Princípio fundamental da Contagem

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Princípio fundamental da Contagem
A análise combinatória é o ramo da matemática que estuda métodos e técnicas utilizados na resolução de problemas envolvendo contagem. Esse tipo de problema pode aparecer tanto no desenvolvimento de uma área da ciência quanto em situações do dia a dia.
No entanto, muitos consideram que problemas de contagem são complicados, o que não é verdade, desde que se interprete o problema e procure fazer algum tipo de ilustração.
Nesse sentido, analise a situação a seguir:
Diante desse contexto, realize a seguinte proposta:
a) Verifique quantos menus é possível criar para a festa com as opções disponíveis.
b) Verifique quantos conjuntos você pode formar com as peças de vestimenta que foram dadas como opções.​​​​​​​
Padrão de resposta esperado
a) Para encontrar a quantidade de menus possíveis, aplica-se o princípio fundamental da contagem, ou seja, multiplicam-se todas as opções possíveis:
3 × 2 × 2 × 2 = 24 menus diferentes.
b) Para encontrar a quantidade de looks que é possível formar com os itens dados, aplica-se o princípio fundamental da contagem, ou seja, multiplicam-se todas as opções possíveis:
5 × 3 × 3 = 45 conjuntos diferentes.
Enquanto profissional do setor de eventos, são comuns as dúvidas, as indecisões e os dilemas por parte dos clientes. Esse tipo de problema é bastante comum na prática diária.
Contudo, percebe-se que os mais variados problemas podem ser facilmente resolvidos pelo princípio fundamental da contagem, com utilização da técnica apropriada. Além disso, também é possível fazer uso desse conhecimento para resolver situações bem simples, que acabam surgindo em decorrência da profissão, como o auxílio com a escolha de um look para a festa.
1.  O princípio multiplicativo pode ser utilizado para encontrar o número de possibilidades de um evento dado, sem a necessidade de enumeração direta de todas elas. Ele pode ser útil, por exemplo, para descobrir a quantidade de senhas possíveis de serem formadas contendo uma determinada quantidade e tipo de caracteres.
Com base no exposto, quantos números naturais pares de dois algarismos são possíveis formar?
Você acertou!
B. 45
1. Considerando que o zero não é significativo quando está localizado à esquerda de um número, para obter um número natural com dois algarismos, é necessário começar com dois dígitos, sendo que o primeiro pode ser qualquer número entre 1 e 9. Dessa forma, há nove possibilidades;
2. Os números pares devem terminar em 0, 2, 4, 6, 8. Logo, só restam cinco possibilidades;
3. Para encontrar o resultado, basta fazer a multiplicação de 9 (possibilidades) por 5 (possibilidades de serem pares). Logo: são 45 os números naturais pares de dois algarismos.
2. O princípio multiplicativo pode ser muito útil em problemas aplicados que lidam com eventos independentes que podem ocorrer de m1, m2, m3, …, mn maneiras distintas. Então, as combinações desses eventos podem ocorrer de m1× m2× m3×…× mn maneiras distintas.
Com base no exposto, considere que o menu de um restaurante é composto por duas opções de massa, quatro opções de carne, três opções de salada, três opções de bebida alcoólica e cinco tipos de refrigerante.
Quantas composições de refeições podem ser escolhidas por um cliente, considerando que ele só poderá escolher uma opção de bebida e, obrigatoriamente, uma opção de cada alimento?
Você acertou!
D. 192.
As possibilidades de combinação da comida são: dois tipos de massa, quatro de carne e três de salada. Logo:
2 × 4 × 3 = 24
O cliente pode pedir somente uma opção de bebida. Por isso, não podem ser multiplicadas as opções de refrigerante pelas opções de bebidas alcoólicas. Para encontrar a solução, basta somar as possibilidades de bebidas e multiplicá-las pelas possibilidades de comidas:
2 × 4 × 3 × 3 + 5 = 192
Então, há a possibilidade de montar 192 pratos com as comidas e bebidas disponíveis no restaurante.
3. A análise combinatória pode ser utilizada em problemas teóricos, em situações aplicadas às ciências e aos negócios ou mesmo no dia a dia.
Nesse contexto, considere que Ana pretende realizar uma entrevista de emprego em que necessita vestir roupa social.
Sabendo que ela tem seis calças sociais e cinco blusas em seu guarda-roupa, de quantas maneiras distintas Ana vai poder se vestir para sua entrevista de trabalho?
Você acertou!
E. 30.
Para se vestir, Ana precisa de duas peças: uma calça e uma blusa. Então, basta multiplicar a quantidade de calças pela quantidade de blusas: 6 × 5. Dessa forma, conclui-se que ela poderá se vestir de 30 maneiras diferentes.
4.  O princípio fundamental da contagem pode ser utilizado em situações envolvendo eventos independentes. No caso do princípio multiplicativo, deseja-se analisar as combinações desses eventos. Assim, ele pode ser utilizado até mesmo quando se deseja organizar objetos de categorias distintas, em que uma categoria necessita ficar entre as demais.
Nesse contexto, considere que, na feira de filhotes para adoção, os seis animais foram organizados em fila para facilitar a visitação das pessoas. Há um gato, um coelho e quatro cachorros.
Considerando que todos os cachorros devem ficar entre os demais animais, de quantos modos distintos os seis podem ser enfileirados?
Você acertou!
E. 48.
Inicialmente, define-se quem ficará nas extremidades. Pode-se considerar que o gato e o coelho ocuparão os extremos da fila. Dessa forma, existirão duas possibilidades na posição 1. Após definir quem ficará em cada um dos extremos, só resta uma opção para o outro extremo da fila. Já os quatro cachorros podem ser alterados no meio da fila.
Assim:
2 × 4 × 3 × 2 × 1 = 48 maneiras.
5. O princípio multiplicativo pode ser utilizado em diversos problemas aplicados, como na análise da quantidade de senhas possíveis em um determinado portal, na quantidade de maneiras distintas de se vestir, ou até mesmo na quantidade de placas de automóveis possíveis de se formar, considerando critérios preestabelecidos.
Considere que, no Brasil, as placas de carro são formadas por quatro letras e três algarismos. Sabe-se também que a data para o pagamento do IPVA é definida conforme o último algarismo da placa.
Determine a quantidade de placas em que o número formado pelos algarismos termina em 1.
Você acertou!
E. 45.697.600.
O alfabeto é composto de 26 letras. Como as placas são formadas por quatro letras:
26 × 26 × 26 × 26 = 456.976
Para que o último número termine em 1, deve-se limitar o último algarismo ao número 1. Assim, como há 10 números e a placa contém dois números que vão variar, enquanto o último fica fixo, logo:
10 × 10 × 1 = 100
Para obter o resultado, multiplicam-se os dois valores encontrados, que são a combinação das letras com a combinação dos números. Então, multiplicam-se as possibilidades de letras pelas possibilidades de algarismos, resultando em:
456.976 × 100 = 45.697.600
No Brasil, as placas de carro são formadas por três letras e quatro algarismos. Sabe-se também que a data para o pagamento do IPVA é definida conforme último algarismo da placa. Determine a quantidade de placas nas quais número formado pelos algarismos termine em 1.
17.576.000
26*26*26 *10*10*10*10 = 175.760.000 / 10 = 17.576.000