algebra linear 2

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Universidade do Sul de Santa Catarina
Palhoça
UnisulVirtual
2011
Álgebra Linear
Disciplina na modalidade a distância
Créditos
Universidade do Sul de Santa Catarina | Campus UnisulVirtual | Educação Superior a Distância
Reitor
Ailton Nazareno Soares
Vice-Reitor 
Sebastião Salésio Heerdt
Chefe de Gabinete da Reitoria 
Willian Corrêa Máximo
Pró-Reitor de Ensino e 
Pró-Reitor de Pesquisa, 
Pós-Graduação e Inovação
Mauri Luiz Heerdt
Pró-Reitora de Administração 
Acadêmica
Miriam de Fátima Bora Rosa
Pró-Reitor de Desenvolvimento 
e Inovação Institucional
Valter Alves Schmitz Neto
Diretora do Campus 
Universitário de Tubarão
Milene Pacheco Kindermann
Diretor do Campus Universitário 
da Grande Florianópolis
Hércules Nunes de Araújo
Secretária-Geral de Ensino
Solange Antunes de Souza
Diretora do Campus 
Universitário UnisulVirtual
Jucimara Roesler
Equipe UnisulVirtual 
Diretor Adjunto
Moacir Heerdt 
Secretaria Executiva e Cerimonial
Jackson Schuelter Wiggers (Coord.)
Marcelo Fraiberg Machado
Tenille Catarina
Assessoria de Assuntos 
Internacionais 
Murilo Matos Mendonça
Assessoria de Relação com Poder 
Público e Forças Armadas
Adenir Siqueira Viana
Walter Félix Cardoso Junior
Assessoria DAD - Disciplinas a 
Distância
Patrícia da Silva Meneghel (Coord.)
Carlos Alberto Areias
Cláudia Berh V. da Silva
Conceição Aparecida Kindermann
Luiz Fernando Meneghel
Renata Souza de A. Subtil
Assessoria de Inovação e 
Qualidade de EAD
Denia Falcão de Bittencourt (Coord.)
Andrea Ouriques Balbinot
Carmen Maria Cipriani Pandini
Assessoria de Tecnologia 
Osmar de Oliveira Braz Júnior (Coord.)
Felipe Fernandes
Felipe Jacson de Freitas
Jefferson Amorin Oliveira
Phelipe Luiz Winter da Silva
Priscila da Silva
Rodrigo Battistotti Pimpão
Tamara Bruna Ferreira da Silva
Coordenação Cursos
Coordenadores de UNA
Diva Marília Flemming
Marciel Evangelista Catâneo
Roberto Iunskovski
Auxiliares de Coordenação
Ana Denise Goularte de Souza
Camile Martinelli Silveira
Fabiana Lange Patricio
Tânia Regina Goularte Waltemann
Coordenadores Graduação
Aloísio José Rodrigues
Ana Luísa Mülbert
Ana Paula R.Pacheco
Artur Beck Neto
Bernardino José da Silva
Charles Odair Cesconetto da Silva
Dilsa Mondardo
Diva Marília Flemming
Horácio Dutra Mello
Itamar Pedro Bevilaqua
Jairo Afonso Henkes
Janaína Baeta Neves
Jorge Alexandre Nogared Cardoso
José Carlos da Silva Junior
José Gabriel da Silva
José Humberto Dias de Toledo
Joseane Borges de Miranda
Luiz G. Buchmann Figueiredo
Marciel Evangelista Catâneo
Maria Cristina Schweitzer Veit
Maria da Graça Poyer
Mauro Faccioni Filho
Moacir Fogaça
Nélio Herzmann
Onei Tadeu Dutra
Patrícia Fontanella
Roberto Iunskovski
Rose Clér Estivalete Beche
Vice-Coordenadores Graduação
Adriana Santos Rammê
Bernardino José da Silva
Catia Melissa Silveira Rodrigues
Horácio Dutra Mello
Jardel Mendes Vieira
Joel Irineu Lohn
José Carlos Noronha de Oliveira
José Gabriel da Silva
José Humberto Dias de Toledo
Luciana Manfroi
Rogério Santos da Costa
Rosa Beatriz Madruga Pinheiro
Sergio Sell
Tatiana Lee Marques
Valnei Carlos Denardin
Sâmia Mônica Fortunato (Adjunta)
Coordenadores Pós-Graduação
Aloísio José Rodrigues
Anelise Leal Vieira Cubas
Bernardino José da Silva
Carmen Maria Cipriani Pandini
Daniela Ernani Monteiro Will
Giovani de Paula
Karla Leonora Dayse Nunes
Letícia Cristina Bizarro Barbosa
Luiz Otávio Botelho Lento
Roberto Iunskovski
Rodrigo Nunes Lunardelli
Rogério Santos da Costa
Thiago Coelho Soares
Vera Rejane Niedersberg Schuhmacher
Gerência Administração
Acadêmica
Angelita Marçal Flores (Gerente)
Fernanda Farias
Secretaria de Ensino a Distância
Samara Josten Flores (Secretária de Ensino)
Giane dos Passos (Secretária Acadêmica)
Adenir Soares Júnior
Alessandro Alves da Silva
Andréa Luci Mandira
Cristina Mara Schauffert
Djeime Sammer Bortolotti
Douglas Silveira
Evilym Melo Livramento
Fabiano Silva Michels
Fabricio Botelho Espíndola
Felipe Wronski Henrique
Gisele Terezinha Cardoso Ferreira
Indyanara Ramos
Janaina Conceição
Jorge Luiz Vilhar Malaquias
Juliana Broering Martins
Luana Borges da Silva
Luana Tarsila Hellmann
Luíza Koing  Zumblick
Maria José Rossetti
Marilene de Fátima Capeleto
Patricia A. Pereira de Carvalho
Paulo Lisboa Cordeiro
Paulo Mauricio Silveira Bubalo
Rosângela Mara Siegel
Simone Torres de Oliveira
Vanessa Pereira Santos Metzker
Vanilda Liordina Heerdt
Gestão Documental
Lamuniê Souza (Coord.)
Clair Maria Cardoso
Daniel Lucas de Medeiros
Jaliza Thizon de Bona
Guilherme Henrique Koerich
Josiane Leal
Marília Locks Fernandes
Gerência Administrativa e 
Financeira
Renato André Luz (Gerente)
Ana Luise Wehrle
Anderson Zandré Prudêncio
Daniel Contessa Lisboa
Naiara Jeremias da Rocha
Rafael Bourdot Back 
Thais Helena Bonetti
Valmir Venício Inácio
Gerência de Ensino, Pesquisa e 
Extensão
Janaína Baeta Neves (Gerente)
Aracelli Araldi
Elaboração de Projeto
Carolina Hoeller da Silva Boing
Vanderlei Brasil
Francielle Arruda Rampelotte
Reconhecimento de Curso
Maria de Fátima Martins 
Extensão
Maria Cristina Veit (Coord.)
Pesquisa
Daniela E. M. Will (Coord. PUIP, PUIC, PIBIC)
Mauro Faccioni Filho (Coord. Nuvem)
Pós-Graduação
Anelise Leal Vieira Cubas (Coord.)
Biblioteca
Salete Cecília e Souza (Coord.)
Paula Sanhudo da Silva
Marília Ignacio de Espíndola
Renan Felipe Cascaes
Gestão Docente e Discente
Enzo de Oliveira Moreira (Coord.)
Capacitação e Assessoria ao 
Docente
Alessandra de Oliveira (Assessoria)
Adriana Silveira
Alexandre Wagner da Rocha
Elaine Cristiane Surian (Capacitação)
Elizete De Marco
Fabiana Pereira
Iris de Souza Barros
Juliana Cardoso Esmeraldino
Maria Lina Moratelli Prado
Simone Zigunovas
Tutoria e Suporte
Anderson da Silveira (Núcleo Comunicação)
Claudia N. Nascimento (Núcleo Norte-
Nordeste)
Maria Eugênia F. Celeghin (Núcleo Pólos)
Andreza Talles Cascais
Daniela Cassol Peres
Débora Cristina Silveira
Ednéia Araujo Alberto (Núcleo Sudeste)
Francine Cardoso da Silva
Janaina Conceição (Núcleo Sul)
Joice de Castro Peres
Karla F. Wisniewski Desengrini
Kelin Buss
Liana Ferreira
Luiz Antônio Pires
Maria Aparecida Teixeira
Mayara de Oliveira Bastos
Michael Mattar
Patrícia de Souza Amorim
Poliana Simao
Schenon Souza Preto
Gerência de Desenho e 
Desenvolvimento de Materiais 
Didáticos
Márcia Loch (Gerente)
Desenho Educacional
Cristina Klipp de Oliveira (Coord. Grad./DAD)
Roseli A. Rocha Moterle (Coord. Pós/Ext.)
Aline Cassol Daga
Aline Pimentel
Carmelita Schulze
Daniela Siqueira de Menezes
Delma Cristiane Morari
Eliete de Oliveira Costa
Eloísa Machado Seemann
Flavia Lumi Matuzawa
Geovania Japiassu Martins
Isabel Zoldan da Veiga Rambo
João Marcos de Souza Alves
Leandro Romanó Bamberg
Lygia Pereira
Lis Airê Fogolari
Luiz Henrique Milani Queriquelli
Marcelo Tavares de Souza Campos
Mariana Aparecida dos Santos
Marina Melhado Gomes da Silva
Marina Cabeda Egger Moellwald
Mirian Elizabet Hahmeyer Collares Elpo
Pâmella Rocha Flores da Silva
Rafael da Cunha Lara
Roberta de Fátima Martins
Roseli Aparecida Rocha Moterle
Sabrina Bleicher
Verônica Ribas Cúrcio
Acessibilidade 
Vanessa de Andrade Manoel (Coord.) 
Letícia Regiane Da Silva Tobal
Mariella Gloria Rodrigues
Vanesa Montagna
Avaliação da aprendizagem 
Claudia Gabriela Dreher
Jaqueline Cardozo Polla
Nágila Cristina Hinckel
Sabrina Paula Soares Scaranto
Thayanny Aparecida B. da Conceição
Gerência de Logística
Jeferson Cassiano A. da Costa (Gerente)
Logísitca de Materiais
Carlos Eduardo D. da Silva (Coord.)
Abraao do Nascimento Germano
Bruna Maciel
Fernando Sardão da Silva
Fylippy Margino dos Santos
Guilherme Lentz
Marlon Eliseu Pereira
Pablo Varela da Silveira
Rubens Amorim
YslannDavid Melo Cordeiro
Avaliações Presenciais
Graciele M. Lindenmayr (Coord.)
Ana Paula de Andrade
Angelica Cristina Gollo
Cristilaine Medeiros
Daiana Cristina Bortolotti
Delano Pinheiro Gomes
Edson Martins Rosa Junior
Fernando Steimbach
Fernando Oliveira Santos
Lisdeise Nunes Felipe
Marcelo Ramos
Marcio Ventura
Osni Jose Seidler Junior
Thais Bortolotti
Gerência de Marketing
Eliza B. Dallanhol Locks (Gerente)
Relacionamento com o Mercado 
Alvaro José Souto
Relacionamento com Polos 
Presenciais
Alex Fabiano Wehrle (Coord.)
Jeferson Pandolfo
Karine Augusta Zanoni
Marcia Luz de Oliveira
Mayara Pereira Rosa
Luciana Tomadão Borguetti
Assuntos Jurídicos
Bruno Lucion Roso
Sheila Cristina Martins
Marketing Estratégico
Rafael Bavaresco Bongiolo
Portal e Comunicação
Catia Melissa Silveira Rodrigues
Andreia Drewes
Luiz Felipe Buchmann Figueiredo
Rafael Pessi
Gerência de Produção
Arthur Emmanuel F. Silveira (Gerente)
Francini Ferreira Dias
Design Visual
Pedro Paulo Alves Teixeira (Coord.)
Alberto Regis Elias
Alex Sandro Xavier
Anne Cristyne Pereira
Cristiano Neri Gonçalves Ribeiro
Daiana Ferreira Cassanego
Davi Pieper
Diogo Rafael da Silva
Edison Rodrigo Valim
Fernanda Fernandes
Frederico Trilha
Jordana Paula Schulka
Marcelo Neri da Silva
Nelson Rosa
Noemia Souza Mesquita
Oberdan Porto Leal Piantino
Multimídia
Sérgio Giron (Coord.)
Dandara Lemos Reynaldo
Cleber Magri
Fernando Gustav Soares Lima
Josué Lange
Conferência (e-OLA)
Carla Fabiana Feltrin Raimundo (Coord.)
Bruno Augusto Zunino 
Gabriel Barbosa
Produção Industrial
Marcelo Bittencourt (Coord.)
Gerência Serviço de Atenção 
Integral ao Acadêmico
Maria Isabel Aragon (Gerente)
Ana Paula Batista Detóni
André Luiz Portes 
Carolina Dias Damasceno
Cleide Inácio Goulart Seeman
Denise Fernandes
Francielle Fernandes
Holdrin Milet Brandão
Jenniffer Camargo
Jessica da Silva Bruchado
Jonatas Collaço de Souza
Juliana Cardoso da Silva
Juliana Elen Tizian
Kamilla Rosa
Mariana Souza
Marilene Fátima Capeleto
Maurício dos Santos Augusto
Maycon de Sousa Candido
Monique Napoli Ribeiro
Priscilla Geovana Pagani
Sabrina Mari Kawano Gonçalves
Scheila Cristina Martins
Taize Muller
Tatiane Crestani Trentin
Avenida dos Lagos, 41 – Cidade Universitária Pedra Branca | Palhoça – SC | 88137-900 | Fone/fax: (48) 3279-1242 e 3279-1271 | E-mail: cursovirtual@unisul.br | Site: www.unisul.br/unisulvirtual
Kelen Regina Salles Silva
Christian Wagner
Revisão e atualização de conteúdo
Kelen Regina Salles Silva
Christian Wagner
Design instrucional
Roseli Rocha Moterle
3a edição
Álgebra Linear
Livro didático
Palhoça
UnisulVirtual
2011
Copyright © UnisulVirtual 2011
Nenhuma parte desta publicação pode ser reproduzida por qualquer meio sem a prévia autorização desta instituição
Edição - Livro didático
Professor Conteudista
Kelen R. S. Silva
Christian Wagner
Design Instrucional
Karla Leonora Dahse Nunes
Roseli Rocha Moterle (3a edição)
Assistente Acadêmico
Michele Antunes Corrêa (2a edição revista e atualizada)
Aline Cassol Daga (3a edição)
Projeto Gráfico e Capa
Equipe UnisulVirtual
Diagramação
Daniel Blass
Revisão
B2B
ISBN
978-85-7817-217-6
512.5
S58 Silva, Kelen, R. S.
Álgebra linear : livro didático / Kelen Regina Salles Silva, 
Christian Wagner ; revisão e atualização de conteúdo Kelen 
Regina Salles Silva, Christian Wagner ; design instrucional [Karla 
Leonora Dahse Nunes], Roseli Rocha Moterle. – 3. ed. – Palhoça : 
UnisulVirtual, 2011.
312 p. : il. ; 28 cm.
Inclui bibliografia.
ISBN 978-85-7817-217-6
1. Álgebra linear. 2. Geometria analítica. 3. Equações lineares. I. 
Wagner, Christian. II. Nunes, Karla Leonora Dahse. III. Moterle, Roseli 
Rocha. IV. Título.
Ficha catalográfica elaborada pela Biblioteca Universitária da Unisul
Sumário
Apresentação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7
Palavras dos professores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9
Plano de estudo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Unidade 1 – Sistemas de equações lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Unidade 2 – Espaço vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
Unidade 3 – Transformações lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
Unidade 4 – Autovalores e autovetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
Para concluir o estudo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219 
Sobre os professores conteudistas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
Respostas e comentários das atividades de autoavaliação . . . . . . . . . . . . . 225
Apresentação
Este livro didático corresponde à disciplina Álgebra Linear.
O material foi elaborado visando a uma aprendizagem 
autônoma e aborda conteúdos especialmente selecionados e 
relacionados à sua área de formação. Ao adotar uma linguagem 
didática e dialógica, objetivamos facilitar seu estudo a distância, 
proporcionando condições favoráveis às múltiplas interações e 
a um aprendizado contextualizado e eficaz.
Lembre-se de que sua caminhada, nesta disciplina, será 
acompanhada e monitorada constantemente pelo Sistema 
Tutorial da UnisulVirtual, por isso a “distância” fica caracteri-
zada somente na modalidade de ensino que você optou para 
sua formação, pois na relação de aprendizagem professores e 
instituição estarão sempre conectados com você.
Então, sempre que sentir necessidade entre em contato. Você 
tem à disposição diversas ferramentas e canais de acesso, 
tais como: telefone, e-mail e o Espaço UnisulVirtual de 
Aprendizagem, que é o canal mais recomendado, pois tudo 
o que for enviado e recebido fica registrado para seu maior 
controle e comodidade. Nossa equipe técnica e pedagógica terá 
o maior prazer em lhe atender, porque sua aprendizagem é o 
nosso principal objetivo.
Bom estudo e sucesso!
Equipe UnisulVirtual
Palavras da professora
Neste texto apresentamos os conteúdos da disciplina 
de Álgebra Linear que estão de acordo com a ementa do 
projeto pedagógico do seu curso.
Este livro é uma continuação dos conceitos vistos em 
geometria analítica. No decorrer de cada unidade você 
terá contato com aspectos históricos da álgebra linear, bem 
como o uso de recursos tecnológicos.
No desenvolvimento dos assuntos estudados, procuramos 
em cada tópico e em cada exemplo o detalhamento 
completo, passo a passo, mostrando sempre as proprie-
dades e conceitos utilizados, sendo que as tabelas e 
ilustrações sem indicação de fonte foram elaboradas pelos 
autores. Pensamos que assim o aluno consegue seguir 
uma leitura independente, intercalando com a exposição 
dos exemplos e realizando os exercícios expostos nas 
atividades de autoavaliação. Você notará que a unidade 
inicial trata de um assunto já iniciado na disciplina de 
Geometria Analítica, os sistemas lineares, que somente 
agora terão seu complemento. As unidades 2, 3 e 4 são 
assuntos novos, mas para você obter êxito nelas, depende 
da Unidade 1, pois a ferramenta básica para o estudo são 
os sistemas lineares.
Lembre-se: tenha sempre uma caneta e um papel na mão; 
não podemos ler um livro de matemática, principalmente 
de Álgebra Linear, como se fosse uma revista. É necessário 
para um bom entendimento que você mesmo reescreva as 
definições e propriedades com suas palavras e refaça os 
exemplos sempre que necessário– às vezes uma represen-
tação gráfica ajuda, ou mesmo a tecnologia. Não deixe de 
Universidade do Sul de Santa Catarina
10
realizar todos os exercícios propostos nas atividades de autoa-
valiação, assim temos certeza de que você concluirá a disciplina 
com sucesso.
Nós, autores e professores, estamos à disposição para atendê-lo 
da melhor maneira possível, por isso não deixe de interagir 
através das ferramentas disponíveis no ambiente virtual. 
Socialize seu conhecimento com seu professor e com seus 
colegas e façamos assim uma grande rede de aprendizagem e 
troca de informações. O sucesso só aparece depois do trabalho.
Então mãos à obra e bons estudos.
Profº Christian Wagner, Msc Profª Kelen R.S. Silva, Msc
Plano de estudo
O plano de estudos visa a orientá-lo(a) no desenvolvi-
mento da disciplina. Possui elementos que o(a) ajudarão 
a conhecer o contexto da disciplina e a organizar o seu 
tempo de estudos.
O processo de ensino e aprendizagem na UnisulVirtual 
leva em conta instrumentos que se articulam e se comple-
mentam, portanto a construção de competências se 
dá sobre a articulação de metodologias e por meio das 
diversas formas de ação/mediação.
São elementos desse processo:
 ƒ o livro didático;
 ƒ o Espaço UnisulVirtual de Aprendizagem (EVA);
 ƒ as atividades de avaliação (a distância, presenciais 
e de autoavaliação);
 ƒ o Sistema Tutorial.
Ementa da disciplina:
Sistemas de equações lineares. Operações elementares 
sobre linhas de uma matriz. Forma escalonada. Processo 
de eliminação de Gauss-Jordan. Cofatores e aplicações. 
Espaços vetoriais e subespaços vetoriais. Dependência 
e independência linear. Base. Transformações lineares. 
Autovalores e autovetores.
Universidade do Sul de Santa Catarina
12
Objetivos:
Geral
Proporcionar ao aluno o aprimoramento do conhecimento 
básico de matemática fundamental, para a compreensão 
das disciplinas superiores, visando ao desenvolvimento do 
raciocínio matemático.
Específicos
 ƒ Apresentar novas metodologias para resolução de 
sistemas de equações lineares.
 ƒ Despertar uma visão abstrata através dos conceitos de 
espaços vetoriais, subespaços e base de dimensão.
 ƒ Ampliar a noção de funções lineares (ou aplicações 
lineares), onde o domínio e o contradomínio são 
espaços vetoriais reais.
 ƒ Apresentar a definição de valores próprios e vetores 
próprios, bem como sua utilização na diagonalização 
de matrizes.
 ƒ Apresentar softwares que ajudem na resolução de 
problemas relacionados à álgebra linear.
Carga horária:
60 horas – 4 créditos
Conteúdo programático/objetivos
Veja, a seguir, as unidades que compõem o livro didático desta 
disciplina e os seus respectivos objetivos. Estes se referem aos 
resultados que você deverá alcançar ao final de uma etapa 
de estudo. Os objetivos de cada unidade definem o conjunto 
de conhecimentos que você deverá possuir para o desen-
volvimento de habilidades e competências necessárias à sua 
formação.
Álgebra
13
Unidades de estudo: 4
Unidade 1 – Sistemas de equações lineares
Sistemas de Equações lineares aparecem em áreas como 
economia, engenharias, física, química, bem como em áreas 
não tão ligadas à matemática, como administração, sociologia, 
ecologia etc. Com isso, estudar métodos para resolução de 
sistemas de equações lineares, além de ser fundamental para a 
compreensão dos conceitos estudados nas próximas unidades, 
auxilia a resolução de inúmeros problemas de aplicação 
científica.
Unidade 2 – Espaço vetorial
Nesta unidade será estudado o conceito de espaços vetoriais: 
conjuntos que satisfazem propriedades idênticas às dos vetores. 
Dentro destes conjuntos serão apresentados ainda os conceitos 
de subespaços vetoriais, bem como as definições de combinação 
linear, conjuntos linearmente dependentes e independentes, 
base e dimensão. Todos estes aspectos são importantes para o 
entendimento das unidades posteriores.
Unidade 3 – Transformações lineares
Transformações Lineares são aplicações especiais que envolvem 
espaços vetoriais e representam um papel importante na 
matemática, pois relacionam conjuntos que aparentemente são 
distintos, mas apresentam “estruturas” idênticas. São aplicadas 
em diversas áreas como ótica e computação gráfica.
Unidade 4 – Autovalores e autovetores
Quando uma transformação linear leva um vetor em um 
múltiplo deste vetor, isto é, T(v) = λ , então o vetor v é chamado 
de autovetor e o número λ é chamado de autovalor. Esta unidade, 
então, trata especificamente das transformações lineares T : V → V 
que tem esta propriedade e de como encontrar seus autovetores e 
autovalores.
Universidade do Sul de Santa Catarina
14
Agenda de atividades/Cronograma
 ƒ Verifique com atenção o EVA, organize-se para acessar 
periodicamente o espaço da disciplina. O sucesso nos 
seus estudos depende da priorização do tempo para a 
leitura; da realização de análises e sínteses do conteúdo; 
e da interação com os seus colegas e professor.
 ƒ Não perca os prazos das atividades. Registre no espaço 
a seguir as datas, com base no cronograma da disciplina 
disponibilizado no EVA.
 ƒ Use o quadro para agendar e programar as atividades 
relativas ao desenvolvimento da disciplina.
Atividades obrigatórias
Demais atividades (registro pessoal)
1UNIDADE 1Sistemas de equações lineares
Objetivos de aprendizagem
 ƒ Definir equações lineares, solução de equações lineares, sistemas de 
equações lineares e solução de um sistema de equações lineares.
 ƒ Associar sistemas a matrizes.
 ƒ Realizar operações elementares com linhas de matrizes associadas 
a sistemas, a fim de obter sistemas equivalentes.
 ƒ Transformar uma matriz relacionada a um sistema em uma matriz 
na forma escalonada.
 ƒ Aplicar o método de eliminação de Gauss e o método de Gauss-
-Jordan para resolver sistemas lineares.
 ƒ Calcular inversa de matriz para resolver sistemas lineares.
Seções de estudo
Seção 1 Equações lineares
Seção 2 Sistemas de equações lineares
Seção 3 Sistemas equivalentes
Seção 4 Resolução de sistemas de equações lineares
Seção 5 Matriz inversa e sistemas lineares
Universidade do Sul de Santa Catarina
16
Para início de estudo
O estudo de sistemas de equações lineares é de extrema 
importância. Por serem capazes de representar modelos 
complexos de sistemas reais, aparecem nas mais variadas 
aplicações. Dentre elas, áreas como: administração, economia, 
sociologia, ecologia, demografia, genética, eletrônica, 
engenharias e física. 
Nesta unidade, iremos estudar os principais métodos analíticos 
para resolução de sistemas de equações lineares. Métodos 
clássicos, cujos algoritmos são utilizados para determinar a 
solução de sistemas, caso esta exista, além de permitir a análise 
dos sistemas tanto analiticamente quanto por meio de softwares 
que os implementam.
Veremos, também, que essa análise geralmente é realizada 
utilizando matrizes associadas ao sistema. Com isso, iremos 
também aprofundar o estudo das matrizes.
Bom estudo!
Seção 1 – Equações lineares
Inicialmente, vamos retomar a definição de equação linear e 
solução de equação linear.
Uma equação linear é uma equação que pode ser colocada na 
forma padrão:
a1x1 + a2x2 + a2x2 + … + anxn = b
Em que:
x1, x2, x3, … , xn são as incógnitas ou variáveis;
a1, a2, a3, … , an são números reais chamados coeficientes; e
b é um número real chamado termo independente.
Álgebra Linear
17Unidade 1
Exemplos:
1.1. A equação 2x + y = 2 é uma equação linear com duas 
variáveis (x e y).
1.2. A equação x2 – 5x + 6 = 0 não é uma equação linear, pois não 
pode ser escrita na forma padrão, já que apresenta o termo x2.
1.3. A equação x + xy – 7 = 0 também não é uma equação linear, 
pois apresenta o termo xy, o que impede a colocação naforma 
padrão.
Uma solução de uma equação linear, com n incógnitas, 
é um conjunto de valores das incógnitas que satisfazem 
a equação. Estes valores são denominados raízes da 
equação linear e podem ser representados por uma 
n-upla ordenada de números reais (k1, k2, k3, …, kn) que 
verifica a igualdade de
a1x1 + a2x2 + a3x3 + … + anxn = b, ou seja,
a1k1 + a2k2 + a3k3 + … + ankn = b
Exemplos:
1.4 A equação 2x + y = 2 tem uma solução dada pelo par 
ordenado (0, 2), pois 2(0) + 2 = 2 , mas o par (1, 3) não é solução 
da equação, pois 2(1) + 3 = 5 ≠ 2.
1.5 A equação x + 2y – 4z + t = 3 tem uma solução (3, 2 ,1, 0), mas 
(1, 2, 4, 5) não é solução da equação linear.
Como encontrar soluções de uma equação linear?
Universidade do Sul de Santa Catarina
18
 ƒ Uma equação linear ax = b, com uma incógnita x e coefi-
cientes a e b ∈ IR, pode apresentar como solução uma das três 
possibilidades:
I. Se a ≠ 0, a equação possui solução única x = b
a
;
II. Se a = 0, mas b ≠ 0, a equação não tem solução;
III. Se a = 0 e b = 0, a equação apresenta infinitas soluções.
 ƒ Uma solução de uma equação linear na forma
a1x1 + a2x2 + a2x2 + … + anxn = b,
com n incógnitas, coeficientes ai, i = 1, …, n, não todos nulos 
e b um número real, pode ser obtida isolando uma das 
incógnitas (com coeficiente diferente de zero) e substituindo 
quaisquer valores para as demais incógnitas, agora chamadas de 
variáveis livres.
 ƒ Uma equação linear, com n incógnitas, na forma
0x1 + 0x2 + 0x2 + … + 0xn = b,
é chamada de equação degenerada.
Teorema 1.1: uma equação degenerada 0x1 + 0x2 + 0x2 + … + 0xn = b, 
com n incógnitas e b um número real:
I. Não tem solução, se b ≠ 0;
II. Tem infinitas soluções, se b = 0.
Demonstração
Dada a equação degenerada 0x1 + 0x2 + 0x2 + … + 0xn = b, e 
s = (k1, k2, k3, …, kn) uma n-upla ordenada qualquer de números 
reais.
I. Se b ≠ 0, suponha que s é solução da equação, ou seja:
0k1 + 0k2 + 0k2 + … + 0kn = b
0 + 0 + 0 + … + 0 = b
0 = b, que é um absurdo, já que, por hipótese, b ≠ 0.
Álgebra Linear
19Unidade 1
Logo, nenhuma n-upla ordenada é solução da equação 
anterior.
II. Se b = 0, suponha novamente que s é solução da 
equação:
0k1 + 0k2 + 0k2 + … + 0kn = 0
0 + 0 + 0 + … + 0 = 0
0 = 0, ou seja,
qualquer n-upla ordenada é solução da equação.
Logo, a equação possui infinitas soluções.
Exemplos
1.6. A equação 3x + 1 = x + 7 tem uma solução:
3x – x = 7 – 1
2x = 6
x = 3
(Somente esse valor de x satisfaz a equação).
1.7. A equação x + 2 = x + 5 não tem solução, pois:
x – x = 5 – 2
0x = 3
(Observe que não existe x tal que a igualdade seja verdadeira).
1.8. A equação 2x + 4 = 2x + 4 tem infinitas soluções, pois:
2x – 2x = 4 – 4
0x = 0
(Observe que para qualquer valor de x, a igualdade é satisfeita).
1.9. A equação 2x – 3y + z = 5 tem infinitas soluções, pois, se 
isolarmos uma das incógnitas, obtemos duas variáveis livres 
que podem assumir quaisquer valores.
z = 5 – 2x + 3y 
Universidade do Sul de Santa Catarina
20
Por exemplo:
 ƒ Fazendo x = 1 e y = 1, temos como solução a tripla 
ordenada (1, 1, 6).
 ƒ Fazendo x = 0 e y = 3, temos como solução a tripla 
ordenada (0, 3, 14).
1.10. A equação 2x – y + 2z + 4 = 3 + 2x – y + 2z + 1 tem infinitas 
soluções, pois:
2x – y + 2z – 2x + y – 2z = 3 + 1 – 4
0x + 0y + 0z = 0
Agora é a sua vez!
Faça os exercícios 1, 2 e 3 das atividades de autoavaliação.
Seção 2 – Sistemas de equações lineares
Muitas técnicas para resolver sistemas de equações lineares 
têm sido aplicadas e atualizadas ao longo dos anos. Tais atua-
lizações se devem ao avanço da informática, que, através de 
diversos softwares, é capaz de realizar um grande número de 
operações algébricas com enorme rapidez.
Esses softwares trabalham com a representação matricial do 
sistema. Nesta unidade, vamos mostrar a relação entre sistemas 
e matrizes.
Um sistema de m equações lineares e n incógnitas é um conjunto 
finito de equações lineares representado na forma padrão:
 + + + =
 + + + =


 + + + =




11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
n n
n n
m m mn n m
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
Álgebra Linear
21Unidade 1
Em que:
x1, x2, x3, ... , xn são incógnitas ou variáveis; 
aij com i ∈ {1, 2, ... , m} e j ∈ {1, 2, ..., n} são os coeficientes das 
incógnitas; e
b1 , b2 , b3 , ... , bm são os termos independentes.
Se você observar bem, verá que podemos representar o sistema 
acima por meio de matrizes. Ou seja:
1 111 12 1
21 22 2 2 2
1 2
n
n
m m mn n n
x ba a a
a a a x b
a a a x b
    
    
     ⋅ =
    
    
          


    

Essas matrizes recebem nomes especiais:
1. Matriz de coeficientes: matriz 
formada pelos coeficientes das 
incógnitas;
11 12 1
21 22 2
1 2
n
n
m m mn
a a a
a a a
a a a
 
 
 
 
 
  


  

2. Matriz (vetor) das incógnitas: matriz 
coluna formada pelas incógnitas do 
sistema;
1
2
n
x
x
x
 
 
 
 
 
  

3. Matriz (vetor) dos termos indepen-
dentes: matriz coluna formada pelos 
termos independentes do sistema;
1
2
n
b
b
b
 
 
 
 
 
  

4. Matriz aumentada: formada pelos 
coeficientes das incógnitas e pelos 
termos independentes.
11 12 1 1
21 22 2 2
1 2
n
n
m m mn n
a a a b
a a a b
a a a b
 
 
 
 
 
  


   

Universidade do Sul de Santa Catarina
22
Se chamarmos:
A = Matriz dos coeficientes;
X = Vetor das incógnitas;
B = Vetor de termos independentes.
Um sistema de equações lineares pode ser representado na 
notação matricial AX = B.
Quando todos os elementos do vetor de termos indepen-
dentes do sistema linear forem iguais a zero, o sistema é 
dito homogêneo.
Exemplos
1.11. Dado o sistema:
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 4 6 10
4 2 2 16
2 8 4 24
x x x
x x x
x x x
 + − =
 + + =
 + − =
Temos:
2 4 6
4 2 2
2 8 4
 − 
 
 
 − 
1
2
3
x
x
x
 
 
 
  
10
16
24
 
 
 
  
2 4 6 10
4 2 2 16
2 8 4 24
 − 
 
 
 − 
Matriz de 
coeficientes
Matriz (vetor) 
das incógnitas
Matriz (vetor) 
dos termos 
independentes
Matriz 
aumentada
Representação matricial:
1
2
3
2 4 6 10
4 2 2 16
2 8 4 24
x
x
x
 −     
     ⋅ =     
     −     
Álgebra Linear
23Unidade 1
1.12. Um sistema e sua representação matricial:
1 2 3 4
3 4
4 3 2 5
4 2
x x x x
x x
 + − + =

− = 
1
2
3
4
1 4 3 2 5
0 0 1 4 2
x
x
x
x
 
  −    ⋅ =    −    
  
1.13. Um sistema homogêneo e sua representação matricial:
1 2
1 2
3 2 0
6 4 0
x x
x x
 − =

− = 
1
2
3 2 0
6 4 0
x
x
  −   
⋅ =    −    
Solução de um sistema de equações lineares são valores das 
incógnitas ou variáveis que satisfazem simultaneamente todas 
as equações do sistema, ou seja, dado um sistema, com m 
equações lineares e n incógnitas, representado na forma padrão, 
a n-upla ordenada (k1, k2, …, kn) é solução se:
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
...
...
...
n n
n n
m m mn n m
a k a k a k b
a k a k a k b
a k a k a k b
 + + + =
 + + + =


 + + + =

Ou ainda, se chamarmos essa n-upla de vetor solução e a repre-
sentarmos como uma matriz coluna, ao substituirmos o vetor 
de incógnitas pelo vetor solução, teremos que o produto da 
matriz dos coeficientes pelo vetor solução é igual ao vetor de 
termos independentes, isto é:1 111 12 1
21 22 2 2 2
1 2
n
n
m m mn n n
k ba a a
a a a k b
a a a k b
    
    
     ⋅ =
    
    
          


    

Os valores da n-upla também podem ser chamados de raízes do 
sistema de equações lineares.
Universidade do Sul de Santa Catarina
24
Todo sistema linear homogêneo tem pelo menos uma 
solução denominada solução trivial. Assim, um sistema 
homogêneo com m equações lineares e n incógnitas tem, 
no mínimo, como solução a n-upla (0, 0, …,0).
Exemplos
1.14. Dado o sistema:
2 5
S1 :
2
x y
x y
 + =

− = −
Observe que a primeira equação do sistema S1 possui, entre 
suas soluções, os pares ordenados:
(–1, 7), (0, 5), (1, 3);
A segunda equação tem, entre as suas soluções:
(5, 7), (2, 4), (1, 3).
Note que o par (1, 3) satisfaz as duas equações do sistema, então 
ele é uma solução do sistema S1.
1.15. A tripla ordenada (–2, –1, 4) é solução do sistema:
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 7
S2 : 3 3 5
1
x x x
x x x
x x x
 − + =
 + + =
 + + =
pois satisfaz as três equações.
Na forma matricial:
1 1 2 2 1 ( 2) ( 1) ( 1) 2 4 7
3 1 3 1 3 ( 2) 1 ( 1) 3 4 5
1 1 1 4 1 ( 2) 1 ( 1) 1 4 1
 −  −   ⋅ − + − ⋅ − + ⋅   
       ⋅ − = ⋅ − + ⋅ − + ⋅ =       
       ⋅ − + ⋅ − + ⋅       
Álgebra Linear
25Unidade 1
1.16. Uma solução do sistema
1 2 3
1 2 3
1 2 3
4 3 0
4 2 0
3 0
x x x
x x x
x x x
 − − =
 − + =
 + − =
é a solução trivial
x1 = 0, x2 = 0 e x3 = 0.
Lembre-se de que um sistema de equações lineares pode 
ser:
I. sistema possível ou compatível e determinado: 
admite-se solução única;
II. sistema possível ou compatível e indeterminado: 
admitem-se infinitas soluções;
III. sistema impossível ou incompatível: se não tem 
solução.
Observação 1.1: um sistema homogêneo é sempre possível, pois 
admite pelo menos a solução trivial.
Mas como encontrar soluções de um sistema de equações 
lineares?
Você já estudou a resolução de sistemas de equações lineares 
pela Regra de Cramer e também a interpretação gráfica da 
solução de sistemas lineares. Vamos agora analisar novas 
situações e conhecer outros métodos de resolução de sistemas.
Universidade do Sul de Santa Catarina
26
Um sistema de equações lineares está na forma escalonada se 
apresenta a seguinte forma:
2 2 2 1 2 1
1 1
11 1 1 2 2 1 3 3 1 4 4 1 1
2 2 2 2
...
...
r r r r
n n
j j j j n n
rj j rj j rn n r
a x a x a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
+ +
+ +
 + + + + + =

+ + + =


 + + + =


Em que:
1 < j2 < … < jr
a11 ≠ 0, a2j2 ≠ 0, …, arj ≠ 0, com r ≤ n
Teorema 1.2: se um sistema na forma escalonada apresentar a 
equação degenerada 0x1 + 0x2 + 0x2 + … + 0xn = b, então:
I. Se b = 0, essa equação pode ser omitida do sistema sem 
modificar o conjunto solução;
II. Se b ≠ 0, o sistema não tem solução.
Se o sistema tiver o número de equações igual ao número de 
variáveis, a forma escalonada tem um nome especial:
Um sistema de equações lineares está na forma triangular se o 
número de equações é igual ao número de incógnitas e se tem a 
seguinte forma:
11 1 12 2 1 1
22 2 2 2
...
...
n n
n n
mn n m
a x a x a x b
a x a x b
a x b
 + + + =
 + + =


 =

Em que: aij ≠ 0, ∀ i = j
Você pode observar que a matriz dos coeficientes é uma matriz 
triangular superior.
Álgebra Linear
27Unidade 1
Teorema 1.3: um sistema na forma escalonada pode apresentar:
I. solução única se o número de variáveis for igual ao 
número de equações;
II. infinitas soluções se o número de equações for menor 
que o número de variáveis. Nesse caso, teremos 
variáveis livres.
Para encontrar a solução de um sistema nessa forma escalonada, 
seguimos um processo chamado de retro-substituição, que 
consiste em partir da última equação para determinar a n-ésima 
incógnita e substituir na (n–1)-ésima equação e assim sucessiva-
mente até obter a solução do sistema. 
Exemplos
1.17. Para encontrar a solução do sistema na forma triangular
2 4 11
5 2
3 9
x y z
y z
z
 + − =
 + =
 = −
começamos com 3z = – 9 ⇒ z = –3, substituindo o valor de z na 
segunda equação:
5y + (–3) = 2 ⇒ 5y = 5 ⇒ y = 1,
substituindo z e y na primeira equação:
2x + 4·1 – (–3) = 11 ⇒ 2x = 4 ⇒ x = 2,
solução do sistema (2, 1, –3).
1.18. O sistema na forma escalonada
1 2 3 4
3 4
4 3 2 5
4 2
x x x x
x x
 + − + =

− =
admite infinitas soluções, pois podemos representar as 
variáveis como:
x3 = 2 + 4x4 e x1 = 5 – 4x2 + 3x3 – 2x4 
Universidade do Sul de Santa Catarina
28
Substituindo x3 em x1:
x1 = 5 – 4x2 + 3(2 + 4x4) – 2x4 = 11 – 4x2 + 10x4 
Nesse caso, temos x3 em função de x4 e x1 em função de x2 e 
x4, ou seja, as variáveis x2 e x4 são variáveis livres que podem 
assumir valores arbitrários, obtendo assim infinitas soluções 
para o sistema.
E quando o sistema não estiver na forma escalonada?
Agora é a sua vez!
Resolva os exercícios de autoavaliação de 4 a 6.
Seção 3 – Sistemas equivalentes
Apesar de encontrarmos softwares que resolvem sistemas de 
equações lineares, nosso interesse está em estudar esses sistemas 
e até conhecer os métodos utilizados por esses softwares. Para 
isso, precisamos de algumas definições importantes.
Dois sistemas de equações lineares são ditos equi-
valentes quando as equações envolvem as mesmas 
variáveis e admitem a mesma solução, ou seja, toda 
solução do primeiro é também solução do segundo e 
vice-versa.
Álgebra Linear
29Unidade 1
Exemplos
1.19. Os sistemas S1 e S2 abaixo são equivalentes, já que 
possuem a mesma solução (10, 2)
1 2 1 2
1 2 1 2
3 6 42 2 14
S1 e S2
2 4 12 2 6
x x x x
x x x x
 + =  + =
= = 
− = − = 
Pois:
3 10 6 2 30 12 42 10 2 2 10 4 14
S1 e S2
2 10 4 2 20 8 12 10 2 2 10 4 6
 ⋅ + ⋅ = + =  + ⋅ = + =
= = 
⋅ − ⋅ = − = − ⋅ = − = 
1.20. Considere os sistemas abaixo:
1 2 3 1 2 3
2 1 2 3
3 1 2 3
3 2 0 3 2 0
S3 4 e S4 3 4
2 4 3 2 4
x x x x x x
x x x x
x x x x
 + − =  + − =
 = = = − − + = 
 = + + = 
Observe que S3 está na forma triangular, se partirmos da última 
equação teremos o valor da variável x3 = 2. Da segunda equação 
temos x2 = 4, substituindo na primeira equação, obtemos:
3x1 + 2·4 – 2 = 0
3x1 = –6 ⇒ x1 = –2, solução (–2, 4, 2)
Apesar do sistema S4 aparentar ser mais difícil de resolver, 
observe que, se somarmos a primeira equação com a segunda, 
obtemos:
3x1 + 2x2 – x3= 0
–3x1 – x2 + x3= 4
x2 = 4
Analogamente, subtraindo a terceira equação da primeira:
3x1 + 2x2 + x3= 0
–3x1 – 2x2 + x3= 4
x3= 4
Universidade do Sul de Santa Catarina
30
Então x3 = 2, substituindo o valor de x2 e x3 em qualquer uma 
das equações de S4, obtemos x1= –2.
Ou seja, os sistemas S3 e S4 são equivalentes.
Um sistema de m equações lineares Ei, i = 1, …, m se transforma 
em um sistema equivalente quando se efetuam as seguintes 
operações elementares:
I. Permutação de duas equações: Ei ↔ Ej, i = 1, …, m e 
j = 1, …, m;
II. Multiplicação de uma equação por um número real k 
diferente de zero: Ei = kEi, i = 1, …, m;
III. Substituição de uma equação por sua soma com outra 
previamente multiplicada por um número real k 
diferente de zero: Ei = Ei + kEj, i = 1, …, m e j = 1, …, m. 
Exemplos
1.21. Dado o sistema:
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 4 6 10
S 4 2 2 16
2 8 4 24
x x x
x x x
x x x
 + − =
= + + =
 + − =
cuja solução é (2, 3, 1).
Vamos realizar algumas operações elementares nesse sistema e 
observar que os sistemas obtidos a partir dessas operações são 
equivalentes entre si. Para isso, chamaremos asequações 1, 2 e 3 
de E1, E2 e E3 respectivamente.
I. Permutar a segunda equação pela terceira equação do 
sistema: (E2 ↔ E3)
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 4 6 10
S1 2 8 4 24
4 2 2 16
x x x
x x x
x x x
 + − =
= + − =
 + + =
Álgebra Linear
31Unidade 1
II. Multiplicar a primeira equação do sistema por ( 1
2
):
E1 = 
1
2
E1
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 3 5
S2 2 8 4 24
4 2 2 16
x x x
x x x
x x x
 + − =
= + − =
 + + =
III. Substituir a terceira equação pela soma dela com a 
primeira equação previamente multiplicada por (–4):
E3 = E3 + (–4)·E1
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 3 5
S3 2 8 4 24
0 6 14 4
x x x
x x x
x x x
 + − =
= + − =
 − + = −
Observe que a solução (2, 3, 1) é solução dos sistemas S, S1, S2 e 
S3, ou seja, os sistemas são equivalentes.
As operações que transformam um sistema em outro 
equivalente a ele são as três apresentadas.
Agora é a sua vez!
Resolva os exercícios 7 e 8 das atividades de 
autoavaliação.
Seção 4 – Resolução de sistemas de equações lineares
Nesta seção, você vai estudar alguns métodos clássicos 
utilizados para a resolução de sistemas de equações lineares. 
Todos eles consistem em transformar o sistema inicial em um 
sistema equivalente por meio de operações elementares. Para 
tanto, utilizam a forma matricial do sistema e trabalham as 
operações sobre as linhas dessa matriz em vez de trabalhar com 
equações. Assim, podemos reescrever as operações elementares:
Universidade do Sul de Santa Catarina
32
Operações elementares sobre as linhas de uma matriz
I. Permutação de duas linhas: Li ↔ Lj, i = 1, …, m e 
j = 1, …, m;
II. Multiplicação de uma linha por um número real k 
diferente de zero: Li = kLi, i = 1, …, m;
III. Substituição de uma linha por sua soma com outra 
previamente multiplicada por um número real k 
diferente de zero: Li = Li + kLj, i = 1, …, m e j = 1, …, m.
A matriz dos coeficientes do sistema na forma escalonada 
também se apresenta na forma escalonada.
Uma matriz A = (aij)m×n está na forma escalonada se:
1. Toda linha nula somente aparece abaixo de todas as 
linhas não nulas (ou seja, daquelas que possuem pelo 
menos um elemento não nulo – chamado pivô);
2. Cada pivô está à direita do elemento pivô da próxima 
linha. 
Observação 1.2: se uma matriz satisfaz as condições 1, 2 e além 
disso:
 ƒ todos os pivôs são iguais a 1;
 ƒ toda coluna que contém o pivô em alguma linha tem 
todos os seus outros elementos iguais a zero.
Dizemos que ela está na forma reduzida por linha.
Exemplos
1.22. São matrizes na forma escalonada reduzida por linha:
1 0 0
0 1 0
0 0 1
 
 
 
  
, 
0 1 3 0 0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1
 − 
 
 
  
 e 
1 0 0 0 1
0 1 0 0 0
0 0 1 0 4
0 0 0 1 2
 
 
 
 
 
  
Álgebra Linear
33Unidade 1
1.23. São matrizes na forma escalonada:
1 0
0 1
 
 
 
, 
1 2 0
0 1 1
0 0 1
 
 − 
  
, 
0 1 3 0 2
0 0 0 3 3
0 0 0 0 0
 − 
 
 
  
 e 
1 0 0 3 1
0 4 0 7 0
0 0 1 1 4
0 0 0 1 2
 
 − 
 −
 
  
Um pouco de história
Johann Carl Friedrich Gauss (1777-1855) nasceu na Alemanha e 
foi considerado por muitos como o maior gênio da história da 
Matemática. Menino prodígio aos sete anos, surpreendeu um 
professor ao calcular correta e rapidamente a soma de todos os 
números inteiros de 1 a 100, sem apresentar nenhum cálculo por 
escrito. (Veja no EVA qual o raciocínio utilizado por Gauss). Durante 
sua vida, dedicou se a diversas áreas da Matemática e da Física. 
Superou toda a matemática até então estudada ao propor rigor 
nas demonstrações e por conta disso, o estudo da Matemática e da 
Astronomia progrediram e estas se tornaram áreas caracterizadas 
pela precisão. Aos 24 anos, publicou sua obra-prima Disquisi-tiones 
Arithmeticae, na qual sintetizou o estudo da Teoria dos Números e por 
isso foi considerada por muitos como uma das maiores realizações 
matemáticas.
Fonte: Anton e Rorres (2001).
Método de eliminação de Gauss
O método utiliza operações elementares com as linhas da matriz 
dos coeficientes do sistema, a fim de transformá-la numa matriz 
escalonada e encontrar a solução do sistema através de retro-
-substituição das variáveis.
Dado um sistema linear na forma matricial AX = B, podemos 
descrever o método de eliminação de Gauss através das 
seguintes etapas:
Etapa 1: determinação da matriz aumentada do sistema [A|B];
Universidade do Sul de Santa Catarina
34
Etapa 2: transformação da matriz dos coeficientes A numa matriz 
escalonada, aplicando as operações elementares na matriz 
aumentada. Para isso, seguiremos as seguintes fases: 
 ƒ Fase 1: localizar a coluna mais à esquerda que não seja 
toda constituída de zeros, coluna r;
 ƒ Fase 2: permutar as linhas de maneira a obter um 
elemento não zero na primeira linha da coluna r, por 
exemplo, de modo que a1r ≠ 0. Chamá-lo de pivô e a 
linha 1 de linha pivô;
 ƒ Fase 3: utilizar o pivô para zerar todos os elementos 
abaixo dele, ou seja, para cada i > 1, determinar 
multiplicadores:
mir = 
1
ir
r
a
a
 para realizar as operações Li = Li + (–mir)L1
 ƒ Fase 4: repetir as fases 2 e 3 na submatriz formada por 
todas as linhas, exceto a primeira; 
 ƒ Fase 5: continuar o processo até que a matriz esteja na 
forma escalonada.
Etapa 3: resolver o novo sistema obtido na etapa 2 por 
retro-substituição.
Sem perda por generalidade, iremos apresentar esse método 
resolvendo exemplos.
Exemplos
1.24. Encontre a solução do sistema abaixo, utilizando 
eliminação de Gauss.
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 3 8
4 2 2 4
2 5 3 12
x x x
x x x
x x x
 + + =
 + + =
 + + = −
Álgebra Linear
35Unidade 1
Etapa 1: Escrever a matriz aumentada do sistema:
2 1 3 8
[A|B] 4 2 2 4
2 5 3 12
 
 =  
 − 
Etapa 2: transformar a matriz dos coeficientes em uma matriz na 
forma escalonada, através de operações com linhas na matriz 
aumentada:
 ƒ Fase 1: Identificar o elemento pivô (primeiro elemento 
diferente de zero da coluna 1); nesse exemplo, o elemento a11 = 2.
2 1 3 8
[A|B] 4 2 2 4
2 5 3 12
 
 =  
 − 
Pivô
Linha Pivô
Utilizar o pivô para zerar todos os elementos da primeira 
coluna abaixo dele.
Para isso, definimos os seguintes multiplicadores:
m21 = 21
11
a
a
 = 4
2
 = 2 e m31 = 31
11
a
a
 = 2
2
 = 1
E as operações:
L2 = L2 + (–m21)L1 e L3 = L3 + (–m31)L1 
L2 = L2 + (–2)L1 e L3 = L3 + (–1)L1
L2 : 4 2 2 4
(–2)L1 : –4 –2 –6 –16
L2 : 0 0 –4 –12
L3 : 2 5 3 –12
(–1)L1 : –2 –1 –3 –8
L2 : 0 4 0 –20
Que nos leva à seguinte matriz:
2 1 3 8
[A|B] 0 0 4 12
0 4 0 20
 
 = − − 
 − 
Universidade do Sul de Santa Catarina
36
 ƒ Fase 2: deixar de lado a primeira linha dessa nova matriz e 
recomeçar o processo aplicado na fase 1 à submatriz resultante. 
Observe que o próximo elemento não nulo da segunda coluna é 
o elemento a32.
Pivô
2 1 3 8
[A|B] 0 0 4 12
0 4 0 20
 
 = − − 
 − 
Nesse caso, a operação a ser realizada é: L2 ↔ L3, para levá-lo à 
diagonal principal.
2 1 3 8
[A|B] 0 4 0 20
0 0 4 12
 
 = − 
 − − 
Como o elemento abaixo do pivô a22 = 4 é zero, já temos a matriz 
dos coeficientes do sistema na forma escalonada.
Etapa 3: reescrevendo o sistema e utilizando a retrossubstituição, 
obtemos:
1 2 3
2
3
2 3 8
4 20
4 12
x x x
x
x
 + + =
 = −
 − = −
cuja solução é (2, –5, 3)
1.25. Resolva o sistema:
1 2 3 4 5
3 5
1 2 3 4 5
1 2 5 3 6 14
2 7 12
2 4 5 6 5 1
x x x x x
x x
x x x x x
 + − + + =
 − + =
 + − + − = −
Álgebra Linear
37Unidade 1
Etapa 1:
1 2 5 3 6 14
[A|B] 0 0 2 0 7 12
2 4 5 6 5 1 − 
 = − 
 − − − 
Etapa 2:
1 2 5 3 6 14
[A|B] 0 0 2 0 7 12
2 4 5 6 5 1
 − 
 = − 
 − − − 
Pivô
Linha Pivô
Devemos utilizar a linha 1 para zerar o elemento a31 = 1 através 
da seguinte operação:
L3 = L3 + (–2)L1
L3 : 2 4 –5 6 –5 –1
(–2)L1 : –2 –4 10 –6 –12 –28
L3 : 0 0 5 0 –17 –29
1 2 5 3 6 14
[A|B] 0 0 2 0 7 12
0 0 5 0 17 29
 − 
 = − 
 − − 
Observando a submatriz resultante, recomeçamos o processo 
determinando o próximo pivô:
1 2 5 3 6 14
[A|B] 0 0 2 0 7 12
0 0 5 0 17 29
 − 
 = − 
 − − 
Pivô
Linha Pivô
Universidade do Sul de Santa Catarina
38
A linha 2 é a linha pivô e o elemento a23 = –2, o elemento 
pivô, utilizado para zerar o elemento a33 com a operação:
L3 = L3 + (
5
2
)L2
L3 : 0 0 5 0 –17 –29
(5/2)L2 : 0 0 –5 0
35
2 30
L3 : 0 0 0 0
1
2 1
1 2 5 3 6 14
[A|B] 0 0 2 0 7 12
10 0 0 0 1
2
 
 −
 
= − 
 
 
 
Como a matriz já está na forma escalonada, podemos reescrever 
o sistema:
Etapa 3:
1 2 3 4 5
3 5
5
1 2 5 3 6 14
2 7 12
1 1
2
x x x x x
x x
x

 + − + + =

− + =

 = −

Utilizando a retrossubstituição: 5
1 2
1 2
x = = , 
–2x3 = 12 – 7·2 = –2 ⇒ x3 = 1
x1 = 14 – 2x2 + 5·1 – 3x4 – 6·2 ⇒ x1 = 7 – 2x2 – 3x4.
Observe que o sistema apresenta duas variáveis livres, logo, 
possui infinitas soluções.
Álgebra Linear
39Unidade 1
1.26. Resolva o sistema:
2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
0
6
2 4 2 1
4 3 3 6
x x x
x x x x
x x x x
x x x x
 − − + =
 + + + =

+ + − = −
 − − + =
Etapa 1:
0 1 1 1 0
1 1 1 1 6
[A|B]
2 4 1 2 1
4 1 3 3 6
 − − 
 
 =
 − −
 
− −  
Etapa 2:
Como o elemento a11, que seria o pivô, é igual a zero, temos que 
procurar outro elemento na primeira coluna e permutar linhas. 
De preferência, escolha o número 1 para pivô, assim os multipli-
cadores ficam mais simples. Veja que o elemento a21 é igual a 1, 
assim podemos realizar a seguinte permutação:
L1 ↔ L2
Pivô
Linha Pivô1 1 1 1 6
0 1 1 1 0
[A|B]
2 4 1 2 1
4 1 3 3 6
 
 − − =
 − −
 
− −  
Devemos utilizar a linha 1 para zerar os elementos a31 e a41 com 
as seguintes operações:
L3 = L3 + (–2)L1 e L4 = L4 + (–4)L1
1 1 1 1 6
0 1 1 1 0
[A|B]
0 2 1 4 13
0 5 7 1 18
 
 − − =
 − − −
 
− − − −  
Universidade do Sul de Santa Catarina
40
Sob a submatriz resultante, recomeçamos o processo determi-
nando o próximo pivô:
1 1 1 1 6
0 1 1 1 0
[A|B]
0 2 1 4 13
0 5 7 1 18
 
 − − =
 − − −
 
− − − −  
Pivô
Linha Pivô
A linha 2 é a linha pivô e o elemento a22 = –1 é o elemento pivô, 
utilizado para zerar os elementos a32 e a42 através das seguintes 
operações:
L3 = L3 + (2)L2 e L4 = L4 + (–5)L2
1 1 1 1 6
0 1 1 1 0
[A|B]
0 0 3 2 13
0 0 2 6 18
 
 − − =
 − − −
 
− − −  
O pivô da próxima submatriz é o elemento a33 = –3:
1 1 1 1 6
0 1 1 1 0
[A|B]
0 0 3 2 13
0 0 2 6 18
 
 − − =
 − − −
 
− − −  
Pivô
Linha Pivô
Para zerar elementos a43, realizamos a operação:
L4 = L4 + (–
2
3
)L3
1 1 1 1 6
0 1 1 1 0
[A|B] 0 0 3 2 13
14 280 0 0
3 3
 
 − − 
=  − − −
 
 − −
  
Álgebra Linear
41Unidade 1
Reescrevendo o sistema:
Etapa 3:
1 2 3 4
2 3 4
3 4
4
6
0
3 2 13
14 28
3 3
x x x x
x x x
x x
x
 + + + =
 − − + =
 − − = −

 − = −

Utilizando retrossubstituição: x4 = 2, x3 = 3, x2 = –1 e x1 = – 4
1.27. Analise a solução do sistema abaixo, utilizando eliminação 
de Gauss.
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 3 0
2 4 2 2
3 6 4 3
x x x
x x x
x x x
 + − =
 + − =
 + − =
A partir desse exemplo, vamos representar o método 
juntamente com a sequência de operações:
2 2 1
3 3 1
3 3 2
1 2 3 0
L L ( 2)L
[A|B] 2 4 2 2
L L ( 3)L
3 6 4 3
1 2 3 0
50 0 4 2 L L ( )L
4
0 0 5 3
1 2 3 0
0 0 4 2
10 0 0
2
 − 
= + − = − →  = + −
 − 
 − 
  → = + − 
  
 − 
 
 
 
  
Universidade do Sul de Santa Catarina
42
Reescrevendo o sistema:
1 2 3
3
1 2 3
2 3 0
4 2
10 0 0
2
x x x
x
x x x
 + − =
 =

 + + =
Observe que a última equação é uma equação degenerada com 
b ≠ 0. Neste caso, o sistema não possui solução.
1.28. Resolva o sistema:
1 2 3
1 2 3
2 3
1 2 3
2 5 3 1
3 2
11 5 3
4 5
x x x
x x x
x x
x x x
 − + =
 + − =

− =
 + + =
2 2 1
4 4 1
3 3 2
4 4 2
2 5 3 1
11 3 1 2 L L ( )L[A|B] 20 11 5 3 L L ( 2)L
4 1 1 5
2 5 3 1
11 5 3 L L ( 2)L0
2 2 2 L L ( 2)L0 11 5 3
0 11 5 3
2 5 3 1
11 5 30
2 2 2
0 0 0 0
0 0 0 0
 − 
 − = + − = →
 − = + − 
  
 − 
 
  = + −−
→ 
= + − −
 
−  
 − 
 
 −
 
 
 
  
Como a matriz na forma escalonada apresenta duas equações 
degeneradas com b = 0, elas podem ser eliminadas do sistema 
sem alterar a solução. A linha 2 pode ser multiplicada por 2, 
para simplificar as frações.
Álgebra Linear
43Unidade 1
Portanto, temos o seguinte sistema:
1 2 3
2 3
2 5 3 1
11 5 3
x x x
x x
 − + =

− =
que admite infinitas soluções, já que apresenta uma variável 
livre.
1.29. Utilize o método de eliminação de Gauss para determinar 
os valores de k, para que o sistema
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1
2 3 3
3 2
x x x
x x kx
x kx x
 + − =
 + + =
 + + =
seja:
a) possível e determinado;
b) possível e indeterminado;
c) impossível.
Escrevendo a matriz aumentada e realizando as operações 
descritas:
2 2 1
3 3 1
3 3 2
2
1 1 1 1
L L ( 2)L
[A|B] 2 3 3
L L ( 1)L
1 3 2
1 1 1 1
0 1 (2 ) 1 L L ( 1)L
0 ( 1) 4 1
1 1 1 1
0 1 (2 ) 1
ŶŶŶŶŶŶ
1 1 1 1
0 1 (2 ) 1
0 0 ( 6) ( 2)
k
k
k k
k
k
k k k
k
k k k
 − 
= + − = →  = + −
  
 − 
 + → = + − + 
 − 
 − 
 + = 
 − + + + − + + 
 − 
 + 
 − − + − + 
Universidade do Sul de Santa Catarina
44
Reescrevendo o sistema:
1 2 3
2 3
2
3
1
(2 ) 1
( 6) ( 2)
x x x
x k x
k k x k
 + − =

+ + =
 − − + = − +
Da última equação: (k + 3)(k – 2)x3 = (–k + 2) temos:
a) O sistema é possível e determinado se 
–(k +3)(k – 2) ≠ 0, ou seja, k ≠ –3 e k ≠ 2.
b) O sistema é possível e indeterminado se 
–(k +3)(k – 2) = 0, e (–k + 2) = 0, ou seja, se (k = –3 ou k = 2) 
e k = 2, concluindo: se k = 2.
c) O sistema é impossível se –(k +3)(k – 2) = 0 e (–k + 2) ≠ 0, 
ou seja, (k = –3 ou k = 2) e k ≠ 2. Concluindo: se k = –3.
Observação 1.3: quando transformamos uma matriz dos coefi-
cientes de um sistema na forma escalonada reduzida por 
linha, estamos aplicando o método chamado eliminação de 
Gauss-Jordan.
Um pouco de história
Wilhem Jordan (1842-1899) nasceu na Alemanha e, em 1888, publicou 
o livro Handbuch der Vermessungskunde, sua contribuição à resolução 
de sistemas lineares. Foi engenheiro e se especializou em Geodésia.
Fonte: Anton e Rorres (2001)
Exemplos
1.30. Encontre a solução do sistema, pelo método de 
Gauss-Jordan.
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 3 8
4 2 2 4
2 5 3 12
x x x
x x x
x x x
 + + =
 + + =
 + + = −
Álgebra Linear
45Unidade 1
Como já aplicamos o método de eliminação de Gauss nesse 
exemplo, veja exemplo 1.24, precisamos apenas continuar o 
processo para transformar a matriz escalonada em uma matriz 
escalonada reduzida por linha.
2 1 3 8
[A|B] 0 4 0 20
0 0 4 12
 
 = − 
 − − 
Para que essa matriz esteja na forma desejada:
1. Todos os pivôs devem ser iguais a 1.
Assim, realizamos as seguintes operações:
L1 = (
1
2
)L1, L2 = (1
4
)L2 e L3 = (–
1
4
)L3 
311 42 2
0 1 0 5
0 0 1 3
 
 
 −
 
  
2. Toda coluna que contém o pivô em alguma linha tem todos 
os seus outros elementos iguais a zero. Para isso, aplicamos as 
operações:
L1 = L1 + (
1
2
)L2
3 131 0 2 2
0 1 0 5
0 0 1 3
 
 
 −
 
  
L1 = L1 + (–
3
2
)L3
1 0 0 2
0 1 0 5
0 0 1 3
 
 − 
  
Universidade do Sul de Santa Catarina
46
Observe que, por esse método, a solução do sistema está pronta 
no vetor de termos independentes. Portanto, ao reescrever 
o sistema, não precisamos utilizar retrossubstituição para 
encontrá-la.
1
2
3
2
5
3
x
x
x
 =
 = −
 =
Métodos de eliminação de Gauss e Gauss-Jordan para resolver 
sistemas homogêneos
Podemos aplicar os métodos de eliminação de Gauss e Gauss-
Jordan para resolver sistemas lineares homogêneos. Mas, nesse 
caso, nenhuma das operações elementares sobre as linhas altera 
a coluna dos termos independentes, já que é formada de zeros. 
Consequentemente, o sistema de equações correspondente à 
forma escalonada da matriz aumentada também deve ser um 
sistema homogêneo. 
Com isso, a forma escalonada da matriz dos coeficientes de um 
sistema homogêneo garante que:
I. se o número de linhas não nulas for igual ao número de 
variáveis, o sistema tem apenas a solução trivial;
II. se o número de linhas não nulas for menor que o 
número de variáveis, o sistema tem outras soluções 
além da trivial.
Teorema 1.4: um sistema de equações lineares homogêneo com 
mais variáveis que equações tem infinitas soluções, já que terá 
variáveis livres. 
Quando o sistema homogêneo tiver o número de equações 
iguais ao número de variáveis, uma ferramenta que pode ser 
utilizada na análise da sua solução é o determinante da matriz 
dos coeficientes.
Álgebra Linear
47Unidade 1
 ƒ Se det A ≠ 0, então o sistema é compatível e 
determinado (só admite a solução trivial);
 ƒ Se det A = 0, então o sistema é compatível e indetermi-
nado (admite a solução trivial e outras próprias).
(Em que: det A é o determinante da matriz dos coeficientes do 
sistema).
Exemplos:
Analise a solução dos seguintes sistemas homogêneos:
1.31. 
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
2 3 0
3 2 0
2 2 5 0
x x x x
x x x x
x x x x
 + − + =
 − + − =
 − − + =
Como o número de variáveis é maior que o número de 
equações, concluímos que o sistema apresenta outras soluções 
além da solução trivial (x1 = 0, x2 = 0, x3 = 0).
1.32. 
1 2 3
1 2 3
1 2 3
0
2 4 0
3 2 2 0
x x x
x x x
x x x
 + − =
 + − =
 + + =
Como o número de equações é igual ao número de variáveis, 
podemos analisar a solução do sistema de duas formas:
I. Encontrar a matriz dos coeficientes escalonada:
2 2 1
3 3 1
3 3 2
1 1 1
L L ( 2)L
2 4 1
L L ( 3)L
3 2 2
1 1 1
10 2 1 L L ( )L
2
0 1 5
1 1 1
0 2 1
110 0 2
− 
= + − − →  = + −
  
− 
  → = + 
 − 
− 
 
 
 
 
Universidade do Sul de Santa Catarina
48
como o número de linhas não nulas é igual ao número de 
variáveis, o sistema possui apenas a solução trivial. 
Veja que, se reescrevermos o sistema:
1 2 3
2 3
3
0
2 0
11 0
2
x x x
x x
x
 + − =
 + =

 =
teremos apenas a solução trivial (x1 = 0, x2 = 0, x3 = 0).
II. Utilizar o determinante da matriz dos coeficientes:
1 1 1
2 4 1
3 2 2
−
− = 1·4·2 + 1·(–1)·3 + (–1)·2·2 – 3·4·(–1) – 1·2·(–1) – 2·1·2
 = 8 – 3 – 4 + 12 + 2 – 4 = 11 ≠ 0
Segundo o teorema 1.4, o sistema apresenta apenas a solução 
trivial (x1 = 0, x2 = 0, x3 = 0).
1.33. 
1 2 3
1 2 3
1 2 3
0
2 3 0
4 2 0
x x x
x x x
x x x
 + − =
 − + =
 − + =
Também podemos analisar o sistema utilizando qualquer um 
dos dois métodos:
I. Encontrar a matriz escalonada da matriz dos coeficientes:
2 2 1
3 3 1
3 3 2
1 1 1
L L ( 2)L
2 3 1
L L ( 1)L
1 4 2
1 1 1 1 1 1
0 5 3 L L ( 1)L 0 5 3
0 5 3 0 0 0
 − 
= + − − →  = + −
 − 
 −   − 
   − → = + − → −   
   −   
Álgebra Linear
49Unidade 1
como a matriz dos coeficientes do sistema de 3 equações e 
3 variáveis na forma escalonada apresenta uma linha nula, 
concluímos que o sistema homogêneo apresenta solução não 
trivial.
Reescrevendo o sistema:
1 2 3
2 3
0
5 3 0
x x x
x x
 + − =

− + =
obtemos as soluções: x2 = 
2
5 x3, x1 = x3 – x2 = x3 – 
3
5 x3 = 
2
5 x3, dessa 
forma, x3 é variável livre, fazendo x3 = 0, encontramos a solução 
trivial: (x1 = 0, x2 = 0, x3 = 0). Mas como x3 pode assumir qualquer 
valor, o sistema possui infinitas soluções.
II. Utilizando o determinante da matriz dos coeficientes:
1 1 1
2 3 1
1 4 2
−
−
−
 = 1·(–3)·2 + 1·1·1 + (–1)·2·(–4) 
 – 1·(–3)·(–1) – (–4)·1·1 – 2·2·1
 = – 6 + 1 + 8 – 3 + 4 – 4 = 0
Portanto, o sistema homogêneo apresenta solução não trivial.
Matemática e informática
As aplicações de resolução de sistemas geralmente apresentam 
sistemas muito grandes. Para isso, são usados softwares que, na 
maioria das vezes, utilizam algoritmos baseados nos métodos de 
eliminação de Gauss ou de Gauss-Jordan.
Agora é a sua vez!
Resolva as atividades de autoavaliação de 9 a 12.
Universidade do Sul de Santa Catarina
50
Seção 5 – Matriz inversa e sistemas lineares
Nesta seção, você vai estudar mais um método utilizado para 
encontrar solução de sistemas lineares cujo número de variáveis 
é igual ao número de equações: o Método da Matriz Inversa.
Antes de falarmos sobre esse método, vamos rever um pouco 
a álgebra dos números reais. Dados dois números reais a e b, 
vimos que ab = ba, ou seja, o produto de números reais satisfaz 
a propriedade comutativa. Mas, para produto de matrizes, essa 
propriedade nem sempre é satisfeita.
Exemplos:
1.34. Dadas as matrizes:
(3 2)
1 3
A 2 4
5 2
×
 
 =  
  
(2 3)
1 3 0
B
2 1 2
×
− 
=  −  (2 2)
1 2
C
3 2
×
 
=  −  (2 2)
3 3
D
0 1
×
 − 
=  
 
Você pode ver que os produtos AB, AC, CB, CD, DC, AD, DA, 
DB e BA são possíveis, já os produtos BC, BD, DA e CA não são 
possíveis, por causa das ordens das matrizes.
Veja, também, que:
(3 3)
5 6 6
AB 6 10 8
1 17 4
×
 − 
 = − 
 − −  (3 2)
10 4
AC 14 4
11 6
×
 − 
 = − 
  
(2 3)
3 5 4
CB
7 7 4
×
 − 
=  − 
(2 2)
5 9
BA
6 6
×
 
=  − −  (2 2)
3 1
CD
9 11
×
 − 
=  −  (2 2)
6 0
DC
3 2
×
− 
=  − 
(2 3)
9 6 6
DB
2 1 2
×
− 
=  − 
Álgebra Linear
51Unidade 1
Conclusões:
1. O fato do produto AC ser possível não garante que o 
produto CA seja possível;
2. Apesar de os produtos AB e BA serem possíveis, as 
ordens das matrizes resultantes são diferentes.
3. Apesar dos produtos CD e DC serem possíveis e as 
matrizes resultantes apresentarem mesma ordem, isso 
não garante que esses produtos sejam iguais.
O exemplo acima ilustra o fato de que a comutatividade, apesar 
de ser uma lei válida para a álgebra dos números reais, não 
obrigatoriamente é válida para o conjunto das matrizes. Você 
viu, em Geometria Analítica, as propriedades válidas para a 
adição de matrizes. Vejamos, agora, quais propriedades são 
válidas para o produto de matrizes.
Propriedades da multiplicação de matrizes
Suponha que as ordens das matrizes são tais que as operações 
indicadas podem ser efetuadas.
 ƒ Associativa: A(BC) = (AB)C
 ƒ Distributiva à esquerda: A(B + C) = AB + AC
 ƒ Distributiva à direita: (A + B)C = AC + BC
 ƒ Existência do elemento neutro: AI = IA = A
Apesar de a comutatividade não ser uma lei sempre válida 
na multiplicação de matrizes, existe um caso especialno 
qual essa validade se verifica.
Dada uma matriz quadrada A de ordem n, se pudermos 
encontrar uma matriz B também de ordem n, tal que 
A·B = B·A = In, então dizemos que A é invertível e que B é a 
inversa de A. Caso não exista a inversa, dizemos que A é 
não invertível. A inversa de matriz A é denotada por A–1.
Em que: In é a matriz identidade de ordem n.
Universidade do Sul de Santa Catarina
52
Para determinar se uma matriz quadrada é invertível, ou 
seja, se admite inversa, deve-se verificar se seu determi-
nante é diferente de zero. A matriz só é invertível se seu 
determinante for diferente de zero. Se a matriz não for 
quadrada, não admite inversa.
Propriedades da matriz inversa
Se A é uma matriz quadrada invertível, as seguintes proprie-
dades são satisfeitas:
1. Sua matriz inversa é única: se B e C são ambas matrizes 
inversas da matriz A, então B = C.
2. Sua matriz inversa A–1 é também invertível, e a inversa 
dessa inversa (A–1)–1 é igual à própria matriz A: 
(A–1)–1 = A.
3. A inversa de sua transposta é também invertível e é 
igual à transporta da inversa: (AT)–1 = (A–1)T.
4. O produto de sua inversa por sua transposta é também 
invertível: existe (A–1AT)–1.
5. A inversa de seu produto por um número (diferente de 
zero) é igual ao produto do inverso desse número pela 
sua matriz inversa: (nA)–1 = n–1A–1.
6. Seu determinante é diferente de zero: det A ≠ 0.
7. A matriz inversa do produto de matrizes invertíveis é 
igual ao produto das inversas dessas matrizes com a 
ordem trocada. (A1·A2·A3·…·An)
–1 = An
–1·…·A3
–1·A2
–1·A1
–1.
8. A matriz inversa de uma matriz identidade de ordem n, 
(In), é a própria matriz identidade de ordem n: (In)
–1 = In.
Você pode estar pensando: mas como determinar a 
matriz inversa de uma matriz quadrada?
Álgebra Linear
53Unidade 1
Em Geometria Analítica, você viu como determinar a matriz 
inversa de uma matriz quadrada de ordem 2. Veremos, agora, 
outro método para determinar a matriz inversa de uma matriz 
quadrada de qualquer ordem.
Determinação da matriz inversa através de operações elementares
Uma matriz M é chamada de matriz elementar se 
pode ser obtida da matriz identidade In através de uma 
única operação elementar sobre linhas.
Teorema 1.5: se A é uma matriz quadrada, o resultado da 
aplicação de uma operação com as linhas de A é o mesmo que 
o resultado da multiplicação da matriz A pela matriz elementar 
M correspondente à mesma operação com linhas realizada na 
matriz identidade de mesma ordem de A.
Exemplo
1.35. Dada a matriz
2 0 4
A 3 1 2
1 5 3
 
 = − 
 − 
Aplicando a operação L1 = 
1
2
L1, obtemos:
1
1 0 2
A 3 1 2
1 5 3
 
 = − 
 − 
Por outro lado, dada a matriz elementar:
1
1 0 02
M 0 1 0
0 0 1
 
 
 =
 
  
Universidade do Sul de Santa Catarina
54
obtida pelo produto da linha 1 da matriz identidade, multipli-
cada pela constante 1
2
.
Ao multiplicar a matriz elementar M1 pela matriz A dada, 
obtém-se:
1 1M A A
1 0 0 2 0 4 1 0 22
0 1 0 3 1 2 3 1 2
0 0 1 1 5 3 1 5 3
⋅ =
            ⋅ − = −        − −      
Se aplicarmos, sobre a matriz A1 obtida, as seguintes operações:
2 2 1
3
3 3 1
1 0 2
L L ( 3)L
A 0 1 8
L L L
0 5 5
 
= + −  → = − = +
  
Por outro lado, aplicando cada uma das operações acima na 
matriz identidade, obtemos as seguintes matrizes elementares:
2 3
1 0 0 1 0 0
M 3 1 0 e M 0 1 0
0 0 1 1 0 1
   
   = − =   
      
Multiplicando M2 por A1, oobtemos A2:
2 1 2M A A
1 0 0 1 0 2 1 0 2
3 1 0 3 1 2 0 1 8
0 0 1 1 5 3 1 5 3
⋅ =
     
     − ⋅ − = −     
     − −     
Agora, se multiplicarmos A2 por M3:
3 2 3M A A
1 0 0 1 0 2 1 0 2
0 1 0 0 1 8 0 1 8
1 0 1 1 5 3 0 5 5
⋅ =
     
     ⋅ − = −     
     −     
Álgebra Linear
55Unidade 1
Portanto, podemos concluir que realizar operações elementares 
com uma matriz e multiplicar a mesma matriz por matrizes 
elementares obtidas da matriz identidade sob a qual foram 
efetuadas as mesmas operações, obtemos a mesma matriz 
resultante. Nesse exemplo, a matriz:
1 0 2
0 1 8
0 5 5
 
 − 
  
Os próximos teoremas são de extrema importância para o 
método que iremos apresentar.
Teorema 1.6: qualquer matriz elementar é invertível e sua inversa 
é a matriz elementar que corresponde à operação inversa da 
efetuada pela primeira matriz elementar.
Teorema 1.7: se A é uma matriz invertível de ordem n, então sua 
matriz escalonada reduzida por linhas é a matriz identidade In.
Teorema 1.8: se a matriz escalonada reduzida por linhas de uma 
matriz A é a matriz identidade In. Como, a cada operação com 
linhas, corresponde uma multiplicação da matriz por uma 
matriz elementar Mi, teremos:
I = Mk·Mk–1·…·M2·M1·A = (Mk·Mk–1·…·M2·M1·I)·A
Logo:
A–1 = Mk·Mk–1·…·M2·M1·I
Em outras palavras: se uma matriz é reduzida à matriz 
identidade através de uma sequência de operações elementares 
com linhas, então A é invertível e a matriz inversa de A é obtida 
aplicando-se, à matriz identidade, a mesma sequência de 
operações com linhas.
Universidade do Sul de Santa Catarina
56
Método prático para determinar a matriz inversa de uma matriz A
Como o objetivo do processo é aplicar simultaneamente 
operações elementares na matriz A, a fim de transformá-la 
na matriz identidade In, e, na matriz identidade In, para trans-
formá-la na matriz A–1, podemos operá-las simultaneamente. 
Para isso, escrevemos uma matriz na forma [A|In](n×2n) e, ao 
final da aplicação das operações elementares, até que o lado 
esquerdo esteja reduzido a In; o lado direito será A
–1.
Exemplos:
1.36. Encontre a inversa da matriz dada:
2 1 0
A 1 0 1
0 1 1
 
 = − 
  
Processo:
3 1 2
2 2 1
3 3 2
3 3
2 1 0 1 0 0
A|I 1 0 1 0 1 0 L L
0 1 1 0 0 1
2 0 1 0 1 0
2 1 0 1 0 0 L L ( 2)L
0 1 1 0 0 1
1 0 1 0 1 0
0 1 2 1 2 0 L L ( 1)L
0 1 1 0 0 1
1 0 1 0 1 0
0 1 2 1 2 0 L ( 1)L
0 0 1 1 2 1
1 0 1 0 1 0
0 1 2 1 2 0
0 0 1 1 2 1
 
   = − → ↔   
  
 − 
  → = + − 
  
 − 
 − → = + − 
  
 − 
 − → = − 
 − − 
 − 
 −
 − − 
1 1 3
2 2 3
1
3
L L L
L L ( 2)L
1 0 0 1 1 1
0 1 0 1 2 2 I |A
0 0 1 1 2 1
−
= + → = + −

 − − 
   − =   
 − − 
Álgebra Linear
57Unidade 1
3 1 2
2 2 1
3 3 2
3 3
2 1 0 1 0 0
A|I 1 0 1 0 1 0 L L
0 1 1 0 0 1
2 0 1 0 1 0
2 1 0 1 0 0 L L ( 2)L
0 1 1 0 0 1
1 0 1 0 1 0
0 1 2 1 2 0 L L ( 1)L
0 1 1 0 0 1
1 0 1 0 1 0
0 1 2 1 2 0 L ( 1)L
0 0 1 1 2 1
1 0 1 0 1 0
0 1 2 1 2 0
0 0 1 1 2 1
 
   = − → ↔   
  
 − 
  → = + − 
  
 − 
 − → = + − 
  
 − 
 − → = − 
 − − 
 − 
 −
 − − 
1 1 3
2 2 3
1
3
L L L
L L ( 2)L
1 0 0 1 1 1
0 1 0 1 2 2 I |A
0 0 1 1 2 1
−
= + → = + −

 − − 
   − =   
 − − 
Como a matriz dos coeficientes foi transformada na matriz 
identidade, a matriz ao lado é a inversa A–1 da matriz A. Ou 
seja:
1
1 1 1
A 1 2 2
1 2 1
−
 − − 
 = − 
 − − 
Veja que, se A–1 é inversa de A, então o produto A·A–1 = A–1·A = I, 
de fato:
1A A I
2 1 0 1 1 1 1 0 0
1 0 1 1 2 2 0 1 0
0 1 1 1 2 1 0 0 1
−× =
   − −   
     − × − =     
     − −     
1.37. Encontre a inversa da matriz B:
1 2 4
B 1 1 5
2 7 3
 − 
 = − − 
 − 
Processo:
2 2 1
3
3 3 1
1 1 2
3 3 2
3 3
1 2 4 1 0 0
L L L
B|I 1 1 5 0 1 0
L L ( 2)L
2 7 3 0 0 1
1 2 4 1 0 0
L L ( 2)L
0 1 1 1 1 0
L L ( 3)L
0 3 5 2 0 1
1 0 6 1 2 0
10 1 1 1 1 0 L( )L
2
0 0 2 5 3 1
1 0 6 1 2 0
L
0 1 1 1 1 0
5 3 10 0 1 2 2 2
 − 
= +   = − − →    = + −
 − 
 − 
= + −  →  = + −
 − 
 − − − 
  → = 
 − − 
 − − − 
  → 
 − −
  
1 1 3
2 2 3
1
3
L 6L
L L ( 1)L
1 0 0 16 11 3
57 10 1 0 I |B2 2 2
5 3 10 0 1 2 2 2
−
= +
= + −
 − − 
 −  =   
 
− −  
Universidade do Sul de Santa Catarina
58
2 2 1
3
3 3 1
1 1 2
3 3 2
3 3
1 2 4 1 0 0
L L L
B|I 1 1 5 0 1 0
L L ( 2)L
2 7 3 0 0 1
1 2 4 1 0 0
L L ( 2)L
0 1 1 1 1 0
L L ( 3)L
0 3 5 2 0 1
1 0 6 1 2 0
10 1 1 1 1 0 L ( )L
2
0 0 2 5 3 1
1 0 6 1 2 0
L
0 1 1 1 1 0
5 3 10 0 1 2 2 2
 − 
= +   = − − →    = + −
 − 
 − 
= + −  →  = + −
 − 
 − − − 
  → = 
 − − 
 − − − 
  → 
 − −
  
1 1 3
2 2 3
1
3
L 6L
L L ( 1)L
1 0 0 16 11 3
57 10 1 0 I |B2 2 2
5 3 10 0 1 2 2 2
−
= +
= + −
 − − 
 −  =   
 
− −  
Logo, a matriz B–1 inversa da matriz B é:
1
16 11 3
57 1B 2 2 2
5 3 1
2 2 2
−
 − − 
 −=  
 
− −  
Efetuando o produto B·B–1:
1B B I
16 11 31 2 4 1 0 0
57 11 1 5 0 1 02 2 2
2 7 3 0 0 15 3 1
2 2 2
−× =
 − −  −   
    −− − × =    
    −  − −    
1.38. Determine M–1 se M é dada por:
2 1 0 0
1 0 1 1
M
0 1 1 1
1 0 0 3
 
 − =
 
 
−  
Álgebra Linear
59Unidade 1
Processo:
4 2 1
2 2 1
4 4 1
3 3 2
2 1 0 0 1 0 0 0
1 0 1 1 0 1 0 0
M|I L L
0 1 1 1 0 0 1 0
1 0 0 3 0 0 0 1
1 0 1 1 0 1 0 0
L L ( 2)L2 1 0 0 1 0 0 0
0 1 1 1 0 0 1 0 L L L
1 0 0 3 0 0 0 1
1 0 1 1 0 1 0 0
0 1 2 2 1 2 0 0
L L ( 1)L
0 1 1 1 0 0 1 0
0 0 1 4 0 1 0 1
1 0 1 1
 
 −   = → ↔   
 
−  
 − 
  = + −  →
  = +
 
−  
 − 
 − −  → = + −
 
 
−  
−
3 3
1 1 3
2 2 3
4 4 3
1 1
0 1 0 0
0 1 2 2 1 2 0 0
L ( 1)L
0 0 1 3 1 2 1 0
0 0 1 4 0 1 0 1
1 0 1 1 0 1 0 0
L L L
0 1 2 2 1 2 0 0
L L ( 2)L
0 0 1 3 1 2 1 0
L L L
0 0 1 4 0 1 0 1
1 0 0 2 1 1 1 0
L L
0 1 0 4 1 2 2 0
0 0 1 3 1 2 1 0
0 0 0 1 1 1 1 1
 
 − −  → = −
 − −
 
−  
 − 
= + − −  → = + −
 − − −
= + 
−  
 − − − 
= −  →
 − − −
 
− −  
4
2 2 4
3 3 4
1
4
2L
L L ( 4)L
L L 3L
1 0 0 0 3 3 3 2
0 1 0 0 5 6 6 4
I |M
0 0 1 0 4 5 4 3
0 0 0 1 1 1 1 1
−
+
= + −
= +
 − − 
 − −   =   − −
 
− −  
Universidade do Sul de Santa Catarina
60
Portanto, a matriz M–1 é:
1
3 3 3 2
5 6 6 4
M
4 5 4 3
1 1 1 1
−
 − − 
 − − =
 − −
 
− −  
Resolução de sistemas e matriz inversa
Dado um sistema de equações lineares com n equações e n 
variáveis, na forma matricial, cuja matriz dos coeficientes A é 
invertível, o método consiste em resolver a equação matricial 
AX = B, utilizando a inversa A–1 da matriz A dos coeficientes.
Ou seja:
Se AX = B, multiplicando ambos os lados da igualdade pela 
matriz A–1 inversa de A:
 A–1AX = A–1B
 InX = A
–1B
 X = A–1B
Ou seja, a solução do sistema, será obtida pelo produto da 
matriz A–1 inversa de A, pelo vetor de termos independentes B.
Exemplos
1.39. Resolva o seguinte sistema pelo método da matriz inversa:
1 2
1 3
2 3
2 8
S 4
1
x x
x x
x x
 + =
= − =
 + =
Álgebra Linear
61Unidade 1
Escrevendo na forma matricial
1
2
3
2 1 0 8
1 0 1 . 4
0 1 1 1
x
x
x
     
     − =     
          
Para resolver o sistema pelo método da matriz inversa, 
precisamos encontrar a matriz inversa da matriz dos coefi-
cientes.Mas observe que:
2 1 0
A 1 0 1
0 1 1
 
 = − 
  
é a matriz cuja matriz inversa foi determinada no 
exemplo 1.36 anterior, ou seja:
1
1 1 1
A 1 2 2
1 2 1
−
 − − 
 = − 
 − − 
Assim, a solução do sistema é dada por:
1
2
3
1 1 1 8 3
1 2 2 . 4 2
1 2 1 1 1
x
x
x
   − −     
       = − =       
       − − −       
Logo: x1 = 3, x2 = 2 e x3 = –1.
Qual a vantagem de se aplicar o método da matriz 
inversa, já que encontrar a inversa de uma matriz para 
depois encontrar a solução do sistema pode ser mais 
trabalhoso do que aplicar o método de Gauss?
A conveniência de se aplicar esse método está relacionada 
ao problema que se quer resolver por meio da solução do 
sistema. O caso mais importante é quando se tem um conjunto 
Universidade do Sul de Santa Catarina
62
de sistemas, tais que as matrizes dos coeficientes sejam todas 
iguais, variando apenas os termos independentes, pois, assim, 
basta calcular a inversa de uma única matriz, com a qual se 
resolverão todos os sistemas.
Exemplos
1.40. Resolva os sistemas
1 2 3 1
1 2 3 2
1 2 3 3
2 7
3 2
5 3 4
x x x b
x x x b
x x x b
 + + =
 + + =
 + + =
1) Para b1 = 16; b2 = –5; b3 = 11 e para b1 = 3; b2 = 5; b3 = –5 pelo 
método da matriz inversa:
A matriz dos coeficientes do sistema é:
2 1 7
A 1 3 2
5 3 4
 
 =  
  
Determinação da inversa A–1.
3 1 2
2 2 1
3 3 1
2 2
1 1 2
3 3
2 1 7 1 0 0
A|I 1 3 2 0 1 0 L L
5 3 4 0 0 1
1 3 2 0 1 0
L L ( 2)L
2 1 7 1 0 0
L L ( 5)L
5 3 4 0 0 1
1 3 2 0 1 0
10 5 3 1 2 0 L ( )L
5
0 12 6 0 5 1
1 3 2 0 1 0
L L ( 3)L3 1 20 1 05 5 5 L L 1
0 12 6 0 5 1
 
   = → ↔   
  
 
= + −  →  = + −
  
 
 − − → = − 
 − − − 
 
  = + −− − → 
= + 
− − −  
2
3 3
1 1 3
2 2 3
3
2L
19 3 11 0 05 5 5
53 1 20 1 0 L ( )L5 5 5 66
66 12 10 0 15 5 5
19 3 11 0 0 195 5 5 L L ( )L
53 1 20 1 05 5 5 3L L L52 10 0 1 511 66 66
191 171 0 0 11 66 66
1 27 10 1 0 I11 66 22
52 10 0 1 11 66 66
 −
 
 − − → = − 
 − − −
  
 −
  = + −
 − − → 
= + −
  
 − −
 
 − − = 
 −
  
1|A−  
Álgebra Linear
63Unidade 1
3 1 2
2 2 1
3 3 1
2 2
1 1 2
3 3
2 1 7 1 0 0
A|I 1 3 2 0 1 0 L L
5 3 4 0 0 1
1 3 2 0 1 0
L L ( 2)L
2 1 7 1 0 0
L L ( 5)L
5 3 4 0 0 1
1 3 2 0 1 0
10 5 3 1 2 0 L ( )L
5
0 12 6 0 5 1
1 3 2 0 1 0
L L ( 3)L3 1 20 1 05 5 5 L L 1
0 12 6 0 5 1
 
   = → ↔   
  
 
= + −  →  = + −
  
 
 − − → = − 
 − − − 
 
  = + −− − → 
= + 
− − −  
2
3 3
1 1 3
2 2 3
3
2L
19 3 11 0 05 5 5
53 1 20 1 0 L ( )L5 5 5 66
66 12 10 0 15 5 5
19 3 11 0 0 195 5 5 L L ( )L
53 1 20 1 05 5 5 3L L L52 10 0 1 511 66 66
191 171 0 0 11 66 66
1 27 10 1 0 I11 66 22
52 10 0 1 11 66 66
 −
 
 − − → = − 
 − − −
  
 −
  = + −
 − − → 
= + −
  
 − −
 
 − − = 
 −
  
1|A−  
Observe que a matriz A–1
1
191 17
11 66 66
1 27 1A 11 66 22
52 1
11 66 66
−
 − −
 
 − −=  
 −
  
será utilizada para determinar a solução do sistema para cada 
um dos vetores independentes.
Chamando 1 2
16 3
B 5 e B 5
11 5
   
   = − =   
   −   
Logo:
1
1 1A B X
191 17
16 311 66 66
1 27 1 5 411 66 22
11 252 1
11 66 66
− × =
 − −
    
    − − × − = −    
    −    
  
Universidade do Sul de Santa Catarina
64
1
2 2A B X
191 17
3 311 66 66
1 27 1 5 211 66 22
5 152 1
11 66 66
− × =
 − −
  −  
    − − × =    
     −−    
  
Portanto, para B1, a solução é (3, –4, 2) e, para B2, a solução é 
(–3, 2, 1).
Síntese
Você estudou, nesta unidade, um assunto de extrema