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Capítulo 3 – Amperímetros e Voltímetros DC – Prof. Fábio Bertequini Leão / Sérgio Kurokawa 
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Capítulo 3 – Amperímetros e Voltímetros DC 
3.1. Amperímetros DC 
Um galvanômetro, cuja lei de Deflexão Estática (relação entre a corrente na bobina e a 
posição angular do ponteiro) é conhecida, pode ser representado pelo circuito mostrado na 
Figura 3.1. 
 
Figura 3.1 – Circuito modelo para o galvanômetro. 
Na Figura 3.1 Rm é a resistência da bobina que é conectada em série com um 
galvanômetro ideal. Quando a corrente no galvanômetro e, portanto em Rm é Im, a tensão entre os 
pontos A e B ou sobre Rm é VAB. Uma vez que a escala do instrumento está calibrada para medir 
corrente, diz-se que o galvanômetro atua como Amperímetro. 
E
I
R
=
 
Figura 3.2 – Circuito com fonte DC e resistência R. 
Inserindo um galvanômetro no circuito da Figura 3.2, de modo que o instrumento possa 
medir a corrente na resistência R teremos o circuito representado na Figura 3.3. 
'
m
E
I
R R
=
+
 
Figura 3.3 – Inserção do galvanômetro no circuito para medir corrente. 
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Na Figura 3.3 o galvanômetro irá mostrar o valor da corrente I’ que circula na bobina do 
mesmo. Observe que as correntes I e I’ são diferentes, pois a inserção do galvanômetro alterou o 
circuito. Neste caso temos as seguintes situações: 
1) Se 0 ' amperímetro idealmR I I= ⇒ = ⇒ 
2) Se 'mR R I I>> ⇒ ≅ 
Geralmente a corrente de fundo de escala do galvanômetro (máxima corrente que pode 
circular no instrumento) é pequena, fazendo com que o equipamento tenha uma aplicação 
bastante restrita como Amperímetro. 
Uma maneira de aumentar a corrente de fundo de escala de um Amperímetro é conectar 
uma resistência Rs em paralelo/shunt com o galvanômetro, conforme mostra a Figura 3.4. 
 
Figura 3.4 – Conexão de uma resistência shunt para aumento da escala do Amperímetro. 
A resistência shunt Rs é especificada em função das correntes de fundo de escala do 
galvanômetro e da nova escala desejada para o amperímetro. Do circuito da Figura 3.4 têm-se: 
( )AB s s m m s m m mV R I R I R I I R I= ⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ − = ⋅ (3.1) 
Isolando Rs na equação (3.1) temos: 
m m
s
m
R I
R
I I
⋅=
−
 (3.2) 
Sendo para o projeto da nova escala do Amperímetro: 
Im=Imax (Fundo de escala do galvanômetro) 
I=Nova escala do Amperímetro 
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A partir da especificação de Rs podemos encontrar o valor da corrente I no circuito da 
Figura 3.4 em função da corrente que passa no galvanômetro Im. Assim, da equação (3.1) vem: 
( ) ( )s m m m s s m m m s m s mR I I R I R I R I R I R I I R R⋅ − = ⋅ ⇒ ⋅ − ⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅ + ⇒ 
1 mm
s
R
I I
R
 
⇒ = ⋅ + 
 
 (3.3) 
Sendo Im a corrente mostrada pelo galvanômetro. 
O Amperímetro mostrado na Figura 3.4 pode ser representado pelo seguinte circuito 
equivalente: 
s m
A
s m
R R
R
R R
⋅=
+
 
 a) b) c) 
Figura 3.5 – a) Circuito para o Amperímetro com a nova escala; b) Circuito equivalente; c) Resistência 
equivalente. 
Para obter um Amperímetro que possua várias escalas, pode-se utilizar o circuito 
mostrado na Figura 3.6. 
 
Figura 3.6 – Amperímetro de três escalas. 
No circuito da Figura 3.6 temos que as correntes e as resistências equivalentes do 
Amperímetro considerando as três escalas A, B e C são: 
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1) S na posição A: a corrente no Amperímetro e sua resistência equivalente são dadas por: 
3
1 mm
R
IA I
R
 
= ⋅ + 
 
 (3.4a) 
3
3
m
A
m
R R
R
R R
⋅=
+
 (3.4b) 
2) S na posição B: a corrente no Amperímetro e sua resistência equivalente são dadas por: 
1
3
1 mm
R R
IB I
R
 += ⋅ + 
 
 (3.4c) 
( )3 1
3 1
m
A
m
R R R
R
R R R
⋅ +
=
+ +
 (3.4d) 
3) S na posição C: a corrente no Amperímetro e sua resistência equivalente são dadas por: 
1 2
3
1 mm
R R R
IC I
R
 + += ⋅ + 
 
 (3.4e) 
( )3 1 2
3 1 2
m
A
m
R R R R
R
R R R R
⋅ + +
=
+ + +
 (3.4f) 
Deve-se observar que quanto maior a escala do Amperímetro da Figura 3.6, maior é a 
resistência em série com o galvanômetro que é acrescentada conforme a chave S se desloca nas 
posições A, B e C respectivamente. Logo temos a seguinte relação de correntes e, portanto de 
escalas no Amperímetro: 
IA < IB < IC (3.4g) 
 
Exemplo 1: Especifique as resistências R1, R2 e R3 do Amperímetro da Figura 3.6 de 
modo a obter escalas de 0,1 A, 1,0 A e 10 A. Considere que a corrente de fundo de escala do 
galvanômetro é 10 mA e que sua resistência interna é 6Ω. 
Exemplo 2: Um galvanômetro de bobina móvel cuja corrente de fundo de escala é 1 
mA possui uma resistência interna de valor Rm=100Ω. Este galvanômetro é utilizado para medir 
a corrente I no circuito da Figura 3.2 com E=0,5 V e R=1 kΩ. Determine o valor mostrado pelo 
instrumento. Calcule o erro percentual entre o valor medido e o real. 
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Exemplo 3: Utilizando o galvanômetro do exemplo 2 projete um amperímetro cuja 
corrente de fundo de escala seja 50 mA. 
Exemplo 4: Para o amperímetro projetado no exemplo 3, determine a relação entre a 
corrente no amperímetro e a corrente no galvanômetro. 
Exemplo 5: Considere o circuito mostrado na figura a seguir. 
 
Figura para o Exemplo 5. 
São dados: V=250 Volts; R1=10 kΩ; R2=R3=2Ω. Pede-se: 
a) Calcule as correntes I1 e I2; 
b) Utilize o amperímetro do exemplo 3 (RA=2Ω) para medir a corrente em R1; 
c) Utilize o mesmo amperímetro para medir corrente em R2; 
d) Calcule os erros percentuais entre as correntes medidas (itens b e c) com as correntes 
reais (item a); 
e) Nos itens b e c determine a corrente que circula no galvanômetro. 
 
 
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3.2. Voltímetros DC 
Considere um galvanômetro submetido a uma tensão VAB conforme ilustrado na Figura 
3.1. 
Quando a tensão VAB é aplicada nos terminais do galvanômetro, irá circular no 
equipamento uma corrente Im cujo valor pode ser lido diretamente no instrumento. Uma vez que 
Rm é conhecido, podemos determinar o valor da tensão VAB através da Lei de Ohm, ou seja: 
AB m mV R I= ⋅ (3.5) 
Portanto se a escala do galvanômetro for construída com base na equação (3.5), o 
instrumento torna-se um medidor de tensão e é denominado Voltímetro . Considere o circuito 
mostrado na Figura 3.7. 
1 2
E
I
R R
=
+
2
2 2
1 2
R
V R I E
R R
 
= ⋅ = ⋅ + 
 
Figura 3.7 - Circuito com fonte DC e resistências R1 e R2. 
Se um galvanômetro, cuja resistência interna é Rm, é conectado no circuito mostrado na 
Figura 3.7 de modo a medir a tensão sobre R2 teremos: 
 
Figura 3.8 – Inserção do galvanômetro para medição da tensão em R2. 
Na Figura 3.8 a resistência equivalente Req é dada por: 
2
2 2
1 1 1 m
eq
eq m m
R R
R
R R R R R
⋅= + ⇒ =
+
 (3.6) 
Portanto a tensão V2’ mostrada pelo voltímetro é dada por: 
2
1 1
' ' eqeq eq
eq eq
RE
V R I R E
R R R R
 
= ⋅ = ⋅ = ⋅  + + 
 (3.7) 
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Observe que V2 e V2’ são diferentes, pois a inserção do Voltímetro altera o circuito. 
Neste caso temos as seguintes situações: 
1) Se 2 2 2' voltímetro idealm eqR R R V V→ ∞ ⇒ = ⇒ = ⇒ 
2) Se 2 2 2 2'm eqR R R R V V>> ⇒ ≅ ⇒ ≅ 
A tensão de fundo de escala do galvanômetro (máxima tensão que pode ser aplicada no 
instrumento) mostrado na Figura 3.1 é dada por: 
max maxAB mV R I= ⋅ (3.8) 
Naequação (3.8) Imax é a corrente de fundo de escala do galvanômetro. Geralmente o 
valor de Imax é pequeno fazendo com que a tensão de fundo de escala do instrumento também 
seja pequena. 
É possível aumentar a tensão de fundo de escala do galvanômetro conectando em série 
com o instrumento uma resistência Rext conforme mostra a Figura 3.9. 
V ext mR R R= +
 
 a) b) c) 
Figura 3.9 – a) Conexão de uma resistência em série para aumento da escala do Voltímetro. b) Circuito 
equivalente; c) Resistência equivalente. 
A tensão VAB mostrada pelo Voltímetro da Figura 3.9 é dada por: 
( )AB ext m mV R R I= + ⋅ (3.9) 
Isolando Rext na equação (3.9) temos: 
AB ext m m m ext m AB m mV R I R I R I V R I= ⋅ + ⋅ ⇒ ⋅ = − ⋅ ⇒ 
AB m m AB
ext ext m
m m
V R I V
R R R
I I
− ⋅
⇒ = ⇒ = − (3.10) 
Sendo para o projeto da nova escala do Voltímetro: 
Im=Imax (Fundo de escala do galvanômetro) 
VAB=Nova escala do Voltímetro 
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Para obter um Voltímetro que possua várias escalas, pode-se utilizar o circuito mostrado 
na Figura 3.10. 
 
Figura 3.10 – Voltímetro de três escalas. 
No circuito da Figura 3.10 temos que as tensões e as resistências equivalentes do 
Voltímetro considerando as três escalas 1, 2 e 3 são: 
1) P na posição 3: a tensão no Voltímetro e sua resistência equivalente são dadas por: 
( )3 3AB m mV R R I= + ⋅ (3.11a) 
3v mR R R= + (3.11b) 
2) P na posição 2: a tensão no Voltímetro e sua resistência equivalente são dadas por: 
( )2 2 3AB m mV R R R I= + + ⋅ (3.11c) 
2 3v mR R R R= + + (3.11d) 
3) P na posição 1: a tensão no Voltímetro e sua resistência equivalente são dadas por: 
( )1 1 2 3AB m mV R R R R I= + + + ⋅ (3.11e) 
1 2 3v mR R R R R= + + + (3.11f) 
Deve-se observar que quanto maior a escala do Voltímetro da Figura 3.10, maior é a 
resistência em série com o galvanômetro que é acrescentada conforme a chave P se desloca nas 
posições 3, 2 e 1 respectivamente. Logo temos a seguinte relação de tensões e, portanto de 
escalas no Voltímetro: 
VAB3 < VAB2 < VAB1 (3.11g) 
 
 
 
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Exemplo 6: Um voltímetro de bobina móvel cujo galvanômetro possui uma resistência 
Ro e uma corrente de fundo de escala Io, possui uma tensão de fundo de escala igual a 
100 Ro Io⋅ ⋅ . Determine o valor mostrado pelo voltímetro em função de E quando o instrumento é 
utilizado para medir tensão entre os pontos A e B do circuito mostrado na figura a seguir. 
1 100R Ro= ⋅
2 100R Ro= ⋅
 
Figura para o Exemplo 6. 
Exemplo 7: Considere o voltímetro de duas escalas ilustrado na figura a seguir. 
 
Figura para o Exemplo 7. 
Projete as resistências R1 e R2 considerando que o voltímetro deve ter as escalas de 
50V e 100V. O galvanômetro de bobina móvel possui corrente de fundo de escala de 1 mA e 
uma resistência interna de valor Rm=100Ω. 
 
Revisão do Capítulo 
s m
A
s m
R R
R
R R
⋅=
+
max, , =Nova Escala
m m
s m
m
R I
R I I I
I I
⋅= =
−
max, , =Nova Escala
AB m m
ext m AB
m
V R I
R I I V
I
− ⋅= =
V ext mR R R= +