Mecânica dos Sólidos - Aula 7 - Tensões normal e cisalhante

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Disciplina: Mecânica dos Sólidos
Aula 7: Tensões normal e cisalhante
Apresentação
Na aula anterior, aprendemos sobre os esforços internos atuantes nos elementos de uma estrutura: esforços normal e cortante e momento fletor.
Nesta aula, estudaremos o efeito desses dois esforços (normal e cortante) sobre uma determinada área e determinaremos o valor dos esforços por unidade de área. São as tensões normal e de cisalhamento.
Outro elemento que será introduzido a partir de agora é o fator ou coeficiente de segurança (F.S.). É um número adimensional maior do que 1 e elimina as simplificações dos modelos adotados no dimensionamento além da heterogeneidade dos materiais.
Objetivos
· Conceituar tensão média normal e cisalhante atuante em uma determinada área;
· Descrever as expressões para as tensões médias normal e cisalhante;
· Explicar a utilização do fator de segurança (F.S.).
Conceito de tensão
Cada material apresenta as tensões admissíveis para que não haja rompimento ou deformação excessiva. A partir dessa premissa, é possível dimensionar uma peça.
Comentário
Lembra do dimensionamento que permeia as aulas anteriores?
A partir do carregamento externo, determinamos as reações de apoio e, depois, os esforços internos. Com esses valores, é possível calcular as tensões normal e de cisalhamento e, consequentemente, realizar o dimensionamento da peça.
Lembre-se também que para que o conceito de tensão seja introduzido, é importante ressaltar alguns aspectos já aprendidos em outras aulas.
Suponha uma barra de aço de seção circular de raio R engastada em uma estrutura e submetida a uma força F.
Será que é apenas a força F que determina se a barra irá ou não se romper?
Caso dobrássemos o raio da seção circular dessa barra e mantivéssemos o mesmo aço, a nova força admissível seria de 4F. Dessa forma, percebemos que a “resistência” do material está associada ao carregamento e a sua geometria.
Comentário
Nesta aula, entenderemos como o carregamento e a geometria se relacionam matematicamente.
Exemplo
Seja um corpo em equilíbrio sob a ação de um conjunto de forças externas. Suponha que se quer estudar os esforços internos em uma dada seção reta de área A (face superior do paralelepípedo da figura 1).
Inicialmente, seccionaremos o corpo. Surgirão várias pequenas forças que somadas resultam no esforço normal e no esforço cortante (ou cisalhante).
Consideremos que a área A seccionada foi dividida em pequenos elementos de áreas denominados dA, e a cada elemento infinitesimal dA temos uma força infinitesimal dF atuando, conforme figura 1.
A força infinitesimal dF pode ser decomposta em suas componentes retangulares dFx, dFy e dFz, dando origem ao vetor:
dF = dFx . i + dFy . j + dFz . k
com as coordenadas relacionadas aos eixos x, y e z especificados na figura 1.
Observe que uma dessas projeções ortogonais dFy será perpendicular à área dA e as outras duas dFx e dFz, serão tangentes ao plano em que a área dA está contida.
A figura 2 mostra a decomposição de dF em suas componentes retangulares.
“Define-se tensão como a razão entre a força e a área atuante dessa. Se tomarmos dA com um valor próximo a zero (tendendo a zero), as razões entre as componentes de dF e dA serão os valores das tensões nos pontos considerados (uma vez que dA torna-se muito pequena).”
Atenção
É importante ressaltar uma questão de nomenclatura: quando as forças são perpendiculares à área, as são denominadas tensões normais e representadas pela letra grega σ.
 Além disso, utiliza- razões se um índice que coincide com o eixo perpendicular à área, no nosso exemplo y, ou seja, σy.
Quando as forças são tangentes (ou cisalhantes) às áreas, as razões    são denominadas tensões cisalhantes e representadas pela letra grega τ. 
 Neste caso, dois índices são utilizados:
· O relativo ao eixo perpendicular ao plano;
· O que indica a direção (x ou z, no nosso exemplo).
Assim, teremos as tensões cisalhantes τyx e τyz. Note que o primeiro índice (y) refere-se ao eixo perpendicular à área e o segundo índice a direção da tensão (x ou z).
Observe a figura 3:
“Desta forma, a tensão em um dado ponto (área tendendo a zero) pode ser definida a partir do limite da razão entre a força que atua em uma dada área, fazendo essa tender a zero.”
Assim, cada uma das tensões normal e cisalhante pode ser definida pelas equações 1, 2 e 3:
A partir da definição de tensão, fica fácil verificar que as unidades possíveis para a tensão (seja normal ou cisalhante) são dadas por uma unidade de força dividida por uma de unidade de área.
Exemplo
No Sistema Internacional (S.I.), utilizamos  (Pa = Pascal).
Existem os múltiplos do Pascal (Pa), quais sejam:
1kPa = 103Pa;
1MPa = 106Pa;
1GPa = 109Pa.
NOTA 1
Em muitas situações na Engenharia as dimensões são apresentadas em milímetros e, portanto, as áreas das seções estarão em mm2. Sendo assim, é interessante conhecer a relação entre Newtons e mm2, ou seja:
NOTA 2
As tensões normais podem ser do tipo trativa (o corpo está sendo “puxado”) ou do tipo compressiva (o corpo está sendo “empurrado”). As primeiras apresentam, por convenção, sinal positivo, e as últimas apresentam sinal negativo.
Atividade
1. A respeito da definição de tensão normal e tensão cisalhante, julgue os itens e depois marque verdadeiro ou falso.
a) As tensões normal e cisalhante são diretamente proporcionais às áreas em que atuam.
b) A tensão normal é perpendicular à área de atuação e recebe em sua nomenclatura um único índice, que corresponde ao eixo perpendicular à área em questão.
c) A tensão cisalhante é tangente à área de atuação e recebe em sua nomenclatura dois índices, que correspondem ao plano de atuação.
d) A tensão cisalhante é tangente à área de atuação e recebe em sua nomenclatura dois índices. O primeiro índice refere-se ao eixo perpendicular à área e o segundo índice à direção da tensão.
Gabarito comentado
a) Falso - Tensão é diretamente proporcional à força e inversamente proporcional à área, isto é, tensão = força/área.
b) Verdadeiro - Tensão normal relaciona-se à força normal, ou seja, perpendicular à área.
c) Falso - A tensão cisalhante é tangente ao plano, porém os dois índices referem-se ao eixo perpendicular ao plano e à direção da força tangente ao plano.
d) Verdadeiro - A tensão cisalhante é tangente ao plano, porém os dois índices referem-se ao eixo perpendicular ao plano e à direção da força tangente ao plano.
2. Um corpo encontra-se em equilíbrio. Sobre uma pequena área de 0,01mm2, atua uma força compressiva de 2N, perpendicular à área. Determine a tensão nesta pequena área, em MPa.
Gabarito comentado
A tensão é a razão entre a força e a área. Assim, a tensão normal será dada por 2/0,01 = 200 MPa (N/mm2) compressiva.
Conceito de tensão normal média
No item anterior, foi definida a tensão normal atuante em uma pequena área de um corpo como sendo o limite da razão entre a força normal e a área de atuação, tendo essa área um valor próximo de zero.
Se considerarmos uma área maior, o valor da razão entre a força e a área estará associado a um valor médio de tensão normal.
Observe a figura 4 (a) e perceba que os valores de tensão apresentam uma distribuição não uniforme.
Na figura 4 (b) é feita a consideração de uma distribuição uniforme em que cada ponto apresenta, como valor de tensão, o valor da tensão normal média, isto é, um valor constante para toda a área considerada.
Supondo um corpo em equilíbrio sob a ação de um par de forças F perpendiculares à seção reta, conforme figura 5. A tensão normal média atuante numa seção (em destaque) é dada pela equação 4:
Da mesma maneira que foram apresentadas as unidades da tensão normal/cisalhante, podemos aproveitá-las para a tensão média normal. Sendo assim, a unidade possível é dada por uma unidade de força dividida por uma de unidade de área.
Exemplo
No Sistema Internacional (S.I.) utilizamos   (Pa = Pascal).
Existem os múltiplos do Pascal (Pa), quais sejam:
· 1kPa = 103Pa;
· 1MPa = 106Pa;
· 1GPa = 109Pa.
Atenção
É verdadeira arelação  = 1MPa.
Atividade
3. Suponha uma coluna com seção reta quadrada de lado 20cm. Um furo circular de 4cm de diâmetro é feito, atravessando inteiramente a coluna. Sobre a coluna atua uma força de 300kN compressiva.
Qual a tensão média nas seções em destaque a_a’ e b_b’?
Gabarito comentado
A tensão média normal é a razão entre a força normal e a área.
Lembrando que:
20cm = 200mm 300kN = 300.000N
Seção a_a’: área 200 x 200 = 40.000mm2. Assim, a tensão será dada por:
300.000/40.000 = 7,5 MPa (N/mm2)
4. Suponha um arranjo em equilíbrio. Os fios metálicos AB, BC e BD têm diâmetro de 10mm. Sabendo que a peça suspensa tem massa de 200Kg e que g = 9,81m/s2, determine as tensões médias normais em cada fio. Desconsidere a massa dos fios e considere o ângulo θ tal que senθ = 0,6 e cosθ = 0,8.
Gabarito comentado
A força peso é igual ao produto da massa pela gravidade (9,81 m/s2), ou seja, P = 200 x 9,81 = 1.962N.
Área da seção circular:
ππ.R2 = ππ.52 = 78,5mm2
A força que atua no cabo BD é igual à força peso, ou seja, 1962N.
A tensão média normal é a razão entre a força normal e a área:
FIO BD: 1962/78,5 = 24,99MPa
Equilíbrio:
senθ = 0,6 = TBD/TBC → TBC = 3270N
cosθ = 0,8 = TAB/TBC → TAB = 2616N
FIO BC: 3270/78,5 = 41,66MPa
FIO AB: 2616/78,5 = 33,32MPa
Conceito de tensão média cisalhante
Suponha um corpo que sobre ele esteja atuando um par de forças F tal que a tendência seja o deslizamento entre planos paralelos. A esse fenômeno denominamos efeito cortante ou cisalhante. A tensão associada à força que provoca tal efeito é denominada cisalhante.
Observe o fenômeno cortante provocado em uma viga sob a ação das forças F1 e F2.
No primeiro tópico desta aula (“Conceito de tensão”), foi definida a tensão cisalhante que atua em uma pequena área (valor próximo a zero) de um corpo como sendo o limite da razão entre a força tangencial (cortante ou cisalhante) e a área de atuação.
Se considerarmos a área A inteira e a intensidade da força cortante, o valor associado à razão entre a força e a área será o valor médio de tensão cisalhante.
Observe a figura 7 em que uma força cortante F atua tangencialmente a uma porção de um plano de área A.
Na figura 7, o valor da tensão média cisalhante (τyx) é dado pela equação 5:
Atividade
5. Suponha um parafuso preso a uma estrutura, conforme a figura. Em um dado instante, passa a agir uma força de 2kN. Se o parafuso tem uma seção circular com diâmetro de 6mm, determine a tensão média de cisalhamento atuante.
Gabarito comentado
Área da seção circular:
ππ.R2 = ππ.32 = 28,26mm2
A tensão média cisalhante é a razão entre a força cisalhante e a área:
Tensão: 2000/28,26 = 70,8 MPa
Cisalhamentos simples ou duplo
No item anterior, estudamos o cisalhamento de maneira genérica. Contudo, em algumas situações práticas, os componentes estão sob condições particulares:
Cisalhamento simples
Basta pensarmos em duas placas sobrepostas e unidas (soldadas, coladas, parafusadas etc.).
No caso de uma junta ou união por cisalhamento simples, a determinação da tensão média de cisalhamento utiliza a área A comum entre as duas placas, ou seja, a área de contato entre as placas sobrepostas.
A relação matemática será:
Cisalhamento duplo
Neste caso, existem três chapas sobrepostas e unidas (soldadas, coladas, parafusadas etc.), sendo duas delas para um dos lados e a terceira no sentido oposto.
No caso de uma união por cisalhamento duplo, a determinação da tensão média de cisalhamento também utiliza a área A comum entre as duas placas. Contudo, o valor da força é F/2.
A relação matemática será dada por:
Atividade
6. Considere uma junta para unir dois componentes mecânicos, conforme a figura. Suponha que a tensão de cisalhamento admissível seja de 20MPa e a área sobreposta equivale a 400mm2, determine o valor máximo da força F a fim de que a união não seja desfeita.
Gabarito sugerido
A tensão média cisalhante é a razão entre a força cisalhante e a área:
Fator de segurança (F.S.) ou coeficiente de segurança (C.S.)
Muitas vezes, ouvimos falar na Engenharia no fator ou coeficiente de segurança. Qual o sentido deste fator?
Nesta aula, estudamos a respeito das tensões médias normal e de cisalhamento. Quando utilizamos o valor médio para determinarmos as tensões (normal ou de cisalhamento), devemos ter em mente que muitos pontos da área estudada estarão submetidos a valores mais altos do que o valor médio e outros tantos com intensidade menor (podemos fazer uma analogia à média de um aluno).
Dessa forma, quando utilizamos o valor médio da tensão para fazer o dimensionamento de pequenos componentes, devemos fazer uma correção para estas variações nos valores pontuais da tensão normal ou de cisalhamento.
Ademais, fazemos a consideração de um material homogêneo e sem eventuais concentradores de tensão. Assim, devemos utilizar um número adimensional (sem unidade) denominado fator ou coeficiente de segurança (FS ou CS).
“Matematicamente, o fator de segurança é a razão entre as duas tensões: a admissível (a que o material resiste) e a tensão de trabalho (valor utilizado no dimensionamento).”
Observe a relação matemática do FS na equação 6:
“Note que o fator de segurança, além de adimensional, é um número maior do que 1, visto que a tensão de trabalho é sempre menor do que a admissível.”
Exemplo
Uma peça de massa 2000Kg deve ser suspensa, na vertical, por um cabo de aço SAE 1045 com tensão admissível de 300MPa. Determine o diâmetro mínimo que pode ser utilizado para o cabo, considerando um fator de segurança igual a 2.
Solução:
Força a ser equilibrada: peso da peça, ou seja, P = m.g = 2000 x 9,81 = 19.620N
Mas, A = π . R2
Logo, 130,8 = π . R2 → R2 = 41,656 → R = 6,45mm
Assim, diâmetro mínimo de 2 x 6,45 = 12,9mm
a) Para se determinar o momento máximo atuante em uma viga, basta derivar a função do momento, em relação a x, e igualar a zero.
b) No ponto de abscissa x = a para o momento fletor máximo, o esforço cortante pode ser nulo.
c) É verdadeira a relação 
d) A partir das relações aprendidas no capítulo, é possível chegar à seguinte igualdade
 
e) As relações envolvendo o esforço cortante e o momento fletor apenas são válidas para funções polinomiais.
Gabarito
a) Verdadeiro - Para funções contínuas, derivando-se o momento fletor, em relação à variável x, encontramos o valor de x que leva ao momento máximo. Basta, portanto, substituir esse valor x na expressão do momento fletor.
b) Falso - Para o momento fletor máximo, o esforço cortante é necessariamente nulo.
c) Falso - A expressão correta é 
d) Verdadeiro - 
e) Falso - Valem para quaisquer funções.
Explore mais
Para saber mais sobre os assuntos abordados nesta aula, sugerimos:
· Leia o capítulo 7 (páginas 249 a 270) do livro Mecânica para Engenharia, de Hibeller (12ª edição);
Assista aos vídeos:
· Exercícios sobre cargas distribuídas;
· “Troca de carga distribuída pela concentrada equivalente”.