Momento e centro de massa

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Disciplina: Cálculo II 
Semestre – 2010.1 
Professora: Edmary Barreto 
 “ Respondeu Jesus: Em verdade, em verdade te digo: 
 quem não nascer da água e do Espírito não pode entrar 
 no reino de Deus.” Jo 3:5 
 
 
Momento, Massa e Centro de Massa de uma Barra ou Faixa Fina ao longo do 
Eixo x com Função Densidade d ( )x . 
 
Momento em torno da origem M x x dx
Massa M x dx
Centro de massa x
M
M
x x dx
x dx
a
b
a
b
a
b
a
b
: ( )
: ( )
:
( )
( )
0
0
=
=
= =
ò
ò
ò
ò
d
d
d
d
 
 
 Exemplo 1: Faixas e Barras de Densidade Constante 
 Mostre que o centro de massa de uma faixa reta e fina ou barra de densidade 
constante situa-se no meio do caminho entre um extremo e outro. 
 
 
Re .sp x
a b
=
+
2 
 
 Exemplo 2: Barra de Densidade Variável 
 Uma barra de 10m de comprimento fica mais espessa da esquerda para a direita, de 
modo que sua densidade, em vez de ser constante, é 
d ( ) /x x kg m= +æ
èç
ö
ø÷
1
10 . Determine o 
centro de massa da barra. 
 
 
Re .s x m=
50
9 
 
 
 
 
 
 
 
 
MASSAS DISTRIBUÍDAS EM UMA REGIÃO PLANA 
 
 
Momento em torno do eixo x M ydm
Momento em torno do eixo y M xdm
Massa M dm
Centro de massa x
M
M
y
M
M
x
y
y x
:
:
:
:
~
~
=
=
=
= =
ò
ò
ò
 
 
 
 Exemplo 3: Placa de Densidade Constante 
 Uma placa triangular tem uma densidade constante de 
d = 3
2
g
cm . Determine: 
 a) o momento My da placa em torno do eixo y. 
 b) a massa M da placa. 
 c) a abscissa do centro de massa (c.m.) da placa. 
 
 
Re . ) . ) ) .s a M g cm b M g c x cmy = = =2 3
2
3 
 
 Exemplo 4: Placa de Densidade Constante 
 Determine o centro de massa de uma placa fina de densidade constante d que cobre 
a região limitada superiormente pela parábola y x= -4
2
 e interiormente pelo eixo x. 
 
 
Re . ( , ) ,s x y = æ
èç
ö
ø÷
0
8
5 
 
 Exemplo 5: Placa de Densidade variável 
 Determine o centro de massa da placa do exemplo 4 se a densidade no ponto (x, y) 
for d = 2
2x , duas vezes o quadrado da distância do ponto para o eixo y. 
 
 
( )Re . , ,s x y = æèç
ö
ø÷
0
8
7 
 
 Exemplo 6: Fio de Densidade Constante 
 Determine o centro de massa de um fio de densidade constante d com formato de 
semicírculo com raio a. 
ays
p
2
.Re =