resistencia dos materiais

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Resistência dos Materiais I
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Capítulo 5
Torção
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Torque é um momento que tende a torcer um elemento em torno de seu eixo 
longitudinal.
Se o ângulo de rotação for pequeno, o comprimento e o raio do eixo 
permanecerão inalterados.
5.1 – Deformação por torção de um 
eixo circular
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• Embora o torque devido às tensões de 
cisalhamento seja conhecido, a distribuição 
das tensões não é.
• Ao contrário da tensão normal devido a cargas 
axiais, a distribuição das tensões de 
cisalhamento devido a cargas de torção não 
pode ser assumida uniforme.
   dAdFT 
• O conjunto das tensões de cisalhamento 
internas resulta em um torque interno, 
igual e oposto ao torque aplicado,
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• A existência de componentes de 
cisalhamento axial é demonstrada, 
considerando um eixo formado por tiras 
axiais separadas.
• As tiras deslizam umas em relação as 
outras quando torques iguais e opostos são 
aplicados às extremidades do eixo.
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• A experiência mostra que o ângulo de
torção da barra é proporcional ao torque
aplicado e ao comprimento da barra.
L
T




• Quando submetido à torção, cada seção
transversal de um eixo circular permanece
plana e indeformada.
• Seções transversais para barras circulares
cheias ou vazadas permanecem planas e
indeformadas, porque a barra circular é
axissimétrica.
• Seções transversais de barras não circulares 
são distorcidos quando submetidas à torção.
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• Destacando da barra um cilindro de raio .
Como uma carga de torção é aplicada, um 
elemento no interior do cilindro deforma 
em um losango.

• Uma vez que as extremidades do elemento 
permanecem planares, a deformação de 
cisalhamento é igual ao ângulo entre as 
linhas BA e BA’.
    ou (1)L L
• Quando γ é pequeno, AA’ é igual a:
• Deformação de cisalhamento é 
proporcional ao ângulo de torção e ao raio.
max max e 
r
L r
    
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• Multiplicando a equação anterior pelo módulo 
de elasticidade transversal,
maxG Gr

 
maxr

 
Da Lei de Hooke  G , então
A tensão de cisalhamento varia linearmente 
com a posição radial na seção.
• Lembre-se que a soma dos momentos da
distribuição de tensões internas é igual ao torque na
seção da barra,
2max max pT dA dA Ir r
     
Ip: momento polar de inércia da seção.
• Os resultados são conhecidos como fórmulas de 
torção no regime elástico,
  
max
 e (2)
p p
Tr T
I I
5.2 – Tensões no Regime Elástico
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• Torque aplicado ao eixo produz tensões de 
cisalhamento nas faces perpendiculares ao 
eixo.
• Condições de equilíbrio requerem a 
existência de tensões iguais nas faces 
formadas por dois planos contendo o eixo 
da barra.
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Convenção de sinais
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Exemplo 1 -
O eixo está apoiado em dois mancais e sujeito a três torques. Determine
a tensão de cisalhamento desenvolvida nos pontos A e B localizados na
seção a–a do eixo.
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Pelo diagrama de corpo livre do segmento esquerdo,
 
4 7 4
pI 75mm 4,97 10 mm
2

  
mmkN 250.10000.3250.4 ;0  TTM x
O momento polar de inércia para o eixo é
Visto que A se encontra em ρ = 75 mm,
  3
A 7 4
p
1.250 10 Nmm 75mmT
1,89 MPa
I 4,97 10 mm

   

Da mesma forma, para B, em ρ =15 mm, temos
  3
B 7
p
1.250 10 15T
0,377 MPa
I 4,97 10

   

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Exercício de fixação
1)O eixo maciço está preso ao suporte em C e sujeito aos carregamentos
de torção mostrados. Determine a tensão de cisalhamento nos pontos A
e B e faça um rascunho da tensão de cisalhamento nesses pontos.
Respostas: τA=7,42MPa e τB=6,79MPa
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2)O conjunto é composto por duas seções de tubo de aço galvanizado
interligadas por uma redução em B. O tubo menor tem diâmetro externo
de 0,75in e interno de 0,68in, enquanto o tubo maior tem diâmetro externo
de 1in e diâmetro interno de 0,86in. Se o tubo estiver firmemente preso à
parede em C, determine a tensão de cisalhamento
máxima desenvolvida em cada seção do tubo quanto o
conjugado mostrado na figura for aplicado ao cabo
chave.
Resposta: τAB=7,82 ksi
τBC=2,36 ksi
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3)O eixo maciço de alumínio tem diâmetro de 50mm. Determine a tensão
de cisalhamento máxima absoluta no eixo. Considere T1=20Nm.
Resposta: 5,38MPa
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O eixo de seção circular BC é vazado com
diâmetros interno e externo de 90 mm e 120
mm, respectivamente. Os eixos de seção
circular AB e CD são cheios e têm diâmetro d.
Para o carregamento mostrado na figura,
determine: (a) as tensões de cisalhamento
máxima e mínima no eixo BC, (b) o diâmetro d
necessário para os eixos AB e CD, se a tensão
de cisalhamento admissível nesses eixos for de
65 MPa.
Exemplo 2 -
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Cortar seções ao longo das barras AB e BC e 
realizar análise de equilíbrio estático para 
encontrar cargas de torque.
 
CDAB
ABx
TT
TM


mkN6
mkN60    
mkN20
mkN14mkN60


BC
BCx
T
TM
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(a)Aplicar fórmulas de torção 
elástica para encontrar tensões 
mínima e máxima na barra BC.
     444 42 1
6 4
0.060 0.045
2 2
13.92 10 m
pI r r
 

     
 
  2
max 2 6 4
20 kN m 0.060m
86.2MPa
13.92 10 m
BC
p
T r
I  

   

   



  


1
min 1 6 4
min
20 kN m 0.045m13.92 10 m
64655 Pa=64.7MPa
BC
p
T r
I
k
max
min
86.2MPa
64.7MPa




(b)Dada a tensão de cisalhamento 
admissível e torque aplicado, inverte-
se a fórmula de torção elástica e 
encontra-se o diâmetro necessário.
max 4 3
2 2
3
6kN m
 65
38.9 10 m
p
Tr Tr MPa
I r r
r
 



  
 
2 77.8mmd r 
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Das equações (1), (2) e da Lei de Hooke temos 
o ângulo de torção:
p
TL
I G
 
G : módulo de elasticidade ao cisalhamento
L: comprimento do eixo
ϕ: ângulo de torção (rad)
 (1)
L
 
p
Tρ
 τ= (2)
I
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Se a carga de torção ou a seção transversal da 
barra ou o material muda ao longo do 
comprimento, o ângulo de rotação é 
encontrado como a soma de rotações de cada 
segmento.
i i
i pi i
T L
I G
 
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Exercício de fixação
4)O eixo horizontal AD está engastado a uma base rígida em D e submetido 
aos torques mostrados na figura. Foi feito um furo de 44mm de diâmetro na 
parte CD do eixo. Sabendo que o eixo inteiro é feito de aço para o qual 
G=77GPa, determine o ângulo de torção na extremidade A.
Resposta:
2,31A   
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5)O eixo de aço A-36 de 20mm de diâmetro é submetido aos torques 
mostrados. Determine o ângulo de torção da extremidade B. G=75GPa
Resposta:
5,74B   
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Potência é definida como o trabalho realizado por unidade de tempo.
Para um eixo rotativo com torque, a potência é:
(Watts) onde a velocidade angular do eixo é
(rpm, rad/s)
isto que 
Para o projeto do eixo, o parâmetro de projeto ou parâmetro geométrico é:
P T
1 ciclo 2 rad
adm
pI T
r 

Transmissão de potência

adm
p
Tr
I
 
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Um eixo maciço de aço AB será usado para transmitir 3.750 W do motor M
ao qual está acoplado. Se o eixo girar a ω = 175 rpm e o aço tiver uma
tensão de cisalhamento admissível τadm = 100 MPa, determine o diâmetro
exigido para o eixo com precisão de mm.
Exemplo 3-
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O torque no eixo é
1min 2 rad
175 18,33 /
60 1rot
3750 18,33 204,6 Nm
rpm rad s
seg
P T T T


 
     
Assim,
  
 
4
adm
1/3 1/3
2
adm
2
2 2 204,6 1.000
10,92 mm
100 /
pI r T
r r
T Nmmr
N mm


 
 
   
     
  
Visto que 2r = 21,84 mm, selecione um eixo com diâmetro 22 mm.
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6) O motor de engrenagens pode desenvolver 100W quando gira a 80 rpm.
Se a tensão de cisalhamento admissível pra o eixo τadm = 28MPa, determine,
com aproximação de múltiplos de 5mm, o menor diâmetro do eixo que
pode ser usado.
Resposta: d=15mm
Exercício de fixação-
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7) O eixo maciço de aço AC tem diâmetro de 25mm e está apoiado em
mancais lisos em D e E. O eixo está acoplado a um motor em C, que
transmite 3kW de potência ao eixo quando está girando a 50rev/s. Se as
engrenagens A e B absorverem 1kW e 2kW, respectivamente, determine a
tensão de cisalhamento máxima desenvolvida no eixo no interior das
regiões AB e BC. O eixo é livre pra girar em seus mancais de apoio D e E.
Respostas: τAB=1,04MPa
τBC=3,11MPa
Exercício de fixação-
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8) Um eixo é feito de uma liga de aço com tensões de cisalhamento
admissível τadm=12ksi. Se o diâmetro do eixo for 1,5in, determine o torque
máximo T que pode ser transmitido. Qual seria o torque máximo T’ se fosse
feito um furo de 1in de diâmetro no eixo? Faça um rascunho da distribuição
da tensão de cisalhamento ao longo de uma linha radial em cada caso.
Respostas: T=7,95kip in e T’=6,38kip in
Exercício de fixação-