CALCULO INTEGRAL 5

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Cálculo Integral
Material Teórico
Responsável pelo Conteúdo:
Profa. Dra. Ana Lúcia Manrinque
Revisão Textual:
Profa. Esp. Natalia Conti
Aplicação da Integral Definida
5
• Introdução
• Cálculo de Área
 · Estamos estudando sobre Cálculo Integral e nesta unidade veremos 
maneiras de determinar a medida da área de regiões que estão entre dois 
ou mais gráficos de funções de uma variável real.
 · Ao término deste estudo desejamos que você seja capaz de utilizar integrais 
definidas e integrais indefinidas para determinar a área de uma região.
Para um bom aproveitamento do curso, leia o material teórico atentamente antes de realizar 
as atividades. É importante também respeitar os prazos estabelecidos no cronograma.
Aplicação da Integral Definida
6
Unidade: Aplicação da Integral Definida
Contextualização
Nesta unidade iremos estudar maneiras de 
determinar a medida da área de regiões que estão 
delimitadas por gráficos de funções de uma variável 
real e retas verticais. Veja a figura ao lado que apresenta 
uma situação comum a ser estudada, considerando 
duas funções f e g e o intervalo [a,b].
Para determinar a medida da área da região 
hachurada devemos ter em mente qual é a função que 
limita a região superiormente e qual é a função que 
limita a região inferiormente. 
Na figura anterior temos que a função f limita a região superiormente e a função g 
limita inferiormente.
Como estamos interessados na medida da área podemos simplificar a resolução, 
considerando sempre que o resultado obtido deverá ser em módulo, ou seja, em valor 
absoluto. Isto é devido à seguinte propriedade da integral:
∫ ∫( ) − ( )( ) = − ( ) − ( )( )f x g x dx g x f x dx.
Podemos ainda ter que utilizar diversas integrais 
definidas para determinar a medida da área de regiões 
entre curvas, como pode ser visto na figura ao lado.
Neste caso, para determinar a área desta região 
teríamos que determinar quatro integrais definidas.
A A A A A= + + +
1 2 3 4
E podemos escrever cada uma das integrais definidas como:
É importante notar que a ordem das funções f e g muda em cada uma das 
integrais definidas. Isto se deve ao fato de em cada um dos subintervalos 
termos uma função diferente limitando superiormente e inferiormente.
A f x g x dx
x
1
0
1
= ( ) − ( )( )∫ ,
A g x f x dx
x
x
2
1
2
= ( ) − ( )( )∫ ,
A f x g x dx
x
x
3
2
3
= ( ) − ( )( )∫ ,
A g x f x dx
x
b
2
3
= ( ) − ( )( )∫ .
7
Cálculo de Área
Queremos determinar a medida da área de regiões que são formadas entre gráficos de 
funções no plano cartesiano. 
Caso 1
Vamos pensar nos gráficos das funções f x x( ) = + 2 e g x x x( ) = + +2 1. Podemos perceber 
que estes dois gráficos possuem dois pontos comuns, pontos em que os gráficos se encontram.
Para determinar estes dois pontos comuns aos gráficos das duas funções, igualamos as 
expressões algébricas das mesmas:
f x g x( ) = ( ),
x x x+ = + +2 12 ,
x2 1 0− = ,
x2 1= ,
x= -1 ou x= 1.
Para determinarmos estes pontos no plano cartesiano devemos substituir estes valores de x 
em qualquer uma das duas expressões algébricas.
Para x =-1, temos:
f (x)= x + 2 ⟹ f (-1)= -1 + 2= 1
g (x)= x2 + x +1 ⟹ g (-1)= (-1)2+ (-1) +1= 1
Portanto, para x = -1, temos y =1, ou seja, o ponto P(-1,1).
Para x =1, temos:
f (x) = x+ 2 ⟹ f (1) =1 + 2= 3
g (x) = x2+ x + 1 ⟹ g (1) = (1)2 + (1) + 1= 3
Portanto, para x = 1, temos y = 3, ou seja, o ponto Q(1,3).
8
Unidade: Aplicação da Integral Definida
Desta forma, queremos determinar a medida da área da região delimitada entre os gráficos 
das duas funções f e g, entre x= -1 e x= 1.
Estudamos anteriormente como determinar a medida da área da região que está sob o 
gráfico de uma função f que está acima do eixo das abscissas, eixo x, no intervalo [a,b]. Basta 
determinar a integral definida:
a
b
f x dx∫ ( ) .
Na situação proposta, vamos determinar a medida da área da região que está sob o gráfico 
de cada uma das duas funções, f e g, considerando o intervalo [-1,1]:
− −
∫ ∫( ) ( )
1
1
1
1
f x dx g x dx e .
Determinemos uma das integrais definidas:
 
− −
∫ ∫( ) = +( ) = ( ) − −( )
1
1
1
1
2 1 1f x dx x dx F F .
Para determinar esta integral definida, precisamos primeiramente obter a integral indefinida:
∫ +( ) = + + = ( )x dx
x x c F x2
2
2
2
.
Portanto, o valor da integral definida é:
−
∫ ( ) = ( ) − −( )
1
1
1 1f x dx F F ,
−
∫ ( ) =
( )
+ ( ) + − −( ) + −( ) +








1
1 2 2
1
2
2 1
1
2
2 1f x dx c c ,
−
∫ ( ) = + + − + −
1
1
1
2
2
1
2
2f x dx c c,
−
∫ ( ) =
1
1
4f x dx .
9
Determinamos, então, a medida da área da região sob o gráfico da função f x x( ) = + 2 , 
compreendida entre as retas verticais x = −1 e x =1, ou seja, A1 = 4 u.a.
Vejamos agora a outra integral definida:
− −
∫ ∫( ) = + +( ) = ( ) − −( )
1
1
1
1
2
1 1 1g x dx x x dx G G .
Para determinar esta integral definida, precisamos primeiramente obter a integral indefinida:
∫ + +( ) = + + + = ( )x x dx x x x c G x2
3 2
1
3 2
.
Portanto, o valor da integral definida é:
−
∫ ( ) = ( ) − −( )
1
1
1 1g x dx G G ,
−
∫ ( ) =
( )
+
( )
+ ( ) + − −( ) + −( ) + −( ) +








1
1 3 2 3 2
1
3
1
2
1
1
3
1
2
1g x dx c c ,
−
∫ ( ) = + + + + − + −
1
1
1
3
1
2
1
1
3
1
2
1g x dx c c,
−
∫ ( ) = + =
1
1
2
3
2
8
3
g x dx .
10
Unidade: Aplicação da Integral Definida
Determinamos, então, a medida da área da região sob o gráfico da função g (x)= x2+x+1, 
compreendida entre as retas verticais x=-1 e x=1, ou seja, A2 = 
8
3
 u.a.
Mas queremos determinar a medida da área compreendida entre os gráficos das funções f 
e g. Vejamos os gráficos destas funções sobrepostos, como proposto no início.
Observando as partes hachuradas sob os gráficos das funções e como queremos determinar 
a medida da área da região entre os gráficos das funções, devemos determinar a medida da 
área hachurada apenas de vermelho, ou seja, a parte duplamente hachurada não é a que 
queremos determinar a medida da área.
Desta forma, o que buscamos é:
1 2
8 12 8 4
4
3 3 3
= -
-
= - = =
A A A
A
Ou podemos escrever que:
( ) ( )
( ) ( )( )
1 1
1 1
1
1
- -
-
= -
= -
ò ò
ò
A f x dx g x dx
A f x g x dx
11
Caso 2
Vejamos outro exemplo, agora consideremos funções cujos gráficos não estejam acima do 
eixo das abscissas, eixo x.
Sejam f (x)= -x2 e g (x) = x-2, consideremos seus gráficos em um mesmo plano cartesiano.
Queremos determinar a medida da área da região compreendida entre os gráficos destas 
duas funções. 
Percebemos que os gráficos possuem dois pontos em comum, ou seja, os gráficos se 
interceptam em dois pontos. Determinemos estes pontos. Para isso, igualamos as duas 
expressões algébricas.
f (x)= g (x),
-x2= x - 2,
-x2 - x + 2= 0.
Para resolver esta equação, podemos fazer uso da fórmula de Baskara. E encontramos 
como solução:
x= -2 ou x= 1.
E para determinar os pontos, substituímos estes valores de x em uma das expressões 
algébricas. Para facilitar os cálculos, escolhemos a função g.
g (x)= x - 2
g (-2)= -2 - 2=-4
Portanto, para x=-2, temos y= -4, ou seja, o ponto P(-2,-4).
g (x)= x - 2
g (1)= 1 - 2= -1
Portanto, para x=1, temos y= -1, ou seja, o ponto Q(1,-1).
Desta forma, queremos determinar a medida da área da região delimitada entre os gráficos 
das duas funções f e g, entre x=-2 e x=1.
12
Unidade: Aplicação da Integral Definida
Vamos pensar em duas outras funções associadas a estas funções dadas. Sejam 
f1 (x)= -x
2+4 e g1 (x)=x-2+4=x+2, consideremos seus gráficos em um mesmo plano cartesiano.
Podemos perceber que a região é a mesma nas duas situações, sendo que esta última 
obtemos adicionando 4 unidades em cada uma das expressões algébricas das funções f e g. 
A f x g x dx= ( ) − ( )( )
−
∫
2
1
1 1
,
A x x dx= − + − +( )( )
−
∫
2
1
2
4 2 ,
A x x dx H H= − − +( ) = ( ) − −( )
−
∫
2
1
2
1 1
2 1 2 .
Determinemos a integral indefinida:
∫ − − +( ) = ( )x x dx H x2 12 ,
∫ − − +( ) = − − + + = ( )x x dx x x x c H x2
3 2
1
2
3 2
2 .
13Voltemos à integral definida:
A x x dx H H= − − +( ) = ( ) − −( )
−
∫
2
1
2
1 1
2 1 2 ,
A c c= − ( ) − ( ) + ( ) + − − −( ) − −( ) + −( ) +








1
3
1
2
2 1
2
3
2
2
2 2
3 2 3 2
,
A c c= − − + + − + + −1
3
1
2
2
8
3
2 4 ,
A = − − + = − + =3 1
2
8
1 10
2
9
2
.
Portanto, a medida da área da região delimitada é igual a 
9
2
 u.a.
Voltemos às funções dadas no problema original, ou seja, f e g, e determinemos o valor da 
integral definida da diferença destas funções:
− −
∫ ∫( ) − ( )( ) = − − −( )( )
2
1
2
1
2
2f x g x dx x x dx,
− −
∫ ∫( ) − ( )( ) = − − +( ) = ( ) − −( )
2
1
2
1
2
2 1 2f x g x dx x x dx H H .
Determinemos a integral indefinida:
∫ ( ) − ( )( ) = ( )f x g x dx H x ,
∫ ∫( ) − ( )( ) = − − +( ) = ( )f x g x dx x x dx H x2 2 ,
H x x x x c( ) = − − + +
3 2
3 2
2 .
Voltando à integral definida, temos:
− −
∫ ∫( ) − ( )( ) = − − +( ) = ( ) − −( )
2
1
2
1
2
2 1 2f x g x dx x x dx H H ,
H H c c1 2
1
3
1
2
2 1
2
3
2
2
2 2
3 2 3 2
( ) − −( ) = − ( ) − ( ) + ( ) + − −( ) − −( ) + −( ) +








,
H H c c1 2 1
3
1
2
2
8
3
2 4( ) − −( ) = − − + + − + + − ,
H H1 2 3 1
2
8
1 10
2
9
2
( ) − −( ) = − − + = − + = .
14
Unidade: Aplicação da Integral Definida
Desta forma, ao considerarmos f x f x
1
4( ) = ( ) + e g x g x1 4( ) = ( ) + , transladamos os 
gráficos das funções f e g para acima do eixo das abscissas, verificamos que:
− −
∫ ∫( ) − ( )( ) = ( ) − ( )( ) =
2
1
2
1
1 1
9
2
f x g x dx f x g x dx .
Assim, podemos definir que:
A medida da área A da região delimitada pelos gráficos de duas funções contínuas f e g 
e as retas verticais x=a e x=b, considerando f x g x( ) ≥ ( ) para todo x no intervalo [a,b], é 
exatamente:
A f x g x dx
a
b
= ( ) − ( )( )∫ .
Exemplos
1
Determine a medida da área da região delimitada pelos gráficos das funções: 
f (x)=-x2+2 e g (x)=x2
 
Resolução:
Necessitamos, inicialmente, determinar os pontos de intersecção das duas parábolas. Para 
isso, igualamos as expressões algébricas das duas funções:
f (x) = g (x),
-x2+2= x2,
2x2-2= 0,
x2-1= 0,
x=-1 ou x =1.
Para determinarmos estes pontos no plano cartesiano devemos substituir estes valores de x 
em qualquer uma das duas expressões algébricas.
15
Para x= -1, temos:
f (x)= -x2 + 2 ⟹ f (-1)= -1 + 2= 1
Portanto, para x = -1, temos y = 1, ou seja, o ponto P(-1,1).
Para x=1, temos:
f (x) = -x2 + 2 ⟹ f (1)=-1 + 2= 1
Portanto, para x=1, temos y= 3, ou seja o ponto Q(1,1).
Desta forma, queremos determinar a medida da área da região delimitada entre os gráficos 
das duas funções f e g, entre x=-1 e x=1:
A f x g x dx= ( ) − ( )( )
−
∫
1
1
,
A x x dx x dx H H= − + −( ) = − +( ) = ( ) − −( )
− −
∫ ∫
1
1
2 2
1
1
2
2 2 2 1 1 .
Determinemos a integral indefinida:
H x x dx( ) = − +( )∫ 2 22 ,
H x x x c( ) = − + +2
3
2
3
.
Voltando à integral definida, temos:
A f x g x dx H H= ( ) − ( )( ) = ( ) − −( )
−
∫
1
1
1 1 ,
A c c= − ( ) + ( ) + − − −( ) + −( ) +








2 1
3
2 1
2 1
3
2 1
3 3
,
A c c= − + + − + −2
3
2
2
3
2 ,
A = 8
3
u.a.
Neste caso, como a região delimitada pelos gráficos é simétrica, poderíamos ter utilizado a 
seguinte integral definida para resolver o problema proposto:
A f x g x dx x dx= ( ) − ( )( ) = − +( )∫ ∫2 2 2 2
0
1
0
1
2
.
E consideremos que:
H x x dx( ) = − +( )∫ 2 22 ,
H x x x c( ) = − + +2
3
2
3
.
16
Unidade: Aplicação da Integral Definida
Desta forma, utilizamos a integral indefinida já determinada para resolver esta integral 
definida. Assim temos:
A f x g x dx H H= ( ) − ( )( ) = ( ) − ( )( )∫2 2 1 0
0
1
,
A c c= − ( ) + ( ) + − − ( ) + ( ) +
















2
2 1
3
2 1
2 0
3
2 0
3 3
,
A = − +




 =





2
2
3
2 2
4
3
,
A = 8
3
 u.a.
2
Determine a medida da área da região delimitada pelos gráficos das funções 
f (x)=ex e g (x)=sen x no intervalo [0,π/2]. 
Resolução:
De acordo com o enunciado do problema, queremos determinar a integral definida:
A f x g x dx= ( ) − ( )( )∫
0
2π /
,
A e sen x dxx= −( )∫
0
2π /
. 
Consideremos a integral indefinida primeiramente:
∫ −( ) = ( )e sen x dx H xx ,
H x e x cx( ) = + +cos .
17
Substituindo na integral definida, temos:
A e sen x dx H Hx= −( ) = ( ) − ( )∫
0
2
1 0
π /
, 
A e c e c= + + − + +( )π π/ cos cos ,2 0
2
0
A e e= − − = −π π/ /( )u.a .2 21 1 2
3
Determine a medida da área da região hachurada delimitada pelos gráficos das 
funções f (x)=sen x e g (x) = cos x. 
Resolução:
Para iniciarmos a resolução deste problema, necessitamos determinar os pontos de encontro 
dos dois gráficos, ou seja, precisamos igualar as expressões algébricas das duas funções:
f (x)= g (x),
sen x= cos x.
A solução desta equação é ,
4
p
± p k  k .
Desta forma, os dois pontos de intersecção que estamos procurando são:
x
1
4
=
π e x
2
4
5
4
= + =
π π π .
Assim, o intervalo que buscamos é π π
4
5
4
,




. 
18
Unidade: Aplicação da Integral Definida
E a integral definida que fornecerá a medida da área da região delimitada pelos gráficos das 
duas funções no intervalo π π
4
5
4
,




 é:
A sen x x dx H H= − = 




 −





∫
π
π π π
/
/
( cos ) .
4
5 4
5
4 4
 
Determinemos inicialmente a integral indefinida:
∫ − = ( )( cos ) ,sen x x dx H x 
H x x sen x c( ) = − − +cos . 
Voltando à integral definida, temos:
A sen x x dx H H= − = 




 −





∫
π
π π π
/
/
( cos ) ,
4
5 4
5
4 4
 
A sen c sen c= − − + − − − +




cos cos ,
5
4
5
4 4 4
π π π π
A c c= + + − − − +






2
2
2
2
2
2
2
2
,
A = 2 2 u.a.
19
Material Complementar
Para pesquisar e aprofundar seus estudos sobre Integral, consulte o site e as referências 
a seguir. 
Livros:
ANTON, H. Cálculo, Um Novo Horizonte. v. 1. Porto Alegre: Bookman, 2000.
STEWART, J. Cálculo. v. 1. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2009.
THOMAS, G. Cálculo. v. 1. São Paulo: Addison Wesley, 2003.
Sites:
http://omatematico.com/Novo/NIVELSUPERIOR/integraltodos/integraltodos.html
https://pt.khanacademy.org/math/integral-calculus/solid_revolution_topic/area-between-curves/v/area-between-curves
20
Unidade: Aplicação da Integral Definida
Referências
Referências Básicas:
ANTON, H. Cálculo, um novo horizonte. Porto Alegre, RS: Bookman, 2002.
STEWART, J. Cálculo, volume I. 4a ed. São Paulo: Pioneira Thomson Learning. 2001.
LARSON, R.; HOSTETLER, R.P.; EDWARDS, B.H. Cálculo, volume 1. São Paulo: McGraw-
Hill, 2006.
Referências Complementares:
FLEMMING, D.M.; GONÇALVES, M.B. Cálculo A: Funções, limite, derivada, integração. 5a. 
Ed. São Paulo: Makron Books do Brasil, 2004.
GUIDORIZZI, H.L. Um curso de cálculo. Rio de Janeiro: LTC, 2001-2002.
SIMMONS, G.F. Cálculo com Geometria Analítica. 2a. Ed. São Paulo: Makron Books do 
Brasil, 1995.
SWOKOWSKI, E.W. Cálculo com Geometria Analítica. 2a. São Paulo: Makron Books do 
Brasil, 1995.
21
Anotações