MF Cap 6a - Análise Dimensional - Teoria PI

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MECÂNICA DOS FLUIDOS
Análise dimensional
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ANÁLISE DIMENSIONAL
Análise Dimensional – É a área da física que estuda a relação entre as grandezas físicas pelas unidades de medida dessas grandezas.
O que são Grandezas Fundamentais ou de Base?
São grandezas independentes a partir das quais podem ser relacionadas as demais grandezas chamadas de derivadas.
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O que são Grandezas Derivadas?
Grandezas que são obtidas a partir do relacionamento das grandezas fundamentais ou Base.
					
ANÁLISE DIMENSIONAL
- Velocidade = espaço / tempo
- Aceleração = velocidade / tempo 
Grandeza derivada
Grandeza de base
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O que é Equação Dimensional?
Equação que relaciona as grandezas de base com a grandeza derivada.
				
[ ] = Lê-se dimensão	
O estudo será realizado utilizando a base FLT:
- Velocidade: v = ds/dt		equação dimensional: [v] = L/T = LT-1
- Aceleração: a = dv/dt		equação dimensional: [a] = LT-1/T = LT-2
- Massa: m = F/a		equação dimensional: [m] = F/LT-2 = FL-1T2
ANÁLISE DIMENSIONAL
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	Grandeza Física	Unidade	Unidade	Análise Dimensional
	Massa	Quilograma	kg	M
	Comprimento	Metro	m	L
	Tempo	Segundo	s	T
	Força	Newton	N	F
Modelo de equação dimensional 
 [x] = F a. Lb. T c
[x] – representa o estudo da grandeza física
a, b, c – representam as dimensões das grandezas
ANÁLISE DIMENSIONAL
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Determine nas bases FLT e MLT as equações dimensionais das grandezas.
	Grandeza física		Unidade	Base FLT	Base MLT
	Força	[A]	N	F 	M L T-2 
	Massa específica	[ρ]	ρ= m/vol = Kg/m3	F L-4 T2 	M L-3 
	Peso específico	[ɣ]	ɣ = P/vol = m.g/V	F L-3 	M L-2 T-2 
	Pressão	[P]	P = F/A = m.g/A 	F L-2 	M L-1 T-2 
	Tensão cisalhamento	[τ]	τ = F/A = m.g/A	F L-2 	M L-1 T-2 
	Vazão volumétrica	[Qv]	Qvol = vol/t	L3 T-1 	L3 T-1 
	Vazão peso	[Qp]	Qp = P/t	F T-1 	M L T-3 
	Vazão mássica	[Qm]	Qm = m/t	F L-1 T 	M T-1 
	Trabalho	[W]	W = F.d	F L	M L2 T-2 
	Potência	[N]	N = W/Δt	F L T-1 	M2 L2 T-3 
ANÁLISE DIMENSIONAL
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O que é Número Adimensional ou Número π?
Número adimensional ocorre quando a equação dimensional apresenta expoente 0 (zero) em todas suas grandezas fundamentais.
	
F - Força 				M - Massa 
L - Comprimento 				L – Comprimento
 
T - Tempo 				T - Tempo 	
ANÁLISE DIMENSIONAL
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Como podemos aplicar a Análise Dimensional e Número Adimensional para um fenômeno?
Temos o seguinte problema:
Uma esfera com Diâmetro D, 
se movendo com velocidade V, 
no interior de um fluido de densidade ρ e viscosidade µ. 
Queremos calcular a força de arrasto F 
ANÁLISE DIMENSIONAL
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1° - Opção
Em laboratório, com todas as ferramentas e equipamentos necessárias, faremos inúmeras experiência com materiais diferentes.
Equipamentos para análise do fenômeno:
- Túnel aerodinâmico
- Dinamômetro e balanças;
- Viscosímetros;
- E outros aparelho de medição
Materiais utilizados:
- Várias esferas: D1, D2; D3; ....DN
- Vários fluidos (mesma ρ) e µ1; µ2; µ3; ..... µn
- Vários fluidos (mesma µ) e ρ1; ρ2; ρ3; ..... ρn
ANÁLISE DIMENSIONAL
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Por meio analítico é muito difícil resolver estas equações, 
1° - Opção
Após várias experiência para análise do fenômeno obtivemos os seguinte resultados.
Ex: Para um aumento de velocidade do fluido de V1 para V2, aumentará a força de arrasto.
V1
V2
Vn
V1
V2
Vn
V1
V2
Vn
D
F
µ
F
ρ
F
ρ e µ = cte
D e ρ = cte
D e µ = cte
Es
1° Experiência
2° Experiência
3° Experiência
ANÁLISE DIMENSIONAL
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Por meio analítico é muito difícil resolver estas equações, 
Portanto desta maneira é muito difícil de calcular a Força de Arrasto, mas possível e trabalhoso de ser calculado.
Através dos testes em laboratório percebeu-se uma forma simplificada de calcular este fenômeno. A relação entre as grandezas envolvidas no fenômeno (F, v, D, ρ, µ) teremos dois adimensionais.
Re - Reynolds
ρ – massa específica 
V - Velocidade do fluído
D - Diâmetro
µ - viscosidade dinâmica
ANÁLISE DIMENSIONAL
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Por meio analítico é muito difícil resolver estas equações, 
Se fizermos a analise dimensional de Reynolds e Euler:
Descobriu-se que á uma relação entre estes adimensionais, para cada Reynolds tem um Euler, e vice-versa. Existe um relação entre eles cuja grandeza é a Velocidade.
ANÁLISE DIMENSIONAL
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Por meio analítico é muito difícil resolver estas equações, 
Como calcularemos a Força de arrasto:
Através da análise dimensional fica mais fácil resolvermos o fenômeno quando comparado com a análise de gráficos obtido em laboratório.
Mas para resolvermos por Análise Dimensional precisamos obter a Curva Universal e para isso precisamos conhecer os adimensionais, precisamos saber quantos e quais adimensionais estão envolvidos no fenômeno a ser estudado.
ANÁLISE DIMENSIONAL
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Por meio analítico é muito difícil resolver estas equações, 
1° - Determinar as grandezas envolvidas no fenômeno, Ex: (F, ρ, v, D, µ)
 
2° - Determinar os números de adimensionais a partir da função característica.
			
f (x1 ; x2 ; x3 ; ............; x n) = 0 x = é uma grandeza do fenômeno
3° - Função dos adimensionais independentes com base nas grandezas x1, x2, x3, ....xn
f ( π1; π2; π3;..... π m) = 0	 π = adimensionais	
	
 Adimensionais independentes diferem em pelo menos uma de suas variáveis, F e µ
Teorema dos π ou de Buckingham da Análise Dimensional
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Por meio analítico é muito difícil resolver estas equações, 
f (x1 ; x2 ; x3 ; ............; x n) = 0 
f ( π1; π2; π3;..... π m) = 0
	
Como determinar o número de adimensionais?
	m = n - r
	m = número de adimensionais independentes;
	n = número de variáveis;
	r = número de grandezas fundamentais (FLT) contidas nas variáveis
Teorema dos π ou de Buckingham da Análise Dimensional
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Por meio analítico é muito difícil resolver estas equações, 
Temos:
f (F, v, D, ρ, µ) = 0
Teorema dos π ou de Buckingham da Análise Dimensional
n = 5 variáveis
m = n – r
m = 5 – 3
m = 2 adimensionais
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Por meio analítico é muito difícil resolver estas equações, 
Para a função f (F, v, D, ρ, µ) = 0 sabemos quantos adimensionais teremos (m = 2), mas como calcular estes adimensionais?
1° - Como será formado a base e quais serão as grandezas?
 A base será composta por 3 grandezas (r = 3);
 as bases devem ser independentes;
	Podendo ser: (F, v, D); (ρ, v, D); (µ, v, D)
Sempre que houver ρ, v e Comprimento caraterístico, devemos dar preferência a esse conjunto como base. Escolhendo (ρ, v, D) diferem em pelo menos uma variável.
Teorema dos π ou de Buckingham da Análise Dimensional
[F] = F
[v] = LT-1
[D] = L
[ρ] = FL-4T2
[µ] = FL-2T
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Para π1:					Para π2:
Teorema dos π ou de Buckingham da Análise Dimensional
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Função equivalente é dada:
Teorema dos π ou de Buckingham da Análise Dimensional
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Exercício 1:
Determinar a força de arrasto numa esfera de diâmetro = 1 cm que se desloca em água (ρ = 1.000 Kg/m3 e µ = 10-3 N.s/ m2 ) com velocidade de 1 cm/s.
Teorema dos π ou de Buckingham da Análise Dimensional
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Exercício 1:
D = 1 cm = 
v = 1 cm/s = 
ρH2O = 1.000 Kg/m3
µH2O = 10-3 N.s/ m2
Solução
Desenvolvendo a análise dimensional, teremos:
Teorema dos π ou de Buckingham da Análise Dimensional
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Exercício 1:
D = 1 cm = 
v = 1 cm/s = 
ρH2O = 1.000 Kg/m3
µH2O = 10-3 N.s/ m2
 
Teorema dos π ou de Buckingham da Análise Dimensional
 100
0,4 
 Fa = 4 . 
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Exercício 2:
A velocidade de um corpo em queda livre é função somente da aceleração da gravidade g e da altura de queda h. Determine a função de números adimensionais referente ao fenômeno.
Teorema dos π ou de Buckingham da Análise Dimensional
h
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Exercício 2:
Teorema dos π ou de Buckingham da Análise Dimensional
h
Função das grandezas que intervém no fenômeno.
	v = f (g , h)
	f (v, g, h) = 0
b) Equação dimensional das grandezas que intervém no fenômeno.
	[v] = L T-1
	[g] = L T-2
	[h] = L
c) Número de adimensionais independentes
	m = n – r 		m= 3 – 2 = 1 adimensional
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Exercício 2:
Teorema dos π ou de Buckinghamda Análise Dimensional
h
Escolha da base v, h ou g, h. 
			
As bases devem ser independente, diferem em pelo menos uma variável. Não podendo ser escolhido v e g
OBS: quando temos um adimensional = K
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Exercício 3:
A intensidade da resultante da centrípeta é função apenas da massa (m), da velocidade (v) e do raio (r) da trajetória. Por análise dimensional obter a expressão da intensidade da força centrípeta.
Teorema dos π ou de Buckingham da Análise Dimensional
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Exercício 3:
Teorema dos π ou de Buckingham da Análise Dimensional
 1
OBS: quando temos um adimensional = K
x
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Exercício 4:
A carga manométrica de uma bomba centrífuga depende da vazão Q, da massa específica, e da viscosidade dinâmica µ do fluído, do diâmetro D do rotor e da rotação n. Determinar os adimensionais característicos da bomba. Função representativa: f (ρ, n, D, µ, Q, ɣHb) = 0 
Teorema dos π ou de Buckingham da Análise Dimensional
Resolução
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Exercício 4:
Teorema dos π ou de Buckingham da Análise Dimensional
Análise Dimensional 
[ρ] = FL-4T2
[n] = T-1
[D] = L
[µ] = FL-2T1
[Q] = L3T-1
[ɣHb] = FL-3 . L = FL-2
Resolução
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Exercício 4:
Teorema dos π ou de Buckingham da Análise Dimensional
Resolução
Análise Dimensional 
[ρ] = FL-4T2
[n] = T-1
[D] = L
[µ] = FL-2T1
[Q] = L3T-1
[ɣHb] = FL-3 . L = FL-2
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Exercício 4:
Teorema dos π ou de Buckingham da Análise Dimensional
Resolução
Análise Dimensional 
[ρ] = FL-4T2
[n] = T-1
[D] = L
[µ] = FL-2T1
[Q] = L3T-1
[ɣHb] = FL-3 . L = FL-2
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Exercício 4:
Teorema dos π ou de Buckingham da Análise Dimensional
Resolução
Análise Dimensional 
[ρ] = FL-4T2
[n] = T-1
[D] = L
[µ] = FL-2T1
[Q] = L3T-1
[ɣHb] = FL-3 . L = FL-2
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Exercício 4:
Teorema dos π ou de Buckingham da Análise Dimensional
Resolução
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Exercício 5:
Teorema dos π ou de Buckingham da Análise Dimensional
A pressão efetiva P, num ponto genérico de um líquido em repouso, é função da massa específica ρ, da aceleração da gravidade g e da profundidade do ponto h em relação a superfície livre do líquido. Determinar a equação das pressões.
Resolução
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Exercício 5:
Teorema dos π ou de Buckingham da Análise Dimensional
Resolução
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