NOCAO DE SISTEMAS DE CONTROLO DISCRETOS

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2020 
1. SISTEMAS DE CONTROLO AUTOMATICO DISCRETOS 
Os sistemas de controlo discretos são sistemas dinâmicos em que uma ou mais variáveis 
podem mudar apenas em instantes discretos de tempo, normalmente denotadas por ou 
 (em que ), que especificam instantes em que é realizada uma medida física ou 
em que é lida a memoria de um computador digital, etc. (OGATA, 1985) 
Em sistemas de controlo digital, diferente dos sistemas de controlo analógico, os sinais estão 
em forma de amostra e possui algoritmos executados em processadores digitais 
(computadores, microcontroladores, microprocessadores, etc.), em vens de controladores 
analógicos. 
Um sistema de controlo de tempo discreto consiste em partes principais: 
 A Planta, que é um sistema dinâmico de tempo contínuo; 
 O Conversor Analógico para Digital (A/D); 
 O controlador que pode ser um microprocessador (μP) ou um microcontrolador (μC), 
com um sistema operacional "em tempo real"; 
 O Conversor Digital para Analógico (DAC). 
 O Sensor para realimentação. 
 
Figura 1: Sistema de controlo discreto com realimentação. 
Fonte: Analisis de Sistemas de Control en Tiempo Discreto. 
Este sistema funciona basicamente da seguinte maneira: o conversor (A/D) transforma o sinal 
de erro continuo e(t) em um sinal discreto, reconhecido pelo microcontrolador, o qual 
processa o sinal. Após o processamento, o conversor (D/A) transforma o sinal de controlo 
discreto em um sinal de continuo m(t) que será capaz de controlar a planta ou processo, para 
manter a variável controlada y(t), em um valor próximo ao valor desejado r(t). 
2 
 
1.1. Modelos clássicos de sistemas de controlo 
Em sistema de controlo analógico, verificou-se que utiliza-se o diagrama na forma canónica 
mostrado na Figura 2, desenvolvido utilizando as transformada de Laplace, para analise e para 
a representação de sistema de controlo analógico, que é desenvolvido aplicando o conceito de 
função transferência para modelar o controlador ( e o processo , representados na 
forma complexa, usando a transformada de Laplace. 
 
Figura 2: Diagrama de um sistema de controlo analógico. 
Fonte: Analisis de Sistemas de Control en Tiempo Discreto. 
De modo similar em sistemas de controlo discretos, utiliza-se, também, um diagrama na 
forma canónica, mostrado na Figura 3, desenvolvido utilizando a transformada , para analise 
e representação de um sistema de controlo discretos, onde é o modelo do controlador ou 
compensador no qual é desenvolvido usando o conceito de função transferência discreta 
(FTD) e o é o modelo discreto equivalente do processo , que é obtido aplicando o 
conceito função transferência de pulsos (FTP). 
 
Figura 3: Diagrama de um sistema de controlo discreto. 
Fonte: Analisis de Sistemas de Control en Tiempo Discreto. 
A função realizada pelo controlador ou compensador no sistema da Figura 3, pode ser 
alcançado mediante no algoritmo de controlo desenvolvido e implementado em um 
controlador, exemplo o microcontrolador (μC), no sistema mostrado na Figura 1. 
3 
 
1.2. Amostragem e reconstrução de um sinal 
Nas aplicações práticas do controle digital usam processamento de sinal digital em 
comparação como um sinal contínuo para submete-lo a duas acções fundamentais: 
amostragem e reconstrução. 
A amostragem é realizada pelo conversor A/D, para transformar o sinal contínuo em um 
sinal amostrado , que é então submetido a um processo de quantização para obter o 
sinal digital equivalente a . Este sinal digital quando processado pelo 
microcontrolador gera em resposta outro sinal digital equivalente a . 
A saída do processador é o sinal amostrado , que é reconstruído pelo conversor D/A 
para transformá-lo de volta em um sinal contínuo para que possa ser aplicado aos 
dispositivos analógicos finais. Em essência, o sistema de controlo de dados amostrado pode – 
se identificar três tarefas-chave: 
 Amostragem do sinal de erro para obter o sinal amostrado ; 
 Processamento de sinal para obter o sinal ; 
 Reconstrução do sinal de controlo ̂ a partir do sinal de amostra . 
1.3. Modelo de amostragem e reconstrução 
Para modelar a amostragem e a reconstrução de um sinal contínuo, é utilizado o dispositivo A 
– S (amostrador – segurador) mostrado na Figura 4, no qual o microcontrolador da Figura 1 
foi omisso por enquanto. 
Para simular amostragem de sinal continua realizado pelo conversor A/D, é utilizado um 
interruptor lógico que permanece aberto por um tempo e fechado por um tempo . O 
conversor D/A é simulado pelo retentor que processa o sinal amostrado equivalente a 
 para obter o sinal reconstruído ̂ , onde é esperado que ̂ seja próximo de . 
 
Figura 4: Dipositivo A – S para simular a amostragem e a reconstrução do sinal. 
Fonte: Analisis de Sistemas de Control en Tiempo Discreto. 
4 
 
A Figura 5 apresenta a provável saída do amostrador, onde o sinal é agora um trem de 
pulsos de duração e período . Isso alcança uma representação aproximada de 
equivalente a do sinal amostrado, que pode ser melhorado na medida em que . 
 
Figura 5: Sinal amostrado como trem de pulsos de duração 
Fonte: Analisis de Sistemas de Control en Tiempo Discreto. 
Uma primeira aproximação da característica operacional do retentor é mostrada na Figura 6, 
onde a reconstrução é alcançada mantendo a última constante de valor amostrado enquanto 
durar aberto o interruptor lógico. O sinal reconstruído ̂ se aproxima mais ao sinal na 
medida em que o período da amostragem T é pequena. No entanto, isso afecta a aproximação 
do sinal amostrado Figura 5, pois requer um valor ainda menor de para que 
 seja 
aproximado a . 
 
Figura 6: Sinal amostrado como trem de pulso. 
Fonte: Analisis de Sistemas de Control en Tiempo Discreto. 
Como o sinal reconstruído ̂ é continuo a cada intervalo, aplica-se a transformada de 
Laplace da seguinte maneira para obter a função transferência do segurador, da seguinte 
maneira: 
Como ̂ é expressado como 
 ̂ [ ] [ ] 
5 
 
Aplicando a transformada de Laplace nesta expressão obtém-se, 
 ̂ 
 
 
[ ] 
Isto significa que a saída do segurador é 
 ̂ 
 
 
∑ 
 
 
 
Como o somatório depende somente dos valores de , ao avalia – lá resulta em 
uma função no domínio dos números complexos s, expressa como: 
 ∑ 
 
 
 
Esta expressão é definida como função transformada de Laplace, mas outros autores chamam 
de transformada estrela e outros por transformada estrela de Laplace (TEL) do sinal 
amostrado . 
sendo 
 ̂ 
 
 
∑ 
 
 
 ∑ 
 
 
 
Então, 
 ̂ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Assim quer que a função transferência do segurador é dado por 
 
 
 
 
Esta função transferência é conhecida como segurador de ordem zero (ZOH e o seu modelo 
pode ser representado como na Figura 7. 
 
Figura 7: Modelo de um segurador de ordem zero. 
Fonte: Analisis de Sistemas de Control en Tiempo Discreto. 
6 
 
O modelo de um amostrador é desenvolvido quando considera-se o sinal , sendo 
submetido a um processo de modulação por pulsos, como mostra a figura 8. Mas nisso 
somente obtém-se um modelo ideal do original, mostrado na Figura 6, em que o sinal 
amostrado é apresentado por um trem de pulso. No entanto, a partir do modelo do amostrador 
ideal pode-se alcançar o modelo do dispositivo amostrador segurador. 
 
Figura 8: Amostragem ideal de x(t). 
Fonte: Analisis de Sistemas de Control en Tiempo Discreto. 
 
Figura 9: Processo de amostragem vista como uma modulação em amplitude. 
Fonte: Controlo Digital 
1.4. Métodos para avaliar as transformadasestrelas de Laplace 
Para além de ser possível avaliar a transformada estrela de Laplace (TEL) de um sinal 
amostrado aplicando a definição 
 ∑ 
 
 
 
existem formas mais praticas como baseadas em 
 Método de equivalência com a transformada ; 
 Meto Dodô de resíduos modificados. 
7 
 
O método de equivalência compara a definição da transformada estrela de Laplace com a 
definição da transformada , que é 
 [ ] ∑ 
 
 
 
 
Na verdade, nota-se que há uma relação 
 
onde a expressão se conhece como uma regra de transformação no sentido de que 
permite estabelecer a relação equivalente , entre o sinal amostrado no 
domino de s seu equivalente no domínio de z. 
Como se alcança pela transformação de , então por isso é conhecido como o 
modelo equivalente no domínio de z de . Isto permite formular a relação 
equivalente para um sinal amostrado e estabelecer uma diferença conceptual com a 
relação equivalente , onde ,é simplesmente a transformada do sinal 
discreto . 
O método de resíduos modificados permite obter directamente o modelo discreto do 
sinal da amostra a partir do modelo do sinal continuo . Neste método 
expressa – se como a soma dos resíduos avaliados a partir dos polos de ), como: 
 ∑ | 
 
 
|
 
 
 
Dependendo da forma desses pólos, dois casos podem ocorrer: 
Caso 1: Polos simples, reais ou complexos 
 
 
 
|
 
 
Caso 2: Polos múltiplos, reais ou complexos 
 
 
 
[ 
 
 
 
]|
 
 
 
8 
 
1.6. Representação de um sistema de dados amostrados no domínio z 
Seja o sistema de controlo de dados amostrados , mostrado na Figura 9, composto por 
um dispositivo de amostragem segurador, em serie com o modelo contínuo do processo/planta 
 , em que é um sinal de erro. 
 
Figura 10: Sistema de controlo de dados amostrados. 
Fonte: Analisis de Sistemas de Control en Tiempo Discreto. 
A saída deste sistema resultara do produto da função aperiódica e da função 
periódica , isto é 
 
Aplicando a transformada estrela de Laplace e aplicando a integral de convoluções, 
respectivamente, 
 ∑ 
 
 
 
 
 
∑ 
 
 
 
obtém – se, 
 { } 
 
 
∑[ 
 
 
 ] 
Como, quando, é periódico com período , implica dizer 
 , 
(propriedade da transformada estrela de Laplace associada a periodicidade do espectro de um 
sinal), e como não depende do somatório, obtém-se 
 
 
 
∑ 
 
 
 
Então comparando, 
 
Observa-se que em um produto de duas funções, em que um dos factores está estrelado, é 
possível levar toda expressão ao domínio de s estrelado. Sendo assim a função permite 
9 
 
estabelecer uma relação entre a entrada e a saída, implica do bloco indicado na 
Figura 10. 
Assim, da equação , obtém-se 
 
 
 
 
Que é a função transferência de pulsos (FTP), alguns autores chamam de função de 
transferência pulsada, do sistema do controlo de dados amostrados , da Figura 10. 
A função de transferência de pulsos (FTP) é a relação entre a transformada estrela de 
Laplace de saída e a transformada estrela de entrada, de um sistema cuja entrada é amostrada. 
Aplicando a transformada , na equação anterior, ela pode expressar-se no domínio , 
porque é um modelo discreto equivalente de . Fazendo isso obtém-se: 
 
 
 
 
A representação dada , faz referencia que o modelo do sinal de entrada se alcança 
mediante a modulação por pulsos. 
Assim quer dizer, a partir da equação 
 
 
 
 
 
 
 
Chega-se ao modelo discreto equivalente do sistema de dados amostrados, como mostrado na 
Figura 11. 
 
Figura 11: modelo discreto equivalente do sistema de dados amostrados 
Fonte: Analisis de Sistemas de Control en Tiempo Discreto. 
O amostrador fictício mostrado na saída do bloco , usa-se para mostrar que o modelo 
FTP, permite obter somente valores . 
A expressão equivalente da saída no domino é , em que: 
 [ ] 
10 
 
Se considerar-se que a função de transferência , inclui a função de transferência do 
segurador de ordem zero, que é 
 
 
 
 
Como o ZOH esta em série com estão em série, pode-se escrever 
 [ ] { } [
 
 
 ] 
Interpretando o termo como o atraso da amostra no domínio , obtém-se 
 [
 
 
] 
Então, a aplicação desta equação, estabelece uma condição implícita, no sentido de que o 
sinal de entrada do bloco deve estar amostrado para que exista a função de 
transferência de pulsos, segundo a Figura 11. A expressão [] pode ser avalia utilizando o 
método de resíduos modificados ou através de uma função especial residuosm de MATLAB. 
1.7. Função de transferência de pulsos em sistemas de malha aberta 
Caso 1: Sistema de controlo com blocos em série e cada com seu sinal de entrada 
amostrada 
Em sistemas como o da Figura 12, em que cada bloco em série, possui uma amostra na sua 
entrada, a função de transferência de pulsos do sistema, resulta do produto da função de 
transferência de pulsos parcial dos blocos. Em termos matemáticos tem-se: 
 [ ] [ ] 
 
Figura 12: Sistemas série de dados amostrados de malha aberta. 
Fonte: Analisis de Sistemas de Control en Tiempo Discreto. 
 
 
11 
 
Caso 2: Sistema de controlo com blocos conectados em série e com sinal de entrada 
amostrada no primeiro bloco 
Em sistemas como o da Figura 13, com bloco em série, em que somente o primeiro bloco 
possui uma amostra na sua entrada, a função transferência de pulsos do sistema, resulta do 
produto dos blocos em que somente ao primeiro bloco é aplicada a função de transferência de 
pulsos. Em termos matemáticos tem-se: 
 ̅̅ ̅̅ ̅̅ [ ] 
 
Figura 13: Sistemas série de dados amostrados de malha aberta. 
Fonte: Analisis de Sistemas de Control en Tiempo Discreto. 
Caso 3: Sistema de controlo com blocos conectados em série e com sinal de entrada 
amostrada no segundo bloco 
Neste tipo de sistema, mostrado na figura 14, em que o primeiro bloco não possui uma 
entrada amostrada ou estrelada, implica que a entrada do sistema geral não está amostrada, 
isto é, ela continua no tempo. Ainda que seja possível obter-se a função transferência de pulso 
do segundo bloco, [ , seria um sistema em série para modelo em tempo 
continuo, que não permite a obtenção de uma expressão equivalente de função DE 
transferência de pulsos para a relação . 
 
Figura 14: Sistemas série de dados amostrados de malha aberta. 
Fonte: Analisis de Sistemas de Control en Tiempo Discreto. 
 
 
12 
 
1.8. Função de transferência de pulsos de sistemas em malha fechada 
Seja a forma canónica de um sistema de controlo em malha fechada, mostrado na figura 15, 
onde, assume – se, que , é um modelo continuo de ramo directo e, de acordo com o 
designado na figura 10, é uma combinação de ZOH e do processo . No entanto, é 
um modelo contínuo do ramo inverso associado ao sistema de medição. 
 
Figura 15: Forma canónica do sistema de controlo de dados amostrados em malha fechada. 
Fonte: Analisis de Sistemas de Control en Tiempo Discreto. 
A saída do somador deste sistema é expressa como, 
 
Por outro lado a saída do sistema pode ser expressa como, 
 
Substituindo a expressão na equação , obtém – se 
 
Aplicando nesta equação a transformada estrela de Laplacee agrupando o produto 
 , obtém – se 
 ̅̅ ̅̅ 
Isolando o , tem – se 
 
 
 ̅̅ ̅̅ 
 
Transformando a equação para o dominó estrelado, obtém – se , 
 
Desta equação, , Substituindo pela sua expressão, tem – se 
 
 
 ̅̅ ̅̅ 
 
 
 ̅̅ ̅̅ 
 
Então desta expressão obtém – se, 
 
 
 
 
 
 ̅̅ ̅̅ 
 
13 
 
Que é a função transferência de pulsos em malha fechada do sistema da Figura 15. No qual 
na forma equivalente no domínio de é expressa, como 
 
 
 ̅̅ ̅̅ 
 
Onde [ ] e ̅̅ ̅̅ [ ] 
Assim pode-se avaliar a saída do sistema de controlo em malha fechada como 
 
No entanto, essa expressão restringe a resposta aos valores em cada instante da amostra, que 
é identificado pelo amostrador de fictício da Figura 15. 
Para casos em que o sinal de erro , não estiver estrelado, como esta mostrado na figura 
16, não é possível obter a função de transferência de pulsos em malha fechada. 
 
Figura 16: Forma canónica do sistema de controlo de dados amostrados em malha fechada. 
Fonte: Analisis de Sistemas de Control en Tiempo Discreto. 
1.8.1. Procedimentos gerais para obtenção da função de transferência de pulsos 
de sistemas em malha fechada 
Os sistemas de dados amostrados em malha fechada lidam com sinais mistos (contínuos e 
discretos) e o amostrador pode ser colocado em qualquer lugar do diagrama. Isso pode 
resultar num tratamento algébrico complexos, que geralmente não ocorre em sistemas 
contínuos. Isso sugere uma estratégia para garantir que uma expressão da função de 
transferência de pulsos de sistemas em malha fechada seja alcançada, através de um 
procedimento geral. 
O procedimento requer a formulação de relações de causa e efeito em cada componente do 
diagrama de bloco (DB) ou gráfico de fluxo de sinal (GFS) do sistema de controlo, 
desenvolve - se como equações na forma padrão, deixando o lado esquerdo sinais de saída e 
os sinais de entrada do lado direito. 
 
14 
 
O cálculo da função transferência em malha fechada será feito utilizando – se a Fórmula de 
Ganho de Mason (FGM). O procedimento consiste em: 
1. Construir o gráfico de fluxo de sinal original (GFSO) identificando os sinais de entrada e 
saída. 
Para isso, cada amostrador é considerado como um dispositivo aberto, conforme mostrado na 
Figura 17. O desenvolvimento do (GFSO) é facilmente alcançado se apenas os sinais de 
entrada para cada bloco do DB forem considerados. Como mostrado na Figura 17, o GFSO 
deve incluir sinais mistos. 
 
Figura 17: representação de um amostrador como dispositivo aberto. 
Fonte: Analisis de Sistemas de Control en Tiempo Discreto. 
Uma vez construído o gráfico de fluxo de sinal modificado (GFSM), os sinais de entrada e 
saída devem ser identificados. Como cada amostrador é um dispositivo aberto, o sinal 
amostrado converte-se em uma entrada adicional e o sinal não amostrado converte 
– se a uma saída adicional. Portanto, cada amostrador gera no GFSO um par de nós entrada – 
saída adicionais para os próprios nós do sistema. 
2. Formular uma equação na forma padrão para cada saída; 
Cada equação deve expressar unicamente uma função das entras do gráfico. 
3. Obter a transformada estrela de Laplace em cada equação na forma padrão; 
Aplicam-se as regras desenvolvidas sobre factores estrelados e não estrelados. No final desta 
etapa, todas as equações devem incluir apenas sinais estrelados. 
4. Construir o gráfico de fluxo de sinal modificado (GFSM); 
Interpretar cada equação padrão na forma estrelar como uma relação causa – efeito. 
5. Aplicar a fórmula de ganho de Mason para obter as relações entrada – saída do sistema em 
malha aberta. que é: 
15 
 
 
 
 
∑ 
 
 
Onde, 
 – Ganho total entre nó de entrada e nó de saída; 
 – Ganho do k enésimo caminho directo; 
 - Determinante do gráfico = 1 (soma de todos os ganhos de laços individuais) (soma dos 
produtos dos ganhos de todas as combinações possíveis de dois laços que não se tocam) + 
(soma dos produtos dos caminhos dos ganhos de todas as combinações possíveis de três laços 
que não se tocam) …. 
 – Cofactor do enésimo determinante de caminho directo do gráfico com os laços que 
tocam o enésimo caminho directo removido, isto é, cofactor é obtido de removendo os 
laços que tocam o caminho . 
Exemplo: Determine a resposta LC do próximo sistema de controlo em cascata/serie. 
 
Figura 18: Resposta de um sistema de controlo de dados amostrados em série 
Fonte: Analisis de Sistemas de Control en Tiempo Discreto. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
16 
 
Resolução 
Aplicando os procedimentos propostos, obtém-se 
1. GFSO do diagrama de bloco 
Considerando cada amostrador como um dispositivo aberto e o sinal de entrada em cada bloco 
tem -se 
 
Figura 19: Gráfico de fluxo de sinal original do diagrama de blocos. 
Fonte: Analisis de Sistemas de Control en Tiempo Discreto. 
Sinal amostrado converte – se em uma entrada adicional e o sinal não amostrado 
converte – se a uma saída adicional. Então tem – se como, 
Saídas adicionais: , e 
Entradas adicionais: , 
 e 
 
2. Formulação das equações na forma padrão para cada saída. 
Para as três saídas do sistema e a partir do GFSO, obtém – se 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. Aplicar a transformada estrela de Laplace a cada equação 
Aplicando as regras de factores estrelados e não estrelados, obtém – se 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ̅̅ ̅̅ ̅̅
 
 
 
 
17 
 
4. GFTSM a partir das equações padrão estrelados. 
 
Figura 20: Gráfico de fluxo de sinal modificado do diagrama de bloco a partir das equações 
padrão 
Fonte: Analisis de Sistemas de Control en Tiempo Discreto. 
5. FGM para calcular a resposta do sistema. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ̅̅ ̅̅ ̅̅ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ̅̅ ̅̅ ̅̅ 
 
Então função de transferência de pulsos do sistema é, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ̅̅ ̅̅ ̅̅ 
 
Como todos os termos estão estrelados pode-se obter o modelo equivalente no domínio , 
como 
 
 
 ̅̅ ̅̅ ̅̅ 
 
Determinando os termos tem - se 
 [ ] 
 [
 
 
 
] [
 
 
]
 
 
 
 , tem dois polos, um simples em e outro com multiplicidade , 
gera dois resíduos: e 
Para o polo simples 
 | 
 
 
 
|
 
 
 |
 
 
 
 
 
|
 
 |
 
 
 
 
 
|
 
 
 
 
 
 
 
 
18 
 
Para o polo múltiplo 
 
 
 
[ 
 
 
 
]|
 
 
 
 
 
[
 
 
 
 
 
]|
 
 
 
 
 
[
 
 
] 
 
 
 
então 
 
 
 [ ] [
 
 
 
 
 
]
 
 
 
 
Aplicando os mesmos procedimentos utilizados para obtenção de , para obter , 
obtém-se 
 [ ] 
 [
 
 
 
] [
 
 
] 
 
 |
 
 
 
 
 
|
 
 |
 
 
 
 
 
|
 
 
 
 
 
 
 |
 
 
 
 
 
|
 
 |
 
 
 
 
 
|
 
 
 
 
 
 
então 
 
 
 [ ] 
 [
 
 
 
 
 
]
 
 
 
 
 ̅̅ ̅̅ ̅̅ 
 [ ] [
 
 
]
 
 
 
 
Substituindo os valores na expressão , obtém– se 
 
 
 
 
 
 
19 
 
Conclusão 
O campo de controlo automático é de especial importância no mundo industrial, onde é 
essencial conhecer e entender o comportamento dos sistemas de controlo clássicos para 
garantir que os sistemas físicos se comportem de acordo com os requisitos especificados 
anteriormente. Portanto é muito importantes que os estudantes de engenharia tenham 
conhecimentos relacionados aos sistemas de controlo automático contínuos, assim como os 
sistemas de controlo automático discretos, visto que são conhecimentos que permitem a 
compressão destes sistemas e assim a capacitação para projecção e análise de um sistema de 
controlo assim como a sua aplicação que é de grande escala em muitas áreas industriais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Referencial bibliográfico 
[1] Capitulo 5: Analisis de Sistemas de Control en Tiempo Discreto. (A.N) 
[2] COELHO, João Paulo. Controlo Digital. 2005/2006 
[3] GUZZELLA, Lino. Discrete Time Control Systems. 2003 
[4] OGATA, Katsuhiko. Engenharia de Controlo Moderno. Ed. Prentice/Hall do Brazil. 1985 
[5] PEAUCELLE, Chapitre 1: Dimitri. Systems à Temps Discret. 2003