UNIVESP - 2020 - Estatistica - Material Base (Andre Leme Fleury) - Semana 4

Prévia do material em texto

andré leme fleury
estatística
material-base das aulas 13-16
estatística
material-base das aulas 13-16
4
APRESENTAÇÃO 
Na terceira etapa da disciplina você conheceu as prin-
cipais distribuições de probabilidade: Distribuição de 
Bernoulli, Distribuição Binomial, Distribuição de Poisson 
e Distribuição Normal. Estas distribuições descrevem 
grande parte dos fenômenos probabilísticos de nosso 
interesse. Você conheceu também os conceitos princi-
pais sobre amostras e as principais diretrizes para reali-
zar bons processos de amostragem, ou seja, selecionar 
boas amostras. Esta é uma das etapas mais importantes 
dos métodos estatísticos já que uma boa amostragem 
garantirá acesso a informações de qualidade para que 
sejam realizadas interpretações generalizáveis para toda 
a população.
Nesta nova etapa evoluiremos com os conceitos prin-
cipais da Estatística Descritiva, segundo tema central 
desta disciplina. A Estatística Descritiva tem como ob-
jetivo principal planejar e executar pesquisas capazes 
de gerar dados e informações relevantes para análise 
e tomada de decisão. Tendo em vista a organização e 
apresentação dos dados obtidos nos experimentos, 
trabalharemos com duas ferramentas muito importan-
tes: a elaboração de tabelas de frequências, ou seja, ta-
belas capazes de sintetizar as diferentes informações 
Estatística / Aulas 13–16 Material-base 3
coletadas durante o experimento a partir das amostras selecionadas e 
também os histogramas, representações gráficas dos resultados obtidos 
a partir dos experimentos e que foram sintetizados nas tabelas de frequ-
ência elaboradas anteriormente. 
Outro objetivo importante na Estatística Descritiva é consolidar o con-
junto dos dados de origem, obtidos a partir das amostras, em valores 
que sintetizam o seu comportamento. Para isto inicialmente exploramos 
as medidas de tendência central, também conhecidas como medidas de 
posição, incluindo média, mediana e moda. Posteriormente também co-
nhecemos as medidas de dispersão, utilizadas para medir o grau de va-
riabilidade dos valores observados num determinado experimento e que, 
por medirem a dispersão dos dados em relação às principais medidas de 
posição, servem para caracterizar a representatividade de um determina-
do conjunto de observações. Estas medidas encontram-se entre as mais 
importantes medidas empregadas na Estatística.
 
 
 
Bons estudos!
Prof. André
OBJETIVOS DAS AULAS DA SEMANA 
 → Apresentar os conceitos principais sobre distribuições de frequên-
cias, as tabelas de frequências e o gráfico histograma.
 → Apresentar aplicações dos conceitos de distribuições de frequências
 → Conceituar as principais medidas de posição central: moda, média e 
mediana e as principais medidas de dispersão: amplitude, variância 
e desvio padrão. 
 → Apresentar aplicações dos conceitos relacionados com as medidas 
de posição e de dispersão
Estatística / Aulas 13–16 Material-base 4
1. ExERcíciOS RESOlvidOS
EXERCÍCIO 1
Construa a tabela de frequências e seu respectivo histograma com os va-
lores apresentados na amostra. Inclua:
 → Classes;
 → Frequências absolutas;
 → Frequências relativas;
 → Frequências acumuladas;
 → Frequências relativas acumuladas.
Amostra: 
63 50 57 56 68 82 75 95 47 61
76 61 52 63 80 80 68 72 64 77
70 65 63 79 74 78 91 72 61 53
76 71 60 85 51 56 86 86 69 44
40 81 68 90 46 68 55 55 50 96
Solução
Para começar, vamos colocar os números em ordem crescente, por coluna.
40 50 56 61 64 68 72 76 80 86
44 51 56 61 65 69 72 76 80 90
46 52 57 63 68 70 72 77 81 91
47 53 60 63 68 70 74 78 82 95
50 55 61 63 68 71 75 79 85 96
Desta forma, podemos encontrar a amplitude A.
A  =  maior valor - menor valor  =  96 - 40  =  56
Agora vamos encontrar o número de elementos N na amostra. Fazemos 
isso contando o número de valores da amostra.
N  =  50
Precisamos agora calcular o número de classes K que vamos utilizar.
Estatística / Aulas 13–16 Material-base 5
K  =  N
K  =  50   ≅  7,07
De posse desses valores, vamos calcular a amplitude das classes (H).
H  =  A
K
  = 
56
7,07
  =  7,92
Devemos aproximar 7,07 para 7 e 7,92 para 8. Como o produto 8 × 7 é 
igual a 56 (igual a A), não podemos trabalhar com esses números. Vamos 
aproximá-los para 8. Como 8 × 8 é igual a 64 (maior que A), podemos tra-
balhar com esses números. Teremos 8 intervalos com amplitude 8.
35,5 – 43,5
43,5 – 51,5
51,5 – 59,5
59,5 – 67,5
67,5 – 75,5
75,5 – 83,5
83,5 – 91,5
91,5 – 99,5
Podemos construir a tabela, preenchendo a linha superior com os itens 
pedidos no enunciado, a última com os totais e a primeira coluna com as 
classes.
classes frequência absoluta frequência relativa
frequência 
acumulada
frequência a 
relativa acumulada
35,5-43,5
43,5-51,5
51,5-59,5
59,5-67,5
67,5-75,5
75,5-83,5
83,5-91,5
91,5-99,5
Total
Para preencher a coluna das frequências absolutas é só contar, na 
amostra, quantos elementos estão em cada intervalo. Para encontrar as 
Estatística / Aulas 13–16 Material-base 6
frequências acumuladas, devemos começar colocando na primeira linha 
o valor da frequência absoluta dessa linha. Depois, a cada linha que se 
segue, colocaremos o valor anterior da frequência acumulada somado ao 
valor da frequência absoluta da linha. Verifique que o total da soma dos 
valores da frequência absoluta deve ser igual a N.
classes frequência absoluta frequência relativa
frequência 
acumulada
frequência a 
relativa acumulada
35,5-43,5 1 1
43,5-51,5 6 7
51,5-59,5 6 13
59,5-67,5 9 22
67,5-75,5 13 35
75,5-83,5 9 44
83,5-91,5 4 48
91,5-99,5 2 50
Total 50 -
Em seguida, vamos preencher a coluna das frequências relativas e a das 
frequências relativas acumuladas. Para calcular a frequência relativa, to-
mamos o valor da frequência absoluta e o dividimos por N (N = 50), obten-
do a razão do valor da frequência absoluta em relação ao total.
O procedimento para o cálculo da frequência relativa acumulada é si-
milar ao da frequência acumulada. Na primeira linha, colocaremos o mes-
mo valor da frequência relativa. Depois, a cada linha que se segue, coloca-
remos o valor anterior da frequência relativa acumulada somado ao valor 
da frequência relativa da linha a ser preenchida. Verifique que o total da 
soma dos valores da frequência relativa absoluta deve ser igual a 1.
classes frequência absoluta frequência relativa
frequência 
acumulada
frequência a 
relativa acumulada
35,5-43,5 1 2 1 2%
43,5-51,5 6 12 7 14%
51,5-59,5 6 12 13 26%
59,5-67,5 9 18 22 44%
67,5-75,5 13 26 35 70%
75,5-83,5 9 18 44 88%
83,5-91,5 4 8 48 96%
91,5-99,5 2 4 50 100%
Total 50 100 – –
Encerramos a resolução do exercício construindo o histograma, que é o 
gráfico das classes pela frequência absoluta.
Estatística / Aulas 13–16 Material-base 7
15
0
35,5-43,5
10
5
43,5-51,5 51,5-59,5 59,5-67,5 67,5-75,5 75,5-83,5 83,5-91,5 91,5-99,5 Mais
intervalos
fr
eq
uê
n
ci
a
histograma
EXERCÍCIO 2
Utilize seus conhecimentos sobre as tabelas de frequência e calcule os 
valores X1 a X8 na tabela a seguir.
valores frequência absoluta frequência acumulada frequência relativa
1 4 x3 0,089
2 4 x4 x6
3 x1 16 0,178
4 7 x5 0,156
5 5 28 x7
6 x2 38 0,222
7 7 45 x8
∑ 45 - 1
Solução
Uma boa estratégia é começarmos a calcular os valores das colunas de 
valores acumulados. Vamos calcular X3, X4 e X5.
Para calcular X5, devemos subtrair do valor da linha abaixo dele (28) o 
valor da frequência absoluta da linha abaixo de X5 (5). Fazemos o cálculo 
dessa maneira pois esta é a forma inversa para calcularmos a frequência 
acumulada. O cálculo do 28 foi feito da seguinte forma: 28 = X5 + 5.
valores frequência absoluta frequência acumulada frequência relativa
1 4 x3 0,089
2 4 x4 x6
3 x1 16 0,178
4 7 x5 0,156
5 5 28 x7
6 x2 38 0,222
7 7 45 x8
∑ 45 - 1
Resolvemos essa simples equação e encontramos X5 = 23.
Estatística / Aulas 13–16 Material-base 8
Para encontrar X3 sabendo que este valor está na primeira linha das 
frequências acumuladas, concluímos que eleé igual à frequência absoluta 
da mesma linha. Encontramos X3 = 4.
Como consequência, o valor X4 é igual a 8, pois, se sabemos a frequ-
ência acumulada anterior e o valor da frequência absoluta na mesma li-
nha, devemos somá-los para encontrar o valor solicitado. Passemos então 
para as incógnitas da coluna de frequências absolutas. Para encontrar X1, 
devemos subtrair da frequência acumulada na mesma linha a frequência 
acumulada da linha anterior. X1 é igual a 8.
Agora, calcularemos X2. O procedimento é similar ao do cálculo de X1. 
Desta forma, encontraremos X2 = 10.
Por fim, vamos calcular os valores da coluna das frequências relativas. 
Para isso, em cada caso, vamos dividir a frequência absoluta por N(N = 45). 
Encontraremos então os valores:
X6  =  0,089
X7  =  0,110
X8  =  0,156
valores frequência absoluta frequência acumulada frequência relativa
1 4 4 0,089
2 4 8 0,089
3 8 16 0,178
4 7 23 0,156
5 5 28 0,110
6 10 38 0,222
7 7 45 0,156
∑ 45 - 1
EXERCÍCIO 3
Em determinados níveis os inseticidas são nocivos à saúde humana. Os 
dados a seguir provêm de um experimento de comparação da quantida-
de de inseticida em tecidos vegetais em três diferentes localidades. As 
amostras foram selecionadas utilizando a amostragem aleatória simples. 
Calcule a média e a variância de cada local e também a média global. 
Local A 1,01 1,13 0,97 1,07 0,92
Local B 1,04 0,97 0,87 0,78 0,72
Local C 0,88 1,08 1,03 0,99 0,93
Estatística / Aulas 13–16 Material-base 9
Solução
a. Cálculo das médias
xA  = 
∑ xA
nA
  = 
5,1
5
  =  1,02
xB   = 
∑ xB
nB
  = 
4,38
5
  =  0,876
xC   = 
∑ xC
nC
  = 
4,91
5
  =  0,982
x   = 
∑ x
n
  = 
14,39
15
  =  0,959
b. Cálculo das variâncias
s2A  = 
5
i = 1
∑ (xA - xA )
2
nA - 1
  = 
0,0272
4
  =  0,0068
s2B  = 
5
i = 1
∑ (xB - xB  )
2
nB - 1
  = 
0,06932
4
  =  0,01733
s2C  = 
5
i = 1
∑ (xC - xC  )
2
nC - 1
  = 
0,02508
4
  =  0,00627
EXERCÍCIO 4
Os salários hora médios de algumas categorias profissionais foram es-
tudados por um grupo de pesquisadores com a finalidade de conhecer 
eventuais diferenças de proventos entre as profissões. Os trabalhadores 
que compõe a amostra foram selecionados por sorteio nas empresas pes-
quisadas. Calcule as médias e a variância de cada categoria profissional. 
Em qual categoria existe maior variabilidade? Qual a maior diferença en-
tre médias salariais?
Estatística / Aulas 13–16 Material-base 10
trabalhador a b c d
1 6,00 12,00 11,00 9,00
2 9,00 11,00 8,00 8,00
3 9,00 10,00 12,00 10,00
4 6,00 8,00 9,00 10,00
5 5,00 9,00 10,00 9,00
6 7,00 6,00 9,00 13,00
7 6,00 7,00 8,00 12,00
8 7,00 12,00 9,00 11,00
9 5,00 13,00 9,00 10,00
10 8,00 10,00 11,00 11,00
Solução
a. Cálculo das médias
xA  = 
∑ xA
nA
  = 
68
10
  =  6,8
xB   = 
∑ xB
nB
  = 
98
10
  =  9,8
xC   = 
∑ xC
nC
  = 
96
10
  =  9,6
xD  = 
∑ xD
nD
  = 
103
10
  =  10,3
b. Cálculo das variâncias
s2A  = 
10
i = 1
∑ (xA - xA )
2
nA - 1
  = 
19,6
9
  =  2,178
s2B  = 
10
i = 1
∑ (xB - xB  )
2
nB - 1
  = 
47,6
9
  =  5,289
s2C  = 
10
i = 1
∑ (xC - xC  )
2
nC - 1
  = 
16,4
9
  =  1,822
s2D  = 
10
i = 1
∑ (xD - xD )
2
nD - 1
  = 
20,1
9
  =  2,233
Estatística / Aulas 13–16 Material-base 11
c. A maior variabilidade salarial existe na categoria B e a maior diferen-
ça entre médias salariais é de R$ 3,50.
2. ExERcíciOS PROPOSTOS
EXERCÍCIO 1
Encontre a média, a mediana, a moda, a variância e o desvio padrão das 
distribuições dos dados apresentados a seguir. Considere que os mesmos 
representam os resultados obtidos por indivíduos que compõe amostras 
selecionadas probabilisticamente.
a. 
6 2 2 10 6 4 8 1 6 2
1 12 9 3 9 8 5 6 5 9
10 1 6 3 7 2 4 4 6 7
2 4 2 5 3 3 9 1 6 8
1 3 4 2 4 3 7 6 4 9
b. 
11 93 45 78 31 87 99 54 88 11
61 36 6 3 32 31 50 20 29 46
6 32 54 56 49 10 77 51 66 29
52 47 61 77 87 47 65 86 71 67
51 32 69 30 18 59 98 34 75 93
EXERCÍCIO 2
A femtoquímica é um ramo da ciência que estuda fenômenos que acontecem 
em prazos extremamente curtos, os femtosegundos (fs). Um femtosegundo 
equivale a 1×10-15 segundos, ou seja, um milionésimo de um bilionésimo 
de segundo. O principal objetivo desta área de pesquisas é compreender 
os processos de reações químicas em um nível molecular, onde é possível 
investigar porque algumas reações ocorrem ou não e e controlar o resultado 
de uma reação química. Considere a seguinte tabela obtida a partir da 
realização de 55 experimentos, expressa em femstosegundos: 
Estatística / Aulas 13–16 Material-base 12
185 189 179 169 186 165 165 169 162 172
192 199 182 183 168 147 170 153 171 163
190 159 179 148 169 176 151 170 164 155
185 160 181 168 160 171 168 177 172 176
182 193 180 177 176 162 173 163 175 155
178 178 179 172 171 
a. Considerando os valores apresentados elabore uma tabela contendo:
 → Classes
 → Frequência absoluta
 → Frequência relativa
 → Frequência acumulada
 → Frequência relativa acumulada
 → Ponto médio das classes
b. Elabore um histograma para a distribuição de frequências obtida.
3. MATERiAiS dE APOiO
1. Applet “Sampling Distributions” 
http://onlinestatbook.com/stat_sim/sampling_dist/index.html
Determine, no primeiro gráfico, uma população criada por você ou 
utilize uma das predefinidas (uniforme, normal ou assimétrica). Em 
seguida, gere amostras de tamanho N a partir dessa população e 
veja gráficos da média, mediana, desvio padrão, etc. 
2. Simulador: Probabilidade: a matemática ao acaso 
http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/mec/1643
A animação apresenta os conceitos básicos da teoria de probabili-
dade, de seleção de amostras e as características de uma pesquisa 
confiável. Aborda conceitos de probabilidades simples e condicional; 
elementos de amostragem e estimativas; medidas de posição: mé-
dia, mediana e moda; medidas de dispersão.
3. Simulador: Medidas de Dispersão 
http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/mec/16499
O objetivo geral desta atividade é explorar medidas de dispersão 
que se baseiam nos desvios em torno da média.
http://onlinestatbook.com/stat_sim/sampling_dist/index.html
http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/mec/1643
http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/mec/16499
Estatística / Aulas 13–16 Material-base 13
4. Simulador: Medidas do Corpo: Gráfico de Dispersão 
http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/mec/17091
Neste software, você irá praticar a análise exploratória de dados 
para duas variáveis: número do calçado e altura. A relação entre es-
sas duas variáveis quantitativas será analisada por meio do chama-
do gráfico de dispersão e do coeficiente de correlação linear.
5. Simulador: Cálculo de parâmetros de dispersão de dados discre-
tos organizados em uma tabela de frequência 
http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/mec/18810
A animação apresenta o cálculo dos parâmetros de dispersão de da-
dos discretos em uma tabela de frequências.
6. Simulador: Galileu e seu navio
http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/mec/10739
Neste aplicativo uma partícula pode se mover sobre uma linha reta 
no eixo x. É possível explorar as diferenças entre as medidas de po-
sição realizadas nos dois sistemas de referências e escrever as equa-
ções relacionando as posições em cada sistema se referência para o 
movimento escolhido.
7. Simulador: O trem de Galileu
http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/mec/10721
Neste aplicativo existe um trem, um objeto sobre o trem e duas ré-
guas. Uma das réguas está presa ao trem e a outra fixa a Terra. É 
possível explorar as diferenças entre as medidas de posição do ob-
jeto realizadas nos dois sistemas de referências e escrever as equa-
ções relacionando as posições em cada sistema se referência para o 
movimento escolhido.
8. Simulador: Medidas de posição 
http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/mec/16498
O objetivo geral desta atividade é explorar algumas propriedades da 
média aritmética simples, da moda e da mediana de uma distribui-
ção de dados. Esta atividade apresenta três softwares paraexplorar 
propriedades de medidas de posição: (1) Média versus moda; (2) Mé-
dia versus mediana; (3) Interpretação da média.
http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/mec/17091
http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/mec/18810
http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/mec/10739
http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/mec/10721
http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/mec/16498
Estatística / Aulas 13–16 Material-base 14
SÍnTeSe daS aulaS
Nesta unidade você aprendeu que para organizar os dados coletados 
utiliza-se as tabelas de frequências, empregando as classes de frequên-
cias. Essas classes são intervalos, preferencialmente de mesma amplitude, 
que englobam todos os dados analisados. Para obter a amplitude dos 
intervalos, deve-se escolher um número conveniente de classes e fazer o 
seguinte cálculo: 
H  =  A
K
 
Onde H é a amplitude das classes, K é o número de classes desejadas e A 
é a amplitude de todo o intervalo que contém os dados, ou seja, é o valor 
máximo da amostra menos o valor mínimo da amostra. 
A partir daí, divide-se o intervalo de valores em K classes de amplitude 
H e a frequência de cada uma delas será a quantidade de valores que 
pertencem ao intervalo. 
Por segurança, pode-se subtrair 0,5 de cada extremo dos intervalos e 
obter assim os limites reais da classe, garantindo que não haverá dúvida 
a respeito de um determinado valor pertencer ou não a uma classe.
As principais medidas utilizadas para caracterizar os resultados obtidos 
em experimentos estatísticos são as medidas de posição e as medidas de 
dispersão. 
As principais medidas de posição são as seguintes:
1. Média
1.1. Média aritmética simples
x  = 
n
i = 1∑  xi
n
1.2. Média aritmética ponderada
xp   = 
n
i = 1∑  xi pi
n
i = 1∑  pi
Estatística / Aulas 13–16 Material-base 15
1.3. Média aritmética – dados agrupados sem intervalos de classe
x  = 
n
i = 1∑  xini
n
1.4. Média aritmética – dados agrupados com intervalos de classe
x  = 
n
i = 1∑  xini
n
2. Moda (Mo)
Corresponde ao valor de maior frequência numa determinada dis-
tribuição.
3. Mediana
3.1. Número par de elementos
Md  = 
x(Emd) + x(Emd + 1)
2
 
3.2. Número impar de elementos 
Md  =  elemento central - termo de origem  n + 1
2
Síntese das vantagens e desvantagens de cada medida:
medida definição vantagens desvantagens
Média Centro da Distribuição
Reflete todos 
os valores
É afetada por 
valores extremos
Mediana Divide a distribuição ao meio
Menos sensível a 
valores extremos
Difícil determinar 
para grandes 
quantidades de dados
Moda Valor mais frequente Valor típico Não é utilizado em análises matemáticas
Por sua vez as principais medidas de dispersão são as seguintes:
Estatística / Aulas 13–16 Material-base 16
4. Amplitude
A  =  Xmax - Xmin
5. Variância
5.1. Dados não agrupados
População
S2  = 
N
i = 1
∑
(xi - x)
2
N
Amostra
S2  = 
n
i = 1
∑
(xi - x)
2
n - 1
Obs: quando a variância refere-se à amostra trabalha-se com 
(n-1) no denominador pois os graus de incerteza são maiores 
5.2. Dados agrupados
População
s2  =  ∑ 
xi
2ni
N
 - 
∑ xini
N
2
Amostra
s2  =  ∑ 
xi
2ni
n - 1
 - 
∑ xini
n - 1
2
6. Desvio Padrão
S  =  S2
17Estatística / Aulas 13–16 Material-base
gabariTo - exercÍcioS ProPoSToS
ExERcíciO 1
a. Média  =  5,0
Mediana  =  4,5
Moda  =  6
Variância  =  8,163
Desvio Padrão  =  2,857
b. Média  =  51,2
Mediana  =  49,5
Moda  =  32 e 61
Variância  =  709,796
Desvio Padrão  =  26,642
ExERcíciO 2
a. Tabela
limite 
inferior
limite 
superior
frequência 
absoluta
frequência 
relativa (%)
frequência 
acumulada
frequência rela-
tiva acumulada ponto médio
144,5 152,5 3 5.5% 3 5.5% 148,5
152,5 160,5 6 10.9% 9 16.4% 156,5
160,5 168,5 10 18.2% 19 34.5% 164,5
168,5 176,5 16 29.1% 35 63.6% 172,5
176,5 184,5 12 21.8% 47 85.5% 180,5
184,5 192,5 6 10.9% 53 96.4% 188,5
192,5 200,5 2 3.6% 55 100.0% 196,5
b. Histograma
18
16
14
12
10
6
2
0
148,5 156,5 164,5 172,5 180,5 188,5 196,5
8
4