UNIVESP - 2020 - Estatistica - Material Base (Andre Leme Fleury) - Semana 1

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ESTATÍSTICA
Probabilidade1
TEXTO-BASE
Esta�sica | André Leme Fleury
APRESENTAÇÃO
Na primeira aula apresentamos o que é Estatística, qual é a sua origem e seus principais conceitos, sua
importância na vida em sociedade e como aplicá-la em seu contexto profissional.
A partir da segunda aula você aprofundou os conhecimentos teóricos e práticos sobre probabilidade. Na
terceira aula você conheceu os exercícios comentados que apresentam como realizar operações
probabilísticas. Aleatoriedade, espaço amostral, eventos, combinações, arranjos e teoremas do cálculo
de probabilidades são alguns dos tópicos trabalhados nas videoaulas e nos outros materiais disponíveis.
Ao estudar os conteúdos desta semana você será capaz de estimar a ocorrência ou não-ocorrência de
eventos incertos.
Já observou que quase tudo ao nosso redor é incerto, em especial na Engenharia? Qual é a
probabilidade de uma ponte suportar o peso planejado? De uma máquina falhar? De um processo
produtivo produzir produtos dentro das especificações estabelecidas?
Portanto, compreender os conceitos probabilísticos e sua aplicação te habilitará a solucionar questões
como essas, envoltas de incertezas, mas que surgem frequentemente no contexto profissional do
Engenheiro. Os conceitos e aplicações apresentados também lhe darão bases para ampliar o seu
desempenho no Projeto Integrador.
Sempre que possível, faça anotações, sintetizando suas conclusões, dúvidas e ideias. Elas serão uteis
como referencia para você estudar ou fazer uma revisão antes da prova da disciplina. As atividades
desta semana estão organizadas da seguinte maneira:
4 exercícios resolvidos (solução apresentada);•
2 exercícios propostos (solução desenvolvida por você. O gabarito estará disponível ao final da
semana de estudos. Não será critério de avaliação);
•
2 exercícios de portfólio (você desenvolverá a solução e valerá nota).•
Lembre-se de conferir as dicas que selecionamos especialmente para você no tópico “Materiais de
Apoio”.
Bons estudos!
Prof. André
 
OBJETIVOS DAS AULAS DA SEMANA
Apresentar os conceitos principais sobre Estatística;
Apresentar os principais conceitos sobre Probabilidade;•
Apresentar as principais operações realizadas no contexto da Probabilidade;•
Apresentar teoremas para o cálculo de Probabilidades;•
Apresentar exemplos práticos de aplicação dos conceitos e dos teoremas da Probabilidade;•
Apresentar as principais técnicas de contagem: combinação e arranjos.•
 
SÍNTESE DAS AULAS
Áreas da Esta�s�ca
Probabilidade: consiste no estudo da aleatoriedade e da incerteza.
Utiliza métodos de quantificação das chances associadas aos diversos resultados.
1.
Estatística Descritiva: conceitos e métodos para coleta, organização, apresentação, análise e
interpretação de dados obtidos em uma população ou amostra.
2.
Estatística Inferencial: processo de estimar informações sobre uma população a partir dos
resultados observados numa amostra.
3.
 
Probabilidade: conceitos principais
Fenômeno Probabilístico: fenômenos nos quais os resultados são incertos e variáveis;•
Espaço amostral (S): conjunto de todos os possíveis resultados de um experimento;•
Evento Aleatório (E): qualquer subconjunto do espaço amostral cuja ocorrência é incerta e
variável;
•
Probabilidade (P): medida da informação sobre a ocorrência de um evento;•
Definição Clássica de Probabilidade:
Onde M: número de sucessos e N: número de possibilidades.
•
Propriedades dos Eventos
 
Operações entre eventos
Para quaisquer •
Se são mutuamente excludentes: •
Para quaisquer •
 
Combinações e Arranjos
Onde:
n: número de elementos no conjunto amostral•
p: número de elementos escolhidos•
c: número de combinações possíveis em que a ordem dos elementos
não faz diferença
•
 
Onde:
r: número de elementos no conjunto amostral•
p: número de elementos escolhidos•
a: número de arranjos possíveis onde a ordem dos elementos faz diferença•
 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
EXERCÍCIO 1
Relacione as figuras a seguir às operações básicas entre eventos: união, intersecção, evento
complementar e eventos mutuamente excludentes.
Solução
As figuras apresentadas neste exercício representam exatamente as definições de cada uma das
operações entre eventos.
 
EXERCÍCIO 2
Dois dados não viciados são lançados simultaneamente. Considere os eventos A = {soma dos pontos
igual a 6} e B = {pontos 1, 2 ou 3 no segundo dado}. Calcule:
 
 
 
A probabilidade de ocorrer o evento A;a.
A probabilidade de ocorrer o evento B;b.
A probabilidade de ocorrer o evento união;c.
A probabilidade da interseção entre A e o complemento de B;d.
A probabilidade da interseção entre os eventos A e B;e.
A probabilidade da união do complemento de A com o evento B.f.
 
 
Solução
São dados
os eventos:
A = {soma dos pontos igual a 6} e
B = {pontos 1, 2 ou 3 no segundo dado}.
Para resolver este exercício, podemos listar todos os resultados possíveis – não são muitos – e obter as
informações necessárias diretamente.
Veja que o espaço amostral é composto de 36 resultados possíveis e igualmente prováveis, pois os
dados são honestos.
 
 
 
Os resultados favoráveis ao evento A são (1,5); (2,4); (3,3); (4,2); (5,1) e estão marcados em azul claro e
escuro, portanto:
a.
Os resultados favoráveis ao evento B são todos aqueles que têm ponto 1, 2 ou 3 no segundo dado, isto
é, as três colunas da esquerda da tabela anterior, marcadas em cinza. Então:
b.
A probabilidade de ocorrer o evento união corresponde à ocorrência de algum dos eventos A e B, ou
seja, todos os resultados em destaque (azul claro, azul escuro ou cinza) na tabela anterior.
c.
O complemento de B consiste nos resultados das 3 colunas da direita da tabela. A intersecção entre A e
o complemento de B serão os resultados (2,4) e (1,5).
d.
 
 
A intersecção entre os eventos A e B está marcada em azul escuro no espaço amostral, pois representa
a ocorrência do “evento azul” e do “evento cinza”.
e.
O complemento do evento A contém todos os resultados exceto: (1,5), (2,4), (3,3), (4,2) e (5,1). A união
do complemento de A com o evento B será o evento que contém todos os resultados do espaço
amostral, exceto (2,4) e (1,5).
f.
EXERCÍCIO 3
Fez-se um estudo para verificar a quantidade de homens e mulheres em quatro diferentes
universidades. Os resultados encontrados são expostos a seguir.
Universidade Homens Mulheres
A 225 81
B 153 42
C 532 142
D 188 42
 
Agora calcule:
Qual é a chance de ele ser homem e da Universidade A, sabendo que o estudante não é da
Universidade C?
a.
Qual é a chance de ser uma mulher ou ser das Universidades C ou D?b.
Qual é a probabilidade de um estudante ser uma mulher?c.
Qual é a probabilidade de um estudante estudar na Universidade A?d.
Sabendo que se trata de um homem, qual é a chance de o estudante ser da Universidade C?e.
Solução
Temos a informação de que este estudante NÃO é da Universidade C, portanto, nosso espaço amostral
será o seguinte:
a.
 
 
 
 
Os resultados favoráveis são os 225 “homens da Universidade A”. Portanto, podemos calcular a
probabilidade por meio do quociente entre os resultados favoráveis e os resultados possíveis
(destacados na tabela anterior). Seja A o evento “homem da Universidade A, sabendo que não é da
Universidade C”, então:
 Nesse caso, o espaço amostral contém 1405 resultados possíveis e a ocorrência de um evento ou de
outro significa a ocorrência de algum dos eventos.
Assim, sendo B o evento “mulher” ou “Universidade C” ou “Universidade D”, temos:
b.
Seja C o evento “mulher”, temos:c.
Seja D o evento “estudante ser da Universidade A”, então:d.
Mais uma vez, temos um espaço amostral diferente, pois é dado que se trata de um homem. Portanto, o
espaço amostral S contém 1098 resultados possíveis, dos quais 532 são favoráveis ao evento “ser da
e.
Universidade C”.
Então, sendo D o evento “ser da Universidade C, dado que é um homem”, temos:
EXERCÍCIO 4
É preciso formar uma comissão e para sua constituição há disponíveis 2 engenheiros e 4 arquitetos. São
escolhidasao acaso 3 pessoas. Qual é a probabilidade de que sejam escolhidos para esta comissão 1
engenheiro e 2 arquitetos?
Solução
Temos:
2 engenheiros•
4 arquitetos•
Queremos formar uma comissão com três pessoas, escolhidas ao acaso. Há maneiras de
fazer isso. Consideremos, agora, o caso particular em que a comissão é formada por um engenheiro e
dois arquitetos. Existem duas maneiras de escolher esse engenheiro (dentre os dois disponíveis) e 
 
maneiras de escolher os dois arquitetos (dentre os quatro disponíveis). Assim, o total de comissões
formadas por um engenheiro e dois arquitetos é .
Portanto, se E for o evento “a comissão é constituída por um professor e dois assistentes”, teremos: