Aprofundamento de funções - Tema 3

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CONCLUSÃO
DEFINIÇÃO
Abordagem das funções por vários pontos de vista complementares: descrição como conceito matemático, estudo analítico e representação gráfica. Consolidação da importante noção de função real de uma variável real.
PROPÓSITO
Compreender a relevância do conceito de função para a interpretação e a resolução de problemas diversos, inclusive fenômenos naturais, sociais e de outras áreas.
OBJETIVOS
Módulo 1
Reconhecer graficamente o domínio, a imagem e o contradomínio de funções
Módulo 2
Identificar graficamente os tipos de funções: injetora, sobrejetora e bijetora
Módulo 3
Definir funções crescentes e decrescentes
Módulo 4
Definir funções periódicas
Reconhecer graficamente o domínio, a imagem e o contradomínio de funções
INTRODUÇÃO
Para fazermos modelos matemáticos de nossa realidade, associamos quantidades numéricas aos acontecimentos, fatos e objetos que desejamos estudar ou analisar.
É comum obtermos relações expressas em termos de fórmulas ou expressões matemáticas, porém, muitas vezes, as expressões obtidas nem sempre dão origem a um número real para todos os possíveis valores da variável independente.
Nessa situação, é importante determinar o conjunto dos valores da variável independente para os quais a fórmula matemática define uma função.
Nosso estudo se restringirá ao estudo das funções reais de variável real, ou seja, tanto o domínio quanto o contradomínio são subconjuntos de ℝ ou até mesmo todo o ℝ.
Antes de darmos prosseguimentos ao nosso estudo de funções, assista ao vídeo que relembra as definições básicas relativas às funções.
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DEFINIÇÃO
O domínio da função 𝑓 é o maior subconjunto de ℝ onde a expressão (ou fórmula) que define a função assume valores reais, ou seja:
𝐷(𝑓)={𝑥∈ℝ| 𝑓(𝑥)∈ℝ}
Veja nas imagens três representações gráficas de funções cuja lei de formação é 𝑓(𝑥)=𝑥2 e os seus domínios.
𝐷1=ℝ
D2={-2;-2;-1;0;1;2;2}
𝐷3=[0;+∞[
Quando uma função está definida por uma fórmula matemática, a fórmula em si pode impor restrições sobre os valores reais para os quais podemos calculá-la.
Exemplo 1
Qual é o domínio da função 𝑓(x)=1x?
Repare que 𝑥=0 não está no domínio dessa função, pois a divisão por 0 (zero) não está definida. Logo, 𝐷(𝑓)=ℝ∗.
Exemplo 2
Qual é o maior subconjunto de 𝑋⊂ℝ, tal que a fórmula g(x)=x define uma função 𝑓:𝑋→ℝ?
Como só podemos calcular a raiz quadrada de valores não negativos, temos: 𝐷(𝑔)=[0; +∞[.
Vamos ver na prática como determinar o domínio de uma função?
Exemplo 3
Pensando em construir uma piscina retangular em sua casa, João recorreu à Revista Casa e Jardim, da Globo, onde encontrou um modelo de piscina que contracena com a represa no projeto assinado pela arquiteta Eliana Marques Lisboa.
Sabendo que o terreno onde será construída a piscina deve ser cercado com 240 m de cerca, faça o que se pede:
A - Expresse a área do terreno em metros quadrados em função do comprimento do terreno.
B - Determine o domínio da função resultante. Lembre-se de que a expressão que determina a área de uma figura retangular é dada pelo produto entre o comprimento e a largura.
Assista ao vídeo com a resolução das questões apresentadas no exemplo 1.3.
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Exemplo 4
Sabendo que o comprimento do terreno de João é de 100 m, utilize a expressão obtida 𝐴=𝑥⋅(120−𝑥) para determinar a área do terreno onde será construída a piscina.
Resolução da questão
Atenção
Os gráficos das funções podem fornecer informações visuais importantes sobre uma função.
O gráfico de uma função pode ser definido como:
𝐺𝑟𝑎𝑓(𝑓)={(𝑥; 𝑓(𝑥)) | 𝑥∈𝐷(𝑓)}
Portanto, a ordenada 𝑦 de um ponto do gráfico da função 𝑓 é o valor de 𝑓 na abscissa 𝑥 correspondente.
O gráfico de 𝑓 também nos permite visualizar o domínio e a imagem, além de muitas outras informações.
LEITURA GRÁFICA: DOMÍNIO E IMAGEM
O domínio da função 𝑓 é o maior subconjunto de ℝ onde a expressão (ou fórmula) que define a função assume valores reais, ou seja:
Como saber se um número real 𝒂 pertence ao domínio de uma função 𝒇?
O número real 𝑎 pertence ao domínio de uma função 𝑓 se a reta vertical 𝑥=𝑎 corta o gráfico de 𝑓 em um ponto. Como f é uma função, este ponto é necessariamente único.
Fonte: Shutterstock
Exemplo 1
Taxa de crescimento 2010-2060 do Brasil e de Tocantins:
Verifique que, no ano de 2030, temos uma única taxa de crescimento, tanto no Brasil quanto em Tocantins.
Como saber se um número real 𝑏 pertence à imagem de uma função 𝑓?
O número real 𝑏 pertence à imagem de uma função 𝑓 se a reta horizontal 𝑦=𝑏 corta o gráfico de 𝑓 em pelo menos um ponto.
Exemplo 2
Verifique que o valor 0,82 pertence tanto à imagem da função que representa a taxa de crescimento no Tocantins quanto à função que representa a taxa de crescimento no Brasil, em 2029 e 2018, respectivamente.
Taxa de crescimento 2010-2060 do Brasil e de Tocantins:
DOMÍNIO
Dado o gráfico de uma função, uma forma de encontrar o domínio da função é projetar o gráfico no Eixo 𝑂𝑥.
Exemplo 1: Observe o gráfico da função 𝑓:
O que acontece se projetarmos o gráfico da função no Eixo 𝑂𝑥?
Exemplo 2: Observe o gráfico da função 𝑔:
O que acontece se projetarmos o gráfico da função no Eixo 𝑂𝑥?
Assista ao vídeo com mais um exemplo de domínio da função.
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IMAGEM
Dado o gráfico de uma função, uma forma de encontrar a imagem da função é projetar o seu gráfico no Eixo 𝑂𝑦.
Exemplo 1: Observe o gráfico da função 𝑓:
O que acontece se projetarmos o gráfico da função no Eixo 𝑂𝑦?
Exemplo 2: Observe o gráfico da função 𝑔:
O que acontece se projetarmos o gráfico da função no Eixo 𝑂𝑦?
Exemplo 3
Gráfico da função ℎ
Se Projetarmos o gráfico da função no Eixo 𝑂𝑦, vemos que a imagem da função ℎ é o intervalo indicado em vermelho no Eixo 𝑂𝑦.
Sua imagem é o intervalo (−2; 5,25].
𝐼𝑚(ℎ)=(−2;  5,25].
Em resumo, é possível determinar a imagem de um conjunto de pontos:
Se 𝑫 é um subconjunto do domínio da função 𝑓 (pintado de azul na figura), então, a imagem deste subconjunto é dada por 𝒇(𝑫)={ 𝑓(𝑥) | 𝑥 ∈𝐷 }.
Exemplo 4
Assista ao vídeo com mais um exemplo de imagem da função.
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Exemplo 5
Observe o gráfico da função 𝑓 e o intervalo -23;512 destacado em verde no Eixo 𝑂𝑦, que é um subconjunto da imagem de 𝑓 :
Ao traçar as retas y=512 e y=-23 de forma horizontal, partindo no Eixo 𝑂𝑦, temos:
Se pegarmos a parte do gráfico restrita à região entre as retas y=-23 e y=512, temos:
Agora, para descobrirmos a parte do domínio correspondente ao intervalo -25;512 da imagem, basta projetarmos no Eixo 𝑂𝑥 :
A parte do Eixo 𝑂𝑥 que nos interessa está destacada em vermelho: [−0,4; 2]∪[3,6; 3,8]
VERIFICANDO O APRENDIZADO
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1. Considere a seguinte função:
fx=-2x,   se   x<0x,   se    0≤x≤42,   se   x>4   
O domínio e a imagem da função são, respectivamente:
a) 𝐷(𝑓)=ℝ e 𝐼𝑚(𝑓)=[0; +∞┤[.
b) 𝐷(𝑓) = [0; +∞┤[ e 𝐼𝑚(𝑓) = ℝ.
c) 𝐷(𝑓) = ℝ e 𝐼𝑚(𝑓) = ℝ.
d) 𝐷(𝑓) = [0; +∞┤[ e 𝐼𝑚(𝑓) = [0; +∞┤[.
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2. (PETROBRAS - 2008) Considere que 𝑓 é uma função definida do conjunto 𝐷 em ℝ por: 𝑓(𝑥)=𝑥2−4𝑥+8.
Sendo 𝐼𝑚 a imagem de 𝑓, é correto afirmar que, se:
a) 𝐷=[−2,0], então 𝐼𝑚(𝑓)=ℝ+.
b) 𝐷=[2,+∞[, então 𝐼𝑚(𝑓)=[0;4].
c) 𝐷=[2,+∞[, então 𝐼𝑚(𝑓)=ℝ+.
d) 𝐷=[0;2], então 𝐼𝑚(𝑓)=[4;8].
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3. Observe os gráficos das funções 𝒚=𝒇(𝒙), 𝒚=𝒈(𝒙) e 𝒚=𝒉(𝒙):
No mesmo par de eixos, podemos afirmar que:
a) 𝑓(2)=2, 𝑔(2)=2 𝑒 ℎ(2)=−2.
b) 𝐷𝑜𝑚(𝑔)=[−3,3] 𝑒 𝐼𝑚(ℎ)=[−4,3].
c) 𝐷𝑜𝑚(𝑓)=[−4,4] 𝑒 𝐼𝑚(𝑓)=[−4,3].
d) 𝐷𝑜𝑚(ℎ)=[−2,2] 𝑒 𝐼𝑚(𝑓)=[−4,3].
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4. Considere a função f(x)=120x300-x. Podemos afirmar que o domínio da função 𝑓 é:
a) Todo número real 𝑥.
b) Todo número real 𝑥, excetoos números positivos.
c) Todo número real 𝑥, exceto 𝑥=300.
d) Todo número real 𝑥, exceto os números negativos.
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5. Considere o gráfico da função 𝑓:
Após a análise do gráfico, podemos afirmar que:
a) A função não está definida em 𝑥=1,6.
b) 𝐼𝑚(𝑓)=[−4,5].
c) 𝐷𝑜𝑚(𝑓)=[−4.5, 11].
d) 𝐷𝑜𝑚(𝑓)=[−4.5, 2)∪(2,11].
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Comentário
Parabéns! A alternativa D está correta.
Projetando o gráfico da função no eixo -𝒙, vemos que o domínio da função 𝒇 é o conjunto no eixo -𝑥 indicado em vermelho na figura.
Seu domínio é a seguinte união de intervalos:[−𝟒.𝟓 , 𝟐) ∪ (𝟐 , 𝟏𝟏].
𝑫𝒐𝒎(𝒇)=[−𝟒.𝟓 , 𝟐) ∪ (𝟐 , 𝟏𝟏].
Projetando o gráfico da função no eixo -𝒚, vemos que a imagem da função 𝒇 é o intervalo no eixo -𝑦 indicado em vermelho na figura.
Sua imagem é o intervalo [−𝟒, 𝟖.𝟑].
𝑰𝒎(𝒇)=[−𝟒, 𝟖.𝟑].
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6. Se a função real definida por fx=x+1x-2+11-x possui 𝐷=[𝑎,𝑏] como domínio, então, 𝑎+𝑏 vale:
a) 11
b) 5
c) 13
d) 15
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Identificar graficamente os tipos de funções: injetora, sobrejetora e bijetora
FUNÇÕES INJETORAS
Uma função 𝑓 é dita injetora (ou injetiva) se, para quaisquer dois números 𝑎1, 𝑎2 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑓), tais que 𝑎1≠𝑎2, os números 𝑓(𝑎1) e 𝑓(𝑎2) na imagem de 𝑓 são também distintos.
Exemplo 1
A função 𝑓(𝑥)=𝑥2−1, definida para todos os números reais, é injetiva?
Observe que: 𝑓(−2)=(−2)2−1=3=22−1=𝑓(2)
Em outros termos, –2 e 2 têm a mesma imagem.
Gráfico da função 𝒇 e reta horizontal 𝒚=𝟑
A partir da representação gráfica da função 𝑓(𝑥)=𝑥2−1, é possível observar que há retas horizontais que intersectam seu gráfico mais de uma vez.
Atenção
Teste da reta horizontal
Uma função é injetiva se, e somente se, toda reta horizontal intersecta seu gráfico em, no máximo, um ponto.
Observe que, pelo teste da reta horizontal, a função do exemplo citado não é injetiva.
Exemplo 2
A função 𝑔(𝑥)=𝑥3 é injetiva.
Gráfico de 𝒈(𝒙)=𝒙𝟑
Qualquer reta horizontal intersecta o gráfico em apenas um ponto. Logo, pelo teste da reta horizontal, a função 𝑔 é injetiva.
FUNÇÕES SOBREJETORAS E BIJETORAS
Clique nos botões para ver as informações.
Sobrejetoras
Bijetoras
RELAÇÃO GEOMÉTRICA ENTRE OS GRÁFICOS DE UMA FUNÇÃO E SUA INVERSA
O objetivo é mostrar graficamente a relação existente entre o gráfico de uma função bijetora e sua inversa.
Atenção
Lembre-se de que uma função ter inversa é equivalente a ela ser bijetiva.
No quadro a seguir, sintetizamos algumas informações sobre uma função 𝑓 e sua inversa 𝑓−1:
f: A→B e f-1: B→A
se f"leva" a em b então f-1 "traz" b "de volta" em a
f(a)=b⇔f-1(b)=a
Dom(f)=Im(f-1) e Dom(f-1)=Im(f)
É preciso notar que:
f(a)=b⇔f-1(b)=a
Mas o que essa equivalência significa geometricamente?
Que o ponto (𝑎;𝑏) estar no gráfico da função 𝑓 é equivalente ao ponto (𝑏;𝑎) estar no gráfico da função 𝑓−1.
Simetria dos pontos (𝒂;𝒃) e (𝒃;𝒂) em relação à reta 𝒚=𝒙
No gráfico, percebemos que os pontos (𝑎;𝑏) e (𝑏;𝑎) são simétricos em relação à reta 𝑦=𝑥. Mas isso é verdade para todos os pontos das funções 𝑓 e 𝑓−1.
O gráfico de 𝐟−𝟏 é obtido refletindo-se o gráfico de 𝐟 em torno da reta 𝐲=𝐱.
Se 𝑓 e 𝑔 forem funções inversas entre si, temos:
𝑓(𝑓−1 (𝑦))=𝑓(𝑥)=𝑦, para todo 𝑦 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑓−1).
𝑓(𝑓−1 (𝑦))=𝑓(𝑥)=𝑦, para todo 𝑦 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑓−1)
A lei da esquerda nos diz que, se começarmos em 𝑥, aplicando 𝑓, e, em seguida, 𝑓−1, obteremos de volta 𝑥.
Da mesma forma, a lei da direita nos diz que, se começarmos em 𝑦, aplicando 𝑓−1, e, em seguida, 𝑓, obteremos de volta 𝑦.
Exemplo 1
Assista ao vídeo com um exemplo de relação geométrica entre os gráficos de uma função e sua inversa.
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VERIFICANDO O APRENDIZADO
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1. (Adaptada de: LIVRO ABERTO - s.d.) Considere a função 𝑔:ℝ→ℝ tal que 𝑔(𝑥)=9−𝑥2. Assinale a alternativa correta:
a) Existe algum 𝑥∈ℝ cuja imagem é igual a 10.
b) A função 𝑔 é injetora.
c) A função 𝑔 é sobrejetora.
d) Restringindo o domínio da função 𝑔 para o intervalo [0,+∞), temos que 𝑔 é injetora.
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2. Considere a função bijetora 𝑓:[1,∞)→(−∞,3] definida por 𝑓(𝑥)=−3𝑥2+2𝑥+2 e seja (𝑎,𝑏) o ponto de interseção de 𝑓 com sua inversa 𝑓−1. O valor numérico da expressão 𝑎+𝑏 é:
a) 2
b) 4
c) 6
d) 8
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3. (Adaptada de: OBMEP-2019) A calculadora de Dario tem uma tecla especial. Se um número 𝑛, diferente de 2, está no visor, ele aperta a tecla especial e aparece o número, 2×nn-2. Por exemplo, se o número 6 está no visor, ao apertar a tecla especial, aparece 3, pois 2×66-2=3. Para quais valores Dario obtém o mesmo número que está inicialmente no visor?
a) 1 e 0
b) 2 e 0
c) 3 e 0
d) 4 e 0
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4. Considere a função 𝑓:(−1,2]→ℝ, dada por:
fx=x2, se -1≤x≤0x+12, se 0<x≤1-x+2, se 1<x≤2
Nestas condições, é correto afirmar que:
a) 𝑓 é sobrejetora.
b) 𝑓 é injetora.
c) 𝑓 é bijetora.
d) 𝐼𝑚(𝑓)=[0,1].
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5. Seja a função 𝑓: ℝ\2→ℝ\3, definida por f(x)=2x-3x-2+1, cujo gráfico é este:
Com os conhecimentos adquiridos no exemplo do vídeo deste módulo, construa o gráfico da função inversa da 𝑓 antes de responder à atividade.
Sobre a sua inversa, podemos garantir que:
a) Não está definida, pois 𝑓 não é sobrejetora.
b) O gráfico da função inversa de 𝑓 é dado pelo gráfico:
c) O gráfico da função inversa de 𝑓 é dado pelo gráfico:
d) O gráfico da função inversa de 𝑓 é dado pelo gráfico:
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6. Seja 𝑓 a função 𝑓:[𝑡,+∞)→ℝ, definida por 𝑓(𝑥)=𝑥3−3𝑥2+1. O menor valor de 𝑡 para que a função seja injetora é:
a) -1
b) 0
c) 1
d) 2
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Comentário
Parabéns! A alternativa D está correta.
Observe o gráfico da função 𝑓(𝑥)=𝑥3−3𝑥2+1:
Note que, para a função 𝑓 ser bijetora, 𝑡=2.
O gráfico em roxo é a função 𝑓:[2,+∞)→ℝ, que é injetora pelo teste da reta horizontal.
Definir os conceitos de funções crescentes e decrescentes
INTRODUÇÃO
Grande parte do estudo de Cálculo dirige-se à determinação do comportamento de uma função em certo intervalo. Por exemplo, estamos interessados em algumas perguntas como:
Onde a função é crescente?
Onde ela é decrescente?
O lucro da empresa aumentou?
Neste módulo, mostraremos como as funções se comportam em determinados intervalos da reta real e algumas de suas aplicações.
DEFINIÇÃO
Uma função 𝑓:ℝ→ℝ  é considerada crescente quando os valores das imagens, 𝑓(𝑥), aumentam à medida que os valores de 𝑥 aumentam, ou seja, para 𝑥2>𝑥1, temos: 𝑓(𝑥2 )>𝑓(𝑥1 ).
Em termos gráficos:
Uma função 𝑓:ℝ→ℝ é considerada decrescente quando os valores das imagens, 𝑓(𝑥), diminuem à medida em que os valores de 𝑥 aumentam, ou seja, para 𝑥2>𝑥1, temos 𝑓(𝑥2)<𝑓(𝑥1).
Exemplo 1
O gráfico mostra a Chuva Acumulada Mensal no município de Campos (RJ), em 2020, e a Chuva Acumulada Mensal de acordo com as normas climatológicas entre 61-90:
Fonte: Instituto Nacional de Meteorologia (INMET).
Note que ocorreu um decréscimo da quantidade de chuva acumulada do mês de janeiro ao mês de fevereiro. Além disso, de acordo com a Normal Climatológica, no mês de outubro, a previsão é de um aumento significativo das chuvas acumuladas.
Exemplo 2
Veja a projeção do crescimento da taxa bruta de mortalidade e natalidade do Brasil, do início de 2010 a 2058.
Observe que a taxa bruta de natalidade decresceu, enquanto ocorreu um crescimento na taxa bruta de mortalidade.
Exemplo 3
Considere a função 𝑓(𝑥)=𝑥3
Note que essa função é crescente em toda a reta real.
De fato, dados 𝑥1<𝑥2, temos que 𝑓(𝑥1)=𝑥31<𝑥32=𝑓(𝑥2).
Exemplo 4
Considere a função 𝑓x=−𝑥2, 𝑥<00, 0≤𝑥≤1(𝑥−1)2, 𝑥>1
Observeque a função apresentada não é estritamente crescente em toda reta real, já que ela é constante no intervalo [0,1].
As funções estritamente crescentes têm um papel especial em Cálculo I.
Exemplo 5
Vamos praticar: analise o gráfico da função.
Agora, determine os intervalos onde a função é crescente e onde é decrescente.
Resolução da questão
VERIFICANDO O APRENDIZADO
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1. (Adaptada de: UFPE - 2017) No gráfico a seguir, temos o nível da água armazenada em uma barragem ao longo de três anos:
De acordo com o gráfico, podemos afirmar que:
a) O nível de 70 m foi atingido uma única vez.
b) O nível da água armazenada cresce em todo tempo.
c) O nível da água armazenada é estritamente decrescente.
d) O nível de 40 m foi atingido 2 vezes nesse período.
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2. No ano de 2020, o mundo foi assolado por uma pandemia, causada pelo vírus SAR-COV-2, conforme mostra o gráfico a seguir:
De acordo com o gráfico, podemos afirmar que:
a) De 03 a 12 de fevereiro, a número de casos passa de 20k para 40k. A partir do dia 12 de fevereiro, o número de infectados começa a diminuir e não volta a crescer.
b) De 03 a 18 de fevereiro, o número de casos passa de 20k para 40k. A partir do dia 18 de fevereiro, o número de infectados começa a diminuir e não volta a crescer.
c) De 03 a 12 de fevereiro, o número de casos passa de 20k para 40k. A partir do dia 24 de fevereiro, o número de infectados começa a diminuir e não volta a crescer.
d) De 03 a 12 de fevereiro, o número de casos passa de 20k para 40k. A partir do dia 18 de fevereiro, o número de infectados começa a diminuir e não volta a crescer.
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3. Após várias experiências em laboratórios, observou-se que a concentração de certo antibiótico no sangue de cobaias varia de acordo com a função 𝑓(𝑥)=12𝑥−2𝑥2, em que 𝑥 é o tempo decorrido, em horas, após a ingestão do antibiótico.
Nessas condições, a partir de qual momento a concentração desse antibiótico começa a decrescer?
a) 0
b) 6
c) 3
d) 18
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4. Uma função 𝑓:ℝ+→ℝ+ é crescente e satisfaz a seguinte condição: 𝑓(3𝑥)=3𝑓(𝑥), para todo 𝑥∈ℝ+. Se 𝑓(9)=27, qual o valor de 𝑓(1)?
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
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5. Sabendo que 𝑑 é um número real, o maior valor de 𝑑, tal que a função 𝑓(𝑥)=𝑥2−4𝑥+3, para x < d, seja decrescente, é:
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
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6. (Adaptada de: ENEM - 2010) As sacolas plásticas sujam florestas, rios e oceanos, e quase sempre acabam matando por asfixia peixes, baleias e outros animais aquáticos. No Brasil, em 2007, foram consumidas 18 bilhões de sacolas plásticas. Os supermercados brasileiros se prepararam para acabar com as sacolas plásticas até 2016.
Sabemos que a função:
𝑁(𝑥)=𝑎𝑥+𝑏
Onde:
𝑎,𝑏∈ℝ;
𝑁 = número de sacolas (em bilhões);
𝑥 = número de anos (após 2007).
Observe o gráfico a seguir, que considera a origem como o ano de 2007:
Fonte: LUCENA, 2010
De acordo com as informações, quantos bilhões de sacolas plásticas serão consumidas em 2011?
a) 4,0
b) 6,5
c) 7,0
d) 10
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Comentário
Parabéns! A alternativa D está correta.
Para encontrar o valor pedido, ou seja, 𝑓(4), porque se passaram 4 anos de 2007 até 2011, precisamos determinar os valores de 𝑎 e 𝑏.
Analisando o gráfico, 𝑓(0)=18  e 𝑓(9)=0, onde 9 corresponde ao ano de 2016. Assim, temos:
18=0𝑎+𝑏,     𝑏=18.
Além disso, substituindo o valor de 𝑏 em 𝑓(9)=0, obtemos:
0=9𝑎+18⇒9𝑎=−18⇒𝑎=−2.
Logo: 𝑓(𝑥)=−2𝑥+18.
Portanto: 𝑓(4)=(−2)⋅4+18=10.
Definir o conceito de funções periódicas
INTRODUÇÃO
Se olharmos para a natureza, vamos descobrir muitos fenômenos que acontecem de forma repetitiva em intervalos de tempos regulares, obedecendo, portanto, a padrões cíclicos.
Veja a seguir alguns exemplos:
As estações do ano
Os batimentos cardíacos
O movimento dos ponteiros de um relógio de pulso
O movimento dos planetas
A corrente elétrica alternada
A circulação do sangue
Fenômenos como esses são modelados usando uma classe importante de funções: as periódicas. Dentre a classe das funções periódicas, destacamos as chamadas funções trigonométricas:
SENO
COSSENO
TANGENTE
DEFINIÇÃO
Uma função é considerada periódica quando existe um número real 𝑇>0, tal que 𝑓(𝑥+𝑇)=𝑓(𝑥), para todo 𝑥 no domínio da função.
O menor dos valores de 𝑇>0, para os quais a propriedade é verificada, é chamado de período da 𝑓.
Atenção
Se uma função 𝑓 é periódica de período 𝑇, então, 𝑓 também é periódica de período 𝑛𝑇, onde 𝑛∈ℕ, já que:
𝑓(𝑥)=𝑓(𝑥+𝑇)=𝑓(𝑥+2𝑇)=𝑓(𝑥+3𝑇)=⋯=𝑓(𝑥+𝑛𝑇)
Exemplo 1
Considere a função 𝑓 do gráfico mostrado na figura a seguir, que corresponde ao eletrocardiograma de uma pessoa saudável:
Observe que o padrão de repetição ocorre em intervalos de comprimento T, e não em intervalos de comprimento menor. Assim, a função 𝑓 é uma função periódica de período T.
Exemplo 2
Considere a função:
𝑓:ℕ→ℤ, tal que 𝑓(𝑥)=(−1)𝑥
A tabela abaixo mostra o valor da função 𝑓 para os valores de 𝑥 de 0 a 5.
	x
	0
	1
	2
	3
	4
	5
	f(x)
	(-1)0=1
	(-1)1=-1
	(-1)2=1
	(-1)3=-1
	(-1)4=1
	(-1)5=-1
2 - Se 𝑥 é um número par, 𝑓(𝑥)=1.
3 - Se 𝑥 é um número ímpar, 𝑓(𝑥)=−1.
Esta é uma função periódica de período 2. Por quê?
Exemplo 3
Considere a função 𝑓(𝑡)=sen(𝑡) e 𝑃 um ponto no ciclo trigonométrico.
Imagine que o ponto 𝑃 se movimenta no ciclo no sentido anti-horário, a partir da posição (1,0) e dá uma volta completa, ou seja, o ângulo 𝑡 varia de 0 até 2𝜋.
Pensando no ciclo, é possível perceber que:
	Quando o ângulo 𝒕 cresce de
	O valor 𝒇(𝒕)=sen(𝒕)
	0 a π2
	Cresce de 0 𝑎 1
	π2 a π
	Decresce de 1 𝑎 0
	π a 3π2
	Decresce de 0 𝑎 −1
	3π2 a 2π
	Cresce de −1 𝑎 0
Assista ao vídeo e veja uma representação gráfica do que foi descrito no exemplo 3.
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Fonte: Shutterstock
O fluxo de ar através da traqueia é uma função periódica do tempo 𝑥 e ocorre em ambos os sentidos dos pulmões (inspiração e expiração).
O fluxo pode ser representado pela função:
𝑓(𝑥)=Asen(𝜔𝑥)
Onde:
A = fluxo máximo durante a expiração e inspiração
𝜔 = período respiratório
ω=2πT→T= o tempo que o indivíduo leva para fazer um ciclo completo
A função 𝑓 é, certamente, uma aproximação, pois 𝑇 varia de indivíduo para indivíduo. Mas estudos experimentais mostram que é uma “boa” aproximação da realidade.
VERIFICANDO O APRENDIZADO
Parte superior do formulário
1. Observe o gráfico da função a seguir:
Assinale a resposta correta:
a) É uma função periódica de período 2.
b) É uma função periódica de período 1.
c) É uma função periódica de período 4, e se o gráfico continuar com esse comportamento, 𝑓(14)=2.
d) É uma função periódica de período 4, e se o gráfico de da função 𝑓 continuar com o mesmo comportamento, 𝑓(17)=0.
Parte inferior do formulário
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Parte superior do formulário
2. Sendo 𝑓:ℝ→ℝ uma função periódica de período 2, podemos afirmar que:
a) A função 𝑔(𝑥)=𝑓(2𝑥) é periódica de período 4.
b) A função 𝑔(𝑥)=𝑓(2𝑥) é periódica de período 1.
c) A função ℎ(𝑥)=𝑓(𝑥/2) é periódica de período 1.
d) A função ℎ(𝑥)=𝑓(𝑥+𝑞), onde 𝑞 é uma constante positiva, não é periódica.
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3. Considere que a função 𝒇:[𝟒, +∞[ →[−𝟑,𝟕] seja periódica com período 6 e seja crescente no intervalo [4,10[. Logo, podemos afirmar que:
a) 𝑓(10)=𝑓(25) 𝑒 𝑓(4)<𝑓(8).
b) 𝑓(12)=𝑓(24) 𝑒 𝑓(15)<𝑓(16).
c) 𝑓(15)=𝑓(21) 𝑒 𝑓(21)<𝑓(22).
d) 𝑓(18)=𝑓(24) 𝑒 𝑓(28)<𝑓(27).
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4. Seja f(x)=-2+3.cosπx4+π6.
a) 4 e [-2,2].
b) 4 e [-5,1].
c) 8 e [-2,2].
d) 8 e [-5,1].
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5. Em determinada ilhade turismo, determinou-se que a variação da maré ao longo do dia pode ser descrita pela seguinte função: f(x)=2+senπx12
Onde 𝒙 é medido em horas e 𝒇(𝒙) em metros.
Qual gráfico representa a variação da maré ao longo de um dia?
a)
b)
c)
d)
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6. Considerando a função 𝒇:ℝ→ℝ, dada por f(x)=-2+cosπx2+π3, determine a alternativa correta:
a) A função 𝒇 é periódica com período 2.
b) A imagem de 𝒇 é o intervalo [-2,2].
c) A função 𝒇 é bijetora.
d) Existe 𝑥 ∈ℝ, tal que 𝒇(𝒙)= −𝟏,𝟓.
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Comentário
Parabéns! A alternativa D está correta.
Vamos analisar cada alternativa:
a) O período de uma função do tipo 𝒈(𝒙)= 𝒅 +𝒄.𝒄𝒐𝒔(𝒂𝒙+𝒃) é dado por P=2πa. Então, no caso de nossa função 𝒇(𝒙), temos a=π2. O período será:
P=2πa=2ππ2=2π×2π=4ππ=4
Logo, o período da função dada não é 2.
b) Uma função da forma 𝑔(𝑥)=𝒄𝒐𝒔(𝒂𝒙+𝒃) tem imagem: 𝑰𝒎(𝒈)=[−𝟏,𝟏]
Então, sendo f(x)=-2+cosπx2+π3, temos:
-1≤cosπx2+π3≤1 (somando -2)⇒
-3≤-2+cosπx2+π3≤-1⇒
Im(f)=[-3,-1]
Logo, a imagem de 𝒇 não é o intervalo [-2,2].
c) Como vimos na letra B, a imagem de 𝒇 é:
íIm(f)=[-3,-1] ≠R=contradomínio
Logo, 𝒇 não é sobrejetora e, portanto, não pode ser bijetora.
d) Como vimos na letra B, a imagem da função é o intervalo [−𝟑,−𝟏]. Como −𝟏,𝟓 ∈[−𝟑,−𝟏], então, existe 𝒙 ∈𝑫𝒐𝒎í𝒏𝒊𝒐 𝒅𝒆 𝒇=ℝ, tal que 𝒇(𝒙)= −𝟏,𝟓.