Resolucao de exercicios de controlo automatico

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Resolução de exercícios de controlo automático 2020 
Respostas das questões 
5. Qual a diferença entre frequência natural e frequência de oscilações amortecidas? 
Resposta: A diferença entre a frequência natural e a frequência de oscilação amortecida é: a 
frequência natural é uma frequência de oscilação sem amortecimento. Já a frequência de 
oscilação amortecida é uma frequência de oscilação com amortecimento, ou ainda é o 
resultado da frequência natural atenuada pela envoltória exponencial, isto é √ . 
6. Se um polo se deslocar mantendo constante o valor da parte imaginaria, o que haverá de 
comum com as respostas? 
Resposta: Se um polo se deslocar mantendo constante o valor da parte imaginaria, haverá de 
comum com as respostas, o tempo de tipo. 
7. Se um polo se deslocar mantendo constante o valor da parte real, o que haverá de comum 
com as respostas? 
Resposta: Se um polo se deslocar mantendo constante o valor da parte real, haverá de comum 
com as respostas, o tempo de acomodação. 
8. Se um polo se deslocar ao longo de uma radial que se estende a partir da origem, o que 
haverá de comum com as respostas? 
Resposta: Se um polo se deslocar ao longo de uma radial que se estende a partir da origem, 
haverá de comum com as respostas, o máximo de sobressinal. 
9. Que locais de polos caracterizam (1) Sistema subamortecido, (2) sistema superamortecido e 
(3) sistema criticamente amortecido? 
Resposta: 
(1) Sistema subamortecido: é caracterizado por possuir duas raízes complexas conjugadas, 
situadas no semiplano esquerdo do plano s; localizando em: 
(2) Sistema superamortecido: é caracterizado por possuir duas raízes reais, negativas e 
distintas, situadas na origem; localizando em: √ 
(3) Sistema criticamente amortecido: é caracterizado por possuir duas raízes reais, negativas e 
iguais, situadas na origem; 
 
 
 
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Resolução de exercícios de controlo automático 2020 
10. Cite duas fontes de erro de estado estacionário. 
Resposta: 
As fontes de erro de estado estacionário podem ser: 
 A não linearidade do sistema; 
 A configuração do sistema; 
 O tipo de sinal de entrada. 
Resolução dos exercícios 
3. Considere o sistema de malha fechada dado por: 
 
 
 
 
 
 
 
Determine os valores de e de de modo que o sistema responda a uma entrada em degrau 
com aproximadamente 5% de sobressinal e com um tempo de acomodação de 2 segundos. 
(Utilize o critério de 2%.) 
Resolução 
 
 
 
 
 
 
 
Como , tem-se: 
 
 
 
√ 
 
 
√ 
 
√ 
 
 
 
√ 
 
 
√ 
 (
 
√ 
)
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 √ 
Com para critério de , 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Resolução de exercícios de controlo automático 2020 
4. Obtenha a resposta ao impulso unitário e a resposta ao degrau unitário de um sistema com 
realimentação unitária cuja função de transferência de malha aberta seja: 
 
 
 
 
Resolução 
A função transferência de com realimentação unitária será: 
 
 
 
 
Como os sistema é de segunda ordem, então a partir da fórmula padrão de função 
transferência de sistemas de segunda ordem pode – se reescrever a equação acima para, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para uma entrada 
 
 
 
 
 
 
 
Aplicando o método das fracções parciais, obtém-se, e , então: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aplicação da transformada de Laplace 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 [ ] [
 
 
 
 
 
] 
 
Para uma entrada 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aplicando o método das fracções parciais, obtém-se, , , , então: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Resolução de exercícios de controlo automático 2020 
Aplicação da transformada de Laplace 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 [ ] [
 
 
 
 
 
 
 
 
] 
 
6. Considere o sistema mostrado na Figura 2. Determine o valor de de modo que o 
coeficiente de amortecimento seja . Então, obtenha o tempo de subida , o tempo de 
pico , o máximo sobressinal e o tempo de acomodação na resposta ao degrau unitário. 
 
Resolução 
Para, 
 
 
 
 
A função transferência de com realimentação será: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para, 
 
 
 
 
 
 
 
A função transferência resultante desta associação série será: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Resolução de exercícios de controlo automático 2020 
Para, 
 
 
 
 
A função transferência de com realimentação unitária será: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como os sistema é de segunda ordem, então a partir da fórmula padrão de função 
transferência de sistemas de segunda ordem pode – se reescrever a equação acima para, 
 
 
 
 
Em que, 
 
 √ 
 
 
 
 
 
 Tempo de subida 
 
 
 
 
Sendo, 
 √ √ √ 
 (
 
 
) (
 
 
) 
 
 
 
Então, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Tempo de pico 
 
 
 
 
 
 
 
 Máximo de sobressinal 
 
 
 
√ 
 
 
√ 
 
 
 
 
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 Tempo de acomodação 
Para critério de , 
 
 
 
 
 
 
 
Para critério de , 
 
 
 
 
 
 
 
7. Considere um sistema de controlo com realimentação unitária cuja função de transferência 
de malha fechada seja: 
 
 
 
 
 
 
Determine a função de transferência de malha aberta Mostre que o erro estacionário na 
resposta à rampa unitária é dado por: 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução 
 
 
 
 
 
 
Sendo, 
 
 
 
 
Então, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O erro de estado estacionário na resposta à um sinal de entrada rampa unitária será, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 [
 
 
]
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Resolução de exercícios de controlo automático 2020 
8. Considere um sistema de controlo com realimentação unitária cuja função de transferência 
de malha aberta seja: 
 
 
 
 
Discuta os efeitos que as variações de e de produzem sobre o erro estacionário da 
resposta à entrada em rampa unitária. Esboce curvas típicas de resposta à rampa unitária para 
valores pequenos, médios e elevados de , supondo que seja constante. 
Resolução 
 
 
 
 
 
 
 
Como os sistema é de segunda ordem, então a partir da fórmula padrão de função 
transferência de sistemas de segunda ordem pode – se reescrever a equação acima para, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para uma entrada[ ]
 
O erro estacionário da resposta à entrada em rampa unitária 
 
 
 
 
 {
 
 [ ]
} 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A partir do resultado do erro de estado estacionário, verifica-se que: 
 Ao aumentar o ganho , o erro de estado estacionário diminui; Também ao diminuir o 
coeficiente de atrito viscoso , o erro de estado estacionário também diminui. Então, 
aumentando o ganho ou diminuindo o coeficiente de atrito viscoso , a resposta do 
sistema torna-se muito oscilante devido ao coeficiente de amortecimento que diminui. 
 Ao dobrar o valor do ganho , o erro de estado estacionário diminui para a metade do 
seu valor original, enquanto o coeficiente de amortecimento diminui para 0.707 do seu 
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Resolução de exercícios de controlo automático 2020 
valor original, porque o coeficiente de amortecimento é inversamente proporcional à 
raiz do ganho , 
 
 
 
 
√ 
; 
 Por outro lado, diminuir o coeficiente de atrito viscoso para a metade do seu valor 
original, o erro de estado estacionário e o coeficiente de amortecimento diminuirão 
para a metade de seus valores originais. 
 
 
 
 
 
 
9. Determinar os erros de estado estacionário para as entradas , e no 
sistema mostrado na figura 3. A função é um degrau unitário. 
 
Resolução 
 
 
 
 
 Para uma entrada 
Sendo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Então, o erro de estado estacionário será: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Resolução de exercícios de controlo automático 2020 
 Para uma entrada 
Sendo: 
 
 
 
 
 [
 
 
] 
 
 [
 
 
] 
Então, o erro de estado estacionário será: 
 
 
 
 
 
 
 
 Para uma entrada 
Sendo: 
 
 
 
 
 [
 
 
] 
 
 [
 
 
] 
Então, o erro de estado estacionário será: