................134
8.3 Escoamento não uniforme .............................................................................................................143
8.4 Entradas e saídas não únicas .........................................................................................................146
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APRESENTAÇÃO
Caro aluno,
Este livro-texto apresenta os conceitos básicos sobre os Fenômenos de Transporte em 
Fluidos (líquidos e gases), que servem de base para a Mecânica dos Fluidos. Em Fenômenos de 
Transporte, se estuda o comportamento dos fluidos, incluindo as forças atuantes e seus efeitos 
sobre os fluidos em movimento. A análise do comportamento de fluidos é feita a partir das leis 
fundamentais da mecânica, de conservação de massa e energia, e essa análise pode ser utilizada 
tanto em sistemas simples do dia a dia, como uma torneira, quanto em mais sistemas complexos, 
como aeronaves supersônicas.
Durante os séculos XVII e XVIII, físicos e matemáticos renomados como Euler, Lagrange, Laplace, 
Bernoulli e d’Alembert contribuíram para os estudos da dinâmica dos fluidos. Em 1687, o físico e 
matemático inglês Isaac Newton (1642 – 1727) estudou a resistência ao movimento dos fluidos e 
estabeleceu as leis para esse movimento. Contudo, nesse período, a teoria e a prática desenvolveram-se 
separadamente. Os estudos teóricos relacionados com o movimento de fluidos ideais (sem atrito) eram 
classificados como Hidrodinâmica, enquanto os estudos práticos de fluidos reais (com atrito) eram 
identificados como Hidráulica.
No final do século XIX início do século XX, vários pesquisadores tentaram unificar esses dois 
ramos de estudos dos fluidos. Entre esses pesquisadores, vale destacar os trabalhos do físico inglês 
Osborne Reynolds (1842 – 1912), que realizou o famoso experimento sobre os regimes de escoamento 
turbulento e laminar, e o engenheiro alemão Ludwig Prandtl (1875 – 1953). Prandtl introduziu o 
conceito de “camada limite” e propôs que os escoamentos de fluidos em torno de limites sólidos 
podem ser subdivididos em duas regiões: uma região onde os efeitos viscosos são importantes 
(próxima à parede), chamada de camada limite, e outra adjacente em que o fluido se comporta como 
um fluido ideal. Por essa razão, alguns autores afirmam que Prandtl foi o fundador da Mecânica dos 
Fluidos moderna.
Contudo, no século XX, houve um rápido desenvolvimento da Mecânica dos Fluidos. Um 
dos fatores que contribuíram para isso pode ser atribuído à necessidade de estudos relativos ao 
escoamento de ar em torno de corpos (aerodinâmica), que foram impulsionados pelos primeiros 
voos motorizados, ocorridos no início do século XX, no Brasil, com Santos Dumont e, nos Estados 
Unidos, com os irmãos Wright.
A partir do final do século XX até os dias atuais, grandes avanços nos estudos de fluidos veem sendo 
realizados devido ao desenvolvimento da modelagem computacional para sistemas complexos e da 
crescente capacidade de simulação de tais sistemas. Neste contexto, o presente texto visa contribuir 
com os conceitos teóricos fundamentais dessa área da ciência.
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INTRODUÇÃO
Os tópicos abordados neste livro-texto estão divididos em três partes.
Num primeiro momento, serão abordados os conceitos básicos para o estudo do movimento de fluidos 
relacionadoscom a caracterização destes e suas propriedades, bem como a análise de seu movimento 
a partir das forças atuantes. Essa parte inclui a definição do regime de escoamento (turbulento ou 
laminar) e o famoso experimento de Reynolds. A partir dessas definições, serão discutidas as diferentes 
vazões que caracterizam um sistema.
Depois, o tema é dedicado aos estudos teóricos das leis fundamentais da mecânica, de conservação 
de massa e de energia. A conservação de massa de um sistema é expressa por meio da equação da 
continuidade. Já a conservação da energia é expressa pela equação da energia e, desde que satisfeitas 
algumas condições, pela equação de Bernoulli. Serão detalhados os possíveis tipos de máquina que 
podem ser incluídos em um sistema (bomba ou turbina) e a consequência dessa inclusão na equação 
da energia.
Adiante, serão apresentados alguns dos dispositivos empregados nas medições da velocidade e 
da vazão de fluidos, cujos princípios de funcionamentos podem ser entendidos a partir da análise da 
equação de Bernoulli. Por fim, também são mostradas considerações teóricas para o movimento de 
fluidos reais (com viscosidade não nula) e escoamentos não uniformes, com possíveis entradas e saídas 
não únicas.
Além disso, para o bom entendimento do conteúdo e com o objetivo de auxiliar o aluno a desenvolver 
uma metodologia sistemática para análise do movimento de fluidos, no presente livro-texto, são 
apresentados exemplos resolvidos com situações clássicas que envolvem fluidos, testes, exemplos de 
aplicação e indicação de conteúdos complementares ao estudo do aluno.
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FENÔMENOS DE TRANSPORTE
Unidade I
1 MOVIMENTO DE UM FLUIDO
A análise cinética dos fluidos baseia-se na classificação das propriedades e do regime de escoamento 
do fluido em questão. A seguir será apresentada uma descrição dessas classificações.
1.1 Fluido ideal e fluido real
Um fluido é considerado ideal (ou perfeito) quando se supõe que sua viscosidade seja nula. Essa é 
uma aproximação teórica muito útil para certas aplicações, uma vez que se pode concluir que durante 
o escoamento de um fluido ideal este não opõe resistência ao deslizamento de suas camadas, e, 
consequentemente, não existirão perdas de energia por atrito.
Já um fluido real apresenta viscosidade não nula e, durante o escoamento, suas camadas adjacentes 
resistem ao deslizamento. Essa resistência depende da taxa de variação da velocidade relativa de 
deslizamento e, a partir dela, será possível determinar a viscosidade do fluido.
1.2 Fluido incompressível e fluido compressível
Uma distinção que deve ser realizada está relacionada às propriedades elásticas do fluido. Se a massa 
específica do fluido permanecer uniforme e constante durante o escoamento, o fluido (ou o escoamento) será 
classificado como incompressível, ou seja, ao longo do tempo, o volume do fluido permanece constante se for 
um fluido incompressível. Assim, a massa específica em um ponto 1 é igual à massa específica em um ponto 2:
ρ1 = ρ2 = constante
Os líquidos são basicamente fluidos incompressíveis, já que suas massas específicas se alteram 
apenas para grandes variações de pressão. Mesmo assim, essa variação é baixa. Por exemplo: a massa 
específica da água sofre uma alteração de aproximadamente 0,5% quando a pressão se eleva de 1 atm 
para 100 atm a uma temperatura constante.
Em contrapartida, se a massa específica do fluido alterar-se ao longo do escoamento, ele será 
classificado como compressível. Gases, em geral, são fluidos compressíveis, já que pequenas variações de 
pressão influenciam fortemente o volume deles e, consequentemente, alteram suas massas específicas.
Para gases ideais (ou perfeitos), será possível relacionar a massa específica (ρ) com a pressão (P) 
por meio da equação de estado mostrada a seguir:
P = ρ . R . T
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Unidade I
sendo R uma constante que depende do gás e T a temperatura absoluta (ou termodinâmica).
No SI, a unidade para temperatura absoluta é o kelvin (K).
A constante do gás (R) pode ser calculada por meio da expressão:
R
R
M
u=
sendo Ru a constante universal dos gases, cujo valor no SI é 8,314 kJ/kmol.K, e M a massa molar 
do gás.
Ao analisar sistemas com gases em altas velocidades, é comum expressar a velocidade do gás em 
termos do número de Mach (Ma), definido como:
Ma
velocidade
velocidade
v
c
= = do escoamento
 do som
sendo a velocidade do som no ar, à temperatura ambiente e ao nível do mar, igual a 346 m/s.
O número de Mach é um adimensional, e a classificação do escoamento, segundo o número de 
Mach, é mostrada a seguir.
Quadro 1 – Classificação do escoamento 
segundo o número de Mach
Número de Mach Escoamento
Ma = 1 sônico
Ma < 1 subsônico
Ma > 1 supersônico
Ma >> 1 hipersônico
Quando Ma < 0,3, o escoamento de gases com transferência de calor desprezível pode ser 
considerado incompressível. Assim, para o ar, os efeitos de compressibilidade podem ser desprezados 
para velocidades inferiores a 100 m/s.
É importante destacar que a velocidade do som depende do meio e da temperatura. No quadro 2, é 
mostrada a dependência da velocidade de propagação do som no ar com a temperatura. No quadro 3, 
é mostrada a dependência da velocidade do som com o meio, para alguns fluidos.
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FENÔMENOS DE TRANSPORTE
Quadro 2 – Dependência da velocidade 
do som com a temperatura
Temperatura (ºC) Velocidade do som (m/s)
-40 306,2
-20 319,1
0 331,4
5 334,4
10 337,4
15 340,4
20 343,4
25 346,3
30 349,1
40 354,7
Fonte: Munson; Young; Okiishi (2004, p. 561).
Quadro 3 – Velocidade do som em 
alguns fluidos a 15,5ºC e 1 atm
Meio Velocidade do som (m/s)
Hidrogênio 1294
Hélio 1000
Argônio 317
CO2 266
CH4 185
Glicerina 1860
Água (20 ºC) 1490
Mercúrio 1450
Álcool etílico 1200
Fonte: White (2010, p. 620).
Considerando que o fluido se comporte como um gás perfeito, a velocidade do som (c) pode ser calculada por:
c k R T= ⋅ ⋅
em que:
k é a razão entre o calor específico à pressão constante (cp) e o calor específico a volume constante (cv);
R é a constante do gás;
T é a temperatura absoluta do gás.
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Unidade I
1.3 Movimento permanente (estacionário)
Se as propriedades do fluido em cada ponto do espaço permanecerem constantes com o tempo, 
o movimento (ou regime) será chamado de permanente (ou estacionário). É importante destacar que, 
nesse movimento, as propriedades do fluido, como pressão, velocidade ou massa específica, podem 
variar ponto a ponto, porém, para cada ponto do espaço essas propriedades permanecem constantes.
Por exemplo, um reservatório cujo fluxo de saída de fluido seja igual ao fluxo de entrada está em 
movimento permanente. O mesmo ocorre em reservatórios de grandes dimensões (figura a seguir), 
em que há descarga de fluido, porém esta não é suficiente para alterar o nível do reservatório, que 
permanece aproximadamente constante com o tempo.
Nível constante do fluido
Reservatório de 
grandes dimensões
Figura 1 – Reservatório de grandes dimensões com descarga de fluido em movimento permanente
1.4 Movimento variado (não estacionário)
Se as propriedades do fluido em um determinado ponto variarem com o tempo, esse movimento 
será denominado não permanente (ou não estacionário). Por exemplo, em um reservatório em que 
houver descarga de fluido, à medida que o nível diminuir, a pressão em um dado ponto diminuirá, assim 
como a velocidade do fluido na saída do reservatório, como ilustrado na figura a seguir.
Entre os possíveis movimentos variados, é possível identificar os escoamentos:
• Periódicos – ocorrem em intervalos de tempo fixos. Por exemplo: 
a injeção da mistura ar-combustível nos cilindros de um motor 
automobilístico é um movimentovariado e periódico.
• Não periódicos – não ocorrem em intervalos de tempo fixos. Por 
exemplo: fechamento ou abertura súbita de uma válvula. Nesse 
movimento variado, os efeitos podem ser significativos. O golpe 
de aríete em sistemas hidráulicos é causado pelo fechamento 
abrupto de válvulas e pode ocasionar danos à tubulação e às 
bombas do sistema.
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• Aleatórios – não apresentam comportamento regular. Por exemplo: as 
rajadas de vento são movimentos variados e aleatórios.
t1
Nível variávelt2
t3
t3 t2 t1
Figura 2 – Reservatório com descarga de fluido em movimento variado
Exemplo 1
A velocidade de uma aeronave é de 1300 km/h. Se a velocidade do som for 315 m/s, o voo da 
aeronave será considerado sônico, subsônico, supersônico ou hipersônico?
Resolução
Primeiramente, é necessário deixar os valores de velocidade com a mesma unidade. Convertendo a 
velocidade da aeronave de km/h para m/s, tem-se:
v
h s s
= = =1300 1300
3600
3611
3
 
km
 
10 m
 
 
m
,
O número de Mach é definido como:
 
Ma
velocidade
velocidade
= do escoamento
 do som
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Unidade I
Portanto:
Ma = 3611
315
,
Ma = 1,15
Assim, o voo da aeronave é supersônico.
Exemplo 2
Qual é a velocidade mínima v (em km/h) que um veículo tem de atingir para que os efeitos da 
compressibilidade do ar ao seu redor sejam relevantes? Considere que a temperatura local do ar 
atmosférico seja de 15 ºC.
Resolução
Para valores de número de Mach superiores a Ma = 0,3 no ar, em condições padrões, o escoamento 
pode ser considerado compressível, e a velocidade do som no ar atmosférico nessas condições é de 346 
m/s, então:
Ma
v
c
=
0 3
346
103 8, , /= ⇒ =v v m s 
Em km/h, essa velocidade corresponde a:
v = 103,8 × 3,6
v = 373,7 km/h
Exemplo 3
Um avião voa com velocidade de 800 km/h a uma altitude de 10,7 km. Sabendo que nessa 
altitude a temperatura é de -55 ºC, determine o número de Mach para essa altitude e se o voo 
da aeronave é sônico, subsônico, supersônico ou hipersônico. Considere que, para o ar, k = 1,40 
e R = 286,9 J/kg.K.
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FENÔMENOS DE TRANSPORTE
Resolução
Dados:
v = 800 km/h = 222,2 m/s
h = 10,7 km
T = -55 ºC=218,15 K
k = 1,40
R = 286,9 J/kg.K
A velocidade do som (c) no ar pode ser obtida por:
c k R T c c= ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ ⇒ = m/s140 286 9 218 15 296 0, , , ,
Assim, o número de Mach (Ma) será:
Ma
v
c
= = 222 2
296
,
Ma = 0,75
O voo da aeronave é subsônico.
2 REGIMES DE ESCOAMENTO
2.1 Experimento de Reynolds
Em artigo publicado em 1883, o engenheiro britânico Osborne Reynolds apresentou uma 
demonstração visual da transição de regimes de escoamento. Nesse experimento, Reynolds empregou 
um reservatório de água com um tubo de vidro, contendo, em uma de suas extremidades, uma 
adaptação convergente.
Esse tubo era ligado a um sistema externo com uma válvula que permitia regular a vazão. 
No eixo do tubo de vidro, era injetado um corante para a visualização do regime de escoamento 
(figura 3 e figura 4). Por meio desse experimento, Reynolds observou dois regimes de escoamento 
do fluido denominados laminar e turbulento.
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Unidade I
Figura 3 – Ilustração artística do experimento de Reynolds
Figura 4 – Foto do aparato empregado por Reynolds em exposição na Universidade de Manchester, na Inglaterra
2.2 Escoamento laminar
No experimento de Reynolds, para pequenas vazões, o corante formava um filete contínuo paralelo ao eixo 
do tubo (figura a seguir). Nesse regime, o escoamento é chamado de laminar e é caracterizado pelo fato de a 
velocidade do fluido em um ponto fixo qualquer não variar com o tempo, nem em módulo nem em orientação.
Figura 5 – Ilustração de regime de escoamento laminar no experimento de Reynolds
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FENÔMENOS DE TRANSPORTE
Assim, as partículas do fluido deslocam-se sem agitações transversais, mantendo-se em lâminas (ou 
camadas), sendo que cada lâmina de fluido exerce uma força sobre a camada mais próxima, contudo, 
como a vazão não é elevada, as lâminas não se misturam. Um regime laminar pode ser observado 
durante o escoamento suave de água na parte central de um rio de águas calmas.
2.3 Escoamento turbulento
Ainda considerando o experimento de Reynolds, com o aumento da vazão até valores intermediários, 
a velocidade das partículas do corante aumenta, e o traço de corante flutua no tempo e no espaço, 
apresentando quebras intermediárias (figura a seguir). Esse escoamento é característico de um regime 
de transição.
Figura 6 – Ilustração de regime de escoamento de transição no experimento de Reynolds
Com o aumento da vazão, a velocidade das partículas do corante aumenta, resultando no 
desaparecimento do filete colorido, já que as partículas do fluido rapidamente se misturam enquanto se 
movimentam (figura a seguir). Esse regime de escoamento é denominado turbulento e é caracterizado 
pelo fato de o campo de velocidades das partículas do fluido mudar com o tempo de forma aparentemente 
aleatória (figura 8).
Figura 7 – Ilustração de regime de escoamento de turbulento no experimento de Reynolds
velocidade
turbulento
transição
laminar
tempo
Figura 8 – Comportamento da velocidade do fluido em função do tempo
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Unidade I
A turbulência ocorre quando as forças viscosas do fluido não forem capazes de conter flutuações aleatórias 
e o escoamento tornar-se-á caótico. Por exemplo, um fluido de alta viscosidade é capaz de conter as flutuações 
mais efetivamente do que um fluido de baixa viscosidade e, por isso, permanece laminar mesmo em vazões altas.
 Saiba mais
Para saber mais sobre o experimento de Reynolds e como a velocidade 
do fluido interfere no regime de escoamento, acesse o site:
AERODYNAMICS FOR STUDENTS. Classification of flows, laminar and 
turbulent flows. 2005. Disponível em: <http://www-mdp.eng.cam.ac.uk/
web/library/enginfo/aerothermal_dvd_only/aero/fprops/pipeflow/
node8.html>. Acesso em: 7 dez. 2016.
2.4 Tensão de cisalhamento
Considerando um fluido, inicialmente em repouso, entre placas, ao submeter a placa superior a uma 
força Ft, esta será arrastada ao longo do fluido com velocidade v (figura a seguir).
y y
Ft
Figura 9 – Deformação de um fluido submetido a uma força tangencial
Nessa configuração, a tensão de cisalhamento será definida como sendo a razão entre o módulo da 
força tangente à superfície (Ft) e a área (A) submetida à ação da força. Sob a influência dessa tensão de 
cisalhamento, um elemento de volume sofre uma deformação continuamente:
τ = F
A
t
Para fluidos newtonianos em regime de escoamento laminar, a constante de proporcionalidade entre 
a tensão de cisalhamento e a taxa de deformação (dv/dy) é a viscosidade dinâmica (ou absoluta), µ.
τ µ= dv
dy
sendo v a velocidade impressa pela força Ft e y a altura da camada de fluido.
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FENÔMENOS DE TRANSPORTE
 Observação
Fluidos newtonianos são fluidos cuja tensão de cisalhamento é 
linearmente proporcional à taxa de deformação. São chamados assim em 
homenagem a Isaac Newton, que estudou a resistência ao movimento dos 
fluidos em 1687. Se a viscosidade dinâmica for constante, o fluido será 
newtoniano. Já, se a viscosidade dinâmica não for constante, o fluido será 
classificado como não newtoniano.
A equação anterior é conhecida como lei de Newton da viscosidade e é aplicada para 
escoamentos laminares. Embora muitos escoamentos turbulentos de interesse sejam permanentes 
na média, a presença de flutuações aleatórias da velocidadetorna a análise do escoamento 
turbulento difícil.
Em 1877, o matemático francês Joseph Boussinesq sugeriu a utilização de uma expressão análoga à 
do regime laminar para modelos de turbulência mais simples. Essa expressão é mostrada a seguir:
τ µturb t
dv
dy
=
sendo:
µt → viscosidade turbulenta ou viscosidade de vórtice.
Portanto, a tensão de cisalhamento total (τTotal) é:
τ µ µTotal t
dv
dy
= +( )
A razão entre a viscosidade dinâmica (m) e a massa específica (ρ) é definida como a viscosidade 
cinemática (n) do fluido.
υ µ
ρ
=
Assim, a tensão de cisalhamento total pode ser reescrita como:
τTotal tp v v
dv
dy
= +( )
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Unidade I
sendo:
nt → viscosidade cinemática turbulenta ou viscosidade cinemática de vórtice.
 Observação
A viscosidade turbulenta não é um parâmetro fácil de ser utilizado em 
aplicações práticas, pois diferentemente da viscosidade dinâmica, que possui 
um valor fixo para um dado fluido a uma dada temperatura, a viscosidade 
turbulenta é função tanto do fluido quanto do escoamento. Por essa razão, 
para escoamentos turbulentos, deve-se considerar teorias semiempíricas e 
dados experimentais para descrever a tensão de cisalhamento.
No quadro a seguir, são mostradas as unidades para a viscosidade dinâmica no SI (sistema MLT e 
FLT de dimensões) e no sistema CGS (FLT) de unidades. A viscosidade dinâmica depende do fluido, da 
temperatura e da pressão.
No geral, a viscosidade dinâmica de líquidos diminui com o aumento da temperatura, enquanto 
a viscosidade dos gases aumenta com a temperatura. Já o efeito da pressão sobre líquidos e gases 
depende da faixa de pressão analisada. No quadro 5, são mostrados alguns valores de viscosidade em 
função da temperatura para ar, água e óleo lubrificante SAE 30.
Quadro 4 – Unidades para a viscosidade dinâmica 
no SI e no sistema CGS de unidades
Sistema Viscosidade dinâmica (µ)
SI (MLT) kg/m.s
SI (FLT) N.s/m² = Pa.s (Pa é pascal)
CGS (FLT) dina.s/cm² = P (poise)
Quadro 5 – Valores de viscosidade dinâmica em 
função da temperatura para alguns fluidos
Fluido Temperatura (ºC) µ (Pa∙s)
ar -40 1,6 × 10-5
ar 0 1,7 × 10-5
ar 20 1,8 × 10-5
água 0 1,8 × 10-3
água 20 1,0 × 10-3
água 100 2,8 × 10-4
óleo SAE 30 20 0,41
óleo SAE 30 60 0,035
óleo SAE 30 100 0,0012
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FENÔMENOS DE TRANSPORTE
No quadro a seguir, são mostradas as unidades para viscosidade cinemática no SI e no sistema CGS 
de unidades, e, no quadro 7, são mostrados os valores de viscosidade dinâmica e cinemática para alguns 
fluidos, a 20 ºC e 1 atm de pressão.
Quadro 6 – Unidades para a viscosidade cinemática 
no SI e no sistema CGS de unidades
Sistema Viscosidade cinemática (n)
SI m²/s
CGS cm²/s = St (stoke)
Quadro 7 – Viscosidade dinâmica, massa específica 
e viscosidade cinemática para alguns fluidos
Fluido m (Pa.s) ρ (kg/m³) n (m²/s)
Ar 1,8 x 10-5 1,2 1,50 x 10-5
Hidrogênio 9,0 x 10-6 0,084 1,05 x 10-4
Água 1,0 x 10-3 1000 1,00 x 10-6
Gasolina 2,9 x 10-4 680 4,22 x 10-7
Álcool etílico 1,2 x 10-3 800 1,50 x 10-6
Mercúrio 1,5 x 10-3 13600 1,10 x 10-7
Óleo (SAE 30) 0,29 891 3,25 x 10-4
Glicerina 1,5 1260 1,18 x 10-3
 Saiba mais
Para saber mais sobre algumas considerações históricas relacionadas 
com o movimento de fluidos e a grandeza viscosidade, acesse:
TEIXEIRA, O. P. B. Mecânica dos fluidos: algumas considerações sobre 
a viscosidade. In: SIMPÓSIO NACIONAL DE ENSINO DE FÍSICA, 16., 2005, 
Rio de Janeiro. Anais... Rio de Janeiro: Cefet, 2005. p. 1-5. Disponível em: 
<http://www.sbf1.sbfisica.org.br/eventos/snef/xvi/cd/resumos/T0625-2.
pdf>. Acesso em: 7 dez. 2016.
Exemplo 1
Uma placa se desloca sobre uma segunda placa. Sabe-se que entre elas existe um fluido com 
viscosidade de 6,5 mg/cm.s. Para uma determinada altura y da camada de fluido observa-se uma 
distribuição linear de velocidade no fluido. Nessas condições, determine:
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Unidade I
a) A viscosidade dinâmica do fluido em Pa.s;
b) A tensão de cisalhamento na placa superior, em N/m².
y
x
v = 0,4 m/s
y = 0,4 mm
y = 0 m
Figura 10 
Resolução
Dados:
y = 0,4 mm
µ = 6,5 mg/cm.s
v = 0,4 m/s
τ = ?
a) Para determinar a viscosidade dinâmica (µ) do fluido na unidade Pa.s, é necessário realizar a 
conversão das unidades para o SI:
µ µ µ = 6,5 mg/cm s = 6,5 10 g
10 m s
 = 6,5
10 10-3
-2
-3 -3
⋅ →
⋅
→ ⋅
110
kg
m s-2 ⋅
µ = 6,5 10 kg/m s-4× ⋅
Lembrando que 1 kg/m.s = 1 N.s/m² = 1 Pa.s, tem-se:
m = 6,5 x 10–4 Pa.s
b) Para determinar a tensão de cisalhamento na placa superior, deve-se considerar a distribuição linear 
de velocidade. Como a velocidade v varia linearmente com a distância y, a taxa de deformação é:
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FENÔMENOS DE TRANSPORTE
dv
dy
v
y
v v
y y
v
y
v
y
= = −
−
= −
−
=∆
∆
0
0
0
0
Dessa forma, a tensão de cisalhamento pode ser calculada como:
τ µ µ = dv
dy
 = 
v
y
 = 6,5 10 Pa s
0,4 m/s
0,4 mm
6,5 10 Pa s-4 -4× ⋅ = × ⋅ 00,4 m/s
0,4 10 m× −3
τ = 6,5 10 0,4
0,4 10
Pa s
m
s
1
m
-4
-3× ×
⋅
τ = 0,65 Pa = 0,65 N/m2
Exemplo 2
Em um dado arranjo, colocam-se duas placas planas, horizontais e paralelas, separadas por 2 mm. 
Na região entre essas placas, existe um fluido cuja viscosidade dinâmica é igual a 0,29 Pa.s. Em um dado 
momento, a placa superior inicia o deslocamento enquanto a placa inferior é mantida fixa. Na situação 
em que a placa superior se desloca com uma velocidade de 5 m/s, determine a tensão de cisalhamento 
que atuará no fluido.
Placa móvel
Placa fixa
v = 0,5 m/s
2 mm
Figura 11 
Resolução
Dados:
y = 2 mm
µ = 0,29 Pa.s
v = 5 m/s
τ = ?
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Unidade I
Para determinar a tensão de cisalhamento τ emprega-se a equação:
τ µ= dv
dy
Para esse caso, tem-se uma distribuição linear de velocidades. Assim, a taxa de deformação é:
dv
dy
 = 
v
y
 = 
v - v
y - y
 = 
v - 0
y - 0
 = 
v
y
0
0
∆
∆
Portanto:
τ µ µ = dv
dy
 = 
v
y
 = 0,29 Pa s
5 m/s
2x10 m-3
⋅ = ⋅−0 29
5
2 10 3
,
x
Pa s
m
s
11
m
τ = 725 Pa
Exemplo 3
Considere a ilustração a seguir:
y
x
Placa
Figura 12 
Sabe-se que a relação entre a velocidade v e a altura y é descrita por uma equação de segundo grau:
v(y) = ay – by2
sendo a e b constantes, determine uma equação para a tensão de cisalhamento na placa em termos 
de a e µ (viscosidade dinâmica), sabendo que o fluido se desloca sobre uma placa fixa.
Resolução
A equação a ser empregada para determinação da relação da tensão de cisalhamento com as 
constantes a, b e µ é:
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FENÔMENOS DE TRANSPORTE
τ µ= dv
dy
Nesse problema, tem-se que a velocidade é distribuída por meio de uma equação de segundo grau. 
Dessa forma, a taxa de deformação é:
dv
dy
d ay by
dy
d ay
dy
d by
dy
a by=
−( )
= ( ) − ( ) = −
2
2
²
 
Substituindo este resultado na equação da tensão de cisalhamento:
τ µ µ = dv
dy
 = a - 2by( )
Na placa y = 0, assim:
τ = m . a
Exemplo 4
Para revestir uma placa metálica com um verniz protetor, uma indústria utiliza um método 
que consiste em deslocar a placa metálica entre duas placas paralelas, horizontais e estacionárias. 
Essas placas estacionárias estão separadas por uma distância de 4 cm, e o espaço entre elas é 
preenchido com o verniz que apresenta viscosidade dinâmica de 0,9 N.s/m². A placa metálica 
possui comprimento de 2 m e uma espessura de 0,5 cm. Sabe-se que ela se desloca com velocidade 
constante de 5 m/s e está completamente envolta por fluido. Na situação em que a placa metálica 
se move no plano médio em relação às duas placas estacionárias (h1 = h2 = 2 cm), determine a 
força resultante necessária para manter o movimento.Superfície estacionária
Superfície estacionária
h1
v = 5 m/s
F
y
x
h2
Figura 13
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Unidade I
Resolução
Dados:
y = 4 cm
µ = 0,9 N.s/m²
L = 2 m (comprimento da placa metálica)
H = 0,5 cm (espessura da placa metálica)
v = 5 m/s
h1 = h2 = 2 cm
Ft = ?
Para determinar a força necessária para manter o movimento da placa fina com uma velocidade 5 
m/s, tem-se:
τ = F
A
t e τ = 
dv
dy
µ
Igualando as equações:
F
A
 = 
dv
dy
t µ
F = A
dv
dy
 = L H
dv
dyt
⋅ ⋅ ⋅µ µ
Como para esse caso, a distribuição de velocidades é linear, tem-se que a taxa de deformação é:
dv
dy
 = 
v
y
 = 
v - v
h - h
 = 
v - 0
h - 0
 = 
v
h
0∆
∆ 1 0 1 1
Como a placa fina está localizada no centro em relação às superfícies estacionárias, a distribuição 
de velocidades é simétrica e assim pode-se calcular para uma metade e no final multiplicar por 2 para 
encontrar o valor total da força:
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FENÔMENOS DE TRANSPORTE
F = L H
v
h
 = 2 m 0,5 cm 0,9 
N s
m
 
5 m/s
2 cmt 2
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅µ
1
F = 2 0,5 10 0,9
5
2 10
 m
kg m
s
s
m
m
s
1
mt
-2
-2
2
2 2⋅ × ⋅ ×
⋅
F = 2,25 
kg m
s
 F = 2,25 Nt 2 t
⋅ ⇒
Portanto, a força total (F) necessária para manter a placa em deslocamento vale:
F = 2 F F = 2 2,25 Nt⋅ ⇒ ⋅
F = 4,5 N
Exemplo 5
Duas placas de vidro planas e verticais estão separadas a 0,0050 mm. Uma das placas é mantida 
fixa e entre elas uma fina camada de glicerina, cuja viscosidade dinâmica vale 1,5 Pa.s. Determine a 
velocidade com que a placa de vidro irá deslizar, sabendo que a força atuante é a força peso, e esta 
possui massa igual a 0,80 kg e A = 1,0x10-3 m². Considere g = 10 m/s².
x = 0,005 mm
F
x
y
Figura 14 
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Unidade I
Resolução
Dados:
x = 0,0050 mm
µ = 1,5 Pa.s
v = ?
A = 1,0x10-3 m²
F = m.g
Sabe-se que:
τ = F
A
t e τ = 
dv
dx
F
A
 = 
dv
dx
µ µ→
Pelo perfil de velocidades:
dv
dx
 = 
v
x
 = 
v - v
x - x
 = 
v - 0
x - 0
 = 
v
x
0
0
∆
∆
Então:
F
A
 = 
v
x
 v = 
F x
A
 v = 
m g x
A
0,8 kg 10 m/s 0,005µ
µ µ
⇒ ⋅
⋅
⇒ ⋅ ⋅
⋅
= ⋅ ⋅ ×
2 110 m
1 10 m 1,5 Pa.s
-3
× ⋅−3 2
v = ⋅ ⋅ ×
× ⋅
⋅ ⋅
⋅
−
−
0 8 10 0 005 10
1 10 15
3
3
, ,
,
 N m
1
m
m
N s2
2
v = 27 10 m/s× −3
v = 27 mm/s
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FENÔMENOS DE TRANSPORTE
3 NÚMERO DE REYNOLDS E DESCRIÇÃO DE ESCOAMENTO
3.1 Número de Reynolds
Durante seus estudos sobre a transição entre os regimes de escoamentos laminar e turbulento, já 
discutidos anteriormente, Osborne Reynolds descobriu o parâmetro que permite determinar o regime 
de escoamento. Esse parâmetro é conhecido como número de Reynolds (Re):
R
v L v L
e =
⋅ ⋅ = ⋅ρ
µ ν
sendo:
ρ a massa específica do fluido;
v a velocidade média de escoamento do fluido;
L um comprimento característico da geometria de escoamento. Por exemplo, para tubulações 
circulares, esse comprimento corresponde ao diâmetro da tubulação;
µ a viscosidade dinâmica do fluido; e
n a viscosidade cinemática do fluido.
Pode-se estimar se as forças viscosas são ou não desprezíveis em relação aos efeitos inerciais por 
meio do cálculo do número de Reynolds. Se o número de Reynolds for alto, os efeitos viscosos serão 
pequenos em relação aos efeitos inerciais. Já se o número de Reynolds for pequeno, os efeitos viscosos 
serão dominantes e é possível desprezar os efeitos da inércia. Ou seja:
Re =
for a de in rcia
for a de atrito viscoso
ç é
ç
Para escoamentos em tubos, em condições normais, o número de Reynolds indica se o escoamento 
será laminar ou turbulento:
• Re < 2000 → escoamento laminar;
• 2000 < Re <2400 → escoamento de transição;
• Re > 2400 → escoamento turbulento.
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Unidade I
3.2 Trajetória e linha de corrente
Para visualizar o escoamento de fluidos, é comum a análise da trajetória de uma partícula do fluido 
e das linhas de corrente.
Considerando uma partícula do fluido em movimento, denomina-se de trajetória o conjunto de 
posições ocupadas por essa partícula ao longo do tempo, como mostrado na figura a seguir.
t0
t1
t2
t3
t4
t5
t6
Figura 15 – Trajetória de uma partícula do fluido em movimento
Uma linha de corrente é contínua e tangente ao vetor velocidade instantânea para cada ponto do 
campo de escoamento (figura a seguir). Portanto, pode-se concluir que duas linhas de corrente não se 
interceptam e que não há fluxo de matéria por meio delas.
t0
t1
t2
t3
t4
Linha de 
corrente
Figura 16 – Linha de corrente tangente aos vetores velocidade
As linhas de corrente não podem ser visualizadas experimentalmente, exceto quando o regime de 
escoamento for permanente (estacionário) e as linhas de corrente coincidirem geometricamente com as 
trajetórias. Em regimes transitórios, os formatos das linhas de corrente variam com o tempo.
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FENÔMENOS DE TRANSPORTE
3.3 Tubo de corrente
Um tubo de corrente é uma superfície formada por todas as linhas de corrente que passam pelos 
pontos de uma dada linha geométrica fechada. Como, por definição, um fluido não pode cruzar uma 
linha de corrente, consequentemente o fluido dentro de um tubo de corrente não pode cruzar a fronteira 
dessa superfície.
x0 y0 z0
y
x
z
Linhas de corrente
Linha geométrica 
fechada
Figura 17 – Tubo de corrente formado por linhas de corrente apoiadas em uma linha geométrica fechada
Além disso, as linhas e os tubos de corrente variam com o tempo, de acordo com o campo de 
velocidade em um dado instante. Se o movimento do fluido for:
• Permanente (estacionário) → os tubos de corrente são fixos.
• Variado (não estacionário) → o padrão das linhas de corrente pode variar com o tempo. Para 
um escoamento incompressível, um tubo de corrente diminui de diâmetro com o aumento 
da velocidade do fluido. Da mesma maneira, o diâmetro do tubo de corrente aumenta com a 
diminuição da velocidade.
 Lembrete
Se a massa específica do fluido permanecer uniforme e constante 
durante o escoamento, o fluido (ou o escoamento) será classificado 
como incompressível, ou seja, ao longo do tempo, o volume do fluido 
permanece constante.
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Unidade I
3.4 Tipos de escoamento
Os escoamentos podem ser classificados como uni, bi ou tridimensionais, de acordo com número de 
coordenadas necessárias para especificar seu campo de velocidade. Em geral, os escoamentos de fluidos 
são fenômenos tridimensionais complexos e que dependem do tempo. O escoamento de ar por uma asa 
de avião (figura a seguir) é um exemplo de escoamento tridimensional complexo.
Figura 18 – Escoamento de ar em torno da asa de um avião 
em túnel de vento. É possível visualizar turbulências
Na figura a seguir, é apresentado um esquema de escoamento tridimensional. Porém, em 
alguns casos, é conveniente simplificarmos esses escoamentos, considerando que o escoamento é 
unidimensional ou bidimensional.
z
x
y
Figura 19 – Escoamento tridimensional. A velocidade é função das coordenadas x, y e z
Quando um dos componentes da velocidade em uma dada direção for muito pequeno em comparação 
com os demais, o escoamento pode ser considerado bidimensional. Na figura a seguir, é mostrado um 
escoamento bidimensional com a velocidade sendo função das variáveis x e y.
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FENÔMENOS DE TRANSPORTE
Ainda, quando dois componentes da velocidade forem muito pequenos, será possível 
simplificar a análise considerando o escoamento unidimensional. Ou seja, nesse escoamento, se 
as propriedades do fluido forem constantes em cada seção, uma únicacoordenada é suficiente 
para descrever seu escoamento. Na figura 21, é mostrado um escoamento unidimensional e 
uniforme em cada seção.
v2v1
x1 x2
x
y
Figura 20 – Escoamento bidimensional com a velocidade sendo função das coordenadas x e y
v2
v1
x1 x2
x
Figura 21 – Escoamento unidimensional e uniforme em cada seção. 
Neste escoamento a velocidade é função da variável x
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Unidade I
 Saiba mais
Apesar do estudo quantitativo do padrão de escoamento de fluidos exigir 
matemática avançada, um recurso largamente empregado é o de análise 
visual do escoamento, seja experimentalmente e/ou computacionalmente. 
Para saber mais sobre as técnicas de visualização experimental de 
escoamento, acesse:
MANSUR, S. S.; VIEIRA, E. D. R. Visualização experimental de 
escoamentos. Porto Alegre, 2004. Disponível em: <http://www.abcm.
org.br/app/webroot/anais/eptt/2004/portuguese/docs/cap2-cd.pdf>. 
Acesso em: 14 dez. 2016.
Exemplo 1
Determine o número de Reynolds e identifique se o regime de escoamento do fluido é laminar ou 
turbulento. Sabe-se que a tubulação possui 4 cm de diâmetro e escoa água a 20 ºC a uma velocidade de 
6 cm/s. A viscosidade dinâmica da água é µ = 1x10-3 Pa.s.
Dados:
D = 4 cm
T = 20 ºC
v = 6 cm/s
O número de Reynolds é obtido empregando a equação:
R
v L v L
e =
⋅ ⋅ = ⋅ρ
µ ν
A massa específica da água é ρ = 1000 kg/m³, e a viscosidade dinâmica da água a 20 ºC vale 
µ = 1x10-3 Pa.s.
R
v L
e =
⋅ ⋅ = ⋅ × ⋅ ×
× ⋅
= ⋅ρ
µ
1000 kg/m 6 10 m/s 4 10 m
1 10 Pa s
1000 6-2 -2
-3
3 ×× ⋅ ×
× ⋅
10 4 10
1 10
kg
m
m
s
m
1
Pa s
-2 -2
-3 3
R
m
Re e= ⋅
⇒ ⋅2400 3 2 
kg
m
m
s
m
N s
= 2400 
kg m
s
1
N
²
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FENÔMENOS DE TRANSPORTE
Como 1 N = 1 kg.m/s², tem-se:
Re = 2400
Como Re = 2400, temos um escoamento turbulento.
Exemplo 2
Um determinado fluido escoa por uma tubulação em regime de escoamento laminar. Sabendo que 
nessa condição o número de Reynolds equivale a 1950, determine a máxima velocidade do escoamento, 
considerando um tubo com 3 cm de diâmetro. Dados: ρ = 750 kg/m³ e µ = 0,326 mPa.s
Resolução
Dados:
Re = 1950 (escoamento laminar)
v = ?
L = 3 cm
ρ = 750 kg/m³
µ = 0,326 mPa.s
Para determinação do número de Reynolds, emprega-se a equação:
R
v L
e =
⋅ ⋅ρ
µ
Assim, tem-se:
v = 
.
.L
Re µ
ρ
v = 
.
.L
1950 0,326 10 Pa.s
750 kg/m 3 10 m
1950 0,-3
-2
Re µ
ρ
= ⋅ ×
⋅ ×
= ⋅3
3326 10
750 3 10
N s
m m
m
kg
-3
-2
×
⋅ ×
⋅
2
3
v = 28,25x10
N s
kg
 28,25 10 
kg m s
s
1
kg
− −⋅ = × ⋅ ⋅3 3 2
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Unidade I
v = 28,25 × 10–3 m/s
v = 28,25 mm/s
Exemplo 3
O sangue flui pelas artérias com escoamento laminar. Considerando uma artéria de 3,6 mm de 
diâmetro, determine a velocidade máxima com a qual o sangue pode fluir por essa artéria de modo que 
o escoamento permaneça laminar. Sabe-se que a viscosidade dinâmica do sangue a 37 ºC vale µ = 4x10-3 
Pa.s e sua massa específica é ρ = 1,060x103 kg/m³. Considere que o sangue seja um fluido newtoniano.
Resolução
Dados:
L = 3,6 mm
µ = 4x10-3 Pa.s
ρ = 1,060x103 kg/m³
Re = 2000 (limite para o escoamento laminar)
v = ?
Empregando a equação do número de Reynolds e isolando a velocidade v, tem-se:
R
R
e
e= ⋅ ⋅ ⇒ ⋅
⋅
ρ
µ
µ
ρ
v L
 v = 
L
Substituindo os valores fornecidos pelo enunciado do problema:
v = 
L
2000 4 10 Pa s
1,060 10 kg/m 3,6 10 m
200-3
3 3 -3
Re ⋅
⋅
= ⋅ × ⋅
× ⋅ ×
=µ
ρ
00 4 10
1,060 10 3,6x10
N s
m
m
kg
1
m
-3
3 -3 2
3⋅ ×
× ⋅
⋅
v = 2,1 
N.s
kg
 = 2,1 
kg.m.s
kg.s2
Assim, a velocidade máxima é:
v = 2,1 m/s
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FENÔMENOS DE TRANSPORTE
 Lembrete
1 Newton = 1 N = 1 
kg.m
s2
Exemplo 4
Um fluido com massa específica de ρ = 790 kg/m³ e viscosidade dinâmica µ = 0,326 mPa.s, deve 
escoar por uma tubulação em regime laminar. Sabendo que a velocidade de escoamento deste fluido 
é de 3 cm/s, determine o diâmetro máximo da tubulação de forma que o escoamento permaneça no 
regime laminar.
Resolução
Dados:
ρ = 790 kg/m³
µ = 0,326 mPa.s
v = 3 cm/s
Re = 2000 (limite para o escoamento laminar).
Utilizando a equação para determinação do número de Reynolds e isolando a variável L (diâmetro 
do tubo), tem-se:
R
R
e
e= ⋅ ⋅ ⇒ ⋅
⋅
ρ
µ
µ
ρ
v L
 L = 
v
L = 
v
2000 0,326 10 Pa s
790 kg/m 3 10 m/s
2000-3
3 -2
Re ⋅
⋅
= ⋅ × ⋅
⋅ ×
= ⋅µ
ρ
00,326 10
790 3 10
N s
m
m
kg
s
m
-3
-2 2
3×
⋅ ×
⋅
L = 27,51x10
kg.m.s
s
s
kg
 = 27,51x10 m = 2,75x10 m-3 2
-3 −2
L = 2,75 cm
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Unidade I
Exemplo 5
Uma mangueira com 2 cm de diâmetro é empregada para irrigação da grama de um jardim. Determine 
a velocidade máxima da água para que o escoamento seja laminar. Dados: ρ = 1000 kg/m³ e µ = 1 mPa.s.
Resolução
Dados:
L = 2 cm
v = ?
Re = 2000 (limite para o escoamento laminar)
ρ = 1000 kg/m³
µ = 1 mPa.s
Utilizando a equação para determinação do número de Reynolds:
R
R
e
e= ⋅ ⋅ ⇒ ⋅
⋅
ρ
µ
µ
ρ
v L
 v = 
L
Substituindo os dados fornecidos pelo problema:
v = 
2000.1x10 Pa.s
1000kg/m .2x10 m
2000.1x10
1000.2x1
-3
-2
-3
3 = 00
Pa.s
kg m-2
m3
v = 0,1 
N s
m kg
m
m
0,1 
kg m s
s kg
0,1 m/s
⋅
⋅
= ⋅ ⋅
⋅
=2
3
2
v = 10 cm/s
 Observação
O valor de 10 cm/s é muito baixo, o que sugere que o escoamento da 
água seja turbulento no interior dos encanamentos domiciliares. Para uma 
torneira típica empregada em residência, a velocidade de escoamento da 
água é de aproximadamente 1 m/s.
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FENÔMENOS DE TRANSPORTE
4 VAZÕES
4.1 Vazão volumétrica (Q)
A vazão volumétrica (ou simplesmente vazão) corresponde à taxa de escoamento e pode ser 
calculada por meio da razão entre o volume (∀) que passa por uma seção reta e o intervalo de tempo 
de escoamento (t) do fluido:
Q
volume
tempo t
= = ∀
A seguir, são mostradas algumas unidades para vazão volumétrica:
• m³/s (metro cúbico por segundo);
• l/s (litro por segundo);
• m³/h (metro cúbico por hora);
• l/min (litro por minuto).
 Observação
As relações entre litro e metro cúbico são:
• 1 m³ = 10³ l
• 1 l = 10-3 m
Contudo, existe uma relação entre a vazão volumétrica e a velocidade do fluido. Considerando o 
escoamento de um fluido em uma região do espaço com seção de área A e distância s (figura a seguir), 
a vazão volumétrica pode ser escrita como:
Q
s A
t
= ⋅
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Unidade I
s
A A
Figura 22 – Fluido escoando com velocidade média constante por 
uma região do espaço com seção reta de área A e comprimento s
A razão entre a distância e o tempo define a velocidade (v) do fluido. Portanto, a equação anterior fica:
Q = v . A
A equação anterior é válida somente se a velocidade for constante ao longo da seção considerada. 
Como isso não é válido para a maioria dos casos práticos, para determinar a vazão volumétrica deve-se 
analisar o perfil da velocidade e determinar a velocidade média ao longo da seção. Na figura a seguir, é 
mostrado um perfil de velocidade que varia ao longo da seção de área A.
A
dA
v
Figura 23 – Perfil da velocidade de um fluido passando 
por uma seção de área A e elemento de área dA
De maneira geral, pode-se calcular a vazão por meio de:
dQ v dA Q v dA
A
= ⋅ ⇒ = ⋅∫ 
Define-se a velocidade média (vm) como a velocidade uniforme que produziria a mesma vazão na 
seção transversal estudada. Dessa forma:
Q v dA Q v A
A
m= ⋅ ⇒ = ⋅∫ 
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FENÔMENOS DE TRANSPORTE
Igualando as duas expressões, tem-se:
v
A
v dAm
A
= ⋅∫1 
Ou seja, a velocidade média correspondeao valor médio da velocidade v ao longo da seção transversal 
do tubo (figura a seguir).
A
vm
v
Figura 24 – Ilustração da velocidade média sobre a seção transversal de um tubo
4.2 Vazão em massa (QM)
Define-se a vazão em massa (ou vazão mássica) como a razão entre a massa (m) e o tempo de 
escoamento (t) do fluido:
Q
massa
tempo
m
tM
= =
A seguir, são mostradas algumas unidades para vazão em massa:
• kg/s; kg/min;kg/h
• utm/s; utm/min;utm/h
 Observação
A unidade utm corresponde à unidade técnica de massa e representa a 
massa de um corpo que, quando submetido à ação de uma força de 1 kgf, 
adquire a aceleração de 1 m/s². As relações entre utm e kg são:
1 utm = 9,80665 kg
1 kg = 1,0197x10-1 utm
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Unidade I
Como a massa específica (ρ) de um fluido pode ser determinada por meio da razão entre sua massa 
(m) e seu volume (∀):
ρ =
∀
m
Então:
m = ρ . ∀
Substituindo a equação anterior na definição de vazão em massa, tem-se:
Q
tm
= ⋅∀ρ
4.2.1 Relação entre a vazão em massa e a vazão volumétrica
A relação entre vazão em massa (Qm) e vazão volumétrica (Q) pode ser obtida já que volume 
(∀) por unidade de tempo (t) define a vazão volumétrica. Portanto, a equação anterior pode ser 
reescrita como:
Qm = ρ . Q
Ou ainda:
Qm = ρ . v . A
sendo:
v → a velocidade ao longo da seção; e
A → a área da seção transversal.
4.3 Vazão em peso (QG)
A vazão em peso pode ser calculada por meio da razão entre a força peso (G) que passa por uma 
seção reta e o intervalo de tempo de escoamento (t) do fluido:
Q
peso
tempo
G
tG
= =
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FENÔMENOS DE TRANSPORTE
A seguir, são mostradas algumas unidades para vazão em peso:
• N/s, N/min, N/h
• kgf/s, kgf/min, kgf/h
• dina/s, dina/min, dina/h
4.3.1 Relação entre a vazão em peso e a vazão mássica
Por meio da segunda Lei de Newton do movimento, tem-se que a força peso corresponde ao produto 
entre massa (m) e a aceleração da gravidade (g). Assim, a equação anterior pode ser escrita como:
Q
m g
tG
= ⋅
A razão entre a massa (m) e o intervalo de tempo (t) define a vazão mássica (QM), então a relação 
entre a vazão em peso e a vazão mássica fica:
QG = QM . g
4.3.2 Relação entre a vazão em peso e a vazão volumétrica
Como a vazão em massa relaciona-se com a vazão volumétrica, a relação entre vazão em peso e 
vazão volumétrica é dada por:
QG = ρ . Q . g
O produto entre a massa específica do fluido e a aceleração da gravidade determina a grandeza peso 
específico (γ). Portanto:
QG = γ . Q
No quadro a seguir, são resumidas as definições de cada tipo vazão, assim como as relações entre 
elas e suas unidades no SI.
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Unidade I
Quadro 8 – Definição de vazão volumétrica, 
em massa e em peso, e as relações entre elas
Vazão Expressão Unidade no SI
Volumétrica (Q)
Q
volume
tempo t
= = ∀
 m³/s
Q = v . A
Em massa (Qm)
Q
massa
tempo
m
tM
= =
kg/s
QM = ρ . Q
Em peso (QG)
Q
peso
tempo
G
tG
= =
N/s
QG = QM . g
QG = γ . Q
4.4 Medição de vazão (Método volumétrico e rotâmetro)
Conhecer a vazão de um sistema é de suma importância, uma vez que essa grandeza relaciona-se 
com a velocidade média do fluido, o que influencia o regime de escoamento e as características do 
movimento do fluido. Porém, dependendo do sistema, quantificar a vazão não é uma tarefa fácil. Um 
método simples para medição da vazão consiste na medição direta do fluxo, ou seja, medir o volume de 
fluido que se acumula em um recipiente por intervalo de tempo.
Esse método também é conhecido por método volumétrico e parte da definição de vazão. Para 
determinação da vazão por esse método é necessária a utilização de um recipiente graduado e de 
um cronômetro. Na figura a seguir, é mostrado um recipiente adequadamente graduado e aferido, 
empregado nas medições de vazão de água. Desde que o intervalo de tempo não seja muito pequeno, a 
vazão pode ser determinada por esse método com boa precisão. Para gases, o efeito da compressibilidade 
deve ser considerado durante as medições de volume.
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FENÔMENOS DE TRANSPORTE
Figura 25 – Recipiente graduado para medição do 
volume utilizado para determinação da vazão
 Lembrete
Ao utilizar simplesmente o termo vazão, lembre-se de que este se refere 
à vazão volumétrica (ou em volume).
Outra maneira de medir diretamente a vazão de sistemas é empregando medidores de área variável, 
chamados de rotâmetros no comércio ou medidores de flutuação. Esses dispositivos podem ser utilizados 
para medição da vazão tanto de líquidos quanto de gases e consistem em um tubo transparente cônico, 
vertical, de vidro ou plástico, com um flutuador que se desloca livremente com a passagem do fluido. 
Esse flutuador move-se até uma posição de equilíbrio, em que a força de arrasto e o peso do flutuador 
se anulam.
Na figura a seguir, é mostrado um medidor de área variável baseado na gravidade. Vale destacar 
que esse medidor deve ser posicionado verticalmente, com o fluido entrando na parte inferior e saindo 
na superior. Além disso, como esses dispositivos dependem da visualização do flutuador em relação à 
escala, não podem ser utilizados para medir a vazão de fluidos opacos ou sujos.
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Unidade I
Figura 26 – Rotâmetro empregado para medições de vazão de fluidos
Exemplo 1
Para encher um balde de 60 litros utilizando uma mangueira são necessários 1,36 minutos. 
Determine a vazão volumétrica (Q) e a vazão mássica (QM) da água através da mangueira. Sabe-se 
que a massa específica da água ρ = 1000 kg/m³.
Resolução
Dados:
∀ = 60 l
Δt = 1,36 minutos
ρ = 1000 kg/m³
Q = ?
QM = ?
A vazão volumétrica é definida pela razão entre o volume que passa por uma seção reta e o intervalo 
de tempo do escoamento do fluido:
Q = 
t
 = 
60 l
1,36 60 s
 = 0,74 l/s
∀
⋅
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FENÔMENOS DE TRANSPORTE
Apresentando o resultando no Sistema Internacional:
Q = 0,74 × 10–3 m3/s
A vazão mássica é a razão entre a massa e o tempo de escoamento do fluido:
Q = 
m
tM
Lembrando que a massa específica é calcula a partir da equação:
ρ ρ = m m = 
∀
⇒ ∀
Dessa forma, tem-se:
Q = 
m
t
 = 
t
 = 
t
 = QM
ρ ρ ρ⋅∀ ∀ ⋅
Q = Q = 1000 
kg
m
.0,74 10 
m
sM
-3ρ⋅ ×3
3
Q = 0,74 
kg
sM
Exemplo 2
Considerando que a velocidade da água em uma tubulação com 37 mm de diâmetro seja de 7,60 
m/s, determine:
a) Vazão volumétrica;
b) Vazão mássica; e
c) Vazão em peso.
Dados: g = 10 m/s² e ρ = 1000 kg/m³
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Unidade I
Resolução
Dados:
D = 37 mm
v = 7,60 m/s
g = 10 m/s²
ρ = 1000 kg/m³
Lembrando que a vazão volumétrica (Q) é dada pela equação:
Q = v . A
Q = 7,60 m/s
37 10 m
2
7,60
37 10
2
m
s
m
-3 2 -3 2
⋅ ×




= ⋅ ⋅ ×




π π ²
Q = 8,17 × 10–3 m3/s
Já a vazão em massa (QM ) é obtida pela relação:
QM = ρ . Q
Então:
Q = Q =1000 kg/m 8,17 10 m /s = 1000 8,17 10 
kg
m
m
M
3 3
3ρ⋅ ⋅ × ⋅ ×
− −3 3
33
s
QM = 8,17 kg/s
Para a determinação da vazão em peso (QG) efetua-se a multiplicação da aceleração gravitacional 
(g) pela vazão em massa (QM):
QG = g . QM
Q = g Q = 10 m/s 8,17 kg/s = 10 8,17 
m
s
kg
sG M
⋅ ⋅ ⋅2 2
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FENÔMENOS DE TRANSPORTE
Q = 81,7 
kg.m
s
1
sG 2
QG = 8,17 N/s
Exemplo 3
Próximo ao fundo de um tanque com água, foi instalada uma torneira de diâmetro interno 15 mm. 
O nível da água está 3,25 metros acima do nível da torneira. Determine a vazão volumétrica da torneira 
quando estiver totalmente aberta. Dados: ρ = 1000 kg/m³e g = 10 m/s².
H
v
Torneira – D = 15 mm
Figura 27 
Resolução
Dados:
D = 15 mm
H = 3,25 m
ρ = 1000 kg/m³
g = 10 m/s²
Q = ?
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Re
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o:
 A
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- 
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m
aç
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: M
ár
ci
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- 
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2/
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Unidade I
Como o movimento da água pode ser considerado retilíneo e uniformemente variado, para determinar 
a velocidade da água emprega-se a equação de Torricelli:
v = v + 2gH2 0
2
No instante inicial, v0 = 0, então:
v = 2gH v = 2gH2 ⇒
Substituindo os valores fornecidos pelo enunciado:
v = 2gH = 2 10 m/s 3,25 m 2 10 3,25 
m
s
⋅ ⋅ = ⋅ ⋅2
2
2
v = 
m
s
8,06 m/s65
2
2 =
A vazão volumétrica da torneira será obtida por meio da relação:
Q = v . A
Lembre-se que a área de uma circunferência é calculada por:
A
D= 



π
2
2
Assim, tem-se:
Q 
 
 M = ⋅ ⋅
×



= ⋅ ⋅ ×




− −
8 06
15 10
2
8 06
15 10
2
3 2 3 2
, / ,m s
m m
s
mπ π 22
Q = × −142 10 3
3
,
m
s
 
Exemplo 4
Determine o diâmetro de uma tubulação sabendo que por ela escoa água a uma velocidade média 
de 3 m/s. A tubulação está conectada diretamente a um tanque com capacidade para 14000 litros e leva 
aproximadamente 1 hora e 22 minutos para enchê-lo totalmente.
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FENÔMENOS DE TRANSPORTE
Resolução
Dados:
D = ?
v = 3 m/s
∀ = 14000 litros
t = 1 hora e 22 minutos
Antes de substituir os valores nas equações de vazão volumétrica, é necessário converter as unidades 
para o Sistema Internacional:
∀ = × −14000 3 l = 14000 10 m = 14 m3 3
t = 1 hora e 22 minutos = 1 60 60 s + 22 60 s = 4920 s⋅ ⋅ ⋅
Igualando as duas equações da vazão volumétrica:
Q = 
t
∀ e Q = v . A
∀ ⇒ ∀
t
 = v.A A = 
t.v
π
π π
.
D
2
= 
t v
 
D
t v
 D
t v




∀
⋅
⇒ = ∀
⋅ ⋅
⇒ = ∀
⋅ ⋅
2 2
2
4
4
D
t v t v
= ∀
⋅ ⋅
= ∀
⋅ ⋅
4 2
π π
Substituindo os valores fornecidos pelo problema:
D
t v
14 m
 s 3 m/s.
m
s
s
m
= ∀
⋅ ⋅
=
⋅
=
⋅ ⋅
2 2
4920
2
14
4920 3
3 3
π π π
D m D m D = 35 10 m2= × ⇒ = ⇒ ×− −2 3 019 10 0 0354 3, ,
D = 35 mm
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Unidade I
Exemplo 5
Na figura a seguir, são mostrados os reservatórios I e II. Sabendo que esses reservatórios são 
cúbicos e que eles são preenchidos pelas tubulações, respectivamente, em 3,5 minutos e 10 minutos, 
respectivamente, determine a velocidade da água na seção A, indicada na figura, sabendo-se que o 
diâmetro da tubulação é 1 m.
10 m
A
5 m
Figura 28 
Resolução
Dados:
∀I = (5m)
3 = 125 m3
∀I = (10m)
3 = 1000 m3
tI = 3,5 min = 3,5 . 60 s = 210 s
tII = 10 min = 10 . 60 s = 600 s
v = ?
DA = 1 m
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FENÔMENOS DE TRANSPORTE
No reservatório I, tem-se:
Q = 
t
 = 
 m
 s
 = 
m
sI
I
I
3 3∀ 125
210
125
210
QI = 0,595 m
3/s
Já no reservatório II:
Q = 
t
 = 
1000 m
600 s
 = 
m
sII
II
II
3 3∀ 1000
600
QII = 1,67 m
3/s
A vazão total sobre a área A (QA) é dada pela soma das vazões nos reservatórios I e II:
QA = QI + QII
QA = 0,595 m
3/s + 1,67 m3/s = (0,595 + 1,67)m3/s
QA = 2,265 m
3/s
Para determinação da velocidade da água que atravessa a seção A, tem-se:
QA = v . A
Q v = A
A A
A
v A
Q
A
Q
D
= ⋅ ⇒ =
⋅

π 2
2
Substituindo os valores fornecidos pelo problema:
 v = 
2,265 m /s
1 m
2
 = 
3
2
3
2
π
π
⋅ 


⋅
2 265
0 5
1
2
,
,
m
s m
v = 2,88 m/s
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Unidade I
Exemplo 6
Calcule o tempo necessário para encher um copo de 200 ml a partir do perfil de escoamento de água 
que sai da torneira (ilustrada a seguir):
h
v1
v2
A1
A2
Figura 29 
Sabe-se que o diâmetro da seção transversal A1 vale 12 mm e o diâmetro da seção transversal A2 é 
igual a 6 mm. Os dois níveis estão separados por uma distância h (h = 50 mm). Dados: g = 10 m/s².
Resolução
Dados:
∀ = 200 ml = 200x10-6 m³
t = ?
D1 = 12 mm = 0,012 m
D2 = 6 mm = 0,006 m
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FENÔMENOS DE TRANSPORTE
A1 = ?
A2 = ?
h = 50 mm = 0,050 m
g = 10 m/s²
A vazão nos pontos A1 e A2 são iguais. Dessa forma, tem-se:
Q1 = v1 . A1 e Q2 = v2 . A2
Q1 = Q2
v1 . A1 = v2 . A2
Empregando a equação de Torricelli, relacionam-se as velocidades v1, v2 e a altura h:
v = v + 2gh2
2
1
2
Resolvendo o problema para velocidade v1, tem-se:
v A = v A v = 
v A
A1 1 2 2 2
1 1
2
⋅ ⋅ ⇒ ⋅
v A
A
 = v + 2gh 
v A
A
 = v + 2gh1 1
2
1
2 1
2
1
2
2
2 1
2⋅



⇒ ⋅
2
v A = A v + 2gh v A = A v + 2ghA1
2
1
2
2
2
1
2
1
2
1
2
2
2
1
2
2
2⋅ ⋅ ( ) ⇒ ⋅ ⋅
v A - v A = 2ghA A - A v = 2ghA1
2
1
2
1
2
2
2
2
2
1
2
2
2
1
2
2
2⋅ ⋅ ⇒ ( )⋅
v = 
2ghA
A - A
 v = 
2ghA
A - A
1
2 2
2
1
2
2
2 1
2
2
1
2
2
2⇒
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Unidade I
v = 
2gh 
D
2
D
2
-
D
2
1
2
2 2
1
2 2
2
π
π π




































2 2
2
4
1
4
2
4 = 2gh 
D
D -D
v = 2 10 m/s 0,05 m
0,006 m
0,012 m - 0,006 m
1
2
4
4 4⋅ ⋅
( )
( ) ( )
v = 
m
s
m
m
m
1 2
4
42 10 0 05
0 006
0 012 0 006
4
4 4⋅ ⋅ −
,
,
, ,
v1
9
81
1296 10
1944 10
= ×
×
−
− 
m
s
 
2
2
,
,
v1 = 0,258 m/s
Determinada a velocidade v1, tem-se:
Q m/s
 
1 1 1
2
0 258
0 012
2
= ⋅ = ⋅ 



v A
m
,
,π
Q1 = 2,918 × 10
–5 m3/s
Então:
Q = 
t
 t = 
Q
∀ ⇒ ∀
t = 
 m
2,918 10 m 2,918 10
 m
s
m
3
3 3 3
200 10 200 106
5
6
5
×
×
= ×
×
−
−
−
−/ s
t = 6,85 s
Portanto, para encher um copo de 200 ml, levará aproximadamente 7 s.
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FENÔMENOS DE TRANSPORTE
 Resumo
A análise cinética dos fluidos baseia-se na classificação das propriedades 
e do regime de escoamento do fluido em questão. Dentre essas se destacam 
as seguintes classificações:
O fluido ideal (ou perfeito) apresenta viscosidade nula. 
Consequentemente, durante o escoamento de um fluido ideal, este não 
opõe resistência ao deslizamento de suas camadas e, consequentemente, 
não existem perdas de energia por atrito.
O fluido real apresenta viscosidade não nula e, durante o escoamento, 
suas camadas adjacentes resistem ao deslizamento.
No fluido incompressível, se a massa específica do fluido permanecer 
uniforme e constante durante o escoamento, o fluido (ou o escoamento) 
será classificado como incompressível.
No fluido compressível, se a massa específica do fluido se alterar ao 
longo do escoamento, será classificado como compressível.
No movimento permanente (estacionário), se as propriedades do 
fluido em cada ponto do espaço permanecerem constantes com o tempo, 
o movimento (ou regime) será dito permanente (ou estacionário).
No movimento variado (não estacionário), se as propriedades do 
fluido em um determinado ponto variam com o tempo, esse movimento é 
denominado não permanente (ou não estacionário).
O escoamento laminar é caracterizado pelo fato de a velocidade do 
fluido em um ponto fixo qualquer não variar com o tempo, nem em módulo 
nem em orientação.
O escoamento turbulento é caracterizado pelo fato de o campo 
de velocidades das partículas do fluido mudar com o tempo de forma 
aparentemente aleatória.
As principais grandezas que descrevem um fluido estão a seguir.
A tensão de cisalhamento (τ) é a razão entre a força (Ft) que tangencia 
a superfície e a área A.
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Unidade I
τ = F
A
t
Para fluidos newtonianos em regime de escoamento laminar, a 
constante de proporcionalidade entre a tensão de cisalhamento e a taxa de 
deformação (dv/dy) é a viscosidade dinâmica (ou absoluta), µ.
τ µ= dv
dy
em que v é a velocidade impressa pela força Ft e y é a altura da camada 
de fluido.O número de Reynolds (Re) é o parâmetro que permite determinar o 
regime de escoamento.
R
v L v L
e =
⋅ ⋅ = ⋅ρ
µ ν
em que
ρ é massa específica do fluido;
v é a velocidade média de escoamento do fluido;
L é um comprimento característico da geometria de escoamento;
µ é a viscosidade dinâmica do fluido; e
n é a viscosidade cinemática do fluido.
A vazão volumétrica (Q) é razão entre o volume (∀) que passa por 
uma seção reta e o intervalo de tempo de escoamento (t) do fluido:
Q
volume
tempo t
= = ∀
A vazão em massa (QM) é a razão entre a massa (m) e o tempo de 
escoamento (t) do fluido:
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FENÔMENOS DE TRANSPORTE
Q
massa
tempo
m
tM
= =
A vazão em peso (QG) é a vazão em peso que pode ser calculada por 
meio da razão entre a força peso (G) que passa por uma seção reta e o 
intervalo de tempo de escoamento (t) do fluido:
Q
peso
tempo
G
tG
= =
 Exercícios
Questão 1. Em uma tubulação que possui 50mm de diâmetro escoa água, cuja massa específica é 
 
ρ = 1000 3
kg
m
, a 20 ºC, cuja viscosidade dinâmica é m = 1x10–3 Pa. s, com velocidade de 3m / s. Para essa 
 
situação, foi informado que:
A) O regime é turbulento, pois o número de Reynolds é 150.
B) O regime é laminar, pois o número de Reynolds é 150.000.
C) O regime é turbulento, pois o número de Reynolds é 150.000.
D) O regime é laminar, pois o número de Reynolds é 150.
E) O regime é turbulento, pois o número de Reynolds é 15.000.
Resposta correta: alternativa C.
Análise das alternativas
A) Alternativa incorreta.
Justificativa: a solução indica que o número de Reynolds para a situação descrita é igual a 150.000, 
e não 150, como indicado na alternativa. Há de se observar, entretanto, que o escoamento é turbulento, 
pois o escoamento será turbulento sempre que o número de Reynolds for maior que 2.000.
B) Alternativa incorreta.
Justificativa: a solução indica que o número de Reynolds para a situação descrita é igual a 150.000. 
Embora esse número esteja correto, nessa situação, o escoamento é turbulento, pois o escoamento será 
turbulento sempre que o número de Reynolds for maior que 2.000.
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Unidade I
C) Alternativa correta.
Justificativa: a solução indica que o número de Reynolds para a situação descrita é igual a 150.000. 
Nessa situação, o escoamento é turbulento, pois o escoamento será turbulento sempre que o número 
de Reynolds for maior que 2.000.
D) Alternativa incorreta.
Justificativa: a solução indica que o número de Reynolds para a situação descrita é igual a 150.000, 
e não 150, como indicado na alternativa.
E) Alternativa incorreta.
Justificativa: a solução indica que o número de Reynolds para a situação descrita é igual a 150.000 e 
não 15.000, como indicado na alternativa. Há de se observar, entretanto, que o escoamento é turbulento, 
pois o escoamento será turbulento sempre que o número de Reynolds for maior que 2.000.
Questão 2. O açude de Coremas, um dos maiores do Brasil, possui capacidade de armazenamento 
de água igual a 720 milhões de metros cúbicos em um único espelho d’água de extensão igual a 1.550 
m e altura média de 45 m. Deseja-se instalar na base desse reservatório uma tubulação para alimentar 
uma cidade da região que possui 20.000 habitantes, sabendo-se que o consumo médio per capita é de 
180 litros por dia.
Figura 30 – Barragem do açude de Coremas
Para essa situação, foram feitas as seguintes afirmativas:
I – A velocidade na tubulação é de 30 m/s.
II – Para que seja possível abastecer adequadamente a população, seria necessária uma vazão de 15
3m
h
.
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FENÔMENOS DE TRANSPORTE
III – Para obter a vazão necessária ao abastecimento da população, o diâmetro da tubulação deve 
ser igual a 42mm.
Estão corretas as afirmativas:
A) I e II, apenas.
B) I e III, apenas.
C) II e III, apenas.
D) I, II e III.
E) Nenhuma afirmativa está correta.
Resposta desta questão na plataforma.