Pré Enem - Matemática (Semana 39)

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2019 
MATEMÁTICA
PRÉ ENEM 
1 
Matemática 
Razão, Proporção e Regra de 3 
Resumo 
Grandezas Diretamente Proporcionais 
Duas grandezas são diretamente proporcionais quando, ao variar uma grandeza, a outra também varia 
na mesma proporção. Por exemplo: se uma grandeza dobra, a outra também irá dobrar. Se uma grandeza 
reduzir-se à metade, a outra também terá o mesmo efeito. 
Exemplo: Se o preço da gasolina é R$4,00, 2 litros custarão R$8,00. 
Preço Litro
 4 ______________1
______________ 2x 
4 1
8
2
x
x
=  =
Grandezas inversamente proporcionais 
Duas grandezas são inversamente proporcionais quando, ao variar uma grandeza, a outra também variará 
na razão inversa. Ou seja, se uma grandeza dobrar, a outra se reduzirá a metade. Se uma grandeza triplicar, a 
outra será dividida em três. 
Exemplo: A distância entre duas cidades é de 200 km. Se uma pessoa percorrer a uma velocidade média v 
(km/h), o tempo de uma viagem de uma cidade a outra será d (em horas). 
Velocidade Tempo
 20 __________________10
60 __________________ x 
20 10
60 10 3
x
x=  =
http://s3-sa-east-1.amazonaws.com/descomplica-blog/wp-content/uploads/2015/03/37.jpg
 
 
 
 
2 
Matemática 
 
Escalas 
A escala pode ser definida como a razão entre a medida linear do desenho e a medida linear correspondente na 
realidade. 
 
 
Exemplo: Uma planta de uma casa foi desenhada na escala 1:100. Isso quer dizer que cada centímetro do 
desenho corresponde a 100 centímetros da casa. 
 
Existem também escalas de áreas, que é o valor da escala ao quadrado, e escalas volumétricas, que é o valor 
da escala ao cubo. 
OBS.: Escala é adimensional (é um número, sem unidade)! 
 
 
Regra de 3 Simples 
A regra de três é o processo pelo qual podemos relacionar duas grandezas, sejam elas direta ou inversamente 
proporcionais. É comum termos 3 valores e precisarmos encontrar o quarto valor, por isso o nome regra de 3. 
 
Exemplo: Se em uma banca de jornal vende 20 revistas em uma semana, em duas semanas venderá quantas? 
Para resolvermos o problema precisamos analisar as grandezas. Quanto mais tempo passar mais revista 
venderá, logo, as grandezas são diretamente proporcionais assim: 
 
1 20 
2 x
→
→
multiplicando cruzado 2.20 40x x=  = 
 
Logo, terá vendido 40 revistas. 
 
Obs: Na regra de 3 com grandezas inversamente proporcionais, nós multiplicamos em linha! 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
http://s3-sa-east-1.amazonaws.com/descomplica-blog/wp-content/uploads/2015/03/75.jpg
 
 
 
 
3 
Matemática 
 
Regra de 3 Composta 
Para entender sobre regra de três composta vejamos o exemplo a seguir: 
 
Exemplo: Para confeccionar 1.600 metros de tecido com largura de 1,80m a tecelagem Nortefabril S.A. 
consome 320 kg de fio. Qual é a quantidade de fio necessária para produzir 2.100 metros do mesmo tecido 
com largura de 1,50 m? 
Esse é um problema que envolve uma grandeza (quantidade de fio) proporcional as outras duas (comprimento 
do tecido e largura do tecido). Para resolver esse problema, vamos utilizar a regra de três composta. 
 
 A B C 
 Quantidade de fio Comprimento Largura 
 (kg) produzido(m) (m) 
Situação 1 320__________________ 1.600 _________________1,80 
Situação 2 X __________________ 2.100__________________1,50 
 
Precisamos calcular a grandeza A(quantidade de fio), que depende das grandezas B(comprimento do tecido) e 
C(largura do tecido). 
 
Podemos verificar que : 
→ A é diretamente proporcional a B. (pois se aumentarmos o comprimento, precisamos de mais quantidade 
de fio). 
→ A é diretamente proporcional a C. (pois se aumentarmos a largura, precisamos de mais quantidade de fio). 
Portanto : 
=
→ =
→ =
→ =
320 1600 1,80
.
2100 1,50
320 2880
3150
3150.320
2880
350
x
x
x
x kg
 
No exemplo acima, todas as grandezas eram diretamente proporcionais. Vamos estudar agora quando existem 
grandezas que são inversamente proporcionais. 
 
Exemplo: Para alimentar 12 porcos durante 20 dias são necessários 400kg de farelo. Quantos porcos podem 
ser alimentados com 600 kg de farelo durante 24 dias ? 
Temos que: 
 A B C 
 Número de porcos Quantidade de farelo número de dias 
 (kg) 
 
 12______________________400______________________20 
 x _____________________ 600______________________24 
 
 
 
 
 
4 
Matemática 
 
Podemos concluir que: 
• A é diretamente proporcional a B. (Pois se aumentarmos a quantidade de farelo mais porcos poderão se 
alimentar) 
• A é inversamente proporcional a C.(Pois se aumentarmos o número de dias menos porcos poderão se 
alimentar). Portanto temos que inverter a razão de número de dias). 
Então: 
 
12 400 24
.
600 20
12 9600
15
12000
x
x
x
=
→ =  =
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 
Matemática 
 
Exercícios 
 
1. Em uma de suas viagens, um turista comprou uma lembrança de um dos monumentos que visitou. Na 
base do objeto há informações dizendo que se trata de uma peça em escala 1: 400, e que seu volume é 
de 325 cm . 
O volume do monumento original, em metro cúbico, é de 
a) 100. 
b) 400. 
c) 1.600. 
d) 6.250. 
e) 10.000. 
 
 
2. Uma empresa de comunicação tem a tarefa de elaborar um material publicitário de um estaleiro 
para divulgar um novo navio, equipado com um guindaste de 15m de altura e uma esteira de 90 m de 
comprimento. No desenho desse navio, a representação do guindaste deve ter sua altura entre 0,5 cm e 
1 cm, enquanto a esteira deve apresentar comprimento superior a 4 cm. Todo o desenho deverá ser feito 
em uma escala 1 : X. 
Os valores possíveis para X são, apenas, 
a) X > 1 500. 
b) X < 3 000. 
c) 1 500 < X < 2 250. 
d) 1 500 < X < 3 000. 
e) 2 250 < X < 3 000. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6 
Matemática 
 
3. De acordo com a Lei Universal da Gravitação, proposta por Isaac Newton, a intensidade da força 
gravitacional F que a Terra exerce sobre um satélite em órbita circular é proporcional à massa m do 
satélite e inversamente proporcional ao quadrado do raio r da órbita, ou seja, 
2
km
F
r
= 
No plano cartesiano, três satélites, A, B e C, estão representados, cada um, por um ponto (m ; r) cujas 
coordenadas são, respectivamente, a massa do satélite e o raio da sua órbita em torno da Terra. 
 
Com base nas posições relativas dos pontos no gráfico, deseja-se comparar as intensidades FA, FB e 
FC da força gravitacional que a Terra exerce sobre os satélites A, B e C, respectivamente. 
As intensidades FA, FB e FC expressas no gráfico satisfazem a relação 
a) C A BF F F=  
b) A B CF F F=  
c) A B CF F F  
d) A C BF F F  
e) C A BF F F  
 
4. Os tipos de prata normalmente vendidos são 975, 950 e 925. Essa classificação é feita de acordo com 
a sua pureza. Por exemplo, a prata 975 é a substância constituída de 975 partes de prata pura e 25 partes 
de cobre em 1 000 partes da substância. Já a prata 950 é constituída de 950 partes de prata pura e 50 
de cobre em 1 000; e a prata 925 é constituída de 925 partes de prata pura e 75 partes de cobre em 1 
000. Um ourives possui 10 gramas de prata 925 e deseja obter 40 gramas de prata 950 para produção 
de uma joia. 
Nessas condições, quantos gramas de prata e de cobre, respectivamente, devem ser fundidos com os 
10 gramas de prata 925? 
a) 29,25 e 0,75 
b) 28,75 e 1,25 
c) 28,50 e 1,50 
d) 27,75 e 2,25 
e) 25,00 e 5,00 
 
 
 
 
7 
Matemática 
 
5. Uma empresa desejainiciar uma campanha publicitária divulgando uma promoção para seus possíveis 
consumidores. Para esse tipo de campanha, os meios mais viáveis são a distribuição de panfletos na rua 
e anúncios na rádio local. Considera-se que a população alcançada pela distribuição de panfletos seja 
igual à quantidade de panfletos distribuídos, enquanto que a alcançada por um anúncio na rádio seja 
igual à quantidade de ouvintes desse anúncio. O custo de cada anúncio na rádio é de R$ 120,00, e a 
estimativa é de que seja ouvido por 1 500 pessoas. Já a produção e a distribuição dos panfletos custam 
R$ 180,00 cada 1 000 unidades. Considerando que cada pessoa será alcançada por um único desses 
meios de divulgação, a empresa pretende investir em ambas as mídias. 
Considere X e Y os valores (em real) gastos em anúncios na rádio e com panfletos, respectivamente. O 
número de pessoas alcançadas pela campanha será dado pela expressão. 
a) 
50 50
4 9
X Y
+
 
b) 
50 50
9 4
X Y
+
 
c) 
4 4
50 50
X Y
+
 
d) 
50 50
4 9X Y
+
 
e) 
50 50
9 4
Y
X Y
+
 
 
 
6. Um banco de sangue recebe 450 mL de sangue de cada doador. Após separar o plasma sanguíneo das 
hemácias, o primeiro é armazenado em bolsas de 250 mL de capacidade. O banco de sangue aluga 
refrigeradores de uma empresa para estocagem das bolsas de plasma, segundo a sua necessidade. 
Cada refrigerador tem uma capacidade de estocagem de 50 bolsas. Ao longo de uma semana, 100 
pessoas doaram sangue àquele banco. Admita que, de cada 60 mL de sangue, extraem-se 40 mL de 
plasma. O número mínimo de congeladores que o banco precisou alugar, para estocar todas as bolsas 
de plasma dessa semana, foi 
a) 2 
b) 3 
c) 4 
d) 6 
e) 8 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8 
Matemática 
 
7. Em 20 de fevereiro de 2011 ocorreu a grande erupção do vulcão Bulusan nas Filipinas. A sua localização 
geográfica no globo terrestre é dada pelo GPS (sigla em inglês para Sistema de Posicionamento Global) 
com longitude de 124° 3’ 0” a leste do Meridiano de Greenwich. 
Dado: 1° equivale a 60’ e 1’ equivale a 60”. 
PAVARIN, G. Galileu, fev. 2012 (adaptado) 
A representação angular da localização do vulcão com relação a sua longitude da forma decimal é 
a) 124,02°. 
b) 124,05°. 
c) 124,20°. 
d) 124,30°. 
e) 124,50° 
 
 
8. A insulina é utilizada no tratamento de pacientes com diabetes para o controle glicêmico. Para facilitar 
sua aplicação, foi desenvolvida uma “caneta” na qual pode ser inserido um refil contendo 3mL de insulina 
como mostra a imagem. 
 
 
 
Para controle das aplicações, definiu-se a unidade de insulina como 0,01 mL. Antes de cada aplicação, é 
necessário descartar 2 unidades de insulina, de forma a retirar possíveis bolhas de ar. A um paciente 
foram prescritas duas aplicações diárias: 10 unidades de insulina pela manhã e 10 à noite. Qual o número 
máximo de aplicações por refil que o paciente poderá utilizar com a dosagem prescrita? 
a) 25 
b) 15 
c) 13 
d) 12 
e) 8 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9 
Matemática 
 
9. Alguns medicamentos para felinos são administrados com base na superfície corporal do animal. Foi 
receitado a um felino pesando 3,0 kg um medicamento na dosagem diária de 250 mg por metro quadrado 
de superfície corporal. O quadro apresenta a relação entre a massa do felino, em quilogramas, e a área 
de sua superfície corporal, em metros quadrados. 
 
A dose diária, em miligramas, que esse felino deverá receber é de 
a) 0,624. 
b) 52,0. 
c) 156,0. 
d) 750,0. 
e) 1 201,9. 
 
 
10. Uma escola lançou uma campanha para seus alunos arrecadarem, durante 30 dias, alimentos não 
perecíveis para doar a uma comunidade carente da região. Vinte alunos aceitaram a tarefa e nos 
primeiros 10 dias trabalharam 3 horas diárias, arrecadando 12 kg de alimentos por dia. Animados com 
os resultados, 30 novos alunos somaram-se ao grupo, e passaram a trabalhar 4 horas por dia nos dias 
seguintes até o término da campanha. Admitindo-se que o ritmo de coleta tenha se mantido constante, 
a quantidade de alimentos arrecadados ao final do prazo estipulado seria de 
a) 920 kg. 
b) 800 kg. 
c) 720 kg. 
d) 600 kg. 
e) 570 kg. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10 
Matemática 
 
Gabarito 
 
1. C 
Supondo as dimensões da miniatura como sendo 1,1 e 25 centímetros, pode-se calcular: 
2 3 3
monumento
Miniatura dimensões 1, 1 e 25
Convertendo usando a escala 400, 400 e 25 400
V 400 (25 400) 1.600.000.000 cm 1.600 m
 
 
=   = =
 
 
2. C 
 
 
3. E 
 
 
4. B 
 
5. A 
 
 
6. B 
 
 
 
 
 
 
11 
Matemática 
 
7. B 
 
 
8. A 
 
 
9. B 
 
 
10. A 
 
 
 
 
 
1 
Matemática 
 
Análise Combinatória 
 
Resumo 
 
Análise Combinatória 
Fatorial 
O fatorial é uma operação aplicada apenas a número naturais e é definido da seguinte maneira: 
∀𝑚 ∈ ℕ, temos: 
𝑚! = {
𝑚. (𝑚 − 1). (𝑚 − 2). … .3.2.1, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑚 ≥ 2
0! = 1
1! = 1
 
 
Ex: 
3! = 1.2.3 = 6 
 
Princípio fundamental da contagem 
Essa técnica básica de contagem visa calcular o número de possibilidades de ocorrência de um evento E, 
composto por uma série de sub-eventos independentes: E1, E2, E3... Na composição do evento E, escolhe-se 
apenas umas das possibilidades de cada um de seus sub-eventos. 
Representamos os totais de possibilidades pelas quais os eventos podem ocorrer por: 
n(E): número de possibilidades do evento E 
n(Ei): número de possibilidades do evento Ei 
Podemos enunciar que o número de possibilidades de ocorrência do evento E é dado por: 
1 2( ) ( ). ( )... ( )nn E n E n E n E= 
 
Exemplo: Uma pessoa fará uma viagem e pretende levar 2 camisas, 2 calças e 3 sapatos. De quantas formas 
diferentes esta pessoa poderá se vestir, escolhendo uma camisa, uma calça e um sapato? 
n(E) = 2.2.3 = 12 
 
Permutações 
Permutação simples de n objetos distintos 
Dado um conjunto com n elementos distintos, chama-se permutação dos n elementos, todo arranjo desses n 
elementos tomados n a n. 
!P n= 
 
Exemplo: Quantos são os anagramas da palavra “GRUPO”? 
5 5! 5.4.3.2.1 120P = = = 
Podemos escrever 120 anagramas da palavra GRUPO. 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 
Matemática 
 
Permutação com elementos repetidos 
De modo geral, se temos n elementos dos quais 
1n são iguais a 1a , 2n são iguais a 2a , 3n são iguais a 3a , ... , 
rn são iguais a ra , o número de permutações possíveis é dado por: 
 
1 2 3( , , ,..., )
1 2 3
!
! ! !... !
rn n n n
n
r
n
P
n n n n
= 
 
Exemplo: Quantos são os anagramas da palavra “MATEMÁTICA”? 
Existem três letras q se repetem na palavra M (2 vezes), A (3 vezes) e T (2 vezes). 
(2,3,2)
10
10! 10.9.8.7.6.5.4.3! 10.9.8.7.6.5.4
2!3!2! 2!3!2! 2.1.2.1
10.9.8.7.6.5.4 604800
151200
4 4
P = = = =
= = =
 
Podemos escrever 151200 anagramas da palavra Matemática. 
 
Arranjo 
Dado um conjunto com n elementos distintos, chama-se arranjo dos n elementos, tomados p a p, a qualquer 
sequência ordenada de p elementos distintos escolhidos entre os n existentes. 
 
)!(
!
,
pn
n
A pn
−
= 
 
Exemplo: Quantos são os números compreendidos entre 2000 e 3000 formados por algarismos distintos 
escolhido entre 1,2,3,4,5,6,7,8 e 9? 
O número deve ter quatro algarismos (pois está entre 2000 e 300). Para o primeiro algarismo existe apenas 
uma possibilidade (2) e para os outros três ainda existem 8 números disponíveis, então: 
8,3
8! 8! 8.7.6.5!
8.7.6 336 números.
(8 3)! 5! 5!
A = = = = =
−
 
 
Combinação Simples 
Número de combinações de n elementos tomados p a p onde a ordem não importa. 
,
!
!( )!
n p
n
C
p n p
=
−
 
 
Exemplo: Com 10 espécies de frutas, quantos tipos de salada, contendo 6 espécies diferentes podem ser 
feitas? 
 
 
 
 
 
 
3 
Matemática 
 
Nesse caso a ordem das frutas não importa na salada de fruta, então é um caso de combinação. 
10,6
10! 10.9.8.7.6! 5040 5040
210
6!.(10 6)! 6!.4! 4! 24
C = = = = =
−
 
210 tipos de saladas diferentes com 6 espécies de fruta.Permutação Circular 
Permutação circular é um tipo de permutação composta por n elementos distintos em ordem cíclica 
(formando uma circunferência). 
!
n
n
PC
n
= ou ( 1)!nPC n= − 
 
Exemplo: Uma família é composta por seis pessoas: o pai, a mãe e quatro filhos. Num restaurante, essa família 
vai ocupar uma mesa redonda. Em quantas disposições diferentes essas pessoas podem se sentar em torno 
da mesa? 
6 (6 1)! 5! 5.4.3.2.1 120PC = − = = = 
Essas pessoas podem sentar de 120 maneiras diferentes envolta da mesa. 
 
Combinações Completas 
Combinações completas de n elementos, tomados p a p, são combinações de n elementos não 
necessariamente distintos. Em vista disso, quando vamos calcular as combinações completas devemos levar 
em consideração as combinações com elementos distintos (combinações simples) e as combinações com 
elementos repetidos. 
1,
, 1
( 1 )!
( 1)!. !
n p
n p n p
n p
CR P
n p
−
− +
− +
= =
−
 
Exemplo: De quantos modos podemos comprar 4 salgadinhos em uma lanchonete que oferece 7 opções de 
escolha de salgadinhos? 
6,4
7,4 10
10! 10.9.8.7.6! 10.9.8.7
210
6!4! 6!4! 4.3.2.1
CR P= = = = = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 
Matemática 
 
Exercícios 
 
 
1. O diretor de uma escola convidou os 280 alunos de terceiro ano a participarem de uma brincadeira. 
Suponha que existem 5 objetos e 6 personagens numa casa de 9 cômodos; um dos personagens 
esconde um dos objetos em um dos cômodos da casa. O objetivo da brincadeira é adivinhar qual objeto 
foi escondido por qual personagem e em qual cômodo da casa o objeto foi escondido. 
Todos os alunos decidiram participar. A cada vez um aluno é sorteado e dá a sua resposta. As 
respostas devem ser sempre distintas das anteriores, e um mesmo aluno não pode ser sorteado mais 
de uma vez. Se a resposta do aluno estiver correta, ele é declarado vencedor e a brincadeira é encerrada. 
 
O diretor sabe que algum aluno acertará a resposta porque há: 
a) 10 alunos a mais do que possíveis respostas distintas. 
b) 20 alunos a mais do que possíveis respostas distintas. 
c) 119 alunos a mais do que possíveis respostas distintas. 
d) 260 alunos a mais do que possíveis respostas distintas. 
e) 270 alunos a mais do que possíveis respostas distintas. 
 
 
2. No Nordeste brasileiro, é comum encontrarmos peças de artesanato constituídas por garrafas 
preenchidas com areia de diferentes cores, formando desenhos. Um artesão deseja fazer peças com 
areia de cores cinza, azul, verde e amarela, mantendo o mesmo desenho, mas variando as cores da 
paisagem (casa, palmeira e fundo), conforme a figura. 
 
 O fundo pode ser representado nas cores azul ou cinza; a casa, nas cores azul, verde ou amarela; e a 
palmeira, nas cores cinza ou verde. Se o fundo não pode ter a mesma cor nem da casa nem da palmeira, 
por uma questão de contraste, então o número de variações que podem ser obtidas para a paisagem é 
a) 6. 
b) 7. 
c) 8. 
d) 9. 
e) 10. 
 
 
 
 
 
 
5 
Matemática 
 
3. O setor de recursos humanos de uma empresa vai realizar uma entrevista com 120 candidatos a uma 
vaga de contador. Por sorteio, eles pretendem atribuir a cada candidato um número, colocar a lista de 
números em ordem numérica crescente e usá-la para convocar os interessados. Acontece que, por um 
defeito do computador, foram gerados números com 5 algarismos distintos e, em nenhum deles, 
apareceram dígitos pares. 
 
Em razão disso, a ordem de chamada do candidato que tiver recebido o número 75913 é 
a) 24 
b) 31 
c) 32 
d) 88 
e) 89 
 
 
4. Uma rede é formada de triângulos equiláteros congruentes, conforme a representação abaixo. 
 
Uma formiga se desloca do ponto A para o ponto B sobre os lados dos triângulos, percorrendo X 
caminhos distintos, cujos comprimentos totais são todos iguais a d. Sabendo que d corresponde ao 
menor valor possível para os comprimentos desses caminhos, X equivale a: 
a) 20 
b) 18 
c) 15 
d) 12 
e) 10 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6 
Matemática 
 
5. Para cadastrar-se em um site, uma pessoa precisa escolher uma senha composta por quatro caracteres, 
sendo dois algarismos e duas letras (maiúsculas ou minúsculas). As letras e os algarismos podem 
estar em qualquer posição. Essa pessoa sabe que o alfabeto é composto por vinte e seis letras e que 
uma letra maiúscula difere da minúscula em uma senha. 
Disponível em: www.infowester.com. Acesso em: 14 dez. 2012. 
O número total de senhas possíveis para o cadastramento nesse site é dado por 
a) 
2 210 26 
b) 
2 210 52 
c) 
2 2 4!10 52
2!
  
d) 
2 2 4!10 26
2!2!
  
e) 
2 2 4!10 52
2!2!
  
 
 
6. Uma família composta por sete pessoas adultas, após decidir o itinerário de sua viagem, consultou 
o site de uma empresa aérea e constatou que o voo para a data escolhida estava quase lotado. Na 
figura, disponibilizada pelo site, as poltronas ocupadas estão marcadas com X e as únicas poltronas 
disponíveis são as mostradas em branco. 
 
 
O número de formas distintas de se acomodar a família nesse voo é calculado por 
a) 
9!
2!
 
b) 
9!
7! 2!
 
c) 7! 
d) 
5!
4!
2!
 
e) 
5! 4!
4! 3!
 
 
 
 
 
 
7 
Matemática 
 
7. O tênis é um esporte em que a estratégia de jogo a ser adotada depende, entre outros fatores, de o 
adversário ser canhoto ou destro. 
Um clube tem um grupo de 10 tenistas, sendo que 4 são canhotos e 6 são destros. O técnico do clube 
deseja realizar uma partida de exibição entre dois desses jogadores, porém, não poderão ser ambos 
canhotos. 
Qual é o número de possibilidades de escolha dos tenistas para a partida de exibição? 
a) 
10! 4!
2! 8! 2! 2!
−
 
 
b) 
10! 4!
8! 2!
− 
c) 
10!
2
2! 8!
−

 
d) 
6!
4 4
4!
+  
e) 
6!
6 4
4!
+  
 
 
8. O Salão do Automóvel de São Paulo é um evento no qual vários fabricantes expõem seus modelos 
mais recentes de veículos, mostrando, principalmente, suas inovações em design e tecnologia. 
Disponível em: http://g1.globo.com. Acesso em: 4 fev. 2015 (adaptado). 
 
Uma montadora pretende participar desse evento com dois estandes, um na entrada e outro na 
região central do salão, expondo, em cada um deles, um carro compacto e uma caminhonete. Para 
compor os estandes, foram disponibilizados pela montadora quatro carros compactos, de 
modelos distintos, e seis caminhonetes de diferentes cores para serem escolhidos aqueles que serão 
expostos. A posição dos carros dentro de cada estande é irrelevante. 
Uma expressão que fornece a quantidade de maneiras diferentes que os estandes podem ser 
compostos é 
a) 
4
10A 
b) 
4
10C 
c) 
2 2
4 6 2 2C C   
d) 
2 2
4 6 2 2A A   
e) 
2 2
4 6C C 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8 
Matemática 
 
9. Um brinquedo infantil caminhão-cegonha é formado por uma carreta e dez carrinhos nela transportados, 
conforme a figura. 
 
No setor de produção da empresa que fabrica esse brinquedo, é feita a pintura de todos os carrinhos 
para que o aspecto do brinquedo fique mais atraente. São utilizadas as cores amarelo, branco, laranja 
e verde, e cada carrinho é pintado apenas com uma cor. O caminhão-cegonha tem uma cor fixa. A 
empresa determinou que em todo caminhão-cegonha deve haver pelo menos um carrinho de cada uma 
das quatro cores disponíveis. Mudança de posição dos carrinhos no caminhão-cegonha não gera um 
novo modelo do brinquedo. 
Com base nessas informações, quantos são os modelos distintos do brinquedo caminhão-cegonha 
que essa empresa poderá produzir? 
a) 
6,4C 
b) 
9,3C 
c) 
10,4C 
d) 
46 
e) 
64 
 
 
10. Uma família é composta por seis pessoas: o pai, a mãe e quatro filhos. Num restaurante, essa família 
vai ocupar uma mesa redonda. Em quantas disposições diferentes essas pessoas podem se sentar em 
torno da mesa de modo que o pai e a mãe fiquem juntos? 
a) 36 
b) 42 
c) 48 
d) 21 
e) 18 
 
 
 
 
9 
Matemática 
 
Gabarito 
 
1.A 
 
 
2. B 
 
 
3. E 
 
 
4. C 
 
 
5. E 
 
 
 
 
 
10 
Matemática 
 
6. A 
 
 
7. A 
 
 
8. C 
 
 
9. B 
 
 
10. C 
Sabendo que pai e mãe devem ficar juntos, vamos amarrar os dois e tratá-los como se fossem um único 
elemento. Assim, passamos a ter somente 5 elementos. Portanto, utilizando a permutação circular de 5 
elementos, calculamos o número de possibilidades desta família sentar-se ao redor da mesa com pai e 
mãe juntos. 
Pc5 = (5 - 1)! = 4! = 4.3.2.1 = 24 
 
Como o pai pode estar à esquerda ou à direita da mãe, precisamos multiplicar este resultado por 2, 
chegando na resposta correta: 48. 
 
 
 
 
 
1 
Matemática 
 
Estatística – Feijão com Arroz 
 
Resumo 
 
O tratamento da Informação engloba a leitura de gráficos e tabelas simples. Vamos estudá-los! 
 
Gráficos 
Gráfico de Setores 
O gráfico de setores é feito por uma circunferência vejamos o exemplo a seguir: 
 
Ex.: Em um campeonato foram registrados quantos pontos cada equipe fez durante todo o campeonato, e foi 
apresentado no gráfico de setores a seguir: 
 
Temos então que a Equipe 1 marcou 21,8% dos pontos, Equipe 2, 32.7%, Equipe 3, 10,9% e Equipe 4, 34,5%. 
 
Podemos então observar que a equipe que mais marcou pontos foi a Equipe 4. 
 
Obs.: Mais precisamente, as medidas dos ângulos dos setores circulares são proporcionais às porcentagens 
de ocorrência das realizações das variáveis. Em outra palavras, podemos usar regra de três para encontrá-lo. 
 
Ex.: Qual é a angulação que a equipe 1 possui no setor? 
Temos que : 
 
100%__________360° 
21,8%_________ x 
 
100x = 7848 
 
Aproximadamente 78°. 
 
 
 
 
 
2 
Matemática 
 
Gráfico de Barras 
Temos a seguir o gráfico de barras, também falando das equipes em um campeonato. 
 
O gráfico é dividido em dois períodos e mostra como que cada equipe se saiu. 
 
Com esse gráfico podemos tirar algumas informações: 
→ A equipe 1 teve a maior melhora desde o período 1 para o 2. 
→ A equipe 3 teve o pior período 1. 
→ Muitas informações podem ser tiradas, basta observar e comparar. 
 
Gráfico de Linhas 
 
O uso dessa representação gráfica é útil quando se quer representar valores assumidos por uma grandeza, no 
decorrer do tempo. 
 
 
 
 
 
 
3 
Matemática 
 
Tabelas de Frequência 
A organização dos dados em tabelas possibilita uma leitura rápida e resumida dos resultados obtidos em uma 
pesquisa. Para cada variável estudada, contamos o número de vezes que cada um de seus valores (de 
realizações) acontece. O número obtido é chamado de frequência absoluta. 
 
Ex.: Foi feita uma pesquisa com mulheres e seus respectivos estados civis. 
 
 
Estado civil Frequência absoluta Frequência relativa Porcentagem 
Solteira 8 8/25=0,32 32% 
casada 12 12/25=0,48 48% 
viúva 2 2/25=0,08 8% 
divorciada 3 3/25=0,12 12% 
TOTAL 25 1,00 100% 
 
Em Estatística, medidas de centralidade são usadas para representar toda uma lista de observações com um 
único valor. Já as medidas de dispersão mostram o quão esticada ou espremida está uma distribuição de 
observações. 
 
Medidas de centralidade: 
Média: 
Média aritmética simples: 
A média aritmética simples de um conjunto {x1, x2, ..., xn} de n observações para a variável X, é dada pelo 
quociente entre a soma dos valores observados e o número total de observações: 
 
Ex.: Seja um grupo de 3 pessoas e I o conjunto das idades dessas 3 pessoas. I = {12, 10, 11}. Calculando a média 
da idade desse grupo, temos: 
12 10 11 33
11 anos
3 3
x
+ +
= = = 
 
Média aritmética ponderada: 
A média aritmética ponderada de um conjunto {x1, x2, ..., xk} de k observações para a variável X, com 
frequências absolutas é dada pela expressão: 
 
 
 
 
 
4 
Matemática 
 
Ex.: Para passar no curso de matemática devemos calcular a média de duas provas, p1 e p2, sendo que a p1 
tem peso 1 e a p2 tem peso 2. Dessa maneira calculamos a média da seguinte maneira: 
 
Moda: 
É valor de maior frequência em uma série de dados, o que mais se repete. 
Ex: Alguns alunos fizeram a segunda chamada de uma prova de matemática. Suas notas foram tabuladas na 
tabela abaixo: 
Aluno Nota 
Aluno 1 2 
Aluno 2 7 
Aluno 3 3 
Aluno 4 4 
Aluno 5 3 
Aluno 6 3,5 
A nota que mais aparece no conjunto de dados é a nota 3. Portanto, a moda é 3. 
 
Mediana: 
Ordenando as observações de uma variável de forma crescente ou descrescente (Rol), a mediana é a 
observação que ocupa o valor central. 
 
Ex.: A quantidade de atrasos dos alunos de uma turma, registrados por mês, de março a novembro, formam o 
seguinte conjunto de dados: 23, 34, 21, 48, 51, 20, 38, 29, 13. 
Ordenando esses dados de forma crescente, temos: 
13 – 20 – 21 – 23 – 29 – 34 – 38 – 48 – 51 
Como há 9 observações, a observação central é a quinta: 
13 – 20 – 21 – 23 – 29 – 34 – 38 – 48 – 51 
Portanto, a mediana é igual a 29. 
 
Cuidado! E se a quantidade de elementos da amostra não for um número ímpar? Se o tamanho da amostra for 
par, então não terá um elemento central. Dessa maneira, precisamos fazer a média aritmética simples entre os 
dois centrais. 
 
Ex.: Seja uma amostra A = {1, 2, 7, 4}. Para calcular a mediana, precisamos colocar os elementos em ordem: 1, 
2, 4, 7. Agora, fazemos a média aritmética simples entre os dois termos centrais: 
2 4
3
2
+
= 
Assim, 3 é a mediana. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 
Matemática 
 
Medidas de dispersão 
As medidas de dispersão medem o quão homogênea uma amostra é. Ou seja, quanto mais homogênea é a 
amostra, menores serão os valores da variância e desvio padrão. Vamos aprender a calculá-los? 
 
Variância 
A Variância é a média aritmética dos quadrados dos desvios entre os valores da variável e a média das 
observações. 
 
 
Desvio padrão 
O desvio-padrão de um conjunto de dados é calculado tirando a raiz quadrada da sua variância. 
 
 
 
 
 
 
6 
Matemática 
 
Exercícios 
 
1. Uma pesquisa de mercado foi realizada entre os consumidores das classes sociais A, B, C e D que 
costumam participar de promoções tipo sorteio ou concurso. Os dados comparativos, expressos no 
gráfico, revelam a participação desses consumidores em cinco categorias: via Correios (juntando 
embalagens ou recortando códigos de barra), via internet (cadastrando-se no site da empresa/marca 
promotora), via mídias sociais (redes sociais), via SMS (mensagem por celular) ou via rádio/TV. 
 
Uma empresa vai lançar uma promoção utilizando apenas uma categoria nas classes A e B (A/B) e uma 
categoria nas classes C e D (C/D). 
De acordo com o resultado da pesquisa, para atingir o maior número de consumidores das classes A/B 
e C/D, a empresa deve realizar a promoção, respectivamente, via 
a) Correios e SMS. 
b) internet e Correios. 
c) internet e internet. 
d) internet e mídias sociais. 
e) rádio/TV e rádio/TV. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7 
Matemática 
 
2. Um cientista trabalha com as espécies I e II de bactérias em um ambiente de cultura. Inicialmente, 
existem 350 bactérias da espécie I e 1 250 bactérias da espécie ll. O gráfico representa as quantidades 
de bactérias de cada espécie, em função do dia, durante uma semana. 
 
Em que dia dessa semana a quantidade total de bactérias nesse ambiente de cultura foi máxima? 
a) Terça-feira. 
b) Quarta-feira. 
c) Quinta-feira. 
d) Sexta-feira. 
e) Domingo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8 
Matemática 
 
3. A cidade de Guarulhos (SP) tem o 8º PIB municipal do Brasil, além do maior aeroporto da América do Sul. 
Em proporção, possui a economia que mais cresce em indústrias, conforme mostra o gráfico. 
 
Analisando os dados percentuais do gráfico, qual a diferença entre o maior e o menor centro em 
crescimento no polo das indústrias? 
a) 75,28 
b) 64,09 
c) 56,95 
d) 45,76 
e) 30,07 
 
 
4. A Comissão Interna de Prevenção de Acidentes (CIPA) de uma empresa, observando os altos custos 
comos frequentes acidentes de trabalho ocorridos, fez, a pedido da diretoria, uma pesquisa do número 
de acidentes sofridos por funcionários. Essa pesquisa, realizada com uma amostra de 100 funcionários, 
norteará as ações da empresa na política de segurança no trabalho. Os resultados obtidos estão no 
quadro. 
 
A média do número de acidentes por funcionário na amostra que a CIPA apresentará à diretoria da 
empresa é 
a) 0,15. 
b) 0,30. 
c) 0,50. 
d) 1,11. 
e) 2,22. 
 
 
 
 
9 
Matemática 
 
5. Foi realizado um levantamento nos 200 hotéis de uma cidade, no qual foram anotados os valores, em 
reais, das diárias para um quarto padrão de casal e a quantidade de hotéis para cada valor da diária. Os 
valores das diárias foram: A = R$200,00; B = R$300,00; C = R$400,00 e D = R$600,00. No gráfico, as áreas 
representam as quantidades de hotéis pesquisados, em porcentagem, para cada valor da diária. 
 
 
 
O valor mediano da diária, em reais, para o quarto padrão de casal nessa cidade, é 
a) 300,00. 
b) 345,00. 
c) 350,00. 
d) 375,00. 
e) 400,00. 
 
 
6. O quadro seguinte mostra o desempenho de um time de futebol no último campeonato. A coluna da 
esquerda mostra o número de gols marcados e a coluna da direita informa em quantos jogos o time 
marcou aquele número de gols. 
 
Se X, Y e Z são, respectivamente, a média, a mediana e a moda desta distribuição, então 
a) X = Y < Z. 
b) Z < X = Y. 
c) Y < Z < X. 
d) Z < X < Y. 
e) Z < Y < X. 
 
 
 
 
 
 
 
10 
Matemática 
 
7. O gráfico apresenta a taxa de desemprego (em%) para o período de março de 2008 a abril de 2009, obtida 
com base nos dados observados nas regiões metropolitanas de Recife, Salvador, Belo Horizonte, Rio de 
Janeiro, São Paulo e Porto Alegre. 
 
IBGE. Pesquisa mensal de emprego. Disponível em: www.ibge.gov.br. Acesso em: 30 jul. 2012 (adaptado). 
A mediana dessa taxa de desemprego, no período de março de 2008 a abril de 2009, foi de 
a) 8,1% 
b) 8,0% 
c) 7.9% 
d) 7,7% 
e) 7,6% 
 
 
8. O procedimento de perda rápida de “peso” é comum entre os atletas dos esportes de combate. Para 
participar de um torneio, quatro atletas da categoria até 66 kg, Peso-Pena, foram submetidos a dietas 
balanceadas e atividades físicas. Realizaram três “pesagens” antes do início do torneio. Pelo regulamento 
do torneio, a primeira luta deverá ocorrer entre o atleta mais regular e o menos regular quanto aos “pesos”. 
As informações com base nas pesagens dos atletas estão no quadro. 
 
Após as três “pesagens”, os organizadores do torneio informaram aos atletas quais deles se enfrentariam 
na primeira luta. A primeira luta foi entre os atletas: 
a) I e III. 
b) I e IV. 
c) II e III. 
d) II e IV. 
e) III e IV. 
 
 
 
 
11 
Matemática 
 
9. Marco e Paulo foram classificados em um concurso. Para classificação no concurso o candidato deveria 
obter média aritmética na pontuação igual ou superior a 14. Em caso de empate na média, o desempate 
seria em favor da pontuação mais regular. No quadro a seguir são apresentados os pontos obtidos nas 
provas de Matemática, Português e Conhecimentos Gerais, a média, a mediana e o desvio padrão dos 
dois candidatos. 
Dados dos candidatos no concurso 
 
O candidato com pontuação mais regular, portanto mais bem classificado no concurso, é 
a) Marco, pois a média e a mediana são iguais 
b) Marco, pois obteve menor desvio padrão 
c) Paulo, pois obteve a maior pontuação da tabela, 19 em Português 
d) Paulo, pois obteve maior mediana 
e) Paulo, pois obteve maior desvio padrão 
 
 
10. Em uma escola, cinco atletas disputam a medalha de ouro em uma competição de salto em distância. 
Segundo o regulamento dessa competição, a medalha de ouro será dada ao atleta mais regular em uma 
série de três saltos. Os resultados e as informações dos saltos desses cinco atletas estão no quadro. 
 
A medalha de ouro foi conquistada pelo atleta número 
a) I 
b) II 
c) III 
d) IV 
e) V 
 
 
 
 
 
12 
Matemática 
 
Gabarito 
 
1. B 
Basta perceber que o ponto mais alto no gráfico é onde temos o maior percentual de promoções das 
regiões. Olhando pra cada região respectivamente podemos concluir que a resposta correta é letra B. 
 
2. A 
Analisando o gráfico dado na questão, vimos que o total de bactérias foi máximo na terça-feira, pois 800 
+ 1100 = 1900. 
 
3. C 
A questão pede para que se calcule a diferença entre o maior e o menor percentual de crescimento no polo 
das indústrias que foram apresentados no gráfico, é possível observar que a o maior valor é da cidade de 
Guarulhos (60,52%) e o menor, da cidade de São Paulo (capital) com 3,57%. 
A diferença será: 60,52% – 3,57% = 56,95%. 
 
4. D 
 
 
5. C 
De acordo com o gráfico, tem-se que 200 0,25 50 = hotéis cobram diárias de R$ 200,00; 200 0,25 50 = 
hotéis cobram diárias de R$ 300,00; 200 0,4 80 = hotéis cobram diárias de R$ 400,00 e 200 0,1 20 = 
hotéis cobram diárias de R$ 600,00. Considere a tabela abaixo, em que ix é o valor da diária, em reais, 
para um quarto padrão de casal, if é a frequência simples absoluta e iF é a frequência absoluta acumulada. 
ix if iF 
200 50 50 
300 50 100 
400 80 180 
600 20 200 
 ifn 200= = 
 
Portanto, como 
dM
n 200
E 100,
2 2
= = = segue-se que o valor mediano da diária é 
d
300 400
M R$ 350,00.
2
+
= = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
13 
Matemática 
 
6. E 
 
 
7. B 
 
 
8. C 
A primeira luta deve ocorrer entre o atleta mais regular e o menos regular quanto aos pesos, ou seja, entre 
o atleta de menor desvio-padrão e o de maior desvio-padrão, respectivamente. 
Assim, essa luta será entre os atletas II e III. 
 
9. B 
As médias de Marco e Paulo são iguais, porém Marcos possui o menor desvio padrão, o que significa dizer 
que suas notas nas provas estão mais próximas da média do que as notas de Paulo. 
Assim, as notas obtidas por Marco no concurso são mais regulares, logo Marco foi melhor classificado. 
 
10. C 
Quando quisermos analisar o quão regular é uma lista de valores, devemos calcular o desvio padrão. Quanto 
menor o desvio padrão, maior a regularidade. Dessa maneira, o atleta mais regular foi o III. 
 
 
 
 
1 
Matemática 
 
Estatística – Gourmet 
 
Resumo 
 
O tratamento da Informação engloba a leitura de gráficos e tabelas simples. Vamos estudá-los! 
 
Gráficos 
Gráfico de Setores 
O gráfico de setores é feito por uma circunferência vejamos o exemplo a seguir: 
 
Ex.: Em um campeonato foram registrados quantos pontos cada equipe fez durante todo o campeonato, e foi 
apresentado no gráfico de setores a seguir: 
 
Temos então que a Equipe 1 marcou 21,8% dos pontos, Equipe 2, 32.7%, Equipe 3, 10,9% e Equipe 4, 34,5%. 
 
Podemos então observar que a equipe que mais marcou pontos foi a Equipe 4. 
 
Obs.: Mais precisamente, as medidas dos ângulos dos setores circulares são proporcionais às porcentagens 
de ocorrência das realizações das variáveis. Em outra palavras, podemos usar regra de três para encontrá-lo. 
 
Ex.: Qual é a angulação que a equipe 1 possui no setor? 
Temos que : 
 
100%__________360° 
21,8%_________ x 
 
100x = 7848 
 
Aproximadamente 78°. 
 
 
 
 
 
2 
Matemática 
 
Gráfico de Barras 
Temos a seguir o gráfico de barras, também falando das equipes em um campeonato. 
 
O gráfico é dividido em dois períodos e mostra como que cada equipe se saiu. 
Com esse gráfico podemos tirar algumas informações: 
• A equipe 1 teve a maior melhora desde o período 1 para o 2. 
• A equipe 3 teve o pior período 1. 
• Muitas informações podem ser tiradas, basta observar e comparar. 
 
Gráfico de Linhas 
 
O uso dessa representação gráfica é útil quando se quer representar valores assumidos por uma grandeza, no 
decorrer do tempo. 
 
 
 
 
 
 
 
3 
Matemática 
 
Tabelas de Frequência 
A organização dos dados em tabelas possibilita uma leitura rápida e resumida dos resultados obtidos em umapesquisa. Para cada variável estudada, contamos o número de vezes que cada um de seus valores (de 
realizações) acontece. O número obtido é chamado de frequência absoluta. 
 
Ex.: Foi feita uma pesquisa com mulheres e seus respectivos estados civis. 
 
Estado civil Frequência absoluta Frequência relativa 
Solteira 8 8/25=0,32 = 32% 
casada 12 12/25=0,48 = 48% 
viúva 2 2/25=0,08 = 8% 
divorciada 3 3/25=0,12 = 12% 
TOTAL 25 1,00 = 100% 
 
Em Estatística, medidas de centralidade são usadas para representar toda uma lista de observações com um 
único valor. Já as medidas de dispersão mostram o quão esticada ou espremida está uma distribuição de 
observações. 
 
Medidas de centralidade: 
Média: 
Média aritmética simples: 
A média aritmética simples de um conjunto {x1, x2, ..., xn} de n observações para a variável X, é dada pelo 
quociente entre a soma dos valores observados e o número total de observações: 
 
Ex.: Seja um grupo de 3 pessoas e I o conjunto das idades dessas 3 pessoas. I = {12, 10, 11}. Calculando a média 
da idade desse grupo, temos: 
12 10 11 33
11 anos
3 3
x
+ +
= = = 
 
Média aritmética ponderada: 
A média aritmética ponderada de um conjunto {x1, x2, ..., xk} de k observações para a variável X, com frequências 
absolutas é dada pela expressão: 
 
Ex.: Para passar no curso de matemática devemos obter média 7, sendo que a p1 tem peso 1 e a p2 tem peso 
2. 
Dessa maneira calculamos a média da seguinte forma: 
𝑝1 .1+ 𝑝2 .2
3
 
 
 
 
 
4 
Matemática 
 
Moda: 
É valor de maior frequência em uma série de dados, o que mais se repete. 
Ex: Alguns alunos fizeram a segunda chamada de uma prova de matemática. Suas notas foram tabuladas na 
tabela abaixo: 
Aluno Nota 
Aluno 1 2 
Aluno 2 7 
Aluno 3 3 
Aluno 4 4 
Aluno 5 3 
Aluno 6 3,5 
 
A nota que mais aparece no conjunto de dados é a nota 3. Portanto, a moda é 3. 
 
Mediana: 
Ordenando as observações de uma variável de forma crescente ou descrescente (Rol), a mediana é a 
observação que ocupa o valor central. 
 
Ex.: A quantidade de atrasos dos alunos de uma turma, registrados por mês, de março a novembro, formam o 
seguinte conjunto de dados: 23, 34, 21, 48, 51, 20, 38, 29, 13. 
Ordenando esses dados de forma crescente, temos: 
13 – 20 – 21 – 23 – 29 – 34 – 38 – 48 – 51 
Como há 9 observações, a observação central é a quinta: 
13 – 20 – 21 – 23 – 29 – 34 – 38 – 48 – 51 
Portanto, a mediana é igual a 29. 
 
Cuidado! E se a quantidade de elementos da amostra não for um número ímpar? Se o tamanho da amostra for 
par, então não terá um elemento central. Dessa maneira, precisamos fazer a média aritmética simples entre os 
dois centrais. 
 
Ex.: Seja uma amostra A = {1, 2, 7, 4}. Para calcular a mediana, precisamos colocar os elementos em ordem: 1, 
2, 4, 7. Agora, fazemos a média aritmética simples entre os dois termos centrais: 
2 4
3
2
+
= 
Assim, 3 é a mediana. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 
Matemática 
 
Medidas de dispersão 
As medidas de dispersão medem o quão homogênea uma amostra é. Ou seja, quanto mais homogênea é a 
amostra, menor serão os valores da variância e desvio padrão. Vamos aprender a calculá-los? 
 
Variância 
A Variância é a média aritmética dos desvios quadrados entre os valores da variável e a média das 
observações. 
 
 
Desvio padrão 
O desvio-padrão de um conjunto de dados é calculado tirando a raiz quadrada da sua variância. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6 
Matemática 
 
Exercícios 
 
1. O cultivo de uma flor rara só é viável se do mês do plantio para o mês subsequente o clima da região 
possuir as seguintes peculiaridades: 
• a variação do nível de chuvas (pluviosidade), nesses meses, não for superior a 50 mm; 
• a temperatura mínima, nesses meses, for superior a 15 °C; 
• ocorrer, nesse período, um leve aumento não superior a 5 °C na temperatura máxima. 
 
Um floricultor, pretendendo investir no plantio dessa flor em sua região, fez uma consulta a um 
meteorologista que lhe apresentou o gráfico com as condições previstas para os 12 meses seguintes 
nessa região. 
 
Com base nas informações do gráfico, o floricultor verificou que poderia plantar essa flor rara. 
O mês escolhido para o plantio foi 
a) janeiro 
b) fevereiro 
c) agosto 
d) novembro 
e) dezembro 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7 
Matemática 
 
2. O polímero de PET (Politereftalato de Etileno) é um dos plásticos mais reciclados em todo o mundo 
devido à sua extensa gama de aplicações, entre elas, fibras têxteis, tapetes, embalagens, filmes e cordas. 
Os gráficos mostram o destino do PET reciclado no Brasil, sendo que, no ano de 2010, o total de PET 
reciclado foi de 282 kton (quilotoneladas). 
 
 
De acordo com os gráficos, a quantidade de embalagens PET recicladas destinadas à produção de 
tecidos e malhas, em kton, é mais aproximada de 
a) 16,0. 
b) 22,9. 
c) 32,0. 
d) 84,6. 
e) 106,6 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8 
Matemática 
 
3. Uma empresa de alimentos oferece três valores diferentes de remuneração a seus funcionários, de 
acordo com o grau de instrução necessário para cada cargo. No ano de 2013, a empresa teve uma receita 
de 10 milhões de reais por mês e um gasto mensal com a folha salarial de R$ 400 000,00, distribuídos de 
acordo com o Gráfico 1. No ano seguinte, a empresa ampliará o número de funcionários, mantendo o 
mesmo valor salarial para cada categoria. Os demais custos da empresa permanecerão constantes de 
2013 para 2014. O número de funcionários em 2013 e 2014, por grau de instrução, está no Gráfico 2. 
 
Qual deve ser o aumento na receita da empresa para que o lucro mensal em 2014 seja o mesmo de 2013? 
a) R$ 114 285,00 
b) R$ 130 000,00 
c) R$ 160 000,00 
d) R$ 210 000,00 
e) R$ 213 333,00 
 
 
 
 
 
 
9 
Matemática 
 
4. De acordo com um relatório recente da Agência Internacional de Energia (AIE), o mercado de 
veículos elétricos atingiu um novo marco em 2016, quando foram vendidos mais de 750 mil automóveis 
da categoria. Com isso, o total de carros elétricos vendidos no mundo alcançou a marca de 2 milhões de 
unidades desde que os primeiros modelos começaram a ser comercializados em 2011. No Brasil, a 
expansão das vendas também se verifica. A marca A, por exemplo, expandiu suas vendas no ano 
de 2016, superando em 360 unidades as vendas de 2015, conforme representado no gráfico. 
 
A média anual do número de carros vendidos pela marca A, nos anos representados no gráfico, foi de 
a) 192. 
b) 240. 
c) 252. 
d) 320. 
e) 420. 
 
 
5. Uma loja que vende sapatos recebeu diversas reclamações de seus clientes relacionadas à venda de 
sapatos de cor branca ou preta. Os donos da loja anotaram as numerações dos sapatos com defeito e 
fizeram um estudo estatístico com intuito de reclamar com o fabricante. A tabela contém a média, a 
mediana e a moda desses dados anotados pelos donos. 
 
Para quantificar os sapatos pela cor, os donos representaram a cor branca pelo número 0 e a cor preta 
pelo número 1. Sabe-se que a média da distribuição desses zeros e uns é igual a 0,45. 
Os donos da loja decidiram que a numeração dos sapatos com maior número de reclamações e a cor 
com maior número de reclamações não serão mais vendidas. A loja encaminhou um ofício ao fornecedor 
dos sapatos, explicando que não serão mais encomendados os sapatos de cor 
a) branca e os de número 38. 
b) branca e os de número 37. 
c) branca e os de número 36. 
d) preta e os de número 38. 
e) preta e os de número 37. 
 
 
 
 
 
10 
Matemática 
 
6. Uma equipe de especialistas do centro meteorológico de uma cidade mediu a temperatura do 
ambiente, sempre no mesmo horário, durante 15 dias intercalados, a partir do primeiro dia de um mês. 
Esse tipo de procedimento é frequente, uma vez que os dados coletados servem de referência para 
estudos e verificação de tendências climáticas ao longo dos meses e anos. As medições ocorridas nesseperíodo estão indicadas no quadro: 
 
Em relação à temperatura, os valores da média, mediana e moda são, respectivamente, iguais a: 
a) 17º C, 17º C e 13,5º C 
b) 17º C, 18º C e 13,5º C 
c) 17º C, 13,5º C e 18º C 
d) 17º C, 18º C e 21,5º C 
e) 17º C, 13,5º C e 21,5º C 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11 
Matemática 
 
7. Ao iniciar suas atividades, um ascensorista registra tanto o número de pessoas que entram quanto o 
número de pessoas que saem do elevador em cada um dos andares do edifício onde ele trabalha. O 
quadro apresenta os registros do ascensorista durante a primeira subida do térreo, de onde partem ele e 
mais três pessoas, ao quinto andar do edifício. 
 
Com base no quadro, qual é a moda do número de pessoas no elevador durante a subida do térreo ao 
quinto andar? 
a) 2 
b) 3 
c) 4 
d) 5 
e) 6 
 
 
8. Um concurso é composto por cinco etapas. Cada etapa vale 100 pontos. A pontuação final de cada 
candidato é a média de suas notas nas cinco etapas. A classificação obedece à ordem decrescente das 
pontuações finais. O critério de desempate baseia-se na maior pontuação na quinta etapa. 
 
A ordem de classificação final desse concurso é 
a) A, B, C, E, D. 
b) B, A, C, E, D. 
c) C, B, E, A, D. 
d) C, B, E, D, A. 
e) E, C, D, B, A. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
12 
Matemática 
 
9. Um produtor de café irrigado em Minas Gerais recebeu um relatório de consultoria estatística, constando, 
entre outras informações, o desvio padrão das produções de uma safra dos talhões de sua propriedade. 
Os talhões têm a mesma área de 30 000 m² e o valor obtido para o desvio padrão foi de 90 kg/talhão. O 
produtor deve apresentar as informações sobre a produção e a variância dessas produções em sacas de 
60 kg por hectare (10 000 m²). 
A variância das produções dos talhões expressa em (sacas/hectare)² é 
a) 20,25. 
b) 4,50. 
c) 0,71. 
d) 0,50. 
e) 0,25. 
 
 
10. O serviço de atendimento ao consumidor de uma concessionária de veículos recebe as reclamações dos 
clientes via telefone. Tendo em vista a melhoria nesse serviço, foram anotados os números de chamadas 
durante um período de sete dias consecutivos. Os resultados obtidos foram os seguintes: 
 
 
Sobre as informações contidas nesse quadro, considere as seguintes afirmativas: 
I. O número médio de chamadas dos últimos sete dias foi 6. 
II. A variância dos dados é 4. 
III. O desvio padrão dos dados é 2 . 
 
Assinale a alternativa correta. 
a) Somente as afirmativas I e II são verdadeiras. 
b) Somente as afirmativas I e III são verdadeiras. 
c) Somente as afirmativas II e III são verdadeiras. 
d) Somente a afirmativa I é verdadeira. 
e) As afirmativas I, II e III são verdadeiras 
 
 
 
 
13 
Matemática 
 
Gabarito 
 
1. A 
Analisando gráfico, percebemos que em janeiro : 
– Temperatura mínima > 15° 
– Variação de Pluviosidade entre janeiro e fevereiro < 50 mm 
– Aumento da temperatura máxima entre janeiro e fevereiro < 5° 
 
2. C 
Sendo de 37,8% a porcentagem do total de PET reciclado para uso final têxtil, e de 30% dessa quantidade 
para tecidos e malhas, segue que a resposta é dada por 0,378*0,3*282 32,0 kton. 
 
3. B 
Temos a folha salarial dessas pessoas: 
Ensino fundamental – 12,5% . 400.000 / 50 = 1.000 
Ensino médio – 75% . 400.000 / 150 = 2.000 
Ensino superior – 12,5% . 400.000 / 10 = 5.000 
 
Após aumentar o número de funcionários, temos: 
70 . R$ 1000,00 + 180. R$ 2000,00 + 20. R$ 5000,00 = R$ 530.000,00 
Assim, para que o lucro seja o mesmo, devemos ter: 
530.000 – 400.000 = 130.000 reais. 
 
4. D 
Sendo cada carrinho uma quantidade x de carros vendidos, ou seja, em 2016 foi vendido 5x carros e em 
2015, 2x. Segundo o enunciado, temos: 5x = 2x + 360, assim x = 120. 
Dessa forma, em 2016 foram vendidos 600 carros, em 2015, 240 e em 2014, 120. 
Assim a média será: 
600 240 120
x 320
3
+ +
= = 
 
5. A 
A média de distribuição de sapatos brancos é de 0,45, logo, existem mais sapatos pretos já que essa média 
é menor do que a metade. Se a moda é 38, quer dizer que os sapatos com mais defeito foram os de número 
38. Assim, a loja não deve encomendar mais sapatos brancos de tamanho 38. 
 
6. B 
A média é 17° 
Mediana: 
Colocando em ordem crescente, temos: 
13,5; 13,5; 13,5; 13,5; 14; 15,5; 16; 18; 18; 18,5; 19,5; 20; 20; 20; 21,5 
Mediana é o termo central, que será o valor do oitavo termo: 18° 
Moda: 
Valor com maior frequência: 13,5° 
 
 
 
 
 
 
 
 
14 
Matemática 
 
7. D 
Térreo = 4 
1° andar = 5 
2° andar = 5 
3° andar = 5 
4° andar = 7 
5° andar = 3 
Moda é 5. 
 
8. B 
Calculando as médias dos candidatos, temos: 
A -> 4 . 90 + 60 / 5 = 84 
B -> 4 . 85 + 85 / 5 = 85 
C -> 4. 80 + 95 / 5 = 83 
D -> 4. 60 + 90 / 5 = 66 
E -> 4. 60 + 100 / 5 = 68 
Logo, a ordem de classificação será a da alternativa B. 
 
9. E 
 
10. E 
I. Verdadeira: 
3 4 6 9 5 7 8
6
7
x
+ + + + + +
= = 
II. Verdadeira 
(3 6)² (4 6)² (6 6)² (9 6)² (5 6)² (7 6)² (8 6)²
var 4
7
− + − + − + − + − + − + −
= = 
III. Verdadeira 
var 4 2PD = = = 
 
 
 
 
 
1 
Matemática 
 
Funções do 1º e 2º Grau 
 
Resumo 
 
Função do 1º grau 
Chama-se função polinomial do 1° grau ou função afim, de qualquer função f dada por uma lei da forma f(x) = 
ax + b, em que a e b são números reais dados e a ≠ 0. 
Na lei f(x) = ax + b, o número a é chamado de coeficiente angular e o número b é chamado de termo 
independente ou coeficiente linear. 
 
Função Linear: 
Um caso particular de função afim é aquele em que b = 0, neste caso, temos a função afim de f dada pela lei da 
função f(x) = ax, que recebe uma denominação especial de função linear. 
 
Raiz ou zero da função: 
Chama-se raiz, da função dada por f(x) = ax + b, o número real tal que f(x) = 0. Assim: 
( ) 0 0
b
f x ax b x
a
=  + =  = − 
Ex: Ache a raiz de f(x) = 2x – 5. 
2 5 0
2 5
5
2
x
x
x
− =
=
=
 
 
O ponto (−
𝑏
𝑎
, 0) é um dos pontos mais importantes, pois é onde a função corta o eixo x. Uma função de 1° grau 
só pode ter uma raiz e real. 
 
Taxa de crescimento: 
Na lei da função f(x) = ax + b dizemos que o coeficiente a é chamado de taxa de variação, ou taxa de crescimento 
da função. Podemos calcular o coeficiente angular de duas maneiras: 
 ou 
y
a tg a
x


= =

 
Em que θ é o ângulo que a reta da função faz com o eixo x, no sentido anti-horário. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 
Matemática 
 
Gráfico: 
O gráfico de uma função do 1° grau, dada por y = ax + b, com a ≠ 0, é uma reta oblíqua aos eixos 0x e 0y. 
 
Vamos construir o gráfico da função f(x) = 2x – 4. 
Como o gráfico é uma reta basta obter dois pontos e ligá-los. 
Para x = 0, temos y = 2.0 - 4 = -4. Portanto, um ponto é (0, -4). 
Para y = 0, temos 0 = 2x - 4 ↔ x = 2. Portanto, outro ponto é (2, 0). 
 
 
 
Reparou que a reta cortou o eixo y no ponto y = -4 e que o coeficiente linear vale exatamente – 4 também? Isso 
não é coincidência! O gráfico de uma função do 1º grau corta o eixo y justamente no ponto (0, b). Mas, por quê? 
Ora, veja: 
0 (0) (0) (0) (0, ) ( )x f a b f b b f x=  = +  =   
 
Crescimento e decrescimento da função: 
• Se a > 0, temos que a função é crescente e a reta é oblíqua para direita. 
• Se a < 0, temos que a função é decrescente e a reta é oblíqua para esquerda. 
 
 
Função do 2º grau 
Chama-se função polinomial do 2° grau, ou função quadrática, de qualquer função f dada por uma lei da forma 
f(x) = ax² + bx + c, em que a, b e c são números reais dados e a ≠ 0. 
 
Zeros ou Raízes da função: 
Zeros da função quadrática são os valores de x que anulam a função e podem ser obtidos pela fórmula de 
Bhaskara: 
² 4
2
b b ac
x
a
−  −
= 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 
Matemática 
 
Gráfico: 
A função quadrática é representada graficamente por uma parábola, cuja concavidade pode ser voltada para 
cima (quando a > 0) ou voltada para baixo (quando a < 0).Além disso, lembra que na função do 1º grau o gráfico cortava o eixo y no ponto (0, b)? Então, aqui, na função 
do segundo grau, a parábola corta o eixo y no ponto (0, c). Repare: 
20 (0) (0) (0) (0) (0, ) ( )x f a b c f c c f x=  = + +  =   
 
Vértice da parábola: 
É a intersecção da parábola com o eixo de simetria. As coordenadas do vértice são dadas por 
2
v
b
x
a
= − e 
4
vy
a

= − . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 
Matemática 
 
Exercícios 
 
1. Um produtor de maracujá usa uma caixa-d’água, com volume V, para alimentar o sistema de irrigação de 
seu pomar. O sistema capta água através de um furo no fundo da caixa a uma vazão constante. Com a 
caixa-d’água cheia, o sistema foi acionado às 7 h da manhã de segunda-feira. Às 13 h do mesmo dia, 
verificou-se que já haviam sido usados 15% do volume da água existente na caixa. Um dispositivo 
eletrônico interrompe o funcionamento do sistema quando o volume restante na caixa é de 5% do volume 
total, para reabastecimento. 
Supondo que o sistema funcione sem falhas, a que horas o dispositivo eletrônico interromperá o 
funcionamento? 
a) Às 15 h de segunda-feira. 
b) Às 11 h de terça-feira. 
c) Às 14 h de terça-feira. 
d) Às 4 h de quarta-feira. 
e) Às 21 h de terça-feira. 
 
 
2. O saldo de contratações no mercado formal no setor varejista da região metropolitana de São Paulo 
registrou alta. Comparando as contratações deste setor no mês de fevereiro com as de janeiro deste ano, 
houve incremento de 4.300 vagas no setor, totalizando 880.605 trabalhadores com carteira assinada. 
Disponível em: http://www.folha.uol.com.br. Acesso em: 26 abr. 2010 (adaptado). 
 
Suponha que o incremento de trabalhadores no setor varejista seja sempre o mesmo nos seis primeiros 
meses do ano. Considerando-se que y e x representam, respectivamente, as quantidades de 
trabalhadores no setor varejista e os meses, janeiro sendo o primeiro, fevereiro, o segundo, e assim por 
diante, a expressão algébrica que relaciona essas quantidades nesses meses é 
a) y = 4300x 
b) y = 884 905x 
c) y = 872 005 + 4300x 
d) y = 876 305 + 4300x 
e) y = 880 605 + 4300x 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 
Matemática 
 
3. Os aeroportos brasileiros serão os primeiros locais que muitos dos 600 mil turistas estrangeiros, 
estimados para a Copa do Mundo FIFA 2014, conhecerão no Brasil. Em grande parte dos aeroportos, 
estão sendo realizadas obras para melhor receber os visitantes e atender a uma forte demanda 
decorrente da expansão da classe média brasileira. 
 
O gráfico mostra a capacidade (C), a demanda (D) de passageiros/ano em 2010 e a expectativa/projeção 
para 2014 do Aeroporto Salgado Filho (Porto Alegre, RS), segundo dados da lnfraero – Empresa Brasileira 
de lnfraestrutura Aeronáutica. De acordo com os dados fornecidos no gráfico, o número de 
passageiros/ano, quando a demanda (D) for igual à capacidade (C) do terminal, será, aproximadamente, 
igual a 
a) sete milhões, sessenta mil e seiscentos. 
b) sete milhões, oitenta e cinco mil e setecentos. 
c) sete milhões, cento e vinte e cinco mil. 
d) sete milhões, cento e oitenta mil e setecentos. 
e) sete milhões, cento e oitenta e seis mil. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6 
Matemática 
 
4. Os consumidores X, Y e Z desejam trocar seus planos de internet móvel na tentativa de obterem um 
serviço de melhor qualidade. Após pesquisarem, escolheram uma operadora que oferece cinco planos 
para diferentes perfis, conforme apresentado no quadro. 
 
 
 
Em cada plano, o consumidor paga um valor fixo (preço mensal da assinatura) pela franquia contratada 
e um valor variável, que depende da quantidade de MB utilizado além da franquia. Considere que a 
velocidade máxima de acesso seja a mesma, independentemente do plano, que os consumos mensais 
de X, Y e Z são de 190 MB, 450 MB e 890 MB, respectivamente, e que cada um deles escolherá apenas 
um plano. 
 
Com base nos dados do quadro, as escolhas dos planos com menores custos para os consumidores X, 
Y e Z, respectivamente, são 
a) A, C e C. 
b) A, B e D. 
c) B, B e D. 
d) B, C e C. 
e) B, C e D. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7 
Matemática 
 
5. A raiva é uma doença viral e infecciosa, transmitida por mamíferos. A campanha nacional de 
vacinação antirrábica tem o objetivo de controlar a circulação do vírus da raiva canina e felina, prevenindo 
a raiva humana. O gráfico mostra a cobertura (porcentagem de vacinados) da campanha, em cães, nos 
anos de 2013, 2015 e 2017, no município de Belo Horizonte, em Minas Gerais. Os valores das coberturas 
dos anos de 2014 e 2016 não estão informados no gráfico e deseja-se estimá-los. Para tal, levou-se em 
consideração que a variação na cobertura de vacinação da campanha antirrábica, nos períodos de 2013 
a 2015 e de 2015 a 2017, deu-se de forma linear. 
 
Qual teria sido a cobertura dessa campanha no ano de 2014? 
a) 62,3% 
b) 63,0% 
c) 63,5% 
d) 64,0% 
e) 65,5% 
 
 
6. Um estudo das condições ambientais na região central de uma grande cidade indicou que a taxa média 
diária (C) de monóxido de carbono presente no ar é de C(p) = 0,5p + 1 partes por milhão, para uma 
quantidade de (p) milhares de habitantes. Estima-se que, daqui a t anos, a população nessa região será 
de p(t) = 2t² - t + 110 milhares de habitantes. Nesse contexto, para que a taxa média diária de monóxido 
de carbono ultrapasse o valor de 61 partes por milhão, é necessário que tenham sido transcorridos no 
mínimo: 
a) 2 anos 
b) 2 anos e 6 meses 
c) 3 anos 
d) 3 anos e 6 meses 
e) 4 anos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8 
Matemática 
 
7. O número n de pessoas presentes em uma festa varia ao longo do tempo t de duração da festa, em horas, 
conforme mostra o gráfico a seguir. 
 
Das opções abaixo, aquela que melhor descreve a função n(t) é 
a) 
2( ) 10 4 50n t t t= − + + 
b) 
2( ) 10 40 50n t t t= − + + 
c) 
2( ) 10 4n t t t= − + 
d) 
2( ) 40n t t t= + 
e) 
2( ) 10 40n t t t= − + 
 
 
8. Um posto de combustível vende 10.000 litros de álcool por dia a R$ 1,50 cada litro. Seu proprietário 
percebeu que, para cada centavo de desconto que concedia por litro, eram vendidos 100 litros a mais por 
dia. Por exemplo, no dia em que o preço do álcool foi R$ 1,48, foram vendidos 10.200 litros. Considerando 
x o valor, em centavos, do desconto dado no preço de cada litro, e V o valor, em R$, arrecadado por dia 
com a venda do álcool, então a expressão que relaciona V e x é 
a) V = 10.000 + 50x – x2. 
b) V = 10.000 + 50x + x2. 
c) V = 15.000 – 50x – x2. 
d) V = 15.000 + 50x – x2. 
e) V = 15.000 – 50x + x2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9 
Matemática 
 
9. Um professor, depois de corrigir as provas de sua turma, percebeu que várias questões estavam muito 
difíceis. Para compensar, decidiu utilizar uma função polinomial f, de grau menor que 3, para alterar as 
notas x da prova para notas y = f(x), da seguinte maneira: 
• A nota zero permanece zero. 
• A nota 10 permanece 10. 
• A nota 5 passa a ser 6. 
 
A expressão da função y = f(x) a ser utilizada pelo professor é 
a) 
21 7
25 5
y x x= − + 
b) 
21 2
10
y x x= − + 
c) 
21 7
24 12
y x x= + 
d) 
4
2
5
y x= +
 
e) y x= 
 
10. A parte interior de uma taça foi gerada pela rotação de uma parábola em torno de um eixo z, conforme 
mostra a figura. 
 
A função real que expressa a parábola, no plano cartesiano da figura, é dada pela lei 
23( ) 6
2
f x x x C= − + , onde C é a medida da altura do líquido contido na taça, em centímetros. Sabe-
se que o ponto V, na figura, representa o vértice da parábola, localizado sobre o eixo x. Nessas condições, 
a altura do líquido contido na taça, em centímetros, é: 
a) 1 
b) 2 
c) 4 
d) 5 
e) 6 
 
 
 
 
10 
Matemática 
 
Gabarito 
 
1. E2. C 
 
 
3. B 
 
 
4. C 
 
 
5. B 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11 
Matemática 
 
6. B 
 
 
 
7. E 
 
 
 
8. D 
V= (1,5 –x/10). (1000 + 100x) 
V = 15000 + 50x – x2 
 
9. A 
 
10. E 
 
 
 
 
 
1 
Matemática 
 
Geometria Espacial 
 
Resumo 
 
 Geometria de posição 
Na geometria espacial, trabalhamos em três dimensões. 
 
Postulados de determinação 
• Determinação da reta: 
Dois pontos distintos determinam uma reta. 
 
• Determinação do plano: 
- Três pontos não colineares determinam um plano. 
- Uma reta e um ponto fora dela determinam um plano. 
- Duas retas concorrentes determinam um plano. 
- Duas retas paralelas determinam um plano. 
 
Posições relativas 
• Entre retas: 
 

Distintas (s, t)
Paralelas 
Coplanares Coincidentes
Retas
Concorrentes (r, s)
Não-coplanares Reversas (r, t)
  
  
 
 



 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 
Matemática 
 
• Entre reta e plano: 
 
Reta paralela ao plano: t 
Reta contida no plano: r 
Reta secante ao plano: s 
 
Teorema: Se uma reta possui dois pontos distintos que pertencem a um plano, então ela está contida nesse 
plano. 
 
• Entre planos: 
 
Planos paralelos distintos: μ e β 
Planos secantes: δ e μ ou δ e β 
 
Poliedros 
São sólidos geométricos formados por vértices, arestas e faces, cujas superfícies são polígonos planos 
(triângulos, quadriláteros, pentágonos, etc.). A palavra poliedro vem do grego antigo, em que poli significa 
“vários’’ e “edros’’ significa ‘’faces’’. Veja alguns exemplos de poliedros: 
 
 
 
 
 
 
3 
Matemática 
 
Relação de Euler 
Em um poliedro, como dito antes, podemos distinguir faces, arestas e os vértices. Observe abaixo: 
 
Ou seja: 
• faces são as superfícies planas poligonais que limitam o poliedro. 
• arestas são as interseções entre as faces do poliedro. 
• vértices são os pontos de encontro das arestas. 
 
Leonhard Euler foi um matemático suíço que desenvolveu uma expressão matemática que descreve a relação 
entre o número de vértices, arestas e faces de um poliedro convexo. Eis a fórmula: 
2V F A+ = + 
Devemos ter cuidado ao usar essa fórmula, pois ela funciona para qualquer poliedro convexo e para alguns 
poliedros côncavos. Mas o que são poliedros convexos e côncavos? 
• Um poliedro é chamado convexo quando o plano que contém cada face deixa todas as outras em um 
mesmo semiespaço. 
 
 
Cálculo para quantidade de arestas de um poliedro 
Seja um poliedro com 3f faces triangulares, 4f faces quadrangulares, 5f pentagonais etc... 
Podemos calcular a quantidade de arestas (A) desse poliedro usando a fórmula: 
3 4 5 62 3 4 5 6 ...A f f f f= + + + + 
Poliedros de Platão 
O filósofo Platão criou um teorema que nos diz que existem 5, e apenas 5, poliedros regulares. Esses 5 poliedros 
são chamados poliedros de Platão. 
 
 
 
 
4 
Matemática 
 
Para que possa ser um poliedro de Platão, é necessário que o poliedro obedeça às seguintes disposições: 
• todas as faces devem ter a mesma quantidade n de arestas; 
• todos os vértices devem ser formados pela mesma quantidade m de arestas; 
Estes são os poliedros de Platão: 
 
 
 
Prisma 
Prisma é um solido geométrico caracterizado por tem suas bases sendo formadas por polígonos. 
 
 
• Em relação ao número de lados dos polígonos das bases, os prismas podem ser classificados como: 
Triangulares: as bases são triângulos 
Quadrangulares: as bases são quadriláteros 
Pentagonais: as bases são pentágonos 
Hexagonais: as bases são hexágonos 
E assim por diante. 
 
Quando as bases de um prisma reto são polígonos regulares (todos os lados iguais), ele é chamado de 
prisma regular. 
 
• Em relação a inclinação das arestas laterais, os prismas podem ser classificados como: 
Oblíquos: as arestas laterais são oblíquas, em relação à base 
Retos: as arestas laterais são perpendiculares à base. Em todo prisma reto as faces laterais são retângulos 
e a altura do prisma coincide com as arestas laterais. 
Bases: ABCD e A’B’C’D’ 
Arestas das bases: Inferior: AB, AD, BC, 
CD 
Superior: A’B’, A’D’, B’C’, C’D’ 
Arestas Laterais: AA’, BB’, CC’, DD’ 
Altura: h 
 
Números de Faces = 6 
 
 
 
 
 
5 
Matemática 
 
Área 
t b l
A = 2A +A 
At = Área Total 
Ab= Área da Base 
Al= Área Lateral 
 
 
Volume 
=
B
V A H 
AB = Área da Base 
H = Altura 
 
 
Cilindro 
Cilindro é um solido geométrico caracterizado por tem suas bases sendo formadas por círculos. 
 
Obs: Geratriz: Medida lateral do cilindro 
Um cilindro pode ser classificado conforme a inclinação da geratriz em relação à base: 
Reto: o cilindro circular é reto quando a geratriz é perpendicular à base. 
Oblíqua: o cilindro circular é oblíqua quando a geratriz é oblíqua à base. 
 
Área da base: 
 2A = r
b
 
 
Área lateral: 
A = 2 r
l
h 
Área total: 

+
= +
A = 2A
2 ( )
t b l
t
A
A r h r
 
Volume: 

=
= 2
B
V A h
V r h
 
Bases: Círculos de raio AB 
Altura: CD 
Geratriz: CD 
 
 
 
 
 
6 
Matemática 
 
Pirâmide 
Pirâmide é um sólido geométrico caracterizado por uma base sendo um polígono plano (mais comuns são 
quadrados, triângulos ou hexágonos) e por um ponto externo a ela, onde de cada vértice se liga um segmento 
de reta até o ponto. 
Uma pirâmide regular é uma pirâmide cuja base é um polígono e a projeção ortogonal do vértice sobre o plano 
da base é o centro da base. Nesse tipo de pirâmide, as arestas laterais são congruentes e as faces laterais são 
triângulos isósceles congruentes. 
Exemplo: Pirâmide de base quadrada 
 
 
Uma pirâmide pode ser classificada de acordo com as bases: 
Pirâmide triangular – a base é um triângulo; 
Pirâmide quadrangular – a base é um quadrilátero; 
Pirâmide pentagonal – a base é um pentágono; 
Pirâmide hexagonal – a base é um hexágono; 
E assim por diante. 
 
Área da base: 
A área da base será a área do polígono formado. 
 
Área lateral: 
A área da lateral será a soma das áreas das faces laterais. 
 
Área total: 
t b l
A A A= + 
 
Volume: 
1
3
B
V A h= 
 
 
 
Base: ABCD 
Arestas das bases: AB, AD, BC, CD 
Arestas Laterais: AV, BV, CV, DV 
Altura: h 
Números de Faces = 5 
Apótema da pirâmide: g (segmento com uma 
extremidade no vértice P e outra em alguma 
parte da base). Na pirâmide regular, teremos: 
h² + m² = g² 
 
 
 
 
7 
Matemática 
 
Cone: 
Cone é um solido geométrico caracterizado pela reunião de todos os segmentos de reta que têm uma 
extremidade em um ponto P (vértice) e a outra num ponto qualquer da região circular que form a base. 
 
 
 
Área da base: 
 2A = r
b
 
Área lateral: 
A = r
b
g 
Área total: 
A = A
( )
t b l
t
A
A r g r
+
= +
 
Volume: 
2
1
3
1
3
B
V A h
V r h
=
=
 
 
Esfera 
É sólido limitado por uma superfície esférica fechada e que tem todos os seus pontos à mesma distância de 
um ponto em seu interior. 
 
Área da superfície esférica 
4 ²A R= 
Volume 
4 ³
3
R
V

= 
 
 
Base: Círculos de raio r 
 Altura: h 
Geratriz: segmento com uma extremidade no 
vértice P e outra em alguma parte da 
circunferêcia da base. 
 
 
 
 
 
8 
Matemática 
 
Tronco de pirâmide 
Considere uma pirâmide e uma secção transversal paralela à base. Denominamos tronco de pirâmide à parte 
da pirâmide limitada pela base e pela secção transversal. 
Elementos: 
 
H1 → altura total da pirâmide 
H2 → altura da pirâmide menor 
A1 → área da base maior do tronco 
A2 → área da base menor do tronco 
L1 → aresta da base 
L2 → aresta da secção transversal 
 
Observando a figura podemos estabelecer as seguintes relações: 
   
= =   
   
2 2
1 1 1
2 2 2
A H L
A H L e 
   
= =   
   
3 3
1 1 1
2 2 2
V H L
V H L 
 
Apótema do tronco de uma pirâmide: 
 
 
1. As faces laterais do tronco de pirâmide são trapézios isóscelescongruentes. 
2. O apótema do tronco é a altura do trapézio. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9 
Matemática 
 
Volume do tronco de pirâmide 
O volume de tronco de pirâmide é a diferença entre o volume original e o volume da pirâmide determinada pela 
secção transversal. 
E pode ser calculado pela expressão: 
( )= + +1 1 2 1 2
H
V A A A A
3
 
 
Tronco de cone circular reto 
Considere um cone circular e uma secção transversal qualquer. Denominamos tronco de cone à parte do cone 
limitada pela base e por essa secção transversal. 
 
 
 
 
g → geratriz 
h → altura 
R → Raio maior 
r → raio menor 
 
Volume do tronco de cone: 
Seja um tronco de cone, de raios R e R’ e altura h. O volume desse tronco pode ser calculado através da 
expressão: 
( )

= + +
h
3
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10 
Matemática 
 
Exercícios 
 
1. Uma formiga resolveu andar de um vértice a outro do prisma reto de bases triangulares ABC e DEG, 
seguindo um trajeto especial. 
 
Ela partiu do vértice G, percorreu toda a aresta perpendicular à base ABC, para em seguida caminhar toda 
a diagonal da face ADGC e, finalmente, completou seu passeio percorrendo a aresta reversa a CG . A 
formiga chegou ao vértice 
a) A 
b) B 
c) C 
d) D 
e) E 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11 
Matemática 
 
2. Um lapidador recebeu de um joalheiro a encomenda para trabalhar em uma pedra preciosa cujo formato 
é o de uma pirâmide, conforme ilustra a Figura 1. Para tanto, o lapidador fará quatro cortes de formatos 
iguais nos cantos da base. Os cantos retirados correspondem a pequenas pirâmides, nos vértices P, Q, 
R e S, ao longo dos segmentos tracejados, ilustrados na Figura 2. 
 
 
Depois de efetuados os cortes, o lapidador obteve, a partir da pedra maior, uma joia poliédrica cujos 
números de faces, arestas e vértices são, respectivamente, iguais a 
a) 9, 20 e 13. 
b) 9, 24 e 13. 
c) 7, 15 e 12. 
d) 10, 16 e 5. 
e) 11, 16 e 5. 
 
 
3. Na alimentação de gado de corte, o processo de cortar a forragem, colocá-la no solo, compactá-la e 
protegê-la com uma vedação denomina-se silagem. Os silos mais comuns são os horizontais, cuja forma 
é a de um prisma reto trapezoidal, conforme mostrado na figura. 
 
Considere um silo de 2 cm de altura, 6 m de largura de topo e 20 m de comprimento. Para cada metro de 
altura do silo, a largura do topo tem 0,5 m a mais do que a largura do fundo. Após a silagem, 1 tonelada 
de forragem ocupa 2 m³ desse tipo de silo. 
EMBRAPA. Gado de corte. Disponível em: www.cnpgc. embrapa.br. Acesso em: 1 ago. 2012 (adaptado). 
Após a silagem, a quantidade máxima de forragem que cabe no silo, em toneladas, é: 
a) 110. 
b) 125. 
c) 130. 
d) 220. 
e) 260. 
 
 
 
 
12 
Matemática 
 
4. Uma artesã confecciona dois diferentes tipos de vela ornamental a partir de moldes feitos com cartões 
de papel retangulares de 20cm 10cm (conforme ilustram as figuras abaixo). Unindo dois lados 
opostos do cartão, de duas maneiras, a artesã forma cilindros e, em seguida, os preenche completamente 
com parafina. 
 
Supondo-se que o custo da vela seja diretamente proporcional ao volume de parafina empregado, o custo 
da vela do tipo I, em relação ao custo da vela do tipo II, será 
a) o triplo. 
b) o dobro. 
c) igual. 
d) a metade. 
e) a terça parte. 
 
 
5. Em regiões agrícolas, é comum a presença de silos para armazenamento e secagem da produção de 
grãos, no formato de um cilindro reto, sobreposto por um cone, e dimensões indicadas na figura. O silo 
fica cheio e o transporte dos grãos é feito em caminhões de carga cuja 
capacidade é de 20 m³. Uma região possui um silo cheio e apenas um caminhão para transportar os 
grãos para a usina de beneficiamento. 
 
Utilize 3 como aproximação para π. 
O número mínimo de viagens que o caminhão precisará fazer para transportar todo o volume de grãos 
armazenados no silo é 
a) 6 
b) 16 
c) 17 
d) 18 
e) 21 
 
 
 
 
13 
Matemática 
 
6. Em um casamento, os donos da festa serviam champanhe aos seus convidados em taças com formato 
de um hemisfério (Figura 1), porém um acidente na cozinha culminou na quebra de grande parte desses 
recipientes. 
Para substituir as taças quebradas, utilizou-se um outro tipo com formato de cone (Figura 2). No entanto, 
os noivos solicitaram que o volume de champanhe nos dois tipos de taças fosse igual. 
 
Sabendo que a taça com o formato de hemisfério e servida completamente cheia, a altura do volume de 
champanhe que deve ser colocado na outra taça, em centímetros, é de 
a) 1,33. 
b) 6,00. 
c) 12,00. 
d) 56,52. 
e) 113,04. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
14 
Matemática 
 
7. Uma fábrica produz velas de parafina em forma de pirâmide quadrangular regular com 19 cm de altura e 
6 cm de aresta da base. Essas velas são formadas por 4 blocos de mesma altura — 3 troncos de pirâmide 
de bases paralelas e 1 pirâmide na parte superior —, espaçados de 1 cm entre eles, sendo que a base 
superior de cada bloco é igual à base inferior do bloco sobreposto, com uma haste de ferro passando 
pelo centro de cada bloco, unindo-os, conforme a figura. 
 
Se o dono da fábrica resolver diversificar o modelo, retirando a pirâmide da parte superior, que tem 1,5 
cm de aresta na base, mas mantendo o mesmo molde, quanto ele passará a gastar com parafina para 
fabricar uma vela? 
a) 156 cm³. 
b) 189 cm³. 
c) 192 cm³. 
d) 216 cm³. 
e) 540 cm³. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
15 
Matemática 
 
8. Para decorar uma mesa de festa infantil, um chefe de cozinha usará um melão esférico com diâmetro 
medindo 10 cm, o qual servirá de suporte para espetar diversos doces. Ele irá retirar uma calota esférica 
do melão, conforme ilustra a figura, e, para garantir a estabilidade deste suporte, dificultando que o melão 
role sobre a mesa, o chefe fará o corte de modo que o raio r da seção circular de corte seja de pelo menos 
3 cm. Por outro lado, o chefe desejará dispor da maior área possível da região em que serão afixados os 
doces. 
 
Para atingir todos os seus objetivos, o chefe deverá cortar a calota do melão numa altura h, em 
centímetro, igual a 
a) 
91
5
2
− 
b) 10 91− 
c) 1 
d) 4 
e) 5 
 
 
9. Um artesão possui potes cilíndricos de tinta cujas medidas externas são 4 cm de diâmetro e 6 cm 
de altura. Ele pretende adquirir caixas organizadoras para armazenar seus potes de tinta, empilhados 
verticalmente com tampas voltadas para cima, de forma que as caixas possam ser fechadas. No 
mercado, existem cinco opções de caixas organizadoras, com tampa, em formato de paralelepípedo reto 
retângulo, vendidas pelo mesmo preço, possuindo as seguintes dimensões internas: 
 
Qual desses modelos o artesão deve adquirir para conseguir armazenar o maior número de potes por 
caixa? 
a) I 
b) II 
c) III 
d) IV 
e) V 
 
 
 
 
16 
Matemática 
 
10. Um fabricante de brinquedos recebeu o projeto de uma caixa que deverá conter cinco pequenos sólidos, 
colocados na caixa por uma abertura em sua tampa. A figura representa a planificação da caixa, com as 
medidas dadas em centímetros. 
 
Os sólidos são fabricados nas formas de 
I. um cone reto de altura 1cm e raio da base 1,5cm. 
II. um cubo de aresta 2cm. 
III. uma esfera de raio 1,5cm. 
IV. um paralelepípedo retangular reto, de dimensões 2cm, 3cm e 4cm. 
V. um cilindro reto de altura 3cm e raio da base 1cm. 
 
O fabricante não aceitou o projeto, pois percebeu que, pela abertura dessa caixa, só poderia colocar os 
sólidos dos tipos 
a) I, II e III. 
b) I, II e V. 
c) I, II, IV e V. 
d) II, III, IV e V. 
e) III, IV e V. 
 
 
 
 
 
17 
Matemática 
 
Gabarito 
 
1. E 
Saiu de G 
Percorreu GC. Está agora em C 
Partiu de C e percorreu a diagonal CD . Está agora em D 
Partiu de D e percorreu DE (DE é reversa com CG ) 
 
Chegou, portando