Análise combinatória

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Análise combinatória
Simone Farias
A análise combinatória é a parte da Matemática que estuda métodos e técnicas que permitem resolver problemas relacionados com contagem.
Muito utilizada nos estudos sobre probabilidade, ela faz análise das possibilidades e das combinações possíveis entre um conjunto de elementos.
Exemplo
Uma lanchonete vende uma promoção de lanche a um preço único. No lanche, estão incluídos um sanduíche, uma bebida e uma sobremesa. São oferecidos três opções de sanduíches: hambúrguer especial, sanduíche vegetariano e cachorro-quente completo. Como opção de bebida pode-se escolher 2 tipos: suco de maçã ou guaraná. Para a sobremesa, existem quatro opções: cupcake de cereja, cupcake de chocolate, cupcake de morango e cupcake de baunilha. Considerando todas as opções oferecidas, de quantas maneiras um cliente pode escolher o seu lanche?
Solução
Podemos começar a resolução do problema apresentado, construindo uma árvore de possibilidades, conforme ilustrado:
Nem sempre será possível fazer a árvore por falta de tempo ou excesso de dados, então, antes de conhecermos melhor esses procedimentos de cálculo, precisamos definir uma ferramenta muito utilizada em problemas de contagem, que é o fatorial.
O fatorial de um número natural é definido como o produto deste número por todos os seus antecessores. Utilizamos o símbolo ! para indicar o fatorial de um número.
Define-se ainda que o fatorial de zero é igual a 1.
Exemplo
O! = 1
1! = 1
3! = 3.2.1 = 6
7! = 7.6.5.4.3.2.1 = 5 040
10! = 10.9.8.7.6.5.4.3.2.1 = 3 628 800
Existirão casos em que a ordem importa e outros em que a ordem não importa.
Caso a ordem seja um fator relevante, a resolução se dará por ARRANJO.
Combinações
As combinações são subconjuntos em que a ordem dos elementos não é importante, entretanto, são caracterizadas pela natureza dos mesmos.
Exemplo
Qual a probabilidade de um apostador ganhar o prêmio máximo da mega-sena, fazendo uma aposta mínima, ou seja, apostar exatamente nos seis números sorteados?
1) Quantas senhas com 4 algarismos diferentes podemos escrever com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,e 9?
1ª maneira: usando o princípio fundamental da contagem.
Como o exercício indica que não ocorrerá repetição nos algarismos que irão compor a senha, então teremos a seguinte situação:
9 opções para o algarismo das unidades;
8 opções para o algarismo das dezenas, visto que já utilizamos 1 algarismo na unidade e não pode repetir;
7 opções para o algarismo das centenas, pois já utilizamos 1 algarismo na unidade e outro na dezena;
6 opções para o algarismo do milhar, pois temos que tirar os que já usamos anteriormente.
Assim, o número de senhas será dado por:
9.8.7.6 = 3 024 senhas
2ª maneira: usando a fórmula
Para identificar qual fórmula usar, devemos perceber que a ordem dos algarismos é importante. Por exemplo 1234 é diferente de 4321, assim iremos usar a fórmula de arranjo.
Então, temos 9 elementos para serem agrupados de 4 a 4. Desta maneira, o cálculo será:
 
EXERCÍCIOS COMENTADOS QUE DEVEM SER UTILIZADOS COMO REFERÊNCIA:
3) De quantas maneiras diferentes, uma pessoa pode se vestir tendo 6 camisas e 4 calças ?
Usando o princípio fundamental da contagem, temos: 6.4 = 24 maneiras diferentes.
4) De quantas maneiras diferentes 6 amigos podem sentar em um banco para tirar uma foto?
5) Em uma competição de xadrez existem 8 jogadores. De quantas formas diferentes poderá ser formado o pódio (primeiro, segundo e terceiro lugares)?
6) Uma lanchonete tem uma promoção de combo com preço reduzido em que o cliente pode escolher 4 tipos diferentes de sanduíches, 3 tipos de bebida e 2 tipos de sobremesa. Quantos combos diferentes os clientes podem montar?
7) Quantas comissões de 4 elementos podemos formar com 20 alunos de uma turma?
Alternativa a
Alternativa e
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