GabaritoLista2_ProbabilidadeComputacional2022 1 (1)

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INF1036 - Probabilidade Computacional – 2ª. Lista – 2022.1 
Professora: Ana Carolina Letichevsky 
 
1) A variável aleatória 𝑋 tem função densidade dada por: 
𝑓(𝑥) = {
−𝑥 −1 ≤ 𝑥 < 0
𝑥 0 ≤ 𝑥 ≤ 1
0 𝑥 < −1 𝑜𝑢 𝑥 > 1
 
a) Esboce o gráfico de 𝑓(𝑥) e verifique se 𝑓(𝑥) define uma função densidade de probabilidade. 
 
A área de cada triângulo é 0,5 e, portanto, a área total é 1 e além disso a função é não negativa, 
logo 𝑓(𝑥) define uma função densidade de probabilidade. 
b) Calcule 𝑃(|𝑋 − 0,5| > 0,25). 
 
 
 
𝑃(|𝑋 − 0,5| > 0,25) = 𝑃[((𝑋 − 0,5) > 0,25) ∪ ((𝑋 − 0,5) < −0,25)]
= 𝑃(𝑋 > 0,75) + 𝑃(𝑋 < 0,25) = ∫ 𝑥𝑑𝑥
1
0,75
+ 0,5 + ∫ 𝑥𝑑𝑥
0,25
0
= 0,75 
c) Calcule a variância de 𝑋. 
𝑉𝑎𝑟(𝑋) = 𝐸(𝑋2) − [𝐸(𝑋)]2 
Como a função de densidade é simétrica em torno de 0, temos que a esperança 𝐸(𝑋) é 0 e, 
neste caso, temos: 
𝑉𝑎𝑟(𝑋) = 𝐸(𝑋2) = ∫ 𝑥2(−𝑥)𝑑𝑥 +
0
−1
∫ 𝑥2(𝑥)𝑑𝑥 =
1
0
−∫ 𝑥3𝑑𝑥 +
0
−1
∫ 𝑥3𝑑𝑥 =
1
0
0,5 
d) Obtenha a função distribuição acumulada de 𝑋. 
Sabemos que 𝐹(𝑥) = 0 se 𝑥 < −1 e 𝐹(𝑥) = 1 para x > 1, observando o gráfico e 𝑓(𝑥) 
podemos escrever: 
Para −1 < 𝑥 < 0 
𝐹(𝑥) = ∫ −𝑡𝑑𝑡
𝑥
−1
=
1 − 𝑥2
2
 
Para 0 ≤ 𝑥 < 1 
𝐹(𝑥) = ∫ −𝑡𝑑𝑡
0
−1
+∫ 𝑡𝑑𝑡
𝑥
0
=
1 + 𝑥2
2
 
Logo: 
𝐹(𝑥) =
{
 
 
 
 
0 𝑠𝑒 𝑥 ≤ −1
1 − 𝑥2
2
 𝑠𝑒 − 1 < 𝑥 < 0
1 + 𝑥2
2
 𝑠𝑒 0 ≤ 𝑥 < 1
1 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 1
 
2) Uma variável aleatória 𝑋 tem distribuição uniforme no intervalo [𝑎, 𝑏] com média 7 e variância 3. 
Determine os valores de 𝑎 e 𝑏, sabendo que 𝑏 > 𝑎 > 0. 
Da definição de uma distribuição uniforme temos que: 
{
𝑎 + 𝑏
2
= 7
(𝑏 − 𝑎)2
12
= 3
 
Da segunda equação temos que (𝑏 − 𝑎)2 = 36 e como 𝑏 > 𝑎, temos que 𝑏 − 𝑎 = 6. Rearrumando 
 
 
as equações temos: 
{
𝑎 + 𝑏 = 14
𝑏 − 𝑎 = 6
 
Cuja solução é 𝑏 = 10 e 𝑎 = 4, ou seja, 𝑋~𝑈𝑛𝑖𝑓(4, 10). 
 
3) Se 𝑋 é uma variável aleatória contínua exponencial de parâmetro 𝜆, mostre que: 
a) 𝐸[𝑋] =
1
𝜆
 
Temos que 𝑓(𝑥) é dado por: 
𝑓(𝑥) = {𝜆𝑒
−𝜆𝑥 𝑠𝑒 𝑥 > 0
0 𝑠𝑒 𝑥 ≤ 0
 
Logo: 
𝐸(𝑋) = ∫ 𝑥𝑓(𝑥)𝑑𝑥 =
∞
0
∫ 𝑥𝜆𝑒−𝜆𝑥𝑑𝑥
∞
0
 
Fazendo integração por partes e adotando 𝑢 = 𝑥, que implica 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥, e 𝑑𝑣 = 𝜆𝑒−𝜆𝑥𝑑𝑥, 
que implica 𝑣 = −𝑒−𝜆𝑥, temos: 
𝐸(𝑋) = ∫ 𝑥𝑓(𝑥)𝑑𝑥 =
∞
0
∫ 𝑥𝜆𝑒−𝜆𝑥𝑑𝑥
∞
0
= −𝑥𝑒−𝜆𝑥]
0
∞
−∫ −𝑒−𝜆𝑥
∞
0
𝑑𝑥
= −𝑥𝑒−𝜆𝑥]
0
∞
+∫ 𝑒−𝜆𝑥
∞
0
𝑑𝑥 
Sabendo que log𝑥→∞ 𝑥
𝑘𝑒−𝜆𝑥 = 0 ∀𝑘 > 0 e 𝜆 > 0, segue: 
𝐸(𝑋) = 0 + 0 +
1
𝜆
𝑒−𝜆𝑥]
0
∞
=
1
𝜆
 
b) 𝑉𝑎𝑟(𝑋) =
1
𝜆2
 
𝐸(𝑋2) = ∫ 𝑥2𝑓(𝑥)𝑑𝑥 =
∞
0
∫ 𝑥2𝜆𝑒−𝜆𝑥𝑑𝑥
∞
0
 
Fazendo integração por partes e adotando 𝑢 = 𝑥2 , que implica 𝑑𝑢 = 2𝑥𝑑𝑥 , e 𝑑𝑣 =
𝜆𝑒−𝜆𝑥𝑑𝑥, que implica 𝑣 = −𝑒−𝜆𝑥, temos: 
𝐸(𝑋2) = −𝑥2𝑒−𝜆𝑥]
0
∞
−∫ −2𝑥𝑒−𝜆𝑥
∞
0
𝑑𝑥 = −𝑥2𝑒−𝜆𝑥]
0
∞
+∫ 2𝑥𝑒−𝜆𝑥
∞
0
𝑑𝑥 
Sabendo que log𝑥→∞ 𝑥
𝑘𝑒−𝜆𝑥 = 0 ∀𝑘 > 0 e 𝜆 > 0, segue: 
 
 
𝐸(𝑋2) = 0 + 0 +
2
𝜆
∫ 𝑥𝜆𝑒−𝜆𝑥
∞
0
𝑑𝑥 =
2
𝜆
𝐸(𝑋) =
2
𝜆
.
1
𝜆
=
2
𝜆2
 
Podemos concluir então: 
𝑉𝑎𝑟(𝑋) = 𝐸(𝑋2) − [𝐸(𝑋)]2 =
2
𝜆2
− (
1
𝜆
)
2
=
1
𝜆2
 
 
4) A função de distribuição acumulada de uma variável aleatória 𝑋 é dada por: 
𝐹(𝑥) = {
0 𝑥 < 0
3𝑥2 − 𝑥3
2
0 ≤ 𝑥 < 1
1 𝑥 ≥ 1
 
a) Calcule 𝐸(𝑋) e 𝑉𝑎𝑟(𝑋). 
Derivando 𝐹(𝑋) encontramos 𝑓(𝑥), função densidade, logo: 
𝑓(𝑥) = {
6𝑥 − 3𝑥2
2
 𝑠𝑒 0 ≤ 𝑥 ≤ 1
0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑚𝑎𝑖𝑠 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑥
 
Assim: 
𝐸(𝑋) = ∫ 𝑥𝑓(𝑥)𝑑𝑥 =
1
0
∫ 𝑥(
6𝑥 − 3𝑥2
2
)𝑑𝑥 = ∫ (3𝑥2 −
3𝑥3
2
)𝑑𝑥 =
5
8
1
0
1
0
 
𝐸(𝑋2) = ∫ 𝑥2𝑓(𝑥)𝑑𝑥 =
1
0
∫ 𝑥2 (
6𝑥 − 3𝑥2
2
)𝑑𝑥 = ∫ (3𝑥3 −
3𝑥4
2
)𝑑𝑥 =
9
20
1
0
1
0
 
𝑉𝑎𝑟(𝑋) = 𝐸(𝑋2) − [𝐸(𝑋)]2 =
9
20
− (
5
8
)
2
=
19
320
 
 
b) Calcule 𝑃(0,25 ≤ 𝑋 ≤ 0,5). 
𝑃(0,25 ≤ 𝑋 ≤ 0,5) = 𝐹(0,5) − 𝐹(0,25) ≅ 0,23 
 
 
5) Considerando 𝑔(𝑥) = 𝑥2 + 3𝑥 uma função, calcule o valor aproximado de 𝜑, onde: 
𝜑 = ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥
1
0
 
 
 
Observação: 
Considerando 𝑈 uma variável aleatória uniformemente distribuída no intervalo [0, 1] , então: 
𝜑 = ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐸[𝑔(𝑈)]
1
0
 
Se 𝑈1, 𝑈2, … , 𝑈𝑛 são variáveis aleatórias independentes e uniformemente distribuídas em [0, 1], 
tem-se que as variáveis aleatórias 𝑔(𝑈1), 𝑔(𝑈2), … , 𝑔(𝑈𝑛) são variáveis aleatórias independentes com 
média 𝜑. Portanto, pela Lei Forte dos Grandes Números (Lei Forte de Kolmogorov), segue que, com 
probabilidade 1, 
∑
𝑔(𝑈𝑖)
𝑛
𝑛
𝑖=1
→ 𝐸[𝑔(𝑈)] = 𝜑 
onde 𝑛 → ∞. 
Para realizar o cálculo, deve ser criada uma função chamada aproximador que deverá retornar o valor 
aproximado de 𝜑. Implemente a função aproximador, em R e em Python, usando como gerador de 
números pseudo-aleatórios o algoritmo: 
a) LGC. 
b) Mersenne Twister. 
 
#R 
#a) 
 
LCG <- function (seed, a, c, M, nsamples) { 
 x <- seed 
 u <- NULL 
 for (i in 1:nsamples) { 
 nx <- (a * x + c) %% M 
 u <- c(u, as.double(nx) / as.double(M)) 
 x <- nx 
 } 
 return (u) 
} 
http://www.portalaction.com.br/probabilidades/722-lei-forte-dos-grandes-numeros#teo7124
 
 
 
aproximador <- function(U) { 
 retorno <- NULL 
 n <- length(U) 
 vetor = NULL 
 for (i in 1:n) { 
 gx <- U[i]^2 + 3*U[i] #cálculo da g(x) 
 vetor <- c(vetor, gx) 
 } 
 retorno <- mean(vetor) 
 return (retorno) 
} 
 
 
a <- 39373 
c <- 0 
M <- 2147483647 
nsamples <- 1000 
U = LCG(3, a, c, M, nsamples) 
 
valor.aproximado <- aproximador(U) 
print(valor.aproximado) 
 
 
#b) 
 
aproximador <- function(U) { 
 retorno <- NULL 
 n <- length(U) 
 vetor <- NULL 
 for (i in 1:n) { 
 gx <- U[i]^2 + 3*U[i] #cálculo da g(x) 
 vetor <- c(vetor, gx) 
 } 
 retorno <- mean(vetor) 
 return (retorno) 
 
 
} 
 
nsamples <- 1000 
U <- runif(nsamples) 
 
valor.aproximado <- aproximador(U) 
print(valor.aproximado) 
 
 
#Python 
#a) 
import numpy as np 
 
def LCG(seed, a, c, M, nsamples): 
 x = seed 
 u = [] 
 u.append(x) 
 for i in range(nsamples - 1): 
 nx = (a * x + c) % M 
 u.append(float(nx) / float(M)) 
 x = nx 
 return (u) 
 
def aproximador (U): 
 retorno = 0 
 n = len(U) 
 vetor = [] 
 for i in range(0, n): 
 gx = U[i]**2 + 3*U[i] #cálculo da g(x) 
 vetor.append(gx) 
 retorno = np.mean(vetor) 
 return (retorno) 
 
 
a = 39373 
c = 0 
 
 
M = 2147483647 
nsamples = 1000 
 
U = LCG(3, a, c, M, nsamples) 
print(len(U)) 
print(U) 
 
valoraproximado = aproximador(U) 
print(valoraproximado) 
 
#b) 
import numpy as np 
 
def aproximador (U): 
 retorno = 0 
 n = len(U) 
 vetor = [] 
 for i in range(0, n): 
 gx = U[i]**2 + 3*U[i] #cálculo da g(x) 
 vetor.append(gx) 
 retorno = np.mean(vetor) 
 return (retorno) 
 
nsamples = 1000 
 
U = np.random.sample(nsamples) 
 
valoraproximado = aproximador(U) 
print(valoraproximado)