AULA 5 Medidas dispersao

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UNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁ - Campus Cabo Frio- Curso: sistema de Informação 
Disciplina:Probabilidades e Estatística Computacional - Profª Gilselene Guimarães 
 
 
AULA 5 : Medidas de dispersão ( amplitude, variância, desvio padrão e coeficiente de variação) 
 
As medidas estatísticas responsáveis pela variação ou dispersão dos valores de um conjunto de dados são 
as medidas de dispersão ou de variabilidade onde se destacam a amplitude total, a variância, o desvio 
padrão e o coeficiente de variação. 
 
Para entender o que é dispersão, vamos considerar os dados obtidos através da nota das provas de quatro 
alunos. Todos fizeram cinco provas e apresentaram as seguintes notas, conforme tabela abaixo: 
 
Tabela 1 – Notas de quatro alunos em cinco provas 
Aluno Notas Média 
Antônio 5 5 5 5 5 5 
João 6 4 5 4 6 5 
José 10 5 5 5 0 5 
Pedro 10 10 5 0 0 5 
 
Todos os alunos obtiveram média igual a 5, mas a dispersão das notas em torno da média não é a mesma 
para todos os alunos. A tabela mostra claramente que: 
a) as notas de Antônio não variaram. 
b) as notas de João variaram menos do que as notas de José. 
c) as notas de Pedro variaram mais do que as notas de todos os outros. 
 
 AMPLITUDE 
Por definição, Amplitude é a diferença entre o maior e o menor valor do conjunto de dados observado. 
Trata-se de uma das medidas mais elementares e muito precária porque não informa o modo pelo qual os 
valores se distribuem no conjunto dos dados obtidos. Por exemplo: 4, 6, 6, 6, 8 ( 8 – 4 = 4) e 
4, 5, 6, 7, 8 ( 8 – 4 = 4) 
Neste exemplo a amplitude de variação é a mesma e igual a 4. No entanto as dispersões dos dois conjuntos 
são diferentes. 
 
No exemplo anterior, temos: 
 As notas de Antônio têm amplitude: a = 5 – 5 = 0(a dispersão é nula) 
 As notas de João têm amplitude: a = 6 – 4 = 2 
 As notas de José têm amplitude: a = 10 – 0 = 10 
(a dispersão das notas de João é menor do que a dispersão das notas de José) 
 As notas de Pedro têm amplitude: a = 10 – 0 = 10 
(a dispersão das notas de Pedro foi maior) 
 
Entretanto, a amplitude não mede bem a dispersão dos dados porque, em seu cálculo, usam-se apenas os 
valores extremos, e não todos os dados. De qualquer forma, a amplitude é muito usada, principalmente 
porque é fácil de calcular e fácil de interpretar. 
Para os dados agrupados em classe, a AT é a diferença entre o limite superior da última classe e o limite 
inferior da primeira classe. 
 
 AT = L(max) – l (min) 
2 
 
 VARIÂNCIA 
 
Trata-se da dispersão dos dados em torno da média aritmética, que leva em consideração o tamanho da 
amostra. A variância é indicada por s2. 
 
PARA DADOS NÃO AGRUPADOS 
 
• Para dados populacionais, temos: 
 
 
 
 
Xi → dado coletado 
 X̅ → média aritmética 
 n → número de dados ( tamanho da amostra) 
 
• Para dados amostrais, temos: 
 
 
 
 
 
PARA DADOS AGRUPADOS ( com frequência) 
 
• Dados agrupados amostral sem intervalo de classe 
 
 
 
 
 Xi → valor da variável 
 
• Dados agrupados amostral com intervalo de classe 
 
 
 
 
 
 PM → ponto médio da classe 
 
 DESVIO PADRÃO 
 
É a medida de dispersão que mede a dispersão absoluta de um conjunto de valores obtido a partir da 
variância. È definido como a raiz quadrada da variância, com sinal positivo. A variância tem a desvantagem 
de apresentar unidade de medida igual ao quadrado da unidade de medida dos dados. O desvio padrão é 
representado por S e calculado por: 
 
 
 
S = √S2 
S2 = 
∑(Xi− X ̅ )2
n
 
S2 = 
∑(Xi− X ̅ )2
n−1
 
S2 = 
∑(Xi− X ̅ )2
n−1
 . fi 
S2 = 
∑(PM− X ̅ )2
n−1
 . fi 
3 
 
OBSERVAÇÕES IMPORTANTES 
 
1) Somando-se ou subtraindo-se um valor constante a cada um dos valores de todos os dados o 
valor do desvio padrão não se altera. 
 
2) Multiplicando cada um dos valores de todos os dados por um valor constante, diferente de ZERO, 
o resultado do desvio padrão será multiplicado por esta constante. 
 
Exemplo: Conforme os dados da tabela abaixo, calcule o desvio padrão amostral. 
 
Xi Fi 
2 1 
4 3 
6 4 
10 3 
12 3 
16 6 
TOTAL 
 
 
 COEFICIENTE DE VARIAÇÃO 
 
É a medida que expressa a variabilidade em termos relativos, comparando o desvio padrão e a média 
aritmética. É a razão entre o desvio padrão e a média aritmética, sendo o resultado multiplicado por 100, 
para que o coeficiente de variação seja dado em porcentagem. Portanto: 
 
 
 
 
 
Exemplo 1: Imagine dois grupos de pessoas. No primeiro grupo, as pessoas têm idades 3, 1 e 5; e no 
segundo grupo as pessoas têm idades 55, 57 e 53. 
 
No primeiro grupo, a média de idade é de 3 anos e, no segundo grupo, a média de idade é 55 anos. 
Nos dois grupos a dispersão dos dados é a mesma. Ambos tem a variância igual a 4, mas as diferenças de 
dois anos são muito mais importantes no primeiro grupo, que tem média 3, do que no segundo grupo, que 
tem média 55. 
Agora, veja os coeficientes de variação. 
 
No primeiro grupo, o coeficiente de variação é 66,7% e, 
no segundo grupo, o coeficiente de variação é 3,64%. 
 
Um coeficiente de variação igual a 66,7% indica que a dispersão dos dados em relação á média é muito 
grande, ou seja, a dispersão relativa é alta. 
Já o coeficiente de variação de 3,64% indica que a dispersão dos dados em relação á média é pequena. 
Em outras palavras, diferenças de 2 anos são relativamente mais importantes no primeiro grupo, que tem 
média 3 (coeficiente de variação 66,67%) do que no segundo grupo que tem média 55 (o coeficiente de 
variação é de 3,64%). 
 
CV = 
S
X
 . 100 
 
4 
 
Então o coeficiente de variação mede a dispersão em relação à média. 
 
Exemplo 2: Para duas emissões de ações ordinárias da indústria eletrônica o preço médio diário, no 
fechamento dos negócios, durante um período de um mês para ações A, foi de R$ 150,00 com um desvio 
padrão de R$5,00. Para ações B, o preço médio foi de R$50,00 com um desvio padrão de R$ 3,00. Em termos 
de comparação absoluta, a variabilidade do preço das ações A foi maior devido ao desvio padrão maior. 
Mas em relação ao nível de preço devem ser comparados os respectivos coeficientes e variação. 
 
Exercícios 
 
1) Considere os dados amostrais do seguinte rol e determine o desvio padrão e o coeficiente de variação. 
O rol é 40, 45, 48, 52, 54, 62, 70. 
 
2) Sabendo que a sequência 8, 10, 11, 15, 16, e 18 são dados amostrais de uma coleta, calcule o desvio 
padrão e o coeficiente de variação. 
 
3) Calcular o desvio padrão das taxas de mortalidade infantil em municípios do Oeste de Santa Catarina 
em 1982. Considere as classes e frequências abaixo: 
CLASSES fi 
9,9 ---------18,62 10 
18,62------27,34 13 
27,24----- 36,06 6 
36,06------44,78 4 
44,78 ------53,5 0 
53,5 -------62,2 1 
TOTAL 34 
 
OBSERVAÇÕES 
 
1- AMPLITUDE 
• Quando for igual a zero indica que não houve variabilidade 
• Quanto maior amplitude maior será a variabilidade 
• Porém a amplitude não mede a variabilidade com exatidão pois não informa nada sobre os valores 
intermediários. 
 
2- DESVIO PADRÃO 
• Só assume valores positivos. 
• Mede a variabilidade dos resultados em torno da média aritmética. 
• Quanto maior o desvio padrão maior será a dispersão dos dados 
• Com o desvio padrão igual a zero indica que não houve variabilidade dos resultados e todos os valores 
são iguais. 
• Maior o desvio padrão indica mais variabilidade dos dados encontrados. 
• A grande variabilidade não significa que seja bom ou ruim mas, apenas, que os dados variam de um 
indivíduo para outro (variabilidade individual). 
 
3- VARIÂNCIA 
• Apresenta o mesmo significado do desvio padrãomas expresso em escala diferente porque é elevado 
ao quadrado. 
• Também é uma medida de variabilidade individual. 
• A variação é indicada através do afastamento dos valores em relação à média aritmética.