UNID 2- Proporção

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introdução
Introdução
Nesta unidade apresentaremos conceitos de proporção e composição que são primordiais para que você
possa desenvolver seus futuros trabalhos/projetos. De forma bem sucinta, podemos dizer que a
proporção está relacionada ao tamanho do desenho em relação ao tamanho da folha, já a composição tem
relação com os aspectos que compõem o desenho.
Trabalharemos também os conceitos de Sequência Fibonacci ou sucessão de Fibonacci. Trata-se de uma
sequência iniciada sempre por 0,1 e que os próximos números que darão sequência corresponderão à
soma dos dois últimos números.
DESENHO DESENHO 
DE OBSERVAÇÃODE OBSERVAÇÃO
Sandra Marques
I N I C I A R
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Por �m, apresentaremos a proporção áurea, número áureo, secção áurea, proporção de ouro que é
chamada por muitos como o número de ouro na matemática. Considerada como número perfeito pelo
fato de que a escala, por menor que seja o desenho, sempre será a mesma independentemente do
tamanho da folha.
ProporçãoProporção
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Para manter as corretas proporções dos objetos retratados em um desenho, fazemos comparações entre
suas medidas. Dessa forma, proporção é um exercício de comparação (HALLAWELL, 2006). Curtis de�ne
a proporção como a "relação comparativa entre duas coisas no que se refere ao ta manho, à quantidade ou
ao peso" (CURTIS, 2015, p. 77).
No desenho comparamos, ou seja, analisamos a relação entre as partes de um objeto, entre as partes e o
todo, e entre diferentes objetos. Podemos comparar também as distâncias entre objetos, e assim teremos
a proporção correta aplicada no desenho como um todo.
Vale enfatizar que, como se trata de uma comparação, a proporção de�ne o tamanho relativo e não o
tamanho físico. Ou seja, de�ne o tamanho de um objeto, ou de parte dele, em relação a outro objeto, ou
parte.
Com um olhar bastante treinado, podemos analisar as proporções dos objetos a olho nu, mas mesmo
desenhistas experientes podem se valer de alguns instrumentos. Uma técnica bastante conhecida é usar o
lápis para estabelecer relações entre as medidas de um objeto.
Nesta técnica, o desenhista segura o lápis pela ponta do gra�te e, com o braço esticado, posiciona o lápis
na posição horizontal ou na vertical, diante do objeto que quer medir. Com um olho fechado, ele faz
relações entre as medidas do lápis e do objeto, conforme �gura 2.1.
ProporçãoProporção
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A proporção não envolve medidas precisas, como as obtidas com uma régua, mas uma análise comparativa
entre medidas visualmente percebidas.
Assim como vimos no estudo do gesto intuitivo, Curtis alerta para a in�uência negativa do pensamento
racional também na análise das proporções. "Para evitar que seus conceitos distorçam suas percepções,
você deve registrar a proporção que vê, não a que sabe" (CURTIS, 2015, p. 83).
praticarVamos Praticar
O estudo da proporção no desenho estabelece comparações entre medidas. Para desenharmos um vaso, por
exemplo, devemos comparar as medidas da largura e da altura, para representá-lo na proporção correta. Sobre a
proporção, assinale a alternativa correta:
a) A proporção é a forma como os elementos de um desenho se distribuem na folha.
b) A proporção analisa o tamanho do objeto a ser representado.
c) A proporção é um exercício de comparação.
d) A técnica do lápis, no estudo da proporção, utiliza dois lápis, um para a posição vertical e um para a
posição horizontal.
e) Para garantir a correção no desenho das proporções, deve-se usar uma régua.
Figura 2.1: Aplicação da técnica do lápis na medida das proporções de um objeto.
Fonte: Curtis (2015, p. 81).
Proporção ÁureaProporção Áurea
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A proporção áurea é um conceito matemático cujo estudo teve início na Grécia antiga.
Hallawell (2006) explica que a proporção áurea é obtida quando uma linha é segmentada de tal forma que
a proporção entre o segmento menor e o segmento maior é igual à proporção entre o segmento maior e a
linha inteira: AB para BC = BC para AC (x:y = y:z).
O valor matemático dessa proporção equivale a aproximadamente 1,6180. Esse é o chamado número
áureo.
A partir dessa fórmula é possível criarmos o retângulo áureo, ou seja, um retângulo que guarda as mesmas
proporções.
Proporção ÁureaProporção Áurea
Figura 2.2: Segmento de reta na proporção áurea.
Fonte: Elaborado pela autora.
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Para a construção do retângulo áureo, Hallawell (2006) indica os seguintes passos:
Primeiramente, desenhando um quadrado, CBDE, e depois cortar a base do quadrado pela
metade (1/2y), obtendo o ponto Z; usar a linha EZ como raio para desenhar um arco que
intercepte o prolongamento da linha CB no ponto A. Dessa forma, a linha ABC e o retângulo
ACDF terão proporções áureas, pois a proporção de AB para BC é igual à de BC para AC, e de
DC para AC, todos tendo, aproximadamente 1:1,61 (HALLAWELL, 2006, p. 15 e 16).
Sequência de Fibonacci
Leonardo Fibonacci nasceu em 1170, em Pisa, Itália, �lho de Guglielmo dei Bonacci, um mercador, e
acompanhou seu pai no comércio portuário. O porto de Pisa tinha uma posição de destaque no comércio
do Mediterrâneo. Foi acompanhando a atividade de seu pai no comércio alfandegário que Fibonacci
tomou contato com a matemática.  
Tornou-se um matemático de grande in�uência na Idade Média. Muitos consideram Fibonacci como o
maior matemático do período. Além disso, colocou seus conhecimentos matemáticos a serviço da corte, o
que o possibilitou viver apenas dos seus estudos e pesquisas. Publicou livros sobre cálculos e foi o grande
precursor da disseminação dos números hindu-arábicos na Europa.
No início do século 13, Fibonacci aprofundou os estudos sobre a proporção áurea e identi�cou uma
sequência de números com características muito próprias: a divisão de qualquer número da sequência
pelo número anterior, resulta em um número muito próximo de 1,6180 - o número áureo.
Essa sequência in�nita de números (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584,
...), �cou conhecida como a sequência de Fibonacci.
Figura 2.3: Retângulo áureo.
Fonte: Adaptada de Hallawell (2006, p.16).
Figura 2 4: Sequência Fibonacci
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Algo interessante sobre a sequência de Fibonacci é que quanto maior o número, mais próximo de 1,6180 é
o resultado de sua divisão pelo número anterior. Vejamos:
- 5 / 3 = 1,66666666
- 89 / 55 = 1,61818181
- 1.597 / 987 = 1,61803444
Visualmente, se aplicarmos os números da sequência de Fibonacci à medida do lado dos quadrados
contidos no retângulo áureo, conforme representado na �gura 2.5, teremos a chamada espiral de ouro.
A espiral de ouro está presente em vários elementos da natureza, como vamos ver no próximo tópico.
praticarVamos Praticar
Conhecida como a proporção perfeita, a proporção áurea é um conceito matemático que tem sido aplicado, desde
a Grécia antiga, nas artes e na arquitetura. Sobre a proporção áurea, assinale a alternativa correta:
a) A proporção áurea é um conceito derivado da geometria analítica.
b) A proporção áurea é obtida dividindo uma reta de maneira que os segmentos sejam proporcionais à
medida da linha inteira.
Figura 2.4: Sequência Fibonacci
Fonte: Elaboradopela autora
Figura 2.5: Espiral de Ouro.
Fonte: Elaborado pela autora.
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c) Quanto menor o número na sequência de Fibonacci mais próximo de 1,6180 é o resultado de sua
divisão pelo número anterior.
d) Na sequência de Fibonacci os números se sucedem na proporção de 1:2.
e) Aplicando os números da sequência de Fibonacci aos lados dos quadrados contidos no retângulo áureo,
podemos desenhar a espiral áurea.
Proporção Áurea na NaturezaProporção Áurea na Natureza
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Apesar de ser um conceito matemático, a proporção áurea é aplicada em vários outros campos do
conhecimento. Para a estética, é considerada uma proporção perfeita. Na arquitetura, é relacionada ao
equilíbrio e à beleza.
Mas o mais incrível é observarmos a presença da proporção áurea na natureza, pois está presente nas
pétalas das �ores, nas conchas que encontramos no mar, até mesmo no corpo humano.  
O modelo do homem vitruviano, de Leonardo da Vinci, demonstra as proporções exatas do corpo humano.
O desenho de Da Vinci é uma representação visual dos estudos do arquiteto romano Marco Vitrúvio
Polião, que viveu no século I, antes de Cristo. Vitrúvio defendeu, com base em estudos matemáticos e na
proporção áurea, que as proporções humanas são perfeitas e que devem servir de referência para as
artes, e especi�camente para o seu campo de atuação - a arquitetura.
Charles Bonnet, biólogo e �lósofo suíço que viveu entre 1720 e 1793, apontou a presença da sequência
de Fibonacci nas espirais presentes nas plantas, tanto no sentido horário, como no anti-horário.
Um exemplo dos apontamentos de Bonnet são os girassóis. As sementes que preenchem o centro dessa
�or são dispostas em dois conjuntos de espirais que partem do centro, uma no sentido horário e outra no
anti-horário. Normalmente são 34 espirais no sentido horário e 55 no sentido anti-horário. Números da
sequência de Fibonacci.
Proporção Áurea na NaturezaProporção Áurea na Natureza
Figura 2.6: Homem Vitruviano, Leonardo da Vinci
Fonte: Curtis (2015, p. 110).
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As conchas também crescem de acordo com a proporção áurea e a cada novo fragmento acrescenta um
número da sequência de Fibonacci. Vejamos mais detalhes na �gura 2.8.
praticarVamos Praticar
Leia o trecho a seguir:
“Encontra-se, no corpo humano, toda proporção por meio da qual Deus revela os segredos mais profundos do
universo " Luca Pacioli frade franciscano e célebre matemático
Figura 2.8: Concha com proporção áurea
Fonte: Elam (2010, p. 09).
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universo." Luca Pacioli, frade franciscano e célebre matemático.
Fonte: CURTIS, B. Desenho de Observação. Porto Alegre: Bookman, 2015. p. 109.
Sobre as implicações da proporção áurea na natureza e no corpo humano, assinale a alternativa correta:
a) Vitrúvio defendeu que as proporções humanas são perfeitas e que devem ser usadas nas artes.
b) O homem de Vitrúvio é um desenho baseado nos estudos de Leonardo da Vinci.
c) As margaridas são um exemplo de �or que foge à regra da proporção áurea.
d) Charles Darwin apontou a presença da sequência de Fibonacci nas espirais presentes nas plantas.
e) O número de pétalas dos girassóis está presente na sequência de Fibonacci.
Aplicações da Proporção ÁureaAplicações da Proporção Áurea
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Como vimos no início do tópico anterior, a proporção áurea é aplicada em diversas áreas da atuação
humana.
Na arquitetura teve como precursor Vitrúvio. Nos projetos arquitetônicos, além do fator estético, a
proporção áurea é tida como uma forma de equilibrar as estruturas e proporcionar solidez. Um famoso
exemplo da sua aplicação em obras arquitetônicas é a Catedral de Notre-Dame, de Paris. O edifício é uma
das mais antigas catedrais francesas em estilo gótico e se utilizou do conceito de proporção áurea para
sua construção.
No design de objetos, um exemplo da aplicação da proporção áurea é a poltrona Barcelona. A poltrona foi
criada por Mies van der Rohe, arquiteto alemão naturalizado norte-americano, para a Exposição Mundial
de Barcelona de 1929. Por todos os ângulos, a poltrona Barcelona possui dimensões idênticas, que se
encaixam perfeitamente em um cubo.
Aplicações da Proporção ÁureaAplicações da Proporção Áurea
Figura 2.9: Catedral de Notre-Dame
Fonte: Elam (2010, p. 21).
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A aplicação da proporção áurea também se popularizou no design grá�co. Grandes marcas aplicam o
conceito em suas identidades visuais.
Exemplos disso estão nas linhas da famosa maçã da Apple, que são delimitadas por círculos que se
encaixam perfeitamente no retângulo áureo. As formas arredondadas da logomarca da Toyota estão
circunscritas aos segmentos da proporção áurea. A logomarca da Pepsi é construída sobre as linhas de
dois círculos que seguem, em suas medidas, a proporção áurea, assim como a largura e a altura da moldura
amarela da National Geographic.
Nas artes a proporção áurea foi utilizada por grandes mestres como Botticelli, Salvador Dalí e Leonardo
da Vinci. Os artistas empregavam o conceito para alcançar beleza e harmonia em suas pinturas. Um bom
exemplo do uso da proporção áurea nas artes é o quadro “O nascimento de Vênus”, do pintor
renascentista italiano, Sandro Botticelli.
Figura 2.10: Poltrona de 1929.
Fonte: Elaborado pela autora.
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Figura 2.12: O nascimento de Vênus - Sandro Botticelli.
Fonte: Adaptado de Sandro Botticelli / Wikimedia Commons.
reflita
Re�ita
“A fé e a razão constituem como que as duas asas pelas quais o espírito humano se
eleva para a contemplação da verdade”, Encíclica Fides et Ratio (A fé e a razão), de
João Paulo II.
Conforme avança a ciência, cada vez mais podemos enxergar e entender a
inteligência que alicerça o universo, revelando que, por trás do aparente caos e
aleatoriedade da natureza, existe uma ordem e uma “linguagem em código” que nos
faz perguntar: “Será mesmo que tudo isto é mera obra do acaso?”
Fonte: Brasil (2016, on-line).
saiba mais
Saiba mais
O desenho animado Pato Donald e a Proporção Áurea mostra
de forma lúdica o conceito da proporção áurea, especialmente
na arquitetura e na natureza. Saiba mais assistindo ao vídeo
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praticarVamos Praticar
A proporção áurea é aplicada em diversas áreas do conhecimento. Seus conceitos inspiraram arquitetos, artistas e
designers desde a antiguidade. Sobre o assunto, analise as seguintes a�rmativas:
I - Na arquitetura, a proporção áurea é tida como uma forma de proporcionar equilíbrio e solidez.
II - A catedral de Notre-Dame é um exemplo de aplicação da proporção áurea na arquitetura.
III - A poltrona Barcelona encaixa-se perfeitamente no cubo áureo.
IV - Mies van der Rohe foi o designer responsável pela criação das logomarcas da Apple, Pepsi, Toyota e National
Geographic.
Está correto o que se a�rma em:
a) I e II.
b) I e III.
c) II e III.
d) II e IV.
e) III e IV.
indicado.
ASS I ST IR
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indicações
Material Complementar
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Material Complementar
L I V R O
O Poder dos Limites. Harmoniase Proporções na
Natureza, Arte e Arquitetura
Gyorgy Doczi
Editora: Mercuryo
ISBN: 978-8572723053
Comentário: Livro muito bem ilustrado, que trata da harmonia nas
proporções presentes na natureza e nas artes. É um dos estudos mais
abrangentes sobre os números de Fibonacci e a proporção áurea, com
análises grá�cas de suas recorrências, tanto na natureza como nas
atividades humanas.
F I L M E
O Encouraçado Potemkin
Ano: 1925
Comentário: Este �lme aborda a insurgência de marinheiros a bordo de um
navio de guerra russo em 1905. O interessante é que seu diretor, Serguei
Eisenstein, usou a proporção áurea para marcar os inícios de cenas
importantes da trama medindo a razão pelo tamanho das �tas de película
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conclusão
Conclusão
Encerramos esta unidade de estudo sobre o tema da proporção. Neste conteúdo, conceituamos o tema e
apresentamos a técnica para desenhar na proporção correta.
importantes da trama, medindo a razão pelo tamanho das �tas de película.
T R A I L E R
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Em seguida, passamos ao fascinante estudo da proporção áurea. Vimos como, desde a Grécia antiga, seus
conceitos matemáticos têm inspirado artistas, arquitetos e �lósofos.
Além disso, conhecemos como a natureza manifesta, em suas formas e padrão de crescimento, as relações
matemáticas da sequência de Fibonacci.
Vimos ainda exemplos da aplicação da proporção áurea na arquitetura, no design e nas artes.
referências
Referências Bibliográ�cas
BRASIL, A. Um vídeo hipnotizante revela a misteriosa matemática escondida por trás do aparente caos e
aleatoriedade da natureza. Aleteia, 19 jan. 2016. Disponível em: <https://pt.aleteia.org/2016/01/19/a-
formula-de-deus/>. Acesso em: 28 jul. 2019.
CURTIS, B. Desenho de Observação. Porto Alegre: Bookman, 2015.
ELAM, Kimberly. Geometria do Design: estudos sobre proporção e composição. Tradução: Claudio
Marcondes. São Paulo: Cosac Naify, 2010.
HALLAWELL, Philip. À mão livre: a linguagem e as técnicas do desenho. 4a ed. São Paulo: Editora
Melhoramentos, 2006.
HALLAWELL, Philip. Visagismo: harmonia e estética. 6a ed. São Paulo: Editora Senac, 2010.
PIYASENA, Sam; PHILIP, Bervely. Desenhe!: curso de desenho dinâmico para qualquer um com papel e
lápis à mão. Tradução: Fátima Finizola. São Paulo: Editora Gustavo Gili, 2015.
FLORES E a sequência de Fibonacci. Portal do Professor, Niterói/RJ. Disponível em:
<http://webeduc.mec.gov.br/portaldoprofessor/matematica/matematica_e_%20natureza/matematicaenatureza
html/audio-�ores-br.html>. Acesso em: 10 jul. 2019.
IMPRIMIR
https://pt.aleteia.org/2016/01/19/a-formula-de-deus/
http://webeduc.mec.gov.br/portaldoprofessor/matematica/matematica_e_%20natureza/matematicaenatureza-html/audio-flores-br.html
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